Методы томографической диагностики лазерной плазмы с применением преобразования Хартли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат физико-математических наук Батыров, Рустам Магомедхалидович

• Батыров, Рустам Магомедхалидович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Батыров, Рустам Магомедхалидович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ И ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ.

§1.1. Прямая и обратная задачи Радона. Реконструктивная томография

§ 1.2. Практические методы получения проекционных данных в трансмиссионных и эмиссионных системах.

§1.3. Классификация и области применения томографических методов исследования.

§ 1.4. Развитие теоретических и экспериментальных методов решения обратной задачи Радона

ГЛАВА II. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ БАЗИС ТЕОРИИ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ.

§2.1. Преобразование Хартли (ПХ). Определение.

§ 2.2. Некоторые свойства преобразования Хартли.

§ 2.3. Псевдосепарабельные свойства преобразования Хартли.

§ 2.4. Сравнительный анализ свойств преобразований Фурье и Хартли

§ 2.5. Двумерное преобразование Хартли и соотношения, используемые в теории реконструкции.

§ 2.6. Дискретное преобразование Хартли для систем обработки изображений.

§ 2.7. Некоторые из свойств дискретного ПХ (ДПХ)

ГЛАВА III. ЭФФЕКТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАРТЛИ.

§3.1. Принципы восстановления изображений по экспериментальным проекционным данным.

§ 3.2. Двухэтапный метод фильтрации "суммарного" изображения в области пространственных частот ПХ.

§3.3. Двухэтапный метод линейной фильтрации проекционных данных (радоновского образа) с обратным проецированием.

§ 3.4. Метод томографической реконструкции сечений осесимметричных объектов на основе ПХ.

§ 3.5. Влияние реальных оптических систем на качество и точность восстановления томографического изображения.

§ 3.6. Регуляризация формул реконструкции изображения на случай неточных исходных данных и реальных систем с пространственно-частотным ограничением

ГЛАВА IV. ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ РЕКОНСТРУКЦИОННОГО АППАРАТА НА БАЗЕ ПХ В ФИЗИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ ПО ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЫ.

§ 4.1.Оптические методы диагностики в плазменном эксперименте.

§ 4.2. Оптические методы диагностики, основанные на измерении величины рефракции зондирующего луча в плазменной среде.

§4.3. Оптические методы диагностики плазмы, основанные на регистрации изменения фазового фронта зондирующего излучения.

§ 4.4. Оптические методы диагностики лазерной плазмы, основанные на измерении распределения коэффициента эмиссии излучения.

§ 4.5. Нелинейно-оптические методы томографической диагностики лазерной плазмы на базе процесса четырехволнового взаимодействия.

ГЛАВА V. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РЕКОНСТРУКЦИИ ТОМОГРАФИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

§5.1. Применение алгоритма быстрого преобразования Хартли.

§ 5.2. Моделирование процесса томографической реконструкции изображения методом фильтрации проекционных данных в области пространственных частот преобразования Хартли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы томографической диагностики лазерной плазмы с применением преобразования Хартли»

Проблема получения изображений внутренней структуры и иной информации о свойствах различных объектов по их проекционным характеристикам возникает в различных областях науки и техники. Одним из важнейших аспектов данной проблемы считается восстановление информации о плотности распределения физической величины в сечении объекта по ее проекционным характеристикам. Эти проекции могут быть получены различными методами (эмиссионными, трансмиссионными - по принципу получения; акустическими, оптическими, радиологическими по типу используемого излучения и т.п.). Данное научное направление получило название реконструктивной томографии (от греч. тоцосу - слой).

Широкая распространенность лазерного луча как мощного инструмента диагностики в различных областях физики аэро- и гидродинамических потоков [1], молекулярной физике [2] дает возможность использования его в томографических исследованиях качестве трансмиссионного излучения для получения массива проекционной информации об исследуемом объекте. Причем практическое удобство томографического метода проявляется в широких возможностях бесконтактного и дистанционного мониторинга широкого спектра физических характеристик объекта (плотности распределения массы, ионов; показателей преломления и поглощения; компонентного состава плазмы и газовой струи и т.п.).

Одна из основных задач реконструктивной томографии в физических приложениях сводится к проблеме получения двумерного изображения плотности распределения исследуемой физической величины по её линейным интегралам вдоль конечного числа направлений (проекционным характеристикам). При этом возникает широкий круг проблем, связанных с обработкой получаемых в эксперименте данных.

Область математики, занимающаяся изучением методов решения подобных задач, известна как интегральная геометрия, базовые исследования в которой начаты с доказательства фундаментальной теоремы реконструкции функции по совокупности ее отображений [3,4,5]. Большинство существующих методов восстановления изображений по проекциям основываются на применении обобщённой проекционной теоремы с использованием Фурье-преобразования. Главной практической трудностью при работе с комплексно-значными преобразованиями типа Фурье (а также Лапласа, Меллина и др.), несмотря на их удобство при аналитических выкладках, становится сложность обработки в вычислительных системах комплексных массивов данных.

Достижение предельных технических и аппаратных возможностей в исследовании таких нестационарных и динамичных плазменных объектов, как лазерная искра, шнуры, требует поиска новых подходов к повышению эффективности математического обеспечения в алгоритмах обработки интегральной проекционной информации, полученной в эксперименте. Основная идея этих подходов - упрощение вычислительных процедур в томографических алгоритмах на различных стадиях работы (регистрация, фильтрация, преобразование и т.п.). В настоящей работе исследованы возможности применения вещественно-значного преобразования Хартли (ПХ) в различных алгоритмах реконструктивной томографии плазменных объектов, которые в свою очередь являются одной из первых попыток применения ПХ к решению данного класса задач. Вместе с тем, несмотря на существенные очевидные преимущества и удобство в практическом плане, применение ПХ к задачам томографии ранее не прорабатывалось, хотя как отмечается в [7], нет такой области, где применяется преобразование Фурье и не может быть использовано ПХ. Поэтому применение ПХ в данной работе преследует также методологическую цель.

Таким образом, целью настоящей диссертации является исследование практической возможности применения в различных областях реконструктивной томографии и томографической диагностики плазмы преобразования, предложенного в 1942 г. Ральфом Хартли (Ralph Vinton Lyon Hartley) [6], позже названного в его честь Хартли-преобразованием. Некоторые примеры эффективного использования преобразования Хартли (ПХ) и его основные свойства приводятся в работах Р.Н. Брейсуэлла (R.N. Bracewell) [7, 8, 9] и публикациях некоторых других исследователей по быстрым алгоритмам ПХ [10,11,12,13], интерполяционным алгоритмам на базе ПХ [14, 15], многомерным формам ПХ [16, 17, 18], в теории и системах сжатия информации [19, 20] и в работах научно-популярного характера [21].

Основными задачами диссертации являются:

1. Развитие нового теоретического подхода к решению обратной задачи Радона в томографической диагностике лазерной плазмы на базе обобщенной проекционной теоремы с использованием ПХ.

2. Исследование возможности реконструкции двумерного томографического изображения «двухэтапными» алгоритмами через фильтрацию проекционных данных в области пространственных частот ПХ.

