Структура квантовых матричных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сапонов, Павел Алексеевич

• Сапонов, Павел Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сапонов, Павел Алексеевич

I. Введение.

1.1 Уравнение Янга-Бакстера.

1.2 Факторизующееся рассеяние на полупрямой и уравнение отражений.

1.3 Квантовый метод обратной задачи рассеяния.

1.4 Алгебра функций на квантовой группе как алгебра Хопфа.

II. Четные симметрии Гекке конечного ранга.

II. 1 Симметрии Гекке и алгебры Т{В) и С(Щ.

11.2 Квантовый след.

11.3 Антисимметричные проекторы и квантовые тензоры Ле-ви-Чивиты.

III. Характеристические соотношения для С(В) алгебр.

IV. Характеристические соотношения для Т(В) алгебр.

V. Классификация алгебр векторных полей на квантовой группе ЕипйЬ^Ы).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура квантовых матричных алгебр»

В математическом аппарате современной физики ключевую роль играет понятие симметрии, которое находит многочисленные и важные применения практически во всех разделах теории и эксперимента. Например, группа симметрий уравнений движения является основой для построения и классификации различных теоретико - полевых моделей (КЭД, КХД, Стандартная Модель, ОТО, суперсимметричные теории). Группа конформных преобразований важна в теории струн и критических явлений, дискретные симметрии имеют фундаментальное значение для физики твердого тела и так далее. Основой понятия симметрии являются группы тех или иных преобразований векторов состояния, динамических переменных, пространственных координат и т.п., описывающих физическую модель.

Пожалуй, наиболее впечатляющим результатом в математической физике последнего десятилетия было создание теории квантовых групп (КГ). Несмотря на свое название, КГ, строго говоря, группами не являются. Это алгебры Хопфа (определение и свойства см. в разделе 1.4), представляющие собой деформацию (квантование) универсальных обертывающих алгебр некоторых алгебр Ли. Теория КГ возникла как алгебраическая основа точно решаемых моделей квантовой теории поля и связанного с ними метода обратной задачи рассеяния, а также решеточных моделей статистической физики. Одним из центральных объектов, характерных для таких моделей, является Д-матрица, удовлетворяющая уравнению Янга-Бакстера. Задача поиска и классификации решений этого уравнения привела В.Г. Дринфельда [1, 2] (см. также работы Джимбо [4, 5]) к формулировке основных положений теории КГ.

После работ Дринфельда и Джимбо появились и другие формулировки теории, связанные с различными приложениями КГ. В качестве примера можно привести работы польского математика С.Л. Вороно-вича [6, 7]. Его подход базируется на теореме Гельфанда о том, что произвольная С* коммутативная алгебра Л изоморфна алгебре всех непрерывных функций на некотором топологическом многообразии. Отказавшись от свойства коммутативности А> мы приходим к понятию матричной псевдогруппы — центральному объекту теории КГ в формулировке Вороновича.

Другим примером может служить подход, связанный с некоммутативной геометрией, предложенный Ю.И. Маниным, Ю. Вессом и Б. Зу-мино [8, 9, 10]. Квантовая группа возникает здесь как группа автоморфизмов некоммутативных линейных пространств.

Мы будем придерживаться Д-матричной формулировки [61], которая позволяет использовать удобную ковариантную технику вычислений. Основными объектами в этой формулировке являются уравнение Янга-Бакстера, так называемая алгебра RTT-соотношений и алгебра, порожденная уравнением отражений, для которых мы будем использовать обозначения и C{R) соответственно. Строгое определение и свойства этих алгебр приведены в разделах III и IV.

Впервые уравнение Янга-Бакстера появилось в 1967 году в работе Ч.Н. Янга [21] как некоторое условие согласования в квантовомехани-ческой задаче об N частицах на прямой, взаимодействующих посредством потенциала V — cJ2i<jS(xi — Xj). Янг показал, что при выполнении этого условия энергетические уровни и собственные функции гамильтониана могут быть вычислены точно с использованием координатного анзаца Бете.

