Интегрируемые уравнения Ландау-Лифшица и теоретико-полевые обобщения систем частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Аталиков Кантемир Русланович

• Аталиков Кантемир Русланович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Аталиков Кантемир Русланович

Введение

Глава 1. Теоретико-полевые обобщения двухчастичных

моделей Калоджеро-Мозера в форме уравнений

Ландау-Лифшица

1.1 Классическая механика и полевые обобщения

1.2 Эллиптический случай

1.2.1 Конструкция калибровочного преобразования

1.2.2 Замены переменных

1.3 Тригонометрический случай

1.4 Рациональный случай

Глава 2. Интегрируемые 1 + 1-теории поля Ландау-Лифшица старшего ранга на основе ассоциативного уравнения

Янга-Бакстера

2.1 Уравнение Ландау-Лифшица

2.2 Уравнения Янга-Бакстера

2.3 Пары Лакса и уравнение Захарова-Шабата через Д-матрицы

2.4 Эллиптический случай

2.5 Случай гапк(5) =

Глава 3. Обобщение старшего ранга 11-вершинной

рациональной И,-матрицы: соотношения ГОР-Уе^ех и

ассоциативное уравнение Янга-Бакстера

3.1 Д-матрица, её классы и свойства. Краткий обзор

3.2 Рациональная матрица преобразования ШР-Уег1ех

3.3 1НР-Уег1ех соотношения и обобщения старшего ранга для 11-вершинной Д-матрицы

3.3.1 Динамические и полудинамические Д-матрицы

3.3.2 Вывод вершинной Д-матрицы из преобразования ¡ИР-У^ех

3.3.3 Совпадение старой и новой форм рациональной Д-матрицы

3.4 Ассоциативное уравнение Янга-Бакстера и другие свойства Д-матрицы

3.4.1 Антисимметрия и унитарность

3.4.2 Симметрия аргументов

3.4.3 Ассоциативное и квантовое уравнения Янга-Бакстера ... 72 3.5 Рациональная Д-матрица в случае СЬ^

3.5.1 Квантовая Д-матрица

3.5.2 Классическая г-матрица

3.5.3 Другие коэффициенты

Глава 4. Калибровочная эквивалентность рациональной

1 + 1-теории поля Калоджеро — Мозера и уравнения Ландау — Лифшица старшего ранга

4.1 Ж-частичная полевая система Калоджеро-Мозера

4.2 Рациональный волчок и уравнение Ландау-Лифшица

4.3 Калибровочная эквивалентность и замены переменных

Глава 5. Калибровочная эквивалентность между (1 + 1)-мерными теориями поля Калоджеро—Мозера—Сазерленда и тригонометрическим уравнением Ландау—Лифшица

старшего ранга

5.1 Классическая механика, полевые обобщения и уравнения Янга-Бакстера

5.2 Нестандартная Д-матрица Антонова-Хасегавы-Забродина

5.3 Система Калоджеро-Мозера-Сазерленда и тригонометрический волчок

5.3.1 Система Калоджеро-Мозера-Сазерленда

5.3.2 Тригонометрический волчок

5.3.3 Калибровочная эквивалентность

5.4 1+1-уравнение Ландау-Лифшица из Д-матриц

5.5 1+1-теория поля Калоджеро-Мозера-Сазерленда

5.6 Калибровочная эквивалентность и замена переменных

5.7 Вспомогательные выражения

5.7.1 Разложения нестандартной Д-матрицы

5.7.2 Ь-матрица

5.7.3 М-матрица

5.7.4 3 (б')-матрица

5.7.5 Е (б')-матрица

Заключение

Список литературы

Приложение А. Эллиптические функции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые уравнения Ландау-Лифшица и теоретико-полевые обобщения систем частиц»

Введение

Интегрируемые системы — это область теоретической и математической физики, которая посвящена исследованию нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику физических систем. Исторически исследование интегрируемых систем началось с Леонарда Эйлера и продолжилось в работах Симеона Пуассона, Уильяма Гамильтона, Жозефа Лиувилля, а также Ковалевской Софьи Васильевны, Жуковского Николая Егоровича, Поля Пенлеве и так далее. В ходе исследования Жозеф Лиувилль в 1853 году сформулировал теорему, которая утверждает, что система может быть проинтегрирована, если количество степеней свободы N совпадает с количеством независимых интегралов движения в инволюции. Данная теорема теоретической физики носит название теоремы Лиувилля-Арнольда, так как в 1974 г. Арнольд Владимир Игоревич обобщил теорему Лиувилля (1853 г.) на сим-плектические многообразия [1]. Примерами систем, интегрируемых по теореме Лиувилля-Арнольда, являются:

1. Центральное трехмерное поле с гамильтонианом

р2

Н = к + и (^

где при угловом моменте Ь = р х q мы имеем три интеграла движения (Н, Ь2,Ьг), р — импульс, q — кордината, т — масса, а Ьг — проекция момента импульса на ось 2.

