Симметрии пространства состояний в квантовых интегрируемых моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Пакуляк, Станислав Здиславович

• Пакуляк, Станислав Здиславович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пакуляк, Станислав Здиславович

1. Введение.G

2. Алгебраическим анализ модели Sine-Gordon.

2.1 Каноническое квантование модели SG в точке свободных фермионов

2.1.1 Свободные фермионы.

2.1.2 Преобразование рассеяния.

2.1.3 Интегралы движения.

2.1.4 Бозонизация и экранирующие токи.

2.1.5 Квантовые функции Йоста.

2.2 Алгебра экранирующих токов.

2.2.1 R и S матрицы.

2.2.2 L-матричная формулировка алгебры экранирующих токов.

2.2.3 Бозонизация алгебры Ai/^slz) и С-регуляризация.

2.2.4 Конечномерные представления алгебры Ai/^sh).

2.2.5 Сплетающие операторы.

2.2.6 Бозонизация сплетающих операторов.

2.2.7 Вырождение формул бозонизации в точке свободных фермионов

2.3 Угловое квантование в модели SG.

2.3.1 Угловое квантование на решетке

2.3.2 Угловое квантование в двумерной теории поля.

2.3.3 Свойства матрицы моиодромии в модели SG

2.3.4 Симметрии модели SG

2.3.5 Симметрии модели SG в точке свободных фермионов.

2.4 Аксиомы форм-факторов в модели SG.

2.4.1 Проверка аннигиляционной аксиомы.

2.4.2 Связанные состояния солитонов при угловом квантоваии.

2.4.3 Общая структура форм-факторов.

3. Алгебраически и анализ и SU (2) -инвариантной модели Тирринга.

3.1 Алгебра динамических симметрий в 577(2) -инвариантной МТ.

3.1.1 Алгебра До^).

3.1.2 Бозонизация алгебры

3.1.3 Сплетающие операторы.

3.2 Обобщенные следы в SU(2) -инвариантной модели Тирринга.

3.2.1 Вычисление следов по пространству Фока И.

3.2.2 Вакуумные средние.

3.2.3 Вычисления многоточечного следа для операторов Z*(fi).Ill

3.3 Вычисления форм-факторов локальных операторов.

3.3.1 Естественный базис в пространстве форм-факторов.

3.3.2 Интегрирование по переменной и.

3.3.3 Редукция в количестве интегралов в форм-факторе

3.3.4 Тождества между рациональными функциями

3.3.5 Особенности форм-факторных интегралов.

3.4 Весовые функции для алгебры ДоС^г).

3.4.1 Произведения элементов матрицы монодромии.

3.4.2 Проекции на подалгебры полутоков.

3.4.3 Перестановочность проекций и коумножения

4. Весовые функции и иерархический анзац Бете.

4.1 Основные определения.

4.1.1 Алгебра [/g(sZ3) в генераторах Шевалье.

4.1.2 Токовая реализация алгебры Ug{sl3).

4.1.3 Борелевские подалгебры Uq(slz).

4.1.4 Проекции Р± на пересечения борелевских подалгебр

4.1.5 Составные токи и струны.

4.2 Универсальная весовая функция.

4.2.1 Редукция к проекциям струн.

4.2.2 Проекции струн.

4.2.3 Примеры вычислений проекций.

4.2.4 Универсальная весовая функция для Uq(sl2)

4.2.5 Комбинаторное тождество для ядер У (f; s) и Z(t; s).

4.3 Аналитические свойства струн.

4.3.1 Свойства тока fa+p(z)

4.3.2 Экранирующие операторы и проекции тока fa+p[z)

4.3.3 Доказательство формулы для проекции струны.

4.4 Токовое присоединенное действие и симметризация.

4.4.1 Проекции и аналитическое продолжение.

4.4.2 Токовое присоединенное действие.

4.4.3 Доказательство основной формулы для проекции.

5. Бстевскис вектора и токовые алгебры

5.1 .Квантовая аффинная алгебра Uq(glN).

5.1.1 L -операторное описание Uq(glN).

5.1.2 Токовая реализация алгебры Uq(glN).

5.1.3 Весовая функция

5.1.4 Модифицированная весовая функция.

5.2 Весовые функции и токи.

5.2.1 Квантовая аффинная алгебра U4{sIn).

5.2.2 Вложение алгебры Uq(sl^) в Uq(glN)

5.2.3 Свойства проекций

5.2.4 Построение весовой функции.

5.3 L-операторы и модифицированные весовые функции

5.3.1 Оператор монодромии в алгебре Uq(glN).

5.3.2 Построение весовой функции из операторов Вй(£)

5.4 Отождествление двух различных конструкций

5.4.1 Дополнительные сведения об изоморфизме Динга-Френкеля.

5.4.2 Реккурентное соотношение для оператора

5.4.3 Вычисления проекций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии пространства состояний в квантовых интегрируемых моделях»

Всякая квантовая интегрируемая система обладает набором коммутирующих интегралов движения. Главной задачей при исследовании точно-решаемых моделей является описание пространства состояний или собственных векторов для этого набора коммутирующих операторов. Очень часто такое пространство состояний обладает высокой симметрией и является пространством представления некоторой алгебры. В настоящей диссертации предлагаются новые методы исследования пространств состояний в квантовых интегрируемых системах, применимые как для непрерывных, так и для дискретных квантовомеханиче-ских систем с бесконечным числом степеней свободы. Подобные системы исследовались в многочисленных работах на протяжении последних тридцати лет. Интерес к таким моделям возник, отчасти, вследствие прогресса в изучении классических интегрируемых моделей и основывался на развитии метода обратной задачи рассеяния [48, И]. Будем называть методы исследования квантовой интегрируемой системы, использующие теорию представлений алгебры симметрии - алгебраическим анализом данной точно-решаемой модели.

Основные свойства квантовых интегрируемых моделей теории поля, отмеченные еще в пионерских работах [1, 4] по первым вычислениям форм-факторов, показали, что этими свойствами являются:

• наличие бесконечного набора независимых интегралов движения;

• отсутствие множественного рождения частиц;

• рассеяние приводит только к перераспределению импульсов между частицами;

• факторизация многочастичной S-матрицы.