Независимо это же уравнение возникло в работе Р. Бакстера [22] (см.,-также, книгу [24]), когда он изучал условия точной разрешимости восьмивершинной решеточной модели в двумерной статистической физике. После довольно долгого перерыва, прошедшего с момента решения Онсагером в 1944 году модели Изинга [25], работы Бакстера явились новым крупным шагом в области точно решаемых двумерных моделей, приведя к существенному прогрессу в их построении и изучении. В дальнейшем Бакстер исследовал условия точной интегрируемости восьмивершинной модели на произвольной нерегулярной решетке. При этом оказалось, что следствием уравнения Янга-Бакстера является независимость статистической суммы модели от параллельного перемещения линий решетки. Это свойство получило название ^-инвариантности [23].

С другой стороны, в работах [26]—[28] и [29]—[32] развивалась релятивистская теория солитоноподобных частиц в 1+1-мерном пространстве-времени. При этом было найдено, что требование независимости элементов матрицы рассеяния 5 от начальной и конечной пространственной конфигурации частиц приводит к уравнению Янга-Бакстера для двухчастичной матрицы рассеяния, а произвольная п-частичная 5-матрица представляется в виде упорядоченного произведения п(п— 1)/2 двухчастичных (факторизация рассеяния). Простыми геометрическими рассуждениями можно показать, что алгебраическая основа факторизации та же, что и в случае ¿Г-инвариантности Бакстера [29].

В работе [33] И.В. Чередником была рассмотрена аналогичная задача для ограниченного до полупрямой конфигурационного пространства. Здесь, помимо матрицы рассеяния, необходимо вводить дополнительный объект: матрицу отражения на границе конфигурационного пространства. При описании процесса рассеяния частиц теперь необходимо учитывать возможные отражения от границы при переходе из начального асимптотического состояния в конечное. Требование факторизации приводит к дополнительному соотношению на двухчастичную ¿"-матрицу и матрицу отражения от границы — так называемое уравнение отражений. Порождаемая им алгебра играет важную роль в общей теории КГ и в приложениях к интегрируемым моделям с непериодическими граничными условиями [34]—[38] и теоретико-полевым моделям [39]—[42].

Еще одна область современной математической физики, сыгравшая важнейшую роль в открытии КГ, связана с квантовым методом обратной задачи рассеяния. Квантовый метод обратной задачи рассеяния (КМОЗ) был разработан в 1978 - 1979 годах в основном в работах П.П. Кулиша, Н.Ю. Решетихина, Е.К. Склянина, Л.А. Тахтаджяна, Л.Д. Фаддеева [62, 63, 64, 65, 66] и других. Этот метод явился результатом синтеза двух направлений в теории интегрируемых систем [71]. Начало одному из них, связанному с координатным анзацем Бете, было положено в 1931 году, когда Г. Бете в работе, посвященной теории металлов [43], нашел собственные значения и собственные функции гамильтониана одномерной цепочки атомов со взаимодействием ближайших соседей. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Ч.Н. Янга, Э. Либа, М. Годена, Р. Бакстера и других (см., например, [44]—[46], [21, 22]).

Второе из упомянутых направлений — классический метод обратной задачи рассеяния — берет свое начало от статьи Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [47] в которой рассматривалась задача поиска решений и(1,х) нелинейного уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ), введенного еще в 1895 году для описания уединенных волн (солито-нов) на воде и нашедшего затем широкое применение в различных разделах физики [51, 52, 53]. Идея авторов статьи [47] состояла в том, чтобы сопоставить нелинейному уравнению КдФ спектральную задачу для некоторого вспомогательного уравнения Шредингера, в котором искомое решение нелинейного уравнения играло бы роль потенциала. Если удастся определить эволюцию данных рассеяния в зависимости от параметра £ потенциала, то можно с помощью формулы Гельфан-да - Левитана [48, 49] (см., также, [50]) восстановить потенциал по данным рассеяния при любом значении этого параметра. То есть, по известному начальному значению и(0,ж) для уравнения КдФ определяются начальные значения данных рассеяния, затем закон эволюции дает их при произвольном £ > 0, и, наконец, формула Гельфанда -Левитана позволяет определить ж). В дальнейшем был изучен алгебраический механизм этого метода и разработан гамильтонов подход к теории интегрируемых нелинейных уравнений (в частности, КдФ) в работах Лакса, Гарднера, Абловица, Захарова, Шабата, Фаддеева и других [54]—[60], [72]. Переход от начальных данных задачи Коши к данным рассеяния оказался нелинейным каноническим преобразованием к переменным действие - угол гамильтоновой задачи, соответсвующей данному динамическому уравнению.

