Корреляционные функции интегрируемых моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Китанин, Николай Александрович

• Китанин, Николай Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Китанин, Николай Александрович

Содержание

Введение

1 ХУ Модель

1.1 Диагонализация гамильтониана'

1.2 Когерентные состояния

1.3 Простейший коррелятор для ХУ цепочки

1.4 Одновременные корреляторы локальных спинов

1.5 Термодинамический предел

2 Фазовая Модель

2.1 Модель д-бозонов

2.2 Алгебраический анзатц Бете

2.3 Решение фазовой модели

2.4 Скалярные произведения

2.5 Вероятность образования пустоты

2.6 Производящая функция

2.7 Формфакторы

2.8 Разновременные корреляционные функции

2.9 Термодинамический предел

3 ХХг Модель

3.1 Неоднородная XXZ модель

3.2 Факторизующий твист

3.3 Статсумма шестивершинной модели

3.4 Скалярные произведения

3.5 Квантовая обратная задача

3.6 Формфакторы

3.7 Режим А > 1

3.8 Новое представление для формфакторов

3.9 Термодинамический предел

3.10 Поправки конечного объема

3.11 Формула Бакстера

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корреляционные функции интегрируемых моделей»

Введение

С 1931 года, когда Г. Бете точно решил [21] модель магнетика Гей-зенберга [36] методом, который впоследствии стал называться анзатцем Бете, квантовые интегрируемые (или точнорешаемые) модели в 1+1 измерениях вызывают непрекращающийся интерес как математиков так и физиков. Исследование этих моделей привело к появлению ряда совершенно новых областей математики, например теории квантовых групп. Для физиков эти модели в первую очередь важны тем, что дают возможность точно вычислить ряд физических величин и, следовательно, позволяют сравнить приближенные методы, используемые в квантовой теории поля и статистической физике, с точными результатами. В связи с этим одной из основных проблем современной теории интегрируемых систем является точное вычисление корреляционных функций и формфакторов для таких моделей.

Впервые проблема точного вычисления корреляционных функций для интегрируемых моделей в 1+1 измерениях была поднята Либом, Шульцем и Маттисом в 1961 году [61] для случая ХУ модели спина 1/2. Либ и соавторы в частности показали, что ХУ модель в некотором смысле эквивалентна модели свободных фермионов и вычислили одновременные корреляционные функции в термодинамическом пределе, используя теорему Вика. Этот метод был развит и обобщен на случай ХУ модели в постоянном внешнем магнитном поле Мак Коем с

соавторами [64,65]. В частности им удалось вычислить двухточечные корреляционные функции, зависящие от времени, при нулевой температуре. При этом выражения для наиболее общих корреляторов, зависящих как от температуры, так и от времени в рамках этого подхода так и не были получены. В то же время серьезным недостатком этого метода остается тот факт, что он применим только для случая свободных фермионов и не допускает обобщения на другие интегрируемые модели.

В настоящий момент существуют два основных подхода к исследованию корреляционных функций и формфакторов интегрируемых моделей.

Один из них основан на непосредственном исследование моделей в пределе бесконечного объема.

С одной стороны, этот метод возник из исследования аналитических свойств и уравнений для формфакторов интегрируемых моделей квантовой теории поля в бесконечном объеме [66]. Например, этот метод был применен Ф. Смирновым для вычисления формфакторов в квантовополевой релятивистской модели синус-Гордона. Было показано, что формфакторы удовлетворяют уравнениям, тесно связанным с д-деформированными уравнениями Книжника- Замолодчикова [34,48,66].

С другой стороны, исследование угловой трансфер-матрицы, введенной Бакстером [19, 20] для решения ряда интегрируемых моделей статистической механики, дало возможность применить этот метод к корреляторам XXZ цепочки спина | в режиме А > 1. В частности, используя гипотезу о представление гамильтониана модели как центрального элемента соответствующей квантовой аффинной алгебры (¿/5(5/2)) в пределе бесконечного объема, пространство состояний мо-

дели можно построить в терминах модулей старшего веса ¿^(5/2) [48]. Этот подход был предложен М. Джимбо, Т. Мивой и их соавторами. Формфакторы и корреляционные функции описываются с использованием ^-деформированных вершинных операторов, что в результате позволяет получить представления для двухточечных корреляторов и для их асимптотик на малых расстояниях [48].