2. Система гармонических осцилляторов

N . / 9

" = Е К т + .

1 = 1 4 7

2

Здесь имеем N интегралов движения (Н, /!,...,—1), где Fi = — +

2 2

т^^2, а — частоты осцилятора.

3. Интегрируемый волчок Эйлера (движение твердого тела вокруг неподвижной точки [2; 3])

I2 ¿2 /2

Н = + -2- +

2/1 2/2 2/э'

где ¿1, 12, ^з — компоненты углового момента, 11, 12, 13 — компоненты момента инерции. Волчок имеет два интеграла движения: энергия Н и квадрат углового момента ^ + ^ + 13 = Ь2.

Эти примеры являются гамильтоновыми системами (динамические системы, в которых силы не зависят от скорости, а уравнения движения записываются исходя из некоторой функции, которая может иметь смысл энергии) с конечным числом степеней свободы. Такие системы [2; 4] обладают большим числом сохраняющихся величин во времени (интегралов движения). Но не все гамильтоновы системы интегрируемы, как, например, задача трех тел в трехмерии. Помимо гамильтоновых систем существует множество других интегрируемых систем, имеющих разную природу и конструкцию. Например, негамильтоновые системы на компактных группах 80(Ж), интегрируемые по Ли-Бьянки, где система дифференциальных уравнений порядка к обладает ^-мерной симметрией разрешимой алгеброй Ли [5; 6].

Параллельно с исследованием гамильтоновых систем в XIX веке произошло еще одно интересное событие [7; 8]. В 1834 году Джон Рассел, английский инженер и естествоиспытатель, верхом на лошади наблюдал за уединенной волной, возбужденной в узком канале Юнион небольшим судном в Эдинбурге. Эта уединенная волна распространялась по воде как импульс, который не менял своей формы и двигался практически без потерь. Он был так впечатлен, что следовал за волной несколько миль. Позже он попытался воссоздать этот опыт в собственном саду. Его считали первым человеком с нездоровой одержимостью «необычным и прекрасным явлением», то есть его современники не оценили особенности того явления, которое так впечатлило Рассела, а Джордж Эйри утверждал, что «великая первичная волна» не была ни великой, ни первичной. Однако, в 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Фриз впервые математически решили задачу о распространении таких волн в прямоугольном канале с водой [8; 9] (уравнение Кортевега — де Фриза)

дги + 6 идхи + д^и = 0.

Данное уравнение является нелинейным, что объясняет его необычное, но явное решение со скрытыми симметриями:

и(х, £) = ^весЬ2 ^^ (х — сЪ + жо)^ ,

где с и х0 произвольные константы, первая из которых определяет ширину, скорость и высоту солитона, а вторая зависит от выбора начала отсчёта х.

Исследования Кортевега и де Фриза положили начало гидродинамической теории нелинейных волн. В следующем столетии исследования по «уединенной волне» сыграли очень значимую роль в самых разных областях науки: от инженерии до биологии, от конденсированных сред до космологии и особенно в интегрируемых системах на двумерном пространстве-времени, которые описывают физику нелинейных явлений.

Следующим ярким событием в физике нелинейных явлений стало исследование 1955 г. [8], когда Энрико Ферми, Джон Паста и Станислав Улам с помощью ЭВМ начали исследование вопроса о термализации энергии в нелинейных дискретно нагруженных струнах. Данное исследование начиналось с Манхэттенского проекта, где после его завершения Э. Ферми предложил рассмотреть колебание в нелинейных цепочках. Он вместе с Д. Паста и С. Уламом (ФПУ) численно изучил проблему перехода к равному распределению энергии по степеням свободы. Обмена энергией между этими модами не было, также как и для линейной цепочки колебаний, где нормальные моды взаимно независимы. Э. Ферми и другие считали, что между этими линейными модами должен возникнуть поток энергии, если ввести нелинейность взаимодействия. По законам статистической механики это должно было привести к равному распределению энергии. Э. Ферми, Д. Паста и С. Улам проверили это предположение с помощью численных экспериментов, но в противоположность их ожиданиям оказалось, что перераспределяется лишь самая малая часть энергии. В результате было установлено, что такие системы периодически возвращаются к своему начальному состоянию. Спустя 10 лет Норман Забуски и Мартин Крускал ввели в обращение широко используемый в физике термин, известный как «солитон» [8]. Они связали наличие солитона в нелинейной струне с фактом отсутствия термализации в численных экспериментах Э. Ферми, Д. Паста и С. Улама. Это стало началом активных исследований нелинейных эффектов в физике.

