Вычислительные методы и модели нестационарного диффузного переноса примесей в задачах контроля и прогноза экологического состояния атмосферы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Наац, Виктория Игоревна

• Наац, Виктория Игоревна
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Наац, Виктория Игоревна

Введение

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ 22 СХЕМЫ ДЛЯ ЯВЛЕНИЯ ДИФФУЗНОГО ПЕРЕНОСА СУБСТАНЦИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

1.1. Вычислительные схемы для моделирования диффузного переноса с ис- 22 пользованием метода покоординатного расщепления.

1.2. Модели, учитывающие эффекты взаимодействия частиц дисперсных сис- 28 тем в процессе их переноса в атмосфере. Расщепление уравнения переноса по физическим факторам.

1.3. Метод параметризованных моделей в задачах переноса субстанции в по- 30 граничном слое атмосферы и проблема оптимизации на его основе вычислительного эксперимента.

1.4. Организация вычислительного эксперимента и тестирования методов и 35 алгоритмов решения уравнения диффузного переноса примесей на примере конечно-разностных вычислительных схем.

1.5. Метод покоординатного расщепления в вычислительной параметризо- 51 ванной модели переноса примесей для случая трех пространственных переменных.

1.6. Двумерные модели теории переноса субстанции в пограничном слое 53 атмосферы. Построение вычислительной схемы для параметризованной модели уравнения переноса, вычислительный эксперимент.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные методы и модели нестационарного диффузного переноса примесей в задачах контроля и прогноза экологического состояния атмосферы»

Для обоснования актуальности, определения цели и задач диссертационного исследования ниже приводится краткий обзор научных публикаций, посвященных вопросам комплексного мониторинга и математического моделирования атмосферных процессов.

1. Мониториног воздушной среды в приземном слое атмосферы. Подвергающиеся воздействию антропогенных факторов природные среды представляют сложные взаимодействующие между собой системы. Комплексный мониторинг таких сложных систем представляет собой сочетание контактных и дистанционных измерений характеристик практически всегда неоднородных сред, выявление их пространственно-временных зависимостей, а также прогноз возможных состояний этих сред. Активный целенаправленный мониторинг среды предполагает и оптимальное управление контролируемым изменением их состояний. Главной особенностью систем с природными компонентами является их многомерность, неполная предсказуемость их поведения, обусловленная стохастичностыо происходящих в них процессов, неопределенностью целей функционирования, неточностью описания их состояния. Это существенно затрудняет проведение натурных экспериментов с такими системами. Поэтому важную роль в проведении с ними исследований играют их математическое моделирование, проведение численных экспериментов и активный мониторинг, представляющий собой контроль состояния среды, сопровождаемый целенаправленным воздействием на нее.

В работе авторов С.А. Васильева, J1.C. Ивлева и Г.Н. Крылова [22] рассматриваются вопросы комплексного активного мониторинга природных сред.

Методика, аппаратурное обеспечение и задачи, выполняемые системами мониторинга обсуждаются в работах [45,162]. Все дистанционные методы мониторинга природных сред, предполагают прохождение зондирующего сигнала через воздушную среду. Авторами статьи [22] проведен анализ комплексного мониторинга и управления состоянием природных сред. Отмечено, что помимо широко применяемых оптических методов зондирования различных природных сред и прямых методов измерения их физических характеристик желательно использование методов радиотомографии, а также предложены методы дистанционного электромагнитного мониторинга слабовыраженных облачных образований. Вопросам организации мониторинга, проведения прямых измерений и активного воздействия на состояние воздушной среды посвящен большой цикл исследований [53,23,55,11]. Интересны также работы, посвященные интегральным методам исследования слабо выраженных крупномасштабных атмосферных и ионосферных облачных образований [9,26]. В них предлагается использовать современную импульсно фазовую радионавигационную систему, работающую по 6 земной волне (отраженная от ионосферы волна мала). Вопросам мониторинга воздушного бассейна также посвящены исследования, изложенные в работах [100,54,56,159].

2. Идентификация аэрозолей по химическому и элементному составу. Для решения ряда прикладных задач хозяйственной деятельности человека, а также некоторых научных проблем физики атмосферы и климатологии необходимы экспресс-оценки и краткосрочные прогнозы загрязненности атмосферы газовыми и пылевыми (аэрозольными) примесями. Если известны мощности основных источников загрязняющих веществ и условия их выброса в атмосферу, то для определенной территории вблизи источников расчет распределения примесей в атмосфере может быть проведен достаточно точно, например, с использованием боксовой схемы [82]. В работах JT.C. Ивлева и др. [38,49,50-53] описаны экспериментальные исследования микроструктуры и химического состава аэрозолей приземного слоя атмосферы, подверженного антропогенному влиянию такого мощного промышленного центра, как Санкт-Петербург. Исследования проводятся лабораторией физики аэрозолей НИИФ с начала 70-х годов. Выполнялись, в основном, прямые измерения счетной концентрации и дисперсности аэрозольных частиц с размерами г > 0,2 мкм с помощью фотоэлектрического счетчика АЗ-5М. Результаты этих измерений приведены в работе [3]. В статье [52] рассмотрены некоторые результаты исследований микроструктуры и состава аэрозолей приземного слоя атмосферы. Часть из них представлена в таблице 1 [52] (см. прил.З).

В 1996-98гг. в рамках экспериментов TROICA (Transcontinental Observations in Chemistry of the Atmosphere), организованных Н.Ф. Еланским и П. Крутценом, авторами статьи Г.И. Горчаковым и др. [34-37] проводились исследования пространственного распределения характеристик приземного аэрозоля с помощью вагона-лаборатории над континентом Евроазии вдоль Транссибирской магистрали. Результаты исследований систематизированы и обобщены в работах [36,37]. Некоторые результаты показаны в таблице 2 [36] (см. прил. 3).

Другой важной проблемой является проблема идентификации аэрозолей разного происхождения. Основные подходы к разрешению данной проблемы и результаты исследований изложены в работе В.К. Донченко и JT.C. Ивлева [39]. В работе [39] проведен анализ элементного состава твердой подстилающей поверхности, водных поверхностей и атмосферной воды, атмосферных аэрозолей, приведены соответствующие таблицы данных. Работа Р.Ф. Лавринепко [75] посвящена вопросам формирования химического состава атмосферных осадков. В ней выполнено обобщение данных наблюдений за химическим составом осадков и облачной воды, получены количественные характеристики изменения их состава в пространстве и во времени. Результаты экспериментальных исследований также были представлены в монографии [157]. Библиография исследований, 7 проведенных сотрудниками Главной геофизической обсерватории (ГГО) на основе сетевых и экспедиционных наблюдений за химическим составом атмосферных осадков, облачной воды и аэрозолей представлена в сборнике «Ежегодные данные по химическому составу атмосферных осадков, 1991-1995 гг.» (Санкт-Петербург, Гидрометеоиздат, 1998г.). В результате анализа и обобщения экспериментальных данных к моменту создания в 1972г. международной сети фонового мониторинга БАПМоН ВМО был накоплен в нашей стране большой теоретический и практический материал по физико-химическим характеристикам ядер конденсации, аэрозолей и атмосферных осадков, выяснены основные особенности их географических изменений. Программа Глобальной службы атмосферы (ГСА) ВМО обширна. В нее в качестве одного из видов работ включены исследования химического состава осадков, являющегося чувствительным индикатором загрязнения атмосферы. Основная цель международной сети ГСА ВМО - контроль за глобальным уровнем загрязнения атмосферы и выяснение возможных непреднамеренных воздействий человека на климат. Национальная сеть наблюдений за химическим составом осадков в настоящее время решает задачи мониторинга загрязнения атмосферы разного уровня: федерального, регионального и локального. Федеральная сеть включает в себя также станции международной сети ГСА ВМО. Это биосферные заповедники (БЗ) и несколько станций, имеющих длительные ряды наблюдений с 1958 или 1962-66 гг. Однако на фоне 20 глобальных и примерно 300 региональных станций, действующих в настоящее время в системе ГСА ВМО, национальная сеть фонового мониторинга охватывает лишь отдельные разрозненные регионы РФ и не является репрезентативной для ее обширной территории. В течение уже длительного периода эта сеть не развивается ни в качественном, ни в количественном отношениях. На протяжении 90-х годов результаты анализа химического состава осадков фоновых станций не представляются в Международный центр данных. Региональная сеть осуществляет мониторинг загрязнения воздуха в промышленных районах. Вопросам идентификации аэрозолей и определению их концентрации в приземном слое атмосферы посвящены также работы [69,10,51,101,174].

