Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Баландин, Александр Леонидович

• Баландин, Александр Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Баландин, Александр Леонидович

Введение

1 Скалярная томография

1.1 Введение.

1.1.1 Радон (72.) преобразование: к= N-1.

1.1.2 Лучевое (X) преобразование: к=1.

1.1.3 Веерное (Т>) преобразование.

1.1.4 Формулы обращения.

1.2 Итерационные фурье методы (ИГМ).

1.2.1 Реконструкция трёхмерных изображений по одномерным проекциям.

1.2.2 Реконструкция трёхмерных изображений по двумерным проекциям

1.2.3 Численное моделирование

1.2.4 Непрозрачные включения

1.3 Томография в пространстве скоростей.

1.3.1 Восстановление функции распределения.

1.3.2 Функция распределения в задаче звёздной статистики.

1.4 Принцип максимума энтропии.

1.4.1 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1)

Параллельная геометрия измерения.

1.4.2 Численное моделирование. Параллельная геометрия.

1.4.3 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1)

Веерная геометрия измерения.

1.4.4 Численное моделирование. Веерная геометрия.

2 Двумерная векторная томография

2.1 Введение.

2.1.1 Векторные интегральные преобразования.

2.1.2 Ух- преобразование.

2.1.3 Уд- преобразование

2.1.4 Теорема о центральном сечении (Х>х -преобразование).

2.2 Доплеровская томография.

2.2.1 Физические основы.

2.2.2 Доплеровская спектроскопия и метод обращения.

2.2.3 Численное моделирование. 2-Б векторное поле.

2.2.4 Аксиальная симметрия.

Метод обращения и численное моделирование.

2.3 Поляризационная томография

2.3.1 Метод обращения.

2.3.2 Численное моделирование

3 Трёхмерная векторная томография

3.1 Введение.

3.2 Разложение по скалярным сферическим гармоникам. БЭ^ГО - метод.

3.2.1 Метод обращения.

3.2.2 Численное Моделирование.

3.3 Разложение по векторным сферическим гармоникам. УБНБ - метод

3.3.1 Представление соленоидального поля.

3.3.2 Процедура обращения.

3.3.3 Численное моделирование.

4 Томография плазменных процессов

4.1 Восстановление радиального распределения скорости.

4.2 Восстановление 2-D полоидального поля скоростей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии»

Нетрудно испечь пирог, если есть Наибольшую опасностъ представляет мпе-рецепт, но можно ли написать ^ что существует универсалъный метод рецепт, отведав пирог? i для решения прикладных обратных задач. 2

Ричард Фейнман pierre C.Sabatier

Данная работа относится к области знания, которую принято сейчас называть вычислительной диагностикой. Под этим понимается совокупность методов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Большое значение вычислительная диагностика имеет в медицине, при контроле за состоянием окружающей среды, в астрофизике и геофизике, а также в различных областях физики, биологии, химии и т.д.

Все задачи диагностики по существу относятся к обратным задачам -отыскание неизвестных причин по известным следствиям, т.е. когда нужно выяснить свойства объекта по его наблюдаемым проявлениям и имеющейся априорной информации. По существу, проблему интерпретации результа

It is easy to make a cake from a recipe; but can we write down the recipe if we given a cake? R.P. Feynman (1964).

2The most dangerous one is the belief in a universal method for solving applied inverse problems, Раь1 and future of inverse problems, Journal of Mathematical Physics. -2000. -Vol.41, No6. Л тов любого косвенного эксперимента можно рассматривать как обратную задачу. В простейших ситуациях экспериментатор опирается на полуинтуитивные методы решения обратных задач, используя логику здравого смысла и априорную информацию о наблюдаемом процессе, и/или заменяя обратную задачу совокупностью прямых. При интерпретации сложного эксперимента обычно используются методы регрессионного анализа, или решаются интегральные уравнения типа Вольтерра или Фредгольма первого рода [1,2].

Обратные задачи, как правило, более сложные, чем прямые, и не всегда однозначны, плохо поддаются как аналитическим так и численным методам решения из-за их неустойчивости. Неустойчивость означает, что в пределах естественных флуктуаций шума с наблюдательными данными примерно в равной степени согласуется множество возможных оценок решения, включая и существенно отличные от истинного решения. Утрируя, можно сказать, что основная проблема связана не с нахождением подходящего решения обратной задачи, а с их обилием. Тем не менее обратные задачи очень важны, так как зачастую косвенная информация об объекте - это единственная информация доступная экспериментатору. Так обстоит дело в радиофизике, квантовой механике, теории упругости, часто в физике плазмы и т.д. В общем случае обратные задачи часто являются некорректно поставленными, т.е. небольшие ошибки в экспериментальных данных или в данных о характеристиках установки могут дать очень большие ошибки в искомом решении. Одна из причин некорректности заключается в том, что в своей исходной математической постановке обратные задачи являются недоопределенными. Поэтому представляется очевидным, что одно только усовершенствование численных методов не может привести к хорошим результатам, если в исходных экспериментальных данных отсутствует необходимая информация. Необходимо привнести какую-либо априорную нетривиальную дополнительную информацию, с помощью которой можно надеяться "отфильтровать" ложные варианты и выделить решение наиболее близкое к истинному [3-5,7].

Любые чисто математические ухищрения, не привлекающие дополнительных априорных данных, эквивалентны попытке создания информационного perpetuum mobile, производящим информацию из ничего." [8]. Важный момент в повышении устойчивости обратных задач заключается в понимании природы искомого решения и фактически в использовании условия их максимальной простоты, совместимой с данными эксперимента. Например, использовать принцип максимума энтропии или какой-либо критерий гладкости.