3. Получение взаимосвязи преобразований Радона и Хартли для томографии плазменных объектов с осевой симметрией распределения реконструируемого физического параметра.

4. Исследование возможностей применения реконструкционных алгоритмов на базе ПХ в системах обработки интегральной экспериментальной информации, получаемой в широко распространенных методах диагностики лазерной плазмы, в том числе и нелинейно-оптических методах на основе четырехволнового взаимодействия.

5. Экспериментальная проверка предлагаемых алгоритмов реконструкции с использованием быстрого преобразования Хартли на основе математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Таким образом, диссертация посвящена теоретическому исследованию, а также исследованию с помощью вычислительного эксперимента и компьютерного моделирования процесса томографической реконструкции в плазменной диагностике на основе алгоритмов с применением ПХ.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Впервые доказана возможность применения ПХ к решению обратной задачи Радона в томографической диагностике на базе обобщенной проекционной теоремы.

2. Получен «двухэтапный» алгоритм реконструкции томографического изображения, базирующийся на фильтрации экспериментальных проекционных данных в области пространственных частот ПХ с обратным проецированием.

3. Получен алгоритм реконструкции томографического изображения на основе фильтрации «суммарного» изображения сечения объекта в области частот ПХ, отличающийся от п.2 последовательностью проведения операций обратного проецирования и пространственно-частотной фильтрации.

4. Показана взаимосвязь преобразований Радона и Хартли для случая осе-симметричного распределения исследуемого параметра в плазменном объекте.

5. Показана возможность применения реконструктивных алгоритмов на базе ПХ в наиболее часто встречающихся методах диагностики лазерной плазмы, в том числе, нелинейно-оптических на основе четырехволнового взаимодействия, с учетом того факта, что регистрируемая интегральная информация может быть представима в виде радоновского образа, что позволяет применить изложенные в настоящей работе методы томографической реконструкции. Приведены формулы реконструкции на базе ПХ для каждого из рассмотренных методов диагностики лазерной плазмы.

6. Проведено экспериментальное моделирование процесса томографической реконструкции с применением быстрого преобразования Хартли (БПХ). Демонстрируется зависимость качества восстанавливаемых изображений от шага дискретизации регистрируемых проекционных данных (по следствию теоремы Уиттекера-Шеннона).

Структурно диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Физическая электроника», Батыров, Рустам Магомедхалидович

вывод: cas(2£) = cos(2£) + sin(2£) = cos2© - sin2© + 2sin©cos© = = cos2© + sinocos® - sin2© + sin©cos© = = cos© (cos© + sin©) - sin©(cos© + sin©) = = (cos© + sin©)(cos© - sin©) = cas© cas(© + 0,5 (cas2© - cas2(- £))

2.2. cas(2£) = 0,5 (cas© + cas(©)2 - cas2(© вывод: cas(2£) = cos(2£) + sin(2Q = cos2© - sin2© + 2 sin©cos© = = 2cos2© - sin2© + 2 sin©cos© - cos2© = = 2cos2© - (sin2© - 2 sin©cos© + cos2©) = = 2cos2© - (cos© - sin©)2 = (с учётом свойств 1.2. и 1.3.) 0,5 (cas© + cas(©)2 - cas2(© Свойство 3. Функция малого угла £ « 1: 3.1. cas© = 1 + 4

Свойство 4. Производные cas-функции:

4.1. — cas(£) = - sin(£) + cos(£) = cas(- £) n-я производная: gm

4.2. —— cas© = cas(4 + п(тг/2)), где п - целое число.

Свойство 5. Интеграл cas-функции:

5.1. J cas(^) = - cas(-£) + const

5.2. Частный случай для ограниченных пределов: i sin(n§ )

J cas (2жо^) dE, = ——— = sine (£)

Свойство 6. Интеграл отношения cas(^)/£ :

00 £ + + (-1)n + 2<r n = 1

Свойство 7. N-я конечная сумма cas-ряда:

2n

2w + l) +2л£

2и(2и + 1) (2и)! N k=l cas

- cas cas(£/2) - cas(- £ /2) cas

N+i

Свойство 8. Формула Эйлера в сав - выражении: ехр(^) = ((/+1)/2) сав£) + ((1 - 1)12) са8(-£) ехр(- ф = ((1 - / )/2) сазф + ((/+1)/2) са8(^) выражения достаточно просто выводятся из свойств 1.2. и 1.3. к примеру: ехр(ф = [ (саз(^) + са8(-0)/2 + ((саз© - саз(-£)У 2)] Свойство 9. Выражение сав-функции через ехр-функцию: см(£) = ((/+1)/2) ехр(- ф + ((1 - / )/2) ехр(^) доказывается как свойство 8.

Свойство 10. Свойство ортогональности соу-функций: оо

I са8(о^) саз(/^>) &<р = д{а -Д) Доказательство свойства:

В соответствии со свойством 9: саз(а) = ((7+1)/2) ехр(- га) + ((1 - / )/2) ехр(г'а)

Следовательно: +оо 400 са${а(р) сы(Р(р) &(р = ГехР(- +

-О0 -00

-+00 400 -ЮО ^т Iехр^901 Iехр(г* ^*й<р +ехр^) ^ =

-ОО -00 -оо

4оо -ко

3))А(Р+ (*' + 1X1 ~ 0 ^ехр(- 1(р{а-Р)) &д> +

-Юо 4оо О + Ш-О ^|ехр(- - а)) сехр(-^(а-/?))<^

С учётом известного тождества (по определению <5-функции):

00

-оо и преобразования множителей имеем: (1 + 1)(1-0

-4-= (1/4)(1 - /) = 1/2.

Таким образом: Р) +(Ь1)2<5( - (а + р)) Ща- Р) = согласно свойства симметричности д- функций = ¿¡(- £)}

1 + 2 / + /2 1 — 2/ + = ¿(а-/?) +Г ^ + у' № + Р).

Множитель перед 8(а +Р) после раскрытия скобок становится равным нулю, чем и подтверждается искомое свойство ортогональности системы саэ-функции. Как следствие свойства ортогональности логично вытекает следующее тождество:

00 саз(^) &<р =

Свойство 11. Фурье-преобразование саБ-функции: (л/ти/2) [(/ + 1)/2 Ъ{2п(о + V) + (/ - 1)/2 5(2жу- А)].

Данное свойство доказывается через свойство 9 с использованием свойства ортогональности ехр-функции (см. свойство 10).

Свойство 12. Хартли-преобразование саз-функции :

Вывод строится на базе свойства ортогональности ПХ (свойство 10). Свойство 13. Интеграл от саэ-функции квадрата аргумента:

Пример вычисления ПХ.

Покажем, что преобразование Хартли функции, представляющей собой пуас-соновское распределение вида ^)=А,ехр(-Я4) (где параметр > 0), часто встречающееся в различных физических приложениях, где применяется вероятностный анализ событий, есть следующая функция:

Н [сав Ьа] = сав(Аа) са&{2ткоа) На =

-00

4оо

-00 -к»

-00

J А,ехр(-А,£) саз(2тш^) сЩ = Х

1+

-и» !1 ехр(- (X + / 2тш) + X

4оо ехр(- (А, - /' 271«) £,) сЩ

Таким образом, мы получили сумму 2-х двусторонних преобразований Лапласа единичной функции, которые с учётом положительности параметра ^ > 0 переходят в односторонние преобразования Лапласа. Тогда имеем:

1+1

1-/

Н [Хехр(-Аф] =Х -у- £ [1; (X + г 2тг ©)] + X — X [1; (X - / 2тс®)].

