Принцип Дирихле для B-гармонического и B-полигармонического уравнений и для задачи о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Рогова, Наталия Владимировна

• Рогова, Наталия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рогова, Наталия Владимировна

Введение.

Глава 1. Функциональные пространства и теоремы вложения

§1.1. Теоремы вложения и некоторые следствия.

§1.2. Обобщение результатов

Глава 2. Задача Дирихле.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Решение вариационной задачи.

§2.3. Решение сингулярной задачи Дирихле с оператором

§2.4. Единственность решения сингулярной задачи Дирихле.

§2.5. Случай нескольких сингулярных переменных.

§2.6. В - полигармоническое уравнение.

§2.7. Решение основной краевой задачи для уравнения А ¡¡и = 0.

Глава 3. Задача Неймана.

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Решение вариационной задачи.

§3.3. Задача Неймана. у

Глава 4. Задача о собственных значениях.

§4.1. Постановка задачи.

§4.2. Предварительные неравенства.

§4.3. Существование первой собственной функции.

§4.4. Существование следующих собственных функций.

§4.5. Неубывание последовательности собственных значений.

§4.6. Замкнутость множества собственных функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип Дирихле для B-гармонического и B-полигармонического уравнений и для задачи о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора»

v В ряде работ академика C.JI. Соболева, выполненных 40-х годах 20-го века, заложены основы применения функционального анализа в задачах для дифференциальных уравнений в частных производных и в математической физике. Эти исследования (объединены в его книге "Некоторые применения функционального анализа в математической физике", вышедшей в 1950 г., а переработанные и дополненные вышли в 1988 г.) послужили отправным пунктом многочисленных исследований дифференциальных уравнений, функциональных пространств и привели к созданию современного функционального анализа, подходов и методов для его применения в теории уравнений в частных производных. Важнейшую роль в этих исследованиях играют теория обобщенных функций, теоремы вложения функциональных пространств и теоремы о следах функций. Дальнейшее развитие заложенной C.JI. Соболевым методики исследования задач теории дифференциальных уравнений связано с широким использованием операционного исчисления Фурье обобщенных функций, созданное JI. Шварцем в 50-х годах и теории функциональных пространств дробной глад-V кости (типа пространств Соболева-Слободецкого). Первые окончательные результаты по проблеме следов функций из пространств C.JI. Соболева были получены Н. Ароншайном [1] и независимо от него Б.М. Бабичем, JI.H. Слободецким [2, 45], Г. Фройдом и Д. Краликом [48]. JI.H. Слободецким построена полная теория анизотропных пространств с целыми и дробными показателями. Большой вклад в теорию вложения пространств внесли О.В. Бесов [4], В.И. Буренков, В.П. Ильин [11, 12], П.И. Лизоркин [25, 26], С.М. Никольский, C.B. Успенский и др.

Ясно, что идеи применения теорем вложения и теорем о следах для развития вариационных методов в задачах для сингулярных дифферен циальных уравнений позволят открыть новые подходы к исследованию их решений и являются в современном естествознании весьма актуальными. Исследованию сингулярных эллиптических уравнений с оператором Бесселя В = + -£г (7 > 0) посвящено много исследований как в нашей стране, так и за рубежом. Эти исследования вызывают большой интерес в связи с проблемой нахождения осесимметрического решения гармоничес-* кого уравнения. Теория таких уравнений, известная как обобщенная осе

4 симметрическая теория потенциала, развита американским математиком

А. Ванштейном и его школой. В частности А.Ванштейном в 1942г. (в двумерном случае) построено фундаментальное решение уравнения А в и = 0, Ав = А®' + г§г + ¡¿" (т > 0)- М.Н. Олевским в 1949 г. получено фундаментальное решение в многомерном случае в терминах гипергеометрических функций, при условии, что индекс 7 ф 2,3,4, —

Принцип Дирихле для уравнения А^и = 0 в полупространстве изучался П.И. Лизоркиным. Он же впервые построил функцию Грина для краевой задачи с оператором Бесселя, используя результаты А. Ванштейна и рассмотрел некоторые вариационные задачи. Среди исследователей сингулярных задач с оператором Бесселя такие известные математики как Я.И. Житомирский [10], Л.Д. Кудрявцев [22, 23], Б.М. Левитан [24], Л.Г. Михайлов, С.А. Терсенов.