Существуют в основном три школы развивающие теорию обратных задач - это школа Тихонова А.Н. ( Бакушинский А.Б., Гончарский А.В, Денисов A.M., Леонов A.C., Ягола А.Г. и др.), школа Лаврентьева М.М. (Анико-нов Д.С.,Аниконов Ю.Е., Бухгейм А.Л., Романов В.Г., Кабанихин С.И. и др.), школа Иванова Б.К. (Васин В.В., Танана В.П. и др.). Особый класс обратных задач возникает в компьютерной томографии [9,11,139,141,150]. Так называют принципиально новый метод изучения объектов по их "проекциям". Под проекциями понимаются измеряемые величины, являющиеся функционалами (обычно содержащими линейные интегралы) от физических характеристик объекта. Под "объектом" подразумевается 2-, 3-или п- мерная функция/вектор-функция, описывающая данный процесс, явление или физическую среду. В общем случае двумерный объект полностью описывается двумя переменными, поэтому мы можем отождествлять "объект" с некоторой функцией двух переменных / = f(x,y). Аналогично, n-мерный объект отождествляется с функцией/вектор-функцией п-переменных. Хорошо известно, что скалярная функция может быть восстановлена по её линейным интегралам [13]. В евклидовом пространстве M.N, в зависимости от того выполняется интегрирование вдоль линии или по гиперплоскости размерности N — 1, говорят о лучевом (Х-гау)- или о Радон- преобразованиях. Если интегрирование проводится по к-мерной плоскости, 1 ^ к ^ N — 1 то имеет место k-plane преобразование. Для N = 2,3 ответ на вопрос, как восстановить функцию по известным проекциям, был дан Радоном (J. Radon) в 1917 году [14]. Сгласно Кормаку [18], впервые преобразование Радона появилось в работе Лоренца 3 по восстановлению функций в 3-D пространстве по их интегралам по плоскостям. В математической литературе Радон- преобразование было использовано в [20], [21] для построения фундаментальных решений дифференциальных и 3H.A.Lorentz, датский физик, Нобелевский лауреат 1902 года уравнений в частных производных. Обращение Радон- преобразования было одной из первых проблем интегральной геометрии, области математики, связанной с восстановлением функций по их интегралам по семейству многообразий [9,10]. Задачи компьютерной томографии, математической основой которых является преобразование Радона, возникали в самых разных областях науки, что привело к тому, что методы обращения были независимо переоткрыты и использовались целым рядом учёных начиная с середины 50-х годов [23, 24, 34]. Компьютерная томография (КТ), после создания Кормаком (А.Согтаск) и Хаунсфилдом (К. Ношшйек!) медицинского томографа в 1972 году, быстро распространилась на другие области исследования, начиная от электронной микроскопии и кончая космосом и сейсмологией см. [149] и цитированную там литературу. В последние годы методы томографии широко применяются для диагностики лабораторной плазмы, в задачах управляемого термоядерного синтеза и т.д. Трансмиссионные измерения, использующие интерферометри-ческую технику, измерение эмиссионного излучения плазмы в рентгеновской [26,27] и в видимой областях спектра [28,29], 7- и нейтронное излучение, регистрируемые в физических экспериментах, представляют собой интегралы некоторых характеристик плазмы вдоль линии наблюдения [30]. В задачах диагностики плазмы одним из важнейших вопросов, стоящих перед исследователем, является степень её неоднородности. Поэтому требуются экспериментальные методики, позволяющие достаточно надёжно определить пространственное распределение таких разнообразных параметров плазмы как коэффициентов эмиссии, температуры, концентрации её компонент, поля скоростей или магнитного поля и т.д. Для получения таких распределений и разрабатываются томографические методы. Наиболее сложными (как в экспериментальном, так и в вычислительном плане) являются задачи трёхмерной эмиссионной томографии, в которой собственное излучение некоторого объёма плазмы регистрируется двумерными детекторами. Для плазменных экспериментов характерно малое число каналов наблюдения (по сравнению, например, с медицинской томографией), что приводит к специфическим проблемам реконструкции томографических изображений в условиях информационной недостаточности экспериментальных данных. В результате этого возникает необходимость более полного привлечения всей имеющейся априорной информации о восстанавливаемом объекте и использования регуляризирующих алгоритмов [5,6]. Такой информацией может быть, например, положительность (в случае восстановления плотности), известные симметрии (возможно, цилиндрическая - в токамаках, сферическая - в сферомаках) или постоянство некоторой величины на изоповерхностях функции потока полоидального поля ф (что часто используется для рентгеновского излучения и справедливо также для магнитного поля).

Для решения практических задач важно иметь замкнутое формальное представление того или иного метода, поэтому описание методов, представляемых в данной работе сопровождается численным моделированием. Это позволяет почувствовать особенности задач, и тем самым получить представление о надёжности полученных решений.

Актуальность темы диссертации. Математическое моделирование как один из важнейших методов научного исследования и, в частности, интегральные методы диагностики играют важную роль в исследовании физических процессов. Преобразования, типа преобразования Радона, лежащие в основе томографии, находят многочисленные приложения в самых различных областях исследования начиная от космического пространства и физики Солнца и кончая диагностикой квантовых, биологических и нано структур. Сегодня значительные результаты с применением томографии получены в молекулярной физике, физике твёрдого тела, геофизике, атмосферной оптике, гидродинамике, лабораторной и космической плазме и т.д. В физических экспериментах и, в частности, в задачах диагностики плазмы часто возникает необходимость использования томографических методов исследования и, более того, они часто бывают единственно возможными. Например, определение пространственного распределения показателя преломления плазмы, основной вклад в который вносит электронная компонента, лежит в основе метода расчёта профиля плотности и важнейших гидродинамических параметров плазмы. Измерение фарадеевского вращения плоскости поляризации зондирующего пучка используется для исследования магнитных нолей в плазменной короне.

В работе акцепт сделан на разработку алгоритмов для плазменной томографии, обладающей рядом специфических особенностей, а именно: ограниченным доступом к объекту (т.е. малым числом ракурсов), наличием непрозрачных включений, влиянием аппаратной функции регистрирующей системы, нестационарностью исследуемой плазмы, необходимостью высокого спектрального, пространственного и временного разрешения и т.д. Именно поэтому при широком распространении методов томографии в технике и медицине освоение этих методов в физике плазмы происходит лишь в настоящее время. Часто единственным источником информации, позволяющим судить о состоянии плазмы, является регистрируемое излучение. Так как спектральная линия несет достаточно полную информацию о процессах, происходящих в плазме, возникает задача обращения доплеровских спектральных измерений. В связи с выше указанной спецификой задача разработки методов малоракурсной томографии, учитывающих различного рода дополнительную априорную информацию, а также разработка схем измерения, обеспечивающих наилучшую реконструкцию, является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка методов и численных алгоритмов томографической диагностики с целью исследования объектов различной физической природы, в частности, приложения методов томографии к задачам астрофизики, физики плазмы, газодинамики и т.д. Математическое моделирование с целью оптимизации физического эксперимента, совершенствования методики эксперимента и разработки томографической системы диагностики. Для этих целей решены следующие задачи:

1) Разработаны двумерные и трёхмерные итерационные алгоритмы малоракурсной томографии для скалярных Радон и лучевого преобразований для планарных схем измерения.

2) Разработаны новые алгоритмы и методы спектральной доплеровской томографии с целью восстановления одномерных, двумерных и трёхмерных векторных полей для различных схем измерения (параллельной, веерной, конической).

3) Разработаны новые методы на основе обобщения метода максимума энтропии для задач трёхмерной скалярной и векторной томографии.

4) Проведено математическое моделирование плазменного эксперимента с целью планирования и оптимизации томографических измерений: выбор минимально необходимого числа ракурсов, положения и числа приёмников.

5) Обработка реальных экспериментальных данных с использованием разработанных алгоритмов скалярной и векторной томографии.

6) Для тестирования и изучения развитых методов создан комплекс программ, включающий библиотеку скалярных и векторных фантомов, предобработку и визуализацию экспериментальных данных.

Методы исследования. Основным инструментом исследования являются методы интегральной геометрии. Используются также методы математического моделирования, методы фурье анализа, функционального анализа, теории программирования, методы оптимизации, численные методы. Научная новизна состоит в следующем:

Разработаны методы и алгоритмы трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье методов. С использованием предложенных методов изучены различные план арные схемы регистрации данных. Методы использовались, в частности, для восстановления трёхмерной функции распределения частиц по скоростям по известным одномерным функциям распределения (скалярная томография в пространстве скоростей) .

