Вполне интегрируемые дискретные системы в трех измерениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Сергеев, Сергей Михайлович

• Сергеев, Сергей Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сергеев, Сергей Михайлович

1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ

1.1 Основная алгебраическая система: общая формулировка

1.2 Локальные матричные системы.

1.2.1 Локальное уравнение Янга - Бакстера.

1.2.2 Векторная модель.

2 ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ 2 + 1 КВАНТОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ

2.1 Алгебраическая система.

2.2 Фиксация калибровки и квантование.

2.3 Ко-токовая формулировка основной системы.

2.4 Феномен подобия.

2.5 Комментарии.

3 СТРУКТУРА К И РЕДУКЦИЯ К КОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ СОСТОЯНИЙ

3.1 Реализация Р.

3.1.1 5 - дилогарифмическая функция . . . !.

3.1.2 Обобщенная перестановочная функция.

3.1.3 Фзгндаментальная Р - матрица.

3.2 Иерархия Р - матриц.

3.3 Инварианты Р.

3.4 Вершинная матрица модели Замолодчикова - Бажа-нова - Бакстера.

3.4.1 Определение вершинной Р*-'л'' матрицы модели ЗББ

3.4.2 Геометрическая параметризация матрицы Р(л)

3.5 Редукция к конечному числу состояний.

3.5.1 Функциональное отображение РУ4"*.

3.5.2 Универсальный вид

КЛАССИЧЕСАЯ ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА

4.1 Общее определение эволюционирующей системы на решетке кагоме.

4.2 Классическая эволюционная модель.

4.2.1 Еще раз об отображении Я/.

4.2.2 Оператор эволюции.

4.2.3 Линейная система на торе.

4.2.4 Эволюция линейной системы.

4.2.5 Интегрируемость.

4.3 Точное решение в конечном объеме.

4.3.1 Вспомогательная линейная задача и спектральная кривая.

4.3.2 Параметризация динамических переменньгх

4.3.3 Минимальный размер решетки.

4.4 Лагранжевы уравнения движения и солитоны.

4.4.1 г-функция.

4.4.2 Солитоны.

4.4.3 Симметрии солитонных уравнений.

КВАНТОВАЯ ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА

5.1 Эволюция и линейная система на решетке кагоме.

5.1.1 Эволюция и динамическая система.

5.1.2 Линейная система.

5.2 Свойства квантовых матриц с коммутативными столбцами

5.2.1 Матрицы класса Ь С а и их свойства.

5.2.2 Матрица коэффициентов конечной линейной системы

5.3 Интегрируемость квантовой эволюции.

5.3.1 Инвариантность I.

5.3.2 Комбинаторное представление квантового детерминанта.

5.3.3 Алгебра коэффициентов и функциональное уравнение

5.4 Конечный оператор эволюции.

5.5 Примеры моделестроения.

5.5.1 Двумерный пример: Эволюция на полосе.

5.5.2 Однородная модель Замолодчикова - Бажанова

Бакстера.

6 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИИ ПРЕДЕЛ

6.1 Формулировка квазиклассической модели.

6.2 Дискретная эволюция в квазиклассических моделях

6.3 Модель свободных бозонов.

6.4 Комментарии: функциональные Р - операторы.

7 СЛОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

7.1 Конструкция следа.

7.2 Алгебраическое доказательство уравнения Янга - Бакстера

7.2.1 Определения и примеры.

7.2.2 Проекционный дубль для Ап11.

7.2.3 Случайп = 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вполне интегрируемые дискретные системы в трех измерениях»

В отличие от царства двумерных точно решаемых моделей, как классических так и квантовых, как непрерывных так и дискретных, где многообразие моделей с трудом поддается исчислению, в трех пространственных измерениях количество моделей может посчитать пальцами одной руки любой персонаж любого мультфильма. А именно, их всего три. В классике это - нелинейное дифференциальное уравнение Кадомцева - Пе-твиашвили [1] или же связанное с ним билинейное дискретное уравнение Хироты - Мивы [2, 3, 4] (конечно же, различные непрерывные пределы позволяют получить из уравнения Хироты различные уравнения в частных производньЕх, уравнение же Кадомцева - Петвиашвили мы выделили по причине историчности), в статистической физике это модель Замолод-чикова- Бажанова - Бакстера [6, 7, 8, 9]; [10, И]; [12, 13]; [14, 15, 16, 17], а в квантовой теории поля - это аффинная теория поля Тоды, где возникает квантовое уравнение Хироты [91]. (В этом перечислении мы умышленно не упомянули известные трехмерные модели Корепанова [45], поскольку сюжеты, изложенные в данной диссертации, родственно близки этим моделям, и местами они переплетаются и дополняют друг друга).

Что же касается вполне интегрируемых моделей в более чем трех измерениях, то и вовсе всего две модели могут быть упомянуты: самодуальное уравнение Янга - Миллса, и столь же вырожденная Стат-механическая (или квантовополевая) модель[18, 19, 20], связанная с вершинным оператором, решающим уравнение 4-симплексов [21], и упоминаемая более подробно в данной работе в третьей главе.

В данной работе мы будем исследовать различные аспекты трехмерной интегрируемости.

До сих пор нет ответа на главный возникающий при исследовании трехмерных моделей вопрос: такая скудность трех (и более) - мерных моделей есть принципиальное свойство многомерньгх теорий, или же есть следствие какого-то патологического недопонимания сущности вопроса. возможно, на уровне формулировки моделей. В пользу принципиальной зкудности многомерных теорий говорит, например, конечность физических групп симметрии, появляющихся в многомерных теориях, против, скажем, бесконечномерности группы конформных преобразований в дву-мерье. Другим логически обоснованным соображением о бесперспективности исследования многомерных теорий является то, что любую многомерную теорию можно рассматривать как двумернзш, наделенную достаточно сложной внутренней, изотопической, структурой, так что ранг изотопической группы интерпретируется как скрытая размерность, и таким образом все трех и более мерные модели могут быть получены как двумерные с достаточно большой группой симметрии, причем этих групп симметрии должна быть бесконечная серия.

Первое возражение фактически уже преодолено: дискретные более чем двумерные модели есть. Как уравнение Хироты - Мивы, так и модель За-молодчикова - Бажанова - Бакстера, являются полностью трехмерными моделями, все три пространственных измерения в этих моделях входят равноправно (по крайней мере группа куба присутствует въявь). О втором возражении можно пока лишь сказать то, что редукция трехмерньгх моделей в двумерные существует только в случае определений локальности трехмерных моделей. Если же многомерные модели изначально определены как в некотором смысле нелокальные (по крайней мере, не ультралокальные) , то процедура редукции количества измерений не определена. Эти вопросы мы позже затронем более подробно.