Значительный вклад в исследование сингулярных дифференциальных уравнений внес И.А. Киприянов [17] -[20]. Им построены весовые аналоги анизотропных пространств Соболева-Слободецкого (1967 г.), при этом он показал, что в задачах с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и оператором вида да смешанное преобразование Фурье-Бесселя является столь же мощным инструментом исследования, как и классическое преобразование Фурье в задачах с оператором Лапласа. Создана завершенная теория весовых функциональных пространств (в настоящее время эти пространства известны как пространства Киприянова), которые оказались замкнутыми относительно прямых и обратных теорем вложения на многообразиях меньшей размерности. С помощью этих пространств им и его учениками создана методика исследования сингулярных эллиптических уравнений. В этой методике впервые используется идея о выделении в сингулярном операторе одного или нескольких особых направлений, которая в дальнейшем была применена в ряде работ, как у нас в стране, так и за рубежом. Другой подход к построению весовых функциональных классов на основе операторов преобразования был предложен В.В. Катраховым [13], при этом весовой параметр может принимать не только действительные значения, но и комплексные. Эти исследования позволили перенести современную теорию дифференциальных уравнений на задачи для уравнений в частных производных с операторами Бесселя, действующим по одной или нескольким переменным.

В диссертации используется идея С.Л. Соболева исследования краевых задач Дирихле и Неймана вариационным методом, которая применяется к сингулярному дифференциальному уравнению на основе результатов И.А. Киприянова [17] по теоремам вложения и его идеи о выделении особых направлений.

Несмотря на довольно долгое исследование подобных уравнений разными учеными и школами подход, развитый С.Л. Соболевым при изучении задач Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа, так и не был реализован в задачах для сингулярных дифференциальных уравнений в ограниченной области, где роль оператора Лапласа играет оператор А в■ Здесь можно увидеть две причины. Соболевский подход для таких задач легко осуществляется (разумеется при подходящем выборе весовых функционалов) применением срезок для шаровых окрестностей с центром на сингулярной гиперплоскости хп — 0, но не может быть распространен на задачи в области граница которой, принадлежащая полупространству хп > 0 (обозначение Г+), удалена от сингулярной гиперплоскости на расстояние большее половины диаметра той части границы, которая принадлежит сингулярной гиперплоскости хп = О (обозначение Г°). Тем самым принцип Дирихле оказывался обоснованным лишь в полупространстве хп > 0. Вторая причина состоит в том, что методика применения киприяновских теорем вложения требует неизменности веса в применяемых при решении сингулярных задачах весовых интегральных формах, но это возможно, лишь при соответствующем поведении границы в окрестности гиперплоскости хп = 0.

Таким образом, в диссертационной работе ставится и решается одна из актуальных проблем теории сингулярных дифференциальных уравнений, имеющая широкое теоретическое и практическое значение для уравнений в частных производных и в задачах математической физики с элементами осевой или многоосевой симметрии.

Целью работы является обоснование принципа Дирихле и разработка вариационных методов решения задач Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специального вида, разработка вариационных методов решения основной задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида, постановка и решение задачи о собственных значениях для оператора . Разработка вариационных методов построения собственных функций в ограниченной области.

В диссертации использованы методы теории функций, функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Первая глава носит вводный характер и содержит сведения из теории киприяновских пространств, необходимые в дальнейшем. Следует отметить, что эти пространства напоминают анизотропные пространства Сло-бодецкого, но есть принципиальная разница в содержании теорем вложения.

Рассмотрим область расположенную в части пространства

Ядг = {(я', х"),х' = (хъ ., хп),х" = (хпя,. хх),х{ > 0, г = п+, прилегающую к гиперплоскостям Х{ = 0, г — п 1,N. Ее граница состоит из участка Г+, расположенной в части пространства К^, и участков Г-1, каждый из которых принадлежит одной из гиперплоскостей Х{ — О, г = п + Через Г+ обозначим замыкание Г+. Будем предполагать, что ограничена и что Г+ является бесконечно дифференцируемым многообразием размерности N — 1с краем, а сама область локально расположена по одну сторону от Г+. Обозначим через О" последовательное зеркальное отображение области Г2+ относительно гиперплоскостей XI = 0, г = п + 1,N. Предполагается, что граница области О = и представляет собой гладкое многообразие размерности N — 1 и область О, расположена локально по одну сторону от Г.

