Математическое моделирование нестационарного переноса массы и турбулентности в струях конвективных облаков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Корчагин, Петр Владиславович

• Корчагин, Петр Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корчагин, Петр Владиславович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ МАССОПЕРЕНОСА И ТУРБУЛЕНТНОСТИ ВО ВНУТРИОБЛАЧНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ПОТОКАХ. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ.

1.1 Физические процессы в облаках и основы искусственного воздействия на них.

1.2 Турбулентность. Общие представления и способы описания.

1.2.1 Виды движения жидкостей и газов.

1.2.2 Структурная модель турбулентного движения.

1.2.3 Способ описания турбулентного движения по Рейнольдсу.

1.2.4 Применимость уравнения Навье — Стокса к описанию движения воздушных масс в облаке.

1.2.5 Уравнение Рейнольдса. Уравнение турбулентной диффузии.

1.2.6 Общий вид моделей турбулентности, использующих коэффициенты турбулентной вязкости и турбулентной диффузии. ?

1.2.7 Моделирование турбулентности по Прандтлю.

1.2.8 Модель турбулентности, основанная на одном уравнении энергии.

1.2.9 к—£-модель турбулентности.

1.2.10 Обзор моделей турбулентности, использующих уравнения переноса.

1.3 Данные о воздушных потоках в облаках. Методы метеорологического зондирования.35.

Выводы.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА.

2.1 Постановка краевой задачи для единой модели переноса массы и турбулентности.

2.2 Корректность краевой задачи.

2.3 Линеаризация уравнений. Нормировка координат. Покоординатное расщепление.

2.4 Дискретизация по пространственной и временной переменным. Решающий алгоритм.

2.5 Порядок аппроксимации по временному параметру. Сходимость метода конечных элементов по пространственной области.

2.6 Устойчивость разностной схемы.

Выводы.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА И АНАЛИЗ

ПОГРЕШНОСТИ РАСЧЕТОВ.

3.1 Разработка программного комплекса.

3.2 Исследование фактической точности вычислительной схемы.

3.2.1 Анализ погрешности вычислительной схемы в одномерном стационарном случае.

3.2.2 Анализ погрешности вычислительной схемы в одномерном нестационарном случае.

3.2.3 Анализ погрешности вычислительной схемы в двумерном нестационарном случае.

3.2.4 Анализ погрешности вычислительной схемы в случае системы двух уравнений.

3.2.5 О зависимости погрешности решения от погрешности задания начальных и граничных условий.

Выводы.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕНОСА МАССЫ И ТУРБУЛЕНТНОСТИ В СТРУЯХ КОНВЕКТИВНЫХ ОБЛАКОВ.

4.1 Пример расчета характеристик турбулентности во внутриоблачной струе.

4.2 Исследование влияния параметров струи на характеристики турбулентности.

4.3 Исследование распространения аэрозольных частиц во внутриоблачной струе.

4.4 Исследование зависимости погрешности результатов расчетов от погрешности в исходных данных.

4.5 Применение методики численного решения задач переноса к исследованию распространения примеси в пограничном слое атмосферы.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нестационарного переноса массы и турбулентности в струях конвективных облаков»

Градобития ежегодно приносят огромные убытки во многих странах мира. Потерянный урожай зерновых и плодово-ягодных культур, сломанные деревья, разбитые крыши и оконные стекла — подобные их последствия хорошо знакомы жителям южных регионов России. Усилия по борьбе с этим стихийным бедствием предпринимались еще в глубокой древности: пытались колокольным звоном разогнать, а стрелами — разрушить градовые облака.

Зачатки научного подхода к борьбе с градом появились в конце XIX века. Основным средством борьбы тогда был обстрел облаков из артиллерийских орудий. Однако, как показала оценка результатов обстрелов, организация обществ взаимного страхования была более действенным средством спасения от бедствий.