Разработаны новые методы на основе обобщения принципа максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конической). Методы применялись для исследования пересоединения магнитных полей в установках типа "сферо-мак" (сферический токамак).

Впервые на основе трёхмерной томографической реконструкции распределения коэффициентов эмиссии в плазме наблюдалась колебальная (twisting) неустойчивость на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.

Разработан ряд новых методов векторной томографии: инверсия поляризационных и спектральных доплеровских измерений с целью восстановления одномерных и двумерных векторных полей. В частности, при наличии аксиальной симметрии, разработан метод одноракурсной векторной томографии для восстановления и исследования временной эволюции радиального распределения скорости частиц в плазме на установках типа "сферомак", Т8-3/Т8-4.

Разработаны новые методы трёхмерной векторной томографии на основе полиномиальных разложений с использованием скалярных и векторных сферических гармоник. Один из методов использовался для восстановления двумерного поля скоростей на установке "сферомак", ТБ-4.

На основе развитых методов и результатов численного моделирования спроектирована томографическая система диагностики на установках типа "сферомак", Т8-3/Т8-4.

Достоверность и эффективность развитых в работе методов подтверждена модельными расчётами а также физически непротиворечивыми результатами, полученными в результате обработки реальных экспериментальных данных.

Практическая значимость результатов исследований заключается в разработке методов и программ малоракурсной томографии для исследования скалярных и векторных полей. Некоторые из разработанных методов уже применялись для исследования плазмы. Результаты реконструкции помогли лучше понять физику процессов нересоединения магнитных полей и оптимизировать сам эксперимент. Разработанные методы могут также найти применение и в других областях исследования, где требуется томографическая диагностика.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработка методов и алгоритмов скалярной трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье методов для плаиарных схем измерения.

2. Разработка методов и алгоритмов на основе обобщения принципа максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конической).

3. Результаты применения разработанных методов скалярной томографии к исследованию процессов пересоединения магнитных полей в установках типа "сферомак": реконструкция трёхмерного распределения коэффициентов эмиссии, анализ плазменной неустойчивости.

4. Разработка методов и алгоритмов обращения спектральных доплеров-ских измерений для восстановления одномерных и двумерных векторных полей.

5. Результаты применения разработанных методов к реальным экспериментальным данным: восстановление временной эволюции радиального распределения скорости, восстановление двумерного полоидального поля скоростей в установках типа "сферомак".

6. Разработка полиномиальных методов обращения в задачах трёхмерной векторной томографии с использованием скалярных и векторных сферических гармоник.

Личный вклад автора. Весь комплекс программ, все постановки задач и методы их решения выполнены лично автором.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления, на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева, на 3-ем Международном симпозиуме по томографии (IWPT-3) - (Токио,2009), на 50-й Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Dallas, США, 2008), на Международном симпозиуме США-Япония "Магнитное пересоединение 2008"- (Okinawa, Япония, 2008), на 5-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Bergen, Норвегия, 2007), на 4-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Aizu, Япония, 2005), на 47-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Colorado, США, 2005), на 46-ой Годовой конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (США, 2004), на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" - (Екатеринбург, 2004), на Международном симпозиуме по обратным задачам в механике (ISIP 2003)-(Nagano, Япония, 2003), на 44-й Годовая конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Флорида, США, 2002), на 42-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Канада, 2000), на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) - (Новосибирск, 1998), на Конференции японского общества индустриальной и прикладной математики (ДЭГАМ) - (Токийский университет, 1996), на Третьем международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (1С1АМ 95)- (Гамбург, 1995), на Международном симпозиуме " Вычислительная томография для промышленных приложений"- (Берлин, 1994), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики"-(Новосибирск, 1992), на Симпозиумах по вычислительной томографии (Новосибирск, 1989, Москва, 1991, Новосибирск, 1993, 1995). Публикации. Основной материал диссертации опубликован более чем в 50 научных работах, среди которых 18 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК для публикации основных результатов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы из 168 наименований, списка иллюстраций. Общий объём диссертации составляет 204 страницы, включая 72 рисунка, 3 таблицы и 1 блок-схему. Перейдем к изложению содержания и структуры диссертации. Первая глава посвящена методам скалярной томографии. Сначала вводятся определения и наиболее важные свойства интегральных преобразований: Радона, лучевого, веерного. Далее рассматриваются методы, основан

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Баландин, Александр Леонидович

Основные результаты Главы 4.

1. Разработаны томографические схемы диагностики для исследования скалярных и векторных параметров плазмы на установках типа "сферомак" TS-3/TS-4.

2. Разработанные в предыдущих главах методы томографической диагностики адаптированы для установок TS-3/TS-4.

Впервые получена томографическая 3-D реконструкция временной эволюции эмиссии плазмы.

3. Впервые по результатам спектральных измерений с использованием томографических методов получена временная эволюция радиального распределения скорости компонент плазмы.

4. Впервые восстановлено двумерное поле скоростей по одномерным спектральным измерениям на установках типа сферический токамак.

Заключение

Оглядываясь назад, можно заметить, что в работе тесно переплетаются чисто математические понятия и физические явления и эффекты. В этом нет ничего удивительного, так как с одной стороны современная томография невозможна без привлечения методов интегральной геометрии, решения некорректных задач, математической статистики, а с другой - она является инструментом в руках исследователя и поэтому на стадии постановки математической задачи естественно необходимо понимание физики исследуемого явления. Понимание физики зачастую позволяет дополнительно привлечь априорную информацию, и тем самым улучшить обусловленность задачи. Этим и объясняется комплексный характер работы. В ней рассматриваются не только алгоритмические вопросы, но также предложены новые методы реконструкции для конкретных физических экспериментов, позволяющие оптимизировать сам эксперимент. Не касаясь общих положений диссертации, можно подвести следующие итоги проделанной в ней работы.

1. На основе итерационного метода фурье-синтеза разработаны 2-D и 3-D методы и алгоритмы обращения Радон (JZ) и лучевого (X) преобразований с учётом возможной неполноты набора проекций, наличия непрозрачных включений, с учётом различной геометрии регистрации проекций (параллельной, веерной, конической).

2. Для малого числа проекций, что является типичной ситуацией для физических экспериментов, разработаны 2-Б и 3-Б алгоритмы обращения Радон (IV)' и лучевого (X) преобразований на основе обобщения метода максимума энтропии на знакопеременные функции. Алгоритмы разработаны для параллельной, веерной и конической схем измерения.

3. Разработаны методы и алгоритмы 1-0, 2-Б и 3-Б векторной толюгра-фии применительно к задачам диагностики плазмы. Методы основаны на разложении искомых вектор-функций в ряд по скалярным и векторным сферическим гармоникам. Реализованы параллельная, веерная и коническая схемы измерений.

4. На основе численного моделирования разработаны методы оптимизации томографического эксперимента и системы диагностики на установках типа "сферомак" Т8-3/Т8-4 (Токийский Университет, Япония).

