Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах с использованием томографического подхода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Хогоев, Евгений Андреевич

• Хогоев, Евгений Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хогоев, Евгений Андреевич

Введение.

Глава 1. Обратные задачи сейсмики на рефрагированных волнах и сейсмическая томография.

Глава 2. Основы кинематической сейсмической томографии с использованием рефрагированных волн.

2.1. Прямая кинематическая задача сейсмики и алгоритм ее численного решения.

2.2. Томографическая постановка трехмерной обратной кинематической задачи и вывод формулы обращения.

2.3. Решение обратной задачи.

Два подхода к решению на основе линеаризации.

2.3.1. Численная реализация обратного преобразования Радона.

2.3.2 Алгебраический подход.

Итерационное восстановление.

2.3.3 Алгоритм нелинейной фильтрации для сглаживания восстановленного решения.

Глава 3. Численное исследование трехмерной обратной кинематической задачи в сейсмотомографической постановке.

3.1. Алгоритм численного решения двухточечной прямой кинематической задачи. ф 3.2 Численное решение обратной кинематической задачи в случае полных проекционных данных.

3.2.1 Численное исследование реконструкции на поверхностях.

3.2.2 Численное исследование объемной реконструкции.

3.3. Численное решение обратной кинематической задачи при неполных проекционных данных.

Глава 4. Итерационное решение двумерной обратной кинематической задачи с использованием линеаризации.

4.1. Математическая постановка задачи.

4.2. Алгоритм численного решения задачи.

4.3. Методика проведения численных экспериментов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах с использованием томографического подхода»

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются двух- и трехмерные обратные кинематические задачи сейсмики на рефрагированных волнах, допускающие линеаризацию.

Актуальность работы.

В технологии стандартной сейсморазведки методом отраженных волн годографы рефрагированных волн используются в основном для изучения распределения скорости в верхней части разреза (ВЧР) с целью более точного определения статических поправок. Ошибочное представление о распределении скоростей в ВЧР в области линии приведения и ниже может привести к существенной ошибке в определении глубины отражающей границы и нарушению ее прослеживаемости, что делает проблематичной стратиграфическую привязку.

В настоящее время интерпретация данных рефрагированных волн ведется либо методом непосредственного решения, либо методом подбора в рамках ограниченного класса (одномерных) моделей. Существующих интерпретационных моделей недостаточно для описания реальных сред; изучение среды по отдельным годографам — нетехнологичная процедура. При этом требования к точности и достоверности сейсморазведки постоянно растут в связи с тем, что крупные структуры уже выявлены и изучены, на очереди разведка малоамплитудных структур. Возникает необходимость разработки эффективных алгоритмов решения обратной задачи, соответствующих современным требованиям и полнее использующих возможности новых вычислительных технологий.

Кинематика рефрагированных волн и вопросы интерпретации годографов рефрагированных волн и отраженных волн в градиентной среде привлекали внимание многих выдающихся отечественных геофизиков — Г.А. Гамбурцева, И.С. Берзон, Н.Н. Пузырева и др. Определение скоростного строения среды по зарегистрированному времени прихода рефрагированной волны - одна из первых рассмотренных обратных задач. Обратная кинематическая задача (ОКЗ) сейсмики в своей математической части является классической задачей математической физики. Задача относится к нелинейным, поскольку время прихода волны определяется как интеграл от скорости по кривой (траектории луча), которая сама зависит от распределения скорости. Решение ОКЗ в общей постановке к настоящему времени не найдено. За свою историю (с 1905-1907г - Г. Герглотц, Е. Вихерт) ОКЗ формулировалась в различных постановках и привлекала внимание многих известных ученых (А.С. Алексеев, С.В. Гольдин, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов и др.). Обратные задачи рассматривались в основном в одномерной постановке. Только с работ М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова началось систематическое исследование неодномерных задач. Выполненные исследования носили в основном теоретический, фундаментальный характер, и из-за сильной некорректности и переопределенности задачи не допускали построения эффективных вычислительных алгоритмов. Использование томографического подхода позволяет для определенного класса функций скорости такие алгоритмы построить.

