Вычислительные методы трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Шапошникова, Елена Владимировна

• Шапошникова, Елена Владимировна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шапошникова, Елена Владимировна

Введение.

Глава 1. Метод вычислительной томографии.

1.1. Задача восстановления функции по ее линейным интегралам.

1.2. Метод двумерной томографии.

1.2.1. Схемы сканирования в двумерной томографии.

1.2.2. Решение двумерной задачи.

1.2.3. Алгоритмы двумерной томографической реконструкции.

1.3. Метод трехмерной томографии в конусе лучей.

1.3.1. Постановка трехмерной задачи и методы решения.

1.3.2. Формула точной трехмерной томографической реконструкции.

1.3.3. Приближенные алгоритмы трехмерной томографии.

1.4. Выводы по главе.

Глава 2. Исследование достоверности алгоритма трехмерной томографической реконструкции.

2.1 Формулы лучевого преобразования простых объектов.

2.1.1. Формула лучевого преобразования для куба.

2.1.2. Формула лучевого преобразования для шара.

2.2. Достоверность трехмерной реконструкции для траектории источника излучения, состоящей из двух окружностей.

2.3. Достоверность трехмерной реконструкции при наличии шума.

2.4. Выводы по главе.

Глава 3. Преобразование формулы обращения.

3.1. Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования на единичной сфере.

3.2. Формула трехмерной реконструкции для плоского детектора

3.2.1. Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования в плоскости детектора.

3.2.2. Сравнение алгоритмов реконструкции.

3.3. Выводы по главе.

Глава 4. Программное обеспечение трехмерной томографической реконструкции.

4.1. Программа для вычисления рентгеновских проекций и выполнения трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей.

4.2. Применение параллельных вычислений для выполнения трехмерной томографической реконструкции.

4.3. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные методы трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей»

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются методы, формулы и алгоритмы трехмерной вычислительной томографии по данным в конусе лучей.

Актуальность работы. Под вычислительной диагностикой, к методам которой относится компьютерная томография, понимается совокупность методов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Вычислительная диагностика имеет дело с большим объемом информации об объекте, обработка и интерпретация которой невозможна без применения современных методов вычислительной математики, развитого программного обеспечения и высокопроизводительных средств вычислительной техники.

Принципиальное отличие реконструктивной вычислительной томографии от традиционной заключается в том, что в вычислительной томографии используется сложная математическая обработка, представляющая собой, как правило, решение обратной задачи. На сегодняшний день вычислительная томография представляет собой сформировавшееся научное направление со своим кругом задач и методами их решения.

Значительный прогресс метода компьютерной томографии обусловлен его преимуществом перед многими другими методами диагностики. Отличие этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах.

Важнейшей частью томографии является математическое и программное обеспечение, реализующее алгоритмы томографической реконструкции. Математическая база реконструктивной томографии была создана И. Радоном еще в 1917 году, однако, методы двумерной вычислительной томографии начали активно развиваться только в 60-х годах прошлого века. В последние десятилетия XX века и в настоящее время создаются и развиваются методы трехмерной реконструктивной томографии по данным в конусе лучей. Толчком к созданию и бурному развитию метода трехмерной томографии стала необходимость разработки метода вычислительной диагностики, отличающегося высокой скоростью получения данных и достоверностью реконструкции. К основным приложениям трехмерной реконструктивной томографии могут относиться: медицинская диагностика, неразрушающая диагностика промышленных изделий, реконструкция объектов в электронной микроскопии, задачи геофизики.

Для решения задачи томографической реконструкции по данным в конусе лучей получены аналитические формулы обращения, однако, при создании по этим формулам численных алгоритмов и исследовании их работы на реальных системах, возникают проблемы, связанные с достоверностью и эффективностью вычислений. Таким образом, существует необходимость разработки методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.

На сегодняшний день широкое распространение получили приближенные алгоритмы трехмерной томографии, но необходимо отметить, что следствием приближенного решения задачи трехмерной томографической реконструкции является ухудшение качества изображения, в частности, появление артефактов при увеличении угла конуса рентгеновского пучка.