Итак, эта работа посвящена трехмерным моделям. Во главе используемого подхода мы поставим не условие интегрируемости, (например, Зфавнение тетраэдров), а то, из чего оно следует, то есть представление нулевой кривизны. Сама идея представления нулевой кривизны для трех-мерньгх точно решаемьЕх моделей в виде локального уравнения Янга -Бакстера была предложена еще в конце восьмидесятых Нийхофом и Майе 22, 23, 24]. Мы же здесь будем использовать более общую схему для определения представления нулевой кривизны, допускающую реализацию не только как локальное уравнение Янга - Бакстера, но и в других видах. Незыблемым останется только графическое представление (локального) уравнения Янга - Бакстера в виде эквивалентности двух по-разному нарисованных треугольников. Понятие эквивалентности мы будем наполнять различными смыслами, определяя эквивалентность алгебраических жстем так, чтобы условия ассоциативности (например, уравнение тера-щров) выполнялись бы автоматически.

Главные герои нашего повествования - новая, по сравнению с мето-юм локального зфавнения Янга - Бакстера, формулировка эквивалентности, линейная алгебраическая система, и следующее из нее отображение, сплетающее Янг - Бакстеровские треугольники. Замечательнейшее свойство линейной алгебраической системы - это то, что ассоциированные с ней динамические переменные квантуются, так что сплетающее отображение сохраняет локальную алгебру Вейля. Возникновение вездесущей алгебры Вейля при исследовании трехмерных систем мистично, принимая во внимание значительнейший прогресс эволюционных моделей над алгебрами Вейля в двумерье, имеющий место в последние несколько лет (см. например основные работы [25, 26, 27, 28]). Главным же достижением мы считаем получение производящего фзгнкционала для интегралов движения с одной стороны и получение функционального уравнения на их спектры с другой. Этот функционал имеет существенно многомерную природу, он не есть след матрицы монодромии, он представляется в виде детерминанта операторно-значной матрицы коэффициентов линейной алгебраической системы, и его существование есть следствие линейности вспомогательной задачи. Линейная вспомогательная задача в дискретном квантовом многомерье, возможно, сыграет такую же роль, как и старинная, времен Гарднера, Крускала и Миуры, вспомогательная линейная задача для классических интегрируемых уравнений. Кроме того, линейная вспомогательная задача имеет смысл как в классическом, т.н. функциональном пределе, так и в квантовом, в том числе и в случае конечного числа состояний. То же самое относится и к производящему функционалу для интегралов движения, он хорошо определен во всех трех ипостасях. Во всех случаях замечательнейшей особенностью производящего функционала является то, что система производимых им интегралов движения полна (и даже переполнена, поскольку в ней въявь присутствует конво-лютивная пара, соответствующая движению центра инерции, и ее квантовые аналоги). В классическом пределе производящий функционал для интегралов движения задает спектральную кривую специального вида, но общего положения, так что вспомогательные линейные переменные являются функцией Бейкера-Ахиезера от точки на этой кривой. Лагран-жевыми переменными классической дискретной модели является тройка г-функций, удовлетворяющих системе трехкомпонентных уравнений третьей степени, вырожденным частным случаем которой является обычное билинейное уравнение Хироты. Лагранжевы уравнения движения имеют замечательные солитонные решения, а общее же их решение параметризуется тэта функциями на якобиане спектральной кривой.

В классическом и квантовом случае общего положения хорошо определены эволюционные модели. Однако в случае конечного числа состояний можно получить модель статистической механики, несколько обобщающую модель Замолодчикова - Бажанова - Бакстера. Обобщение заключается в том, что в возникающей у нас модели можно задать нетривиальную эволюцию параметров конечных верпшнных трехмерных Р-матриц, эквивалентную эволюции классической модели. Конечность же числа состояний позволяет хорошо определять след трехмерной "матрицы мо-нодромии", т.е. вводить обычные трехмерные трансфер-матрицы типа слой-слой. При этом для любого конечного объекта, будь то оператор эволюции или же трансфер-матрица типа слой-слой для произвольной трехмерной решетки, производящий функционал для конечных интегралов движения построим, он определяет переполненный (см. вьппе) набор интегралов движения, и для спектра этих интегралов движения существует универсальное функциональное уравнение.

Данная рукопись представляет собой не столько перечисление достижений диссертанта, сколько опыт последовательного, систематического изложения вопросов, связанных с классическими и квантовыми интегрируемыми системами, вложенными с геометрической точки зрения в трехмерное Евклидово пространство.

Схематический план данной работы таков:

• В первой главе мы дадим общее изложение представления нулевой кривизны для дискретных систем: модели трехмерньгх эволюции в дискретном пространстве - времени исходно получаются как эволюция переменных, ассоциированньгх с двумерными графами, при движении геометрических составляющих этих графов. В определенном смысле плоские графы интерпретируются как сечения трехмерной решетки параллельными плоскостями. С произвольным плоским графом, образованным непараллельными прямыми, ассоциируется (основная) алгебраическая система, при этом при параллельном сдвиге некоторых прямых измененная алгебраическая система эквивалентна исходной, так что:

- Алгебраическая эквивалентность дврс графов, образованньсс тремя линиями, задает сплетающее отображение одной тройки верпшн в другую (эквивалентность Янг - Бакстеровских графов), и

- Алгебраическая эквивалентность двух графов, образованньпс четырьмя линиями, сводится к условию эквивалентности результатов применения четырех последовательных сплетающих отображений в различных порядках - уравнению тетраэдров в функциональном смысле. Уравнение тетраэдров и есть соотношение, интерпретируемое как условие нулевой кривизны, и оно удовлетворяется автоматически при разумном выборе основной алгебраической системы.

Далее приводятся стандартные, достаточно известные, примеры основных алгебраических систем: локальное уравнение Янга - Бак-стера и векторное уравнение (основное уравнение векторных моделей, исследованных И. Г. Корепановым), и их связь. Приведена классификация сплетающих отображений, ассоциированных с функциональным векторным уравнением [29, 30], а также гипотетический метод квантования векторного уравнения [24 .

