Метрические свойства кратчайших сетей в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бурушева Лейла Шариповна

• Бурушева Лейла Шариповна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Бурушева Лейла Шариповна

Введение

Глава I. Банаховы пространства, в которых длина кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками

§1. Вспомогательные результаты

§2. Случай нестрого выпуклого пространства

§3. Случай строго выпуклого пространства

Глава II. Суботношение Штейнера

§1. Минимальное п-точечное суботношение Штейнера

§2. Банахово пространство с суботношением Штейнера 1/2

§3. Задача оценки суботношения при фиксированной размерности

Глава III. Нелипшицевость метрической проекции

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрические свойства кратчайших сетей в банаховых пространствах»

Введение

Диссертация содержит результаты на стыке метрической теории кратчайших сетей и геометрии банаховых пространств: описываются банаховы пространства, в которых длина кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками; вычислено минимально возможное суботношение Штейнера для п-точечных множеств в банаховых пространствах; построено банахово пространство с минимально возможным суботношением Штейнера; построено трехмерное строго выпуклое нормированное пространство, в котором метрическая проекция на каждую прямую нелипшицева.

Пусть X — банахово пространство и М — его конечное подмножество. Сетью (или графом) называется любое конечное объединение отрезков вХ. Говорят, что сеть Г соединяет (или затягивает) множество М, если она связна и содержит все точки множества М. Длино й |Г| сет и Г называется сумма длин всех ее ребер. Число

(М,X) = т£{|Г| : сетьГсоединяетМ вХ} называется длиной кратчайшей сети для М в X, а

бш^М, X) = {Г : Г^ теть вX, затягивающаяМ, |Г| = |бш1|(М, X)}

есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для М в X.

Кратчайшие сети определяются и в произвольных метрических пространствах (см. [22]).

Теория кратчайших сетей (более общо, экстремальных сетей) составляет большую область метрической геометрии. Кратчайшими сетями интересовался Гаусс, в переписке [40] с Шумахером ставивший задачу о постройке оптимальной системы дорог между четырьмя городами. Ярник и Кесслер [47] в общем виде сформулировали проблему нахождения кратчайшей сети,

или связного графа минимальной длины, соединяющей данное множество точек плоскости. В известной книге Куранта и Роббинса [24] эта задача названа проблемой Штейнера. В настоящее время теория экстремальных сетей в метрических пространствах развивается в нашей стране благодаря исследованиям, в основном, А.О.Иванова, А.А.Тужилина и их учеников. Наиболее полно теория кратчайших сетей изложена в работах [37], [43], [46], [22].

Всякая кратчайшая сеть является деревом, поскольку если в сети есть циклы, то можно удалить некоторые ребра так, что сеть останется связной, а ее длина уменьшится. Нетрудно показать, что среди кратчайших сетей, затягивающих в X заданное п-точечное множество Мп, можно выбрать сеть, которая является деревом с не более чем п — 2 дополнительными (отличными от точек из Мп) вершинами, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3 (см., например, [37, Глава 2]).

В частности, если X — банахово пространство и множество М С X состоит из трех точек х^х^х^ то (М,X) совпадает с величиной

3

^(ж!, х2, х3) = т£ \\х{ — в\\,

вбХ

{=!

которая также называется длиной дерева Штейнера для точек х!,х2,х3, а сами кратчайшие сети реализуются в виде графов, состоящих из отрезков [х<, в], где точка в принадлежит множеству

БЬ(х!,х2, х3) = |в : ^^ \\х^ — в\\ = ^(х^ х2, х3)

точек Штейнера (точек Ферма) для точек х!, х2, х3.

Для большего количества точек множество точек Штейнера в1(х!,..., хп) определяется аналогично: в предыдущем определении вместо набора точек х!, х2, х3 х!, . . . , хп 1 п

но показать, что в конечномерном банаховом пространстве это множество не

пусто, выпукло и компактно для набора {х1, ...,жп}. В бесконечномерном пространстве точка Штейнера может не существовать уже и для трех точек (то есть не существует и кратчайшая сеть). Первый пример такой тройки построил А.Л.Гаркави [16]. Имеются и другие примеры [57], [35], [54], [12]. Более того, как показал Л. Веселы [57], во всяком нерефлексивном банаховом пространстве X можно выбрать три точки и эквивалентную норму в X, в которой у этой тройки точек не существует точки Штейнера. В.М. Кадец [49], не зная о работе [57], доказал этот результат по-другому. Н.П. Стрелкова [8] построила пример несуществования кратчайшей сети у п-точечного множества в банаховом пространстве при произвольном п > 3.