5. С целью томографического исследования объектов различной физической природы создан комплекс программ включающий библиотеку скалярных и векторных фантомов, модули предобработки экспериментальных данных, модули решения обратных задач, модули постобработки томограмм и их визуализации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Баландин, Александр Леонидович, 2010 год

1. Бухгейм А. Л., Уравнения Вольтерра и обратные задачи. -Новосибирск: Наука, -1983. -130 с.

2. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И., Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новосибирск: Наука, -1984. -237 с.

3. Тихонов А.Н., Гончарский В.В., Степанов В.В., Ягола А.Г., Численные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, Физматлит, -1990. -220 с.

4. Тихонов А.Н., Гончарский В.В., Степанов В.В., Ягола А.Г., Регуля-ризирующие алгоритмы и априорная информация. -М.: Наука, -1983. -198 с.

5. Васин В.В., Агеев А.Л., Некорректные задачи с априорной информацией. -Екатеринбург: УИФ Наука, -1993. -263 с.

6. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г., Нелинейные некорректные задачи. -М.: Наука, -1995. -312 с.

7. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B., Итеративные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, -1989. -126с.

8. Яненко H.H., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С., Методологические проблемы математической физики. -Новосибирск: Наука, -1986. -289 с.

9. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., С.П. Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа. -М.: Наука, -1980. -286 с.

10. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. -М.: Наука, -1980. -264 с.

11. Бухгейм A.JL, Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, -1988. -181 с.

12. Иванов В.К, Васин В.В., Танана В.П., Теория линейных некорректных задач и её приложения. -М.: Наука, -1978. -204 с.

13. Наттерер Ф., Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир. -1990. -279 с.

14. Radon J., Ueber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwaerte laengs gewisser Maenningfaltigkeiten. // Ber. Saechs. Akad. Wiss. -1917. -Vol.69. -c.262-277.

15. Keinert F., Inversion of k-plane transforms and applications in computer tomography. // SIAM Rev. -1989. -Vol.31, No2. -p.273-298.

16. Markoe A., Analytic tomography. -Cambridge: Cambridge Univ. Press. -2006. -400 p.

17. Хелгасон С., Преобразование Радона. -М.: Мир, -1983. -149с.

18. Cormack A.M., Computed Tomography: Some History and Recent Developments. // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. -1982. -Vol.27, -p.35-42.

19. Deans S.R., The Radon transform and some of its applications. -NY: Wiley. -1983. -289 p.

20. John F., Plane Wave and Spherical Means. -NY: Wiley. -1955. -156p.

21. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. -М.: Ф-М. -1959. вып.1. -470с.

22. Bracewell R.N., Strip Integration in Radio Astronomy. // Aust. J. Pliys. -1956,- Vol.9, -p.198-217.

23. Cormack A.M, Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological Applications, II. j j Journal of Applied Physics. -1964. -Vol.35, NolO. -p.2908-2913.

24. Cormack A.M., Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological Applications. // Journal of Applied Physics. -1963. -Vol.34, No9. -p.2722-2727.a.

25. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН. -1983. -т.141, вып.З. -с.469-498.

26. Camacho J.F., Granetz R.S., Soft X-ray tomography diagnostics for the Alcator С tokamak. // Rev. Sci. lustrum. -1986. -Vol.57, No3. -p.417-425.

27. Granetz R.S., Smeulders R, X-ray tomography on JET. // Nucl. Fusion. -1988. -Vol.28, No3. -p.457-476.

28. Hino M., Aono Т., Nakajima M., Yuta S., Lite emission computed tomography system for plasma diagnostics. // Appl. Opt. -1981. -Vol.26, No22. -p.4742-4746.

29. Ingesson L.C., Koning J.J., Donne A.J.H., Schram D.C., Visible light tomography using an optical imaging system. // Rev. Sci. Instrum. -1992,-Vol.63, NolO. -p.5185-5187.

30. Басов Н.Г., Захаренков Ю.А., Pyпасов А.А., Склизков Г.В., Шиканов А.С., Диагностика плотной плазмы. -М.: Наука, -1989. -367с.

31. Hertle A., Continuity of the Radon Transform and its Inverse on Euclidean Space. // Math. Z. -1983. -Vol.184, -p.165-192.

32. Hamaker C., Smith K.T., Solmon D.C., Wagner S.L., The divergent beam X-ray transform. // Rocky Mountain J. Math. -1980. -Vol.10, Nol. -p.253-283.

33. Smith К.Т., Solmon D.C., Lower dimensional integrability of L2 functions. // J. Math. Anal. Appl. -1975. -Vol.51, -p.539-549.

34. Bracewell R.N. Strip integration in radio astronomy. // Ausralian Journal of Physics. -1956. -Vol.9, -p. 198-217.

35. Kinsey J.L. Fourier transform Doppler spectroscopy: A new means of obtaining velocity-angle distributions in scattering experiments. // The journal of chemical physics. -1977. -Vol.66, No6. -p.2560-2565.

36. Баландин A.JI., Преображенский Н.Г., Седельников А.И., Томографическое восстановление распределения частиц по скоростям. // Прикладная механика и техническая физика. -1989. -No6. -с.34-37.

37. Баландин А.Л., Преображенский Н.Г. Методы вычислительной томографии в пространстве скоростей. // В кн. 1-я Всесоюзная школа-семинар по оптической томографии, -Куйбышев, -1988. -с.23.

38. Баландин А.Л., Преображенский Н.Г., Седельников А.И., Исследование возможностей томографической реконструкции распределения молекул по скоростям. // Труды Всесоюзного семинара "Оптическая томография". -Таллии: ИК АНЭССР, -1988. -с.32-35.

39. Баландин A.JL, Фурье анализ радиальных скоростей звезд. Метод восстановления функции распределения пространственных скоростей звезд. // Кинематика и физика небесных тел. -1989. -т.5, No4. -с.88-91.

40. Баландин A.JI., Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Трёхмерная реконструкция объектов с непрозрачным включением по неполному набору 2D проекций. //IV Всес. симпоз. вычисл. томографии. Тез. докл. -4.1. Новосибирск: ИМ СОРАН СССР, -1989. -с.68-69.

41. Баландин А.Л., Пикалов В.В., Трёхмерная реконструкция объектов по неполному набору двумерных зашумленных проекций. // Международная школа-семинар по методам оптимизации и их приложениям. Тез. докл., Иркутск: СЭИ СОРАН СССР, -1989. -с. 18-19.

42. Пикалов В.В., Казанцев Д.И., Голубятников В.П., Обобщение теоремы о центральном сечении на задачу веерной томографии. // Вычисл. методы и программирование. -2006. -т.7, No2. -с. 180-184.

43. Хургин Я.И., Яковлев В.П., Финитные функции в физике и технике. -М.: Наука. -1971. -408 с.

44. Айзенберг JI.A., Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. -Новосибирск: Наука, -1990. -246 с.

45. Вайнштейн Б.К., Современная кристаллография. -М.:Наука. -1990. -709 с.