Большой объем вычислений, необходимый в точной трехмерной томографии, требует применения метода быстрых вычислений на основе кластерных технологий.

Важность обсуждаемого вопроса подтверждается также большим количеством международных конференций по данной тематике, проводимых в настоящее время.

Цель работы. Разработка методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.

Задачи исследования

1. Уточнение алгоритма томографической реконструкции для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух окружностей, с целью наиболее достоверного восстановления изображения.

2. Приведение формулы обращения лучевого преобразования к форме, позволяющей не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.

3. Исследование устойчивости алгоритма томографической реконструкции к случайным помехам.

4. Разработка программного обеспечения на основе созданных методов и алгоритмов, в том числе с применением параллельных вычислений.

Методы исследований. Полученные результаты основаны на применении численных методов, методов математического анализа, параллельных вычислений и моделирования на ЭВМ.

Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием программного обеспечения, реализованного на С++.

Научную новизну представляют следующие методы и формулы трехмерной томографии.

1. Для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наилучшее восстановление в заданной точке.

2. Для рассматриваемой схемы получения данных определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей, и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.

3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.

Достоверность результатов подтверждается компьютерным моделированием с использованием разработанных тестовых объектов и публикацией материалов, в том числе в рецензируемых изданиях.

Практическая значимость и реализация результатов.

Полученные методы и формулы и созданное на этой основе программное обеспечение могут быть использованы:

- в промышленных и медицинских томографах нового поколения с соответствующей схемой сбора информации;

- при исследовании алгоритмов томографии в конусе лучей на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Методы и формулы трехмерной томографии, предложенные в диссертационной работе, использовались для разработки вычислительных алгоритмов трехмерной томографической реконструкции в рамках проекта «Сервер условно-корректных задач», осуществляемого при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

Материалы диссертации использовались в учебном процессе НГТУ при выполнении выпускных магистерских работ в процессе подготовки магистров по направлению 23010068 "Информатика и вычислительная техника".

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверную реконструкцию в заданной точке для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях.

2. Для рассматриваемой схемы получения данных определение направлений, на которых достоверность реконструкции объекта будет наибольшей или наименьшей.

3. Выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.

4. Разработанное на основе предложенных методов и алгоритмов программное обеспечение, в том числе с использованием параллельных вычислений, позволяющее выполнять восстановление изображений и исследовать алгоритмы на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на:

1. Международной конференции «Перспективные методы томографической диагностики: разработка и клиническое применение» (Томск, 26-27 июня, 2003)

2. 8th Korea-Russia International symposium on science and technology KORUS (Tomsk, June 26 - July 2,2004)

3. International conference Inverse problems: Modeling and Simulation (Fethiye, Turkey, June 7-12,2004)

4. Конференции-конкурсе работ студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в информатике и программировании» (Новосибирск, 21-23 февраля 2004)

5. II Международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» (Москва, 4-6 октября, 2004)

6. Научно-технической конференции "Томография" (Москва, 22 марта, 2005)

7. The IASTED International Conference on Automation, Control and Applications (Novosibirsk, June 20-24,2005)

Работа частично поддержана грантами РФФИ (№№ 03-01-00910,03-0790060, 05-01-10667, 06-01-81000), 2002-2005 гг., грантами фонда Научный потенциал за 2004,2005 гг., грантом INTAS № 03-58-66 на посещение летней школы 6th IEEE EMBS International Summer School on Biomedical Imaging, 2004 г. и грантом WCIPT4 Student Bursaiy, 2005 r.

Личный вклад. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление изображения в заданной точке, модификация формулы обращения лучевого преобразования и разработанное программное обеспечение принадлежат автору.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 6 печатных работ, в их числе 1 статья в центральном издании, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, и 5 докладов в трудах международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 102 наименования, приложений, содержит 45 рисунков, 1 таблицу, общий объем составляет 136 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Шапошникова, Елена Владимировна

Основные результаты работы

1. Для траектории источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление плотности объекта в заданной точке.

2. Для рассматриваемой траектории источника излучения определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.

3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере. В отличие от полученных ранее формул, это выражение позволяет не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.