Вставляя в соотношение табличное значение преобразования Лапласа единичной функции, получим: Ь[\;(Х + 1 2тш)] = (У(Х + I 2%со)), Ь[\;(Х-12тгсо)] = (1/(Х - г 2псо)),

Н[Хехр(-А4)] =Х + 1 1 Х

1-/ 1

2 Я + /-2яй? 2 Я-г-2яш После объединения дробей и взаимного сокращения составляющих в знаменателе и числителе дроби приходим к искомому выражению:

Л2+2ла>Л Л(Л + 2лсо)

Н [А,ехр(-Щ| =

Л2+(2тиа>)2 Л2+( 2яа>)

2 '

Как можно заметить, используя взаимосвязь ПХ и ПФ из четной и нечетной составляющих ПХ функции типа пуассоновского распределения легко вывести Фурье-образ этой же функции:

Г [А,ехр(-Щ] = Еу(Я [Хехр(-Ц)]) -1 -0&{Н [А,ехр(-А£)]), т.е.:

Д2

ТлсоЛ 2 ~ 1'Л2+(2лй))2

§ 2.3. Псевдо-сепарабельные свойства преобразования Хартли.

Одной из причин широкого распространения преобразования Фурье является практическое удобство применения при аналитических рассуждениях и выкладках экспоненциальной функции ехр(^), обладающей помимо прочего свойством сепарабельности (мультипликативности или разделимости), т.е. возможностью перевода произведения ехр-функций углов в ехр-функцию их суммы и наоборот: ехр(а+Р) = ехр(а)ехр((3)

Для различных ситуаций весьма актуальной можно считать возможность перевода cas-функций комбинаций углов в их произведения и обратно. Назовём это свойство по аналогии со свойством для ПФ псевдосепарабельностью cas-функции.

Приведём с доказательством ряд псевдо-сепарабельных выражений для cas-функции:

1. Cas-функция суммы углов (а+$) \ cas(a+p) =(l/2)[cas(a) cas(p) +cas(-a) cas(p) +cas(a) cas(-p) - cas(-a) cas(-P)]

Доказательство свойства: cas(a+p) = cos(ot+p) + sin(cc+p). С учетом тригонометрических тождеств: cos(a+P) = cos(oc) cos(P) - sin(a) sin(P), sin(oc+p) = sin(a) cos(p) + sin(P) cos(a), получим выражение: cas(a+P) = cos(a) cos(p) - sin(a) sin(P) + sin(a) cos(P) + sin(P) cos(a) = cos(a) cas(fi) + sin(a) cas{- P), которое с учётом дополнения членов правой части соотношения до cas-функций преобразуется к следующему виду: cas(a+P) = cas{a) cas{$) + cas(а) сй^(-Р) - sin(a) cas($) - cos(a) cas{-p), пользуясь свойствами чётности cos(.) и нечётности sin(.), заменим знаки аргумента а в них на обратные: cas(a+P) = cas(d) cas(p) + cas{a) cas(-fi) +sin(-a) cas{\3) - cos(-a) cas(-P), дополним cos(.) и sin(.) до cas-функций: cay(a+P) = cas(a) cas(P) + cas{a) cas{- P) + cas(-a) cas{P) - cas(-á) cas'(-P) - (cos(-a) cas(P) - sin(-a) cas(-P) } выражение в фигурных скобках есть не что иное, как azs(a+P). Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение вида: cas(a+p) = cas{a) cas{P) + cas{a) cas(-fi) + cas(-a) cas{P) - cas{-a) сж(-Р) -- {cm(a+p)}.

Или

2 cúfs(a+p) = cas{a) cas(p)+ са.у(а)сау(-Р)+ cas(-a)cas{$) - casr(-a)cas(-|3).

2. Произведение cas - функций двух углов (общий случай): cas(a) cas(p) = (1/2) [cas(a+p) + cas(a -p )+ cas(P- a) - cas(-a-p)]

Доказательство соотношения: cas(a) cas(fi) = (cos(a) + sin(a))(cos(p) + sin(P)) = cos(a)cos(p) + sin(a)cos(p) + sin(p)cos(a) + sin(p)sin(a)= = cos(a - p) + sin(a + p), по определению (свойства 1.1, 1.2): cos(a - P) = (1/2) (cas(a - P) + cas(-(a - p))) = (1/2) (cas{a - P) + cas{P - a)), sin(a + P) = (1/2) {cas{a + p) - c¿w(-(a+p)). В частном случае при a = Р: cas\a) = (1/2) (cas(2a) + 2 - cas(- 2a)) = 1+ sin (2a).

3. Произведение cas - функций трёх углов: cas(a) cas(p) cas(y) = (1/2) [cas(a + P - y ) + cas(a + y - p )+ + cas(P + y - a) - cas(- a - p - y)]

Доказательство соотношения: cas{a) cas{$) cas{y) = (cos(a) + sin(a))(cos(P) + sin(p))(cos(y) + sin(y))= (cos(a)cos(P) + sin(a)cos(P) + sin(f3)cos(a) + sin(P)sin(a))(cos(y) + sin(y))= = (cos(a - P) + sin(a + P)) (cos(y) + sin(y)) = cos(oc - P)cos(y) + cos(<x - P)sin(y) + sin(a + P)cos(y) + sin(a + p)sin(y). Распишем каждый из четырёх слагаемых последнего выражения в соответствии с табличными формами для произведений вида cos(a)cos(b), sin(b)cos(a) и sin(b)sin(a), приводящими к тригонометрическим функциям сумм и разностей углов: cos(a - P)cos(y) = (1/2) (cos(a - p - y) + cos(a - p + y)), cos(oc - P)sin(y) = (1/2) (sin(y + P- a) + sin(a - P + y)), sin(a - P)cos(y) = (1/2) (cos(a + p - y) + sin(a + p + y)), sin(a - p)sin(y) = (1/2) (cos(a + p - y) - cos(a + p + y)). Тогда предыдущее выражение можно представить в виде: cas(a) ms(p) cas{y) = (1/2) [ cos(a - p - y) + cos(a - p + y) + sin(y + P- a) + sin(a - p + y) + cos(a + p - y) + sin(a + p + y) + + cos(a + P - y) - cos(a + p + y)] = {после комбинирования составляющих} = (1/2) [cas(a+p -y ) + cas(a+y -P )+ cas(P+y -a) - cas(-a-p-y)}.

4. Cas - функция суммы трёх углов: cas(a+P+y )= (1/2) [cas(a)cas(p)cas(- y)+ cas(a)cas(- p)cas(y) + + cas(- a)cas(p)cas(y) - cas(-a)cas(- p)cas(- y)].