46. Эрнст Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А., ЯМР в одном и двух измерениях. -М.: Мир. -1979, т1, 450 р.

47. Клуг А., От макромалекул к биологическим ансамблям: Нобелевская лекция по химии. // УФН. -1984. -т. 142, Nol. -с.3-30.

48. Джоунс Р., Уайкс К., Голографическая спекл-интерферометрия. -М.: Мир. -1986. -327 с.

49. Barret Н.Н., Swindel W., Radiological imaging. The theory of image formation, detection and processing. -NY: Academic Press. -1981. -693 p.

50. Вишняков Г.Н., Восстановление томограмм трёхмерных объектов по двумерным проекциям, // Оптика и спектроскопия. -1988. -т.65, вып.З. -с.677-682.

51. Вишняков Г.Н., Шебалин А.Г., Восстановление томограмм трёхмерных объектов при планарной схеме регистрации двумерных проекций. // Оптика и спектроскопия. -1990. -т.68, вып.1. -с. 140-144.

52. Levin G.G., Vishnyakov G.N., On the possibilities of chronotomography of high speed process. // Opt. Commun. -1985. -Vol.56, No4. -p.231-234.

53. Gerchberg R.W., Superresolution thriugh error energy reduction. // Optica Acta. -1974. -Vol.21, No9. -p.709-720.

54. Papoulis A., A new algorithm in spectrum analysis and band-limited extrapolation. // IEEE Trans. -1975. -Vol.CAS-22. -p.735-742.

55. Gull S.F., Daniell G.J., Image reconstruction from incomplite and noisy data. // Nature. -1978. -Vol.272, No20. -p.686-690.

56. Хермен Г., Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. -М.:Мир, -1983. -349b.

57. Koslover R., McWilliams, Measurement of multidimensional ion velocity distributions by optical tomography. // Rev. Sci. Intr. -1986. -Vol.57, NolO. -p.2441-2448.

58. Jaynes E.T., Information Theory and Statistical Mechanics. // Physical Reviews. -1957. -Vol.106, -p.620-630.

59. Jaynes E.T., Information Theory and Statistical Mechanics, II. // Physical R,eviews. -1957. -Vol.108, -p.171-190.

60. Леонов А.С., Ягола А.Г., К обоснованию метода максимальной энтропии для решения некорректных задач. // Вестник МГУ: сер.З, Физика, Астрономия. -2000. -No2. -с.14-16.

61. Skilling J., Bryan R.K., Maximum entropy image reconstruction: general algorithm. // Mon. Not.R. astr. Soc. -1984. -Vol.211, -p.111-124.

62. Gull S.F., Skilling J., Maximum entropy method in image processing. // Proc. IEEE. -1984. Vol.-131, Pt.F, No6. -p.646-659.

63. Gull S.F., Daniell G.J., Image reconstruction from incomplete and noisy data. // Nature. -1978. -Vol.272, -p.686-690.

64. Livesey A, Skilling J., Maximum entropy theory, // Acta Cryst. -1985. -V61.A41. -p.113-122.

65. Steenstrup S., Hansen S., The Maximum-Entropy Method without the Positivity Constraints Applications to the Determination of the Distance-Distribution Function in Small-Angle Scattering. // J. Appl. Cryst. -1994. -Vol.27, -p.574-580.

66. Gilmore Christopher J., Maximum Entropy and Bayesian Statistics in Crystallography: a Review of Practical Applications. // Acta Cryst. -1996. -V61.A52. -p.561-589.

67. Borwein J.M., Lewis C.S., Convergence of best entropy estimates, // SIAM J. Optim. -1991. -Vol.1, -p.191-205.

68. Eggermont P.P.B., Maximum Entropy Regularization for Fredholm integral equations of the first kind., // SIAM J. Math. Anal. -1993. -Vol.24, -No6. -p. 1557-1576.

69. Amto U., Hughes W., Maximum entropy regularization of Fredholm integral equation of the first kind. // Inverse Problems. -1991. -Vol.7. -p.793-808.

70. Elfving Т., An algorithm for maximum entropy image restoration from noise data. // Math. Comput. Modelling. -1989. -Vol.12, -p.729-745.

71. Frieden B.R., Picture Processing and Digital Filtering ed. T.S.Huang. -NY: Springer. -1975, -p. 179-249.74j Kuliback S., Leibler R.A, On Information and Sufficiency. // Ann. Math. Stat. -1951. -Vol.22, -p.79-86.

72. Minerbo G., MENT: A maximum entropy algorithm for reconstructing a source from projection data, // Computer graphics and image processing. -1979. -Vol.10, -p.48-68.

73. Bazaraa M.S., Shetty C.M., Nonlinear Programming Theory and Algorithms. -NY: Wiley, -1979. -580 p.

74. Klaus M., Smith R.T., A Hilbert space approach to maximum entropy reconstruction. // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -1988. -Vol.10, -p.397-406.

75. Balandin A.L., Kaneko A., Maximum entropy method for sign-altering functions. // Inverse Problems. -1999. -Vol.15, -p.445-463.

76. Balandin A.L., Tomographic Analysis of Sign-Altering Functions by Maximum Entropy Method. // An international journal computer & mathematics with applications. -2000. -Vol.39, -p. 15-24.

77. Денисова Н.В., Пикалов В.В., Баландин A.JL, Модифицированный метод максимума энтропии в томографии плазмы. // Оптика и спектроскопия. -1996. -т.81, Nol. -р.43-48.

78. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., А.И. Седельников, Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, -1984. 255 с.

79. Balandin A.L., Ono Y., Tawara Т., Design study of 3-D tomography diagnostic for spherical tokamaks. /'/ European Physical Journal D. -2001. -Vol.14, -p.97-103.

80. Papoular R.J., Vekhter Y., Coppens P., The Two-Channel Maximum-Entropy Method Applied to the Charge Density of a Molecular Crystal: a—Glycine. // Acta Cryst. -1996. -Vol.A52, -p.397-407.

81. David W.I.F., Extending the power of powder diffraction for structure determination. // Nature. -1990. -Vol.346, -p.731-734.

82. Balandin A., Tomography of dynamical objects. // Preprint Series, Graduate School of Math. Sci. Univ. of Tokyo. -1997. -No97-9, -p.1-16.

83. Ortega J. M. and Rheinboldt W. C., Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. -NY: Academic Press, -1970. -250 p.

84. Ambatsumian V.A., On the determination of the frequency function of space velocities of the star from the observed radial velocities. // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. -1935. -Vol.96, No2. -p.172-178.

85. Баландин A.JL, Фурье-анализ лучевых скоростей звёзд. Метод восстановления функции распределения пространственных скоростей звёзд. // Кинематика и физика небесных тел. -1989. -т.5, No4. -с.88-91.

86. Амбарцумян В.А., О некоторых тенденциях в развитии астрофизики. // Изв. АН Армянской ССР, Физика. -1981. -вып.16. -с.239-251.

87. Deans S.R., Gegenbauer transform via the Radon transform. // SIAM J. Math. Anal. -1979. -Vol.10, -p.577-585.

88. Mijnarends P.E., Determination of Anisotropic Momentum Distribution in Positron Annihilation. // Physical Review. -1967. -Vol.B160(3). -p.512-519.