Основополагающим в этом списке является свойство интегрируемости, или наличие бесконечного набора интегралов движения, из которого, в принципе, можно получить остальные свойства. Исторически связь между факторизацией матрицы рассеяния и наличием бесконечного набора квантовых интегралов движения наблюдалась на примере отдельных моделей. Так, например, эта связь для O(N) -инвариантной а -модели была замечена A.M. Поляковым в работе [84]. Нашим основным примером будет другая модель для одного бозонного скалярного поля, задаваемая лагранжианом

Соответствующая классическая интегрируемая система описывается уравнением движения

-sr1 - -fe1+v^sm -0 <L2> в двумерном просранстве-времепи. Эта классическая интегрируемая модель была исследована методом обратной задачи теории рассеяния в работах [17, 10, 20] и проквантована в квазиклассическом приближении в работах [12, 34]. В частности, в этих работах был получен спектр состояний в модели SG, а сами состояния были названы 'бризерами', по названию соответствующего классического решения уравнения (1.2). Классическое уравнение (1.2) кроме бризерных решений имеет солитонные решения. При дальнейшем исследовании этой квантовой интегрируемой модели двумерной теории поля оказалось, что состояния, отвечающие классическим солитонным решениям, являются базовыми (элементарными) состояниями в этой модели. Эти 'квантовые солитоны' обладают ферми-онной статистикой и бризерные состояния могут быть интерпретированы как связанные состояния квантовых солитонов.

На примере квантовой модели Sine-Gordon в работе [15] был развит квантовый метод обратной задачи рассеяния. Рассматривая эту модель в дискретном проЬтранстве, были получены коммутационные соотношения для элементов матрицы монодромии в их современном виде

Я(А - /X, О (Г(А) ® Т(/0) = (T(/i) ® Т(А)) Д(А - /х, 0, (1.3) где Л-матрица имеет вид О О о sh sh

0 0

7Г i А sh( ( А

U+l sh | ( 7гг e+v U + l

0 0 sh

О О О

Л + 7г г

1,1) " " " + а параметр £ связан с константой связи SG модели (5 соотношением

1.5) s 2-IP'

В работе [15] квантование модели проводилось методом дискретизации непрерывного оператора Лакса, и в этом случае матрицей монодромии является упорядоченное по одномерной пространственной решетке произведение этих дискретных операторов Лакса. Из уравнения (1.3) следует, что trT(A), tvT(fi)] = 0.

После соответствующего разложения квантовой трансфер матрицы tr Т(А) по спектральному параметру А можно получить бесконечный набор локальных интегралов движения, и последнее соотношение показывает, что они находятся в инволюции или коммутируют. Способ доказательства коммутативности коэффициентов трансфер матрицы, следующий из уравнения (1.3) и предложенный в работе [15], подобен методам развитым Р. Бакс-тером [2] для интегрируемых или точно решаемых моделей статистической физики на двумерных решетках. Авторам работы [15] пришлось посадить модель (1.1) на решетку и показать, что непрерывный предел не нарушает свойство сплетения (1.3).

В работе [1G] были построены также собственные вектора для этих квантовых интегралов движения, параметризованные решениями трансцендентных уравнений Бете [30]. Этот метод нахождения собственных векторов в квантовых интегрируемых системах получил современное название 'Алгебраический анзац Бете'. В работе [16] была также получена матрица рассеяния элементарных возбуждений и отмечено ее совпадение с матрицей солитон-антисолитонного рассеяния, полученной А.Б. Замолодчиковым в работе [9] из совершенно других принципов. Эта матрица зависит от относительной быстроты в сталкивающихся частиц и имеет вид sh

9 — т sh

0 — тгГ sh

7гг

О О sh

7гг

-sh О О sh

О О О в — 7rf

1.6) где г(0,£) - множитель, определяемый полубесконечным произведением отношений сдвинутых Г-функций (см. точную формулу (2.86)). Из сравнения явных формул для R и S матриц видно, что хотя они достаточно похожи, но существенно отличаются периодами тригонометрических функций, которые входят в матричные элементы этих матриц: 27гг(£ + 1) и 27гг£ соответственно. Л-матрица также имеет подобный r(0,tj) множитель, который не фиксируется коммутационным соотношением (1.3), однако проявляется при коммутировании квантовых аналогов функций Йоста. Забегая вперед, скажем, что одной из мотиваций настоящего исследования была попытка объяснить появление двух разных структур, связанных с Я и S матрицами в модели SG с единой алгебраической точки зрения. Результатом исследования этого вопроса было открытие новой алгебраической структуры, лежащей в основе интегрируемости квантовой модели SG. Многие результаты, полученные в этой модели, удалось объяснить из теории представлений этой новой алгебраической структуры.

Вернемся к описанию метода, позволившего получить точные S матрицы в различных моделях теории поля в двумерном пространстве-времени. Очевидно, что для произвольной модели полная релятивистская S-матрица является сложным объектом. Однако если в модели присутствует факторизованное рассеяние, то тогда структура этой матрицы существенным образом упрощается. Процесс многочастичного рассеяния в двумерном пространстве-времени можно представить как последовательность двухчастичных столкновений так, что между столкновениями частицы движутся как свободные. Многочастичная S -матрица является в этом случае упорядоченным произведением двухчастичных 5-матриц. Факторизация рассеяния является типичным для рассеяния солитонов в классических интегрируемых системах, поэтому следует ожидать повторения этого явления при квантовании таких систем. В работе [54] впервые был предложен метод, позволяющий из ряда предположений получать явные формулы для точных S -матриц рассеяния элементарных возбуждений в квантовых полевых моделях. Этими предположениями являются:

• наличие бесконечного набора квантовых интегралов движения;

• условия унитарности и кросс-симметричности рассеяния;

• условие 'минимальности', то есть отсутствие лишних полюсов у амплитуд рассеяния в области физических значений быстрот частиц;

• наличие скрытой симметрии и некоторые предположения о спектре элементарных возбуждений в модели.