4. Получены явные формулы для лучевого преобразования куба и шара, которые используются для моделирования трехмерной томографической реконструкции и позволяют установить ряд свойств формул обращения лучевого преобразования.

5. При организации параллельных вычислений предложено два способа организации динамического распределения вычислений для томографической реконструкции: без управляющего процесса и с управляющим процессом.

6. На основе предложенных алгоритмов и методов разработано программное обеспечение, решены прикладные задачи: моделирования точной трехмерной томографической реконструкции; реконструкции приближенными алгоритмами по исходным данным, полученным на реальных томографических системах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шапошникова, Елена Владимировна, 2006 год

1. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. Алгоритмы решения многомерных обратных задач интегральной геометрии и комплексы прямых и плоскостей. // Методы решения некорректных задач. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1990. С. 36-44.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.632 с.

3. Благовещенский А.С. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. // Математические заметки. 1986. - Т. 39. - № 6. - С. 841-849.

4. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 600 с.

5. Гельфанд И. М. Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений // УМН. -1960. -№ 2. С. 155-164.

6. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2000. - 208 с.

7. Денисюк А. С. Исследование по интегральной геометрии в вещественном пространстве: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. Наук. М., 1991.-16 с.

8. Жирнов В. Т., Смирнов К.К., Трофимов О.Е. О численных методах решения задач томографии. // Методы и средства обработки изображений. Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР, 1982. - С.105-114.

9. Календер В. Компьютерная томография. М.: Техносфера, 2006. -344 с.

10. Касьянова С. Н., Трофимов О. Е. Компьютерное моделирование алгоритма трехмерной томографии для траектории источника,состоящей из двух пересекающихся окружностей // Автометрия. -1996.-№6.-С. 50-59.

11. Касьянова С. Н., Трофимов О. Е. Формулы обращения для томографической реконструкции при использовании плоского детектора // Автометрия. 2000. - № 3. - С. 32-44.

12. Кириллов А. А. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Доклады Академии наук СССР. -1961. Т. 137. - №2. - С. 276-277.

13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М: Наука, 1972. - 496 с.

14. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М: МЦНМО, 1999. - 960 с.

15. Корнеев В. Д. Параллельное программирование в MPI. -Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. 215 с.

16. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976. - 304 с.

17. Лаврентьев М. М., Зеркаль С. М., Трофимов О. Е. Численное моделирование в томографии и условно-корректные задачи. -Новосибирск: Изд-во ИДМИ НГУ, 1999. 171 с.

18. Лихачев А. В., Пикапов В. В. Синтезированный алгоритм трехмерной томографии. // Математическое моделирование. 1998. - № 1. - С. 73-75.

19. Луис А. К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной томографии // ТИИЭР, 1983. Т. 71, № 3. С. 111125.

20. Маковски А. Физические проблемы реконструктивной томографии // ТИИЭР, 1983. Т. 71, № 3. - С. 104-111.

21. Мерсеро Р. М., Оппенхейм А. В. Цифровое восстановление многомерных сигналов по их проекциям // ТИИЭР, 1974. Т. 67, № 10.-29-51.

22. Моли Б. Unix/Linux. Теория и практика программирования. -КУДИЦ-Образ, 2004. 576 с.

23. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.-288 с.

24. Немнюгин С., Стесик О. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 400 с.

25. Пикалов В. В. Пакет прикладных программ, ориентированный на задачи вычислительной томографии. // Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск, 1985.-С. 132-135.

26. Реконструктивная вычислительная томография: Тематический вып. // ТИИЭР, 1983. Т. 71, № 3. -192 с.

27. Страуструп Б. Язык программирования С++. СПб.; М.: Невский диалект - Издательство БИНОМ, 1999.-991 с.

28. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии. М.: Физматлит, 2004. - 320 с.

29. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.

30. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. -160 с.

31. Трофимов О. Е. К задаче восстановления функции по ее интегралам вдоль прямых, пересекающих заданную кривую // Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. -1991.

32. Трофимов О. Е. Использование формул обращения, содержащих обобщенные функции, при построении алгоритма трехмерной томографической реконструкции. // Автометрия. 1993. - № 2. - С. 55-61.