Цель работы:

На основе численного решения обратной кинематической задачи сейсмики с использованием томографического подхода расширить возможности способов определения аномалий скорости в среде по временам пробега рефрагированных волн в двумерном и трехмерном случаях.

Задачи исследования.

1. Разработать алгоритм численного решения ОКЗ сейсмики в трехмерной линеаризованной постановке при опорной среде с линейной зависимостью скорости от глубины, в том числе для сред, содержащих непрозрачное для зондирующего сигнала включение. Оценить область применимости и точность линеаризованного подхода к решению трехмерной ОКЗ в сейсмотомографической постановке.

2. Разработать итеративный, с линеаризацией на каждом шагу, алгоритм численного решения обратной двумерной нелинейной кинематической задачи сейсмики. Оценить устойчивость, точность и разрешающую способность вычислительного алгоритма решения двумерной ОКЗ в сейсмотомографической постановке.

Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения задачи является лучевая теория сейсмических волн и математический аппарат вычислительной томографии, опирающийся на теорию условно-корректных задач. Основной метод исследования — математическое моделирование, включающее в себя численное решение прямой и обратной задачи. Решение прямой (краевой) задачи основано на численном интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений, процедурах сглаживания и аппроксимации. Решение обратной задачи осуществлялось как расчетом обратного преобразования Радона, так и сведением интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и решением полученной системы итерационным методом. Разработанное программное обеспечение прошло достаточно полное тестирование. Работа ключевых процедур и всего комплекса программ проверяется на задачах, имеющих аналитическое решение. Решение обратных задач проводилось по синтетическим данным.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Трехмерная томографическая численная модель обратной кинематической задачи в линеаризованной постановке при линейно зависящей от глубины скорости в опорной среде.

2. Алгоритм послойного, по последовательности вложенных шаровых сегментов, изучения трехмерной среды, содержащей аномалию скорости различного вида. Обобщение решения ОКЗ в томографической постановке на случай неполных проекционных данных.

3. Алгоритм итеративного уточнения скоростной модели среды на основе метода Ньютона для решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах. Численная реализация алгоритма итеративного уточнения скоростной модели с расчетом лучей по сеточно заданной функции скорости.

4. Результаты численного исследования: определены границы применимости и помехоустойчивость разработанных алгоритмов, сделан выбор оптимальных параметров сетки восстановления.

Научная новизна. Личный вклад.

Предложен новый подход к решению ОКЗ, на основе которого разработаны алгоритмы и программы для численного решения обратных кинематических задач сейсмики.

1. Решена обратная трехмерная линеаризованная кинематическая задача сейсмики на рефрагированных волнах при скорости в опорной среде, линейно зависящей от глубины. Для томографической системы наблюдений с расположением источников и приемников на окружности:

- разработан и численно реализован алгоритм решения обратной задачи на основе сведения ее к обратному преобразованию Радона;

- реализован алгоритм послойного восстановления распределения аномалии скорости в трехмерной среде через решение последовательности ОКЗ с данными на концентрических окружностях.

2. Решена обратная двумерная нелинейная кинематическая задача сейсмики на рефрагированных волнах: численно реализован алгоритм итеративного решения двумерной обратной задачи сейсмики методом Ньютона на основе разработанного оригинального алгоритма расчета лучей по сеточно заданной функции скорости.

3. С использованием разработанных алгоритмов и программ проведены компьютерные исследования:

- определена область применимости алгоритмов при различных вариантах функций скорости - с локальной и нелокальной неоднородностью;

- сделана оценка точности решения обратной задачи для ряда моделей сред и помехоустойчивости алгоритмов, выбран оптимальный шаг сетки восстановления относительно плотности системы наблюдения.

Теоретическая и практическая значимость проведенных в работе исследований подтверждается следующими результатами.

Реализован томографический подход к решению обратной трехмерной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах в средах с функцией скорости от глубины, близкой к линейной. В рамках этого подхода доказана возможность послойной, по набору поверхностей, реконструкции объемной неоднородности скорости для указанной среды.

Найден способ построения устойчивого итеративного решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах. Показано, что итеративное решение обратной задачи, во-первых, имеет регуляризирующий характер при небольших значениях аномалии скорости; во-вторых, позволяет находить решение для больших значений аномалии, чем это может быть достигнуто известными способами.