С 40-х годов XX века и по настоящее время во всем мире ведутся научно-исследовательские и опытно-производственные работы по искусственному регулированию осадков из облаков и облачных систем, опирающиеся на использование грубодисперсных аэрозолей и частиц льдообразующих реагентов [51]. В бывшем Советском Союзе и России действует программа по разработке методов метеорологической защиты городов и важнейших объектов. Она включает расчет количества расходуемого кристаллизующего реагента и оценку эффективности искусственного воздействия. С этой целью применяются методы математического моделирования. В этом направлении достигнуты определенные успехи [21, 36, 101, 107]. Однако чрезвычайная сложность стоящей проблемы требует дальнейшего продвижения в этом направлении. Так, в настоящее время рассматривают одно-, двумерные модели, тогда как реальная задача имеет трехмерную геометрию. С другой стороны, увеличение размерности ведет к существенному повышению затрат машинного времени и вычислительных ресурсов, даже если используются те же методы, что и в двумерных случаях, что может сделать невозможным выполнение расчетов на существующих ЭВМ. Далее, многие физические процессы, происходящие в облаке, не имеют адекватного математического описания. Кроме того, часто различные важные явления не учитываются в моделях, либо учитываются весьма грубо. Одно из таких явлений — турбулентность. Эмпирические формулы, используемые в некоторых работах для ее учета, имеют невысокую точность. Таким образом, представленное в настоящей работе исследование, направленное на совершенствование описания турбулентности в облаке и последующее использование его результатов представляется актуальным.

Целью работы является разработка методов расчета полей турбулентности и концентрации диффундирующего вещества (частиц аэрозоля) во внутриоблачной струе применительно к проблеме искусственного регулирования осадков.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

• построить кинематическую модель внутриоблачной струи, базирующуюся на результатах метеорологических исследований и воспроизводящую наблюдаемые трехмерные явления;

• при описании турбулентности учесть ее генерацию за счет неустойчивости течения при больших числах Рейнольдса, ее вязкую диссипацию, конвективный и диффузионный перенос;

• построить модель распространения дисперсных частиц в струе применительно к задаче искусственного воздействия на облака;

• построить алгоритм численной реализации математической модели турбулентности в облаке и диффузии аэрозольных частиц;

• провести на теоретическом уровне исследование сходимости вычислительной схемы;

• создать программный комплекс для расчета полей турбулентности и концентрации вещества, имеющий удобный пользовательский интерфейс;

• провести численное исследование погрешности и устойчивости вычислительной схемы;

• провести численный эксперимент по расчету полей характеристик турбулентности и концентрации аэрозоля, дать анализ полученных результатов; сопоставить их с эмпирическими данными и сформулировать практические рекомендации по использованию полученных результатов в проблеме искусственного воздействия на облака.

Научная новизна состоит в том, что при моделировании распространения аэрозоля во внутриоблачной струе учтены такие явления, как генерация турбулентности за счет неустойчивости течения при больших числах Рейнольдса, ее вязкая диссипация, конвективно-диффузионный перенос. В работе отдано предпочтение сложной модели турбулентности, основанной на системе двух дифференциальных уравнений в частных производных. Преимущество этого подхода в том, что он позволяет вычислять с приемлемой точностью важный параметр — масштаб турбулентности.

Практическое значение работы определяется возможностью применения ее результатов при разработке более общих моделей для оценки последствий искусственного воздействия на облака и для решения задачи оптимального выбора параметров воздействия. Эти результаты, представленные графически, демонстрируют развитие турбулентности и распространение вещества в облаке, что можно использовать в качестве наглядных пособий при изучении таких дисциплин, как "Прикладная экология", "Гидродинамика". На защиту выносятся следующие положения:

1. Модель внутриоблачных турбулентных потоков, учитывающая их струйный характер, осевую симметрию, генерацию турбулентности за счет неустойчивости течения, ее конвективно-диффузионный перенос и вязкую диссипацию.

2. Модель переноса вещества струйными потоками, учитывающая их осевую симметрию и процессы конвекции, диффузии, распада и другие способы выведения вещества из среды либо генерацию частиц источником.