В основе квантового метода обратной задачи рассеяния лежит идея использования алгебраических методов поиска спектра и координат типа действие-угол для квантовых систем. Центральными объектами при этом оказываются так называемые матрица монодромии Т и В,-матрица, задающая правила перестановки элементов Т.

В настоящее время КМОЗ — интенсивно развивающаяся область математической физики, в рамках которой был развит единый классификационный подход для широкого класса интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений и квантовых систем в двух измерениях, а также найдены их точные решения. В качестве наиболее известных примеров можно упомянуть нелинейное уравнение Шредин-гера, массивную модель Тирринга, уравнение синус-Гордон, модель Гейзенберга, ряд моделей двумерной статистической физики. С различными аспектами КМОЗ можно познакомиться по обзорам и книгам [65, 66, 67, 71, 72].

Настоящая диссертация посвящена изучению свойств квантовых матричных алгебр и С{Я), которые играют ключевую роль как в общей теории КГ, так и в ее приложениях. Представление набора генераторов этих алгебр в виде квантовых матриц приводит к весьма глубоким следствиям, помимо чисто технических преимуществ, которые дает Д-матричная техника. Как выяснилось, свойства полученных таким образом квантовых матриц схожи со свойствами обычных числовых матриц. В частности, для них оказалось возможным определить понятия детерминанта [73]-[75] и следа [61, 87] (для С{К) алгебры), которые играют существенную роль в теории представлений данных алгебр [76], в приложениях КМОЗ [77] - [81] и при переходе от квантовых групп к подгруппам (см. [61]). Например, в алгебрах типа Т{К) переход от функций на квантовой группе СЬЧ{Ы) к функциям на вЬ^И) осуществляется с помощью соотношения 6.е1дТ=1 [61] (см. раздел 1.4). В данной ситуации возникает естественный вопрос: нельзя ли продолжить эту аналогию с классическими матрицами? В частности, определить понятие спектра квантовых матриц и построить квантовые аналоги характеристического тождества (теорема Кэ-ли-Гамильтона) и соотношений Ньютона между степенными суммами и базисными симметрическими полиномами. Решение этих задач составляет содержание настоящей диссертации. Основные результаты заключаются в следующем:

• Для алгебр Т(В) и С{В) определены наборы взаимно коммутирующих элементов {ег(А:)}, имеющих смысл базисных симметричных полиномов, и найдена система соотношений, связывающих с известными ранее аналогами степенных сумм. Упомянутая система является обобщением на квантовый случай известных соотношений Ньютона.

• Для генераторов алгебры С(К) установлено полиномиальное характеристическое тождество, обобщающее теорему Кэли-Гамиль-тона классической теории матриц на случай квантовых алгебр. Это позволяет, в частности, ввести понятие спектра квантовой матрицы как множества элементов соответствующей алгебры, являющихся корнями характеристического полинома.

• Расклассифицированы алгебры допустимые с точки зрения существования в них линейного базиса Пуанкаре-Биркгофа-Вит-та1 и ковариантные относительно кодействия квантовой группы. Такие алгебры геометрически интерпретируются как алгебры инвариантных векторных полей на квантовых группах и, следовательно, задача их классификации является составной частью общей проблемы построения квантовогрупповой (некоммутативной) дифференциальной геометрии [7, 10, 8, 9], [11] - [19].

Эти результаты опубликованы в работах [83, 91, 92, 89, 101] и докладывались на международных конференциях в Алуште (1993 и 1996), Дубне (1995), Шладминге (Австрия, 1995) и Праге (1996), а также на

1Из этого следует, что рассматриваемые квантовые алгебры являются плоскими деформациями соответствующих классических алгебр. семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна) и ОТФ ИФВЭ.