3. Атмосферная турбулентность в задачах диффузного переноса загрязняющих примесей. Натурные измерения турбулентных вихревых движений в атмосфере. В нашей стране были сделаны громадные успехи в области теории мелко масштабной однородной турбулентности, которая хорошо описывается статистически [68,77,78]. Статистическая теория до недавнего времени полиостью монополизировала описание процессов атмосферной диффузии [15,16,188]. Для крупномасштабной турбулентности разрабатываются теории спиралевидных и солитон-ных структур [179]. Объединение всех этих процессов под общим термином «атмосферная турбулентность» [181,5] до последнего времени было чисто формаль8 ным. Основным элементом турбулентных движений являются вихри разных масштабов и разнообразной микроструктуры. Проведенный по этой проблеме автором статьи JI.C. Ивлевым [49] анализ научной литературы убедил его, что именно представления о вихревой структуре движений непротиворечиво объединяют различные теории гидродинамических течений и объясняют имеющиеся экспериментальные факты. Анализ проблемы конструирования физической картины движения атмосферных масс [53,158,33,185-187,146] позволяет утверждать, что последовательный подход к решению этой проблемы требует признания существования турбулентных вихрей самых разных масштабов и конфигураций, как основных элементов движения атмосферного воздуха. Эти вихри обладают свойствами упругости и деформируемости. При взаимодействии между вихрями действует турбулентное трение, которое влияет на макромасштабные движения воздушных масс. Важнейшим обстоятельством в проявлении этих процессов являются особенности физико-химических свойств молекул воды: значительно меньший молекулярный вес по сравнению с остальными газовыми компонентами, способность к фазовым переходам в атмосфере, большой электрический дипольпый момент, своеобразная микроструктура молекулы, способность к кластеро - и клатрато -образованию, изменчивость радиационных свойств воздушной среды, содержащей воду в различных фазовых состояниях. Это создает в атмосфере условия для образования макромасштабных структур типа циклонов и антициклонов. На основе общей физической картины движения атмосферных масс становятся понятными определенные закономерности в их поведении, и возникают возможности прогнозирования этого поведения, в частности, на базе предложенных СЛ. Васильевым закономерностей.

Особый интерес представляет обзор публикаций о натурных измерениях турбулентных вихревых движений в приземном слое атмосферы [49]. Суть этой проблемы состоит в следующем. Прямые наблюдения поведения турбулентных вихрей в атмосфере представляют технически достаточно сложную задачу из-за полидисперсности этих образований и анизотропии их характеристик. Так как для метеорологов и климатологов основное значение всегда имело знание процесса турбулентного обмена, то в первую очередь изучались вертикальная и в какой-то мере горизонтальная изменчивость характеристик турбулентного обмена и метеорологических параметров, определяющих этот процесс (температура, влажность, давление, ветер и т.д.). Изучение микроструктуры вихрей являлось средством для лучшего понимания атмосферной турбулентности. Только исследования диффузионных процессов и процессов облакообразования наглядно связаны с изучением микроструктуры вихревых образований [101]. Наблюдение факелов от точечных источников неизбежно приводит к представлению о полидисперсности вихрей, их анизотропии и масштабной трансформации, об их пространственно-временной эволюции [160,21]. Особый интерес для понимания структуры турбулентности 9 имеют наблюдения границ перемещающегося объема диффундирующего вещества, объединения и укрупнения движущихся в одном направлении воздушных объемов, возникновения слоистой структуры аэрозольных образований [77]. Прямые измерения турбулентных образований в приземном и пограничном слоях атмосферы [21] по характеристикам поля турбулентности в последние годы были направлены на изучение спектра размеров вихрей и зон перемежаемости, их эволюции [103]. Наблюдения в приземном слое продольной и и поперечной ^составляющих спектра пульсаций скоростей на разных высотах, проведенные H.J1. Бызовой с сотрудниками [20] позволили им сделать некоторые выводы (см. таблица 3, 4 [100], прил. 3).

4. Математические методы и модели в задачах экологического мониторинга и прогноза атмосферы. В работах Г.И. Марчука и его научной школы создана методология математического моделирования*- исследованы ее фундаментальные вопросы и разработаны оригинальные конструктивные подходы к изучению циркуляции атмосферы и океана, а также к решению с помощью математических моделей задач прогноза погоды, теории климата и охраны окружающей среды [8487,94,149-153]. Дальнейшее развитие этого направления, современные достижения в области математического моделирования задач экологии находят свое отражения в работах учеников и последователей академика Г.И. Марчука. В частности в работе В.В. Пененко [151] изложены некоторые аспекты методологии моделирования, а именно вариационные принципы и методы оптимизации для совместного использования численных моделей и данных мониторинга. По содержанию она представляет развитие работ по методам прямого и обратного моделирования для решения взаимосвязанных задач экологии и климата [201-203,149-156]. Содержание этого подхода состоит в следующем. Накопленный в мире опыт решения научных и практических задач природоохранного направления показывает, что математические модели и данные натурных исследований и наблюдательных экспериментов являются равноправными и дополняющими друг друга инструментами для изучения природных процессов. В последние годы в этих исследованиях обозначилась тенденция к расширению набора специальных приборов, с помощью которых производятся наблюдения. Наиболее отчетливо она проявляется при изучении экологически значимых последствий антропогенных воздействий. При этом активно используются методы дистанционного зондирования [84,82] в сочетании с различными методами контактных измерений. В результате сбора данных к исследователям попадает разнородная информация, с разных сторон характеризующая наблюдаемые явления. В этом случае естественно возникает задача совместного использования этой информации и математических моделей с целью усвоения данных, восстановления пространственно-временной структуры полей функций состояния, оценки параметров моделей и источников внешних воздействий, диагностики качества моделей и планирования наблюдений. Технологию решения подобных задач дает методика обратного моделирования [201,202,154-156].

Для определенности представляются задачи [149], связанные с оценками характеристик атмосферы с использованием данных дистанционного зондирования и контактных наблюдений за компонентами функций состояния. В этом случае типичной является задача о нахождении распределения температуры и концентраций оптически активных субстанций в атмосфере. Специфика методов дистанционного зондирования состоит в том, что их результаты в общем случае представляют собой значения некоторых функционалов на множестве функций состояния. Они, как правило, недоопределены по отношению к оцениваемым функциям, т.е. число наблюдений меньше числа внутренних степеней свободы моделей наблюдений в дискретном представлении. Под моделью наблюдений понимается математическое описание преобразования, ставящего в соответствие функции состояния образ той величины, которая измеряется наблюдательным прибором. Возникает вопрос, как ввести дополнительные связи, чтобы уменьшить число внутренних степеней свободы, и тем самым сделать процесс решения обратных задач для моделей наблюдений более корректным. Для этих целей используются в качестве связей математические модели исследуемых процессов и априорные сведения об искомых функциях и оцениваемых параметрах. Естественно, что деление на модели процессов и модели наблюдений чисто условное. В качестве моделей процессов рассматриваются [149] модели гидротермодинамики в климатической системе, модели переноса и трансформации влаги, химически и оптически активных загрязняющих примесей в газовом и аэрозольном состояниях. Функции источников в моделях параметрически учитывают действия естественных и антропогенных факторов. Для того, чтобы рассматривать совместно модели процессов и систему мониторинга с целью организации между ними взаимодействия в режиме прямых и обратных связей, предполагается, что все элементы комплекса (т.е. модели и наблюдения) могут содержать ошибки. В этом случае можно ставить вопрос о конструировании алгоритмов для реализации таких связей, исходя из условий минимизации ошибок.

Значительные достижения в области математического моделирования атмосферных процессов содержатся в работах А.Е. Алояна и его учеников [191195,93,153]. В частности в статье [1] рассматривается математическая модель переноса многокомпонентной примеси с учетом фотохимической трансформации и образования аэрозолей в тропосфере северного полушария с учетом кинетических процессов нуклеации, конденсации и коагуляции.

Вопросам математического моделирования теории климата посвящены работы академика В.П. Дымникова и его учеников [40-43,94-97]. Так, например, в статье [41] рассматриваются несколько нелинейных задач физики атмосферы, для решения которых использовалось построение функции Грина. В работе рассматриваются системы уравнений, описывающих крупномасштабную динамику атмосферных процессов.