Будем говорить, что банахово пространство реализует кратчайшую сеть для своего конечного подмножества М, если бш^м, X) не пусто. Для трехточечных подмножеств М = {х1, х2, х3} в банаховом пространстве X это означает, что множество 81(ж1,ж2,жз) точек Штейнера не пусто. Б.Б. Бед-нов [8] доказал, что во всяком банаховом пространстве, 1-дополняемом в своем втором сопряженном (в частности, во всяком рефлексивном пространстве, всяком конечномерном пространстве, а также во всяком пространстве Ь{) кратчайшая сеть существует для всякого конечного множества.

С работы А.О. Иванова и А.А. Тужил и ни [21] началось новое направление теории кратчайших сетей, связанное с введенным ими понятием минимального заполнения конечного метрического пространства.

Пусть (М, р) — конечное метрическое пространство. Длиной минималь-

М

ш|(М) = т£{|бш1|(^(м),У) : ^ : М ^ У}, (0.1)

где инфимум берется по всем изометрическим вложениям ^пространства М

У

Отметим, что в [21] при определении минимального заполнения рассматривались изометрические вложения во всевозможные метрические пространства. Как уже отмечалось, кратчайшую сеть можно определить в произвольном метрическом пространстве. Это определение довольно громоздко (в общем метрическом пространстве нет никаких отрезков), и мы не используем его в данной работе. Что касается приведенного определения длины минимального заполнения, то оно совпадает с оригинальным, поскольку всякое метрическое пространство изометрично вкладывается в некоторое банахово пространство.

Для трехточечного пространства М3 = ({х!, х2, х3}, р) известно (см. [21]),

|Ш|(Мз) = р(х!,х2) + р(х2,х3) + р(х1, х3) ^

Для четырехточечного пространства М4 = ({х!, х2, х3}, р) длина минимального заполнения вычисляется (см. [21]) по формуле

И(М4) = Р<М4)+ ,

2

где Р(М4) и р(М4) — максимальная и минимальная из сумм р(х!,х2) + р(х3,х4), р(х!,х3) + р(х2,х4) и р(х2,х3) + р(х!,х4). Для произвольных конечных метрических пространств величина |ш£|(М) может быть вычислена по некоторой переборной формуле, которая получена А.Ю. Ереминым [18]. Для пятиточечных множеств эта формула упрощена в [5].

Определение длины минимального заполнения не фиксирует топологию сети. В то же время можно рассматривать сети с какой-то заданной топологией, искать среди них кратчайшие и определять соответствующие минимальные заполнения по формуле типа (0.1). Например, Б.Б.Беднов [4] нашел длину минимального заполнения для сетей типа звезды (все ребра сети имеют одну общую вершину, точки ^(М) из формулы типа (0.1) соединяются

со своей точкой Штейнера). Как оказалось, это было сделано ранее в работе [59], но в других терминах.

Говорят, что банахово пространство X реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества M, тел и |smt|(M, X) = |mf |(M) и множество smt(M, X) непусто.

Пусть (M, р) — конечное метрическое пространство. Множеством mf(M) назовем множество кратчайших сетей из smt(^(M),Y) в банаховых пространствах У, которые реализуют минимальное заполнение для образов ^(M) при изометрическом вложении M.

В работе [6] было доказано, что банахово пространство реализует минимальное заполнение для всякого своего конечного подмножества тогда и только тогда, когда оно предуально к Li. Напомним определение и свойства этих пространств.

Пусть n > 3 — натуральное число. Говорят, что банахово пространство X обладает свойством п.2.1.Р. (п.2 Intersection Property), если всякиеn попарно

X

Теорема А. (Гротендик [44], Линденштраусс [52], см. также [51]). Для

X

лентны:

(1) X обладает свойством п. 2.1. Р. для всякого n > 3;

(2) X обладает свойством 4-2.1.Р.;

(3) X* изометрически изоморфно Li(^) = Li(E, £,д) для некоторого множества E, некоторой а-алгебры £подмножеств E и некоторой а-аддитивной меры ц, определенной на £;

(4) X** 1-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве Z (то есть существует линейный проектор P : Z ^ X** нормы 1).