89. Majumdar C.K., Determination of the Total Momentum Distribution by Positron Annihilation. // Physical Review. -1971. -Vol.B4(7). -p.2111-2115.

90. Pecora L.M., 3D tomographic reconstruction from 2D data using spherical harmonics. // IEEE Transactions on Nuclear Science. -1987. -Vol.NS-34(2). -p.642-650.

91. Wang L., The X-ray transform and its inversion for the series expansion basis functions in three-dimensional tomography. /7 SIAM J. Appl. Math. -1992. -Vol.52(5). -p.1490-1499.

92. Driscoll J.R., Healy D.M. Jr., Computing Fourier Transforms and Convolutions on the 2-Sphere. // Advances in Applied Mathematics. -1994. -Vol.15. -p.202-250.

93. Биденхарн Л., Лаук Дж., Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. -М.: Мир, -1984. -т.1. -302 е.

94. Edmonds A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics. -Princeton: Princeton University Press. -1974. -Vol.NJ. -146 p.

95. Ake Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems. -Philadelphia: SIAM. -1996. -408 p.

96. Akaike H., A new look at the statistical model identification. // IEEE Transactions on Automatic Control. -1978. -Vol.AC-19. -p.716-723.

97. Гелъфанд И.M., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. -М:, -1980. -т.18, -р.53-227.

98. Шарафутдинов В.А., Интегральная геометрия тензорных полей, Новосибирск: Наука. -1993. -231 с.

99. Johnson S., Greenleaf J. , Tanaka M., Flandro G., Reconstructing three-dimensional temperature and fluid velocity vector fields from acoustic transmission measurements. // ISA Transactions. -1977. -Vol.16(3). -p.3-15.

100. Norton S.J., Tomographic reconstruction of 2-D vector filds: application to flow imaging. // Geophysical Journal. -1988. -Vol.97, -p.161-168.

101. Norton S.J., Unique tomographic reconstruction of vector fields using boundary data. // IEEE Transaction on signal processing. -1992. -Vol.1, No3. -p.406-412.

102. Braun H., Hauck A., Tomographic reconstruction of vector fields. // IEEE Transaction on signal processing. -1991. -Vol.39, No2. -p.464-471.

103. Prince J.L., Tomographic reconstruction of 3-D vector fields using product probes. // IEEE Transactions on Image Processing. -1994. -Vol.3, No2. -p.216-219.

104. Prince J.L., Convolution backprojection formulars for 3-D vector tomography with applications to MRI. // IEEE Transactions on Image Processing. -1996. -Vol.5, NolO. -p. 1462-1472.

105. Sparr G. , Strâhlént К., Lindstrôm К., Persson H.W., Doppler tomography for vector fields. // Inverse Problems. -1995. -Vol.11, -p.1051-1061.

106. Natterer F., Wubbeling F., Mathematical Methods in Image Reconstruction. -Philadelphia: SIAM. -2001. -216 p.

107. Balandin A.L., Kaneko A., 3D Vector Tomography reconstruction by Series Expansion Mtthod. //' Inverse Problems in Engineering Mechanics IV , M. Tanaka (Editor), Elsevier Ltd. -2003. -p.513-520.

108. Balandin A.L., Fichs G., Pickalov V., Rapp J., Soltwisch H., Vector tomography of Plasmas Using Faraday Rotation, Computerized

109. Tomography, Editor-in-Chief: M.M. Lavrent'ev. // Pro с. of the fourth International Symposium, Novosibirsk, Russia, Utrecht, The Netherlands. -1995. -p.79-81.

110. Balandin A.L., Pickalov V., Fichs G., Some applications of tomographic methods for vector fields. // International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications, Berlin, June 8-10. -1994. -p.82-87.

111. Howard J., Vector tomography applications in plasma diagnostics. // Plasma Physics and Control Fusion. -1996. -Vol.38, -p.489-503.

112. Bell Ronald E., An inversion technique to obtain full poloidal profiles in a tokamak plasma. // Revew of Scientific Instruments. -1997. -Vol.68, -p.1273-1280.

113. Balandin A.L., Ono Y., Tomographic determination of plasma velocity with the use of ion Doppler spectroscopy. // European Physical Journal D. -2001. -Vol.17, -p.337-344.

114. Balandin A.L., Ono Y., Tomographic Reconstruction of the Vector Fields by Doppler Spectroscopy Measurements. /'/ Inverse Problems in Engineering Mechanics IV , M. Tanaka (Editor), Elsevier Ltd. -2003, p.521-529.

115. Balandin A.L., Murata Y., Ono Y., Radial velocity profile reconstruction by Doppler spectroscopy measurements. // European Physical Journal D. -2003. -Vol.27, -p.125-130.

116. Balandin A.L., Ono Y., The method of series expansion for 3-D vector tomography reconstruction. // Journal Computational Physics. -2005. -Vol.202, -p.52-64.

117. Баландин A.Jl., Метод полиномиальных разложений в задачах трехмерной векторной томографии. // Математическое моделирование. -2005. -т. 17, No5. -р.52-66.

118. Balandin A.L., Vector spherical harmonics application to 3-D tomography problem. // Computer Physics Communications. -2007. -Vol.176, -p.457-464.

119. Dinh H.Q., Xu L., Measuring the similarity of vector fields using global Distributions. //http://www.cs.stevens.edu/~quynh/vfieldglobal.html

120. Баландин A.JI., Векторные сферические гармоники в 3-D векторной томографии. // Сибирский Журнал Вычислительной Математики. -2009. -т.12, No2. -с.131-143.

121. Gulberg G.T., Roy D.G., Zeng G.L., Alexander A.L., Parker D.L., Tensor Tomography. // IEEE Transaction on Nuclear Science. -1999. -Vol.46, No4. -p.991-1000.

122. Dautray R. and Lions J.-L., Mathematical analysis and numerical methods for science and technology, Integral Equations and Numerical Methods. -Berlin: Springer. -2000. Vol.4. -494 p.

123. Вейль Г., Избранные труды. Серия "Классики науки", Математическая и Теоретическая физика. -М.: Наука, -1984. -с.275-307.

124. Foias С., Temam R., Remarques sur les equations de Navier-Stokes stationaires et les phenomenes succcssifs de bifurcation. // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. -1978. -Vol.5, -p.29-63.

125. Бэтчелор Дж., Введение в динамику жидкости, -М.: Мир. -1973. -757 с.

126. Блатт Д.Ж., Вайскопф В., Теоретическая ядерная физика, -М.: ИЛ. -1954. -556 с. Приложение II.

127. Gel'fand I.M., Shapiro Z.Y., Representation of the Group of Rotation in Three-dimensional Space and their Applications. // Am. Math. Soc. Transl. -1956. -Vol.2, -p.207.

128. Edmonds A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics. -Prinston: Prinston University Press. -1957. -146 p.