• В следующей главе формулируется линейная (токовая) система как новый тип основной алгебраической системы [31]. С точки зрения уравнения тетраэдров, линейная система - это вспомогательная задача, условием нулевой кривизны которой уравнение тетраэдров и является. Коэффициенты линейной задачи мы изначально рассматриваем как образующее некоторого кольца, что совершенно естественно для однородных линейных уравнений, а сплетающее (неоднозначное) отображение, называемое фундаментальным отображением, выписывается в терминах рациональных функций над кольцом динамических переменньгх. Далее мы фактически тривиали-зуем условие нулевой кривизны, фиксируя калибровку и алгебра-изуя кольцо образующих. После фиксирования калибровки и алге-браизации, сплетающее фундаментальное отображение оказывается каноническим (т.е. сохраняющим локальную алгебру Вейля), и таким образом допускающим реализацию в виде операторно значной функции р. Кроме того, исследуются дрзггие аспекты линейной задачи, в частности формулируется эквивалентная линейная задача в терминах ко-токов (которые в классическом пределе и есть функция Бейкера-Ахиезера), и показывается, как то же самое отображение может возникнуть при сплетении функциональных операторов, осу-ществляюпщх бирациональные преобразования, в духе локального уравнения Янга - Бакстера. Кроме того, описывается небезынтересный феномен подобия: при некоторых дополнительных условиях линейная система для открытого графа, образованного двумя наборами параллельных линий может быть редуцированна к линейной системе для одинокой вершины.

Далее мы реализуем алгебраизованное фундаментальное отображение Р в терминах базисных рациональньЕх отображений и вьшисы-ваем Р в терминах ц - дилогарифмической функции [20, 19, 32, 18 . Наличие спектральных параметров в Р позволяет, рассматривая различные предельные случаи, получить иерархию трехмерных Р матриц - решений уравнения тетраэдров. Поскольку алгебра Вейля допускает конечные представления при специальньгх: значениях параметра д как корня из единицы, то существует возможность редукции фзщдаментальной Р матрицы к конечному числу состояний. В этом случае спектральные параметры операторно значной Р связываются с параметрами представлений Вейлевских алгебр, и эта связь естественно параметризуется углами сферического треугольника, так что четверка конечных матриц К в уравнении тетраэдра параметризуются углами геометрического тетраэдра, вложенного в трехмерное Евклидово пространство. Конечно же, при подходящем выборе базиса, матричные элементы конечной К образуют Л-матрицу для модели Замолодчикова - Бажанова - Бакстера. Однако в точке общего положения по параметрам при редукции Р к д-А = 1 помимо конечномерной части возникает еще и нетривиальная функциональная часть, задающая дополнительное отображение в пространстве параметров. Если не стараться сразу тривиализовать эту фзгнкци-ональную часть так, чтобы получить модель Замолодчикова - Ба-жанова - Бакстера, то в последствии она приведет к целому классу концептуально иньгх вершинных моделей статистической механики с конечным числом состояний (шахматным моделям).

• в следующей главе формулируется классическая эволюция динамических переменных на решетке кагоме [33, 37, 37]. Формулировка в терминах решетки кагоме совершенно естественно в трех измерениях, поскольку именно решетка кагоме возникает при сечении кубической решетки плоскостями, наклоненными под углами arceos(1Л/3) ко всем образующим кубической решетки. Линейная же система на замкнутой решетке кагоме, когда на динамические переменные накладываются тороидальные граничные условия, есть однородная система линейных зфавнений. Эволюция определяется как применение сплетающих отображений ко всем Янг - Бакстеров-ским треугольникам решетки кагоме одновременно, "плюс" некоторая геометрически инспирированная перенумерация вершин. Эволюция является гамильтоновой, поскольку сохраняет локальную сим-плектическую форму. Сам же вид эволюционного отображения суть гамильтоновы уравнения движения в разрешенном виде. Матрица коэффициентов линейной задачи при эволюции претерпевает линейное преобразование, так что проэволюционировавшая матрица коэффициентов линейно эквивалентна исходной. Из эквивалентности числовых матриц легко извлечь равенство их детерминантов, что говорит о том, что определитель матрицы коэффициентов линейной задачи есть инвариант эволюции. Линейность вспомогательной задачи позволяет ввести для линейных переменных пару нетривиальных С-числовьгх монодромий, от которьгх зависит определитель матрицы коэффициентов, который таким образом превращается с одной стороны в производящюу функцию для интегралов движения классической эволюционной модели, а с другой стороны задает кривую высокого рода, являющуюся спектральной кривой эволюционной модели. Вспомогательные же линейные переменные (функция Бейкера-Ахиезера для классической модели) являются мероморф-ными фзпазсциями на спектральной кривой и порождают полную параметризацию системы динамических переменных в терминах тета-функций на якобиане спектральной кривой. Этим, в частности, доказывается полнота системы интегралов движения. Далее в этой главе приводятся лагранжевы уравнения движения. Лагранжевыми переменными является триплет г-функций, удовлетворяющий системе трилинейньгх соотношений. Естественно, эти уравнения имеют солитонные решения, которые приведены для однородной кубической решетки. Уравнение Хироты для синглетной г-функции получается из трилинейных соотношений весьма сильным вырождением по параметрам. В отличие от зфавнения Хироты, симметрии которого тривиальны, система трилинейных солитонньгх уравнений в силу большего числа параметров является нетривиальным представлением группы симметрии куба.

• Далее мы перейдем к случаю квантовой эволюции [34, 35, 38]. Мы покажем, что подходящим образом определенный детерминант матрицы коэффициентов является производящим функционалом для квантовых интегралов движения. Каждое слагаемое в квантовом детерминанте имеет графическое представление в виде пути по решетке кагоме, и интегралы движения имеют топологическую структуру: каждому интегралу соответствует множество путей с определенным гомотопическим классом. Далее мы сформулируем два случая конечного числа состояний для д-Л = 1. Нетривиальный аспект перехода к конечному числу состояний состоит в том, что в точке общего положения по параметрам представления алгебры Вейля оператор эволюции не сохраняет эти параметры, так что пространством состояний квантовой модели является конечномерное (парафермион-ное) расслоение над базой пространства параметров. Действие квантового оператора эволюции на параметрах эквивалентно действию классического эволюционного отображения, а потому из результатов предыдущей главы динамику параметров можно разрепгить въявь. Вьщеление конечномерной части из оператора эволюции соответствует специальному выбору параметров представления локальной Вейлевской алгебры, и таких выборов два: или аттрактор солитон-ного предела, что порождает модель Замолодчикова - Бажанова -Бакстера в вершинной формулировке, или дополнительную периодичность общего решения на кривой высокого рода, что порождает общую шахматную модель. В любом случае квантовый определитель производит полный набор квантовьгх интегралов движения, и для него мы получим универсальное фзгнкциональное уравнение (справедливое для вспомогательных двумерных решеток любого вида и любой степени неоднородности). Детально мы рассмотрим несколько примеров. Первым - эволюцию т М х М решетки кагоме, а одной её полосы, М X 1. При этом эволюция полосы, управляемая простейшей матрицей из иерархического списка, совпадает с эволюцией, задаваемой квантовым уравнением Лиувилля на дуальной решетке и в лабораторной системе координат, и определитель - производящий функционал - для интегралов движения может быть полностью вычислен комбинаторикой. При вычислении интегралов движения для уравнения Лиувилля весьма забавным образом может быть введена терминология классического Бете-анзаца: одно, двух и более частичные состояния, сокращение нежелательных членов и т.д. Далее мы рассмотрим структуру производящего функционала и функциональное уравнение на квадратной вспомогательной решетке, т.е. принципиально решим задачу о нахождении собственньгх состояний для трансфер матрицы типа слой-слой для однородной модели Замолод-чикова - Бажанова - Бакстера.