Пространства, удовлетворяющие свойствам из теоремы А, называются

предуальными к или пространствами Линденштраусса. К этому классу пространств относятся все пространства С(ф) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте пространство с0 сходящихся к нулю последовательностей, пространство^ ограниченных последовательностей с равномерной нормой и многие другие. Пространство конечной размерности п предуально к тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно ¿П-

Результат из [6], в частности, означает, что длина кратчайшей сети для конечного множества М в предуальном к пространстве зависит только

М

чайших сетей имеет место и в гильбертовом (евклидовом) пространстве Н, поскольку всякие два набора точек в Н с одинаковыми попарными расстояниями получаются друг из друга изометрией всего пространства Н. В связи с этим возникает вопрос, поставленный в [6]: в каких банаховых пространствах для всякого натурального п величина ... , Хп}^) зависит только

от попарных расстояний между точками Хк £ X (к = 1,... , п)?

В первой главе диссертации показано, что кроме гильбертовых и преду-альных к пространств таких банаховых пространств больше нет.

Отметим, что есть и другие характеризации банаховых пространств в терминах кратчайших сетей. Например, как показано в [32], действительное банахово пространство X размерности не меньше 3 является гильбертовым тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка любых трёх точек изX содержит их точку Штейнера. Доказана [6] также характеризация пространствЬ\. это в точности такие банаховы пространства X, что для любого трехточечного множества М3 С X выполнено |smt|(M3,X) = |ш£|(М3) и smt(M3,X) состоит из единственной сети. В связи с этим отметим, что пространства обладают свойством 3.2.1.Р., но, вообще говоря, не являются предуальными

к (ср. с теоремой А).

Для всякого конечного подмножества М банахова пространства X выполнено очевидное неравенство |бш^(м, X) > |ш£|(М). Возникает вопрос: во сколько раз величина |бш^(м, X) может быть больше величины |ш£|(М) для какого-либо конечного множества М в банаховом пространстве X? Как уже отмечалось, в [6] показано, что равенство |бш^(м, X) = |ш£|(М) справедливо для каждого конечного подмножества М С X тогда и только тогда, когда X является пространством, предуальным кЬ^ В конечномерном случае это пространства, изометрически изоморфные ¿П •

Для произвольного метрического пространства X А.О. Иванов и А.А.Тужилин [21] ввели суботношение Штейнера

) = 1п£ (, |ш£|((М: М С X1 ,

М

В работе [26] показано, что для всякого метрического пространства X справедливы неравенства

1 < ббг^) < 1, (0.3)

2

и построены примеры метрических пространств, удовлетворяющих равенству ббг^ ) = 1/2. Кроме того, в [26] в ведено п-точечное суботношение Штейнера

(у) • £ Г |ш£|(Мп) _ у 1

) = 1п£ < 1---- : М — п-точечное подмножество в^ > ,

Ош^Ми^) ]

отмечено неравенство

п

ббгп^) >--- п = 2,3,... (0.4)

2(п — 1)

и приведен пример метрического пространства X, для которого это неравенство обращается в равенство.

Во второй главе диссертации оценки (0.3) и (0.4) уточняются для банаховых пространств. Именно, доказана точность оценки (0.4) для банаховых пространств и построен пример банахова пространства X с ббг^) = 1/2.

Добавим, что помимо суботношения Штейнера имеется и понятие отношения Штейнера, определяемого как инфимум отношений длины кратчайшей

ММ шения Штейнера вычисляются и оцениваются в книгах [38] и [22].

При доказательстве результатов первой и второй глав используются понятия и методы геометрии банаховых пространств и геометрической теории приближений. Ключевую роль играет понятие метрической проекции на подпространство банахова пространства. Напомним соответствующие определения.

Пусть (X, \\ • \\) — банахово пространство, У — его подмножество,

р(х,У) = т£{\\х — у\\ : у Е У}

— расстояние от элемента х Е X до У,

Ру(х) = {у Е У : \\х — у\\ = р(х, У)}

— множество ближайших к х элементов из У. Множество У называется че-бышевским, если для каждого х Е X метрическая проекция Ру (х) состоит ровно из одного элемента.

