Вычисление спектра интегрируемых систем с несколькими степенями свободы посредством уравнения Бакстера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Антипов, Андрей Геннадьевич

• Антипов, Андрей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Антипов, Андрей Геннадьевич

Введение

1 Изотропный магнетик Гейзенберга

1.1 Введение.

1.2 Алгебраический анзац Бете.

1.3 Первый и второй интегралы движения.

1.4 Разделение переменных.

1.5 Связь между методами анзаца Бете и разделения переменных

1.6 Решение уравнения Бакстера посредством системы связанных ТРС.

1.7 Решение уравнения Бакстера посредством асимптотического разложения в пределе 77 —

1.7.1 Первое приближение

1.7.2 К-ое приближение. Индуктивный переход.

1.8 Результаты расчетов.

1.8.1 Струнный предел трехчастичных возбуждений магнетика

1.8.2 Распределение проекций струн на вещественную ось

1.8.3 Слияние струн при s = 1/2hs = 1.

1.8.4 Неоднородный магнетик.

1.9 Струнный предел четырехчастичного сектора.

1.10 Статистические характеристики спектров.

2 Тригонометрический магнетик

2.1 Введение.

2.2 Алгебраический анзац Бете.

2.3 Первый интеграл движения

2.4 Разделение переменных.

2.5 Решение уравнения Вакстера посредством системы снизанных ТРС. GO

2.6 Решение уравнения Вакстера посредством асимптотического разложения и пределе к -» О. G

2.G.1 Первое приближение .G

2.G.2 К-ое приближение. Индукционный переход.G

2.7 Статистические характеристики спектров.G

3 Дискретная система с самопзаммодсйстиисм

3.1 Введение.

3.2 Алгебраический апзац Вече.

3.3 Разделение переменных.

3.4 Решение уравнения Вакстера.

3.5 Результаты расчетов. Предельные случаи.7G

4 Цепочка Тоды

4.1 Разделение переменных.

4.2 Предел сильного ноля в исходном представлении.

4.3 Уравнение Вакстера.

4.4 Вычисления и результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычисление спектра интегрируемых систем с несколькими степенями свободы посредством уравнения Бакстера»

Термин «интегрируемые системы» восходит к классической, во всех смыслах этого слова, теореме Лиувилля. Она утверждает, что если в системе имеется набор независимых величин, находящихся в инволюции, причем количество этих величин совпадает с числом степеней свободы, то уравнения Гамильтона интегрируемы в квадратурах. С появлением квантовой механики понятие инволюции трансформировалось — вместо обращения в нуль скобки Пуассона величин теперь требовалась коммутативность операторов. Изменилась также постановка основной задачи: в отличие от классических систем, для которых первоочередным вопросом является интегрирование уравнений движения, в исследовании квантовых центральную роль играет спектральная проблема. А именно — поиск волновой функции, общей для всех интегралов, и их спектра.

В настоящее время квантовые интегрируемые системы классифицируются и изучаются в рамках Д-матричного формализма метода обратной задачи [7, 5]. Рассмотренные в данной работе модели порождены следующими фундаментальными коммутационными соотношениями:

Я(щ - и2) Щщ) ®I)(I® L(u2)) = (L(u2) ® I) (/ ® Ь(щ)) R(m - и2). (1)

Вид L — матрицы 2 х 2 с операторными элементами, зависящими от спектрального параметра и — специфичен для каждой системы; числовая R-матрица — решение уравнения Янга-Бакстера — определяет их класс. В работе представлены интегрируемые системы, связанные с рациональной и тригонометрической Д-матрицами.

Тот факт, что произведение матриц L, действующих в различных квантовых пространствах, также удовлетворяет соотношениям (1), позволяет формировать составные объекты. Кроме того, инвариантность фундаментальных коммутационных соотношения относительно сдвига спектрального параметра дает возможность ввести неоднородность в узлах системы. Интегрируемая система, порожденная матрицей монодромии г(и) = (од т)=Ln[u~Cn)---Ыи~C2)Li{u~Ci)- (2) физически интерпретируется как цепочка из N частиц с взаимодействием преимущественно между соседними узлами. След матрицы монодромии t(u) = А(и) + D(u) служит генерирующей функцией интегралов движения системы. Заложенная в фундаментальные коммутационные соотношения перестановочность следов матрицы монодромии с различными значениями спектрального параметра гарантирует, что интегралы движения действительно находятся в инволюции, то есть взаимно коммутируют. Спектральная задача формулируется в виде уравнения t{u)4f = т(и) Ф, (3) где общая для всех интегралов волновая функция Ф не зависит от и.