33. Трофимов О. Е. О преобразовании Фурье лучевых данных. // Автометрия. -1993. № 4. - С. 110-112.

34. Трофимов О. Е. О численных алгоритмах трехмерной томографической реконструкции. // Автометрия. 1992. - № 1. - С. 181-186.

35. Формалев В. Ф., Ревизников Д. JI. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. - 400 с.

36. Хахлютин В.П. О восстановлении функции по ее интегральным характеристикам на линейных многообразиях и примыкающие вопросы // Препринт. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. - 35 с.

37. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

38. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983. - 352 с.

39. Ценсор Я. Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды // ТИИЭР. 1983. - Т.71. - № 3. - С. 148-160.

40. Шапошникова Е. В. О точности определения границ объекта при томографической реконструкции в конусах лучей. // Автометрия. -2004. -№1.- С. 36-40.

41. Шапошникова Е. В., Лихачев А. В., Трофимов О. Е. Программная реализация методов трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей // Тез. докл. научно-технической конференции "Томография". Москва, 2005.

42. Шапошникова Е. В., Романенко А. А. Использование параллельных вычислений для моделирования трехмерной томографической реконструкции в конусах лучей // Докл. межд. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления» Москва, 2004. - С. 221-225.

43. Altschuler М. D., Herman G. Т. Fully three-dimensional image reconstruction using series expansion methods // A review of information processing in medical imaging. / Eds. Brill A. B. et al. Oak Ridge, 1977. -P. 124-142.

44. Beattie J.W. Tomographic reconstruction from fan beam geometry using Radon's integration method // IEEE Trans, on Nuclear Science. 1975. -Vol. NS-22. - № 2. - P. 359-363.

45. Colsher J. G. Iterative three-dimensional image reconstruction from tomographic projections // Comput. Graph. Im. Proc. 1977. - № 6. - P. 513-537.

46. Danielsson P.E., Edholm P., Eriksson J., Seger M.M. Towards exact 3D-reconstruction for helical scanning of long objects // Int. Meeting on Fully Three-dimensional Image Reconstruction. -Nemacollin, 1997. P. 1-4.

47. Defrise M., Clack R., Leahy R. A note on Smith's reconstruction algorithm for cone-beam tomography // IEEE Tans. Med. Imag. -1992. Vol. 12. P. 622-623.

48. Eggermont P. P. В., Herman G. Т., Lent A. Iterative algorithms for large partitioned linear systems, with application to image reconstruction // Linear Alg. and its Appl. -1981. № 40. - P. 37-67.

49. Feldkamp L. A., Davis L. C., Kress J. W. Practical cone-beam algorithm // J. Opt. Soc. Am. -1984. -№ 1(6). -P. 21-43.

50. Finch D. V. Cone beam reconstruction with sources on a curve // SLAM J. Appl. Math. 1985. - № 45(4). - P. 665-673.

51. Finch D. V., Solmon D. C. A characterization of the range of the divergent beam X-ray transform // SIAM J. Math. Anal. 1983. - № 14(4). - P. 767771.

52. Finch D. V., Solmon D. C. Stability and consistency for the divergent beam X-ray transform // Mathematical aspects of computerized tomography / Eds. Herman G.T., Natterer F. New York: Springer-Verlag, 1980. P. 100-111.

53. Finch D. V., Solmon 1)7 C. Sums of homogeneous functions and the range of the divergent beam X-ray transform // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. -1982. № 5(4). - P. 363-419.

54. Goitein M. Three-dimensional density reconstruction from a series of two-dimensional projections // Nuclear Instruments and Methods. 1972. -Vol. 101.-P. 509-518.

55. Grangeat P. Mathematical framework of cone beam 3D reconstruction via the first derivative of the Radon transform // Mathematical Methods in Tomography / Eds. Herman G.T., Louis A.K., Natterer F. Springer-Verlag, 1990.-P. 66-97.

56. Grangeat P. Analyse d'un systeme d'imagerie 3D par reconstruction a partir de radiographic X en geometrie conique // These de doctorat. -1987.