Следует отметить, что применение этого метода к корреляторам, зависящим от температуры и времени, или для спиновых цепочек во внешнем магнитном поле наталкивается на ряд принципиальных трудностей.

Другой метод вычисления корреляционных функций, предложенный А.Г. Изергиным и В.Е. Корепиным [54], основан на использовании квантового метода обратной задачи (алгебраического анзатца Бете) [11, 33, 54]. В первую очередь в рамках этого подхода была доказана гипотеза Годена о норме бетевских состояний [52]. Базовым элементом для вычисления формфакторов и корреляционных функций оказалась статсумма шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки. Явная формула для этой статсуммы [2] позволила представлять корреляционные функции и формфакторы интегрируемых моделей в конечном объеме в виде черезвычайно громоздких сумм. Для приведения таких сумм к более удобному виду в общем случае были введены дуальные (или вспомогательные) квантовые поля [53]. Таким образом корреляторы были представлены как среднее значение по дуальному вакууму определителей матриц, зависящих от дуальных полей [32, 46, 47, 54]. В частности, таким образом были вычислены двухточечные корреляционные функции, зависящие от времени и температуры, в модели одномерного Бозе газа (квантовая модель

НШ) [51].

Однако в окончательных формулах, получаемых в рамках данного подхода, не удается избавиться от дуальных полей, и явные выражения получены только для асимптотик корреляционных функций при больших временах и расстояниях [44].

Следует отметить, что в ряде частных случаев формулы для корреляторов можно записать без дуальных полей. Это было сделано для модели непроницаемых бозонов (одномерного Бозе газа в пределе бесконечной константы связи) [38,39, 55,58, 59] и ХХО модели Гейзенберга [28-30]. Корреляторы для этих моделей были получены в виде определителей конечных матриц для случая конечного объема и в виде детерминантов Фредгольма интегральных операторов очень специального типа (так называемых интегрируемых интегральных операторов) в пределе бесконечного объема. Подобные представления, как выяснилось, позволяют доказать, что корреляционные функции квантовых интегрируемых моделей являются решениями классических интегрируемых уравнений [3,4, 40,49], что позволяет считать для них асимптотические разложения [43]. Следует добавить, что хотя обе упомянутые модели допускают переформулировку в терминах свободных фермио-нов, квантовый метод обратной задачи позволяет вычислять значительно более широкий класс корреляционных функций, чем подход Либа и Мак Коя.

Возникает вопрос о необходимости дуальных полей для вычисления корреляционных функций в рамках квантового метода обратной задачи. В частности,

1. можно ли построить детерминантные представления без дуальных полей для корреляторов наиболее общей интегрируемой модели, допускающей переформулировку в терминах свободных

фермионов, а именно модели ХУ,

2. возможны ли подобные представления вне точек свободных фермионов, т.е. существуют ли другие ситуации, когда можно избавиться от дуальных полей,

3. наконец, возможен ли подход без дуальных полей к корреляторам и формфакторам в общем случае, например для моделей XXZ и XXX.

Именно эти вопросы рассмотрены в настоящей диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе рассмотрена ХУ модель. Ввиду того, что решение этой модели методом алгебраического анзатца Бете имеет ряд сложностей, характерных для моделей с эллиптической Я-матрицей, мы воспользовались фермионной формулировкой модели. Получив сравнительно простое разложение для фермионного вакуума ХУ модели по собственным состояниям изотропной ХХО модели, мы воспользовались для вычисления одновременных температурных корреляторов интегрированием по грассмановым переменным и соответствующим когерентным состояниям. Использование когерентных состояний автоматически приводит к ответам в виде определителей матриц (или интегральных операторов в термодинамическом пределе) нужного вида, которые являются обобщением результатов для изотропного случая, отличаясь от них только заменой "фермиевского" (или "бозевского") веса в матричных элементах (или в ядрах интегральных операторов) на вес, зависящий также от параметра анизотропии.