Ру

У

предмет так называемой геометрической теории приближений, берущей свое начало в работах П.Л. Чебышева [29], А. Хаара [45], А.Н. Колмогорова [23], Н.В. Ефимова и С.Б.Стечкина [19], [20]. В настоящее время геометрическая теория приближений — обширная область на стыке теории приближений и

геометрии банаховых пространств, содержащая множество глубоких результатов и давно стоящих нерешенных задач. Наиболее полно геометрическая теория приближений отражена в обзорах [15], [14], [56], [3], [1], [2].

Кратчайшая сеть, затягивающая точки х1,..., хп в банаховом пространстве X, рассматривается нами как элемент метрической проекции некоторой точки, порождаемой набором х1,... , хп в специальном банаховом пространстве — произведении нескольких копий исходного пространства X, на специальное подпространство этого пространства. Например, кратчайшей сети для трех точек х1, х2, х3 в X, то есть точке Штейнера в Е в£(х1, х2, х3), соот-ветсвует элемент (в, в, в) Е Рв(х1, х2, х3) метрической проекции пространства X х X х X с норм ой \\(а, Ь, с)\\ = \\а\\х + \\&\\х + \\с\\х на диагональное подпространство О = {(ё, ё, ё) : ё Е X}. Это представление о кратчайших сетях существенно используется в доказательствах теорем первой и второй глав диссертации.

В третьей главе исследуется классический вопрос о липшицевости метрической проекции на линейное подпространство банахова пространства. Оператор метрического проектирования на чебышевское подпространство бывает разрывным [56], [36], бывает непрерывным, но нелипшицевым (например, оператор метрического проектирования на подпространство многочленов степени не выше п > 2 в пространстве С[0,1] — см., напр., [28]), и очень редко бывает линейным [55]. В случае нечебышевских подпространств исследуется возможность выделить хорошие (линейные, липшицевы, непрерывные) выборки из метрической проекции. В частности, исследовались липшицевы выборки из отображения Штейнера в различных банаховых пространствах (см. [7] и библиографию в этой работе).

Более конкретно, нас интересует вопрос: во всяком ли конечномерном нормированном пространстве размерности не меньше трех найдется чебы-

шевская прямая с липшицевой метрической проекцией?

Приведем краткую историю этого вопроса. Во всяком конечномерном пространстве X на сфере S(X) есть достижимые точки, то есть такие точки р, что некоторая опорная к S(X) гиперплоскость П(р) пересекает S(X) только в точке р. Подпространства коразмерности 1, параллельные таким гиперплоскостям П(р), являются чебышевскими с линейной метрической проекцией. Задача о существовании нетривиальных чебышевских подпространств кораз-

>2

[ ] [ ]

евклидовом пространстве совокупность концов единичных векторов с началом в нуле и параллельных ненулевым отрезкам, лежащим на поверхности этого тела, образует множество сигма-конечной линейной меры Хаусдорфа на двумерной евклидовой единичной сфере, в частности, имеет двумерную меру нуль. Если выпуклое тело — это единичный шар какого-либо банахова пространства, то прямая, проходящая через невырожденный отрезок, лежащий на границе шара, не является чебышевской прямой, поскольку множество

ближайших к нулю элементов этой прямой содержит целый отрезок. Из упо-

[ , ]

ная мера концов единичных векторов, параллельных не чебышевским прямым, равна нулю. Следовательно, концы единичных векторов, порождающих чебышевские прямые, образуют множество полной меры на сфере. Таким образом, чебышевских прямых во всяком трехмерном банаховом пространстве «много». Позже В.А.Залгаллер в [17] обобщил этот результат, доказав, что в определенном смысле почти все к-мерные подпространства в п-мерном пространстве являются чебышевскими (1 < к < п — 1).

Пусть У — чебышевская прямая в банаховом пространстве X. В случае конечномерного X оператор метрического проектирования непрерывен.

[]

ское подпространство пространства X липшицева тогда и только тогда, когда

она равномерно непрерывна на X. Равномерная непрерывность метрической

[ ] [ ]

У

Ру

конечномерном пространстве X — это почти все прямые в X [17], то интересен вопрос: существует ли конечномерное банахово пространство X, в котором оператор метрического проектирования на любую чебышевскую прямую нелипшицев? В третьей главе построен пример такого банахова пространства.