В ходе исследований нелинейных эффектов в физике Н. Забуски и М. Крускал [8; 10; 11] в 1965 году обнаружили, что решение уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), представляющее собой уединенную волну, обладает свойством, которое не было известно прежде: а именно, такое решение «упруго» взаимодействует с другим таким же решением. Вскоре после этого Клиффорд Гарднер, Джон Грин, Мартин Крускал и Роберт Миура в 1967 году изобрели метод решения уравнения КдФ, использующий идеи прямой и обратной задачи рассеяния [12; 13]. Ценность метода обратной задачи рассеяния [10; 14—16]

состоит в том, что он позволяет исследовать нелинейную задачу по существу методами линейной теории. А связано это с тем, что некоторый класс нелинейных задач содержит скрытые симметрии, с помощью которых исходную задачу можно свести, по сути, к линейной [10]. Такие задачи формулируются в виде уравнений, которые описывают эволюцию некоторой величины во времени при заданных начальных данных. Уравнения могут принимать различный вид: дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциально-разностные уравнения (дискретное пространство, непрерывное время) и так далее. Интересно то, что можно найти общее решение этих нелинейных уравнений, не делая при этом никаких приближений.

Существенный вклад в развитие метода обратной задачи рассеяния внес Питер Лакс в работе [17]. Он предложил общий метод, позволяющий связывать с нелинейными эволюционными уравнениями линейные операторы, где собственные значения линейного дифференциального оператора являются интегралами движения нелинейного уравнения. В дальнейшем стало понятно, что вместо линейных дифференциальных операторов в зависимости от задачи, включая задачи по классической механике (к ним относятся и интегрируемые системы по теореме Лиувилля), можно использовать подходящие конечномерные матрицы, называемые матрицами Лакса. Например, рассмотрим гамильтониан:

2 2 2 2 2 2 р1 р2 Р3 V2 V2

Н = — + — + — -

2 2 2 (Я1 — Я2) 2 (Я1 — дз) 2 (Я2 — Яз) 2' скобки Пуассона

{р^ ^} = 1 qJ} = 0, {р1,р3} = 0

(где г,] = 1, 2,3) и уравнения движения

• Ш I дН ^ 2^2

*={н,рг}=—%=—§ ,

• Ш X дн дг = {Н,дг} = -— = Pг,

дрг

где V — произвольная константа связи, — импульсы, ^ — координаты, к = 1,2,3. Здесь нелинейность содержится в первом уравнении. Эти уравнения могут быть представлены в виде уравнения Лакса

дгЬ = {Н, Ь} = [Ц М]

посредством матриц Лакса

/ Р1

Ь =

V

41-42 41-43 V

42 41

\ —

\ аз-

Р2

V

42-43

43-41 43-42

Рз )

м =

+

(41-42)2 (41-43)2 __V

(42-41)2

(41-42)2 V | V

(41-42)2 + (42 - 43)2

(41-43)2 V

(42 - 43)2

+

\ (43 - 41)2 ( 43 - 42)2 ( 41-43)2 (42 - 43)2 )

Преимущество представления уравнений движения в виде уравнения Лакса в том, что такое представление дает нам набор первых интегралов движения, который получается из следующих выражений (в системе центра масс):

1тЬ = Р1 + Р2 + рз = 0,

1тЬ2 = 2Н, 1тЬ3 = р! + 4 + Р! - А,

А=3Ь2р1

((91

1

1

-Qз)2

-3к2р2

1

1

-3И2'Р3

1

1

(^2-^з) 2 (ql-qз)'

где 1т - след матрицы. Выражения 1тЬ, 1тЬ2,Ь3 функционально независимы. Метод Лакса позволяет решить задачи с N частицами. Примером такой задачи, рассматриваемой в диссертации, является система Калоджеро-Мозера.

Система Калоджеро-Мозера - система частиц, которые взаимодействуют попарно с потенциалом, равным обратному квадрату расстояния. История данной системы берет свое начало с квантовой одномерной задачи о трех одинаковых частицах в работе Франческо Калоджеро [18], опубликованной в 1969 году. Классический вариант этой системы рассмотрен выше. В работе [18] определен полный энергетический спектр и явно описаны собственные функции уравнения Шредингера для трех частиц.

Дальше Ф. Калоджеро в работе [19] обобщил задачу о трех одинаковых частицах до квантовой задачи N материальных точек на прямой, взаимодействующих с потенциалом, пропорциональным обратным квадратам расстояний. В то время Ф. Калоджеро предположил, что это связано с тем, что случай с квадратичными («гармоническими») потенциалами может быть сведен линейной заменой переменных частиц к задаче с несвязанными осцилляторами. Таким образом, она может быть легко решена как в классическом, так и в квантовом случае. Более того, Ф. Калоджеро применил свою формулу для изучения

V

V

и

и

и

и

V

V

V

2

2

задачи рассеяния, связанной с Ж-частичной системой в рамках квантовой теории, и нашел, что рассеяние по существу тривиально в том смысле, что это упругое рассеяние.