Рассмотрим участок границы, имеющий непустое пересечение с некоторыми из указанных выше гиперплоскостей Х{ = 0. Предположения относительно области и ее границы дают возможность введения локальных координат в покрытиях границы Г+, имеющих непустое пересечение с Г°, не меняющее этих весовых переменных. В этом случае весовые функциональные классы оказываются инвариантными относительно соответствующих преобразований координат.

Обобщением теорем И.А. Киприянова о следах весовых классов для случая нескольких весовых переменных являются следующие теоремы.

Теорема 1.3. Пусть и £ Тогда существуют следы производных (к = 0,1,., тп — 1) по нормали на Г , принадлежащие (Г+). При этом дки уут-к-1/2{Г+ дик

С\\и

Теорема 1.5. Пусть заданы функции у^ 6 Г+) Существует функция и Е И^^"1"), такая, что у^ являются следами соответствующих производных по нормали и имеет место предельное соотношение

Пш дки дь>к

-уМ о, где Г^ - поверхность, параллельная Г+ и отстоящая от нее на расстояние к. При этом т—1 к=0

Следующие две теоремы о следах на сингулярных гиперплоскостях XI = 0, г = п + 1,., ТУ, поэтому имеет смысл их формулировать в соответствующей части пространства.

Теорема 1.7. Пусть /(х) Е М^/у^лг) и целое неотрицательное число г удовлетворяет неравенству ц = 1 — у1 — > 0. Тогда существует след функции (Вх1)г/ на гиперплоскости Х{ = 0 (г = п + 1,.,ЛГ) и принадлежит пространству И^Д-йд^), V = (¿1,., ¿г+1,., 1^), 7/ = (Тп+1,--мТг-ьТг+ь-,7лт), при этом

Нш 0.

Теорема 1.8. При выполнении условий теоремы 1.7 существует функция Е ^2,7 (-^N-1) такая что

Вх{у/ - ^\хт)

При этом справедливо равенство {Вх^У¡{х)\Х1=о = ^г\х"').

Вторая глава посвящена созданию вариационных подходов к исследованию в ограниченной области решений задачи Дирихле для уравнения п Л ^ 92 °2 У д

Дв и = О, Дв = о-2 + /ГТ + 7Г~' X где 7 - фиксированное положительное число.

На область накладывается дополнительное условие: область полностью расположена в цилиндре, направляющей которого служит граница области Г° Е Яп-1, а образующая параллельна оси Ожп.

Задача Дирихле состоит в отыскании такой В-гармонической функции из то есть нахождении в ограниченной области функции, четной по переменной хп, дважды непрерывно дифференцируемой, удовлетворяющей внутри области уравнению Д^п = 0, которая на участке Г+ границы области принимает значение </?, при этом <р Е 1^2)72(Г+). Введем следующий функционал 2 = /£© -г*. а+ г1

Обозначим через - множество функций у из пространства Киприянова принимающих на Г+ значения ср. Обратная теорема о следах показывает, что И^-^} ~ не пустое множество, и функция V? Е <7(Г+). Для каждой г; Е выполняется неравенство

0 < Ф7(г>) < оо. Существует точная нижняя граница значений Ф7(и):

I= т£ ¿>0,

Из множества Wln{<p} можно выделить последовательность для которой lim Ф7(г>й) = d. Последовательность {г>&}, как обычно, называется к—>оо минимизирующей.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Минимизирующая последовательность {г^} сходится в И/21)7(^+), предельная функция принадлежит W^j^} и дает функционалу Ф7(г>) наименьшее значение среди всех таких функций.

Теорема 2.2. Функция vq, дающая минимум Ф7(г>) в {£1*), есть решение сингулярной задачи Дирихле, то есть bv0 = О, (1) о|г+ = ^ е (2)

Теорема 2.3. Решение сингулярной задачи Дирихле (1)-(2) единственно.

Теорема 2.4. Если граничное условие в задаче (1)-(2) <р 6 И/2172(Г+); то задача Дирихле разрешима вариационным методом в W^i^"1")

В параграфе 2.5 рассматривается задача Дирихле для уравнения с оператором i—пЛ-1 ]=1 J 1 где тi - фиксированные положительные числа, образующие мультииндекс

7 длиной ¡7| = 7n+i + . + 7N

Дополнительное условие на область в данном случае будет следующим: предполагается, что каждый цилиндр (в R^) с основанием на х; = О, i = п + 1, N с направляющей {xi = 0} П Г+ П Г°, г = п + 1, N и с образующей, параллельной оси Oxi содержит область Q+.