Цель работы. Исследование метрических свойств кратчайших сетей в банаховых пространствах, связанных с понятием минимального заполнения, а также исследование свойств метрической проекции на подпространства банаховых пространств.

Научная новизна. В диссертация получены следующие новые результаты.

1) Описаны банаховы пространства, в которых длина кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками.

п

точечных множеств в банаховых пространствах.

3) Построен пример банахова пространства с минимально возможным суботношением Штейнера.

4) Построен пример трехмерного строго выпуклого нормированного пространства, в котором метрическая проекция на всякую прямую нелипшицева.

Методы исследования. В работе используются различные методы функционального анализа, метрической геометрии, выпуклой геометрии, ли-

нейной алгебры, теории приближений, теории меры.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории кратчайших сетей, в геометрии банаховых пространств, в геометрической теории приближений, теории экстремальных задач.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре «Геометрическая теория приближений» под руководством П.А. Бородина (неоднократно), на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством Б.С.Кашина, C.B. Коняги-на, Б.И. Голубова и М.И. Дьяченко (2018 г.), на школе-конференции С. Б. Стечкина по теории функций (Миасс, 2017 г.), на Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2018 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2019 г.), на конференция «Теория приближений и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (Москва, 2021 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора в журналах из баз данных Web of Science и Scopus, а также представлены в тезисах нескольких международных конференций. Список этих работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 64 наименований. Общий объем диссертации — 64 страницы. В каждой главе принята сквозная нумерация теорем, лемм, примеров, формул и рисунков.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации описываются банаховы пространства X, в

п

ство Ы С X, зависит только от попарных расстояний между точками Ы. При этом соответствующие классы пространств X выделяются для п = 3,4 в зависимости от наличия отрезков на единичной сфере Б(X).

Напомним, что банахово пространство X называется строго выпуклым, если Б(X) не содержит невырожденных отрезков.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть действительное банахово пространство X реализует, кратчайшие сети для всех своих конечных подмножеств.

(1) Если X не строго выпуклое пространство, то длина кратчайшей сети для всяких трех его точек зависит, только от попарных расстояний между этими точками тогда и только тогда, когда X обладает свойством З.2.1.Р.

(2) Если X не строго выпуклое пространство, то длина кратчайшей сети для всяких четырех (а значит,, и для трех) его точек зависит, только от попарных расстояний между этими точками тогда и только тогда, когда X предуально к .

(3) Есл и X строго выпуклое пространство, то длина кратчайшей сети для всяких трех его точек зависит, только от попарных расстояний между этими точкам тогда и только тогда, когда X гильбертово.

следствие 1.1.1. В действительном банаховом пространстве X, реализующем кратчайшие сети для всех своих конечных подмножеств, длина кратчайшей сети зависит, только от попарных расстояний между точками тогда и только тогда, когда X либо предуально к либо гильбертово.

п

стве X длина кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками тогда и только тогда, когда X изоморфно либо либо

пи

'00 '

Во второй главе диссертации найден минимум суботношения Штейнера п

конечномерного банахова пространства с минимально возможным суботношением Штейнера.

ТЕОРЕМА 2.1. Для всякого п = 2,3,... существует такое банахово пространство Xu—1 размерноети п — 17 что

п

ввГи 1) = ^ввГи^) =

х и ' 2(п — 1)'

ТЕОРЕМА 2.2. Существует банахово пространство с су бот,ношением, Штейнера, равным 1/2.

В третьей главе диссертации построено банахово пространство с нелип-шицевой метрической проекцией на всякую прямую.

ТЕОРЕМА 3.1. Существует строго выпуклое трехмерное банахово пространство, в котором оператор метрического проектирования на любую прямую (поскольку пространство строго выпуклое, все прямые являются чебышевскими) не является липшицевым.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю П.А. Бородину за постановку задач, их обсуждение и поддержку в работе.

Глава I. Банаховы пространства, в которых длина кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками

В этой главе мы докажем следующие результаты.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть действительное банахово пространство X реализует, кратчайшие сети для всех своих конечных подмножеств.