57. Grangeat P., Lemasson P., Melennec P., Sire P. Evaluation of the 3-D Radon transform algorithm for cone beam reconstruction // Medical Imaging V: Image Processing. Proc. Of SPIE 1445 / Ed. Loew M. H. -Bellingham: SPIE, 1991,-P.320-331.

58. Image Reconstruction from Projections: Implementation and Applications / Ed. G. T. Herman. Berlin and New York: Springer-Verlag, 1979.252 p.

59. Herman G. Т., Rowland S. W. Three methods for reconstructing objects from X-rays: A comparative study // Computer Graphics and Image Processing. 1973. - Vol. 2. - P. 151 -178.

60. Hamaker C., Smith К. Т., Solmon D. C., Wagner S. L. The divergent beam X-ray transform // Rocky Mount J. of Math. 1980. - № 10(1). - P. 253283.

61. Как A. C., Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. -New York: IEEE, 1988. P. 49-112.

62. Kowalski G., Multislice reconstruction from twin cone-beam scanning // IEEE Trans. Nucl. Sci. -1979. NS № 26(2). - P. 2895-2903.

63. Kudo H., Saito Т. Derivation and implementation of a cone-beam reconstruction algorithm for non-planar orbits // IEEE Trans. On Med. Imag. Vol. 13,№ l.-P. 196-211.

64. Kudo H., Saito T. Feasible cone beam scanning methods for exact reconstruction in three-dimensional tomography // J. Opt. Soc. Am. A. -1990.- Vol.7.-P.2169-2183.

65. Kudo H., Saito T. Helical scan computed tomography using cone-beam projections // Conf. Record of the 1991 IEEE Nuclear Science Symp. and Medical Imaging Conf.-New York: IEEE, 1991.-P. 1958-1962.

66. Likhachov A.V., Shaposhnikova E. V., Trofimov О. E. On the differentiation and integration of ray transform on the unit sphere // The LASTED International Conference on Automation, Control and Applications. Novosibirsk: ACTA Press, 2005 - C. 10-14.

67. Macovski A., Alvarez R.E., Chan J.L.-H., Stonestrom J.P., Zatz L.M. Energy dependent reconstruction in X-ray computerized tomography // Comput. Biol. Med. -1976. Vol. 6. - P. 325-336.

68. Minerbo G. N. Convolutional reconstruction from cone-beam projection data // IEEE Trans. Nucl. Sci. -1979. Vol. NS-26. - P. 2682-2684.

69. Minerbo G. M. Maximum entropy reconstruction from cone-beam projection data // Comput. Biol. Med. 1979. - № 9. - P. 29-37.

70. Nalcioglu O., Cho Z. H. Reconstruction of 3-D objects from cone-beam projections // Proc. IEEE. -1978. Vol. 66. - P.1584-1585.

71. Palamodov V., Denisjuk A. Inversion de la transformation de Radon d'appris des donnres incompletes, C.R.A.S., Paris, t.307, Srr. I, 1988, P. 181-183.

72. Peyrin F. С. The generalized back-projection theorem for cone-beam reconstruction // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1985. - Vol. NS-32. - P. 15121519.

73. Peyrin F., Goutte R., Amiel M. Analysis of a cone-beam x-ray tomographic system for different scanning modes // J. Opt. Soc. Am. A. -1992.-Vol. 9.-P. 1554-1563.

74. Ritman E. L, Robb R. A, Johnson S. A, Chevalier P. A, Gilbert В. K, Greenleaf J. F, Sturm R.E, Wood E. H. Quantitative imaging of the structure and function of the heart, lungs, and circulation // Mayo Clin. Proc. -1978. № 53(1). - P. 3-11.

75. Rizo P., Grangeat P., Sire P., Lemasson P., Melennec P. Comparison of two three-dimensional x-ray cone-beam reconstruction algorithms with circular source trajectories // J. Opt. Soc. Am. A. -1991. Vol. 8. P. 16391648.

76. Robb R. A. X-ray computed tomography: advanced systems in biomedical research // Three-dimensional biomedical imaging. CRC Press, 1985. -Vol.1.-P. 107-164.