В работе [98] этот метод был применен для получения факторизованных S -матриц в моделях Sine-Gordon, Gross-Neveu и O(N) -инвариантной а -модели. Основой метода является требование равенства амплитуд и фаз рассеяния при сравнении двух разных способов описать трехчастичное рассеяние, что приводит к нетривиальному кубическому уравнению на матричные элементы двухчастичной матрицы рассеяния. Эти уравнения, названные уравнениями факторизации, являются необходимым условием возникновения факторизованного рассеяния и для массивной модели Тирринга были получены в работе [53]. Ранее уравнения факторизации были рассмотрены в задачах, описывающих нерелятивистские частицы, взаимодействующие <5-образными потенциалами [76]. В настоящее время уравнения факторизации называют уравнением Янга-Бакстера, возникающим не только в задачах о факторизации рассеяния, но и во многих непрерывных и дискретных квантовых интегрируемых моделях. С математической точки зрения эти уравнения означают коассоциативность алгебры симметрий, стоящей за феноменом интегрируемости.

Нашим основным предметом исследования будет модель GS, описывающая взаимодействующее скалярное поле. Эта модель на квантовом уровне эквивалентна массивной модели Тирринга (ММТ) |96], задаваемой лагранжианом

CTh = Ф(®)гУ^Ф(х) - - тЩхЩх) - g (Щх)УЪ(х))2 . (1.7)

Она описывает взаимодействующее массивное фермионное ноле Дирака. Эквивалентность на квантовом уровне означает совпадение рядов теории возмущений при следующем отождествлении констант взаимодействия и полей в этих моделях [33]:

1.8) Ф(1°,х1)У1Ф(ж0,х1) , cos^v/^/M^V1)) = Ф(а;0,а;1)Ф(х0,х1) ,

1.9) где е'ш антисимметричный тензор в двумерии, нормализованный условием е01 = 1. Эквивалентность бозонной и фермионной моделей отмечалась ранее в работах Т. Скирма [93], где упоминалось, что солитонные моды уравнения SG являются фермионами, и их взаимодействие описывается моделью Тирринга. Точное утверждение было доказано С. Коле-маном, который показал, что ряды теории возмущений для ММТ совпадают почленно с рядами теории возмущений в модели SG при отождествлении (1.8) и (1.9). Отождествление этих двух квантовых моделей дает, по-видимому, первый пример дуальности, когда квазиклассический предел модели SG 01 —> 0 соответствует пределу большой константы связи для модели Тирринга g —* оо. Еще одно полезное свойство этой эквивалентности видно из формулы (1.8). При б2 = 1 константа взаимодействия в ММТ пропадает (д — 0), и теория: становится свободной. Взаимодействие в модели SG при этом не исчезает, что позволяет нам использовать каноническое квантование модели массивных свободных фермионов для прояснения нетривиальной алгебраической структуры, стоящей за интегрируемостью в квантовой модели SG. Отметим также, что фермион-бозонное соответствие как вспомогательное средство использовалось также при исследовании классических интегрируемых систем в работах группы М. Сато [87].

Одной из основных задач при исследовании квантовых теорий поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов в теории. В интегрируемой ситуации и в случае моделей, которые мы будем рассматривать, программа вычислений корреляционных функций делится на три шага: 1) знание спектра элементарных возбуждений и уравнений факторизации рассеяния дает возможность построить точные S-матрицы; 2) матричные элементы локальных операторов в пространстве состояний теории можно построить, используя форм-факторную программу, для которой точные формулы для S-матриц являются исходными данными; 3) корреляционные функции получаются суммированием произведений этих форм-факторов по всем промежуточным состояниям. В полном объеме эта программа, называемая иногда программой 'bootstrap' или S-матричным подходом, была реализована в настоящее время только для простых моделей, в которых отсутствуют взаимодействия (см., например, работу [28]). Отметим, что классический подход к задаче вычисления корреляционных функций означает теорию возмущений. В последнее время группой исследователей из Berlin Freie Univcrsitat была осуществлена программа сравнения результатов программы 'bootstrap' в отдельных моделях с классическим подходом, использующим теорию возмущений, и было установлено полное согласие этих двух подходов [22].

Здесь следует упомянуть и программу конформного бутстрапа, предложенную А. Поляковым в 1970 году. Основанием этой программы является гипотеза о конформной инвариантности критических явлений статистической физики, а именно, конформной инвариантности эффективной теории поля, описывающей статистическую модель в окрестности точки фазового перехода. В работе [14] были получены ограничения на вид корреляционных функций, которые следуют из условий конформной инвариантности. В конформной теории поля основным объектом является операторная алгебра квантовых полей зависящих от координаты точки х р1 1 где Ak масштабные размерности поля . Эти масштабные размерности определяются правилом: х —► Хх, Фа^) —> АЛ*Ф&(Ах). В теориях с взаимодействием спектр размерностей {Ад.} является аномальным в отличие от размерностей свободной теории. Например, в простейшей модели безмассовых двумерных фермионов с четырехфермион-ным взаимодействием, спектр операторов зависит непрерывным образом от постоянной, характеризующей степень взаимодействия. Структурные коэффициенты операторной алгебры являются основной динамической характеристикой конкретной теории и программа конформного бутстрапа позволяет получить соотношения на эти коэффициенты.

Конформный бутстрап применим в исследованиях безмассовых двумерных теорий поля. В этом случае алгебра конформных преобразований двумерного пространства-времени (конформные преобразования сохраняют на плоскости углы) является бесконечномерной. Реализованная в пространстве операторов теории она совпадает с прямым произведением двух алгебр Вирасоро, возникших в дуальных моделях сильных взаимодействий. В работе [25] было показано, что локальные ноля, образующие операторную алгебру, могут быть классифицированы но неприводимым представлениям алгебры Вирасоро, и что корреляционные функции строятся из 'конформных' блоков, которые полностью определяются конформной инвариантностью.

В массивной интегрируемой двумерной теории поля могут реализовываться два режима. На малых расстояниях и при больших импульсах можно пренебречь массой и рассматривать теорию как конформную с некоторым спектром операторов и их аномальных размерностей. На больших расстояниях и малых импульсах можно воспользоваться S-матричной формулировкой или форм-факторным бутстрапом, где теория будет описывать рассеяния массивных физических частиц. Асимптотика корреляционных функций на малых расстояниях будет предметом вычисления операторной алгебры в некоторой конформной теории поля, а массивная S -матричная теория будет описывать асимптотики этих функций на больших расстояниях или окрестности полюсов этих функций в их импульсном представлении. В силу этого замечания, не удивительным является факт, подмеченный еще в пионерской работе [72J о том, что техника, возникающая при анализе массивных теорий в импульсном пространстве, похожа на технику, применяемую в конформных теориях ноля в координатном пространстве [40]. Если продолжить эту аналогию, то наше исследование, использующее для алгебраического анализа (в импульсном представлении1) модели SG алгебру токов , похоже на исследование модели Весса-Зумино [56]. Но, конечно же, эта аналогия достаточно условная, так как алгебры токов, используемые в этих моделях, являются абсолютно различными. Их теории представлений существенно разнятся.