В обычных квантовомеханических моделях квазиклассической аппроксимацией называется исследование поведения различных величин при разложении по постоянной Планка как по малому параметру вплоть до первого порядка малости, линейного по % члена. Именно в этом смысле мы и трактуем понятие квазиклассического предела: и и и и и т-\ вьщеление из нелинейной эволюции касательной линейной части. В терминах уцомянутого в предьщзгщем пункте расслоения это соответствует касательному расслоению, а на базу мы снова наложим условие аттрактора в тригонометрическом пределе. После общего

II II определения квазиклассических моделей мы до конца проводим квазиклассический подход для фундаментальной Р матрицы и вычисляем статсумму бозонной модели Замолодчикова - Бажанова -Бакстера простым трехмерным интегрированием [39 .

В заключительной главе мы рассматриваем двумерные Р матрицы, получаемые при редукции (слоении) трехмерньгх Р матриц [40]. Термин "слоение" означает обратную трансмутацию, размерности в ранг. В качестве трехмерной матрицы мы снова берем простейшую из иерархического списка, не имеющую спектральных параметров. Тем не менее, при слоении в два измерения в двумерньгх Р матрицах возникают спектральные параметры, и получаюпдиеся в п слоях двумерные матрицы связаны с аффинными л^п-х теориями поля Тоды.

Небезынтересное приложение - получение этих двумерных Р матриц как некоторого ограничения канонических элементов (универсаль-ньгх Р матриц) для Дринфельдова дубля над алгеброй, наделенной проекционной структурой, причем другое ограничение дает обычные универсальные Р матрицы для ид(ллп-1)

В заключении же мы перечислим наиболее актуальные задачи, возникшие в нашем подходе, но еще не исследованые до конца.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Сергеев, Сергей Михайлович

Итак, основные результаты. Первейщим из результатов мы считаем доказательство интегрируемости 24-1 эволюционной модели, основанной на линейной вспомогательной задаче. Интегрируемость доказана весьма конструктивно, посредством вывода производящей функции для интегралов движения. Нам представляется соверщенно замечательным, что производящая функция в трехмерье оказалась отнюдь не привычным следом матрицы монодромии, а детерминантом некоторой операторно-значной (в квантовом случае) матрицы. Конечно же, детерминанты локальных матриц можно представить в виде следов, но в нащей конструкции на решетке кагоме подобное искусственное введение следа будет лишено как изящества, так и смысла. Кроме того, по своей сути детерминантная конструкция производит заведомо полный набор (и даже переполненный) интегралов движения. Именно благодаря полноте производящая функция для интегралов движения удовлетворяет универсальному функциональному уравнению на спектр интегралов при параметре квантовой деформации равным корню из единицы. Другая замечательная особенность подхода - линейность вспомогательной задачи в дискретном квантовом случае. С линейных вспомогательных задач начался прогресс в классических интегрируемых задачах, однако эта линейность в квантовых дискретных двумерных системах была спрятана за основное соотношение квантового метода обратной задачи, Л1,2Л1-Л2 -¿'2Л1Л1,2- Удивительно, что в трех пространственных измерениях линейность вспомогательной задачи возродилась вновь, тем более в квантовом случае.

Вторым достойным упоминания результатом является классификационная теорема для решений простого функционального уравнения тетраэдров, основной алгебраической системой для которых являются однопа-раметрические матрицы векторных моделей (или, эквивалентно, однопа-раметрические веса локального уравнения Янга - Бакстера для ферро-электриков). Интересно, что за несколько лет, прошедших с момента получения этого классификационного списка, не было получено или придумано других решений простого функционального уравнения тетраэдров, что позволяет гипотетически предположить, что все решения простого функционального уравнения тетраэдров содержатся в списке 4> из первой главы. Дополнительным косвенным аргументом этому является, например, теорема единственности для простого функционального уравнения Пентагона I8

Остальные же результаты, представленные в данной работе, а именно, алгебро-геометричекое решение классической эволюционной модели, решение солитонньгх уравнений, вычисление характеристик свободной бо-зонной эволюции и получение Р-матриц для аффинной теории поля Тоды, не являются принципиальными с точки зрения основного сюжета диссертации.

Обратимся теперь к основному сюжету данного раздела: обзору задач, упомянутых в диссертации как перспективных с точки зрения решаемости. Задачи мы будем перечислять в том порядке, в котором представляется целесообразным их решать. Сперва задачи, касающиеся конечномерных моделей.

• Конечно же, первой же проблемой является решение возникающего у нас функционального уравнения. Несмотря на его крайне простой вид, оно весьма нетривиально. При наивном подходе, когда фиксируется некоторый малый размер решетки, наши функциональные уравнения элементарно решаются алгебраически посредством приведения функционального уравнения к набору спектральных уравнений на каждый из инволютивных интегралов движения. Тем самым сама суть функциональности при наивном исследовании не используется. Так что мы пока не представляем себе, как устроена процедура решения функционального уравнения при ассимптоти-чески больших размерах, т.е. не представляем себе, как использовать наше функциональное уравнение для манипуляций в духе Бете-анзаца [95, 96, 97, 98 .

• Вторая задача, органически связанная с первой, есть получение уравнения, связывающего "вычислимую" трансфер-матрицу т{А, В) с квантовой трансфер-матрицей Т (для вершинной формулировки модели ЗББ). Эта задача является чисто технической, ибо опирается она на концепцию подобия, описанную во второй главе, и некоторые свойства Р- или рл'ллл-матриц, весьма простых, но на которьгх мы в данной диссертации не остановились по причине незавершенности этого сюжета.

• Третьей задачей, принципиально связанной с первыми двумя, есть исследование шахматных моделей. В шахматных моделях по причине их принципиальной неоднородности (минимальный шаг однородности для шахматных моделей, напомню, равен двум) не срабатывает симметрийный Бакстеровский вывод статсуммы, так что для шахматных моделей помимо их формулировки и спектра вспомогательных трансфер-матриц неизвестно ничего. Однако, существует весьма простой полигон, на котором можно испытать трехмерную модель: это, как в шестой главе, вычислить статсумму не для М-парафермионного, а для бозонного расслоения, где статсумма - интеграл известного вида. Предварительные результаты в этой области уже имеются, и они показывают наличие фазового перехода второго рода даже в тригонометрическом пределе Ь — 2 однородной шахматной бозонной модели. Эти результаты, однако, являются предварительными и не достаточно завершенными, чтобы их включать в текст диссертации.