129. Freeden W., Gervens Т., Schreiner M., Constructive Approximation on the Sphere (With Applications to Geomathematics), Oxford Science Publication, Clarendon Press. -1998. -427 p.

130. Годунов С.К., Михайлова Т.Ю., Представления группы вращения и сферические функции. -Новосибирск: -1998. -208 с.

131. Moses Н.Е., The Use of Vector Spherical Harmonics in Global Meteorology and Aeronomy. // J.Atmospheric Sci. -1974. -Vol.31, -p. 14901500.

132. Wang L., Granetz R.S., Series expansion method in three-dimensional tomography. // J.Opt. Soc. Am. A. -1993. -Vol.10, Noll, -p.2292-2295.

133. Izen S.H., Inversion of the k-plane transform by orthogonal function series expansion. // Inverse Problems. -1989. -Vol.5, -p.181-202.

134. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский В.К., Квантовая теория углового момента. -JL: Наука, -1975. -436 с.

135. Hill Е.Н., The theory of vector spherical harmonics. // Amer. J. Phys. -1953. -Vol.22, -p.211-214.

136. Морс Ф.М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, т.1, -М.: ИЛ. -1958. -930 с.

137. Derevtsov E.Yu, S.G.Kazantsev S.G., Schuster Th., Polynomial bases for subspaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions. // J. Ill-Posed Problems. -2006. -Vol.15, Nol. -p.1-38.

138. Kazantsev S.G., Bukhgeim A.A. The Chebyshev ridge polynomials in 2D tensor tomography. // J. Ill-Posed Problems. -2006. -Vol.14, No2. -p.157-188.

139. Шарафутдинов В.А., Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, -1993. 231 с.

140. Ake Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems. -Philadelphia: SIAM. -1996. -408 p.

141. Bellari Paul M., Fundamentals of Plasma Physics. -Cambridge: Cambridge Univ. Press. -2006. -628 p.

142. Oks E., Plasma Spectroscopy: The Influence of Microwave and Laser Fields. Springer Series on Atoms and Plasma, -1995. -No9. -325 p.

143. Kuznetsov E.I., Shcheglov D.A., High Temperature Plasma Diagnostic, -M.: Atomizdat, -1980. -255 c.

144. Bell R.E., An Inversion technique to obtain full poloidal velocity profiles in a tokamak plasma. // Rev. Sci. Instrum. -1997, -Vol.68, No2. -p.1273-1280.

145. Howard J., Vector tomography applications in plasma diagnostics. // Plasma Phys. Control. Fusion. -1996. -Vol.38, -p.489.

146. Shaw R.S., Plasma-rotation determination from spectral intensity measurements. // J.Opt. Soc. Am., A. -1987. -Vol.4, Nol2. -p.2254-2259.

147. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В., Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, -1982. -238 с.

148. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Реконструктивная томография в газовой динамике и физике плазмы. -Новосибирск: Наука, -1987. -230 с.

149. Winters К.В., Rouseff D. Tomographic reconstruction of stratified fluid flow. // IEEE Trans. Ulrason., Ferroelectr. Freq. Control. -1993. -Vol.40, -p.26-33.

150. Lochte-Holtgreven W. (ed.), Plasma Diagnostics. -NY: AIP Press. -1995. -295 p.

151. Ono Y., Yamada M., Akao Т., Ion Acceleration and Direct Ion Heating in Three-Component Magnetic Reconnection. //' Phys. Rev. Lett. -1996. -Vol.76, -p.3328-3331.

152. Kaczmarz S., Approximate solution os systems of linear equations. // International Journal of Control. -1993. -Vol.57, No6. -p.1269-1271.

153. Ильин В.П., Об итерационном методе Качмажа и его обобщениях. // Сиб. журн. индустр. матем. -2006. -т.9, No3. -с.39-49.

154. Shafranov V.D., Plasma Equilibrium in a Magnetic Field. // Rev. Plasma Phys. -1966. -Vol.2, -p.103.

155. Sauthoff N.R. , S. von Goeler, Techniques for the reconstruction two-dimensional images from projections. // IEEE Trans. Plasma Sci. -1979. -Vol.7, No3. -p.141-147.

156. Myers B.R., Levin M.A., Two-dimensional spectral line emission reconstruction as plasma diagnostic tool. // Rev. Sci. Instrurn. -1978. -Vol.49, No5. -p.610-616.

157. De Marco F., Segre S.E., The polarization of an e.m. wave propagating in a plasma withmagnetic shear. The measurement of poloidal magnetic field in tokamak. // Plasma Phys. -1972. -Vol.14, -p.245-252.

158. Soltwisch H., Current density measurements in tokamak devices. // Plasma Phys. and Contr. Fusion. -1992. -Vol.34, Nol2. -p.1669-1696.

159. Faris G.W., Byer R.L., Beam-deflection optical tomography. // Optics Letters. -1987. -Vol.12, No2, -p.72-74.

160. Okoshi Т., Nishimura M., Measurement of axially nonsymmetrical refractive-index distributions of optical fiber perforins by a triangular mask method. // Appl. Opt. -1981. -Vol.20, Nol4, -p.2407-2411.

161. Zhang Y., Coplan M.A., Moore J.H., Bercnstein C.A., Computerized tomographic imaging for space plasma physics. //J. Appl. Phys. -1990. -Vol.68, Noll. -p.5883-5889.

162. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: ФМ. -1962, -1100с.

163. Апарцин А.С.,Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и численные методы. -Новосибирск: Наука. -1999. -192 с.

164. Kawamori Е., Sumikawa Т., Ono Y., Balandin A., Measurement of global instability of compact torus by three-dimensional tomography. //' Review of Scientific Instruments. -2006. -Vol.77, issue 9. -p.093503-1-093503-3.

165. Параметризация используемая в определении преобразования Радона в!2. 25

166. Процедура замены фурье-спектра на известные значения фурье-спектра из проекционных данных. 32

167. Геометрия-1: а)- Схема регистрации проекций, Ь)- двумерные фурье-образы в трёхмерном пространстве. 33

168. Геометрия-2: а)- Схема регистрации проекций, Ь)- двумерные фурье-образы в трёхмерном пространстве. 34

169. Сечения (х-у), (х-г), (у-г) точной модели, левый столбец, и соответствующие сечения реконструированной модели. . 37

170. Ошибка реконструкции в зависимости от числа проекций. . 38

171. Сечения (х-у), (х-г), (у-г) модели с затенением в центральной области, левый столбец, и соответствующие сечения реконструированной модели. 39

172. Показаны двумерные проекции для одного направления без затенения, левый рисунок и с затенением, правый рисунок. . 40

173. Ошибка реконструкции в зависимости от числа проекций при наличии непрозрачных включений. 40110 3-Б пространство скоростей. Вектор наблюдения п перпендикулярен плоскости. Все вектора v, лежащие на плоскости имеют одинаковые радиальные скорости у. 47

174. Трёхмерная томографическая схема измерений для диагностики плазмы. 64

175. Веерная геометрия измерения. 1) Тороид возмущённый модой N=0 с аспектным отношением А=3.5 и 2) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 20.1%. 65