Структура диссертации следующая. Раздел II содержит вспомогательные технические формулы работ [82] и [83], собранные в одном месте для удобства ссылок и облегчения восприятия основного текста. В Разделах III — V приводится подробное изложение представляемых к защите результатов. Заключение содержит краткое резюме изложенного ранее, а также некоторые приложения. В технический раздел Приложение А вынесено описание применяемых в диссертации матричных обозначений. Оставшаяся часть Введения посвящена более подробному изложению затронутых выше вопросов. В ней дается общий исторический обзор предмета исследования и формулируются основные определения и результаты, важные для дальнейшего.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сапонов, Павел Алексеевич

Заключение

В заключение перечислим еще раз основные результаты диссертации и приведем примеры возможных приложений.

В диссертации рассмотрены два типа квантовых матричных алгебр, связанных с некоторыми четными симметриями Гекке конечного ранга р\ алгебра £(R), порожденная уравнением отражений, и алгебра T(R), имеющая смысл алгебры функций на квантовой группе. Заметим, что в общем случае симметрия Гекке не принадлежит множеству Л-матриц серии An 1 1.19 и соответствующая алгебра T(R) дает пример квантовой группы не являющейся плоской деформацией какой-либо простой группы Ли [82]. Как уже упоминалось во Введении, алгебры C(R) и T(R) имеют фундаментальное значение в теории квантовых групп и ее приложениях.

В главе III рассмотрены два набора операторов <jq(i) и sq(i), каждый из которых вместе с единичным элементом генерируют центр алгебры C(R). Между этими наборами установлены связи в виде обобщенных соотношений Ньютона, позволяющие выразить генераторы crq в виде функций от sq и наоборот. Для матрицы \ \Щ \ генераторов алгебры C(R) установлено полиномиальное характеристическое тождество степени р = rank Д, являющееся аналогом теоремы Кэли - Гамильтона. Это тождество позволяет определить понятие спектра квантовой матрицы L и получить выражение произвольной функции от L в виде полинома степени не превышающей р — 1. В частном случае SLq(N)

-матрицы можно выписать явное компактное выражение для Ь 1.

Глава IV посвящена решению аналогичной задачи для алгебр.

В ней определяются операторы которые образуют второй коммутирующий набор генераторов в дополнение к известному ранее набору [93]. Между этими наборами операторов также устанавливаются связи в виде обобщенных соотношений Ньютона.

В заключительной главе V проведена классификация возможных типов квадратичных ковариантных алгебр, претендующих на роль алгебры инвариантных векторных полей на квантовой группе и изучена возможность перехода к случаю 5Хд(./У) путем зануления квантового следа матрицы векторных полей. Проведенное рассмотрение позволяет сделать вывод о невозможности такой редукции, что указывает на нелокальный характер генераторов квантовых векторных полей.

Приведем примеры возможного использования полученных результатов.

Объединим С{К) и Т{В) алгебры в так называемый Гейзенбергов дубль, добавив правило коммутации генераторов Т и Ь где конкретное значение параметра 7 > 0 несущественно для дальнейшего. Гейзенбергов дубль имеет естественную интерпретацию деформированной алгебры функций на кокасательном расслоении соответствующей группы (7. Такое кокасательное расслоение есть фазовое пространство некоторой механической системы, обобщающей волчок с закрепленной точкой, который соответствует группе = БО(3) [102]. Функции на фазовом пространстве есть наблюдаемые механической системы, поэтому Гейзенбергов дубль есть деформация (квантование) алгебры наблюдаемых обобщенного волчка. На нем оказывается возможным ввести некоторые автоморфизмы, которые интерпретируются как дискретная эволюция деформированной системы. С помощью характеристического тождества С(Я) алгебры можно доказать, что эти автоморфизмы являются внутренними и построить соответствующий оператор эволюции.

Другой пример относится к области дифференциального исчисления на квантовых группах [17]. Рассматривается задача построения кого-мологий комплекса инвариантных форм на квантовой группе СЬЧ (]\Г). Показывается, что д-аналогами образующих классической когомологической алгебры являются величины С{ = Тгд02г~1, 1 < г < -/V, удовлетворяющие коммутационным соотношениям классической внешней алгебры сгс3 + с3сг = о.