Во второй главе рассмотрена другая решеточная интегрируемая система - так называемая фазовая модель. Будучи интересна сама по себе, эта модель также важна как предельный случай модели д-бозонов

(д —оо), которая с одной стороны является квантованием классической модели Абловитца-Ладика, а с другой стороны - интересным решеточным аналогом квантовой модели НШ. В пределе д —>• оо уравнения Бете становятся линейными и могут быть решены точно. Однако фазовая модель не допускает переформулировки в терминах свободных фермионов. Таким образом мы имеем дело в некотором смысле с промежуточной ситуацией между точками свободных фермионов и общим случаем. При вычислении формфакторов фазовой модели возникает необходимость введения дуальных полей, но, благодаря дополнительным тождествам, их удается исключить из окончательных представлений для формфакторов и корреляционных функций. Окончательные формулы для двухточечных корреляционных функций, зависящих от времени и температуры, несмотря на некоторую громоздкость, имеют сходную структуру со случаем свободных фермионов, т.к. основным их элементом остаются фредгольмовы детерминанты интегрируемых интегральных операторов.

В третьей главе рассмотрены модели XXX и XXZ спина Для вычисления формфакторов мы воспользовались факторизующим твистом, который дает возможность избежать ряда комбинаторных трудностей, обычно возникающих при вычислениях в рамках алгебраического анзатца Бете. Используя твист, молено получить сравнительно простые формулы для операторов элементов матрицы монодромии (обобщенных операторов рождения и уничтожения) и вычислить скалярные произведения собственных состояний модели с произвольными состояниями, построенными с помощью этих операторов. Также получены представления для локальных операторов спина | через элементы матрицы монодромии. В результате получены детерминантные представления для формфакторов ХХ2 и XXX моделей не содержащие

дуальных полей. Мы показываем, что, используя эти представления, можно доказать формулу Бакстера для спонтанной намагниченности XXZ цепочки в режиме А > 1 при нулевой температуре.

При вычислении формфакторов одним из основных объектов остается статсумма шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки, поэтому мы подробно останавливаемся на этом объекте и доказываем, что он является решением классических интегрируемых уравнений: уравнения Тоды в однородном случае и уравнения Хироты в неоднородном.

Автор признателен А.Г. Изергину и Ж.М. Майе, под руководством которых выполнялась работа. Автор благодарен за сотрудничество H.A. Славнову, Н.М. Боголюбову, B.C. Капитонову, В. Террас, Е. Ка-рьялайнену, а также всем сотрудникам лабораторий математических методов физики и статистической физики ПОМИ и группы теоретической физики лаборатории физики ENS-Lyon (Лион, Франция) за помощь и дискуссии.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 95-01-00476а и 98-01-00313). ИНТАС (грант ИНТАС-РФФИ 95-0414) и МИД Франции (проект МАЕ-96/9804).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Китанин, Николай Александрович

Заключение

В настоящей диссертации рассмотрены три решеточные интегрируемые модели: ХУ модель магнетика Гейзенберга, фазовая модель и ХХ.2 модель Гейзенберга (и ее частный случай - полностью изотропная XXX цепочка). Все эти модели рассмотрены как на конечной решетке, так и в термодинамическом пределе. В работе получены следующие результаты:

1. Для ХУ модели получены представления:

- для производящей функции корреляторов третьих компонент спинов на конечной цепочке (1.3.11), (1.3.12) и в термодинамическом пределе (1.5.1)- (1.5.4);

- для одновременных корреляторов спинов на конечной цепочке (1.4.4)- (1.4.9) и в термодинамическом пределе (1.5.6)-(1.5.10).

2. Для фазовой модели вычислены:

- вероятность образования пустоты как на конечной решетке для произвольного собственного состояния (2.5.6), так и в термодинамическом пределе (2.9.1), (2.9.2);

- формфакторы на конечной решетке (2.7.11)- (2.7.15);

- разновременные корреляторы на конечной решетке для произвольного собственного состояния (2.8.3), (2.8.14) - (2.8.20), (2.8.25) - (2.8.27) и в термодинамическом пределе (2.9.9), (2.9.10) - (2.9.20).

