Алгоритмическое обеспечение трехмерной реконструкции в конусе лучей по томографическим данным, регистрируемым на плоском детекторе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Бадажков, Дмитрий Викторович

• Бадажков, Дмитрий Викторович
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бадажков, Дмитрий Викторович

Введение

Глава 1. Некоторые формулы обращения трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей в виде, удобном для построения численных алгоритмов

1.1 Лучевое преобразование и задачи томографии

1.2 Связь с преобразованием Радона

1.3 Приведение формул обращения к форме, позволяющей строить численные алгоритмы в случае плоского детектора и спирального сканирования объекта 23 Выводы первой главы

Глава 2. Анализ структуры трехмерных алгоритмов и сведение алгоритмов трехмерной реконструкции к алгоритмам двумерной реконструкции

2.1 Вывод и анализ уравнений для кривых, вдоль которых осуществляется обработка томографических данных

2.2 Условия замены алгоритмов трехмерного преобразования на более простое двухмерное обращение Радона при спиральном сканировании

Выводы второй главы

Глава 3. Алгоритмы обращения лучевого преобразования с использованием плоских срезов

3.1 Приближенный алгоритм реконструкции на базе трехмерного обращения Радона по данным в конусе лучей

3.2 Сравнение различных схем численного дифференцирования в трехмерном обратном преобразовании Радона

3.3 Результаты компьютерного моделирования

Выводы третьей главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмическое обеспечение трехмерной реконструкции в конусе лучей по томографическим данным, регистрируемым на плоском детекторе»

Диссертационная работа посвящена исследованию и разработке алгоритмов для трехмерной томографической реконструкции, основанных на формулах обращения лучевого преобразования.

В последние десятилетия XX века и в настоящее время активно развивается трехмерная реконструктивная томография по данным в конусе лучей. Некоторыми из основных приложений этого направления являются неразрушающая диагностика промышленных изделий, медицинская диагностика, реконструкция объектов в электронной микроскопии. Результаты, полученные в этой области, позволяют существенно повысить информативность диагностики. Для решения задач томографии по данным в конусе лучей рядом авторов получены аналитические формулы обращения. Эти формулы удобны для теоретических рассмотрений и сферического детектора, однако для реальных систем естественно адаптировать их для плоского детектора. Для понимания структуры адаптированных для плоского детектора формул обращения и основанных на них численных алгоритмов, а также для оценки границ их применимости, важно провести анализ этих формул.

Вычислительную томографию в целом и томографию в конусе лучей в частности можно разделить на три части: получение данных, их реконструкция и визуализация. Важнейшей частью вычислительной томографии является математическое и программное обеспечение, на основе которых реализуются вычислительные алгоритмы реконструкции данных. При этом требуется подобрать оптимальный алгоритм и метод под определенный класс задач томографии. Большой объем вычислений, обычно необходимый в трехмерной томографии, требует разработки быстрых алгоритмов для экспресс-анализа тестируемых объектов.

Важность обсуждаемого вопроса также подтверждается большим количеством международных конференций, проводимых в настоящее время, на которых рассматривается эта тематика.

Цель работы.

Разработка и анализ алгоритмов трехмерной томографической реконструкции по данным в конусе лучей для плоского детектора.

Основные задачи исследования.

• Модификация формул обращения томографических данных на основе лучевого преобразования, позволяющая строить численные алгоритмы восстановления в случае плоского детектора.

• Сравнительный анализ алгоритмов трехмерной и двухмерной томографической реконструкции при движении источника излучения по траектории в виде спирали. Цель анализа - определить условия, при выполнении которых трехмерные алгоритмы можно заменить на более простые, двухмерные алгоритмы.

• Разработка приближенных алгоритмов трехмерной томографической реконструкции для экспресс-диагностики исследуемых объектов.