Здесь генераторы О в определении С; — образующие антисимметричной ковариантной алгебры, играющие роль инвариантных один форм на СЬЧ(Ы). Для полноты доказательства, необходимо установить, что число образующих С\ ровно К, а не больше. Можно доказать, что величины С{ являются коциклами, то есть справедливы тождества

Тгч021 = ¿Сг = 0 при 1 < г < N . С.1

Оказывается, что элемент О2 удовлетворяет перестановочным соотношениям С(Н) алгебры и, следовательно, для него справедливо характеристическое тождество (3.16). Учитывая равенства (С.1), приходим к желаемому результату

О™ = 0 , С.2 из которого сразу следует, что все величины С{ при г > N тождественно равны нулю. Заметим, что N х N матрица один-форм О содержит Ы2 матричных элементов, поэтому равенство (С.2) при N > 2 является нетривиальным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сапонов, Павел Алексеевич, 1996 год

1. В.Г. Дринфельд, "Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера", ДАН СССР, том 282 (1985) с. 1060 1064.

2. V.G. Drinfel'd, "Quantum groups", Proceedings of the international Congress of Mathematicians, ed. A.M. Gleason. Berkeley; California: Acad. Press, 1986. Vol. 1, p. 798 820.

3. В.Г. Дринфельд, "О почти кокоммутативных алгебрах Хопфа", Алгебра и Анализ, том 1, по. 2 (1989) с. 30 -46.

4. M. Jimbo, "A q-analog of U{gl(N +1)) Hecke algebra and the Yang-Baxter equation", Lett. Math. Phys. Vol. 11 (1986) p. 247 252.

5. M. Jimbo, "Quantum Д-matrix for the generalized Toda system", Commun. Math. Phys. Vol. 102 (1986) p. 537 548.

6. S.L. Woronowicz, "Compact matrix pseudogroups", Comm. Math. Phys., Vol. Ill, no. 4 (1987) p. 613 665.

7. S.L. Woronowicz, "Differential calculus on compact matrix pseudogroups ( quantum groups)", Comm. Math. Phys., Vol. 122 (1989) p. 125 170.

8. Yu. I. Manin, "Quantum Groups and noncommutative geometry", Montreal Univ. preprint CRM-1561 (1988).

9. Yu. I. Manin, "Notes on quantum groups and quantum de Rham complexes", Теор. мат. физ., том 92, no. 3 (1992) с. 425 450.

10. J. Wess, В. Zumino, "Covariant differential calculus on the quantum hyperplane", Nucl. Phys. B, Vol. 18 (Proc. Suppl.) (1990) p. 301.

11. G. Maltsiniotis, "Calcul différentiel sur le qroupes linéaires quntiques", Preprint ENS (1990).

12. G. Maltsiniotis, "Le langage des espaces et des groupes quantiques", Comm. Math. Phys., Vol. 151 (1993) p. 275 302.

13. B. Jurco, "Differential calculus on quantized simple Lie groups", Lett. Math. Phys., Vol. 22 (1991) p. 177 186.

14. P. Schupp, P. Watts, B. Zumino, Lett. Math. Phys., Vol. 25 (1992) p. 139 147.

15. P. Schupp, P. Watts, B. Zumino, "Bicovariant quantum algebras and quantum Lie algebras", Comm. Math. Phys., Vol. 157 (1993) p. 305.

16. B. Zumino, "Introduction to the differential geometry of quantum groups", in Proc. of X-th IAMP Conf., Leipzig 1991, Springer Verlag 1992, p.20.

17. L.D. Faddeev, P.N. Pyatov, "The differential calculus on quantum linear groups", hep-th/9402070,1994, to be published in F.A. Berezin memorial volume.

18. A.P. Isaev, P.N. Pyatov, Journ. Phys. A: Math. Gen., Vol. 28 (1995) p. 2227 2246.

19. A.P. Isaev, P.N. Pyatov, "GL5(N)-covariant quantum algebras and covariant differential calculus". Phys. Lett. A, Vol. 179 (1993) p. 81 -90.

20. A.P. Isaev and P.N. Pyatov, "Covariant Differential Complexes on Quantum Linear Groups", JINR preprint E2-93-416, HEP-TH/9311112.