176. Веерная геометрия измерения. 3) Тороид возмущённый модой N=3 с аспектным отношением А=3.5 и 4) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 25.3%. 66

177. Веерная геометрия измерения. 5) Тороид возмущённый модой N=5 с аспектным отношением А=1.0 и 6) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 3.35%. 66

178. Веерная геометрия измерения. 7) Тороид возмущённый модой N=5 с аспектным отношением А=3.5 и 8) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 20.2%. 67

179. Ошибка реконструкции (в процентах) в зависимости числа проекций для различных тороидальных мод: N= 1 (—!—), N=2 (-х-), N=3 (-*-). 67

180. Схема измерения в спектроскопическом эксперименте. Положения линий наблюдения определяются вектором £ и расстоянием u = ОД £-»7 = 0. 82

181. Веерная схема измерений в одной из позиций регистрации проекций. Положение детекторов задается расстоянием ОВ = в, и углом в^ между положительным направлением осей1. Х- и Ху. 86

182. Первая модель с параметрами, ро = 0.0, Ар = 0.55. ф- функции: точная (верхний левый рисунок), восстановленная (верхний правый рисунок). Относительная ошибка реконструкции составляет 1.2 %. Соответствующие векторные поля показаны в нижнем ряду. . 87

183. Вторая модель с параметрами, /?о = 0.45, Ар = 0.1. ф- функции: точная (верхний левый рисунок), восстановленная (верхний правый рисунок). Относительная ошибка реконструкции составляет 11.0 %. Соответствующие векторные поля показаны в нижнем ряду. 88

184. Ошибка реконструкции (в процентах) ф- функции в зависимости от числа проекций и уровня шума: шум 5% (—о—),(— -I—) и шум 10% (—*—), (—о—) для первой и второй моделей соответственно. 89

185. Схема регистрации данных. Положения хордовых линий наблюдения определяются вектором расстоянием и = О А, €-г. = 0. 90

186. Ошибка реконструкции (в процентах) в зависимости от числа хордовых измерений для первой модели, (— * —), и (— х —)для второй модели,соответственно. 92

187. Путь интегрирования Ь{р, а, /?, 7) и углы Эйлера для \>х преобразования. у, г) и у', г')- системы координат: лабораторная и объекта, соответственно. Интегрирование всегда выполняется вдоль оси 2 при различных значениях параметров (р, а, 3,7). .103

188. Проекции £(р, а. ¡3,7) вычисленные по формулам (3.2.4) (сплошная жирная линия) и (3.2.9)-(3.2.11) (тонкая линия), соответственно, при некоторых фиксированных значениях углов (а,/?, 7). Ю7

189. Первая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля для Ь — 3 на плоскости Z = 0. 112

190. Первая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля для Ь — 3 на плоскости У = 0. 112

191. Первая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля для Ь = 3 на плоскости X = 0.113

192. Вторая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля на плоскости Z = 0. 113

193. Вторая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля на плоскости У = 0. 113

194. Фазовые кривые точной модели и восстановленной для произвольных линий на плоскостях изображённых на Рис. 3.14. Относительная ошибка составляет соответственно 32%. 10% и 42%. Реконструкция достаточно хорошо воспроизводит исходную модель.119

195. Сравнение восстановленного векторного поля (справа) и точного (слева) в плоскостях z = 0 и х = 0. Реконструкция выполнена при следующих параметрах: (iVp, Na, Nß. TV"7) = (10,11,11,11), Lmax = 5, Nmax = 2, ошибка реконструкции

196. X2 ~ 0.6 (см. Рис. 3.16) . 120

197. Реконструкция в плоскости: сечения точной модели (слева) и реконструкция (справа) в плоскости У=0. Векторное поле восстанавливается для геометрии измерений показанных на

198. Рис.(4.6,4.8). Параметры в алгоритме реконструкции: Ьтах — 4, Мтах = 2., (Л/р, ЛГа, Мр, Щ) = (31,2, 31,2).122

199. Реконструкция в плоскости: сравнение фазовых кривых точной модели (слева) и реконструированной модели (справа). Относительная ошибка соответственно 46%, 45%, 50%, сверху вниз. 122

200. Гистограммы для полей, изображённых на Рис.(3.17).123

201. Путь интегрирования Ь(р,а,/3,7). Интегрирование выполняется вдоль оси Z при различных значениях углов а-, ¡3,7,р = ОЛ.128

202. Матрица проекций и отдельная 2-Б проекция.13742 а)- Временная эволюция полоидальной функции потока. Ь)-Трёхмерное изображение эмиссии плазмы, полученное с использованием данных Рис.4.1.138

203. Конфигурация магнитного поля: 180/^, до пересоединения, 193/хй, в момент и 200^, после пересоединения.140

204. Хордовые измерения спектра излучения плазмы в момент эволюции плазмы 180/хв.— до момента пересоединения. . . . 142

205. Радиальное распределение скорости (безразмерной) в различные моменты времени эволюции плазмы: 180цв. (— х —) линия, 193^, (—□—) линия, 200//5, (— о —) линия. 143

206. СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт динамики систем и теории управления1. На правах рукописи05201150493

207. Баландин Александр Леонидович

208. Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии0513.18- Математическое моделирование, численные методыи комплексы программ

209. Итерационные фурье методы (П^М).3012.1 Реконструкция трёхмерных изображений поодномерным проекциям.3012.2 Реконструкция трёхмерных изображений подвумерным проекциям .3212.3 Численное моделирование .3512.4 Непрозрачные включения .36

210. Томография в пространстве скоростей.4113.1 Восстановление функции распределения.4113.2 Функция распределения в задаче звёздной статистики.44

211. Принцип максимума энтропии.4714.1 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1) .

212. Параллельная геометрия измерения.5114.2 Численное моделирование. Параллельная геометрия.5614.3 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1) .

213. Веерная геометрия измерения.5814.4 Численное моделирование. Веерная геометрия.62

214. Двумерная векторная томография 6921 Введение.6921.1 Векторные интегральные преобразования.7221.2 Ух- преобразование.7321.3 Уд- преобразование .7421.4 Теорема о центральном сечении (Х>х -преобразование).75

215. Доплеровская томография.7822.1 Физические основы.7922.2 Доплеровская спектроскопия и метод обращения.8022.3 Численное моделирование. 2-Б векторное поле.8422.4 Аксиальная симметрия.

216. Метод обращения и численное моделирование.86

217. Поляризационная томография .9123.1 Метод обращения.9223.2 Численное моделирование .95

218. Трёхмерная векторная томография 9831 Введение.98

219. Разложение по скалярным сферическимгармоникам. БЭ^ГО метод.9932.1 Метод обращения.10132.2 Численное Моделирование.110

220. Разложение по векторным сферическимгармоникам. УБИБ метод .12333.1 Представление соленоидального поля. .12533.2 Процедура обращения.12633.3 Численное моделирование.131

221. Томография плазменных процессов 135

222. Восстановление радиального распределенияскорости.139

223. Восстановление 2-D полоидального поля скоростей.1411. Заключение 150