Доказательство : cas(a+p+y ) = (1/2) [cas(a+p)cas(y) + cas(a+P)cas(-y) + cas(-a -P)cas(y) - cas(-a -P)cas(-y)] = = (l/4)[cas(a)cas(p)cas(y) + cas(a)cas(-p)cas(y) + cas(-a)cas(p)cas(y)

- cas(-a)cas(-P)cas(y) + cas(a)cas(p)cas(-y) + cas(a)cas(-p)cas(-y) + cas(-a)cas(p)cas(y)

- cas(-a)cas(-P)cas(-y) + cas(-a)cas(-P)cas(y) + cas(-a)cas((3)cas(y) + cas(a)cas(-P)cas(y)

- cas(a)cas(P)cas(y)

- cas(-a)cas(-p)cas(-y) - cas(-a)cas(p)cas(-y) - cas(a)cas(-p)cas(-y) + cas(a)cas(P)cas(-y)] = (1/2) [cas(a)cas(P)cas(-y)+ cas(a)cas(-P)cas(y) + + cas(-a)cas(P)cas(y) - cas(-a)cas(~P)cas(-y)]. Чем и подтверждается вышеотмеченное тождество.

5. Произведение cas - функций двух углов а и Р выражается через сумму cas - функций следующего вида (для 0 <а,Р< тг/2, частный случай): cas(a) cas(p) = (1Н 2) [cas(a+p - я/4) + cas(Tt/4 - а+р )]

Доказательство свойства: cas(a) cas(р) = (cos(a) + sin(a))(cos(p) + sin(p)) = cos(a)cos(P) + sin(a)cos(P) + sin(P)cos(a) + sin(p)sin(a) = = cos(a -P) + sin(a+p). (*)

Переводим синус суммы в косинус вида: sin(a+p) = cos(tc/2 - (а+р)), (**)

Воспользуемся известным тождеством (формулой приведения): cas(Q=cos© + sin(£)= V 2 cos(7i/4 - £) или cos(7i/4 - £) = cas(^)H 2 приводя косинус в (**) и косинус разности углов а и Р в (*) к cos-функции получим: sin(a+P) = cos(tt/2 - (а+Р)) = (1/V 2) cas(а+р - тс/4), cos(a -Р) = (lN 2) cas(%/4 - а+р).

После подстановки полученных соотношений в (*) искомое свойство подтверждается.

Аналогично доказывается тождество вида (для 0 <а,Р< -к/2): cas(a) cas(P) = cas(a+p) + (1/V 2) [cas(7t/4 - а - P) + cas(7t/4 - а+Р )]

§ 2.4. Сравнительный анализ свойств преобразований Фурье и Хартли.

Пользуясь свойствами ПХ и ПФ можно дать сравнительную характеристику данных преобразований в табличном виде [7]:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

На основании материала, приведенного в настоящей диссертационной работе, можно сделать следующие выводы:

1. Впервые показана возможность применения вещественно-значного ПХ к решению обратной задачи Радона в томографической диагностике на базе обобщенной проекционной теоремы, т.е. для восстановления (реконструкции) томографических изображений объектов по их проекционным данным. Использование алгоритмов, основанных на ПХ, позволяет заметно ускорить и упростить вычислительные процедуры при обработке регистрируемой экспериментальной информации по сравнению с комплексно-значными асимметричными преобразованиями типа Фурье.

2. Приведены «двухэтапные» методы реконструкции двумерного томографического распределения, базирующиеся на различной последовательности операций фильтрации экспериментальных проекционных данных в области пространственных частот ПХ и обратного проецирования. В первом методе пространственно-частотной фильтрации в области ПХ подвергаются линейные проекции, а во втором - т.н. «суммарное» изображение сечения объекта, полученное первоначальным обратным проецированием радоновского образа.

3. В томографии широкого класса осесимметричных объектов, что часто встречается в диагностике лазерно-индуцированной плазмы и газовых потоков, используемое в реконструкционных формулах преобразование Абеля может заменяться на алгоритмы на основе преобразования Хартли, вычисление которого менее подверженно неустойчивости.

4. Показана возможность применения реконструктивных алгоритмов на базе ПХ в наиболее часто встречающихся методах диагностики лазерной плазмы, в том числе, нелинейно-оптических на основе четырехволнового взаимодействия, с учетом того факта, что регистрируемая интегральная

141 информация представима в виде радоновского образа. Отмеченный подход позволяет применить изложенные в настоящей работе методы томографической реконструкции для получения информации о компонентном составе лазерной плазмы и ее энергетических характеристиках. Получены формулы реконструкции исследуемых параметров (показателей преломления, поглощения, эмиссии; разности населенностей комбинационного перехода для нелинейно-оптической диагностики с помощью ЧВВ) с использованием ПХ для каждого из рассмотренных методов диагностики лазерной плазмы.

Отмеченные выше выводы дают право заключить, что методы реконструкции на базе ПХ могут использоваться для решения задач восстановления внутренней структуры объектов и изображений в различных областях лазерной томографии и физики плазмы. Разработка новых методов визуализации изображения (в том числе и трехмерного) [198] вкупе с усовершенствованием систем обработки физической информации позволит создать принципиально новые приборы для диагностики объектов самой различной природы. Работы по созданию процессоров быстрого преобразования Хартли [199] могут стать основой для широкого практического применения алгоритмов обработки, приведенных в настоящей работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Батыров, Рустам Магомедхалидович, 2000 год

1. Ахманов С.А., Коротеев Н.И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии рассеяния света. - М.: Наука, 1981.

2. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. - 312 с.

3. Helgason S. The Radon transform on euclidean spaces, compact two-point homogeneous spaces and Grassman manifolds. // Acta Mathematica. 1965. Vol 113.- pp.153-179.

4. Hartley R.V.L. A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems. // Proc. IRE. 1942. - Vol.30. - pp. 144-150.

5. Брейсуэлл P.H. Преобразование Хартли.: пер.с англ. М.: Мир.- 1990.-175 с.

6. Брейсуэлл Р.Н., Бьюнеман О., Хао X., Вилласенор Дж. Быстрое двумерное преобразование Хартли // ТИИЭР. 1986. Т.74, №9.

7. Брейсуэлл P.H. Быстрое преобразование Хартли. // ТИИЭР.-1984, т.72, №8.

8. Prado J. Transformation de Hartley discrete rapide II Annales de Telecommun.- 1985. Völ.40. - pp. 477-480.

9. Meckleburg H.-J. and Lipka D. Fast Hartley transform algorithm. // Electron. Lett. 1985. Vol. 21, № 8. - pp.341-343.

10. Hao H. On fast Hartley transform algorithm. II IEEE Proc. -1987. Vol. 75.

11. Okan К. Ersoy. A comparative Review of real and complex Fourier-related transforms. II Proc.IEEE. -1994. Vol. 82. No.3. -429-447.

12. Агбинья Дж. И. Быстрый алгоритм интерполяции на базе БПХ // ТИИЭР. -1987. №4.

13. Agbinya J.I. Fast interpolation algorithm using fast Hartley transform. // IEEE Proc. -1987. Vol. 75. pp. 523-524.

14. Satyanarayana P. Interpolation algorithm using Walsh-Hadamard and discrete Fourier/Hartley transforms I I in Proc. 33-rd Midwest Symp. On Circuits and Systems.-1991.-pp. 545-547.