Вернемся к S-матричной формулировке интегрируемых теорий поля. Первый шаг по нахождению точных S-матриц был описан выше и проделан в многочисленных работах для большого числа интегрируемых моделей. Второй шаг, известный как форм-факторная программа, была заложена в работе [55] и окончательно развита в книге [90]. В основании этой программы лежит система аксиом, которым должны удовлетворять форм-факторы локальных операторов как функций быстрот, параметризующих состояния. Позже мы дадим точную математическую формулировку этих аксиом, а пока скажем, что в релятивистской квантовой теории ноля все они являются следствием того факта, что корреляционные функции локальных операторов должны исчезать на пространственно-подобных

1 Под этим мы понимаем только то, что вершинные операторы, используемые при бозонизации, зависят от быстрот (импульсов) частиц, а не от положения в двумерном пространстве-времени. интерналах.

Результатом выполнения этой программы являются явные интегральные формулы для обобщенных форм-факторов локальных операторов, в которых сам локальный оператор характеризуется подинтегральной функцией определенного типа (см. конец следующей главы). Этот результат не является неожиданным, так как комбинация двух первых аксиом эквивалентна разностному (квантовому) уравнению Книжника-Замолодчикова (КЗ) на уровне ноль [56, 47], общие решения которых представнмы в интегральном виде [3]. Теория уравнений КЗ, возникших в теории модели Весса-Зумино [56], развивалась в неразрывной связи с теорией представлений токовых алгебр [97], поэтому естественно ожидать, что решение форм-факторной программы, так или иначе, связано с теорией представлений некоторых бесконечномерных алгебр. Эта связь была действительно обнаружена и тщательно исследована на примере XXZ модели Гейзенберга [51]. Так как наше исследование будет во многом параллельно этим результатам, мы кратко изложим основные положения итоговой книги [51].

Существенным прогрессом в понимании структуры квантовых интегрируемых моделей в термодинамическом пределе стал метод Бакстера угловой трансфер матрицы (УТМ) [2].f Было замечено, что УТМ для некоторых интегрируемых моделей на бесконечной решетке имеет ограниченный снизу эквидистантный спектр и следовательно может быть описана бесконечным набором осцилляторов. Это наблюдение позволило развить новый подход к квантовым интегрируемым моделям на решетке. Это было сделано группой из Киотского университета на примере модели XXZ в антиферромагнитном режиме, когда параметр анизотропии |Д| > 1 [51]. Используя бесконечномерные представления алгебры Uq(sl2) с вещественным параметром деформации — 1 < q < 0, были получены замкнутые интегральные представления для корреляционных функций локальных операторов и их форм-факторов в этой модели. Гильбертово пространство состояний модели XXZ на бесконечной решетке отождествляется с бесконечным произведением двумерных пространств ftxxz « • • • С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2 • • • . (1.10)

Одной из основных идей конструкции [51] было разложение этого пространства состояний на два полубесконечных произведения

Нххz • • • С2 ® С2 ® С2)®(С2 ® С2 <g> С2 • • • )и H'cni ® Нстм = End {Петы) ■ (1-11)

В каждом из пространств Нстм и УТМ действует естественным образом. Эти пространства могут быть отождествлены с интегрируемыми модулями над алгеброй Uq(sl2) с уровнями 1 и -1. Разложение (1.11) приводит к отождествлению состояний в гильбертовом пространстве Hxxz с операторами, действующими в Нстм ■ Пространство End (Нстм) оснащается естественным скалярным произведением {А, В) = Тг -цстмАВ, вакуумный вектор в "Hxxz отождествляется с (—q)Hc™ , где Яегм есть гамильтониан угловой трансфер матрицы.

Теория представлений квантовой аффинной алгебры Uq(sl2) содержит операторы, которые сплетают ее действие в Нстм. (сплетающие операторы типа I и тина II). Операторы типа II используются для построения базиса асимптотических состояний в End (Нстм), тогда как операторы типа I используются для построения трансфер матрицы и локальных операторов. Более того, присоединённое действие элементов квантовой аффинной алгебры на пространстве End {Нети) описывает симметрию модели, которая совпадает с алгеброй f/g(sZ2) на уровне 0. Еще одним следствием этого подхода является возможность представить форм-факторы локальных операторов и корреляционные функции их произведений в виде многократных интегралов, которые получаются из следов по пространству Нстм от некоторых произведений сплетающих операторов. Иными словами, теория представлений алгебры Uq(sl2) доставляет решение форм-факторной программы в XXZ модели Гейзенберга.

Вернемся к непрерывным интегрируемым моделям. То, что за интегрируемостью этих моделей стоят некоторые сложные алгебраические структуры, было понятно давно. Исследованию проявлений этой структуры были посвящены многочисленные работы, см., например, [86, 69, 70, 29]. Во всех этих работах исследуется какая-то часть симметрий непрерывных моделей, но нет ответа на вопрос об общей алгебраической структуре, стоящей за многими, на первый взгляд, не связанными явлениями. В частности, до начала исследования, результаты которого изложены в настоящей диссертации, не была известна бесконечномерная алгебра токов, теория представлений которой давала бы решения форм-факторной программы в случае непрерывных двумерных интегрируемых теорий поля и в частном случае модели SG объясняла бы наличие двух квантово-групповых структур, связанных с R и S матрицами в этой модели. Как мы уже отмечали выше, в настоящей диссертации будет предъявлена и исследована такая алгебраическая структура.

Модель Sine-Gordon в двумерном пространстве-времени Минковского описывается лагранжианом (1.1) и эквивалентна массивной модели Тирринга (1.7). Мы перескалировали константу взаимодействия в модели SG (3 —> л/4л(3 по сравнению с общепринятой нормировкой так, чтобы при (З2 = 1 исчезало взаимодействие в ММТ, и она становилась свободной теорией массивных дираковских фермионов. Такое значение параметра (З2 мы будем называть точкой свободных фермионов (СФ).