• Разработка программных комплексов на основе созданных алгоритмов.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Предложен новый приближенный алгоритм томографической реконструкции по данным в конусе лучей, позволяющий сводить обращение лучевого преобразования к хорошо известным формулам обращения трехмерного преобразования Радона.

2. Формулы обращения лучевого преобразования приведены к форме, позволяющей строить численные алгоритмы восстановления в случае плоского детектора и спирального сканирования объекта.

3. Получено условие, при выполнении которого кривые (вдоль кривых проводится интегрирование) можно заменить двумя параллельными прямыми, что позволяет использовать в дискретном случае некоторые приближенные алгоритмы без потери качества реконструкции по сравнению с точными алгоритмами.

4. Показано, что при исследовании объектов с бинарной плотностью (например, при поиске пустот в однородных телах) и с шагом спирали больше 20% ее радиуса, использование классических двухмерных алгоритмов реконструкции не рекомендуется. В этом случае применение трехмерных алгоритмов реконструкции предпочтительней по качеству.

Достоверность результатов, полученных аналитически, подтверждается компьютерным моделированием с использованием стандартных и разработанных тестовых объектов, учитывающих специфику задач томографии, публикацией представленных материалов в рецензируемых изданиях, а также согласованностью полученных данных с результатами работ других авторов.

Практическая значимость и реализация результатов.

Полученные формулы обращения, разработанные приближенные алгоритмы трехмерной реконструкции, результаты сравнительного анализа двухмерных и трехмерных алгоритмов и созданный на их основе пакет программ могут быть использованы:

• в промышленных и медицинских томографах нового поколения с соответствующей схемой сбора информации, например, в эмиссионной медицинской томографии, где полученные данные удобно интерпретировать как интегралы вдоль конуса лучей, исходящих из источника;

• при исследовании новых алгоритмов томографии в конусе лучей на их устойчивость к шумам, качеству реконструкции, скорости восстановления. Разработанные алгоритмы и вычислительный программный комплекс используются при реконструкции трехмерных объектов для стереодисплеев в

Научном Парке МГУ им. М.В. Ломоносова компанией "НейрОК" (см.

Приложение к диссертации).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модификация формул обращения лучевого преобразования к форме, позволяющей строить численные алгоритмы восстановления в случае плоского детектора и спирального сканирования объекта.

2. Условие, при выполнении которого кривые (вдоль кривых проводится интегрирование) можно заменить двумя параллельными прямыми, что позволяет использовать в дискретном случае некоторые приближенные алгоритмы без потери качества реконструкции по сравнению с точными алгоритмами.

3. Предложенный автором приближенный алгоритм томографической реконструкции по данным в конусе лучей, позволяющий сводить обращение лучевого преобразования к хорошо известным формулам обращения трехмерного преобразования Радона.

4. Условие, при котором использование 3D алгоритмов реконструкции предпочтительней классических 2D алгоритмов реконструкции по качеству восстановления.

5. Разработанный, на основе предложенных алгоритмов и методов, комплекс программ, позволяющий проводить восстановление объектов и исследовать алгоритмы на их устойчивость к шумам, качеству реконструкции и скорости восстановления.

Основные результаты диссертации докладывались на "1st World Congress on Industrial Process Tomography" (Бакстон, Англия, апрель 1999), на 5-й международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (Самара, октябрь 2000), на 4-м Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, июнь 2000), на конференции "Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа" (Самарканд, сентябрь 2000), на конференциях молодых ученых, посвященных академику М.А. Лаврентьеву, в декабре 2000 и 2001 гг. в Новосибирске, на 7-й научной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (МГУ, июнь 2001), на конференции "Intelligent Systems and Advanced Manufacturing" (Бостон, США, октябрь 2001), на третьей международной конференции "Computer methods and inverse problems in NDT and diagnostics" (Москва, март 2002), на международной конференции IASTED "Automation, Control and Information Technology" (Новосибирск, июнь 2002).