Через Wçj;a{ip} обозначим множество функций v G W2)7(^+), принимающих на Г+ значения (р 6 И^2(Г+).

Для каждой функции v 6 W^iv3} функционал удовлетворяет условию 0 < Ф7(г>) < оо; следовательно, существует точная нижняя граница значений функционала d= inf ФТМ, d>0.

Из множества W^^y} можно выделить последовательность {г>&}, для которой lim Ф7(г^) = d. к-> оо

Доказаны теоремы:

Теорема 2.5. Минимизирующая последовательность {г^} сходится в И/21)7(^+), предельная функция принадлежит W^^ip} и дает функционалу Ф» (3) наименьшее значение среди всех таких функций.

Теорема 2.6.Функция vq, дающая минимум Ф7(г>) (3) в ИЛ21)7(^+), есть решение сингулярной задачи Дирихле, то есть

В 0 4-t дхJ дх\ xidxi

3—1 J i=n+1 ( v е </72(Г+).

В параграфах 2.6 и 2.7 в ограниченной области рассматривается краевая задача вида: 0, (4) we w™~k~1/2(г+), к = о, 1, - 1. (5) дки дрк г+

Уравнение (4), где т — натуральное число, большее единицы, будем называть полигармоническим. il

Решением основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения является В-полигармоническая функция из WJ^Q4"), то есть функция, четная по переменной хп, 2т раз непрерывно дифференцируемая, удовлетворяющая внутри области уравнению Agit = 0, которая на участке границы Г+ удовлетворяет (5).

Пусть •••» <Pm-l} - множество функций V £ принимающих на Г+ соответственно значения ipQ, ., </?mi в указанном в теоремах о следах смысле. Обратная теорема о следах показывает, что множество Wglylipo, Vu ■■■i(Pm-i} не пусто и каждая срк £ W™~k~lt2{T+), к = 0,1,., т — 1.

Введем в рассмотрение следующий функционал i ^ т\ ( дти \2

Фт M-j L а1\.а^1\ап\{дх?.дх^д&) ^ (3}

П+ Е<*г=™

Для каждой v G М^Дуо, 4>ъ ¥>m-i} выполняется неравенство О < Ф7(и) < оо. Точную нижнюю грань функционала Ф7(г;) обозначим d = inf Ф-уЫ vew^{<pk} напомним, что 7 - фиксированное положительное число).

Из множества W^,y-f^o? Ц>т-1} можно выделить минимизирующую последовательность {vk}, так что lim Ф7(г>А;) = d. k-*oo

В диссертации доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.7. Минимизирующая последовательность {vf~} сходится в предельная функция принадлежит Wg^fao, <pi,., ipm-1} и дает функционалу Ф7(г>) (3') наименьшее значение среди всех таких функций. Предельная функция единственна.

Теорема 2.8. Функция и, дающая минимум функционалу Ф7(г>) (З1) в W™ {ipo, (/?!,., (рт-1} имеет непрерывные производные любого порядка внутри и удовлетворяет уравнению А^и = 0. Теорема 2.9. Если (рк е уут-к- 1/2(г+) = т—1); то основная краевая задача для В - полигармонического уравнения А ¡¡и = 0 разрешима в И7^,^"1") вариационным методом.

В третьей главе исследуется задача Неймана. Для функций и(х) £ рассмотрим функционал

З^и) = Ф7(и) + 2(р, и)7, где

П+ г1 а (р, м)7 — некоторый линейный непрерывный функционал в И^^"1"), ортогональный единице.

Справедливы следующие утверждения. Теорема 3.1. Если (р, 1)7 = 0; то </7(гг) ограничен снизу. Теорема 3.2. Существует и € И/21)7(^+) такая, что </7(гг) = —с?. Более того, для любой £ £ И7^ справедливо равенство

Ф7(м,0 + (Р»07 = °

Обозначим через 1/2,7(Г+) множество функций и — и{х), определенных на части границы Г+, квадратично суммируемых на Г+ с весом Пусть линейный функционал в Ь2Л(Т+). Функционал (£г+,^г+)7 является линейным непрерывным функционалом в И^^4")

Содержание следующей теоремы составляет основной результат этой главы.