Квантовая теория SG является наиболее фундаментальной интегрируемой квантовой теорией поля в двумерном пространстве Минковского, и поэтому является важным полигоном для развития новых методов исследований. Спектр элементарных возбуждений в модели зависит от параметра <f и при его значениях 1 < £ < оо содержит только возбуждения, отвечающие фермионным полям ММТ, которые будем называть солитонами и антисолитоннами. Значение £ = 1 соответствует точке СФ, а на интервале 0 < £ < 1 модель содержит бризеры: связанные состояния солитона и антисолитона. Если пренебречь скалярным множителем в выражении (1.G) для 5"-матрицы солитон-антисолитонного рассеяния, то при выборе мультипликативного спектрального параметра 2 = , где в является относительной быстротой частиц, матрицу рассеяния можно записать в виде

ОД О q = exp ( I (1.12) zq-z~xq~x 0 0 0 ^

0 z-z'1 q-q~l 0

0 q~q~l z-z'1 0

У 0 0 0 zq-z~lq~l J

Эта форма записи подчеркивает квантово-групповую симметрию гильбертова пространства состояний модели относительно конечномерной квантовой группы Uq^sl?) [8G, 68].

Л-матрицу (1.4), участвующую в коммутационных соотношениях элементов матрицы монодромии, также можно переписать в виде (1.12), по с дуальным параметром деформации q' = exp j . Это подчеркивает наличие в модели SG двух квантово-грунповых симметрий с дуальными параметрами деформации q и q'. Заметим также, что даже в точке СФ, где /?2 = 1, Я-матрица, участвующая в коммутационных соотношениях (1.3) на матричные элементы монодромии, является нетривиальной. Это является следствием того факта, что матрица монодромии построена из полей ехр(г'Ф/2), которые нелокальны по фермионным полям при бозон-фермионном соответствии (1.9).

Как мы видим, модель SG обладает двумя квантово-групповыми симметриями, для которых параметры деформаций связаны преобразованием дуальности (2.91). Попытка объяснения этого явления была предпринята в работе С. Лукянова [72]. Автор использовал технику бозонизации свободными полями массивной интегрируемой теории ноля, подобную той, что была построена в работе [40]. Впоследствии, эти идеи были обобщены для интегрируемых моделей на решетке, связанных с эллиптическими токовыми алгебрами [45]. Следуя этим идеям, в работе [61] была предложена алгебра экранирующих токов со специфическими коалгебраическими свойствами. Эти свойства позволили восстановить бозонизацию, предложенную в работе [72], исходя из теории представлений алгебры экранирующих токов.

Метод Бакстера УТМ для непрерывных интегрируемых моделей был развит в работах [72, 31] и основывается на методе углового квантования. Полное гильбертово пространство состояний непрерывной интегрируемой модели в бесконечном объеме вкладывалось в тензорное произведение

Н^Нь®Нн, (1.13) где Нь и (Нд) являются гильбертовыми пространствами состояний при квантовании в левом (правом) конусе. Правый конус в двумерном пространстве Минковскогб совпадает с областью х0)2 — (я1)2 < 0, х1>0, (1.14) где х° время, а х1 пространственная координата. Соответственно левый конус есть область пространства х0)2 - (я1)2 <0, х1 < 0 . (1.15)

Выберем параметризацию прстранственно-временных координат в правом конусе x° = rsha, х1 = гcha, г > 0, абМ. (1-16)

Левый конус может быть формально получен вращением а —> а — in или применением оператора ёкК где К является генератором лоренцовского вращения К = —ida. Пространство Нь может быть отождествлено с дуальным к TLr пространством, и поэтому состояния полного гильбертового пространства состояний могут быть реализованы как операторы в fCR.

В работе [72] было предположено, что пространство Hr в модели SG может быть реализовано как пространство Фока с действием операторов, удовлетворяющих коммутациониым соотношениям алгебры Замолодчикова-Фаддеева. Впоследствии, в работе [61] эти операторы были отождествлены со сплетающими операторами в теории представлений уровня 1 алгебры токов Ai/^sh) ■ Эта реализация совпала с бозонизацией, использованной в работе [72]. Одним из главных аргументов в пользу этих математических конструкций было совпадение форм-факторов локальных операторов в теории SG со следовыми вычислениями в Ни.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Во второй главе диссертации будет развит метод углового квантования в двух направлениях. Во-первых, мы проанализируем модель SG в правом конусе двумерного пространства Минковского в точке свободных фермионов, где каноническое квантование эквивалентной модели свободных массивных фермионов может быть сделано явно [62]. Мы увидим, что стандартные сохраняющиеся заряды в этой модели [69] расходятся, и единственный способ получить алгебру симметрий это использовать аналитическое продолжение сохраняющихся зарядов, или данные рассеяния. В этом случае бозонизация, использованная в работе [72], возникает естественным образом. В дальнейшем мы покажем, что для того чтобы алгебра симметрий замкнулась, необходимо рассмотреть дополнительные токи с дуальной монодромией. Полная алгебра симметрий (алгебра нелокальных сохраняющихся зарядов), которая может быть найдена в этом случае, совпадает со специализацией в точку свободных фермионов (£ = 1) алгебры токов Ai/^sh), предложенной в работе [61].

Во-вторых, мы исследуем пространство состояний непрерывной модели SG по аналогии с теоретико-групповым подходом к аналогичному пространству состояний в модели XXZ [51]. Будет показано, что, используя представления уровня один алгебры токов , можно определить вакуум, асимптотические состояния и операторы, которые действуют на пространстве асимптотических состояний. В отличие от интегрируемой квантовой цепочки, эти операторы получаются из асимптотических разложений производящих функций локальных операторов. Будет определено присоединенное действие алгебры Ai/^slz) на пространстве состояний и показано, что известные симметрии этого пространства, связанные с сохраняющимися нелокальными токами [29, 75] и формулируемые в рамках квантовой аффинной алгебры на уровне 0, могут быть получены из этого присоединенного действия путем асимптотического разложения. В сжатом виде это описание выглядит следующим образом.