Традиционным способом решения спектральной проблемы (3) является анзац Бете. Предложенный еще в 1931 г. Г. Бете [16,11], он до сих пор является весьма популярным методом определения спектров и волновых функций интегрируемых систем. В современной, алгебраической формулировке [25] анзац Бете выглядит так — волновая функция ищется в виде = В(им).В(и2)В(щ)%, (4) где um,m = 1,., М — набор неизвестных комплексных чисел (параметров Бете), аФ0~ состояние математического вакуума, т.е. такое, что

С(и)% = 0 (5) для любого и. При подстановке (4) в (3) возникает система из М нелинейных алгебраических уравнений на параметры Бете. Решая ее, получают волновую функцию (4) вместе со значениями интегралов движения, так как т(и) также выражается через um, т = 1,., М.

Однако анзац Бете имеет ряд недостатков. Во-первых, ограниченная применимость метода — существует значительное количество интегрируемых систем, таких, например, как рассмотренная в данной работе цепочка Тоды, у которых отсутствует состояние вакуума (5). К таким системам метод оказывается принципиально неприменим; при попытке решать аналоги уравнений Бете получаются лишь некоторые приблизительные результаты, далекие от реальных. Во-вторых, сложность системы нелинейных уравнений представляет серьезную проблему при выполнении практических вычислений; основная трудность заключается в правильной локализации искомых решений.

В 90-х годах был разработан иной способ [35, 36] решения спектральной проблемы (3) — квантовое разделение переменных. Смысл метода заключается в переходе к представлению, в котором волновые функции факто-ризуются — распадаются в произведение, причем каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Функция, удовлетворяющая (3), ищется в виде интеграла по пространству разделения R^-1

00 00

Ф(х) = J. J К (x\vi,., ) Ф (vi,. dvi.di>Ar-i • (6) oo —oo

Размерность пространства разделения на единицу меньше исходного, ибо значение первого интеграла движения, интерпретируемого как импульс или количество возбуждений, на этом этапе обычно фиксируется. У систем, обладающих состоянием вакуума, носитель ядра интегрального преобразования К(x\vi,.,) дискретен, поэтому вместо интегрирования в (6) выполняется суммирование по (N—1)-мерной сетке. Чтобы волновая функция в новом представлении Ф (i^,. .,vm-i) факторизовалась, на ядро накладывается условие

C(vj)K(x\vl,.,vN-1) = 0, j = l,.,N-l. (7)

Выполнение условия приводит к тому, что диагональные элементы матрицы монодромии — А(и) и D(и) — действуют как сдвиговые операторы на К (x\vi,. В результате, подстановка (6) в (3) приводит к распаду Ф (г>ь., w/v-i) на отдельные сомножители, каждый из которых удовлетворяет одному и тому же одномерному уравнению второго порядка — так называемому разностному уравнению Бакстера

T{v)ip(v) = A+(v)(p(v + 1) + A~{v)(p{v - 1), (8) где Д+, А- — некоторые функции, специфичные для каждой интегрируемой системы. Впервые (8) было получено для восьми-вершинной модели в [12, 4], где отмечалось, что система анзаца Бете эквивалентна поиску нулей решения определенного разностного уравнения.

Несмотря на значительную методологическую ценность квантового разделения переменных, оно до сих пор не применялось в практических вычислениях. Причина этого кроется в отсутствии необходимого инструментария для работы с разностным уравнением Бакстера. Разработка такого инструментария была одной из целей данного исследования.

Если поиск решений системы Бете представляет собой хотя и сложную, но чисто техническую задачу, то возможность использования уравнения Бакстера для расчета спектра интегралов движения не представляется столь очевидной. Квантовое разделение переменных не является разделением переменных в классическом смысле этого слова, так как в (8) присутствует полный набор интегралов. По сути дела, метод свелся к постановке спектральной задачи (3) в новой форме — в виде обобщенной задачи Штурма-Лиувилля для разностного уравнения Бакстера. Возникает вопрос: пригодна ли эта новая форма для практических расчетов спектра интегралов движения? Приведенные в работе материалы подразумевают положительный ответ; более того, квантовое разделение переменных оказывается предпочтительным с точки зрения вычислительной эффективности.