Во введении приводится общая характеристика рассматриваемых в диссертации вопросов. Обсуждается актуальность темы, формулируются основные цели работы, показана научная новизна и практическая значимость результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации материалов диссертации.

В первой главе рассматривается лучевое преобразование, его связь с задачами томографии, с преобразованием Радона, формулы обращения лучевого преобразования приводятся к виду, удобному при построении численных алгоритмов для плоского детектора томографических данных.

В параграфе 1.1 рассматриваются определения лучевого преобразования и формулы обращения лучевых данных, полученные в работах: [Кириллов (1961)], [Тиу (1983)], [Smith (1983)], [Lavrentiev (2001)]. Рассматривается геометрическая интерпретация этих результатов с точки зрения задач двух- и трехмерной томографии. Приводится обзор основных трудов российских и зарубежных авторов, чьи работы связаны с разработкой математической теории трехмерной реконструкции.

В параграфе 1.2 рассматривается прямое и обратное преобразования Радона. Для задач томографии интерес представляют случаи двух- и трехмерного преобразования Радона (лучевое преобразование и преобразование Радона в двухмерном пространстве совпадают), которые рассмотрены более подробно. Приводятся некоторые численные алгоритмы на основе этих преобразований.

В параграфе 1.3 исследуется формула обращения лучевого преобразования, приведенная в работе [Lavrentiev (2001)]: 1 in а/2 1

8тг2 0JJ/2 <у\Х),р>дЛ

S(fi) dedcp. (i)

Здесь, - лучевое преобразование функции f(x), S((3) - окружность образованная пересечением единичной сферы и плоскости Р((3). Плоскость Р((3) проходит через начало координат и ортогональна вектору (3. Символ соответствует интегрированию по окружности. Оператор L(P) означает дифференцирование функции g+(^A) в направлении вектора р. Параметр X, зависящий от |3 и х, фиксирован и определяется из условий: <(3,x>=<(3,y(?i)>, <(3,у'(А,)>^0, (3=(3(0,ф). Формула обращения (1) позволяет строить численные алгоритмы. Она удобна для теоретических рассмотрений и для случая сферического детектора. В реальной ситуации плоский детектор является более естественным, для этих целей формула (1) приведена к виду, позволяющему строить численные алгоритмы восстановления в случае плоского детектора и спирального сканирования объекта:

Здесь интегрирование и дифференцирование в трехмерном пространстве переносится на плоскость регистрации, т.е. в двухмерное пространство. Исследованы коэффициенты EQ,EVE2 в зависимости от положений /? и S. Анализ полученных формул позволил сделать вывод, что направление дифференцирования в плоскости регистрации зависит от ориентации вектора нормали задающей плоскости и не зависит от шага дифференцирования.

Во второй главе проведен вывод и анализ уравнений для кривых, вдоль которых осуществляется обработка томографических данных. Определены условия для замены алгоритмов трехмерного преобразования на более простое двухмерное обращение Радона при спиральном сканировании.

В параграфе 2.1 для данных в плоскости регистрации получены формулы для кривых, вдоль которых осуществляется обработка трехмерных томографических данных, что позволяет наглядно представить структуру алгоритмов обращения и оценить границы применимости различных алгоритмов обращения. В частности, для формулы лучевого обращения (1) получено условие: где оо

1(х,0,<р,Я) = jEo(x,0,(p,\S\,AJ)grdl +

DM(x,j3,A,p)>D(x,/J).

2)

При выполнении условия кривые, вдоль которых проходит обработка данных в плоскости регистрации Р (х, Р), можно заменить двумя параллельными прямыми. При этом дифференцирование проводится в направлении, перпендикулярном линиям интегрирования. Здесь D{x,j3) - длина проекции объекта из источника излучения S на плоскость Р (х, Р) вдоль прямой l{x,f3) = L(x, /?) п Р(х, /3), L {х,/3) - плоскость, проходящая через точку х и ортогональная вектору у?. DM(x,fi,A,p) - длина отрезка на прямой КХ>Ю , в котором шаг дифференцирования на плоскости Sn(A,j3,x) отличается от минимального шага £min( А,/3,х) не более чем на р%, А - шаг дифференцирования в пространстве.