Большой цикл работ посвящен решению задач динамики атмосферы и океана [70,198,86,84,94-96,199,99]. Для решения этих задач используются фундаментальные математические методы, такие как метод расщепления и метод сопряженных уравнений, являющиеся основой анализа сложных систем. Значительная роль в создании и развитии этих методов численного анализа и математического моделирования принадлежит академику Г.И. Марчуку. Методы расщепления и сопряженных уравнений широко используются в настоящее время для решения многомерных нестационарных задач для уравнений с частными производными [147,166168,88,89,92].

Кроме метода расщепления интерес представляет также метод независимых потоков, предназначенный для численного решения многомерного уравнения теплопроводности (массопереноса) [161,31]. В работе [31] предложен новый класс численных алгоритмов решения смешанной задачи для многомерного уравнения теплопроводности. Этот класс содержит как схемы первого порядка аппроксимации, так и второго. Все предлагаемые схемы безусловно устойчивы.

Важные результаты по численному моделированию процессов турбулентности и диффузии примесей в приземном слое атмосферы содержатся в монографии Д.Л. Лайхтмана [76]. В ней автором предлагается замкнутая система уравнений физической модели пограничного слоя атмосферы и определение на ее основе вертикального профиля продольной составляющей скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии. При этом учитывается особенность пограничного слоя атмосферы, состоящая в том, что в ней имеет место взаимообусловленность распределения метеорологических элементов и характеристик турбулентности, что требует их совместного определения на основе решения замкнутой системы уравнений и граничных условий для пограничного слоя при заданных внешних факторах. Исходя из этого, выводится формула для турбулентных потоков различных свойств, необходимая для последующего решения уравнения турбулентной диффузии загрязняющих веществ. Дальнейшее развитие методов математического и численного моделирования явления атмосферной турбулентности и диффузии находит свое отражение в современных работах авторов монографий и статей О.М. Белоцерковного, Опарина A.M. и др. [12-14,189]. В частности в работе [13] проведен анализ фундаментальных понятий и методов, необходимых для изучения турбулентности. С помощью новых численных методик проводится прямое численное моделирование свободной развитой турбулентности, при этом получены основные качественные характеристики строения турбулентности на различных режимах движения: когерентные структуры, ламинарно-турбулентные течения, переход к хаосу. В монографии [14] с помощью численного эксперимента рассматривается проблема развития турбулентности и конвекции. На основе полученных результа

12 тов предлагается физическая модель развития турбулентности. Обсуждаются численные алгоритмы и разностные схемы, позволяющие проводить численный эксперимент в гидродинамике.

Вопросам математического моделирования явления переноса загрязняющих веществ применительно к проблеме экологического мониторинга окружающей среды посвящен большой цикл работ Н.Э. Нааца и его учеников, работающих совместно с ним по данному научному направлению [165,71,67,2,72,104133,137,143,170-173] (Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь). Первые результаты И.Э. Нааца были получены в Институте Оптики Атмосферы Сибирского отделения РАН и связанны с разработкой теории дистанционного оптического зондирования атмосферы в целях прогноза ее оптического состояния, необходимого для различных приложений, включая и контроль уровня загрязнений воздуха в индустриальных центрах. Основные результаты этих исследований изложены в монографии «Обратные задачи оптики атмосферы», написанной совместно с академиком РАН В.Е. Зуевым [134]. К этому же циклу работ относятся следующие статьи [134-136,142,138-140]. Дальнейшие исследования теоретического характера по данному направлению получили продолжение в монографиях [141,173], написанных совместно с Е.А. Семенчиным и В.И. Наац. Продолжение и развитие этих исследований находит отражение в работах Наац В.И. с соавторами [25,57-66,104-133,143,184]. Последние разработки по данному научному направлению содержатся в данной диссертации и будут рассмотрены в последующих главах.

В завершение данного обзора необходимо отметить научные достижения ученых в проблеме моделирования задач экологического мониторинга, полученные под руководством академика В.А. Бабешко (Кубанский государственный университет, г. Краснодар) [196,6-8].

5. Методология совместного использования численных моделей и данных мониторинга. Применение технологии параллельных вычислений в задачах экологии. Важным аспектом методологии моделирования является разработка методов исследования и численного решения задач усвоения данных мониторинга в вычислительных моделях атмосферных процессов. Существуют различные методы для решения подобных задач [190,200,148]. В частности в работе В.П. Шутяева и Е.И. Пармузина [182] рассматривается решение задачи вариационного усвоения данных па основе теории сопряженных уравнений. Основы теории сопряженных уравнений для решения обратных и оптимизационных задач были заложены в ранних работах Г.И. Марчука [90,91]. Применение метода сопряженных уравнений в [182] выполняется для полулинейного параболического уравнения.

В работе В.В. Пененко [149] задача совместного использования численных моделей и данных мониторинга решается методами прямого и обратного моделирования. Рассмотренная методика [149] использовалась для организации сценари

13 ев моделирования на основе данных Reanalysis NCEP/NCAR [197]. Это задачи, связанные с оценками экологической перспективы при различных вариантах антропогенных воздействий и масштабов взаимодействий в климатической системе типа источник-детектор, детектор-источник. Создаваемая для этих целей система моделирования [155] позволяет оперативно восстанавливать пространственно-временную структуру атмосферной циркуляции с заданным разрешением в режиме усвоения данных реанализа. Система моделирования представляет собой многофункциональный комплекс моделей, представляющий собой открытую и развиваемую систему.

Существуют способы повышения эффективности алгоритмов системы моделирования, одним из которых служит метод распараллеливания. Методика организации параллельных вычислений развивается в рамках нового фундаментального научного направления, связанного с совместным использованием численных методов и структур ЭВМ [98]. Оно получило название «Отображение проблем вычислительной математики па архитектуру вычислительных систем» и стало одним из ведущих направлений научных исследований в Отделе вычислительной математики АН СССР (в настоящее время Институт вычислительной математики РАН), созданном академиком Г.И. Марчуком в 1980 году. К настоящему времени известен цикл работ, содержащих последние достижения в этой области [12,98,206,204,205,28-30,180,4]. В частности, в статье В.В. Воеводина [30] рассматриваются основные положения обозначенного выше фундаментального научного направления, анализируется связь этого направления с различными областями, так или иначе связанными с вычислениями. Что касается вычислительных моделей, построенных на основе методов прямого и обратного моделирования [149], позволяющих использование в них измерительной информации, то их структура построена на принципах аддитивности. Выбранный в них способ дискретизации с помощью вариационного принципа и метода расщепления обеспечивает конструирование численных моделей для основных и сопряженных задач в виде схем расщепления, взаимно согласованных на всех этапах вычислений. Как следствие этого возможна многоуровневая схема распараллеливания алгоритмов. В итоге каждый этап технологии моделирования может реализовываться параллельно. При этом на нижнем системном уровне покоординатное расщепление по пространственным переменным также может быть выстроено в параллельную структуру.

Таким образом, обзор научных публикаций позволяет сделать вывод об актуальности математического моделирования в задачах мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна в пограничном слое атмосферы. Несмотря на то, что имеют место значительные достижения в данной области, не все проблемы ещё решены до конца. Так, хотя и существуют развитые методы и технические средства для сбора метеорологической информации, однако измерительная информация носит дискретный характер, включает в себя ошибки измерений, её объем часто не достаточный для проведения соответствующих расчетов. В связи с этим актуальной является проблема усвоения данных мониторинга вычислительными моделями, для создания которых требуется разработка соответствующих вычислительных методов и алгоритмов, устойчивых к погрешностям в исходных данных. Кроме этого, актуальной остается проблема оценки коэффициентов турбулентной диффузии. Анализ литературных источников по этой проблеме показал, что не существует методов прямого измерения турбулентности, судить о данном явлении можно лишь по другим косвенным измерительным данным. Для оценки коэффициентов турбулентной диффузии разработано большое количество математических моделей, но все они посят качественный характер. Поэтому проблема численного моделирования атмосферной турбулентности остается актуальной и может быть дополнена новыми качественными моделями. Актуальна также проблема создания системы моделирования, которая являлась бы многофункциональным комплексом моделей, представляющим собой открытую и развиваемую систему, основанную на современных информационных технологиях. Существуют и другие не менее актуальные проблемы и задачи. Для решения подобных задач требуется создание математических моделей исследуемых процессов, разработка соответствующих численных методов, построение па их основе соответствующих вычислительных моделей, эффективных решающих алгоритмов и соответствующего программного обеспечения. Перечисленные средства математического, вычислительного и программного обеспечения в совокупности представляют собой информационно-вычислительную технологию моделирования атмосферных процессов, в частности процесса диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы, проблема создания и развития которой является актуальной, современной и относится к быстроразвивающимся в настоящее время областям информационно-вычислительных технологий в науках об окружающей среде.