Хотя метод квантового разделения переменных не дает указаний, как именно решать уравнение Бакстера (8), он позволяет сформулировать условия отбора решений, необходимые для определения спектра. Основное условие — сходимость интеграла при переходе в исходное представление (6), что накладывает ограничения на поведение <p(v) при больших по модулю значениях аргумента. У систем, обладающих вакуумом, одно из решений должно иметь полиномиальный характер. 'Полиномиальность' в данном случае понимается в обобщенном смысле — у связанных с тригонометрической R-матрицей моделей в качестве мономов выступают комплексные экспоненты, у связанных с эллиптической — соответствующие эллиптические функции.

В работе представлены различные способы решения разностного уравнения Бакстера. Во-первых, это прямой метод, в максимальной степени учитывающий разностную природу уравнения; для обрыва трехчленных рекуррентных соотношений использовалась интерполяция Лагранжа. Трех-дорожечная структура возникающих матриц облегчает их одновременную диагонализацию, однако корректно прямой метод может применяться лишь к системам, обладающим вакуумом.

Во-вторых, применялись несколько разновидностей асимптотического метода, котррый предполагает работу с пределом по одному или нескольким параметрам, участвующим в уравнении. Предел описывается аналитически, затем решения либо непосредственно выражаются в виде асимптотического ряда, что было сделано для магнетиков, либо рассматриваются в базисе функций первого приближения, как в случае цепочки Тоды. Наконец, можно просто отследить эволюцию по указанным параметрам, что позволяет справиться с проблемой локализации решений нелинейных соотношений.

Перспективным также представляется переход от разностного к дифференциальному уравнению посредством интегрального преобразования. Это дает возможность применить к задаче развитую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и, прежде всего, анализ особых точек.

Разделение переменных с использованием указанных способов решения разностного уравнения Бакстера было применено к нескольким достаточно известным квантовым интегрируемым моделям, а именно — изотропному и частично анизотропному магнетикам Гейзеиберга (XXX- и XXZ-magnet), дискретной системе с самовзаимодействием (DST), периодической цепочке Тоды. Перечисленные системы связаны между собой и образуют редукционную последовательность вида XXZ —> XXX -> DST -» Toda [37]. Расчеты велись ad numeri и их результаты сравнивались с полученными ранее [22, 32] иными методами. Ряд приведенных результатов имеют прикладное значение.

В частности, численно исследовался термодинамический предел магнетиков Гейзенберга, в котором происходит формирование струн — решений с компонентами вектора Бете, выстроенными перпендикулярно вещественной оси. Решения струнного типа выделялись из прочих и классифицировались согласно определенным признакам. Стоит отметить, что струнные характеристики решений коррелируют со значениями квантовых чисел, возникающих в рассмотренном асимптотическом пределе.

Также изучались статистические характеристики спектров, прежде всего — распределения расстояний между ближайшими соседними уровнями (Nearest Neighbour Spacing Distribution — NNSD). Как было показано в [14, 15], интегрируемые системы обладают весьма специфическими распределениями расстояний: плотность NNSD у них описывается убывающей экс-понентой, в отличие от обычных квантовомеханических систем, у которых наблюдается вигнеровское отталкивание уровней. Результаты проведенных для магнетиков расчетов в целом соответствовали ожиданиям; однако обнаружилось, что на расстояниях, сравнимых со средними расстояниями между уровнями, и больших плотность распределения убывает гораздо медленнее, нежели экспонента. Более адекватное описание дает степенная функция, причем ее показатель варьируется в зависимости от порядка интеграла в довольно узких пределах.