15. Бьюнмен О. Многомерные преобразования Хартли // ТИИЭР.-\9%1. Т.75, №2.

16. Zapata E.L. Multidimentional fast Hartley transform onto SIMD hipercubes // Microprocess. Microprogramm., -1990. Vol. 29. - pp. 121-134.

17. Meher P.K., Satapathy J.K., Panda G. Fast computation of multidimensional discrete Hartley transform // Electron. Lett. 1992. Vol.28. - pp. 1077-1078.

18. Tzou K.H., Hsing T.R. Study of the discrete Hartley transform for image compression applications // in Proc.SPIE. Vol. 534. -1985. pp.108-115.

19. Yeh P.-S. Data Compression properties of the Hartley transform I I IEEE Trans.Acoust., Speech.,Signal Process., -1989. Vol.37. pp.450-451.

20. На смену преобразованию Фурье. // В мире науки (пер. с англ. «Scientific American»), -1987, № 9. Стр.67.

21. Левин Г.Г., Вишняков Г.И. Оптическая томография. М: Радио и связь, 1989.-224 с.

22. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М: Радио и связь, 1989.-240 с.

23. Cooley J.V. and Tukey J.W. An algorithm for machine computation of complex Fourier series.// Math. Comput, -1965. -Vol.19, №90. pp. 297-301.

24. Batyrov R.M., Karimov M.G. Tomographic data processing systems on Hartley-transform and the method of 3D image visualization. // Program & Technical

25. Digest, V-th International conference on laser application in life sciences «LALS-94», Minsk, Belarus, 1994. PI.7.

26. Батыров P.M. Применение преобразования Хартли для реконструкции и обработки томографического изображения. // Сборник статей. {Естественные науки). Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1995. - Стр. 31-33.

27. Батыров P.M. Алгоритм синтеза томографического изображения с использованием быстрого преобразования Хартли. // В сб.: "Труды молодых ученых" (Естественные науки). Махачкала: ИПЦ ДГУ. - 1996. - Стр.20-25.

28. Батыров P.M., Каримов М.Г. Решение реконструктивной задачи в трансмиссионной лазерной томографии с применением преобразования Хартли. Препринт ДГУ № 440, Махачкала: ИПЦ ДГУ. - 2000 г. - 85 с.

29. Natterer F. The mathematics of Computerized Tomography. Stuttgart: Teub-ner, 1986. Имеется перевод: Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Пер. с англ. под ред. В.П.Паламодова. - М: Мир. - 1990. -280 с..

30. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1968 г.

31. Brooks R.A. and DiChiro G. Beam-hardening in X-ray reconstructive tomography. HPhys. Med. Biol., 1976. Vol. 21. - pp.390-398.

32. Stonestrom J.P., Alvarez R.E., Macovsky A. A framework for spectral artefact corrections in X-ray CT. // IEEE Trans. Biomed. Eng., 1980. Vol.BME-28. - pp. 128-141.

33. Budinger T.F., Gullberg G.T., Huesman R.H. Emission computed tomography. // In Image Reconstruction from Projections / ed. Herman G.T., Springer, 1979.

34. Rogers J.G., Harrop R., Kinahan P.E. The Theory of Three-Dimentional Image Reconstruction for PET // IEEE Trans, on Medical Imaging. 1987. Vol.6. -pp.239-243.

35. Исимару А. Рапространение и рассеивание волн в случайно-неоднородных средах. Т.1. М: Мир. - 1981. - 280 с.

36. Селищев C.B., Терещенко С.А. Оптическая томография рассеивающих сред в двухпотоковой модели переноса излучения, II Письма в ЖТФ. 1995. -Т.21.вып.12.-Стр. 24-25.

37. Терещенко С.А., Подгаецкий В.М., Воробьев Н.С., Смирнов A.B. Условия прохождения коротких оптических импульсов через сильно рассеивающую среду. II Квантовая электроника. 1996. Т.23, №3. - Стр.265-268.

38. Боровский A.B., Галкин A.JI. Нелинейное волновое уравнение для описания распространения ультракоротких мощных лазерных импульсов в веществе. 1/ЖЭТФ. -1994. Т.106, № 3. Стр.915-924.

39. Medical Optical Tomography: Functional Imaging and Monitoring. / Eds. Müller G., Chance В., Alfano R., Arridge S., Beuthan J., Gratton E., Kaschke M., Masters В., Svanberg S., van der Zee P. Bellingham: SPIE, 1993, SPIE Institutes, vol. IS11.-656 p.

40. Валлескалн А.Я., Левин Г.Г., Старостенко O.B. Томографическое исследование рассеивающих сред // Оптика и спектроскопия. -1985. т.59, вып.4. -Стр.850-853.

41. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Изд. «Наука» (Сиб. отд.). - 1982. - 235 с.

42. Денисов В.И., Захаренков Ю.А., Кологривов A.A. и др. Методы эмиссионной и интерферометрической томографии лазерной плазмы. // Краткие сообщения по физике. -1985, №12. Стр.17-21.

43. Shyder R., Hesselink L. High speed optical tomography for flow visualization // Appl. Opt. -1985. Vol.24, № 23. - p.4046.

44. Hoppe W., Hegerl R. Three-dimensional structure determination by electron microscopy. // In Computer Processing of Electron Microscope Images / ed. Hawkes P.W. -Springer, 1980.

45. Matson Charles L. Reconstructed image signal-to-noise issues in range-resolved reflective tomography. // Opt. Commun. 1997. Vol.137, №4-6. - pp.343358.

46. Bracewell R.N. Strip integration in radio astronomy. // Aust. J. Phys. 1956, Vol.19.-pp. 198-217.

47. Sleeman B.D. The inverse problem of acoustic scattering. // IMA J. Appl. Math. 1982. Vol.29.-pp.113-142.

48. Weinman J.A. Tomographic lidar to measure the extinction coefficients of atmospheric aerosols. II Appl Optics. 1984. Vol.23, № 21. - pp.3882.

49. Alpatov V.V., Levin G.G., Pickalov V.V., Romanovsky Yu. A. Optical tomography of artificial formations in the near Earth space // Cosmic Research. -1993. Vol.1, No.l.-pp.97-107.

50. Преображенский Н.Г. Перспектива нейтринной геотомографии. Куйбышевский авиационный институт. 1985. - Стр.131-132.

51. Андерсон Д.Л., Дзевонский A.M. Сейсмическая томография // В мире науки (пер. Scientific American), 1984, № 12. - Стр.16 - 20.

52. Munk W.H. Ocean acustic tomography: a scheme for large monitoring // Deep-SeaRes. 1979. -Vol.26, N2A.-P.123-161.

53. Barrett H.H. Optical processing in Radon space // Opt. Letters. -1982, vol.21. -pp.217-286.

54. Swith W.E., Barrett H.H. Radon transform and band width compression // Opt.Lett. 1983. Vol. 8, № 7. . pp.395-397.

55. Braginsky V.B., Khalili F.Ya. Quantum Measurement. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1992.

56. Mancini S., Man'ko V.l., Tombesi P. Different realizations of the tomographic principle in quantum state measurement. // J.Mod.Opt. 1997. Vol.44, №11-12. -pp.2281-2292.