3. Вычислительный алгоритм решения модельной задачи, построенный с использованием линеаризации нелинейных уравнений, методов расщепления многомерных задач, взвешенной невязки в рамках конечноэлементного подхода и конечных разностей, и доказательство сходимости вычислительного процесса с обоснованием его порядка аппроксимации и устойчивости методом энергетических норм.

4. Программный комплекс (свидетельство об официальной регистрации № 2004612018 от 03.09.2004 г.), реализующий вычислительный алгоритм.

5. Результаты исследования точности приближенных вычислений, установление границ параметров, выбираемых в численных методах для устранения нефизического поведения приближенных решений (например, возникновения отрицательной концентрации вещества).

6. Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить особенности развития турбулентности и распространения аэрозоля во внутриоблачной струе. Сопоставление результатов моделирования с данными метеорологических измерений.

По теме диссертации автором опубликовано 12 работ, из них 3 статьи. Результаты исследований были доложены на:

• Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (п. Абрау-Дюрсо, 2002 г.);

• Всероссийской конференции "Математическое моделирование в научных исследованиях" (г. Ставрополь, 2000 г.);

• региональной конференции "Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону" (г. Ставрополь, 1999 г.);

• межрегиональной конференции "Студенческая наука — экономике России" (г. Ставрополь, 2002 г.).

Публикации также сделаны в сборниках трудов:

• Международной конференции "Компьютерное моделирование 2003" (г. Санкт-Петербург, 2003 г.);

• региональных конференций "Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках" (г. Георгиевск, 2001—2004 гг.).

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту Министерства образования (код Е 02-12.1-175) "Моделирование совместного загрязнения грунта и атмосферы". На основе диссертационных исследований разработаны методические указания для изучения темы "Моделирование турбулентности" по дисциплине "Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред", которые используются в учебном процессе в СевКавГТУ (акт о внедрении от 22.09.2004 г.).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 109 наименований, и приложений. Работа изложена на 135 листах машинописного текста, содержит 54 рисунка и 13 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Корчагин, Петр Владиславович

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построена кинематическая модель осесимметричной струи, характерной для кучево-дождевого облака, учитывающая влияние процессов конвективного переноса, диффузии, генерации и диссипации на развитие турбулентности. Построена модель распространения частиц реагента в облаке. В качестве математического аппарата использовалась система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа.

2. С формулирована краевая задача для единой математической модели переноса турбулентности и массы реагента. Исследована ее корректность. Осуществлена редукция задачи к простым рекуррентным соотношениям. Применение линеаризации позволило решать уравнения исходной системы по отдельности. Использование покоординатного расщепления привело к уменьшению размерности решаемых уравнений. Методом конечных элементов уравнение в частных производных сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностная схема Кранка — Николсона позволила заменить систему дифференциальных уравнений системой линейных алгебраических уравнений. Для решения последней был применен метод прогонки.

3. Установлена сходимость построенной вычислительной схемы. Найден порядок ее аппроксимации. Проведено исследование устойчивости схемы методом энергетических норм.

4. Для машинной реализации вычислительного алгоритма создан программный комплекс, позволяющий по заданным начальным и граничным условиям рассчитывать поля характеристик турбулентности и концентрации аэрозоля, выводить их графики на экран и сохранять результаты в текстовых (в виде таблиц) и графических файлах.

5. Исследовано поведение приближенного решения в зависимости от выбранной сетки по пространственным и временной переменным. Результаты позволили найти условия, которым должны удовлетворять шаги сетки, чтобы решения разностной и дифференциальной задач были равнозначны. Указан способ оценки погрешности вычислительной схемы.

6. Проведен вычислительный эксперимент по исследованию эволюции турбулентности и распространению аэрозоля в струе. Полученные результаты проанализированы с точки зрения их физической обоснованности. Отмечено их качественное согласие с данными метеорологических измерений.

7. Проведен расчет рассеяния примеси от прямолинейного источника в пограничном слое атмосферы, демонстрирующий применимость используемой в работе методики к решению различных задач переноса.