Цель диссертационного исследования: Разработка и исследование вычислительных методов и моделей, способных к усвоению данных экологического мониторинга, применительно к задачам нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы для информационно-вычислительного обеспечения систем оперативного контроля экологического состояния воздушного бассейна.

Для достижения цели диссертационного исследования в работе были поставлены следующие задачи:

1) Разработать на основе технологии расщепления и обосновать вычислительные методы и модели, использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в пограничном слое атмосферы с учетом в нем пространственно

15 временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника, а также учетом возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;

2) Построить для исходного уравнения переноса параметризованную вычислительную модель, включающую в себя алгоритм оптимизации, реализующий принцип минимакса, и позволяющий выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Для параметризованной модели переноса примесей в пограничном слое атмосферы предложить методику вычислительного эксперимента и реализовать её на примере двумерной модели переноса;

3) Предложить и обосновать вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, на его основе построить итерационные вычислительные схемы для параметризованной модели трехмерной пространственной задачи переноса примесей в рамках метода покоординатного расщепления. Провести исследование метода в вычислительном эксперименте па примере одномерного уравнения переноса;

4) Рассмотреть, обосновать и применить методику построения вычислительных моделей, предназначенную для уравнений эволюционного типа, к нестационарному уравнению переноса примесей, относящемуся к данному классу задач. На основе данной методики, включающей в себя вариационные методы и методы аппроксимации экспериментальных данных построить рекурсивные вычислительные схемы и алгоритмы, определить условия их сходимости, провести вычислительный эксперимент для одномерного уравнения переноса. Обобщить данный метод па трехмерный вариант задачи переноса и построить соответствующую вычислительную схему в рамках метода расщепления;

5) Выполнить постановку обратных задач и разработку соответствующих методов по определению коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, построить для них соответствующие регуляризирующие алгоритмы, осуществить программную реализацию и вычислительный эксперимент на примере одномерного уравнения переноса;

6) Создать расчетно-аналитические и качественные модели теории переноса примесей, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния пограничного слоя атмосферы, вычислительные алгоритмы которых и соответствующее программное обеспечение применить к решению прикладных задач экологии;

7) Выполнить обобщение модели диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы путем введения в неё векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающее члены, определяемые турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы и другие физические характеристики среды, измеряемые в

16 эксперименте. Разработать вычислительные методы и алгоритмы для решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, позволяющего вычислять значения компонент вектора скорости ветра, для случая трех пространственных переменных на основе покомпонентного и покоординатного методов расщепления, выполнить постановку и провести вычислительный эксперимент;

8) На основе созданных вычислительных методов и моделей разработать модульную систему алгоритмов информационно-вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга и прогноза загрязнения атмосферы, представляющих собой в совокупности информационно-вычислительную технологию решения подобных задач.

Научная новизна работы:

1) Предложены вычислительные модели и алгоритмы на основе методов расщепления и доказана их правомерность для решения первой краевой задачи нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, с учетом пространственно-временной изменчивости всех распределений, входящих в него, и возможной коагуляции частиц;

2) Разработан «метод параметризованных моделей», на основе которого построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей в атмосфере, предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов в процессе моделирования;

3) Предложен вычислительный метод для двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате, построена для него параметризованная вычислительная модель, проведен вычислительный эксперимент;

4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, построено два итерационных алгоритма, для каждого из которых определено условие сходимости, созданы алгоритмы для трехмерных пространственных задач диффузного переноса субстанции в атмосфере;

5) Предложены вариационные методы решения задач диффузного нестационарного переноса субстанции, использующие приближенные исходные данные. Поострены рекурсивные алгоритмы, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости оператора шага и источника от пространственно-временной распределенности исходных данных;

6) Предложено и исследовано новое аналитическое представление базисной функции в методе конечных элементов и построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппрокси

17 мируемых функций, соответствующих экспериментальным данным, проведены численные исследования алгоритмов аппроксимации экспериментальных данных;

7) Выполнена модификация с учетом специфики решаемых задач переноса примесей в атмосфере и детальная алгоритмизация известных вычислительных методов негладкой оптимизации нулевого порядка, применяемых при решении вариационных задач;

8) Разработаны новые методы и соответствующие регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в атмосфере;

9) Предложены новые расчетно-апалитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, позволяющие оценивать пространственно-временные характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в атмосфере;

10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих примесей в пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непрерывной длительностью действия и на их основе выполнена постановка обратной задачи источника, для которой построен и обоснован соответствующий регу-ляризирующий алгоритм;

11) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью. Разработаны и обоснованы новые вычислительные методы решения нелинейного уравнения Навье-Стокса и выполнено их обоснование, соответствующие им вычислительные алгоритмы построены для параметризованной модели исходной задачи в рамках методов покомпонентного и покоординатного расщепления;

12) Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информационно-вычислительного обеспечения систем мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационного исследования определяется использованием при построении новых методов известных теоретических положений курсов «Уравнения математической физики», «Функциональный анализ», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы» и др., а для построения вычислительных схем и алгоритмов — известных вычислительных методов. Кроме того, достоверность получаемых результатов определялась путем тестирования, т.е. сопоставлением приближенных решений с точными решениями, моделируемыми с помощью специально разработанных для этой цели тестовых задачах. Сравнение расчетных данных также проводилось с табличными данными, взятыми из научных публикаций других авторов.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования созданного в ней математического, алгоритмического и программного обеспечения для создания информационно-вычислительных систем и технологий решения задач мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна. С другой стороны, вычислительные методы и алгоритмы, методика постановки и проведения вычислительного эксперимента, технология построения модульной системы алгоритмов могут быть использованы в учебном процессе при изучении дисциплин «Уравнения математической физики», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы», а также при постановке тем научно-исследовательской работы студентов, курсовых и дипломных работ. Основные алгоритмы и программы зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (г. Москва), они свободны для распространения и доступны другим пользователям.

Положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительные методы и модели, построенные на основе методов расщепления и использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере с учетом в нём пространственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника и возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;

2. Параметризованная вычислительная модель для нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере, включающая в себя алгоритм оптимизации, который реализует принцип минимакса и позволяет выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов, реализуемые в процессе моделирования;

3. Вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, и соответствующие ему итерационные алгоритмы для трехмерных пространственных задач переноса примесей в атмосфере, реализуемые в рамках метода покоординатного расщепления;

4. Вычислительные модели, построенные на основе вариационных методов для нестационарного уравнения диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере и соответствующие рекурсивные вычислительные схемы, включающие в себя алгоритмы аппроксимации данных мониторинга, а также алгоритмы, реализующие методы негладкой оптимизации нулевого порядка;

5. Методы обратных задач оценки коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, соответствующие им регуляризирующие алго

19 ритмы. Расчетно-аналитические и качественные модели теории нестационарного диффузного переноса примесей в атмосфере, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния воздушного бассейна;

6. Обобщенная модель нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере, построенная на основе векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающего члены, определяемые турбулентным состоянием атмосферы и другие её характеристики, измеряемые в эксперименте. Вычислительные методы и алгоритмы решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, построенные на основе методов покомпонентного и покоординатного расщепления и позволяющие вычислять значения компонент вектора скорости ветра;

7. Концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач переноса загрязняющих примесей в атмосфере, реализованная в виде модульной системы алгоритмов, которая может быть ядром информационно-вычислительного обеспечения некоторой системы, функционирующей на метеорологических станциях.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации докладывались: на Междунар. форуме по проблемам науки, техники и образования, г. Москва, 1997г.; на Всерос. конф. по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы, г. Нальчик, КБР, 1997г.; на 4-ом, Всерос. сим-поз. «Математическое моделирование и компьютерные технологии», г. Кисловодск, Ставропольский край, 2000; на Междунар. пауч.-технич. и Российской науч. школе, г. Москва, 1998г.; на Междунар. школе - семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, г. Ростов-на-Дону, 2002, 2004гг.; па 4-ой, 5-ой, 6-ой Междунар. науч.-технич. конф. «Компьютерное моделирование», г. Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2005гг.; на Всерос. науч.-технич. конф. «Методы и средства измерений», «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», г. Нижний Новгород, 2003, 2005гг.; на 1-ой Междунар. науч.-технич. конф. «Инфо-телекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании», г. Ставрополь, 2005г.; на 13-ой Междунар. конф. «Математика, экономика, образование», г. Ростов-на-Дону, 2005г; на 3-ей, 5-ой, 6-ой Регион, науч.-технич. конф. «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону», г. Ставрополь, 1999, 2001, 2002гг.; на 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой Регион, науч. конф. «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Георгиевск, Ставропольский край, 2001, 2002, 2003, 2004гг.