57. Wünsche A. Radon transform and the pattern functions in quantum tomography. /IJ.Mod.Opt. 1997. Vol.44, №11-12. - pp. 2293-2331.

58. Клюев B.B., Курозаев В.П., Вайнберг Э.И. Современное состояние и перспективы развития компьютерной аксиальной томографии. М.: ЦНИИТЭИ приборостроения; -1979. - 85 с.

59. Chiang Be-S. et al. Spatial resolution in industrial tomography // IEEE Transactions on Nuclear Science. -1983. Vol. NS-30, № 2. pp.1671-1676.

60. Физика визуализации изображений в медицине / под ред. С. Уэбба. Тома I и II, -М.: Мир, 1991.

61. Tearney G.J., Bouma В.Е., Boppart S.A., Golubovich В., Swanson E.A., Fuji-moto J. G. Rapid acquition of in vivo biological images by use of optical coherent tomography // Opt.Lett., -1996. Vol. 21, №17. pp.1408-1410.

62. Уланов И.М. Определение плотности и температуры плазмы по поглощению у- и ß-радиоактивных излучений // Известия СО АН СССР. Сер. тех. наук, 1974, вып.2, № 8. - Стр.33-38.

63. Каримов М.Г. Стохастическая корреляционная томография. // ЖЭТФ. 2000. Т. 117, вып.4. - Стр. 1-8.

64. Karimov M.G. Correlation Tomography: Theory and Computer Simulations. // Patern Recognition and Image Analysis. 2000, No.l. Vol.10. - pp. 168-175.

65. Душин JI.A., Павличенко О.С. Исследование плазмы с помощью лазеров. -М.: Атомиздат, 1968. 120с.

66. Bokage Е.М. French Patent №536464, Paris, France, 1921.

67. Barrett H.H., Swindell W. Radiological imaging. The theory of image formation, detection and processing. NY: Academic Press, 1981. - 680 p.

68. Чикирдин Э.Г., Стольцер C.M., Астраханцев Ф.А. Рентгеновские томографические аппараты. М.: Медицина, 1976 г., стр.124.

69. Вишняков Г.Н., Левин Г.Г. Методы восстановления продольных томограмм // Оптика и спектроскопия. 1985 г. Т.58, вып.З. - Стр. 629-633.

70. Ziedses des Plantes B.G. Serieskopie. Eine röntgenographische Methode, wel-clermöglicht mit Hilfe einiger Aufnahmen, eine unendliche Reihe paralleler Ebnen in Reihenfolge gesondert zu betrachten. II Fortschr. Röntgemtr., -1930, Bd.57, s. 605-612.

71. Bracewell R.N. and Riddle A.C. Inversion of fan-beam scans in radio astronomy/ II Astrophys.J. 1967. Vol.150. - pp. 427 - 434.

72. Клуг А. От макромолекул к биологическим ансамблям: Нобелевская лекция по химии. // УФН. 1982. т. 142, № 1. - Стр.3-30.

73. Korenblyum B.I., Tetel'baum S.I., Tyutin A.A. About one scheme of tomography. // Bull.Inst.Higher Educ.-Radiophys.-1958, №1. pp. 151-157.

74. Hounsfield G.N. Computerized transverse axial scaning (tomography). Part 1. Description of system. // Br J.Radiol. -1973. Vol.46. pp. 1016-1022.

75. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983. - 152 с.

76. Вайнштейн Б.К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул. // УФН. 1973, т. 109, № 3. - Стр.455.

77. Баррет Х.Х., Суиндел У. Аналоговые методы восстановления вида объекта трансаксиальной томографии // ТИИЭР. 1977, т.65, № 1. - Стр. 107-115.

78. Колесников Н.Г., Ларькина Л.Т., Энгелыпт B.C. Обращение интеграла Абеля. // в кн.: VII Сибирское совещание по спектроскопии. 1972, Иркутск. -Стр. 88-90.

79. Piessens R. Calculation of the radial distribution of emitters in a cylindrical source. // Computer Physics Communications, -1973. Vol.5, №4. pp.294-298.

80. Birkeland J.W., Oss J.P. Spartial resolution of the volume emittion coefficient in strongly self-absorbing sources of cylindrical symmetry // Appl. Optics. 1968, vol.7, №8.-pp. 1635-1639.

81. Пикалов B.B., Преображенский Н.Г. "О преобразовании Абеля при голо-графической интерферометрии точечного взрыва" // Физ. гор. и взрыва. -1974, №6. Стр.923-930.

82. Maldonaldo C.D., Caron А.Р., Olsen H.N. New method for obtaining coefficients from emitted spectral intensities. Part I Circulary Symmetric light sources // J. Opt. Soc. of America, -1965, vol.55, №10, pp.1247-1254.

83. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-232 с.

84. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические проблемы компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. - 160 с.

85. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новосибирск: Наука (СО АН СССР), 1984. 238 с.

86. Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. М.: МГУ, 1967. -148 с.

87. Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Инверсия Радона в эмиссионной томографии нестационарной плазмы. Препринт ИТ СО АН СССР M 80-82. Новосибирск, 1982. - 51 с.

88. Pickalov V.V., Melnikova T.S. Tomographic measurements of plasma temperature fields. // Beitr.Plasmaphys., 1984. -Vol.24, №4. - pp.417 - 430.

89. Морозов В.А. О задаче дифференцирования в некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации. // Вычислительные методы и программирование. -1970. М.: Изд-во МГУ, вып. 14. - Стр.46-62.

90. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section. // IEEE Trans. Nucl. Sei. -1974. Vol.21, №3. pp.21-43.

91. Ramachandran G.N., Lakshminarayan A.V. Three-dimentional reconstruction from radiographs and electron micrograph: application of convolution instead of Fourier transforms. // Proceedings Nat.Acad.Sci. USA. 1971. - Vol.68. - pp.22362240.

92. Kock M., Richer J. Meßfehler und Lösung einer Abelschen Integralgleichung // Ann. Phys. -1969. Bd.24, H.l. s.30-37.

93. Bockasten K. Transformation of observed radiances into radial distribution of the emission plasma. II J. Opt. Soc. Amer., -1961. Vol.51, №9. - pp.943-947.

94. Keller R. A new numerical procedure to smooth experimental data for the performance of an inverse Abel transformation. // Proc. 10-th Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases (ICPIG), Contributed Papers, Oxford, -1971, paper 5.3.1. p.395.

95. Nestor O.H., Olsen H.N. Numerical methods for reducing line and surface probe data // SI AM Rev. -1960. -Vol.2, №3. pp.200-207.

96. Пирс У.Д. // в сб. Получение и исследование высокотемпературной плазмы (пер. с англ.) / под ред. В.А.Фабриканта. М.:Изд-во иностр. лит., 1962. -с.221.

97. Кузнецов Э.И., Щеглов Д.А. Методы диагностики высокотемпературной плазмы. -М.: Атомиздат, 1974. 159 с.