Рассмотренные в диссертации явления можно описать более точно, не увеличивая значительно объема вычислений, внеся соответствующие изменения в модель. Для этого нужно учесть закрученность струйных течений (это повлияет на значение скорости генерации турбулентности), изменение плотности воздуха с высотой (хотя бы в грубом приближении) и поправки в к—е-модели на случай осесимметричных струй и неоднородных сред. Более реалистичное описание процессов, происходящих в облаке, связано с учетом термодинамических и микрофизических процессов,\ трехмерной геометрии воздушных потоков. При этом число уравнений вырастет, а размерность задачи увеличится по крайней мере до четырех (третья координата — пространственная, четвертая — размеры капель и кристаллов). Для таких задач затраты машинного времени возрастут на порядки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корчагин, Петр Владиславович, 2004 год

1. Arya S.P.S., Plate E.J. Modelling of the stably stratified atmospheric boundary layer // J. Atm. Sci., 1969. № 26. — P. 656—665.

2. Barnes S.L. Severe local storms: concepts and understanding. — Bull. Amer. Met. Soc., 1976. V. 57, № 4. — P. 412—419.

3. Browning K.A. et al. Synthesis and implications for hail growth and hail suppression. — Geneva, 1981. — 22 p.

4. Browning K.A., Foote G.B. Airflow and hail growth in supercell storms and some implications for hail suppression. — Nat. Hail Research Exper. 1975. Tech. Rep. №75/1. —75 p.

5. Busch N.E. On the mechanics of atmospheric turbulence. Workshop on Micrometeorology // Am. Met. Soc., 1972. — P. 1—65.

6. Byers H.R., Braham R.R. The thunderstorm. — Wash., 1949. — 287 p.

7. Chernikov A.A., Ivanov A.A., Melnichuk Yu.V., Morgoev A.U. The investigation of wind field and turbulence in cumulonimbus clouds using radar equipment // Proc. VIII Int. Conf. on Cloud Physics. — Clermont—Ferrand, 1980. V. 2. —P. 481—484.

8. Fankhauser J.C. Structure of an evolving hailstorm. Pt. II: Thermodynamic structure and airflow in the near environment // Mon. Wea. Rev., 1976. V. 104. № 5. — P. 576—587.

9. Fankhauser J.C. Thunderstorm environment interactions determined from aircraft and radar observations // Mon. Wea. Rev., 1971. V. 99. № 3. — P. 171—192.

10. Favre A. Equations des gaz turbulents compressibles // J. Mec. 1965. V. 4. №3. —P. 361—390.

11. Frich A.S., Strauch P.J. Doppler radar measurements of turbulent kinetic energy dissipation rates in a northeastern Colorado convective storms // J. Atm. Sci., 1976. V. 15. №6. —P. 1012—1017.

12. Hail Report № 3. The dynamics of hailstorms and related uncertainties of hailsuppression. — Geneva, 1981. — 22 p.

13. Hossain M.S. Mathematische Modellierung von turbulenten Auftriebsstroemungen. — Ph. D. Thesis. University of Karlsruhe. 1979.

14. Launder B.E., Morse A.P., Rodi W., Spalding D.B. The prediction of free-shear flows — a comparison of the performance of six turbulence models // Proc. Langley Free Shear Flows Conference, 1973. Vol. 1, NASA SP 320.

15. Launder B.E., Spalding D.B. Lectures in Mathematical Models of Turbulence.1. Academic Press. 1972.

16. Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flow. — Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 3. 1974. — P. 269.

17. Marwitz J.D., Auer А.Н., Veal D.L. Locating and organized updraft in severe thunderstorm // J. Appl. Met., 1972. V. 11. № 1. — P. 236—238.

18. Menter F.R. Zonal two equation k—со turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper. 1993. № 93-2906. — 21 p.

19. Munk W.H., Anderson E.R. Notes on the theory of the thermocline // J. Fluid Mech., 1969. №36. — P. 177—191.

20. Nelson S.P., Knight N.C. The hybrid multicellar-supercellar storm: an efficient hail producer // Proc. of th 9th Intern. Cloud Phys. Conf. Tallin, 1984. V. 2.1. P. 435-—437.