По теме диссертации опубликовано 66 работ, из них 1 монография, 26 статей, 36 тезисов докладов и 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ. К основным публикациям можно отнести 32 работы, а именно: монография «Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы», написанная в соавторстве с докторами физ.-мат. наук Семенчи

20 ным Е.А. и Наац Н.Э. и опубликованная в издательстве «Физ. Мат. Лит.» (г. Москва); 11 статей в реферируемом научном журнале «Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки», входящего в перечень журналов, установленный ВАК РФ; 17 докладов и тезисов докладов, опубликованных в трудах и материалах Международных и Всероссийских форумов, симпозиумов и конференций; 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ в «Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (г. Москва). Из 32 работ без соавторства опубликовано 18. Список работ помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Объем работы составляет 339 страниц, включая 80 рисунков, 30 таблиц и список литературы, состоящий из 209 источников.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Наац, Виктория Игоревна

Основные результаты, полученные в диссертации:

1) Рассмотрена первая краевая задача для нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в атмосфере, в котором поля скорости ветра, турбулентной диффузии и источника характеризуются пространственно-временной изменчивостью, и для её решения предложен вычислительный метод, основанный на покоординатном расщеплении, доказана его правомерность. Для данной же задачи, но уже с учетом коагуляции частиц загрязняющих примесей, возможной в условиях турбулентных движений в атмосфере, разработан и обоснован вычислительный метод, построение которого осуществляется путем расщепления исходного уравнения по физическим факторам;

2) Разработан «метод параметризованных моделей», включающий в себя алгоритмы оптимизации параметров модели на основе принципа минимакса и позволяющий осуществлять корректный выбор значений некоторых исходных данных. На его основе построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей. Предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных моделей, реализуемые в ходе вычислительного эксперимента, проводимого с помощью тестовых задач. Исследованы особенности конечно-разностной аппроксимации исходных данных в задачах переноса с пространственно-временной распределений, предложен метод «фиктивной точки» для аппроксимации производных полей исходных данных на границе области исследования;

3) Предложен вычислительный метод решения двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы с учетом пространственно-временной изменчивости полей исходных данных, а также процессов оседания тяжелых примесей и их взаимодействия с подстилающей поверхностью, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате. Построена параметризованная вычислительная модель в рамках схемы покоординатного расщепления, на основе тестовой задачи численно исследовано совместное влияние скорости ветра и турбулентной диффузии на концентрацию загрязняющих примесей в атмосфере;

4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, в котором все поля имеют пространственно-временную изменчивость, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, вычислительный алгоритм которого сводится к решению соответствующего уравнения Вольтерра второго рода. В рамках данного метода построено два итерационных алгоритма решения параметризованной задачи переноса субстанции в атмосфере, для каждого из которых определено условие сходимости. На основе созданных итерационных

321 вычислительных схем предложен алгоритм для трехмерной пространственной параметризованной задачи диффузного переноса, построенной в рамках метода расщепления;

5) Исследованы вариационные методы, применяемые в моделях эволюционного типа, к которым относятся нестационарные уравнения переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. На основе этих методов предложены способы построения рекурсивных алгоритмов, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов и эффективности конечно-разностных аппроксимаций для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости оператора шага и источника системы от исходных данных, характеризующихся пространственно-временной изменчивостью;

6) Созданы вычислительные методы и алгоритмы решения задач переноса субстанции с использованием приближенных исходных данных, в рамках вариационного подхода. Первый из них связан с квадратичным функционалом, соответствующим методу наименьших квадратов и использующий в качестве базисных функций так называемые многочлены Бернштейна. Исследованы в вычислительном эксперименте особенности аппроксимации многочленами Бернштейна данных мониторинга и соответствующих производных в задачах переноса с учетом структурной сложности аппроксимируемых функций и определены требуемые при этом значения размерности базиса. Построен рекурсивный вычислительный алгоритм для одномерного параметризованного уравнения переноса, исследованы в вычислительном эксперименте его сходимость и устойчивость. Второй вариационный метод и соответствующие ему рекурсивные алгоритмы, предложенные для решения уравнения переноса в его параметризованном виде, основаны на так называемом методе «взвешенной невязки» и методе конечных элементов. Последний метод использует особый вид базисных функций, аналитическое представление которых предложено и исследовано в работе. Построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппроксимируемых функций и повысить за счет этого точность аппроксимации измерительных данных, используемых в вычислительной модели. Исследованы свойства сходимости и устойчивости рекурсивных алгоритмов в вычислительном эксперименте на примере одномерного параметризованного уравнения переноса. Вариационные методы численного решения уравнения переноса включены в общую структуру решающего алгоритма для трехмерной задачи переноса примесей в атмосфере в рамках метода расщепления, определены основные принципы подобного включения;

7) Предложены два модифицированных, с учетом специфики решаемых задач, алгоритма численных метода негладкой оптимизации нулевого порядка, а именно симплекс метод и метод вращения системы координат, применяемых при решении

322 вариационных задач. Выполнено численное исследование методов применительно к решению параметризованного одномерного уравнения переноса примесей в атмосфере.

8) Разработаны методы, вычислительные схемы и регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в пограничном слое атмосферы: метод определения коэффициента турбулентной диффузии из уравнения переноса; метод оценки значений коэффициента турбулентности, определяемых по дифференциальным характеристикам поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы; метод определения коэффициента турбулентной диффузии на основе уравнения непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы; метод определения производных эмпирических функций исходных данных задач переноса. Выполнено численное исследование методов;

9) Предложены и обоснованы расчетно-аналитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, основанные на фундаментальном решении уравнения переноса примесей с постоянными коэффициентами для мгновенного точечного импульсного источника, позволяющие оценивать пространственно-временные характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы с учетом метеофакторов (данных мониторинга).

10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих примесей в пункте наблюдения, поступающих в пего от источников с конечной и непрерывной длительностью действия и па их основе выполнена постановка обратной задачи источника, для неё построен и обоснован соответствующий регуляризирующий алгоритм, выполнены соответствующие расчеты и численные исследования.

И) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью. Разработаны вычислительные методы для уравнения Навье-Стокса, включающие в себя алгоритмы локальной линеаризации и итерационного уточнения получаемого решения, и выполнено их обоснование. Созданы соответствующие алгоритмы для параметризованных уравнений Навье-Стокса, которые включены в общую схему покомпонентного и покоординатного расщепления, проведен вычислительный эксперимент;

12) На основе разработанных вычислительных моделей, методов и алгоритмов предложена концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы в рамках

323 некоторой информационно-измерительной системы, предположительно функционирующей на метеорологических станциях. Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информационно-вычислительного обеспечения подобных систем и представляющая собой комплекс взаимосвязанных модулей, каждый из которых есть алгоритмическая реализация того или иного вычислительного метода, разрабатываемого в предыдущих главах.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Наац, Виктория Игоревна, 2005 год

1. Алоян А.Е. Математическое моделирование взаимодействия газовых примесей и аэрозолей в атмосферных дисперсных системах. // Междунар. конф. «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том 1. - М., 2000. - С.214-230.

2. Амироков С.Р. Математическое моделирование экологических систем на основе модели Лотки-Вольтерра // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. Ставрополь, 2000,- С. 17-19.

3. Андреев С.Д., Ивлев Л.С., Тимофеев Ю.М. Комплексный экологический мониторинг атмосферы в районе Санкт-Петербурга. // XXI век: Молодежь, образование, экология, ноосфера: 9-ая науч. конф., 2001. СПб, С.43-49.

4. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей. // Под ред. Ф.Т.М. Ньюстадта и Х.Ван Допа. Л., 1985.