21. C.N. Yang, "Some exact results for the many body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction", Phys. Rev. Lett. Vol. 19 (1967) p. 1312 1314.

22. R.J. Baxter, "Partition function of the eight-vertex lattice model", Ann. Phys. 70 (1972) p. 193 228.

23. R.J. Baxter, "Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice", Phil. Trans. Royal Soc. London, Vol. 289 (1978) p. 315 -346.

24. R.J. Baxter, "Exactly solved models in statistical mechanics", Academic Press, 1982.

25. L. Onsager, "A two dimensional model with an order-disorder transition", Phys. Reports, Vol. 65 (1944), p. 177 149.

26. M. Karowski, H.J. Thun, T.T. Truong, P. Weisz, "On the uniqueness of a purely elastic S-matrix in 1+1 dimensions", Phys. Lett., Vol. B671977) p. 321 322.

27. M. Karowski, P. Weisz, "Exact form factors in 1+1 dimensional field theoretical models with soliton behaviour", Nucl. Phys., Vol. B1391978), p. 455 476.

28. M. Karowski, "Exact S-matrices and form factors in 1+1 dimensional field theoretical models with soliton behaviour", Phys. Reports, Vol. 49 (1979) p. 229 — 237.

29. A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov, "Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models", Annals of Phys., Vol. 120 (1979) p. 253 291.

30. A.B. Zamolodchikov, "Exact two particle S-matrix of quantum sine-Gordon solutions", Comm. Math. Phys., Vol. 55 (1977) p. 183 186.

31. A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov, "Relativistic factorized S-matrix in two dimensions having O(N) isotopic symmetry", Nucl. Phys., Vol. B133 (1978) p. 525 535.

32. A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov, "Exact S-matrix of Gross-Neveu "elementary" fermions", Phys. Lett., Vol. B72 (1978) p.481 483.

33. И.В. Чередник, " Факторизуюгциеся частицы на полупрямой и системы корней", Теор. мат. физ., том 61, no. 1 (1984) с. 35 44.

34. Е.К. Sklyanin, Journal Phys. A: Math. Gen., Vol. 21 (1988) p. 2375.

35. P.P. Kulish, E.K. Sklyanin, Journal Phys. A: Math. Gen., Vol. 24 (1991) p. L435.

36. L. Mezincescu, R.I. Nepomechie, Journal Phys. A: Math. Gen., Vol. 24 (1991) p. L17.

37. L. Mezincescu, R.I. Nepomechie, Intern. Journ. Mod. Phys. A, Vol.6 (1991) p. 5231.

38. L. Mezincescu, R.I. Nepomechie, Intern. Journ. Mod. Phys. A, Vol.7 (1992) p. 5657.

39. I.V. Cherednik, Int. Journ. Mod. Phys. A: Math. Gen., Vol. 7, Suppl. IB (1992) p. 707.

40. S. Ghosal, A.B. Zamolodchikov, Int. Journ. Mod. Phys. A: Math. Gen., Vol. 9 (1994) p. 3841 .

41. A. Fring, R. Köberle, Nucl. Phys. Vol. B421 (1994) p. 1592.

42. R. Sasaki, "Reflection bootstrap equations for Toda field theory", Preprint YITP/U-93-33, 1993.

43. H.A. Bethe, "Zur Theorie der Metalle: I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette", Z. Phys., Bd. 71 (1931), S. 205 226.

44. M. Gaudin, "Un système à une dimension de fermions en interaction", Phys. Lett. A, Vol. 24 (1967) p. 55 56.

45. M. Gaudin, "Thermodynamics of the Heisenberg-Ising ring for A > 1", Phys. Rev. Lett., Vol. 26 (1971) p. 1301 1304.

46. E. Lieb, "Exact solution of the problem of the entropy of two-dimensional ice", Phys. Rev. Lett., Vol. 18 (1967) p. 692 694.

47. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, "Method for solving the Korteweg de Vries equation", Phys. Rev. Lett., Vol. 19 (1967) p. 1095 - 1097.

48. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, Изв. АН СССР (сер. мат.), том 15 (1951) с.309.