21. Orville H.D., Kopp F.J. A Numerical Simulation of the 22 July 1979 HIPLEX-l Case // J. App. Met., 1990, Vol. 29, № 7. — P. 539—550.

22. Panofsky Н.А. Determination of stress from wind and temperature measurements // Quart. J. Roy. Met. Soc., 1963. № 89. — P. 85—94.

23. Prandtl L. Ueber die ausgebildete Turbulenz // ZAMM, 1925, 5. — P. 136.

24. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion. —Phil. Trans, of the Roy. Soc. 1895.

25. Richardson L.F. The approximate arithmetical solution by .Caite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stress in a masonry dam // Philos. Trans. Roy. Soc., London, Ser. A. 1910. — V. 210.

26. Rodi W. A note on the empirical constant in the Kolmogorov—Prandtl eddyviscosity expression // J. of Fluids Engg., Trans. ASME, 1975. — P. 386—389.

27. Rodi W. On the equation governing the rate of turbulent energy dissipation. — Imperial College. Mech. Eng. Rep. TWF/TN/A/14.1971.

28. Rodi W. The prediction of free turbulent boundary layers by use of a two-equation model of turbulence. — Ph. D. Thesis. University of London. 1972.

29. Rotta J.C. Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz // Z. Phys. 1951. 1. Mitt. V. 129. № 6. S. 547—572; 2. Mitt. V. 131. № 1. — S. 51—77.

30. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AAIA Paper. 1992. № 92-0439. — 21 p.

31. Spalart P.R., Shur M.L. On the sensitization of turbulence models to rotation and curvature // Aerospace Sci. and Technol. 1997. V. 1. № 5. — P. 297—302.

32. Steiner R.A., Rhyne R.H. Atmospheric turbulence and airplane response: convective-type clouds // J. Aircraft, 1964. Vol. 1. № 1. — P. 13—15.

33. Steiner R.A., Rhyne R.H. Some measured characteristics of severe storm turbulence. — Nat. Severe Storm Project. Rep. № 10, 1962. — P. 17.

34. Strauch R., Fritsch A., Swenzy W. Doppler radar measurements of turbulence, shear and dissipation rate in a convective storm // Prepr. 16th Radar Conf. — Huston, Texas, 1975. — P. 83—88.

35. Structure of an evolving hailstorm // NCAR Techn. Rep. № 76/1, 1976.— 130 p.

36. Абшаев A.M., Абшаев M.T., Садыхов Я.А. О распространении искусственного аэрозоля в мощных конвективных облаках // Метеорология и гидрология. 2003, № 9. — С. 28—36.

37. Абшаев М.Т. Радиолокационная структура и динамика развития грозоградовых процессов Северного Кавказа // Труды VI Всес. совещ. по радиометеорологии. — Л.: Гидрометеоиздат, 1984. — С. 109—115.

38. Абшаев М.Т., Каплан Л.Г., Несис Е.И. Полуэмпирическая мЕЬ^ль мощного конвективного облака // Метеорология и гидрология, 2000, №3. — С. 48—60.

39. Акатнов Н.И. Использование тензорных полиномов при построенииуравнения для масштаба турбулентности в полуэмпирических моделях // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 4. — С. 51—64.

40. Атлас Д. Успехи радарной метеорологии. — JL: Гидрометеоиздат, 1967. — 194 с.

41. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей / Под ред. Ф.Т.М. Ньистадта и X. Ван Допа. — Л.: Гидрометеоиздат, 1985. —352 с.

42. Ашабоков Б.А., Шаповалов А.В. Численная модель управления формированием микроструктуры градовых облаков // Изв. АН. ФАО, 1996, том 32, № 3. — С. 364—369.

43. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1969.

44. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнений атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1985. — 272 с.