Эти теоретические результаты определяются как вклад в развитие сейсмической томографии - перспективного научного направления в сейсмических методах исследования.

Практическая значимость определяется установленными в численном эксперименте возможностями диагностировать двух- и трехмерные скоростные неоднородности верхней части разреза по данным рефрагированных волн, полученным в сейсмотомографическом эксперименте, что позволит более точно определять статические поправки при обработке данных метода ОГТ. Перенесение имеющегося опыта решения обратной задачи на интерпретацию данных глубинного сейсмического зондирования даст возможность повысить точность определения скоростного разреза земной коры.

Результаты диссертации представлены на информационно-аналитическом сервере "Методы решения условно-корректных задач" и легли в основу разработанных демо-версий соответствующих программ раздела "Геотомография" указанного сервера, что позволяет интегрировать их в учебный процесс в рамках сети Интернет, в частности при чтении курса "сейсмическая томография" на ГГФ НГУ.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на научных конференциях:

- II Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии, 4-7 июля 1985, Куйбышев;

- 61-я научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля 2004, Новосибирск;

- Международная научная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», 6-10 октября

2004, Алматы, Казахстан;

- Международная научная конференция «Сейсмические исследования земной коры», 23-25 ноября 2004, Новосибирск.

- 62-я научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля

2005, Новосибирск;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в И печатных работах, в том числе одна статья в журнале Известия РАН (серия "Физика Земли", 1996г.) и одна статья в журнале Доклады РАН (2005г.).

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Хогоев, Евгений Андреевич

Выводы по главе 4.

Заключая главу 4, кратко подведем итоги. В настоящей работе показано, что для двумерной линеаризованной ОКЗ (сильно-некорректной по классификации М.М. Лаврентьева) алгоритм итеративной линеаризации задачи применим и работает достаточно устойчиво. Введены весовые коэффициенты, учитывающие разную значимость лучей для реше-♦ ния в целом, в зависимости от расположения источник-приемник. Определена удовлетворительная форма интерполяции двумерной сеточно заданной скорости; перед последующим итерационным шагом производится регуляризация поля медленности. Мотивированный выбор сетки восстановления позволяет построить решение, обладающее достаточной разрешенностью и гладкостью.

Изложенная в 4 главе диссертации вычислительная технология представляет собой синтез линеаризованной кинематической задачи в ее конструктивной части и современных информационных технологий. Сочетание развития вычислительной техники и алгоритмической базы геофизики позволяет рассматривать постановки ОКЗ, реализация которых была невозможна в недалеком прошлом. Полученная возможность расширения границ применимости линеаризованного подхода (при сохранении традиционных профильных систем наблюдения) имеет существенное значение как для наблюдений на дневной поверхности, так и для межскважинной томографии. Представляется, что полученные результаты главы 4, после соответствующей адаптации, могут представлять интерес при решении задач глубинного сейсмического зондирования. Возможная область применения также инженерно-геологические задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработка новых модификаций сейсмических исследований, способных решать более тонкие задачи фундаментального и прикладного характера, которая обуславливается возрастающей сложностью практических задач [71], в большой мере стимулируется достижениями в смежных научных областях. Возможности, предоставляемые исследователям в прикладных науках современными средствами вычислительной техники и ее математическим обеспечением, позволяют уверенно решать задачи, которые в недавнем прошлом даже не рассматривались. Это прежде всего относится к задачам больших размерностей и объемов обрабатываемой информации. К таким задачам и относятся рассмотренные в диссертации постановки.

Развитие математической составляющей в сейсмических исследованиях, выражающееся в построении математических идеализаций, определяет содержательные модели сейсмики, одной из которых является уравнение эйконала. Сведение обратной кинематической задачи путем линеаризации к задаче интегральной геометрии позволило при использовании специальной системы наблюдений получить томографическую постановку ОКЗ. Томографический подход дает следующие преимущества: а) снимает первоначальную переопределенность задачи; б) позволяет рассмотреть трехмерную постановку, аппроксимируемую последовательностью вложенных задач на поверхностях второго порядка; в) двумерном случае удалось построить итерационный алгоритм конструктивного определения медленности из интегрального соотношения линеаризованной постановки ОКЗ.