Гильбертово пространство Н раскладывается также как и в (1.13). Пространства TLr и Нь являются модулями старшего веса с уровнями 1 и —1 над алгеброй токов A\/^{sl2) так, что состояния в Н могут быть отождествлены с некоторыми операторами в Hr . В частности, физический вакуум |vac)p], отождествляется с оператором jvac)ph = епК — е~ЫОа, (1.17) где а является угловым временем в правом конусе, а состояния . ,#п)сь.,<:„ с произведением

1*1,• • • ,tfnjewn = Z*tl(eо.z:n{0nyK, (1.18) где Z*(0) есть сплетающие операторы для алгебры токов Ai/^(sl2), которые также действуют в Hr. Присоединенное действие алгебры A\/^(sl2) не является стандартным, так как эта алгебра не является алгеброй Хопфа. Действительно, соотношения умножения и коумножения в алгебре » терминах L -операторов могут быть записаны в виде:

Щщ-U2,^ + C)Li(-Ui,^)L2('U2,0 = L2(u2,Oli{uUOK(ui-u2,Z) , (1.19)

АорДм,0 = Дм-гтгс(2)/4,^ + с(2)) ® L{u + mc{1)/4,0 , (1.20) где Я-матрица определена соотношением (2.85) и с есть центральный элемент в алгебре Ai/^(sl2). Обратим внимание, что R-матрицы в левой и правой частях соотношения (1.19) отличаются на центральный элемент алгебры, что означает нарушение коассоциативности. В настоящее время известно, что алгебра симметрий модели SG является квази-хопфовой алгеброй [42] и может быть получена скручиванием дубля Янгиана. Коалгебраическая структура этой квази-хопфовой алгебры была использована в работе [61] для построения сплетающих операторов модулей старшего веса при значении центрального элемента с = 1.

Присоединенное действие имеет различный вид для подпространств Hi G И, г — 0,1 с четным и нечетным числом частиц и включает в себя инволюцию алгебры

L{L{u)) = UzL{U)VZ ■ (1.21)

Для состояния Xi € Hi, г = 0,1 присоединенное действие определено формулой

AclL(u;4) -Xk = L (L~l{u + тс/А] £)) Xk ik+l (L(u - in + тс/4; £)) . (1.22)

Будет доказано, что так определенное присоединенное действие реализует представление уровня 0 алгебры Ai/^sl^) на пространстве состояний Н, такое, что п -частичные состояния вкладываются в тг-кратное тензорное произведение двумерных представлений. Квантово-аффинная симметрия гильбертового пространства Н, найденная в работе [29], получает свое естественное объяснение через асимптотическое разложение присоединенного действия токовой алгебры Ai/^sh) ■

Далее в этой главе будет продемонстрировано решение форм-факторной программы в модели SG, исходя из теории представлений алгебры A\/^(sU). В частности, будет проверена аннигиляционная аксиома на форм-факторы тем же методом, что и в работе [81]. В заключение этой главы будет сформулировано операторное описание бризерных состояний в модели SG, а также будет описана общая структура интегральных формул для форм-факторов локальных операторов в этой модели.

В третей главе форм-факторная программа будет реализована в SU(2) -инвариантной модели Тирринга методами теории представлений алгебры, которая связана с центрально- ■ расширенным дублем янгиана T>y(sl2) ■ Эту алгебраическую структуру нельзя получить из анализа соответствующего лагранжиана как это было сделано для модели SG в точке свободных фермиоиов, так как теория обладает нетривиальным четырех-фермионным взаимодействием. Однако можно воспользоваться тем фактом, что SU{2) -инвариантная модель Тирринга получается из массивной модели (1.7) в пределе £ —> +оо. В этой главе будет продемонстрировано, что алгебра токов ./li/^s^) вместе с ее теорией представлений обладает гладким пределом при £ —> +оо и переходит при этом пределе в алгебраическую структуру, которую мы обозначим как A)(s/2) и которую будем считать алгеброй динамических симметрий для 5(7(2) -инвариантной модели Тирринга. Напомним, что, следуя терминологии книги [51], мы называем алгеброй динамических симметрий данной интегрируемой модели некоторую бесконечномерную алгебраическую структуру или алгебру токов, теория представлений которой доставляет решение форм-факторной программы в данной модели. а.

Как алгебра токов, Aoish) обладает теми же коммутационными соотношениями, что и центрально-расширенный дубль янгиана T>y(sl2) [65, 57], однако как топологическая алгебра отличается существенно от дубля янгиана и имеет совершенно другую теорию представлений [58]. Так же как и в случае алгебраического анализа в модели SG, теория представлений на уровне 1 содержит сплетающие операторы, которые могут быть использованы для углового квантования этой модели. Форм-факторы локальных операторов выражаются следами по пространству Фока углового квантования от произведений этих операторов и этот след будет вычислен в этой главе при помощи техники JI. Клаве-ли и Дж. Шапиро |32], возникшей в дуальных моделях. Далее эта общая формула будет исследована в некоторых частных случаях и, в частности, общая интегральная следовая формула будет отождествлена с форм-факторами тока и тензора энергии-импульса, полученными ранее в [90] в рамках стандартного подхода к реализации форм-факторной программы в двумерных интегрируемых теориях поля.

В последнем разделе третьей главы будет исследована векторнозначная часть интегральной формулы для форм-факторов локальных операторов в SU(2) -инвариантной модели Тирринга. Эта часть будет отождествлена с бетевскими векторами, построенными из элементов матрицы монодромии в L -матричном описании алгебры динамических симметрий Aoish) данной модели. При этом отождествлении мы покажем важность ко- ■*-алгебраической структуры токовой реализации для алгебры ^0(5/2), важность рассмотрения различных типов борелевских подалгебр, ассоциированных естественным образом со стандартной и токовой коалгебраическими структурами в этой алгебре, а также важность проекций на пересечения различных типов борелевских подалгебр. Явным вычислением будет показано, что бетевский вектор, или произведение внедиагональных элементов матрицы монодромии B(v 1) • • ■ B(vn), действующих на сингулярный весовой вектор в 2п-ом тензорном произведении элементарных фундаментальных представлений совпадет с действием проекции от произведения Р (f(v 1) • • • f{vn)) на этот же вектор. При этом в силу специальной связи между стандартной и токовой хопфовыми структурами и проекциями коалгебраические свойства векторнозначной весовой функции или бетевского вектора будут определяться простой структурой коумножения полных токов. Все эти наблюдения будут развиты и изучены в последующих двух главах.