Теорема 3.3. Если (£г+> 1)7 = 0; то существует функция и Е И/21)7(^+) такая, что:

1) и{х) имеет в непрерывные производные любого порядка и удовлетворяет уравнению д д2и ^ д2и ^ 7 ди ф

Ъ—X

2) пусть - произвольная возрастающая последовательность областей, имеющих достаточно гладкую границу содержащихся в и стремящихся к Тогда ди г: где V - внешняя нормаль к £ € ^2,7 ~~ произвольная функция.

Таким образом, задачей Неймана для рассматриваемого сингулярного уравнения является задача об отыскании функции, о которой идет речь в этой теореме.

Получен также следующий результат, хорошо известный для обычных решений задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Теорема ЗА.Решение задачи Неймана определяется с точностью до постоянного слагаемого.

В главе 4 исследуется задача о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора тЗ дх1 дх1 дхп

Постановка задачи: найти все значения Л при которых уравнение

Ави + \и = 0, (6) при условиях на части границы Г+ ди д^

- Нг+ = 0, (7) г+ где V - внешняя нормаль, и при выполнении условия четности на другой части границы Г°, имеет ненулевое решение.

Выполнение граничных условий понимается в следующем смысле: рассмотрим последовательность областей лежащих внутри Q+ и прилегающих к гиперплоскости хп = 0, стремящуюся к Q+. Пусть границы области {Г/+} непрерывно дифференцируемы. Если, кроме того, считать h предельным значением на Г+ некоторой функции, заданной в то условие (7) принимает вид / (I"Ни) ^ = г'+

В пространстве W21j7(^+), где 7 - фиксированное положительное число рассмотрим следующие функционалы: i=1 Г+ ( ' = J М2®»^' п+ Ы1 Ü+

Лемма 4.1. Имеют место следующие неравенства:

Ф» < CiF» + С2#», F7(v) < 01Я7(«) + С2Ф7(«).

Лемма 4.1 позволяет решить вопрос о существовании inf Fy(v) = Ai при H7(v) = 1 и о существование последовательности {и*}, такой что

Vk е WiJQ+), Щ(ук) = 1, lim = Ль ' К-400

Существование первой собственной функции доказывается в следующей теореме.

Теорема 4.1. Существует функция щ € И^^*) такая, что

Щ(щ) = 1, F7(wi) = Ль

Функция щ имеет непрерывные производные любого порядка в четные по переменной хп, и удовлетворяет уравнению АвЩ + Аг^ = 0.

Для исследования вопроса о возможности нахождения последующих собственных чисел и собственных значений предполагается, что уже найдены т — 1 функций щ,., ит-1 и значений Ах,., Аш1, такие что для любой функции £ £ И/21,7(^+)

- = 0, = 1, = 0, ъфз.

Совокупность функций V, удовлетворяющих условиям Н7(у,щ) = 0 (г = 1,2, .,т — 1) обозначим ., ит-х). Это множество представляет собой замкнутое линейное многообразие. Существование следующей собственной функции утверждается в следующей теореме.

Теорема 4.2. Существует функция ит £ ^2,7(^1» ■•■>ит-1)) такая, что

Ну^ищ) = 1, I?у(ит) = Ат, - АтН7(ит, £) = 0 для произвольной £ £ И^^х, •••> ит-\)- Кроме того, ит имеет в непрерывные производные любого порядка и удовлетворяет уравнению А вит + Л тит = 0.

Теорема 4.3. Существует неубывающая бесконечная последовательность чисел {Ат} и последовательность соответствующих им сколько угодно раз непрерывно дифференцируемых в функций {ит} таких, что

Авит + А тит = 0, Ну и^ —

Каждая ит удовлетворяет граничному условию (7).

Теорема 4.4. Для последовательности собственных значений {Ато} справедливо

Теорема 4.5. Система собственных функций {г4т} оператора А в в области замкнута в весовом пространстве то есть для всякой (р £ Ь2/у(П+) справедливо равенство

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Разработан вариационный метод решения задачи Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специального вида.

2. Разработан вариационный метод решения основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида.