Условие (2) согласуется с алгоритмом P. Grangeat [Grangeat (1990, 1996)]. На рисунке 2.5 показана зависимость минимальной ширины области DM (для всех J3, р=1%, r<0.3R, где г - радиус носителя, в который заключен объект, R -радиус спирали) от шага дифференцирования А в пространстве. При реконструкции объектов с шагом дифференцирования, соответствующим зоне С (по рисунку 1), реконструкция получается грубой. В зоне А алгоритм чувствителен к минимальным шумам. Для точных алгоритмов обращения лучевых данных оптимален шаг дифференцирования, соответствующий зоне В. Зоне D соответствуют оптимальные значения шага дифференцирования и ширины области, в которой направление дифференцирования перпендикулярно кривым для приближенных и точных алгоритмов реконструкции. Условие (2) выполняется в зоне D.

В параграфе 2.2 с использованием численного моделирования показано, что при исследовании объектов с бинарной плотностью (например, при поиске пустот в однородных телах), если шаг спирали больше 20% радиуса спирали, использование 3D алгоритмов реконструкции предпочтительней классических 2D алгоритмов реконструкции по качеству восстановления.

В третьей главе обсуждается актуальность создания приближенных алгоритмов реконструкции на основе данных в конусе лучей и показано, почему предлагается за основу взять формулы обращения преобразования Радона в трехмерном пространстве. Далее приводится описание трехмерных прямого и обратного преобразований Радона. Использование 3D преобразований Радона требует знания интегралов по плоскостям.

В параграфе 3.1 показано, как из данных в конусе лучей выделяются необходимые для 3D обращения Радона плоскости. Предложен способ, в котором интегралы по плоскостям аппроксимируются по интегралам вдоль прямых в плоскости регистрации. Плоскости образованы веерами лучей, исходящих из источника и пересекающих прямые, лежащие в плоскости регистрации.

В разработанном алгоритме предлагается по лучевым данным вычислять вторые производные, необходимые для 3D обращения Радона. Производные вычисляются вдоль векторов нормали к плоскостям, по которым считается интеграл. Хорошо известно, что операция взятия второй производной является неустойчивым шагом; для устранения неустойчивости можно применять различные схемы.

В параграфе 3.2 проведено аналитическое сравнение различных схем численного дифференцирования для трехмерного обратного преобразования Радона. Далее с помощью компьютерного моделирования показано, что предложенный алгоритм наиболее эффективен в случае, если объект мал по сравнению с радиусом траектории движения источника вокруг объекта. При этом установлено, что предпочтительней использовать алгоритм при r<0.3R (г радиус носителя, в который заключен объект, R - радиус спирали). Проведены оценки влияния шумовых добавок на предложенный алгоритм.

На рисунке 3.7 приведены результаты численного моделирования восстановления тестового объекта. Кривая 1 соответствует объекту радиусом

0.5 (радиус спирали 1), кривая 2- объекту радиусом 0.3, кривая 3 - объекту радиусом 0.2. Для различного уровня шума получены меры различия между точными и восстановленными изображениями.

По рисунку видно, что при радиусе объекта меньше 0.3 восстановление с использованием предложенного алгоритма лучше, чем при большем радиусе.

В параграфе 3.3 приводятся результаты компьютерного моделирования с использованием предложенного алгоритма без наличия шумов в проекционных данных (рис.3.8а) и с 2% (рис.3.8Ь), 3% (рис.3.8с) и 5% (рис.3.8d) аддитивным шумом (г=0.2). Результаты показали, что при наличии 2% или 3% шума, алгоритм дает удовлетворительное восстановление, но при 5% шуме происходит "разваливание" решения. Здесь же рассмотрены этапы построения тестовых объектов (фантомов) для компьютерного моделирования и тестирования алгоритмов.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы. В приложении представлена справка о внедрении результатов диссертационной работы.