3. Для модели ХХг получены:

- классические интегрируемые уравнения для статсуммы соответствующей шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки в однородном (предложение 3.3.1) и в неоднородном (предложение 3.3.2) случаях;

- новый вариант формулы для скалярных произведений двух состояний, построенных при помощи операторов - элементов матрицы монодромии. одно из которых бетевское (теорема 3.4.5);

- формулы для локальных спиновых операторов в терминах элементов матрицы монодромии (теорема 3.5.1);

- различные представления для формфакторов на конечной цепочке (предложения 3.6.1, 3.6.2 и формула (3.8.8));

- доказательство формулы Бакстера для спонтанной намагниченности в режиме Л > 1 (3.11.9) и доказательство отсутствия степенных поправок конечного объема к формуле Бакстера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Китанин, Николай Александрович, 1998 год

Литература

[1] H.B. Борисов, M.B. Иоффе, М.И. Эйдес, Вторичное квантование полевых систем на грассмановой алгебре. Теор. и мат. физика 29 (1976), 251.

[2] А.Г. Изергин, Статсумма гаестивершинной модели в конечном объеме. ДАН СССР 297 (1987) 331.

[3] А.Г. Изергин, А.Р. Итс, В.Е. Корепин, H.A. Славнов, Интегрируемые дифференциальные уравнения для температурных корреляционных функций ХХО цепочки Гейзенберга. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 205 (1993), 6.

[4] А.Г. Изергин, А.Р. Итс, В.Е. Корепин, H.A. Славнов, Матричная задача Римана - Гильберта и дифференциальные уравнения для корреляционных функций ХХО цепочки Гейзенберга. Алгебра и Анализ 6 (1994), 138.

[5] А.Г. Изергин, B.C. Капитонов. H.A. Китанин Одновременные температурные корреляторы одномерной XY цепочки Гейзенберга. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 245 (1997) 173.

[6] А.Г. Изергин, Е. Карьялайпен. H.A. Китанин, Интегрируемые уравнения для статсуммы гаестивершинной модели. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 245 (1997) 207.

[Т] А.Г. Изергин, H.A. Китанип. H.A. Славнов, О корреляционных функциях XY модели. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 224 (1995), 178.

[8] B.C. Капитонов и К.Н. Ильинский Функциональное представление для корреляторов спиновых цепочек. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 224 (1995), 192.

[9] H.A. Китанин, Формфакторы модели q-бозонов в пределе кристаллизации. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 245 (1997) 231.

[10] П.П. Кулиш, Концентрация квантовых алгебр и q - осциляторы Теор. и мат. Физика 86 (1991) 157.

[11] Е.К. Склянин, JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи. I. Теор. и мат. физика 40 (1979) 194.

[12] H.A. Славнов, Вычисление скалярных произведений и форм-факторов в рамках алгебраического анзатца Бете. Теор. и мат. физика 79 (1989) 502.

[13] H.A. Славнов, Об одном тождестве для дуальных полей. Зап. Научн. Семин. ПОМИ 245 (1997) 270.

[14] Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга. Успехи мат. наук, т. 34, вып. 5 (209) (1979), 13.

[15] M.J. Ablowitz and J.F. Ladik. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis. J. Math. Phys. 17 (1976) 1011.

[16] H. Au-Yang and J.H.H. Perk Critical correlations in a Z - invariant inhomogenous Ising model. Pliysica 144A (1987) 44.

[17] R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press, London - New York, 1982.

[18] R.J. Baxter, Spontaneous staggered polarization of the F-model. J. Stat. Phys. 9, (1973) 145.

[19] R.J. Baxter, Corner transfer matrices of the eight vertex model. I. J. Stat. Phys. 15 (1976) 485.

[20] R.J. Baxter, Corner transfer matrices of the eight vertex model. II. J. Stat. Phys. 17 (1977) 1.

[21] H. Bethe, Zur Theorie der Metalle I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette. Zeitschrift für Physik 71 (1931) 205.