• Четвертой задачей в связи с конечномерными моделями можно назвать случай, когда парафермионное или бозонное расслоение не тривиализуется, т.е. мы не рассматриваем аттрактор. Если параметры модели не постоянны, то модель имеет физический смысл парафермионов или бозонов, взаимодействующих с некоторой классической гравитацией, решение уравнений движения которой заранее известен. Поскольку для типичного слоя репеллер и аттрактор " в нашем случае, как легко увидеть из параметризации иЛр, wЛp, не различимл то конечный оператор эволюции возникнет при Ь н> оо и будет иметь смысл б'-матрицы при гравитационной эволюции от репеллера к аттрактору. При этом вся гравитация будет задаваться числом гравитационных солитонов.

• Последняя из конечномерных задач есть приложение метода вспомогательной линейной задачи и квантового определителя к квантованному пространству Тейхмюллера, т.е. к квантовой гравитации Черна-Саймонса. Технически это - проблема переопределения вспомогательной линейной задачи для треугольной решетки и определение соответствующего квантового определителя на двумерной поверхности рода выше единицы.

Вот перечислены несколько задач для случая конечного числа состояний. Это, конечно, не все мыслимые задачи, а только те, которые приходят в голову на первой минуте размышления и имеющие значительные перспективы разрешения. При идеальном стечении обстоятельств именно решение этих задач должно было бы дополнять фактическое содержание диссертации согласно первоначальному замыслу.

Другой же список задач связан с абстрактными алгебраичекими вопросами, с лагранжевыми уравнениями движения и солитонами, а также с бесконечномерным случаем квантовой эволюции. В этом списке, как и прежде, нашло отражение только то, что сразу вспомнилось.

• Наиболее интересная проблема - это классификация допустимых калибровок фундаментального отображения линейной системы. Особенный интерес представлял бы случай нелокальных (или неультра-локальных) алгебр.

• В частности, в нашем подходе /сллр-параметры. Однако как было замечено во второй главе, функциональное уравнение тетраэдров решается и при нетривиальном отображении к.], например, при отображении типа "преобразование электрической цепи". В лагранжевой форме это отображение соответствует четырехчленному уравнению Мивы. Если бы его научиться квантовать, то при терминологии предыдущего списка мы получили бы квантовую гравитацию.

• Другая загадочная часть этого вопроса - интерпретация связей, т.е. идеалов алгебраических отображений, на которых выполняется уравнение тетраэдров. Мы этого не упомянули в соответствующем разделе второй главы, но д д' преобразование, по форме совпадающее с преобразованием инверсии солитонной кривой, возникло у нас из попытки рассмотрения вспомогательной линейной задачи в л = 4. В этом содержится намек на два следующих пункта.

При описании лагранжевых уравнений движения, при получении отображения д д', при получении иерархичекого списка К-матриц, хотя мы все время имели дело со случаем трех измерений, где-то за спиной все время маячило П = 4. Имеются ввиду гипотетические инстантоны, упомянутое в предыдущем пункте рассмотрение и и / о о линейной задачи в В = 4 ж иерархический список репгений уравнения 4-симплексов. Что бы это значило ?

Другое, насчет связей в функциональном уловии ассоциативности (уравнии тетраэдров в О = 3, например). Понимание смысла таких связей весьма помогло бы при поднятии от В = 3 в В > 3. Дело в том, что любая попытка написать функциональное отображение для 4-симплексов упирается в то, что с необходимостью дополнительная связь возникает уже для самого исходного гипотетического отображения Ро,1,2,з : зсд, алх, асз, Хд Хо,х'г,Х2,х'А. Такого сорта отображений, но с некоторой дополнительной связью д{хо, жх, Ж2, хА) = д(х'(А, х[, Х2, ж*з) = О, известно немало. И что с ними делать ?

Теперь пара пунктов, относящихся к солитонным уравнениям. Примитивнейший вопрос, не требующий комментариев: непрерывный предел, уравнение типа КП, иерархия. Связанный с этим вопрос -куда подевались кривые общего положения, с Злл — 3 параметрами ?

Не совсем тривиальный вопрос. Преобразование Беклунда для наших солитонных уравнений осуществляется вершинным оператором, аргумент которого есть точка на специальном подмногообразии проективной двумерной сферы. Это многообразие вещественной размерности 4 (еще один случай, когда за спиной маячит четырех-мерье). Поскольку этот вершинный оператор не взят с потолка, а взят из конкретного солитонного уравнения, и за ним скрывается некоторая иерерхия, то естественно задаться вопросом о квантовой мембране, описываемой этим вершинным оператором.

Следующая интересная математическая проблема - разрешение векторного уравнения в рамках локальной алгебры х, (1.65,1.66). Как было упомянуто, наложение алгебры х эффективно понижает количество неизвестных в векторном уравнении, и недоопределенность векторного уравнения, по всей видимости, будет соответствовать не более чем одной функции. Этот вопрос требует весьма кропотливого исследования нетривиальной системы функциональных уравнений, и именно по этой причине мы вынесли этот вопрос на обсуждение.

• Еще один небезынтересный аспект связан с бирациональным 1 оператором, эквивалентным линейной задаче. Обратим внимание на то, что векторные модели эквивалентны линейным 1 оператором, и таковых много. Конечно же, тут же возникает вопрос о рациональных функциональньгх 1 операторах, исследовании возможности их сплетения, и возможной классификации, а также о сплетении бирацио-нальных (как минимум) 1 операторов общего положения.

• Ну и, наконец, обратимся к имеющейся эволюционной модели. При д общего положения напомним не рещенный технически вопрос о виде функции сг(5, Н), через которую записывается РЛ. Принципиально же стоит вопрос об обобщении понятия функции сг на всю рещетку и на достаточно большую степень формального оператора эволюции. Другими словами, хотелось бы найти б'-матрицу как функцию интегралов движения.

• И последний вопрос: последовательное и корректное построение теории поля при |д| ~ 1. Там со спектром кое-что не понятно.

Благодарности. Мне хотелось бы выразить исключительную признательность и благодарность Георгию Павловичу Пронько, Юрию Григорьевичу Строганову, Семену Соломоновичу Герштейну, Анатолию Константиновичу Лиходеду, Михаилу Владимировичу Савельеву и Борису Андреевичу Арбузову за их непрестанное внимание и участие в решении различньгх проблем. Возможно, без их помощи на рынках Подмосковья было бы одним торговцем "сникерсами" больше.