(1) Если X не строго выпуклое пространство, то длина кратчайшей сети для всяких трех его точек зависит, только от попарных расстоя-

X

ством 3.2.I.P.

(2) Если X не строго выпуклое пространство, то длина кратчайшей сети для всяких четырех (а значит,, и для трех) его точек зависит, только от попарных расстояний между этими точками тогда и только тогда, когда X предуально к Li.

(3) X

для всяких трех его точек зависит, только от попарных расстояний между

X

Отметим, что это не первое свойство, за которое отвечает класс преду-альных к Li и гильбертовых пространств. В работе [33, Theorem 2.11] было дано следующее достаточное условие: если в действительном банаховом пространстве X всякое липшицево отображение M ^ X любого подмножества M С X продолжается па всё пространство с той же константой Липшица, то

X Li

X

лизующем кратчайшие сети для всех своих конечных подмножеств, длина

кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками тогда и только тогда, когда X либо предуально к L1; либо гильбертово.

СЛЕДСТВИЕ 1.1.2. В n-мерном действительном банаховом простран-X

между точками тогда и только тогда, когда X изоморфно либо либо

пи ^œ*

§1. Вспомогательные результаты

Для всякого банахова пространства X ниже через S(X) обозначаем его единичную сферу.

Для элемента x G X, x = 0, положим

J(x) = {f G S(X*): f (x) = ||x||} ,

(x) = {Ax,A G R} .

ЛЕММА A. ([27]) В произвольном банаховом пространстве X точка s является точкой Штейнера тройки x1, x2, x3 тогда и только тогда, когда найдутся такие функционалы f1, f2, f3 G X*7 что 1) ||fk|| < 1

2) fi + f2 + f3 = 0,

3) fk(xk - s) = ||xk - s||,k = 1, 2, 3.

X

странство, a,b,c G X. Функцияp(t) = ||a — (tb +(1 — t)c)| t G R, расстояния от точки a до точек прямой bc выпукла, и ее любой локальный минимум является глобальным минимумом.

Для всякого x G X x = 0, положим

V (x) := {y G X : y = 0, f G J (x), f G J (y ) : f + f || < 1}.

18

Отметим, что включения y G V(ж) и x G V(y) равносильны.

Положим Rb(x) := {||x — y|| : ||y|| = b, y G V(x)}.

ЛЕММА 1.1. Пусть в банаховом пространстве X длина кратчайшей сети для всяких трех точек зависит, только от попарных расстояний между ними, x,y G X x = 0 и ||y|| = b > 0. Тогда, следующие условия эквивалентны:

1) 0 G st(x, 0, y) (|st|(x, 0, y) = ||x|| + b);

2) y G V(x);

3) ||x — y|| G Rb(x).

доказательство. Равносильность 1)^ 2) следует из леммы а и определения V (x).

Импликация 2)^ 3) верна по определению R&(x).

3)^ 1). Рассмотрим точку y' G V(x) ||y'|| = b, для шторой ||x—y'|| = ||x — y||. Длина дерева Штейнера для точек x, 0,y' равна ||x|| + b (следует из уже доказанной равносильности утверждений 1) и 2)). Треугольники x0y' и x0y имеют равные стороны. Следовательно, по условию длины их кратчайших сетей тоже равны, то есть |st|(x, 0,y) = ||x|| + b, и 0 G st(x, 0,y).

Лемма доказана.

X

mu для всяких трех точек зависит, только от попарных расстояний между ними. Пусть x,y G X, ||x|| = а > 0 ||y|| = b > 0. Тогда, верны, следующие утверждения:

1) множество Rb(x) содержит свою точную нижнюю грань.

2) Rb(x) = Ra(y)7 и оба, этих множества зависят только от а и b. Доказательство. 1) Пусть cn g Rb(x) и cn ^ inf Rb(x), n ^ œ. Так

как числа ||x||, cn и b по определению множества Rb(x) являются длинами сторон какого-то треугольника, то для этих величин выполняются нера-

венства треугольника. Поэтому в произвольном двумерном подпространстве пространства X, содержащем точку ж, можно взять такую последовательность точек {yn} с нормами, равными b, что ||ж — yn|| = cn. Поскольку подпространство конечномерно, то найдется предельная точка y0 подпоследовательности {yn}. Тогда ||y0|| = b и ||ж — y0|| = inf Яь(ж). По лемме 1.1 |st|(x, 0,yn) = ||ж|| + b. Длина дерева Штейнера непрерывно зависит от точек, следовательно, |st|(ж, 0,y0) = ||ж|| + b, откуда по лемме 1.1 получаем, что y0 Е V(ж), то есть ||ж — y0|| = minRb(x).