Основная содержательная часть диссертации состоит из четырех глав, каждая из которых посвящена отдельной интегрируемой системе — XXX, XXZ, DST и цепочке Тоды, соответственно. Структура глав выстроена приблизительно по одинаковой схеме. В начале кратко дается описание интегрируемой системы в терминах Я-матричного формализма и алгебраического анзаца Бете, если таковой существует. Внимание уделяется тем интегралам низшего порядка, чьи инвариантные подпространства описываются аналитически и значения в дальнейшем фиксируются. Далее излагается разделение переменных; для систем обладающих вакуумом ядро интегрального преобразования K(x\vi,.,i>at-i) строится алгоритмически в бозонном представлении. Затем представлены те способы решения разностного уравнения Бакстера, которые применялись для данной интегрируемой системы. В случае магнетиков использовались прямой и асимптотический методы, в случае DST — комбинация этих методов; для цепочки Тоды — сочетание интегрального преобразования с асимптотическим подходом. Наконец, приведены результаты вычислений в различной форме, а также их сравнение с аналитическими приближениями и известными ранее расчетами. В главе, посвященной изотропному магнетику основной акцент сделан на изучении струнного предела, частично анизотропному — NNSD; в случаях DST и цепочки Тоды результаты вычислений по большей части относятся к исследованию эволюции по параметру взаимодействия.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Антипов, Андрей Геннадьевич

Заключение

В настоящей работе рассмотрены четыре квантовые интегрируемые модели: изотропный и тригонометрический магнетики Гейзенберга, дискретная система с самовзаимодействием, периодическая цепочка Тоды. Получены следующие, обладающие научной новизной, результаты:

• Построены ядра разделяющих операторов в плоском координатном представлении

• Предложено и реализовано в виде вычислительной процедуры несколько способов решения разностного уравнения Бакстера

• Исследован струнный предел магнетиков. Струнные решения были выделены из прочих и классифицированы. Показана связь между квантовыми числами, возникающими в рассмотренном асимптотическом пределе и струнными характеристиками решений

• Изучены статистические характеристики спектров на больших наборах состояний (до 2 • 105 шт.). Обнаружено, что плотность распределение расстояний между соседними уровнями хорошо описывается убывающей экспонентой лишь при малых расстояниях; при бблыних расстояниях лучшую аппроксимацию дает степенная функция

• Исследована эволюция по константе связи дискретной системы с самовзаимодействием и трехчастичной периодической цепочки Тоды

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Антипов, Андрей Геннадьевич, 2007 год

1. Аптииоп Л.Г., Комаров И.В,, Спектральная проблема для квантовой дискретной системы с схиювзаимодействием, Вести. С.-Потери, ун-та. сер. 4. №28 вин. 4 (2003) 13-22.

2. Аптипов А.Г., Комаров И.В., О вычислении спектра квантовой гпрех-частичной цепочки Тоды, Вести. С.-Петерб. ун-та. сер. 4. вып. 4. (2005) 24-34.

3. Аптипов А.Г., Статистические характеристики спектров изотропного магнетика Гейзенберга, Вести. С.-Петерб. ун-та. сер. 4. выи. 4. (2006) 8-17.

4. Бэкстер Р., Точно решаемые модели в статистической механике, М.: Мир (1985).5j Боголюбов Н.М., Изсргип А.Г., Коровин В.Е., Квантовый метод обратной задачи и корреляционные функции, М.: Наука (1992).

5. G. Комаров И.В., Цыганов А.В., Квантовая двухчастичная периодическая цепочка Тоды, Вести. Ленингр. ун-та, сер. 4 №11 выи. 2 (1988) 69-72.

6. Скляпин Е.К., Тахтаджяп Л.А., Фаддеев Л .Д., Квантовый метод общинной задачи I, Тсор. мат. физика 40 (1979) 194-216.

7. Тахтаджяп Л.А., Фаддеев Л.Д., Спектр и рассеяние возбуждений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга, Зап. Наум. Семин. ЛОМИ 109 (1981) 134-184.

8. Aiitipov A.G., Koinarov I.V., The isotropic Heisenberg chain of arbitrary spin by direct solution of the Baxter equation, Pliysica D 221 (200G) 101— 109.

9. Babujian Н.М., Exact solution of the one-dimensional isotropic Heisenbcrg chain, Phys. Lett. A 90 (1982) 479 482.

10. Batchelor M.T., The Dethe Ansatz after 75 years, Pliys. Today GO (2007) 36-40.

11. Baxter R.J., Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimenisional anisotropic Heisenbcrg chain, Ann. Phys. 76 (1973) 1 71.