Я благодарен Людвигу Дмитриевичу Фаддееву, Петру Петровичу Кулишу, Владимиру Викторовичу Бажанову, Анатолию Георгиевичу Изер-гину, Александру Абрамовичу Белавину, Сергею Михайловичу Хорош-кину, Валерию Николаевичу Толстому, Дмитрию Ростиславовичу Лебедеву, Михаилу Арсеньевичу Семенову-Тянь-Шаньскому, Михаилу Ааро-новичу Ольшанецкому, Федору Александровичу Смирнову, Владимиру

Александровичу Фатееву, Юрию Ивановичу Манину, Никите Андреевичу Славнову, Николаю Юрьевичу Решетихину и прочим за очень ценные обсуждения, дельные советы и научную критику. Особая благодарность всем членам ученого совета Санкт-Петербургского отделения математического института за предоставленную возможность запдиты этой диссертации.

Большое и искреннее спасибо моим соавторам и друзьям Игорю Коре-панову и Ринату Катаеву, в дискуссиях с которыми рождались самые ценные идеи и результаты.

Хотелось бы также поблагодарить Владимира Мангазеева, Германа Бооса, Павла Сапонова, Андрея Лиходеда, Андрея и Татьяну Онищенко, Александра Разумова, Александра Масликова, Валеру Киселева, Валеру Бородулина, Андрея Батунина, Олбгу Бажан, Эльвиру Белогорлову, Ирину Филимонову за дружеское отношение, сотрудничество и внимание.

Я искренне признателен также коллективу и дирекции Филиала Института Ядерной Физики, в частности Владимиру Егоровичу Балакину и Андрею Евгеньевичу Кушниренко, а также Л. Молявиной, М. Чаюковой и Н. Майоровой, за предоставленную возможность заниматься в течение восьми лет под крышей ФИЯФ деятельностью, не имеюпдей отношения к экспериментальному профилю ФИЯФ - математической физикой. Первая половина девяностых была временем неадекватным, и в ту пору это было своего рода Меценатством.

Отдельная и особенная благодарность моим коллегам из Лаборатории Теоретической Физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного Института Ядерной Физики: Владимиру Георгиевичу Кадышевскому, Дмитрию Васильевичу Ширкову, Алексею Норайровичу Сисакяну, Александру Тихоновичу Филипову, Дмитрию Игоревичу Казакову, Виктору Васильевичу Воронову, Вячеславу Ивановичу Журавлеву, Надежде Сергеевне Исаевой, Алексею Петровичу Исаеву, Станиславу Здиславовичу Паку-ляку, Павлу Николаевичу Пятову, Алексею Александровичу Владимирову, Корнелию Васильевичу Шокикиу, Армену Петросовичу Нерсесяну и прочим за непрестанную поддержку, непрекращающийся интерес к работе и помощь в подготовке материалов защиты.

Нельзя не упомянуть также и зарубежных коллег, проявивших интерес к моей работе: Р. Бакстера, Р. Хироту, М. Тоду, Т. Миву, М. Джимбо, д. Сатсуму, Т. Токихиро, Г. фон Гелена, Ж. Перка, Е. Ау-Янг, Ж.-М. Майяра, Ф. Пайхофа, С. Рузенаарса, М. Батчелора, Ч. Бурдика.

Я приношу искренние извинения всем тем, кого запамятовал поблагодарить.

Ну и конечно, огромное спасибо любимой жене Наташе и сыну Илье, маме Евгении Афанасьевне и папе Михаилу Андреевичу за то, что они есть.

Отдельное и искреннее спасибо взявшим на себя домашние заботы теще Людмиле Михайловне и тестю Леониду Михайловичу за предоставленную возможность время от времени заниматься наукой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение данной работы подведем итоги, перечислив главные достижения, и приведем список задач, возникающих в рамках метода, изложенного в диссертации и имеющих перспективы быть рещенными в не очень отдаленное время.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сергеев, Сергей Михайлович, 2001 год

1. Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвили. ДАН СССР, т. 192. вып. 4, с. 753, 1970. , 1900.

2. R. Hirota. "Discrete analogue of a generalized Toda equation". J. Phys. Soc. Jpn., Vol. 50, No. 11, pp. 3185-3791, 1981.

3. T. Miwa. "On Hirota's difference equations". Proc. Japan Acad., 58, Ser. A, pp. 9-12, 1982.

4. T. Miwa E. Date, M. Jimbo. "Method for generating discret soliton equations I V". J. Phys. Soc. Jpn., 51, 4116-4124, 4125-4131, 52, 388-393, 761-765, 766-771, 1982, 1983.

5. E. Date, M. Kashivara, M. Jimbo and T. Miwa, "Transformation Groups for Soliton Equations", Ibid, pp. 39-120.

6. T. Miwa, "On Hirota's difference equations", Proc. Japan Acad., 58, Ser. A (1982) 9-12.

7. A. B. Zamolodchikov. "Tetrahedron equations and the relativistic S matrix of straight strings in 2 -f-1 dimensions". Commun. Math. Phys., 79, 489-505, 1981.

8. R. J. Baxter. "On Zamolodchikov's solution of the tetrahedron equations". Commun. Math. Phys., 88, 185-205, 1983.

9. R. J. Baxter. "Partition function of the three-dimensional Zamolodchikov model". Phys. Rev. Lett, 53, 1795, 1984.

10. R. J. Baxter. "The Yang Baxter equations and the Zamolodchikov model". Physica, 18D, 321-347, 1986.

11. V. V. Bazhanov and R. J. Baxter. "New solvable lattice models in three dimensions". J. Stat. Phys., 69, 453-485, 1992.

12. V. V. Bazhanov and R. J. Baxter. "Star triangle relation for a three-dimensional model". J. Stat. Phys., 71, 839, 1992.

13. I. G. Korepanov. "Tetrahedral Zamolodchikov algebras corresponding to Baxter's L operators". Commun. Math. Phys., 154, 85-97, 1993.

14. J. Hietarinta. "Labelling schemes for tetrahedron equations and dualities between them". J. Phys. A: Math. Gen., 27, 5727-5748, 1994.

15. S. M. Sergeev H. E. Boos, V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "Modified tetrahedron equations and related 3d integrable models". Intnl. J. Mod. Phys., AID, 4041-4064, 1995.

16. S. M. Sergeev V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "New solution of vertex type tetrahedron equation". Mod. Phys. Lett,, AID, 279-287, 1995.