Основные результаты работы.

1. Модифицированы формулы обращения лучевого преобразования, что позволило получить их в форме, удобной для построения численных алгоритмов восстановления в случае плоского детектора и спирального сканирования объекта.

2. Получены формулы для кривых в плоскости регистрации, вдоль которых осуществляется обработка трехмерных томографических данных. Формулы позволяют наглядно представить структуру алгоритмов обращения и оценить границы применимости некоторых точных и приближенных алгоритмов обращения.

3. Получено условие, при выполнении которого кривые (вдоль кривых проводится интегрирование) можно заменить двумя параллельными прямыми, что позволяет использовать на дискретной сетке некоторые приближенные алгоритмы без потери качества реконструкции по сравнению с точными алгоритмами. Это дает выигрыш по числу операций в N/(N-2n/3) раз (N-число положений задающего вектора, n-число выполнений полученного условия, 1 < п < N ).

4. Предложен приближенный алгоритм томографической реконструкции по данным в конусе лучей, позволяющий сводить обращение лучевого преобразования к хорошо известным формулам обращения трехмерного преобразования Радона.

5. С помощью компьютерного моделирования показано, что предложенный алгоритм наиболее эффективен в случае, когда объект мал по сравнению с радиусом траектории движения источника вокруг объекта. При этом установлено, что предпочтительней использовать алгоритм при r<0.3R (г -радиус носителя, в который заключен объект, R - радиус спирали).

6. Показано, что при наличии аддитивного белого шума в проекционных данных до 5%, уровень погрешности восстановления тестового объекта не более 15% (при числе ракурсов не менее 36 и размере проекционной матрицы для каждого ракурса не менее 256x256 детекторов).

7. С использованием численного моделирования показано, что при исследовании объектов с бинарной плотностью (например, при поиске

15 пустот в однородных телах) и с шагом спирали больше 20% ее радиуса, использование классических двухмерных алгоритмов реконструкции не рекомендуется. В этом случае использование трехмерных алгоритмов реконструкции предпочтительней по качеству восстановления. 8. На основе предложенных алгоритмов и методов разработан комплекс программ в среде программирования MatLab, позволяющий моделировать тестовые объекты, получать их проекционные данные, проводить восстановление тестовых объектов и исследовать некоторые приближенные и точные алгоритмы по их устойчивости к шумам, качеству реконструкции и скорости восстановления. Основные результаты диссертации изложены в 10 печатных работах. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 103 страницах, содержит 17 рисунков. Библиография включает 77 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бадажков, Дмитрий Викторович

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах:

• "1st World Congress on Industrial Process Tomograpy" (Бакстон, Англия, апрель 1999);

• 5-я международная конференция "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (Самара, октябрь 2000);

• Четвертый Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, июнь 2000);

• Конференция "Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа" (Самарканд, сентябрь 2000);

• Конференции молодых ученых, посвященных академику М.А. Лаврентьеву в декабре 2000 и 2001 гг. в Новосибирске;

• 7-я научная конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи" (МГУ, июнь 2001);

• Конференция "Intelligent Systems and Advanced Manufacturing" (Бостон, США, октябрь 2001);

• Третья международная конференция "Computer methods and inverse problems in NDT and diagnostics" (Москва, март 2002);

• Международная конференция IASTED "Automation, Control and Information Technology" (Новосибирск, июнь 2002).

Работа частично поддержана грантами РФФИ (NN 00-07-90342, 00-15-99092,

01-07-06017, 02-07-06060), International Science and Education Development

Foundation, Switzerland грант YSR01/12, грант конкурса-экспертизы молодежных проектов СО РАН, посвященного 100-летию академика М.А.