Более конкретно, в четвертой главе на примере квантовой аффинной алгебры токов Uq{sl3) ранга 2, будет развита техника вычисления вышеупомянутых проекций. Будет дано точное описание разных типов борелевских подалгебр в Uq(slz) и описаны свойства проекций на их непустые пересечения. Будет сформулировано понятие универсальной весовой функции, и будет продемонстрировано, что проекция от произведения полных токов в алгебре удовлетворяет коалгебраическим свойствам этой универсальной весовой функции. В частности, будут получено представление весовой функции как суммы произведений 'струн', где под струнами мы будем понимать упорядоченное произведение, составленных из простых и составных токов. Из метода вычисления проекций от произведений полных токов, предложенного в диссертации, станет ясно, что он эквивалентен нахождению бетевских векторов в иерархическом Бете анзаце. Исторически этот метод был развит только для интегрируемых моделей, связанных с токовыми алгебрами серии .Адг. Интерпретация иерархического Бете анзаца через проекции, полученная в настоящем исследовании, позволяет расширить его применение для квантовых интегрируемых систем, связанных с другими сериями алгебр токов. При этом вся конструкция настолько эффективна, что вычисление проекций сразу дает иерархические соотношения для бетевских векторов, отвечающих вложенным друг в друга алгебрам различного ранга.

В пятой и последней главе диссертации, метод построения бетевских векторов через проекции сравнивается на примере алгебры Uq{glN) с методом развитым А. Варченко и В. Тарасовым для приложений в теории квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова. В этом подходе бетевский вектор строится как некоторый специальный матричный эле- , мент Uq(glN) монодромии, построенный из соответствующих L-операторов и при специальном выборе набора параметров, от которых этот вектор зависит. Преимущество метода проекций состоит в том, что он позволяет получать бетевские вектора для произвольных наборов параметров. В этой главе будет явно продемонстрированы совпадения метода проекций и метода L -операторов для специального набора параметров, где последний метод применим и, тем самым, будет еще раз доказана эффективность метода проекций, который дает прямое и эффективное решение иерархического анзаца Бете.

В заключении будет приведен список основных результатов выносимых на защиту. Перед тем как приступить к изложению основных результатов, автор желает воспользоваться случаем и поблагодарить своих коллег, в соавторстве с которыми были выполнены работы, содержащие результаты, изложенные в данной диссертации - Дж.Динга, Д.Р.Лебедева, А.ЛеКлера, А.Накаяшики, В.О.Тарасова и С.М.Хорошкина. Особая благодарность всем коллегам из Лаборатории теоретической физики, Объединенного Института Ядерных Исследований, в стенах которой были получены основные результаты, выносимые на защиту, а также замечательным математикам и физикам без общения с которыми автору было бы трудно решить задачи, которые он перед собой ставил: А.А.Белавину, Г. фон Геллену, А.С.Горскому, М.Джимбо, А.В.Забродину, А.Б.Замолодчикову, Ал.Б.За-молодчикову, А.П.Исаеву, М.Ю.Лашкевичу, С.Л.Лукьянову, А.В.Маршакову, Т.Миве, А. Д.Миронову, А.Ю.Морозову, М.Л.Назарову, М.А.Олынанецкому, Я.П.Пугаю, П.Н.Пятову, В.Н.Рубцову, А.А.Рослому, С.М.Сергееву, Н.А.Славнову, Ф.А.Смирнову, С.М.Харчеву, В.В.Фоку, В.Н.Шадуре, Б.Энрикесу.

2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ SINE-GORDON

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пакуляк, Станислав Здиславович

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации.

• Из анализа углового квантования модели массивных свободных фермионов в двумерном пространстве-времени и эквивалентной ей модели Sine-Gordon в точке свободных фермионов была получена бозонизация неабелевой алгебры токов, связанная как с операторами асимптотических состояний, так и с квантовыми аналогами функций Йоста в модели SG.

• Эта алгебра токов была обобщена на произвольные допустимые значения нерепор-мированной константы взаимодействия в модели SG. Было показано, что спектр операторов, возникающих из анализа массивных свободных фермионов, совпадает с операторным содержанием теории представлений алгебры токов при единичном центральном элементе и при фиксированном значении параметра в алгебре токов, совпадающим с перенормированной константой взаимодействия модели SG. При произвольном допустимом значении параметра взаимодействия теория представлений токовой алгебры дает бозонизацию алгебры Замолодчикова-Фаддеева для операторов, описывающих асимптотические состояния и квантовые аналоги функций Йоста.

• Из-за нетривиальной и нестандартной структуры коумножения (действия алгебры в тензорных произведениях представлений), предложенной в диссертации, получил естественное объяснение факт существования в этой модели двух квантово-групповых структур, связанных с факторизоваппой матрицей рассеяния асимптотических состояний и свойств коммутации элементов квантовой матрицы монодромии, соответственно.

• Детально исследовано угловое квантование модели SG и в рамках этого метода все известные автору результаты о свойствах квантовой матрицы монодромии и симметрий пространства состояний в модели SG были получены из теоретико-группового анализа, исследуемой алгебры токов. В частности, было продемонстрировано, что вычисления следов но фоковскому пространству углового квантования от произведения операторов, сплетающих представления алгебры токов на уровне 1, доставляет решение форм-факторной программы в модели SG.

• Алгебра токов была исследована в бесконечном пределе для перепормированной константы взаимодействия, в котором эквивалентная модели SG массивная модель Тирринга переходит в 5[/(2)-инвариантную модель Тирринга. Было показано, что в этом пределе алгебра токов переходит в алгебру связанную с рациональными решениями уравнения Янга-Бакстера, и ее теория представлений доставляет решение форм-факторной программы в этой модели.

• Следы от соответствующих произведений операторов, сплетающих представления на уровне 1 этой токовой алгебры, были вычислены явно. Эти следы как функции быстрот были отождествлены с форм-факторами базовых операторов в этой модели, полученными в рамках форм-факторного подхода к массивным интегрируемым моделям двумерной теории поля. у

• Векюрнозначная часть интегральных формул для форм-факторов, была отождествлена с бетевским вектором, построенном из внедиагональных элементов матрицы монодромии в R-матричном описании алгебры динамических симметрий SU(2)'-инвариантной модели Тирринга. Это отождествление было сделано с помощью специальных проекционных операторов на пересечения борелевских подалгебр разного типа.