Результаты диссертации существенно дополняют, в части рассмотрения двумерной постановки, результаты работы [45], а полученное развитие кинематической составляющей сейсмической томографии является перспективным в возможности постановки и интерпретации сейсмического эксперимента для диагностики ВЧР, в инженерной геологии, телесейсмике. Основные результаты и выводы.

1. Построена трехмерная томографическая численная модель обратной кинематической задачи в линеаризованной постановке при опорной среде со скоростью, линейно зависящей от глубины. Использование круговой системы наблюдений для получения томографических данных позволяет снять переопределенность и обеспечивает слабый характер некорректности исследуемой трехмерной обратной задачи. Решение обратной задачи сведено к расчету обратного преобразования Радона.

Определено влияние величины и формы аномалии скорости на качество восстановления. Сделан численный анализ по установлению связи числа приемников и проекций с качеством восстановления локальной аномалии скорости. Количество пар "источник-приемник" определяющим образом влияют на точность определения амплитуды аномалии и ее формы, в то время как увеличение числа проекций уменьшает погрешность самого алгоритма.

2. В рамках этой модели численно реализован алгоритм послойного, по последовательности вложенных шаровых сегментов, восстановления трехмерной среды, содержащей как локальную аномалию скорости, так и аномалию вида постоянного градиента.

Примеры численного решения обратной задачи показывают устойчивость алгоритма и достаточно большой диапазон применимости. Показано, что изменение скорости в локальной трехмерной неоднородности допустимо: от -10 до 20% основной известной скорости, для латеральной неоднородности от -20 до 50%. Для нелокальных аномалий: постоянного вертикального градиента — от -10 до 10% основного градиента; постоянного горизонтального градиента - до 25% от вертикального

3. С использованием алгебраизации преобразования Радона разработан алгоритм численного решения обратной трехмерной кинематической задачи в томографической постановке при неполных проекционных данных. Примеры решения обратной задачи показывают, что в присутствии зоны непрозрачности возможно установить как границы этой зоны, так и определить аномальную скорость в среде.

4. Разработан и численно реализован алгоритм итеративного уточнения скоростной модели среды, на основе метода Ньютона, для решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах, при этом предложен оригинальный алгоритм расчета лучей по сеточно заданной функции скорости.

Установлено, что итеративное решение обратной задачи, во-первых, имеет регуляризирующий характер (позволяющий уточнить и сгладить решение, полученное на первом шаге) при небольших значениях аномалии скорости; во-вторых, позволяет находить решение для больших значений аномалии, чем это может быть достигнуто известным способом. На примере локальной погруженной скоростной неоднородности получены оценки среднеквадратической ошибки относительно максимума аномалии в зависимости от номера итерации. Доказано регулярное уменьшение ошибки от 6 до 2% и от 18 до 4% (относительно максимума аномалии) при первой и третьей итерации, с величиной максимума аномалии относительно основной известной скорости 5% и 30% соответственно. Точность решения ограничена необходимостью процедур сглаживания для расчета лучей при последующем итерационном шаге. Установлено, что достаточно 3-4 итерационных шагов для достижения предельной точности решения.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю - заведующему кафедрой высшей математики Новосибирского архитектурно-строительного университета (Сибстрин) д.т.н., профессору Сергею Михайловичу Зеркалю, заведующему лабораторией инженерной сейсмологии Института геофизики СО РАН, к.т.н. Юрию Ивановичу Колесникову.

Особая благодарность академику Николаю Никитовичу Пузыреву, который привлек автора к решению задач кинематической сейсмики. Библиотека специальной литературы, подобранная Н.Н. Пузыревым, существенно помогла в работе над диссертацией.

К'

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хогоев, Евгений Андреевич, 2005 год

1. Алексеев А.С., Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г., Романов В.Г. Численный метод решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики//Математические проблемы геофизики. Вып. 1. ВЦ СО АН СССР. 1969. С. 179-201.

2. Алексеев А.С., Цибульчик Г.М. Математические модели сейсморазведки // Актуальные проблемы вычислительной математики и математической моделирования. Новосибирск: Наука, 1985. С. 91 -108.

3. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 146 с.