Лаврентьева.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бадажков, Дмитрий Викторович, 2002 год

1. Аниконов Ю.Е. (1978) Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука.

2. Аюпова Н.Б., (1990) Голубятников В.П., Алгоритмы решения многомерных обратных задач интегральной геометрии и комплексы прямых и плоскостей. В сб. Методы решения некорректных задач. Новосибирск: Институт математики СО РАН, с. 36-44.

3. Бакушинский А.Б., (1989) Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 198 с.

4. Благовещенский А.С. (1986) О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. Математические заметки, т.39, N 6, С.841-849.

5. Воскобойников Ю.Е., (1990). Бронников А.В. Комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации защищенных сигналов и изображений // Автометрия. №1. С. 56-66.

6. Воскобойников Ю.Е., (1997) Касьянова С.Н., Кисленко Н.П., Трофимов О.Е. Использование алгоритмов нелинейной фильтрации для улучшения качества восстановленных томографических изображений. Автометрия, № 3.

7. Гельфанд И.М., (1959) Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. 1: Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз.

8. Гельфанд И.М., (1962) Граев М.Н., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции. Вып. 5: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз.

9. Гельфанд И. М., (1986) Гончаров А. Б., Восстановление финитной функции, исходя из ее интегралов по прямым, пересекающим данное множествоточек в пространстве. Докл. АН СССР, 290, № 5, С.1037-1040.

10. И.Гельфанд, (2000) М.Граев, С.Гиндикин. Избранные задачи интегральной геометрии. М:Добросвет.

11. Денисюк А.С. (1991) Исследование по интегральной геометрии в вещественном пространстве. Дисс. канд. физ.- мат. наук. М. МГУ, мех. -мат. факультет.

12. Ерохин В.А., (1981) Шнейдеров B.C. Трехмерная реконструкция (машинная томография), моделирование на ЭВМ. (Препринт № 23 Лен. НИ ВЦ). Ленинград, 48 с.

13. Жирнов В.Т., (1982) Смирнов К.К., Трофимов О.Е. О численных методах решения задач томографии. В сб.: Методы и средства обработки изображений. Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР, С. 105-114.

14. Кириллов А.А. (1961) Об одной задаче И.М. Гельфанда. Докл. АН СССР, 137, № 2, С.276-277.

15. Лаврентьев М.М., (1980) Романов В.Г., Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 286 с.

16. Пикалов В.В., (1998) Лихачев А.В. Синтезированный алгоритм трехмерной томографии. Математическое моделирование, № 1, С. 73-75.

17. Мэтьюз Д., (2001) Финк К., Численные методы. Использование MATLAB. М.: Издательский дом "Вильяме", 713 с.

18. Наттерер Ф. (1990) Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 279 с.

19. Пикалов В.В. (1985) Пакет прикладных программ, ориентированный на задачи вычислительной томографии // Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск, с.132-135.

20. Пикалов В.В., (1987) Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газовой динамике и физике плазмы. Новосибирск. Наука.

21. Романов В.Г. (1978) Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск. НГУ. 88 с.

22. Р.Сикорский (1976), П.Антосик, Я.Микусинский. Теория обобщенных функций. М:Мир.

23. Тихонов А.Н., (1974) Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука.

24. Тихонов А.Н., (1987) Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М. Наука.

25. Трофимов О.Е. (1991) К задаче восстановления функции трех переменных по ее интегралам на прямых, пересекающих заданную кривую. Автометрия, № 5, с. 57-64.

26. Трофимов О.Е. (1992) О численных алгоритмах трехмерной томографической реконструкции. Автометрия, № 1. С. 181-186.

27. Трофимов О.Е. (1993) О преобразовании Фурье лучевых данных. Автометрия, № 4. С. 110-112.

28. Трофимов О.Е., (1996) Касьянова С.Н. Компьютерное моделирование алгоритма трехмерной томографии для траектории источника, состоящей из двух пересекающихся окружностей. Автометрия, № 6, С. 50-59.