• Общая теория вычисления таких проекций была развита на примере квантовой аффинной алгебры старшего ранга. Построенная теория показала свою эффективность в решении задачи о построении бетевских векторов в квантовых интегрируемых моделях ассоциированных с алгебрами токов старшего ранга.

• Метод вычисления проекций был протестирован для квантовой аффинной алгебры Uq(glN), где было показано, что его применение в различных токовых алгебрах позволяет заменить мало эффективный и часто не применимый иерархический ан-зац Бете для нахождения бетевских векторов в квантовых интегрируемых моделях ассоциированных с токовыми алгебрами любых рангов и для любых серий.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пакуляк, Станислав Здиславович, 2006 год

1. И.Я. Арефьева, В.Е. Корепин. Рассеяние в двумерной модели с лагранжианом L = Щ(дци)2 + m2(cosu — 1)]. Письма в ЖЭТФ. 20 (1974) 680.

2. Р.Дж. Бакстер. Точно решаемые модели статистической физики. Наука, Москва, 1985.

3. А.Р. Варченко, В.О. Тарасов. Джексоновские интегральные представления для решений квантового уравнения Книжника-Замолодчикова. Алгебра и Анализ. 6 (1995) 275.

4. С.Н. Вергелис, В.М. Гряник. Ядерная Физика. 23 (1976) 1334/

5. И:С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, Наука, 1971.

6. Дж. Динг, С. Пакуляк, С. Хорошкин. Факторизация универсальной R-матрицы для Uq(sl2) ■ Теоретическая и Математическая Физика, 124(2) (2000), 179.

7. В.Г. Дринфельд. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера. ДАН 28 (1985) 1060.

8. В.Г. Дринфельд. Новая реализация янгиана и квантовых аффинных алгебр. ДАН 32 (1988) 212.

9. А.Б. Замолодчиков. Точная двухчастичная S-матрица квантовых солитонов модели sine-Gordon. Письма в ЖЭТФ. 25 (1977) 499.

10. В.Е. Захаров, JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Полное описание решений "sine-Gordon"ypaBHeiiHH. ДАН СССР 219 (1974) 1334.

11. И. В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев. Уравнение Кортевега-де Фриса вполнеинтегрируемая гамильтонова система. Функц. анализ и его прил. 5 (1971) 18.

12. В.Е. Корепин, Л.Д. Фаддеев. Квантование солитонов. ТМФ 25 (1975) 143.

13. С. Пакуляк, С. Хорошкин. Весовая функция для квантовой аффинной алгебры Uq(sl;i). Теоретическая и Математическая Физика 145(1) (2005), 3.

14. А. Поляков. Конформная симметрия критических флуктуаций. Письма в ЖЭТФ 12 (1970), 538.

15. Е.К. Склянин, JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи. I. ТМФ 40 (1979) 194.

16. Е.К. Склянин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Обратная задача квантовой теории рассеяния. II. 'Современные проблемы математики', Итоги науки и техники, ВИНИТИ, 3 (1974) 93.

17. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Существенно-нелинейная одномерная модель классической теории поля. ТМФ 21 (1974) 160.

18. Л.Д. Фаддеев, Л.А. Тахтаджян. Гамильтонов подход в теории солитонов. Наука , Москва, 1986.

19. С. Хорошкин, Д. Лебедев, С. Пакуляк. Алгебра Замолодчикова-Фаддеева для дубля янгиана на уровне 1. Теоретическая и Математическая Физика, 110 (1997), no. 1, 25.

20. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell, Н. Segur. Method for solving the Sine-Gordon equation. Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1262.

21. Babudjian, H, Flume, R. Off-shell Bethe Ansatz equation for Gaudin magnets and solution of Knizhnik-Zamolodchikov equation, hep-th/9310110.

22. H. Babujian and M. Karowski Exact Form Factors in Integrable Quantum Field Theories: the Sine-Gordon Model (II). Nucl. Phys. В 620 FS] (2002) 407.

23. T. Banks, D. Horn, H. Neuberger. Bosonization of the SU(N) Thirring models. Nucl. Phys. В 108 (1976) 119.

24. E.W. Barnes. On the theory of the multiple gamma functions. Trans. Cambridge Philos. Soc. 19 (1904) 374.

25. A. Belavin, A. Polyakov, A. Zamolodchikov. Infinite-dimensional conformal symmetry in 2D quantum field theory. Nucl. Phys. В 241 (1984) 333.

26. D. Bernard. Hidden Yangians in 2D massive current algebras. Comm. Math. Phys. 137 (1991) 191.

27. D. Bernard, A LeClair. The quantum double in integrable quantum field theories, Nucl. Phys. В 399 (1993) 709.

28. D. Bernard, A. LeClair. Differential equations for sine-Gordon correlation unctions at the free fermion point. Nucl. Phys. В 426 FS] (1994) 534.

29. D. Bernard, A. LeClair. Quantum Group Symmetries and Non-Local Currents in 2D QFT. Commun. Math. Phys. 142 (1991) 99.

30. H. Bete. Zur Theorie derMetalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linear Atoinkette. Z. Physik. 71 (1931) 205.

31. V. Brazhnikov, S. Lukyanov. Angular quantization and form factors in massive integrable models. Nucl. Phys. В 512 FS] (1998) 616.

32. L. Clavelli, J.A. Shapiro. Pomeron fctorization in general dual model. Nucl. Phys. В 57 (1973), 490.

33. S. Coleman. Quantum Sine-Gordon equation as the massive Thirring model. Physical Rev. D 11 (1975) 2088.

34. R.F. Dashen, B. Hasslachter, A. Neveu. The particle spectrum in model field theories from seiniclassical functional integral techniques. Phys. Rev. Dll (1975) 3424.

35. B. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Mivva, A. Nakayashiki. Diagonalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators, si Commun. Math. Phys. 151 (1993), 89.

36. J. Ding, I.B. Frenkel. Isomorphism of two realizations of quantum affine algebras Ug(gl(n)). Commun. Math. Phys. 156 (1993) 277.

37. J. Ding, S. Kharchev, S. Khoroshkin, S. Pakuliak. Analytical properties of the elliptic currents. Preprint MPIM-1999-8, (1999).38