4. Аниконов Ю.Е. Несколько частных решений обратной кинематической задачи // Математические проблемы геофизики. Вып.4. ВЦ СО АН СССР. 1971. С. 57-67.

5. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. 583 с.

6. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: изд. МГУ, 1989. 199 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

8. Белоносова А.В., Алексеев А.С. Об одной постановке обратной кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 137-154.

9. Белоносова А.В., Алексеев А.С., Цецохо В.А. Математическая постановка обратной кинематической задачи сейсмики для 3D-неоднородной среды//Труды ИВМиМГ. Мат. модел. в геофизике, Новосибирск. 1998. С. 3-9.

10. Белоносова А.В., Таджимухамедова С.С., Алексеев А.С. К расчету годографов и геометрического расхождения лучей в неоднородных средах // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 137-154.

11. Березин B.C., Жидков Н.П. Методы вычислений, Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1962. 640 с.

12. Бейлькин Г.Я. Явное решение обратной кинематической задачи в негерглотцевском случае // Записки науч. семинаров ЛОМИ. Ленинград, 1978, Т. 78. С. 20 29.

13. Берзон И.С. Об определении траекторий сейсмических лучей и полей времен в средах с переменными скоростями // Изв. АН СССР, сер геофиз. 1948. № 1. С. 47-62.

14. Берзон И.С. Эффективные скорости в случае непрерывного изменения истинных скоростей сейсмических волн // Изв АН СССР, сер Физика Земли. 1955. № 4. С. 299-303.

15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1957. 343 с.

16. Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е. Итеративные алгоритмы в задачах томографии полупрозрачных сред // ИТПМ СО АН СССР. Препринт № 18-89. Новосибирск. 1989. 43 с.

17. Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е. Комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации защищенных сигналов и изображений // Автометрия. 1990. №1. С. 56-66.

18. Бурмин В.Ю. Обратные кинематические задачи для неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 106 111.

19. Бухгейм А.Л., Зеркаль С.М., Пикалов В.В. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики // Методы решения обратных задач. Новосибирск: Наука, 1983. С. 38-47.

20. Вайникко Т.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 179 с.

21. Воронцов И.В., Романов В.В. МикроМОВ при исследовании верхней части разреза// Геофизика, 2004, Специальный выпуск. С. 116-119.

22. Гамбурцев Г.А. Основы сейсморазведки. М.: Гостоптехиздат, 1959. 378 с.

23. Гейко В. С. Определение скоростных свойств градиентной среды и реконструкция кинематической структуры поля рефрагированной волны по ее годографу. Геофизический сборник. АН УССР, Киев: Наука, 1970. №33. С. 15-31.

24. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Наука, 1969. 450 с.

25. Гервер М. Л., Маркушевич В.М. Исследование неоднозначности при определении по годографу скорости распространения сейсмической волны // ДАН СССР. 1965. 163. №6. С. 1337-1380.

26. Гервер М. Л., Маркушевич В.М. О характеристических свойствах сейсмических годографов //ДАН СССР. 1967. 175. №2. С. 334-337.

27. Гольдин С.В. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн. М.: Недра, 1979. 344 с.

28. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии. Часть I. Преобразование Радона в полосе и его обращение // Геология и геофизика. 1996. 37. № 5. С. 3-18.

29. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии. Часть II. Обратные задачи для однородных референтных сред // Геология и геофизика. 1996. 37. № 9. С. 14-25.

30. Гольдин С.В. Обратные задачи лучевой сейсмической томографии //Геология и геофизика. 1997. 38. № 5. С. 981-998.

31. Гольдин С.В. Черняков В.Г. Метод Ньютона в решении прямой кинематической задачи // Геология и геофизика. 1998. 39. № 1. С. 103114.

32. Дитмар П. Г. Алгоритм томографической обработки сейсмических данных, предполагающий гладкость искомой функции // Физика Земли. 1993. №3. С. 7-12.

33. Дьяконов Е.Г. Нелинейное уравнение: численные методы решения. // Математическая энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия, 1982, Т. 3. С. 945-950.

34. Ерохин В.А., Шнейдеров B.C. Трехмерная реконструкция (машинная томография), моделирование на ЭВМ // Препринт № 23 Лен. НИ ВЦ. Ленинград. 1981. 48 с.