[22] N.M. Bogoliubov, R.K. Bullough and G.D. Pang, Exact solution of the q-boson hopping model. Phys. Rev. B 47 (1993) 11495.

[23] N.M. Bogoliubov and R.K. Bullough, A q-deformed completely integrable bose-gas model. Journ. Phys. A 25 (1992) 4057.

[24] R.K. Bullough, N.M. Bogoliubov, G.D. Pang and J. Timonen, Quantum integrable q-deformed lattice models, in "Chaos, Solitons and Fractals", ed. M. Lakshmanan , 5 (1995) 2639.

[25] N.M. Bogoliubov, R.K. Bullough and J. Timonen, Critical behaviour for correlated strongly coupled boson systems in 1+1 dimensions. Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 3933.

[26] N.M. Bogoliubov, A.G. Izergin and N.A. Kitanine, Correlators of the phase model. Phys. Lett. A 231 (1997) 347.

[27] N.M. Bogoliubov, A.G. Izergin and N.A. Kitanine, Correlation functions of a strongly correlated boson system. Nucl. Phys В 516 (1998) 501.

[28] F. Colomo, A.G. Izergin, V.E. Korepin and V. Tognetti, Correlators in the Heisenberg XXO chain as Fredholm determinants. Phys. Lett. A 169 (1992), 237.

[29] F. Colomo, A.G. Izergin, V.E. Korepin and V. Tognetti, Temperature correlation functions in the XXO Heisenberg chain. Теор. и мат. физика 94 (1993), 19.

[30] F. Colomo, A.G. Izergin, and V. Tognetti, Correlation functions in the XXO Heisenberg chain and their relations with Frenkel exciton spectra. J. Phys. A 30 (1997), 361.

[31] V.G. Drinfel'd, Quantum groups. Proceedings of the the International Congress of Mathematicians, Berkeley, USA, AMS, (1987) 798.

[32] F.H.L. Essler, H. Frahm, A.G. Izergin, and V.E. Korepin, Determinant representation for correlation functions of spin 1/2 XXX and XXZ Heisenberg magnets. Commun. Math. Phys. 174 (1995), 191.

[33] L.D. Faddeev, Les Houches 1982, Recent advances in field theory and statistical mechanics, edited by J.B. Zuber and R. Stora, Elsevier Science Publ., (1984) 561.

[34] I.B. Frenkel and N.Y. Reshetikhin, Quantum affine algebras and holonomic difference equations. Commun. Math. Phys. 146 (1992) 1.

[35] M. Gaudin, La fonction d'onde de Bethe. Masson, Paris 1983.

[36] W. Heisenberg, Zur Theorie der Ferromagnetismus. Zeitschrift für Physik, 49 (1928) 619.

[37] K.N. Ilinskii, and G.V. Kalinin, Cyclic XY model and exotic statistics in one dimension. Phys. Rev. E 54 (1996), R 1017.

[38] A.R. Its, A.G. Izergin, and V.E. Korepin, Correlation radius for one-dimensional impenetrable bosons. Phys. Lett. A 141 (1989), 121.

[39] A.R. Its, A.G. Izergin, and V.E. Korepin,Space correlations on the one-dimensional impenetrable Bose gas at finite temperature. Phys. D 53 (1991), 181.

[40] A.R. Its, A.G. Izergin, V.E. Korepin, and N.A. Slavnov, Differential equations for quantum correlation functions. Int. J. Phys. B4 (1990), 1003.

[41] A.R. Its, A.G. Izergin, V.E. Korepin, and N.A. Slavnov, Temperature correlations of quantum spins. Phys. Rev. Lett. 70 (1993), 1704.

[42] A.R. Its, A.G. Izergin, V.E. Korepin, and N.A. Slavnov, The quantum correlation function as the tau-function of classical differential equations. Springer Ser. Nonlinear Dyn., Springer, Berlin, (1993), 407.

[43] A.R. Its, A.G. Izergin, V.E. Korepin, and G.G. Varguzin Large time and distance asymptotics of field correlation functions of impenetrable bosons at finite temperature. Phys. D 54 (1992), 351.