45. Бибилашвили Н.Ш., Евстратов В.В., Ковальчук А.Н. Радиолокационные исследования структуры воздушных потоков в зоне кучево-дождевых облаков с помощью дипольных отражателей. — Труды Пятого всес. совещ. по радиометеорологии, 1981. — С. 28—32.

46. Бибилашвили Н.Ш., Ковальчук А.Н., Терскова Т.Н. Радиолокационные исследования трансформации свойств воздушных потоков в кучево-дождевых облаках. — Труды Пятого всес. совещ. по радиометеорологии, 1981. — С. 33—37.

47. Бибилашвили Н.Ш., Терскова Т.Н. Исследование динамики воздушных потоков внутри развитого СЬ облака. — Труды ВГИ, 1974. Вып. 28. — С. 85—99.

48. Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: Изд-во ин. лит. 1963. —244 с.

49. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир. 1973. — 760 с.

50. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: ИЛ, 1963. — 487 с.

51. Ватиашвили М.Р. Физические основы метеорологической защиты населенных пунктов и важнейших объектов // Мат. моделирование в науч. исследованиях. Материалы Всеросс. науч. конф. — Ставрополь: СГУ, 2000.1. С. 88—95.

52. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М., Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.

53. Глушко Г.С. Дифференциальное уравнение для масштаба турбулентности и расчет турбулентного пограничного слоя на плоской пластине // Турбулентные течения. — М.: Наука, 1970. — С. 37—44.

54. Глушко Г.С., Крюков И.А. Коэффициенты турбулентного переноса с учетом пульсаций плотности // Изв. АН. МЖГ, 2001. №1. — С. 46—55.

55. Глушко Г.С., Солопов В.А. Процесс переноса тепла в турбулентных течениях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 4. — С. 18—24.

56. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986. — 318 с.

57. Иевлев В.М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. — М.: Наука, 1975. — 256 с.

58. Кароль И.Л., Затевахин М.А., Ожигина Н.А. и др. Численная модель динамических, микрофизических и фотохимических процессов в конвективном облаке // Изв. АН. ФАО, 2000, том 36, № 6. — С. 778—793.

59. Карцивадзе А.И., Махарадзе Г.М., Орджоникидзе А. А. Экспериментальное исследование скоростей вертикальных движений в конвективных облаках // Труды Института геофизики АН ГрузССР, 1972. Т. 28.1. С. 196—309.

60. Качурин Л.Г. Методы метеорологических измерений: Методы зондирования атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1985. — 456 с.

61. Качурин Л.Г. Физические основы воздействия на атмосферные процессы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1990. — 462 с.

62. Кириллов B.C., Корчагин П.В. Моделирование распространения загрязняющих веществ в системе атмосфера—грунт // Труды Междунар. конф.

63. Компьютерное моделирование 2003". — СПб.: Нестор, 2003. С. 155—157.

64. Козлов В.Е., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Модели турбулентности для описания течения в струе сжимаемого газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 6.1. С. 38—44.

65. Колмогоров А.Н. — ДАН СССР. Т. 30. 1941. №4.

66. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1942. Т. 6. № 1—2. — С. 56—58.

67. Корчагин П.В. Выбор сетки в методе конечных элементов для расчета потока вещества через границу при решении задачи переноса // Приложение к журналу "Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки". — №2, 2004. —С.72—74.

68. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2.

69. М.: Физматгиз. 1963. — 728 с.

70. Кузнецов В.Р., Лебедев А.Б., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Расчет турбулентного диффузионного факела горения с учетом пульсаций концентрации и архимедовых сил // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 1. — С. 30-^0.

71. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 408 с.

72. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. — 736 с.

73. Лазерное зондирование атмосферы из космоса. Под ред. Захарова В.М.

74. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. — 213 с.

75. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика.

76. М.: Наука, глав. ред. физ.-мат. лит. 1988. — 736 с.

77. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, глав. ред. физ.-мат. лит. 1987. — 840 с.

78. Лущик В.Г, Павельев А.А., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель сдвиговой турбулентности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 3. — С. 13—25.

79. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Турбулентные течения. Модели и численные исследования // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 4. — С. 4—27.

80. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака: строение и физика образования. — Л.: Гидрометеоиздат, 1983. — 279 с.

81. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. —400 с.

82. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 608 с.

83. Марчук Г.И. Методы расщепления. — М., Наука, 1988. — 262 с.

84. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии: Физика атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1984. — 639 с.

85. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 368 с.

86. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.

87. Наац И.Э. Математическое моделирование явления переноса загрязняющих веществ применительно к проблеме экологического мониторинга окружающей среды // Научные школы и научные направления СевКавГТУ. — Ставрополь: СевКавГТУ, 2001. — С. 41—46.

88. Наац И.Э., Семенчин Е.А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга окружающей среды. — Ставрополь, СтГПУ, 1995. — 196 с.

89. Натансон И.П. Теория функций вещественного переменного. — СПб.: Лань, 1999.—560 с.

90. Пастушков Р.С. Численное моделирование взаимодействия конвективных облаков с окружающей их атмосферой // Тр. ЦАО. 1972.1. Вып. 108. —С. 93—97.

91. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972. —418 с.

92. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды // Методы расчета турбулентных течений. — М.: Мир. 1984. — С. 227—322.

93. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1973. — 416 с.

94. Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР.МЖГ. 1971. № 5. — С. 114—127.

95. Семенчин Е.А., Наац В.И., Наац И.Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы. — М.: изд-во физ.-мат. лит.,, 2003. — 290 с.

96. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. — М.: Наука, глав. ред. физ.-мат. лит. 1979. — 520 с.

97. Смирнова Г.А. Исследование турбулентности в облаках и осадках радиолокационным методом. — Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Долгопрудный, ЦАО, 1969. Вып. 88. — 120 с.

98. Сулаквелидзе Г.К. Ливневые осадки и град. — Л.: Гидрометеоиздат, 1967. — 412 с.

99. Сулаквелидзе Г.К., Бибилашвили А.Ш., Лапчева В.Ф. Образование осадков и воздействие на градовые процессы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1965. — 266 с.

100. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М., Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 736 с.

101. Турбулентность в свободной атмосфере / Винниченко Н.К., Пинус Н.З., Шметер С.М., Шур Г.Н. — Л.: Гидрометеоиздат, 1976. — 288 с.

102. Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 100, №6.

103. Хинце И.О. Турбулентность, ее механизм и теория. — М., Физматгиз,1963. —680 с.

104. Шаповалов А.В. Математическое моделирование физических процессов в конвективных облаках при естественном развитии и активных воздействиях: Автореф. дис. на соиск. учен, степени д-ра физ.-мат. наук / ВГИ. — Нальчик, 2002. —43с.

105. Щ 102. Шишкин Н.С. Облака, осадки, грозовое электричество. — М.:

106. Гостехиздат, 1964. — 280 с.

107. Шметер С.М. Взаимодействие кучево-дождевых облаков с полем ветра // Изв. АН СССР. ФАО. 1966. Т. 2. № ю. — С. 1026—1032.

108. Шметер С.М. Структура полей метеорологических элементов в зоне кучево-дождевых облаков // Тр. ЦАО, 1969. Вып. 88. — С. 120.

109. Шметер С.М. Термодинамика и физика конвективных облаков. — JL:

110. Гидрометеоиздат, 1987. — 288 с.

111. Шметер С.М. Физика конвективных облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1972. —288 с.

112. Шметер С.М., Корнеев В.П. Изменения режима осадков с подветренной стороны от зоны активных воздействий на облака // Метеорология и гидрология, 2000. № 12. — С. 35—46.

113. Шметер С.М., Силаева В.И. Вертикальные потоки внутри кучево-дождевых облаков // Метеорология и гидрология, 1966. № 10. — С. 7—13.

114. Шуманн У., Грётцбах Г., Кляйзер Л. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений // Методы расчета турбулентных течений. М., Мир, 1984. — С. 103—226.