17. S. M. Sergeev V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "The vertex formulation of the Bazhanov Baxter model". J. Stat. Phys., Vol. 82, Nos 1/2, 1996.

18. I. G. Korepanov J.-M. Maillard and S. M. Sergeev. "Classical limit for a 3d lattice spin model". Phys. Lett, A 232, pp. 211-216, 1997.

19. S. M. Sergeev R. M. Kashaev. "On pentagon, ten-term, and tetrahedron relations". Commun. Math. Phys., 195, 309-319, 1998.

20. V. V. Bazhanov S. M. Sergeev and V. V. Mangazeev. "Quantum dilog-arithm and the tetrahedron equation". Preprint IHEP, 95-141, 1995.

21. S. M. Sergeev. "Operator solutions of simplex equations". In Proceedings of the International Conference of the Mathematical Physics, Alushta, Dubna, May 1996.

22. B. B. Бажанов и Ю. Г. Строганов. "Условия перестановочности матриц перехода на многомерных решетках". ЖЭТФ, т. 52, н. 1, 105-113, 1982.

23. J.-M. Maillet and F. W. Nijhoff. "Integrability for multidimensional lattice models". Phys. Lett, B224, pp. 389-396., 1989.

24. J.-M. Maillet. "Integrable systems and gauge theories". Nucl. Phys. (Proc. SuppL), 18B, pp. 212-241., 1990.

25. R. M. Kashaev. "On discrete three dimensional equations associated with the local Yang - Baxter relation". Lett. Math. Phys., 35, 389-397,1996.

26. L.D. Faddeev and R.M. Kashaev. "Quantum dilogarithm". Mod. Phys. Lett, A9, 1994.

27. V.V. Bazhanov and N.Yu. Reshetikhin. "Remarks on the quantum dilogarithm". J. Phys. A: Math. Gen., 28, 1995.

28. L. D. Fadeev and A. Yu. Volkov. "Hirota equation as an example of integrable symplectic map". Lett, Math. Phys, 32, pp. 125 136, also hep-th/9405087, 1995.

29. L. D. Faddeev and A. Yu. Volkov. "Algebraic quantization of integrable models in discrete space time", hep-th/9710039, 1997.

30. S. M. Sergeev. "Solutions of the functional tetrahedron equation connected with the local Yang Baxter equation for the ferro-electric". Lett Math. Phys., Vol.45, No. 2, 1997.

31. I. G. Korepanov R. M. Kashaev and S. M. Sergeev. "Functional tetrahedron equation". TMF, V. 117, N. 3, pp. 370-384, 1998.

32. S. M. Sergeev. "On a two dimensional system associated with the complex of the solutions of the tetrahedron equation.", solv-mt/9709013,1997, appeared in Int. journal of Modern Physics.

33. S. M. Sergeev J.-M. Maillard. "Three dimensional integrable models based on modified tetrahedron equations and quantum dilogarithm.". Phys. Lett, B 405, pp. 55-63, 1997.

34. S. M. Sergeev. "3d symplectic map". Phys. Lett A, V. 253, N. 3-4, pp. 145-150, 1998.

35. S. M. Sergeev. "A three-dimensional integrable quantum mapping". TMF, Vol. 118, No. 3 (1999) 479-487.

36. S. M. Sergeev. "Quantum 2-1-1 evolution model". J. Phys. A: Math. Gen. V. 32, pp. 5639-5714 (1999).36. , S. M. Sergeev. "Solitons in a 3d integrable model". Phys. Lett. A 265 (1999) 364-368.

37. S. M. Sergeev. "On exact solution of a classical 3d integrable model".

38. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 7. (2000) 1-16.

39. S. M. Sergeev. "Auxiliary transfer matrices for three dimensional integrable models", TMF, Vol. 124, No. 3 (2000) 1187-1201.

40. I. G. Korepanov and S. M. Sergeev. "Eigenvector and eigenvalue problem for Sd bosonic model", solv-int/9802014, 1998, appeared in Acta Appl. Math.

41. S. M. Sergeev. "Two dimensional R - matrices - descendants of three dimensional R - matrices.". Mod. Phys. Lett. A, Vol. 12, No. 19, pp. 1393 - 1410., 1997.

42. J. M. Maillet. Nucl. Phys. (Proc. Suppl), B18, 212, 1990.

43. R. M. Kashaev, Yu. G. Stroganov. "Generalized Yang Baxter equation". Mod Phys. Lett. A, V. 8, p. 2299, 1993.

44. V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "Elliptic solution for modified tetrahedron equations". Mod. Phys. Lett,, AS, 3475-3482, 1993.

45. S. M. Sergeev V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "New series of 3d lattice integrable models". Intnl. J. Mod. Phys., A9, 5517-5530, 1994.

46. I. G. Korepanov. "Algebraic integrable dynamical systems, 2 -|- 1 -dimensional models in wholly discrete space time, and inhomogeneous models in 2 - dimensional statistical physics", solv-int/9506003, 1995.

47. F. Nijhoff and H. Capel. "The discrete Korteweg-de-Vries equation". Acta Appl. Math., 39, pp. 133-158, 1995.

48. P. Wiegmann I. Krichever, O. Lipan and A. Zabrodin. "Quantum integrable systems and elliptic solutions of classical discrete nonlinear equations", hep-th/9604080, 1996.

49. A. Yu. Volkov. "Qantum lattice KdV equation". Lett. Math. Phys., 39, pp. 313 329, 1997.

50. R. M. Kashaev. "Quantum dilogarithm as 6j symbol". Mod. Phys. Lett. A, Vol. 9, pp. 3757 - 3768, 1994.

51. R. M. Kashaev. "Heisenberg double and pentagon relation". Preprint ENSLAPP-L-512/95, 1995.

52. R. M. Kashaev. "A link invariant from quantum dilogarithm". Mod. Phys. Lett. A, Vol. 10, No. 19, pp. 1409 1418, 1995.

53. A. Yu. Volkov. "Beyond the 'pentagon identity' ". Lett. Math. Phys., 39, pp. 393 397, 1997.

54. L. D. Faddeev. "Shift operator for nonabelian lattice current algebra". hep-th/9606088, 1996.

55. A. Yu. Volkov. "q-combinatorics and quantum integrability". qalg/9702007, 1997.

56. A. YU. Alekseev, L. D. Faddeev and J. Fröhlich. "Representation theory of lettice current algebras", hep-th/9604017, 1996.

57. L. D. Fadeev. "Discrete Heisenberg Weyl group and modular group". Lett, Math. Phys, 34, pp. 249 - 254, also hep-th/9504111, 1995.