5. Бабешко В.А. Математика и проблема безопасной эвакуации при авариях радиационной и токсической природы. // Соровский образовательный журнал, №7. -М., 1997. -С.116-120.

6. Бабешко В.А., Глацкой И.Б., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов. // Докл. Акад. наук. 1995. Т. 342, №6.

7. Бабешко В.А., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. Об одной модели распространения загрязняющих веществ по глубине водного потока // Докл. Акад. наук. 1994. Т. 337, № 5.

8. Белоцерковский О.М. Новый век — новые подходы к турбулентности на основе передовых технологий математического моделирования и параллельных вычислений. / В кн. «Математическое моделирование: Проблемы и результаты» М., 2003. -С.3-11.

9. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу. М., 2001.

10. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М., 2003.

11. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. JI., 1975.

12. Берлянд М.Е., Генихович E.JI. Метеорологические аспекты загрязнения атмосферы. -Л., 1971.

13. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов. Ростов-на-Дону, 1998.

14. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для вузов. Ростов-на-Дону, 1997.

15. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учеб. для вузов. Ростов-на-Дону, 1997.

16. Вызова H.JI. Исследование крупных вихрей и диссипация энергии при безразличной и слабонеустойчивой стратификации. // В сб. Вопросы физики атмосферы. -СПб., 1998.-С.227-246.

17. Вызова H.JL, Гаргер Е.К., Иванов В.Н. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. JI., 1991.

18. Васильев С.А., Ивлев JT.C., Крылов Г.Н. Комплексный мониторинг и управление состоянием природных сред. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. - С.452-459.

19. Васильев СЛ., Гудошников Ю.П., Ивлев JT.C. Активные воздействия на атмосферные процессы. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 2-я Междунар. копф. СПб., 2000. - С.251-258.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов. М., 1988.

21. Ватиашвили М.Р., Наац В.И. Численный эксперимент по распространению аэрозолей в атмосфере. // Всероссийская конференция по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы. -Нальчик, КБР, 1997. -С.16-17.

22. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М., 2000.

23. Воеводин В.В. Информационная структура алгоритмов. М., 1997.

24. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. -М., 1986.

25. Воеводин В.В. Отображение проблем вычислительной математики на архитектуру вычислительных систем. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Междунар. конф., Том I. М., 2000. - С.242-255.

26. Гейн С.В., Зайцев Н.А., Посвянский B.C., Радвогин Ю.Б. Метод независимых потоков для численного решения многомерного уравнения теплопроводности. -М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт, 2003. С.1-28.

27. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М., 1979.

28. Голицын Г.С., Ярошевич М.И. Особенности повторяемости тропических циклонов по энергиям. ДАН, 2000, т.372 №4. С.544 -546.

29. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Еланский Н.Ф., Исаков А.А. и др. Исследование пространственного распределения аэрозоля на трассе Москва-Владивосток. // Аэрозоли Сибири. Томск, 1997. - С.48-49.

30. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Еланский Н.Ф., Исаков А.А. и др. Пространственное распределение приземного аэрозоля вдоль Транссибирской магистрали. // Аэрозоли Сибири. Томск, 1998. - С.65-66.

31. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Исаков А.А. О пространственном распределении субмикронного и сажевого аэрозоля над континентом Евроазии. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. -С.534-536.

32. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Исаков А.А., Тихонов А.В., Шукуров К.А. Исследование вариаций параметров аэрозоля в пограничном слое атмосферы. // Физика атмосферного аэрозоля: Труды конф. М., 1999. - С. 151-159.

33. Довгалюк Ю.А., Ивлев Л.С. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. 2-е издание. СПб., 1998.

34. Доиченко В.К., Ивлев Л.С. Об идентификации аэрозолей разного происхождения. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001. С.41-52.

35. Дымников В.П. О предсказуемости климатических изменений // Изв. РАН. ФАиО. 1998. Т. 34, № 6. С.741 -751.

36. Дымников В.П. Метод функции Грина в нелинейных задачах физики атмосферы. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. Конф., Том I. М., 2000. - С.99-110.

37. Дымпиков В.П., Алоян А.Е. Монотонные схемы решения уравнений переноса в задачах прогноза погоды, экологии и теории климата. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 26, №. 12. С.1237-1247.

38. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата.- М., 1994.

39. Дэннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. М., 1988.

40. Захаров В.М., Костко O.K., Хмельцов С.С. Лидары и исследование климата. -Л., 1990.

41. Зельдович Я. Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики: Учеб. для вузов.- СПб., 2002.

42. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М., 1986.

43. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М., 1995.

44. Ивлев Л.С. Атмосферная циркуляция и турбулентность. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. - С.460-479.

45. Ивлев Л.С. Химический состав и структура атмосферных аэрозолей. Л., 1982.

46. Ивлев Л.С., Васильев Л.В., Белан Б.Д., Панченко М.В., Терпугова С.А. Оптико-микрофизические модели городских аэрозолей. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. - С. 161-171.

47. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем.- СПб., 1999.

48. Ивлев Л.С., Янченко Е.Л. О лазерном зондировании в области глории. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я междунар. конф. СПб., 2001.- С. 121-130.

49. Израэль Ю.А. Экология и контроль состояния природной среды. М., 1984.

50. Кабанов М.В. Региональный мониторинг атмосферы. 4.1. Научно-методические основы. Томск, 1997.

51. Каргин Н.И., Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примесей на основе метода наименьших квадратов и алгоритмов аппроксимации. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 5'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.30-38.

52. Каргин Н.И., Наац В.И. Итерационные методы численного решения задач переноса на основе интегральных уравнений. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 3'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-16.

53. Каргин Н.И., Наац В.И. Обратная задача источника загрязняющих примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. № 3.- Ростов-на-Дону, 2003. С.30-35.

54. Каргин Н.И., Наац В.И. Основные подходы к построению вычислительных моделей в задачах переноса примесей на основе вариационных методов. // Компьютерное моделирование 2004: 5-я Междунар. науч.-технич. конф.- СПб., 2004. -С.126-127.

55. Каргин Н.И., Наац В.И. Построение вычислительных моделей для задач массо-переноса на основе метода интегральных уравнений. // Компьютерное моделирование 2003: 4-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2003. - С. 144-146.

56. Каргин Н.И., Наац В.И. Чиеленное исследование сеточных моделей для нестационарного уравнения переноса. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. № 4. -Ростов-на-Дону, 2004. С. 18-23.

57. Каргин Н.И., Наац В.И. Вычислительный метод оценки поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы на основе уравнения Навье-Стокса. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 5'05 Ростов-на-Дону, 2005. - С.3-13.

58. Каргин Н.И., Наац В.И. Расчетно-аналитические модели векторных полей в задачах оперативного прогноза распространения загрязнений в пограничном слое атмосферы. // Компьютерное моделирование 2005: 6-я Междунар. науч.-тех. конф. -СПб., 2005. С.181-183.

59. Кирилов B.C., Корчагин П.В. Моделирование распространения загрязняющих веществ в системе атмосфера-грунт. // Компьютерное моделирование 2003: 4-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2003. - С. 151-153.

60. Колмагоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР, сер. Физ., 6, №1-2, 1942. С.56-58.

61. Кондратьев К.Я. Аэрозоль как климатообразующий компонент атмосферы. // Оптика атмосферы и океана, 2002 г., т.15, №3, С.121-192.

62. Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.

63. Корчагин П.В. Моделирование турбулентной диффузии в осесимметричной незакрученной струе. // Геометрические и аналитические модели естествознания: Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2002. - С.198-199.

64. Корчагин П.В. Построение вычислительной схемы для уравнения переноса с использованием метода взвешенной невязки и метода конечных элементов. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. -Ставрополь, 2000, С.55-58.

65. Коханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М., 1998.

66. Кубанива М., Табата М., Табата С, Хасэбэ 10. Математическая экономика на персональном компьютере: Пер. с яп. М., 1991.

67. Лавриненко Р.Ф. К вопросу о формировании химического состава атмосферных осадков. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001.- С.14-35.

68. Лайтхман Д.Л. Физика пограничного слоя атмосферы. Л., 1970.

69. Ламли Дж., Пановский Г. Структура атмосферной турбулентности. М., 1966.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Сер. Теоретическая физика, том. 6. -М., 1988.

71. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., 1994.

72. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М., 1975.

73. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране: Пер. с англ. М., 1977.

74. Малкевич М.С. Оптические исследования атмосферы со спутников. М., 1973.

75. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов. М., 2002.

76. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. -М, 1982.

77. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М., 1992.

78. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л., 1974.

79. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды.- Л., 1967.

80. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1980.

81. Марчук Г.И. Методы расщепления. М., 1988.

82. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // ДАН СССР. 1964. Т. 156, №3.- С.503-506.

83. Марчук Г.И. Уравнение для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач // Космич. исслед. 1964. Т.2. Вып.З. -С.462-477.

84. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М, 1981.

85. Марчук Г.И., Алоян А.Е. Глобальный перенос примеси в атмосфере // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31, №5. С. 597-606.

86. Марчук Г.И., Дымпиков В.П. и др. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. JL, 1984.

87. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели геофизической гидродинамики и численные методы их реализации. JL, 1987.

88. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.В., Лыкосов В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л., 1984.

89. Марчук Г.И., Дымников В.П., Лыкосов В.И., Галин В.Я., Бобылева И.М., Перов В.Л. Глобальная модель общей циркуляции атмосферы. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, №2. С.321-331.

90. Марчук Г.И., Котов В.Е. Проблемы вычислительной техники и фундаментальные исследования // Автом. и вычисл. техн. 1979. №2.- С. 3-14.

91. Марчук Г.И., Саркисян А.С. Математическое моделирование циркуляции океана. М., 1988.

92. Матвеев Л.С. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы. Л., 1965.

93. Мельникова И.Н., Петрова Е., Гущин Г.К. Оптические параметры облаков, полученные из наземных измерений интегральной солнечной радиации. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001. С. 171-176.

94. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М., 1953.

95. Михайлова Л.А., Ордапович А.Е. Когерентные структуры в пограничном слое атмосферы (Обзор). // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1991, т.27, № 6. С.593-613.

96. Наац В.И. Аналитические модели пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2004. - С.214-216.

97. Наац В.И. Аппроксимация многочленами Бернштейна и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения переноса. // Компьютерное моделирование 2004: 5-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2004. - С.128-129.

98. Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примеси на основе метода взвешенной невязки. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Ес-теств. науки. Прил. 5'04 Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-15.

99. Наац В.И. Метод покоординатного расщепления на примере нестационарной модели переноса загрязняющих примесей в приземном слое атмосферы. // Ма331тематическое моделирование и компьютерные технологии: V Всерос. симпоз. -Кисловодск, 2002. С. 14-16.

100. Наац В.И. Методика определения концентрации загрязнений, поступающих в пункты наблюдения под действием метеофакгоров от различного типа источников. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: IV Всерос. симпоз. Кисловодск, 2000.-С.1-2.

101. Наац В.И. Методика оценки концентрации примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы от источников конечной и непрерывной длительности действия. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. З'ОЗ. Ростов-на-Дону, 2003. -С.35-41.

102. Наац В.И. Обратная коэффициентная задача для уравнения турбулентной диффузии. // Вестник Сев.-Кав. гос. Технич. университета. Серия «Физико-химическая». Ставрополь, 2003. - С.89-94.

103. Наац В.И. Определение концентрации загрязняющего вещества, распространяющегося от источника с конечной длительностью выброса. // Междунар. Науч.-технич. и Российской науч. школы. Часть 3. - Москва - Сочи, 1998. - С. 2730.

104. Наац В.И. Уравнение эволюционного типа как аналитическая модель явления переноса и численные методы его решения. // Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.- Ростов-на-Дону, 2002. С.204-206.

105. Наац В.И. Численные исследования итерационных методов для нестационарного уравнения переноса. // Всерос. науч.-технич. конф. Н. Новгород, 2003. -С.13-14.

106. Наац В.И. Численный метод решения нестационарного уравнения переноса. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: II Всерос. симпоз. Кисловодск, 1998. - С.66-67.

107. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Алгоритмы аппроксимации искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса. // Современные проблемы математики и естествознания: Всерос. науч.-технич. конф. Н. Новгород, 2003. - С.25-26.

108. Наац В.И. Численные исследования по методам решения нестационарного уравнения переноса. // Сб. науч. тр., серия «Физико-химическая». Вып. I. Ставрополь, 1998.-С. 100-104.

109. Наац В.И. Исследование вычислительной схемы решения нестационарного уравнения переноса примесей в турбулентной атмосфере. // Сб. науч. тр., серия «Физико-химическая». Вып. 3. Ставрополь, 1999. - С. 125-129.

110. Наац В.И. Некоторые результаты исследования вычислительной схемы решения нестационарного уравнения переноса.// Вузовская наука СевероКавказскому региону: III Per. науч.-технич. конф.- Ставрополь, 1999.-С.54.

111. Наац В.И. Алгоритмы аппроксимации искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса.// Вузовская наука-СевероКавказскому региону: V Per. науч.-технич. конф. Технич. науки. Часть вторая. -Ставрополь, 2001.-С.25.

112. Наац В.И. Аппроксимация искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса // Сб. науч. тр. Серия «Физико-химическая». Выпуск 6. Ставрополь, 2002. - С. 102-109.

113. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Численное решение обратной задачи источника // Вузовская наука Северо-Кавказскому региону: VI Per. Науч.-технич. конф. Ес-теств. и точ. науки. Часть первая. - Ставрополь, 2002. - С.7.

114. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Разностная аппроксимация в задаче Коши для нестационарного уравнения переноса // Вестник Сев.-Кав. гос. технич. университета. Серия «Физико-химическая» Ставрополь, №1, 2004. - С.93-99.

115. Наац В.И. Определение производной поля скорости ветра методом интегральных уравнений на основе экспериментальных данных в задачах переноса // Математика, экономика, образование Материалы: XIII Междунар. конф. Ростов-на-Дону, 2005.-С.8-9.

116. Наац В.И. Вычислительная модель обратной коэффициентной задачи для уравнения переноса загрязняющих примесей в атмосфере // Изв. вузов. Сев.-Кавкав. per. Естеств. науки. Прил. 3'05 Ростов-на-Дону, 2005. - С.21-34.

117. Наац В.И. Численное моделирование пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 2'05- Ростов-на-Дону, 2005. С.3-13.

118. Наац В.И. Определение производных эмпирических функций методом интегральных уравнений в задачах переноса // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 5'05- Ростов-на-Дону, 2005. С.3-22.

119. Наац В.И. Система информационно вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: XV Всерос. науч.-технич. конф. - Н. Новгород, 2005. - С.5-6.

120. Наац В.И. Исследование нестационарных процессов и явлений переноса примесей в турбулентных газах: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ставрополь, 1999.

121. Наац И.Э., Зуев В.Е. Обратные задачи оптики атмосферы. JL, 1990.

122. Наац И.Э. К теории оптического мониторинга атмосфера -подстилающая поверхность. // Оптика атмосферы АН СССР, 1998. T.I. №3. С. 66-72.

123. Наац И.Э. К теории оптического мониторинга атмосферы. // Оптика атмосферы АНСССР, 1988. Т.1, №1. С.87-92.

124. Наац И.Э. Кирилов B.C. Изучение влияния выбора базисных функций на ошибку при решении задач влагопереноса. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. Часть II. Ставрополь, 2000. - С.69-73.

125. Наац И.Э. Метод обратной задачи в поляризационном зондировании дисперсных сред // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т. 2. №7. С.728-736.

126. Наац И.Э. Обратные задачи светорассеяния аэрозольными системами, взаимодействующими с физическими полями. // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т. 2. № 10.-С.1107-1112.

127. Наац И.Э. Оптические методы в исследовании динамики пограничного слоя атмосферы // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т.2. № 8. С.843-850.

128. Наац И.Э., Семенчин Е. А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя в задачах мониторинга окружающей среды. Ставрополь, 1995.

129. Наац И.Э., Бумцев В.Д. Метод обратной задачи в восстановлении характеристик светорассеяния дисперсными средами // ДАИ. Серия «Геофизика», 1988. Т. 303. №3. С. 583-585.

130. Наац И.Э., Наац В.И. Метод интегральных уравнений в задачах переноса. // Сб. науч. тр. Серия «Физико-химическая». Выпуск 6. Ставрополь, 2002. - С.99-101.

131. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М., 1949.

132. Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.,1979.

133. Облака и облачная атмосфера. Справочник под ред. Мазина И.П., Хргиана А.Х.-Л., 1989.

134. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М., 1997.