2) Возьмем такую точку ж' Е V(у), что ||ж'|| = a и ||ж' — y|| Е Ra(y) По лемме 1.1 |st| (ж', 0, y) = a + b. Так гак числа a, b, ||ж' — y || являются сторонами треугольника ж'0у, то для этих величин выполняются неравенства треугольника. Поэтому существует такая точка у', что ||y'|| = b и ||ж — y'|| = 11ж' — y ||. Из равенств сторон треугольников ж'Оу и жОу' по условию получаем, что |st | (ж, 0,y') = |st | (ж', 0,y) = a + b. По лемме 1.1 последнее равносильно ||ж — y'|| Е Rb(ж), значит, и ||ж' — y|| Е Яь(ж^. Поскольку ||ж' — y|| может принимать любое значение в Ra(y), то R&^) С Ra(y)• Аналогично доказывается обратное включение. Следовательно, Rb^) = Ra(y). Из этого равенства

ж y | ж| = a | y| = b

ab

Лемма доказана.

Пусть в банаховом пространстве X длина кратчайшей сети для всяких

ж, y Е

X ||ж|| = a, ||y|| = b. Положим R(a,b) := minRb^) = minRa(y). По лемме R(a, b) a b

§2. Случай нестрого выпуклого пространства

1) Достаточность в утверждении (1) следует из теоремы 1 статьи [6], часть этой теоремы мы запишем в виде леммы:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бурушева Лейла Шариповна, 2022 год

Список литературы

[1] А.Р.Алимов, И. Г. Царьков, Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи матем. паук, 71:1(427) (2016), 3-84.

[2] А.Р.Алимов, И. Г. Царьков, Чебышёвский центр множества, константа

//

[3] B.C. Балаганский, Л.П.Власов, Проблема выпуклости чебышевских

//

//

сборник, 207:8 (2016), 31-46.

[5] Б.Б. Беднов, Длина минимального заполнения пятиточечного метриче-

//

вып. 6, 3-8.

[6] Б.Б. Беднов, П.А.Бородин, Банаховы пространства, реализующие ми-

//

[7] Б.Б. Беднов, П.А.Бородин, К.В. Чеснокова, Существование липшице-

//

[8] Б.Б. Беднов, Н.П. Стрелкова, О существовании кратчайших сетей в ба-

//

[9] В. И. Бердышев, Пространства с равномерно непрерывной метрической

//

[10] В. Бляшке, Круг и шар, М., Наука, 1967.

[11] П.А. Бородин, Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство // Матем. заметки, 85:2 (2009), 180-188.

[12] П.А. Бородин, Пример несуществования точки Штейнера в банаховом

//

[13] Д.Ю.Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В.. Иванов, Курс метрической геометрии, М. Ижевск. 2004.

[14] Л.П. Власов, Аппроксимативные свойства множеств в линейных норми-

//

[15] А.Л. Гаркави, Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах, Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1967, М., ВИНИТИ, 1969, 75-132.

[16] А.Л. Гаркави, В.А. Шматков, О точке Ламе и ее обобщениях в нормиро-

//

[17] В.А. Залгаллер, О k-мерных направлениях, особых для выпуклого тела F в Rn // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 27 (1972), 67-72.

[18] А.Ю. Еремин, Формула веса минимального заполнения конечного мет-

//

[19] Н.В.Ефимов, С.В.Стечкин, Некоторые свойства чебышевских мно-

//

[20] Н.В.Ефимов, С.В.Стечкин, Аппроксимативная компактность и чебы-

//

[21] А.О. Иванов, A.A. Тужнлнн, Одномерная проблема Громова о мини-

//

[22] А.О.Иванов, A.A.Тужи.шн. Теория экстремальных сетей, М. Ижевск. 2003.

[23] А.И. Колмогоров, Замечания по поводу многочленов П.Л. Чебышева,

//

3:1 (1948), 216-221.

[24] Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? М.-Ижевск, 2001.