49. К. Шадан, П. Сабатье, "Обратные задачи в квантовой теории рассеяния", Москва, "Мир", 1980.

50. J. Kay, Н.Е. Moses, "The determination of the scattering potential from the spectral measure function, III", Nuovo Cimento, Vol. 3, no. 2 (1956) p. 277 304.

51. B.E. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, "Теория солитонов: метод обратной задачи", Москва, Наука, 1980.

52. Р. Раджараман, "Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля", Москва, "Мир", 1985.

53. G.B. Withem, Proc. Roy. Soc., Vol. A283 (1965) p. 238.

54. P.D. Lax, "Integrals of nonlinear equations and solitary waves", Comm. Pure Appl. Math., Vol. 21, no. 2 (1968) p. 467 490.

55. C. Gardner, Journ. Math. Phys., Vol. 12 (1971) p. 1548.

56. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newell, H. Segur, "Method for solving the sine-Gordon equation", Phys. Rev. Lett., Vol. 30 (1973) p. 1262 1264.

57. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newell, H. Segur, "Nonlinear evolution equations of physical significance", Phys. Rev. Lett., Vol. 31 (1973) p. 125 127.

58. B.E. Захаров, "Кинетическое уравнение для солитонов", Журнал эксп. и теор. физики, том 60, по. 3 (1971) с. 993 1000.

59. В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев, "Уравнение Кортевега де Фриза — полностью интегрируемая гамильтонова система", Функц. анализ и приложения, том 5, вып. 4 (1971) с. 18 - 27.

60. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат, Журнал эксп. и теор. физики, том 61, no. 1 (1971) с. 118 134.

61. Н.Ю. Решетихин, JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, "Квантование групп и алгебр Ли", Алгебра и Анализ, том 1, вып. 1 (1989) с. 178 — 206.

62. Е.К. Склянин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, "Квантовый метод обратной задачи. I", Теор. мат. физ., том 40, по. 2 (1979) с. 194 -220.

63. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, "Квантовый метод обратной задачи и XYZ-модель Гейзенберга", Успехи мат. наук, том 34, по. 5 (1979) с. 13 63.

64. Е.К. Склянин, "Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния", Зап. науч. семинаров ЛОМИ, том 95 (1980) с. 55 128.

65. P.P. Kulish, Е.К. Sklyanin, "Quantum spectral transform method. Recent developments", Lect. Notes. Phys., Vol. 151 (1984) p. 61 -119.

66. L.D. Faddeev, "Integrable models in 1+1 dimensional quantum field theory", Les Houches Lectures 1982. Amsterdam: Elsevier, 1984.

67. H.M. Боголюбов, А.Г. Изергин, В.Е. Корепин, "Кореляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи", Москва, "Наука", 1992.

68. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, "Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка", ДАН СССР, том 88, по. 4 (1953) с. 593 596.

69. И.М. Гельфанд, "О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка", УМН, том XI, no. 1 (1956) с. 191 198.

70. B.C. Буслаев, JI.Д. Фаддеев, "О формулах следов для сингулярного дифференциального оператора Штурма Лиувилля", ДАН СССР, том 132, no. 1 (1960) с. 13 - 16.

71. Е.К. Sklyanin, "Quantum inverse scattering method. Selected topics.", in "Quantum group and quantum integrable systems", ed. Mo-Lin Ge, World Scientific, 1992.

72. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, "Гамильтонов подход в теории солитонов", Москва, "Наука", 1986.

73. А.Г. Изергин, В.Е. Корепин, "Решеточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шредингера", ДАН СССР, том 259, по. 1 (1981) с. 76 79/

74. A.G. Izergin, V.E. Korepin, Lett. Math. Phys., Vol. 5 (1981) p. 199.

75. В.Е. Корепин, "Анализ билинейного соотношения шестивершин-ной модели", ДАН СССР, том 265, по. 6 (1982) с. 1361 1364.

76. P.P. Kulish, N.Yu. Reshetikhin, Е.К. Sklyanin, "Yang-Baxter Equation and representation theory. I." Lett. Math. Phys., Vol. 5 (1981) p. 393 403.