58. Leonard Euler. Sommelband, BerUn, 1959.

59. Dirk J. Struik. 'Ahriss der Geschichte der Mathematik". Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1963.

60. Rinat Kashaev. private communication. Chelyabinsk, 1998.

61. V. A. Fateev and A. B. Zamolodchikov. "Self-dual solutions of the star-triangle relations in Zn model". Phys. Lett., A92, 37, 1982.

62. V. V. Bazhanov and N. Yu. Reshetikhin. "Chiral Potts model and discrete Sine-Gordon model at roots of unity". ?, 1995.

63. G. Gasper and M. Rahman. "Basic Hypergeometric Series". Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

64. I. Prenkel and G. Moore. "Simplex equations and their solutions". Commun. Math. Phys., 138, 259-271, 1991.

65. A. Б. Замоподчиков. ЖЭТФ, 52, 325-336, 1980.

66. A. B. Zamolodchikov. "Factorized S matrix and lattice statistical sysytems". Sou. Sci. Rev., C2, 1-29, 1980.

67. A. Б. Замолодчиков. "Уравнения тетраэдра и интегрируемые системы в трехмерном пространстве". ЖЭТФ, т. 79, стр. 641-664, 1980.

68. R. J. Baxter and P. J. Forrester. "Is the Zamolodchikov model critical?" /. Phys., A18, 1483, 1985.

69. H. Au-Yang, B.M. McCoy, J.H.H. Perk, S. Tang and M. Yan. "Commuting transfer matrices in the chiral Potts models: solutions of star-triangle equations with genus > 1". Phys. Lett., A123, 219-233, 1987.

70. S. Tang B. M. McCoy, J. H. H. Perk and C. H. Sah. "Commuting transfer matrices for the four-state self-dual chiral Potts model with a genus-three uniformizing Fermât curve". Phys. Lett., A125, 9-14, 1987.

71. J.H.H. Perk R.J. Baxter and H. Au-Yang. "New solutions of the star-triangle relations for the chiral Potts models". Phys. Lett., A128, 138142, 1988.

72. V. V. Bazhanov and Yu. G. Stroganov. "Chiral Potts model as a descendant of the six-vertex model". J. Stat. Phys., 59, 799-817, 1990.

73. V. V. Mangazeev V. V. Bazhanov, R. M. Kashaev and Yu. G. Stroganov. generalization of the chiral Potts model". Commun. Math. Phys, 138, 393-408, 1991.

74. V. V. Bazhanov. "Inversion and symmetry relations for a three-dimensional solvable model". Intnl. J. Mod. Phys., B 7, 3501-3515, 1993.

75. V. V. Mangazeev R. M. Kashaev and Yu. G. Stroganov. "Star square and tetrahedron equations in the Baxter - Bazhanov model". Intnl. J. Mod. Phys., A8, 1399-1409, 1993.

76. V. V. Mangazeev R. M. Kashaev and Yu. G. Stroganov. "Spatial symmetry, local integrability and tetrahedron equations in the Bazhanov -Baxter model". Intnl. J. Mod. Phys., AS, 587-601, 1993.

77. S. M. Sergeev V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "The tetrahedron equation and its solution". In Proceedings of the conference SMQFT, Los Angeles, May 16-21, 1994.

78. S. M. Sergeev H. E. Boos, V. V. Mangazeev and Yu. G. Stroganov. "z^ vectors for three-dimensional models". Mod. Phys. Lett. A, Vol. 11, No. 6, pp. 491-498, 1996.

79. I. G. Korepanov. "Some eigenstates for a model associated with solutions of tetrahedron equation LV". solv-int/9701016, 9702004, 9703010, 9704013, 9705005, 1997.

80. I. G. Korepanov. "Particles and strings in a 2-f- 1-d integrable quantum model", solv-int/9712006, submitted to Commun. Math. Phys., 1997.

81. R. J. Baxter. "Exactly Solved Models in Statistical Mechanics". Academic Press, London, 1972.

82. R. J. Baxter. "Exactly solved models". In E. G. D. Cohen, editor. Fundamental Problems in Statistical Mechanics V, pages 435-454, North-Holland, Amsterdam, 1980.

83. V. V. Bazhanov and Yu. G. Stroganov. "Free fermion on a three-dimensional lattice and tetrahedron equation". Nucl. Phys., B23 0, 435-454, 1984.

84. R. J. Baxter. "Pree-fermion, checkerboard and Z-invariant lattice models in statistical mechanics". Proc. Roy. Soc, A404, 1-83, 1986.

85. J. Н. Н. Perk G. Albertini, В. М. McCoy and S. Tang. "Exitation spectrum and order parameter for the integrable Л''-state chiral Potts model". Nud. Phys., B314, 741-763, 1989.

86. K. Miki E. Date, M. Jimbo and T. Miwa. "Generalized chiral Potts models and mimimal cyclic representation of Uq{GL(n, c))". Commun. Math. Phys., 137, 133, 1991.

87. V. O. Tarasov. Intnl. J. Mod. Phys., A7 (Suppl. IB), 936-975, 1992.

88. V. 0. Tarasov. "Cychc monodromy matrices for sl{n) trigonometric R-matrices". RIMS Preprint, 1992.

89. R. M. Kashaev and N. Yu. Reshetikhin. "AfRne Toda field theory as a 3-dimensional integrable system". Commun. Math. Phys., 188, 251-266, 1997.

90. V. Drinfeld. "Quantum groups". In Proceedings of the ICM-86 at Berkley, Vol.1, p.798, 1987.

91. A. A. Stolin S. M. Khoroshikhin and V. N. Tolstoy "Generalized Gauss decomposition of trigonometric matrices". Mod. Phys. Lett. A, Vol. 10, No. 19, pp. 1375 - 1392., 1995.

92. A. N. Kirillov and N. Yu. Reshetikhin. "g Weyl group and a multiplicative formula for universal R - matrices". Commun. Math. Phys., 134, pp. 421 - 431., 1990.

93. L. D. Faddeev. "Current like variables in massive and massless integrable models". Lectures delivered at the International School of Physics "Enrico Fermi", held in Villa Monastero, Varenna, Italy, 1994.

94. L. D. Fadeev. "Algebraic aspects of Bethe ansatz". Int. Journal of Mod. Phys., Vol. 10, N. 13, pp. 1845 - 1878, also hep-tli/9404013,1995.

95. L. D. Faddeev. "How algebraic Bethe ansatz works for integrable model", hep-th/9605187, 1996.

96. L.D. Faddeev and A.Yu. Volkov. Theoret. Math. Phys., 92, 207, 1992.

97. Mumford D., Tata Lectures on Theta I,II. Boston-BaseL Stuttgart, Birkhauser, vol. 1, 1983, vol. 2, 1985.