[44] A.R. Its and N.A. Slavnov, On the Riemann-Hilbert approach to the asymptotic analysis of the correlation functions of the Quantum Nonlinear Schrodinger equation. Non-free fermionic case, preprint MI-98-76, math-ph/9811009.

[45] A.G. Izergin, N.A. Kitanine, J.M. Maillet and V. Terras, Spontaneous magnetisation of the XXZ Heisenberg spin-1/2 chain, to appear

[46] A.G. Izergin and V.E. Korepin, The quantum inverse scattering method approach to correlation functions. Commun. Math. Phys. 94 (1984) 67.

[47] A.G. Izergin and V.E. Korepin, Correlation functions for the Heisenberg XXZ - antiferromagnet. Commun. Math. Phys. 99 (1985) 271.

[48] M. Jimbo and T. Miwa, Algebraic analysis of solvable lattice models. AMS, 1995.

[49] A. Jimbo, T. Miwa, Y. Mori, and M. Sato, Density matrix of an impenetrable Bose gas and the fifth Painlevé transcendent. Phys. Dl (1980), 80.

[50] N.A. Kitanine, J.M. Maillet and V. Terras, Form factors of the XXZ Heisenberg spin-1/2 finite chain, preprint LPENSL-TH-04/98, math-ph/9807020 (1998).

[51] T. Ivojima. V.E. Korepin, and N.A. Slavnov, Determinant representation for dynamical correlation functions of the Quantum nonlinear Schrodinger equation. Preprint hep-th/9611216, 26 Nov. 1996.

[52] V.E. Korepin, Calculation of norms of Bethe wave functions. Commun. Math. Phys. 86 (1982) 391.

[53] V.E. Korepin, Dual field formulation of quantum integrable models. Commun. Math. Phys. 113 (1987), 177-190.

[54] V.E. Korepin, A.G. Izergin. and N.M. Bogoliubov Quantum inverse scattering method and correlation functions. Cambridge Monographs Math. Phys., Cambridge Univ. Press, Cambridge (1993).

[55] V.E. Korepin and N.A. Slavnov The time-dependent correlation functions of an impenetrable Bose gas as a Fredholm minor. Commun. Math Phys. 129 (1990), 103.

[56] P.P. Kulish and E.V. Damaskinsky, on the q-oscillators and the quantum algebra SU?(1,1). J. Phys. A 23 (1990) 415.

[57] P.P. Kulish, Quantum difference nonlinear Schrddinger equation. Lett. Math. Phys. 5 (1981) 191.

[58] A. Lenard, Momentum distribution in the ground state of the one-dimensional sist.em of impenetrable bosons. L. Math. Phys. 5 (1964), 930.

[59] A. Lenard, One-dimensional impenetrable bosons thermal equilibrium. J. Math. Phys. 7 (1966), 1268.

[60] E.H. Lieb and W. Liniger, Exact analysis of an interacting Bose-gas. I. The general solution and the ground state. Phys. Rev. 130 (1963) 1605.

[61] E. Lieb, T. Schultz, and D. Mattis Two soluble models of an antiferromagnetic chain. Ann. Phys. 16 (1961), 407.

[62] J.M. Maillet and J. Sanchez de Santos, Drinfeld twists and algebraic Bethe ansatz. preprint ENSLAPP-L-601/96 (1996), q-alg/9612012.

[63] B.M. Mc Coy, Spin correlation functions of the XY model. Phys. Rev. 173 (1968), 531.

[64] B.M. Mc Coy, E. Barouch, and D.B. Abraham, Statistical mechanics of the XY model. Time-dependent spin correlation functions. Phys. Rev. A 4 (1971), 2331.

[65] B.M. Mc Coy, J.H.H. Perk, and R.E. Schröck, Correlation functions of the transverse Ising chain at the critical field for large temporaland spatial separations. Nucl. Phys. B 220 [FS 8] (1983), 269.

[66] F.A. Smirnov, Form factors in completely integrable models of quantum field theory. World Scientific, Singapore, 1992.

[67] C.N. Yang and C.P. Yang, One-dimensional chain of anisotropic spin interactions. 1,11. Phys. Rev. 150 (1966) 321; 327.