98. Traigt C.V. On the inversion of an Abel equation. // Proc. 10-th Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases (ICPIG), Contributed Papers, Oxford, 1971, paper 4.4.4.7. - p.396.

99. Yokley C.R., Shumaker J.B. IIRev. Scient. Instrum., -1963. Vol.34. p.551.

100. Косарев E.JI. О численном решении интеграла Абеля // ЖВМиМФ. -1973. №6. Т.13. Стр. 1591-1596.

101. Minerbo G.N., Levy М.Е. Inversion of Abel's integral equation by means of orthogonal polynomials. // SIAMJ. vol.5, №2. pp. 74-88.

102. Fleurier С., Chapelle J. Inversion of Abel's integral eguation Application to plasma spectroscopy. // Comput.Phys.Commun. -1974. Vol.7, №4. - pp.200-206.

103. Van Tright C. On the inversion of an Abel integral equation // 10-th Int. Conf. On phenomena in Ionized Gases. 1971. Oxford.- p.396.

104. Ларькина Л.Т., Энгелыыт B.C. Редукция к однородному оптически тонкому слою в осесимметричных объектах // в кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. Новосибирск: СО АН СССР, - 1977, стр. 229-242.

105. Elder P., Jerric J., Birkeland J.W. Determination of the radial profile of absorption and emission coefficients and temperature in cylindrically symmetric sources with self-absorption. // Appl. Opt. 1965. vol.4, №5. - pp.589-592.

106. Freeman M., Katz S. Determination of the radial distribution of brightness in a cylindrical luminous medium with self-absorption. // JOSA. -1960. vol.50, №8. -pp.826-830.

107. Cha S., Vest C.M. Tomographic reconstruction of strongly refracting fields and its application to interferometric measurements of boundary layers // Appl. Optics, 1981. Vol.20, №16. - pp. 2787-2794.

108. Silver E., Roney W. Distribution of emitters in an elliptical source // IEEE Trans. Plasma Sci. 1980. vol.8, № 3. - pp.231 -234.

109. Гиппиус Е.Ф., Илюхин Б.И., Лунин H.H., Пикалов В.В. Особенности восстановления радиальных распределений интенсивностей излучения плазмы стеллараторов // Физика плазмы. -1983. т.9, № 5. Стр. 1111-1115.

110. Андрюхина Э.Д., Бережецкий М.С., Гребенщиков С.Е. и др. Стелларатор Л-2. Препринт ФИАН№ 154: -М:ФИАН, 1977.

111. Басов Н.Г., Шиканов А.С., Склизков Г.В. и др. Численная обработка ин-терферограмм сильно неоднородных фазовых объектов // Физика плазмы. -1980, т.6, № 5. Стр.1167-1173.

112. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Восстановление поля локально равновесных температур среды по излучению // Инж.-физ. Журнал. 1977, т.33,№6.- Стр. 1042-1046.

113. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Локальная диагностика газовых и плазменных объектов с заданными изолиниями // Оптика и спектроскопия. — 1979. т. 46, № 1. Стр. 209-211.

114. Budinger T.F. and Gullberg G.T. Three-dimentional reconstruction in nuclear medicine emission imaging. II IEEE Trans. Nucl. Sci. 1974.Vol.NS-21. - pp.2-20.

115. Webb S., Flower M.A., Ott R.J. and Leach M.O. A comparison of attenuation correction methods for quantitative single photon emition computed tomography. // Phys. Med. Biol. -1983. Vol.28. - pp.1045-1056.

116. Gilbert P. Iterative methods for three-dimentional reconstruction of an object from projections.// Journ. Theor. Biol. 1972, vol.36. - pp. 105-117.

117. Herman G.T., Lent A. And Rowland S.W. ART: mathematics and applications a report on the mathematical foundation and on the applicability to real data of the algebraic reconstruction techniques. // Journ. Theor. Biol.- 1973, vol.42. -pp. 1-32.

118. Хермен Г. Востановление и реконструкция изображений по проекциям. -М.: Мир, 1989.-352 с.

119. Aliverdiev A.A, Karimov M.G. Solution of Optic Reconstructive Problem Considering Registered Signal Velosity. // Turkish Journal of Physics. 1998. vol.22, №4. -pp.311-313.

120. Каримов М.Г., Аливердиев А.А. Использование спектра скоростей для исследования динамических объектов // Вестник ДГУ (Естественно-технические науки), вып.1. 1996. - Махачкала: ИПЦ ДГУ. - Стр. 87-89.

121. Аливердиев А.А. Использование спектра скоростей для пространственно-временного исследования высокоскоростных процессов /IЖТФ. 1997, т.67, №9. - Стр. 132-134.

122. Vest С.М., Prikryl J. Tomography by Iterative Convolution: empirical study and application of interferometry. // Appl. Opt. -1984, vol.23, №14 pp.2433-2440.

123. Choi J.S., Ogawa K., Nakajima M., Yuta S. A reconstuction algorithm of body sections with opague obstructions. // IEEE Trans. Sonics and Ultrason. -1982. Vol.29, №3. - pp.143-150.

124. Bracewell R.N. Affine theorem for the Hartley transform of an image. // ProcJEEE, 1994. Vol. 82, No.3. - pp. 388-390.

125. Луитт P.M. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований. // ТИИЭР, 1983, т.71, №3. - Стр. 125-147.

126. Введение в современную томографию. / Под ред. К.С.Терновского, М.В.Синькова. Киев: Наук, думка, 1983. - 232с.

127. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987 г. - 230 с.

128. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984 г.

129. Маковски А. Физические проблемы реконструктивной томографии. // ТИИЭР, 1983, т.71, №3. - Стр.104-110.

130. Бейтс Р., Мак-Доннелл Д. Восстановление и реконструкция изображений по проекциям. М.: Мир, 1989 г.

131. Фор А. Восприятие и распознавание образов. -М.: Машиностроение, 1989.

132. Диагностика плотной плазмы / Басов Н.Г., Захаренков Ю.А., Рупасов A.A., Склизков Г.В., Шиканов A.C. под ред.Басова Н.Г. - М.:Наука, Гл.ред. физ.-мат.лит, 1989. - 368 с.

133. Басов Н.Г., Захаренков Ю.А., Зорев H.H. и др. Нагрев и сжатие термоядерных мишеней, облучаемых лазером // Итоги науки и техники: Радиотехника. М.: ВИНИТИ, - 1982, т.26.

134. Basov N.G., Zakharenkov Yu.A., Zorev N.N. et al. Heating and compression of Thermonuclear Targets by Laser Beam. Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

135. Афанасьев Ю.В., Басов Н.Г., Крохин O.H. и др. Взаимодействие мощного лазерного излучения с плазмой. / Итоги науки и техники. Сер.Радиотехника. М.:ВИНИТИ. -1978.

136. Басов Н.Г., Крохин О.Н., Склизков Г.В. Федотов С.И. // Труды ФИАН, -1974, Т.76. -Стр. 146-185.

137. Ерохин A.A., Захаренков Ю.А., Зорев H.H. и др. // Физика плазмы, -1978, Т.4, № 3. -Стр. 648-661.