35. Епинатьева A.M., Голошубин Г.М., Литвин А.П., Павленкин А.Д., Петрашень Г.И., Старобинец А.Е., Шнеерсон М.Б. Метод преломленных волн. М.: Недра, 1990. 297 с.

36. Зеркаль С.М. Трехмерная обратная кинематическая задача сейсмики в линеаризованной постановке и ее численное исследование И Теория иметоды решения некорректно поставленных задач и их приложение. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР. 1983. С. 104-105.

37. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Результаты численного решения обратной трехмерной линеаризованной задачи восстановления коэффициента преломления//Препринт № 524 ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1984. 26 с.

38. Зеркаль С.М. Определение непрозрачных зон в Земле методом компьютерной томографии в кинематической постановке // ДАН СССР. 1991. Т. 317. №2. С. 330-333.

39. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. О решении трехмерной линеаризованной кинематической задачи // Вычислительные технологии, том 9, Вестник КазНУ им. Аль-Фараби, Серия математика, механика, информатика №3 (42), Алматы-Новосибирск, 2004. С. 222-231.

40. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Итерационная технология сейсмотомографической диагностики на основе кинематики рефрагированных волн //Доклады РАН. №4 (401). 2005. С. 526-528.

41. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004. С. 116-120.

42. Лаврентьев М.М., Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е.,Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Сейсмическая томография сред с квазилинейным изменением скорости, содержащих поглощающие включения // Изв. РАН. Физика Земли. 1995. № 6. С. 26-31.

43. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1980. 286 с.

44. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризированных обратных задачах для уравнений гиперболического типа // ДАН СССР. 1966. Т. 171.6. С. 1279-1281.

45. Лагунова К.Ф., Омельченко O.K. Об одном способе определения близких землетрясений и явные формулы для луча и времени // Неклассические проблемы математической физики. ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1981. С. 121-129.

46. Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М.: ИЛ, 1962. 208 с.

47. Ливитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т.6. №5. С. 787-823.

48. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными // М.: Мир. 1975. 558 с.

49. Матвеева Н.Н. Метод математического перебора // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. М.: Наука, 1979. С. 731.

50. Милашин В.А. Почему необходимо переобработать и переинтерпретировать данные сейсморазведки, полученные в Западной Сибири в предыдущие годы // Геофизика. 2000. 4. С. 26-28.

51. Мишенькин Б.П., Мишенькина З.Р., Шелудько И.Ф. Детальное изучение земной коры в Байкальской рифтовой зоне по данным рефрагированных волн // Геология и геофизика. 1983. № 12. С. 82-91.

52. Николаев А.В. Проблемы геотомографии // Проблемы геотомографии. М.: "Наука", 1997. С. 4-38.

53. Нолет Г. Распространение сейсмических волн и сейсмическая томография // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 9-33.

54. Облогина Т.И., Пийп В.Б., Юдасин JI.A. Неоднородные среды с гармоническими полями скоростей распространения сейсмических волн // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. 3. С. 101-108.

55. Облогина Т.И. Постановка обратных двумерных задач и некоторые методы их решения // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. М: Наука, 1979. С. 64-93.

56. Павленкова Н.И. Интерпретация рефрагированных волн способом редуцированных годографов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. №8. С. 89-100.

57. Пикапов В.В. Комплекс программ томографической реконструкции локальных характеристик плазмы // Комплексы программ математической физики (СКПФМ VII). ИТПМ СО АН СССР. Новосибирск. 1982. С. 317-319.

58. Пикапов В.В. Пакет прикладных программ, ориентированный на задачи вычислительной томографии // Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: Наука, 1985. С. 132-135.

59. Пузырев Н.Н. Построение лучевых диаграмм при произвольном законе изменения скорости с глубиной // Прикладная геофизика, вып. 2. 1945. С. 56-64.

60. Пузырев Н.Н. Определение элементов залегания отражающих границ при переменной скорости по вертикали // Прикладная геофизика, вып 6. 1950. С 18-35.

61. Пузырев Н.Н. Интерпретация данных сейсморазведки методом отраженных волн. М.: Гостоптехиздат, 1959. 446 с.