29. Трофимов О.Е. (2000) Касьянова С.Н., Формулы обращения для томографической реконструкции при использовании плоского детектора // Автометрия, №3. С. 32-45.

30. Хелгасон С. М. (1983) Преобразование Радона. Мир, 150 с.

31. Хермен Г.(1983) Восстановление изображений по проекциям. М. Мир, 340 с.

32. Danielson Р.-Е., (1996) Axelson-Jacobson С., Guillemand R, Grangeat P., Clack R. Comparison of three 3D reconstruction methods from cone-beam data. In Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiology and Nuclear Medicine.

33. Pierre Grangeat and Jean-Louis Amans (Eds.) KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, pp. 3-18.

34. Grangeat P. (1987) Analyse d'une systeme d'imagerie 3D par reconstruction a partir de radiographics X en geomwtrie conique. These de doctorat, Grenoble.

35. Grangeat P. (1996) and Jean-Louis Amans (Eds.) Three Dimensional Image Reconstruction in Radiology and Nuclear Medicine. Kluver Academic Publishers. 317 p.

36. Gullberg G., (2001) Taguchi K., Zeng G. Cone-beam image reconstruction using spherical harmonics Phys. Med. Biol. 46 N127-N138.

37. Hampel U., (2002) Schleicher E., Freyer R. Volume image reconstruction for diffuse optical tomography. Applied optics, vol.41, N19, july, pp.3816-3826.

38. Finch D. (1985) Cone-beam reconstruction with sources on a curve. SIAM. J. APPL. MATH, vol.45, № 4, PP. 665-671.

39. Feldkamp L.A., (1984) Davis L.C., Kress J.W. Practical cone-beam algorithm. J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 1 .No.6/June, pp.612-619.

40. Karich V. (2002) Method of X-ray cone-beam computed tomography for nondestructive testing. Proceedings of the IASTED International Conference "Automation, Control and Information Technology", June 10-13, Novosibirsk, Russia, pp.486-490.

41. I.G. Kazantsev, (1999) V.V. Pickalov. On the accuracy of line-, strip- and fan-based algebraic reconstruction from few projections. Signal Processing, 78, pp.117-126.

42. H.Kudo (1994), T.Saito. Derivation and implementation of cone-beam reconstruction algorithm for nonplanar orbits. IEEE transactions on medical imaging, vol. 13, N 1, March.

43. Louis A.K. (1983). "Approximate inversion of the 3D Radon transform". Math. Meth. in the Appl. Sci., 5, 176-185.

44. Lavrentiev M.M., (2001) Zerkal S.M., Trofimov O.E., Computer Modeling in Tomography and Ill-Posed Problems, VSP, Boston, 130 pp.

45. La Riviere P., (2002) Pan X. Pitch dependence of longitudinal sampling and aliasing effects in multi-slice helical computed tomography. Phys. Med.Biol. 47 2797-2810.

46. Marr R., (1980) Chen C., Lauterburg P. On two approaches to 3D reconstruction in NMR zeugmatography. In G.Hermen and F.Natterer (Eds.), Mathematical aspect of computerized tomography, pp. 225-240, Berlin: Springer.

47. J.R. Mitchell (1990), P. Dickof, A.G. Law, A comparison of line integral algorithms, Comput. Phys. 17 (March/April) 166-172.

48. Palamodov V., (1988) Denisjuk A. Inversion de la transformation de Radon d'aprrs des donnres incomplrtes. C.R.A.S., Paris, t. 307, Srr.I, p 181-183.

49. Palamodov V. (1996). An inversion formula for an attenuated X-ray transform, Inverse Problems 12 , 717-730.

50. Radon J. (1917) Uber die Bestimmung von Functionnen durch ihre Integralwertelangs gewisser Mannigfaltigkeiten. Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, -Nat.Kl, 69, 262-277

51. Rizo P., (1991) Grangeat P., Sire P., Litmanson P. and Melennec P. Comparison of two three-dimensional x-ray cone-beam-reconstruction algorithms with circular source trajectories. Opt. Soc. Am. A Vol.8, N 10, pp. 1639-1648, October 1991.