[25] К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, М., Наука, 1985.

[26] A.C. Пахомова, Оценки для суботношения Штейнера и отношения

//

вып. 1, 17-25

[27] Г.Ш. Рубинштейн, Об одной экстремальной задаче в линейном порми-

//

[28] Изложение лекций С. Б. Стечкина по теории приближений, Екатеринбург, изд-во УрО РАН, 2010.

[29] П.Л. Чебышев, Вопросы о наименьших величинах, связанных с прибли-

//

собр. соч., Т. 2. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1947, 151-235.

[30] И.М.Яглом, В.Г. Ашкинузе, Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия, М., Учпедгиз, 1962.

[31] M.Baronti, Е. Casini, P.L. Papini, Equilateral sets and their central points //

[32] C. Benítez, M.Fernández, M.L.Soriano Location of Fermat-Torricelli medians of three points // Trans. Amer. Math. Soc., 354:12 (2002), 50275038.

[33] Y. Benyamini, J. Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis // Colloquium Publications, 48, American Mathematical Society, Providence (2000).

[34] A.S. Besicovitch, On the set of directions of linear segments on a convex

//

24-25.

[35] M. Baronti, E. Casini, P. L. Papini, Equilateral sets and their central points

//

[36] E.W.Cheney, D.E.Wulbert, The existence and unicity of best

//

[37] D.Cieslik, Steiner Minimal Trees, Springer, 1998.

[38] D.Cieslik, The Steiner Ratio, Springer, 2001.

[39] E.W. Cheney, Introduction to approximation theory, American Mathematical Society, Providence, 1998.

[40] C.F.Gauss, Briefwechsel Gauss-Schuhmacher, Werke Bd. X, 1, Gottingen, 1917, 459-468.

[41] H. Edelsbrunner, A. Ivanov, R. Karasev, Current Open Problems in Discrete

//

5-17.

[42] R.Holmes, B.Kripke, Smoothness of approximation // Michigan Math. J., 15:2 (1968), 225-248.

[43] F.K.Hwang, D.Richards, P.Winter, The Steiners Tree Problem, Elsevier Science Publishers, 1992.

[44] A. Grothendieck, Une caractérisation vectorielle-métrique des espaces L1 // Canad. J. Math., 7 (1955), 552-561.

[45] A. Haar, Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige

//

[46] A.O. Ivanov, A.A. Tuzhilin, Minimal networks: the Steiner problem and its generalizations, CRC Press, Boca Raton Ann Arbor, London-Tokyo, 1994.

[47] V. Jarnik, M.Kössler, O minimâlnich grafech, obsahujicich n danych bodu //

//

Ann. Math., 36:3 (1935), 719-723.

[49] V. Kadets, Under a suitable renorming every nonreflexive Banach space has

//

197-200.

//

Funct. Anal., 119:2 (1994), 253-280.

[51] A. Lima, Intersection properties of balls and subspaces in Banach spaces //

//

Soc., 48 (1964), 1-112.

[53] T.J. McMinn, On the line segments of a convex surface in E3 // Pacific J. Math., 10:3 (1960), 943-946.

//

Sociedad de Estadística e Investigación Operativa Top, 13:2 (2005), 315320.

[55] W. Rudin, К.Т. Smith, Linearity of best approximation: a characterization

//

[56] I. Singer, Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces, Springer, 1970.

[57] L.Vesely, A characterization of reflexivity in the terms of the existence of

//

//

Univ. Comenianae, 66:1 (1997), 83-115.

//

Theory, 2 (1967), 514-522.

Работы автора по теме диссертации:

[60] Л. Ш. Бурушева, Банаховы пространства, в которых длина кратчайшей

//

сборник, 210:3 (2019), 3-16.

[61] Л. Ш. Бурушева, Суботношение Штейнера в банаховых пространствах //

[62] Л. Ш. Бурушева, Пример банахова пространства с нелипшицевой метрической проекцией на всякую прямую// Матем. заметки, 109:2 (2021), 196-205.

Тезисы конференций:

[63] Л.Ш. Бурушева, Банаховы пространства, в которых длина кратчайшей

//

менные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы 19-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, 2018, стр. 69.

[64] Л.Ш. Бурушева, Суботношение Штейнера в банаховых пространства, Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 2019, стр. 63.