138. Физические измерения в газовой динамике и при горении / под ред. Л.У. Ланденбурга, Б. Льюиса, Пиза Р.Н., Тейлора Х.С. М.: ИЛ, - 1957. - 484 с.

139. Зарев H.H., Склизков Г.В., Шиканов A.C., // ЖЭТФ. 1982, т. 82, вып.4. -Стр.1104-1113.

140. Преображенский Н.Г. Абелева инверсия в физических задачах. / В кн.: Инверсия Абеля и её обобщения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. -1978.-6-24.

141. Фриш С.Э. Оптические спектры атомов. М.: Гос.изд.ред.физ.-мат.лит, 1963. - 640 с.

142. Rompe R., Steenbek M. Progress in Plasma and Gas Electronics. Vol.1, Berlin: Akademie-Verlag, 1973.

143. Коломийцев Ю.В. Интерферометры. Основы инженерной теории, применение. -Л.: Машиностроение, 1976. 295 с.

144. Вест Ч. Голографическая интерферометрия. / пер. с англ. М.: Мир, 1982. -504 с.

145. Саркисов Г.С. Рефракция зондирующей электромагнитной волны в лазерной плазме. // Квантовая электроника, 1998, т.25, № 1, стр. 41-44.

146. Vest С.М. Interferometry of strongly refracting axisymmetric phase objects. // Appl. Optics. 1975. Vol. 14, №7. - pp. 1601 -1606.

147. Melnikova T.S., Pickalov V.V. Tomographic measurements of temperature fields in non-stationary Arc plasma. // Beitr.Plasmaphys., 1984, vol.24, №5. -pp.431 -445.

148. Баудер У. Эмиссионные методы диагностики плазмы. // В книге: Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики. Новосибирск: Наука, 1977. - Стр.208-213.

149. Wiese W.L., Smith M.W., Miles В.М. Atomic transition probabilities.// NSRDS NBS, - 1969, № 22.

150. Nubbemeyer H., Wende B. High density correction of the Boltzmann factors of highly exited argon I in a LTE plasma and the influence on the determination of transition probabilities. // Proc. XIIICPIG, contr. pap., Eindhoven, 1975.- p. 145.

151. Цвиккер Г. Определение параметров оптически толстых плазм. // В кн.: Методы исследования плазмы / под.ред. Лохте-Хольтгревена. М.:Мир, -1971. -Стр. 169-194.

152. Диагностика плазмы. / под.ред. Р.Хиддлстоуна и С.Леонарда. М.: Мир, 1967.-515 с.

153. Финкельнбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая плазма. -М.:ИЛ, 1961.

154. Грим Г. Спектроскопия плазмы. М.: Атомиздат, 1969, 452 с.

155. Методы исследования плазмы / под.ред. Лохте-Хольтгревена. М.: Мир, 1971.-552 с.

156. Унзольд А. Физика звездных атмосфер. М.:ИЛ, 1949.

157. Биберман Л.М., Норман Г.Э. Рекомбинационное и тормозное излучение плазмы // JQSRT, -1963, т.З. Стр. 221-245.

158. Коротеев Н.И., Шумай И.Л. Физика мощного лазерного излучения. М.: Наука, 1991.

159. Гладков С.М., Коротеев Н.И., Желтиков A.M. Мощные пико- и фемтосе-кундные лазерные системы (Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы лазерной физики). М.: ВИНИТИ, т.4, 1991.

160. Геллер Ю.И., Попов А.К. Лазерное индуцирование нелинейных резонан-сов в сплошных спектрах. Новосибирск: Наука, 1981.

161. Druet S.A.J., Taran J-P.E. CARS spectroscopy // Progress in Quant.Electr., -1981, vol.7, №1.- pp. 1-72.

162. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.:Наука, 1989г.- 233 с.

163. Александров Е.Б., Ахманов С.А., Гладков C.M., Коротеев Н.И., Кулясов В.Н., Федоров А.Б. Диагностика атомарных газовых сред методом КАРС. // Оптика и спектроскопия, 1985, т.58, №4. - Стр.721-724.

164. Гладков С.М., Коротеев Н.И., Рычев М.В., Сергеев В.Н., Федоров А.Б. Нелинейная спектроскопия возбужденных атомов, молекулярных газов и плазмы. // Известия АН СССР, сер. Физическая. -1986,т.50, №6. -Стр.11391147.

165. Bloembergen N., Shen Y.R. Optical nonlinearities of a plasma. // Phys. Rev., -1966, vol.141, №1. -pp.298-305.

166. Силин В.П. Нагрев и нелинейное взаимодействие излучения с лазерной плазмой. Препринт ФИАНМ165, Москва, 1980.

167. Bjorklund G.C. Effects of focusing on third-order nonlinear processes in isotropic media. // IEEE J. Quantum Electron., 1975, vol. QE-11.- pp. 287 - 296.

168. Reintjes J.F. Nonlinear optical parametric processes in liquids and gases. -NY: Academic Press, 1984.

169. Желтиков A.M. Нелинейно-оптический отклик лазерной плазмы: генерация гармоник и четырехфотонная спектроскопия возбужденных ионов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. МГУ, Москва, 1990 г.

170. Гладков С.М., Желтиков A.M., Коротеев Н.И., Морозов В.Б., Рычев М.В., Тункин В.Г., Федоров А.Б. Сильные оптические нелинейности возбужденных газов и плазмы. // Известия АН СССР, сер.физическая. -1988, том52, №2.-Стр.217-224.

171. Zheltikov A.M. et al. I I In Intern. Quantum Electronic Conf. Technical Digest., vol.7, Washington DC:Opt.Soc.Am., -1998.- p. 147.

172. Fedotov A.V. et al. II J.Nonlinear Optical Phys. Mater. 1997, № 6.- p.387.

173. Гладков C.M., Коротеев Н.И. Когерентное антистоксово рассеяние света в плазме электрических и оптических разрядов. // Итоги науки и техники (ВИНИТИ), сер. Физические основы лазерной и пучковой технологии. -1988, том 2. Стр.4-45.

174. Бродниковский A.M., Гладков С.М., Задков В.Н., Каримов М.Г., Короте-ев Н.И. Нелинейные оптические эффекты в плазме лазерной искры в поле на-носекундных импульсов Nd:YAG лазера. // Письма в ЖТФ. -1982, том 8, вып.8. Стр.497-502.

175. Karimov M.G. Correlation Tomography: Theory and Computer Simulations. /У Patern Recognition and Image Analysis. -2000. No.l. -Vol.10. pp. 168-175.

176. Каримов М.Г. CARS-томография плазменных объектов. // Тезисы докладов V-й Международной научно-практической конференции "Оптические методы исследования потоков" (ОМИП-99). Москва, 1999. -Стр.121-122.

177. Каримов М.Г., Батыров P.M., Халилулаев Г.М. Использование преобразования Хартли в лазерной томографии. // Известия Академии Наук, сер. физическая, 1999. - Т.63, № 6. - Стр.1117-1124.

178. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.:Мир, -1989.-Стр.54,119.

179. Патент Российской Федерации №2071221, G06F 17/14, "Процессор для быстрого преобразования Хартли" / Научно-производственное конструкторское бюро "Алмаз", 1994 г.