77. Ф.А, Смирнов, "Уравнение Гельфанда-Левитана для квантового нелинейного уравнения Шредингера с притяжением", ДАН СССР, том 262, no. 1 (1982) с. 78 83.

78. P.P. Kulish, "Classical and quantum inverse problem method and generalized Bethe anzatz", Physica, Vol. 3D, no. 1-2 (1981) p. 246 -257.

79. Е.К. Склянин, "О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера", Функц. анализ и его прил., том 16, по. 4 (1982) с. 27 34.

80. Е.К. Склянин, "О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Представления квадратичнойалгебры", Функц. анализ и его прил., том 17, по. 4 (1982) с. 34 -48.

81. В.Г. Дринфельд, "О постоянных квазиклассических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера", ДАН СССР, том 273, по. 3 (1983) с. 531 535.

82. Д.И. Гуревич, "Алгебраические аспекты квантового уравнения Янга-Бакстера", Алгебра и Анализ, том 2, вып. 4 (1990) с. 119 -149.

83. D.I. Gurevich, P.N. Pyatov, P.A. Saponov, "Hecke symmetries and characteristic relations on reflection equation algebras", Preprint JINR E6-96-202.

84. P.P. Kulish, E.K. Sklyanin, Journ. Phys. A: Math. Gen., Vol. 25 (1992) p. 5663.

85. H. Ewen, O. Ogievetsky, J. Wess, "Quantum matrices in two dimensions", Lett. Math. Phys., Vol. 22 (1991) p. 297 305.

86. M. Nazarov, V. Tarasov, Publ. RIMS, Vol. 30 (1994) p. 459.

87. Н.Ю. Решетихин, "Квазитреугольные алгебры Хопфа и инварианты связок", Алгебра и Анализ, том 1, вып. 2 (1989) с. 169 -189.

88. Н. Wenzl, "Hecke algebras of type An and subfactors", Inventiones Mathematicae, Vol. 92 (1988) p. 349 383.

89. P.N. Pyatov, P.A. Saponov, "Newton relations for quantum algebras of RTT-type", Preprint IHEP 96-76.

90. H. Ewen, O. Ogievetsky, "Classification of the GL( 3) matrix quantum groups", Preprint LMU-TPW 94/23, MPI-PhT/94-93.

91. P.N. Pyatov, P.A. Saponov, "Characteristic relations for quantum matrices", Journ. Phys. A: Math. Gen. Vol. 28 (1995) p. 4415-4421.

92. J.M. Maillet, "Lax equations and quantum groups", Phys. Lett. В, Vol. 245 (1990) p. 480-486.

93. A. Sudbery, Phys. Lett. B, Vol. 284 (1992) p. 61.

94. A. Schirrmacher, in "Groups and related topics", Proceedings, eds. R. Gielerak, J. Lukierski, Z. Popowicz, Wroclaw 1991, Kluwer Acad. Publ., p. 55.

95. I.Ya. Aref'eva, G.E. Arutyunov, P.B. Medvedev, Journ. Math. Phys., Vol. 35 (1994) p. 6658.

96. G. Lustig, "Quantum deformations of certain simple modules over enveloping algebra", Adv. in Math., Vol. 70 (1988) p. 237.

97. M. Rosso, "Representations irréductibles de dimension finie du q-analogue de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie simple", C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. 1, Vol. 305 (1987) p. 587 590.

98. H. Weyl, "Theory of groups and quantum mechanics", Dover Publ., Inc., 1931.

99. Yu. I. Manin, Comm. Math. Phys., Vol. 122 (1989) p. 163.

100. P.N. Pyatov, P.A. Saponov, "Notes on the differential calculi on quantum linear groups", Теор. мат. физ., том 100, no. 1, (1994) с. 148 152.

101. А.Ю. Алексеев, Л.Д. Фаддеев, "Инволюция и динамика в системе q-деформированный волчок", в сб. "Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций.24", Зап. науч. семинаров ПОМИ, том 200 (1992) с. 3 16.

102. Ф.Р. Гантмахер, "Теория матриц", Москва, "Наука", 1988, 4-е изд.

103. А.Г. Курош, "Курс высшей алгебры", Москва, "Наука", 1971, 10-е изд.