62. Пузырев Н.Н. К теории интерпретации точечных сейсмических наблюдений // Геология и геофизика. 1963. № 9. С. 66-82.

63. Пузырев Н.Н. Кинематика волн. Справочник геофизика, гл. III. М.: Недра, 1966. С. 97-180.

64. Пузырев Н.Н. Временные поля отраженных волн и метод эффективных параметров. Новосибирск: Наука, 1979. 294 с.

65. Пузырев Н.Н. Оболенцева И.Р. Кинематика сейсмических волн // Сейсморазведка. Справочник геофизика. Под ред И.И. Гурвича, В.П. Номоконова. М.: Недра, 1981. С. 81-144.

66. Пузырев Н.Н. К вопросу разделения преломленных волн на головные и рефрагированные // Геология и геофизика. 1987. № 12. С. 65-73.

67. Пузырев Н.Н. Методы и объекты сейсмических исследований. Новосибирск. Изд. СО РАН, НИЦ ОИГГМ. 1997. 302 с.

68. Пшенчик И.Н. Решение прямой сейсмической задачи для горизонтально-неоднородных сред лучевым методом // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 5-13.

69. Ризниченко Ю.В. Геометрическая сейсмика слоистых сред// Труды Института теоретической геофизики. Т. 2. 1946. 100 с.

70. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 163 с.

71. Романов М.Е. Численные методы решения обратной задачи для горизонтально-неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 90-106.

72. Романов М.Е., Алексеев А.С. Метод характеристик решения многомерных задач кинематической сейсмики // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. М.: Наука, 1979. С. 94106.

73. Слуис в.д. А., Х.А. в.д. Ворст. Численное решение больших разреженных линейных алгебраических систем // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 61-94.

74. Сейсморазведка. Справочник геофизика. Под ред. Гурвича И.И., Номоконова В.П. М.: Недра, 1981. 464 с.

75. Сейсморазведка. Справочник геофизика. Т. 2. Под ред. Номоконова В.П. М.: Недра, 1990. 400 с.

76. Тарантола А. Обращение времен пробега и формы сейсмических записей // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 145-168.

77. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

78. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.200 с.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов Н.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 157 с.

80. Чепмен К. Преобразование Радона и сейсмическая томография //Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 34-60.

81. Шарма П. Геофизические методы в региональной геологии. М.: Мир, 1989.487 с.

82. Шерифф Р., Гелдарт JI. Сейсморазведка. М.: Мир, 1987. Т. 1. 448 е., Т. 2. 400 с.

83. Ценсор Я. Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды // ТИИЭР. Т. 71. № 3. 1983. С. 148-160.

84. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям // М.: Мир, 1963. 252 с.

85. Фирбас П. Численное решение обратной кинематической задачи с использованием линеаризации // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 122-129.

86. Фирбас П. Профильная сейсмическая томография // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 199-212.

87. Хогоев Е.А. Применение критерия схождения годографов отраженных волн для изучения слоистости разреза // Геология и геофизика. 2004, т 45. № 3. С. 405-407.

88. Червени В. Алгоритмы расчета лучей в трехмерных горизонтально-неоднородных слоистых структурах // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 109-144.

89. Яновская Т.Б. Вычисление скоростных разрезов верхней мантии, как обратная математическая задача // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1963. №8. С. 1171-1177.

90. Яновская Т.Б. Методы решения обратной кинематической задачи сейсмологии для двумерно- и трехмерно-неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 79-120.

91. Яновская Т.Б. Проблемы сейсмической томографии. // Проблемы геотомографии. Под ред. А.В. Николаева. М.: Наука, 1997. С. 86-98.

92. Aki К., Christoffersen A., Husebye E.S. Determination of the three-dimensional seismic structure of the lithosphere// J.Geophys.Res. 1977. V 82. 2. P. 277-296.

93. Bates C., Gaskell T.F., Price R.B. Geophysics in the Affairs of Man. Pergamon Press. Oxford. 1982. 429 p.

94. Bijwaard Harmen, Spakman Wim Non-linear global P-wave tomography by iterated linearized inversion // Geophys. J. Int. 2000. 141. N 1. P. 71-82.