52. B.D. Smith (1985) Image reconstruction from cone-beam projections: necessary and sufficient conditions and reconstruction methods. IEEE Trans. Med. Image. MI-4, pp. 14-28.

53. Smith B.D. (1990) Cone-beam tomography: recent advances and tutorial review. OPTICAL ENGINEERING /MAY/Vol.29 No 5, pp. 524-534.

54. S. Schaller (1996), T. Flohr, P. Steffen, "A New Approximate Algorithm for Image Reconstruction in Cone-Beam Spiral CT at Small Cone Angles", Conference Record, IEEE Medical Imaging Conference, pp. 1703-1709, Nov., Anaheim, CA.

55. Trofimov O.E. (1993) Cone Beam Reconstruction and Fourier Transform of Distributions. Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science, No 719, pp. 564-571.

56. Trofimov O.E. (1995) Correlation of two methods of cone-beam reconstruction. Journal of System Analysis-Modeling Simulation (SAMS). Gordon and Breath Publishers S.A., Vol. 18, pp. 169-172.

57. Trofimov O.E. (1997b) Numerical algorithms of tomography on base distributions. 15th IMACS World Congress on Scientific Computation,

58. Modelling and Applied Mathematics. Berlin,.Proceedings Vol.3 pp.707-711. Wissenshsaft & Technik Verlag, Berlin.

59. Tuy H., (1983) An inversion formula for cone-beam reconstruction. SIAM. J. APPL. MATH., vol.43, № 3, pp.546-552.

60. Wang H., (1993) Tein-Hsiang Lin, Ping-Chin Cheng, and Douglas M. Shinozaki A General Cone-Beam Reconstruction Algorithm. IEEE TRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING. VOL. 12. No.3. SEPTEMBER, pp. 486-496.

61. Wang H., (2001) Ang Shin, Ping-Chin Cheng. Fast algorithm for cone-beam microtomography. Microscopy and Microanalysis. 7, 13-23, 2001.

62. Список работ по теме диссертации.

63. Badazhkov D. (2002а) Computer modeling of some algorithms in cone-beam tomography, Proceedings of the IASTED International Conference "Automation, Control and Information Technology", June 10-13, Novosibirsk, Russia, pp.457459.

64. Lavrentiev M.M., Zerkal S.M., Badazhkov D.V., (2002b) Trofimov O.E. Server ill-posed problems. The 3d International scientific conference "Computer methods and inverse problems in NDT and diagnostics". Abstract, p.2, March 1821, Moscow.

65. D.Badazhkov. (2001с) Some algorithms of 3D tomography reconstruction for problems with spiral trajectory of beam source, "Pattern recognition and image analysis", pp.273-275, vol.11, no.l, 2001.

66. Д.В.Бадажков. (2000с) Некоторые алгоритмы трехмерной томографической реконструкции в задачах со спиральной траекторией источника излучения.// ИНПРИМ, Тезисы доклада, стр.24, Новосибирск.

67. Trofimov О., (1999а) Kasjanova S., Badazhkov D. Algorithms of 3D conebeam tomography for incomplete data. Proceedings of 1st World Congress on Industrial Process Tomograpy. Buxton, UK, 14-17April, 1999. P. 181-183.

68. Badazhkov D.V. (1999b) Some of the algorithms for the analysis of a photoplethysmogram. Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 9, N2. P. 341-343.

69. Финансирование высокотехнологичных проектов1. Акто внедрении

70. Registered №001.210.383 12.08.98 MRP 119899, Russia, Moscow, Vorobyevy gory, Science Park MSU, bid. 5, room 529 phone [phone] fax [phone]