77. Robb R. A., Hoffman E. A., Sinak L. J., Harris L. D., Ritman E. L. Highspeed three-dimensional X-ray computed tomography: the Dynamic Spatial Reconstructor // Proc. IEEE. -1983. № 71(3). P. 308-319.

78. Robb R. A., Lent A. N., Gilbert В. K., Chu A. The dynamic spatial reconstructor: a computed tomography system for high-speed simultaneous scanning of multiple cross sections of the heart // J. Med. Syst. 1980. -№4.-P. 253-288.

79. Schlindwein M. Iterative three-dimensional reconstruction from twin cone-beam projections // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1978. - № NS - 25(5). - P. 1135-1143.

80. Shaller S., Stierstorfen K., Bruder H., Kachelnies M., Flohr T. Novel Approximate approach for high-quality image reconstruction in helical cone beam CT at arbitrary pitch. // SPIE Medical Imaging Conference Proc.-2001.-P. 113-127.

81. Shaposhnikova E. On random noise effect on the cone-beam tomographic reconstruction accuracy // Proc. 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004. Tomsk: TPU, 2004.-P. 146-149.

82. Shepp L. A., Logan B. F. Reconstructing interior head tissue from X-ray transmissions // IEEE Trans. Nuc. Sci. 1974. - Vol. 21. - No. 2. - P. 228-236.

83. Shepp L. A., Logan B. F. The Fourier reconstruction of a head section // -IEEE Trans. Nuc. Sci. -1974. Vol. 21. - P. 21-43.

84. Smith B. D. Cone-beam convolution formula // Comput. Biol. Med. -1983.-№13(2).-P. 81-87.

85. Smith B.D. Cone-beam tomography: resent advances and tutorial review // J. Optical Engineering. -1990. № 29(5). - P. 524-534.

86. Smith B. D. Image reconstruction from cone-beam projections: necessary and sufficient conditions and reconstruction methods // IEEE Trans, on Med. Imag. -1985. P. 14-25.

87. Smith B. D., Chen J. Implementation, investigation and improvement of a novel cone-beam reconstruction method // IEEE Tans. Med. Imag. -1992. -Vol. 11.-P. 260-266.

88. Trofimov О., About one form of inversion formula for cone-beam tomography // Process Imaging for Automatic Control, Proc. of SPIE 4188. -2001.-P. 111-120.

89. Trofimov О. E., Computer modeling of cone beam reconstruction // Proc. Int. Conf. Frontiers in Industrial Process Tomography II. 1997. - P. 257260.

90. Trofimov О. E., Cone beam reconstruction and Fourier transform of distributions // Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, 1990.-No.719.-P. 66-97.

91. Trofimov О. E., Correlation of two methods of cone-beam reconstruction // J. of Sys. Analysis-Modeling Simulation. Gordon and Breath Publishers S.A.,-1995.-Vol. 18. — P. 169-172.

92. Trofimov О. E., Shaposhnikova E. V. The explicit formulas for cube and sphere // Proc. of the IASTED International Conference on Automation, Control and Applications. Novosibirsk: ACTA Press, 2005. - P. 290295.

93. Tuy H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction // SLAM J. Appl. Math. -1983. -№ 43(3). -P. 546-552.

94. Wang G., Lin Т., Cheng P., Shinozaki D. M. A general cone-beam reconstruction algorithm // IEEE Trans. Med. Imag. 1993. - Vol. 12. -P. 486-496.

95. Webb S., Sutcliffe J., Burkinshaw L., Horsman A. Tomographic reconstruction from experimentally obtained cone-beam projections //-IEEE-TransrMed.Tmag. -1987. Vol. 6. - P. 67-73.

96. Yan X., Leahy R. M. Cone-beam tomography with circular elliptical and spiral orbits // Phys. Med. Biol. -1992. Vol. 37. P. 563-577.

97. Yan X., Leahy R. M. Derivation and analysis of a filtered backprojection algorithm for cone beam projection data // IEEE Tans. Med. Imag. -1991. -Vol.10. P. 462-472.

98. Zeng G. L., Gullberg G. T. A cone-beam tomography algorithm for orthogonal circle-and-line orbit // Phis. Med. Biol. 1992. - Vol. 37. - P. 563-577.