12. Baxter R.J., Exactly solved models in statistical mechanics, London: Academic Press (1994).

13. Berry M.V., Tabor M., Level clustring in the regular spcctrum, Proc. R. Soc. A 356 (1977) 375-394.

14. Berry M.V., Semiclassical theory of spectral rigidity, Proc. R. Soc. A 400 (1985) 229-251.

15. Bethe H., Zur Theoiie der Metalle. Eigenwerte und Eigenfunktionen dcr linearen Atomkettc, Z. Phys. 71 (1931) 205-226.

16. Bogoliubov N.M., Izcrgin A.G., Korepin V.E., Quantum Inverse Scattering Method and correlation functions, Cambridge: Cambridge University Press (1993).

17. Bytsko A.G., Oil integrablc Hamiltonians for higher spin XXZ chain, J. Math. Phys. 44 (2003) 3698 3717.

18. Dcrkachov S.E., Korchemsky G.P., Manashov A.N., Noncornpact Ileisen-berg spin magnets from high-energy QCI). Baxter Q~operator and separation of variables, Nucl. Phys. В 017 (2001) 375 -440.

19. Dcrkachov S.E., Korchcmsky G.P., Manashov A.N., Separation of variables for the quantum SL(2,R) spin chain, J. High Energy Phys. 7 (2003) 47- 73.

20. Enol'skii V.Z., Kuznetsov V.B., Salerno M., On the quantum inverse scattering method for the DST dimer, Physica D 68 (1993) 138-152.

21. Esslcr H.L., Korepin V.E., Schoutcns K., Fine structure of the Bethe ansatz for the spin-1/2 Heisenbcrg XXX model, J. Phys. A 25 (1992) 4115 -4126.

22. Faddecv L.D., Sklyanin E.K., Takhtajan L.A., The quantum inverse problem method J, Tlicor. Mat]i. Phys. 40 (1980) 688 706.

23. Faddecv L.D., Takhtajan L.A., The spectrum and scattering of excitations in the one-dimensional isotropic Heisenberg model, J. Soviet Math. 24 (1984) 241-267.

24. Faddecv L.D., Quantum Symmetries. Ною Algebraic Bcthe Anzatz works for integrable model, Proe. of Lcs Houchcs 64 (1995).

25. GutzwilJer M.C., The quantum mechanical Toda lattice II, Ann. Phys. 133 (1981) 301-331.

26. Heisenberg W., Zur Thcorie des Fcrromagnetismus, Z. Phys. 49 (1928) 619 636.

27. Kharchev S., Lebedev D., Integral representation for the eigenfunctions of quantum periodic Toda chain, Lett. Math. Phys. 50 (1999) 53-77.

28. Kharchev S., Lebedev D., Eigenfunctions of GL(N, Й) Toda chain: the Mellin-Barnes representation, JF/IT Lot.t. 71 (2000) 235 238.

29. Komarov I.V., Various approaches to spectral problems for integrable systems in the Q1SM, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1997) 79 87.

30. Knznctsov V.B., Salerno M., Sklyanin E.K., Quantum Baeklund transformation for the integrable DST model, Physica A 33 (2000) 171 189.

31. Matsuyama A., Periodic Toda Lattice in Quantiurn Mechanics, Ann. Phys. 220 (1992) 300-334.

32. Mehta M.L., Random Matrices, Amsterdam: Elsevier/Academic Press (2004).

33. Pronko G.P., On Baiter Q-operators for the Toda chain, J. Phys. A 33 (2000) 8251- 8266.

34. Sklyanin E.K., Backlund transformations and Baxter's Q-operator, Amer. Math. Soc., CRM Proc. Lecture Notes 26 (2000) 227-250.

35. Sutherland П., Beautiful models: 70 years of exactly solved quantum many-body problems, Singapore: World Scientific (2004).

36. Takhtajan L.A., The picture of low-lying excitations in the isotropic Heisen-berg chain of arbitrary spins, Pbys. Lett. A 87 (1982) 479-482.

37. WigTicr K.P., Gatlinburg Conference on Neutron Physics by Tiino-of-Flight, Oak Ridge Natl. Lab. Rept. 2309 (1957) 59.