95. Brzostowski Matthew A., McMechan George A. 3-D tomographic imaging of near-surface seismic velocity and attenuation // Geophysics. 1992. 57. N 3. P. 396-403.

96. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seisvology. Praha : Univer. Karlova, 1977. 215 p.

97. Cherveny V. The application of ray tracing to the numerical modeling of seismic wave fields in complex structure. Seismic Shear Waves, Part A.:Theory. Geophysical Press. London. 1985. P. 1-124.

98. Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals with some radiological applications // J. Appl. Phys. 1963. V.34. P. 2722- 2727.

99. Docherty Paul Solving for teh thickness and velocity of the weathering layer using 2-D refraction tomography//Geophysics. 1992. 57. N 10. P. 1307-1318.

100. Goldin S.V. Ray reflection tomography: Review and comments // Proceedings of the fourth International Symposium held in Novosibirsk, Russia on 10-14 Aug. 1994. VSP. The Netherlands, 1995. P. 169-187.

101. Hanson M., Wecksung G.M. Local basis function approach to computed tomography//Appl. Optics. 1985. V. 24. P. 4028-4039.

102. Hermann G. A relaxation method for reconstruction objects from nisy X-rays // Math. Program. 1975. V.8. P. 1-9.

103. Hermann G., Lent A., Rowland S. ART Mathematics and applications // J. Theor. Biolog. 1973. V. 42. P. 1-32.

104. Hermann G., Lent A. A family of iterative quadratic optimization algorithms for pairs of unequatities // Math. Program. Study. 1978. V. 9. P. 15-29.

105. Jarchow Craig M., Catchings Rufus D., Lutter William J. Large-explosive source, wide-recording aperture, seismic profiling on the Columbia Plateau, Washington // Geophysics. 1994. 59. N 2. P. 259-271.

106. Lanz Eva, Maurer Hansruedi, Green Alan G. Refraction tomography over a buried waste disposal site // Geophysics. 1998. 63. N 4. P. 1414-1433.

107. Natterer T. The Mathematics of Computerized Tomography // John Wiley. Stuttgart. 1986. 305 p.

108. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // ACM Trans. Math. Softw. 1982. 8. P. 43-71.

109. Pereyra V., Lee W.H.K., Keller H.B. Solving two-point seismic ray problem in heterogeneous medium. Part I: A general adaptive finite method, Bull. Seismol. Soc. Am. 70. 1980. P. 79-99.

110. Quinto E. Tomographic reconstructions from incomplete data numerical inversion of the exterior Radon transform // Inverse Problems. 1988. V. 4. № 4. P. 867-876.

111. Qin Fuhao, Luo Yi, Olsen Kim В., Cai Wenying, Schuster Gerard T. Finite-difference solution of the eikonal equation along expanding wavefronts // Geophysics. 1992. 57. N 3. P. 478-487.

112. Snieder Roel A perturbative analysis of non-linear inversion // Geophys.J.Int. 1990. 101. N3. P. 545-556.

113. Waldhauser Felix, Lippitsch Regina, Kissling Edi, Ansorge Jorg High-resolution teleseismic tomography of upper-mantle structure using an a priori three-dimensional crustal model // Geophys. J. Int. 2002. 150. N 2. P. 403-414.

114. White D.J. Two-dimensional seismic refraction tomography // Geophys. J. 1989. Vol.97. N2. P. 223-245.

115. Taner M.Turhan, Wagner Donald E., Baysal Edip, Lu Lee A unified method for 2-D and 3-D refraction statics // Geophysics. 1998. 63. N 1. P. 260-274.

116. Tallin Andrew G., Santamarina J.Carlos Digital ray tracing for geotomography // IEEE Trans. Geosci. and Remote Sens. 1992. 30. N 3. P. 617-619.

117. Zhang Jie, Toksoz M.Nafi Nonlinear refraction traveltime tomography // Geophysics. 1998. 63. N 5. P. 1726-1737.

118. Zhang Jie, McMechan George A. Turning wave migration by horizontal extrapolation // Geophysics. 1997. 62. N 1. P. 291-396.

119. Zhang Jie, Ten Brink Uri S., Toksoz M.Nafi Nonlinear refraction and reflection travel time tomography// J. Geophys. Res. B. 1998. 103. N 12. P. 743-757.