135. Пармузин Е.И., Шутяев В.П. О численных алгоритмах решения одной за-, дачи об усвоении данных//ЖВМ и МФ. 1997. Т.37, №7. С. 816-827.

136. Пененко В.В. Вариационные принципы и оптимизация во взаимосвязанных задачах экологии и климата. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. конфТом I,- М., 2000 г., С. 135-148.

137. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. -Л, 1981.

138. Пененко В.В. Теоретические основы совместного использования данных наблюдений и моделей для исследования процессов гидротермодинамики и переноса примесей в атмосфере // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, №5. С.458-462.

139. Пененко В.В. Численные модели и методы для решения задач экологического прогнозирования и проектирования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1, № 6. С. 917-941.

140. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск, 1985.

141. Пененко В.В., Цветова Е.А. Об оценке информативности наблюдательных экспериментов // Оптика атмосферы и океана. 2000. Т. 13, №4.

142. Пененко В.В., Цветова Е.А. Подготовка данных для экологических исследований с использованием Reanalysis // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, №5. С.463-465.

143. Пененко В.В., Цветова Е.А. Моделирование процессов переноса примесей в прямых и обратных задачах климато-экологического мониторинга // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, № 6. С. 482-487.

144. Петренчук О.П. Экспериментальные исследования атмосферного аэрозоля. -Л., 1979.

145. Покровская И.В., Шарков Е.А. Глобальные особенности темпов генерации тропических циклонов. //ДАН, 2000, т.372 №5, С.679-682.

146. Потапова И.А. Метод интерпретации данных лидарного зондирования аэрозолей. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001. С.130-132.

147. Пристли С.Х. Турбулентный перенос в приземном слое атмосферы. Л., 1964.

148. Радвогин Ю.Б. Экономичные алгоритмы численного решения многомерного уравнения теплопроводности. // ДАН, 2003, т. 388, №3. С.295-297.

149. Региональный мониторинг атмосферы. 4.2. Новые приборы и методики измерений. / Под ред. М.В. Кабанова. Изд.СО РАН Томск, 1997.

150. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с анг. М., 1985.

151. Рыжиков Ю.И. Программирование на Фортране PowerStation для инженеров. Практическое руководство.- СПб., 1999.

152. Рыскаленко Р.А. Численное моделирование поля концентрации примесей с заданными характеристиками в задачах переноса. // Современные проблемы математики и естествознания: Всерос. науч.-технич. конф. Н. Новгород, 2003. - С.15.

153. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики.- М., 2001.

154. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособ. для вузов. -М., 1989.

155. Саркисян А.С., Залесный В.Б. Методы расщепления и сопряженных уравнений в задачах динамики океана. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. конф. Том I. М., 2000. - С.149-167.

156. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учеб. пособ. для вузов. М., 2004.

157. Семенчин Е.А., Ионисяи А.С. Об одном способе численного решения уравнения переноса частиц примеси в атмосфере. // Успехи современного естествознания. №3,. М.: Академия естествознания, 2003. С.77.

158. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об оценке мощности мгновенного точечного источника примеси. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф., Часть II Ставрополь, 2000. - С.74-76.

159. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об уточнении математической модели рассеяния примеси в атмосфере // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.9, выпуск 2. М., 2002. - С.444-445.

160. Семенчин Е.А., Наац В.И., Наац И.Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: Монография. -М., 2003.

161. Скопина Г.А. К вопросу совместного действия загрязняющих химических примесей. // Компьютерное моделирование 2004: 5-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2004. - С.64-65.

162. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М., 1989.

163. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., 1986.

164. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.

165. Тихонов В.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.

166. Хапаев А.А. Генерация вихревых структур в атмосфере под действием спиральной турбулентности конвективного происхождения. // Изв. АН, Физика атмосферы и океана, 2002, т.38, №3. С.281-285.

167. Четвертушкин Б.Н., Тишкин В.Ф. Применение высокопроизводительных многопроцессорных вычислений в газовой динамике. / В кн. «Математическое моделирование: Проблемы и результаты» М., 2003. - С.3-11.

168. Швед Г.М. Атмосферная турбулентность. JL, 1990.

169. Шутяев В.П., Пармузин Е.И. Численное решение проблемы об усвоении данных для полулинейного параболического уравнения. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. конф. Том I. М., 2000. - С.84-99.

170. Фортран 90. Международный стандарт. / Пер. с англ. Дробышевич С.Г. -М., 1998.

171. Экба Я.А., Ватиашвили М.Р., Наац В.И. Математическое моделирование аэрозольных выбросов в турбулизированной атмосфере. // Междунар. форум по проблемам науки, техники и образования. Вып. I М., 1997. - С. 132 - 134.

172. Яглом A.M. О турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1972, т. 6.- С. 580-593.

173. Яглом A.M. Диффузия примеси от мгновенного точечного источника в турбулентном пограничном слое // Турбулентные течения. М., 1974.- С. 62-74.

174. Яглом A.M. Об уравнениях, с зависящими от времени коэффициентами, описывающими диффузию в стационарном приземном слое воздуха // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1975, т.11.- С. 1120-1128.

175. Яглом A.M. Модели турбулентной диффузии, опирающиеся на стохастические дифференциальные уравнения Ланжевеновского типа // Метеорологические аспекты загрязнения атмосферы, т.2. М., 1981.-С.178-183.

176. Янковская Л.К. Статистические модели и методы исследования переноса загрязнений в приземном слое атмосферы: Дис. на соиск. учен. степ. канд. физико-математических наук. Ставрополь, 2002.

177. Agoshkov V.I., Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modeling. 1993. V. 8. №. 1. P. 116.

178. Aloyan A.E., Arutyunyan V.O. and Marchuk G.I. Dynamics of mesoscale atmospheric layer and impurity spreading with the photochemical transformation allowed for // Russ. J. Num. Anal. Math. Modeling. 1995. Vol. 10, №. 2. P. 93-114.337

179. Aloyan A.E., Arutyunyan V.O. Numerical modeling of lindane transport in the Northern Hemisphere. MSC-E Rep., 1997.

180. Babeshko V., Gladskoil., Zaretzkaja M., Kosobutzkaya E., Babeshko O. Distribution of Blow-outs Polluting Polylayer Atmosphere. // Intern. Symp.: Technological Civilization Impact on the Environment, Karlsruhe, April 22-26,1996.

181. Kalnay E., Kanamitsu M., Kistler R. et al. The NCEP/NCAR 40-year re-analysis project // Bull. Amer. Meteor. Soc. 1996. V. 77. P. 437-471.

182. Marchuk G. Some application of the splitting-up methods to the solution of mathematical physics problems // Applik. mat. 1968. V. 13, №2.

183. Marchuk G.I., Kuzin V.I. On the combination of the finite element and splitting-up methods in the solution of the parabolic equations // J. Сотр. Phys. 1982. V. 52, №2. P. 237-272.

184. Marchuk G.I., Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin's principle and splitting-up method // Russian J. Numer. Analys. Math. Modeling. 1993. V. 8. №4. P. 311-326.

185. Penenko V.V. Methodology of inverse modeling for the problems of climate changes and environmental protection // Advanced mathematics: computations and applications. 1995. -Novosibirsk: NCC Publisher. P. 358-367.

186. Penenko V.V. Some aspects of mathematical modeling using the models together with observational data // Bull NCC: Num. Model, in Atmosph. 1996(4). P. 31-52.

187. Penenko V.V., Tsvetova E.A. The adjoint problems and sensitivity algorithms for the model of atmospheric hydrodynamics in sigma-coordinates // Bull NCC: Num. Model, in Atmosph. 1995(2). P. 53-74.

188. Voevodin V.V. Mathematical foundation of parallel computing.-World Scientific Publishing Co., Series in Computer Science. 1992. Vol. 33. -343 p.

189. Voevodin V.V., Voevodin V.V. Analytical methods and software tools for enhancing scalability of parallel applications//Proc. of Intel. Conf. HiPer'99, Norway, 1999. P. 489-493.

190. Zhiyu Shen, Zhiyuan Li, Pen-Chung Yew. An empirical study of FORTRAN programs for parallelizing compilers // IEEE Trans, on Parallel and Distributed Systems, July 1990. P. 350-364.

191. Наац В.И. «MetVzvNev»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2005611874 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ, 27 июля 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.

192. Наац В.И. «MetlntUr»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005611944 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 3 августа 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.

193. Наац В.И. «ObrKoelZ»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005612006 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 8 августа 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.