3. Найдена конструкция функционалов, минимизирующие последовательности которых сходятся к решениям задачи на собственные значения для сингулярного дифференциального оператора Дд. Доказано существование первого и последующих собственных функций и доказана теорема о замкнутости соответствующей бесконечной последовательности собственных функций.

Нш Хт = +оо. гп-> оо

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (Воронеж, 2000г.), на весенних математических школах "Понтрягинские чтения — X" (1999г.), "Понтрягинские чтения — XI" (2000г.), "Понтрягинские чтения — XIII" (2002г.), на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), ежегодных научных конференциях Воронежского госуниверситета (2001г., 2002г., 2004г.), семинарах кафедры дифференциальных уравнений.

Основные результаты работы опубликованы в работах [21], [28], [29], [36]-[44]. В совместной работе [21] И.А. Киприянову принадлежит идея и формулировка некоторых результатов, доказательства же принадлежат автору работы. Работы [28]-[29] (посвящены обобщениям результатов диссертации, касающихся задач для В-гармонических функций) выполнены совместно с Л.Н. Ляховым, которому принадлежит идея этого обобщения, доказательства соответствующих теорем получены лично автором.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в конкретных задачах математической физики с осевой симметрией. Методы вариационного исследования могут быть использованы для уравнений, содержащих по одному или нескольким направлениям оператор Бесселя, в частности для уравнения Пуассона, и в методе Фурье разделения переменных в задачах математической физики со сферической или осесимметрической симметриями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рогова, Наталия Владимировна, 2004 год

1. Ароншайн Н. (Aronsajn N.) Boundary values of functions with finite Dirichlet integral / N. Aronsajn // Univ. of Kansas. - 1955. - Techn. Report №14. - P.77 - 94.

2. Бабич B.M. Об ограниченности интеграла Дирихле / B.M. Бабич, Л.Н. Слободецкий // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 106, №4. - С. 604-607.

3. Бесов О.В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения / О.В. Бесов // Тр. МИАН СССР. 1961. - Т.60. - С. 42-81.

4. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. М. : Наука ; Физ-матлит, 1996. - 480 с.

5. Богачев Б.М. О свойствах функций из весового пространства на дифференцируемом многообразии / Б.М. Богачев, И.А. Киприянов // Тр.МИАН СССР. 1988. - Т. 156. - С. 110-120.

6. Буренков В.И. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных во всем пространстве / В.И. Буренков // Итоги науки. Математический анализ, 1965г.- М. : ВИНИТИ АН СССР. 1966. - С.71-155.

7. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик // Матем.сб. 1954. - Т. 35(77), вып. 3. - С. 513-568.

8. Гильберт Д. Методы математической физики / Р. Курант. Д. Гильберт. М.-Л. : ГИТТЛ, 1933. - Т.1. - 532 с.

9. Глушко В.Г. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом / В.Г. Глушко, С.Г. Крейн // Сиб.мат.журнал. 1960. - Т. 1, т. - С. 343-382.

10. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов / В.П. Ильин // Тр. МИАН СССР. 1959. - Т. 53. - С. 128-144.

11. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений / В.В. Катрахов // Матем. сб. 1980. - Т. 112, вып. 3. - С. 354-379.

12. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона / В.В. Катрахов // Матем. сб. 1991. - Т. 182, вып. 6. - С. 849-876.

13. Кащенко H.A. Об операторе осреднения, связанном с обобщенным сдвигом / H.A. Кащенко, И.А. Киприянов // Докл. АН СССР. 1974.- Т. 218, т. С. 21-23.

14. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР.- 1951. Т. 77, т. - С. 181-183.

15. Киприянов И.А. Преобразование Фурье Бесселя и теоремы вложения для весовых пространств / И.А. Киприянов // Тр.МИАН СССР. -1967. - Т. 89. - С. 130-213.

16. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. М. : Наука, 1997. - 199 с.

17. Киприянов И.А. Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференц. ур-ния. -1967. - Т. 3, № 1. - С. 114- 129.

18. Киприянов И.А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных / И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференц. ур-ния. 1969. - Т. 5, № 8. - С. 1470-1483.

19. Киприянов И.А. Об одном вариационном методе в сингулярных задачах / И.А. Киприянов, Н.В. Рогова // Вестн. факультета ПММ. -Воронеж, гос. ун-т. 2000. - С. 109-118.

20. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений / Л.Д. Кудрявцев // Тр.МИАН СССР. 1959. - Т. 55. - С. 1-181.

21. Кудрявцев Л.Д. Теоремы вложения для весовых пространств и их приложения к решению задачи Дирихле / Л.Д. Кудрявцев // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку : АН АзССР, 1965. - С. 493-501.

22. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б.М. Левитан // УМН. 1951. - Т. 6, вып. 2(42). - с.102-143.

23. Лизоркин П.И. Граничные свойства функций из "весовых" классов / П.И. Лизоркин // Докл. АН СССР. I960,- Т. 132, №3. - С. 514-517.

24. Лизоркин П.И. Принцип Дирихле для уравнений Бельтрами в полупространстве / П.И. Лизоркин // Докл. АН СССР. 1960.- Т. 134, №4. - С. 761-764.

25. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л.Н. Ляхов. Воронеж : ВГТА, 1997. - 144 с.

26. Ляхов Л.Н. Обобщение одной теоремы о следах функций из весового пространства Киприянова /Л.Н. Ляхов, Н.В. Рогова // Воронежская зимняя математическая школа : тез. докл. Воронеж,2004.- С. 95-96.

27. Ляхов Л.Н. Задача о минимуме функционала с несколькими весовыми переменными /Л.Н. Ляхов, Н.В. Рогова // Современные проблемы механики и прикладной математики : сб. трудов международной школы-семинара. Воронеж, 2004. - Ч. 1, т. 2. - С. 420-423.

28. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала / С.Г. Михлин. Гостехиздат, 1952. - 216 с.

29. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. Высшая школа, 1997. - 431 с.

30. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. ГИТТЛ, 1957. - 476 с.

31. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям / С.Г. Михлин // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 91,№ 4. - С. 723-726.

32. Никольский С.М. Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях / С.М. Никольский // Матем. сб. 1953. - Т. 33(75), вып. 2. - С. 261-326.

33. Никольский С.М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных /С.М. Никольский // УМН. 1961. - Т. 16, вып. 5(101). - С. 63-114.

34. Рогова Н.В. Об одной сингулярной задаче Дирихле / Н.В. Рогова // Понтрягинские чтения X : тез. докл. - Воронеж, 1999. - С. 207.

35. Рогова Н.В. Задача Дирихле с оператором ВХпг / Н.В. Рогова ; Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1999. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.11.99, №3488-В99.

36. Рогова Н.В. Задача Дирихле с оператором ВХп /Н.В. Рогова ; Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1999. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.11.99, ДО3487-В99.

37. Рогова Н.В. О собственных функциях и собственных значениях оле-ратора А.в / Н.В. Рогова // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках : тез. докл. Воронеж, 2000. - С. 186.

38. Рогова Н.В. Задача о собственных значениях олератора Двх г / Н.В. Рогова // Сборник работ студентов и аспирантов математического факультета ВГУ. Воронеж, 2000. С. 48-53.

39. Рогова Н.В. Задача Неймана для уравнения с оператором Бесселя // Понтрягинские чтения XI : тез. докл. - Воронеж, 2000. С. 124.

40. Рогова Н.В. Решение задачи Неймана для В-эллиптического уравнения второго порядка /Н.В. Рогова // Труды молодых ученых. Воронеж, 2001. - Вып. 1. - С. 20-24.

41. Рогова H.B. О сингулярной задаче Дирихле для уравнения с переменными коэффициентами / Н.В. Рогова // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, 2001. - С. 224.

42. Рогова Н.В. Вариационный метод для сингулярных эллиптических уравнений второго порядка /Н.В. Рогова // Понтрягинские чтения -XIII : сб. материалов. Воронеж, 2002. - С. 134-135.

43. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев.- М. : Наука ; Гл. ред. физ.- мат. лит., 1988. 336 с.

44. Успенский C.B. О теоремах вложения для весовых классов / C.B. Успенский // Тр.МИАН СССР. 1961. - Т. 60. - С. 282-303.

45. Фройд (Freud G.) Über die Anwendbarkeit des Dirichletschen Prinzips für den Kreis / G. Freud, D. Kralik // Acta Math. Yung. 1956. - V. 7, №3,4. - P.411-418.