Помимо квантовых задач Ф. Калоджеро, не последнюю роль в развитии и построении системы Калоджеро-Мозеро сыграли и исследования свойств системы фермионов или бозонов, взаимодействующих в одном измерении посредством двухчастичного потенциала с периодическими граничными условиями (Билл Сазерленд [20; 21]). В первой работе [20] Б. Сазерленд предложил выражения для одночастичной матрицы плотности при нулевой температуре и конкретных (нетривиальных) значениях константы связи д, как определителя порядка N х N. Эти выражения позволили Б. Сазерленду рассмотреть распределение импульса в термодинамическом пределе. В частности, для случая отталкивающих бозонов определитель был вычислен явно, демонстрируя слабую (логарифмическую) особенность при нулевом импульсе и исчезая вне соответствующего аналога поверхности Ферми. В следующей работе Б. Са-зерленда [21], которая является продолжением предыдущей работы, вводится метод, который обеспечивает физически интуитивное описание возбужденных состояний. Энергии были вычислены как для конечных, так и для бесконечных систем, включая все поправки, вызванные взаимодействием квазичастиц. Следует отметить, что многие специалисты по интегрируемым системам иногда в своих работах используют выражение «системы Калоджеро-Мозера-Сазерлен-да» [22—24], а связано это с тем, что в них используется тригонометрический (периодический) потенциал, как в работах Б. Сазерленда [20; 21]. В этом случае все формулы, особенно матричные элементы и гамильтонианы, будут зависеть от тригонометрических функций.

Следующий этап развития системы Калоджеро-Мозера связан с работой Юргена Мозера «Три интегрируемые гамильтоновы системы и их связь с изо-спектральными деформациями» [25], опубликованной в 1975 году. Цель работы состояла в том, чтобы показать алгебраическую связь между конечномерными системами. Поэтому вместо квантовых задач Ф. Калоджеро и Б. Сазерленда Ю. Мозер рассматривал их классические аналоги, и методом изоспектральной деформации (процесс изменения матрицы, при котором его собственные значения не зависят от времени и представляют интегралы движения), сформулированного П. Лаксом, показал, что данные Ж-частичные системы интегрируемы, так как имеют N независимых интегралов движения. В этом же году Ф. Калодже-

ро [26] тем же методом Лакса доказал интегрируемость классической задачи, похожей на те, что рассматривал Ю. Мозер, но с эллиптическим потенциалом.

Для дальнешего развития систем Калоджеро-Мозера Кричевер Игорь Моисеевич в своей работе [27] (см. также работу Ахметшина А. А., Вольвовского Ю. С. и Кричевера И. М. [28]) предложил теоретико-полевое обобщение систем Калоджеро-Мозера, где было показано, что уравнение нулевой кривизны на эллиптической кривой эквивалентно гамильтоновой системе, которую можно рассматривать как полевой аналог эллиптической системы Калоджеро-Мозера. В данной диссертации рассматриваются теоретико-полевые обобщения систем Калоджеро-Мозера.

Мы ознакомились с конкретной задачей N частиц (система Калоджеро-Мозера), которая была решена методом изоспектральной деформации Лакса [17]. Однако, данный метод применялся и для других примеров интегрируемых систем, например, для уравнения Эйлера свободного вращения твердого тела [4; 29; 30]. Уравнение Эйлера - это уравнение, которое описывает вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в системе координат, которая может быть как вращающейся, так и неподвижной. Данное уравнение определяет движение твердого тела по моменту сил, действующих на тело.

Спустя почти 200 лет с момента публикации уравнения движения твердого тела Л. Эйлером [29], Арнольд В. И. выяснил [30], что уравнения Эйлера свободного вращения твердого тела имеют естественные аналоги на произвольных алгебрах Ли [31—33]. До него уже было известно, что уравнения движения Эйлера являются геодезическими в группе вращений трехмерного евклидова пространства, а группа вращений при этом снабжена левоинвариантной рима-новой метрикой. Арнольд В. И. в своей работе поставил задачу о нахождении интегралов движения Ж-мерного твердого тела, которая была частично решена в работе Мищенко Александра Сергеевича [34], где он показал, что полученная серия нетривиальных квадратичных интегралов движения функционально независима. Позже в 1972 году Дикий Леонид Александрович [32] показал, что полученные Мищенко А. С. [34] интегралы движения инволютивны. Несмотря на то, что подход Мищенко А. С. при N = 4 достаточен для доказательства полной интегрируемости уравнений Эйлера четырехмерного твердого тела, он не имеет явных формул описания движения даже для N = 4. Дальше Мана-ков Сергей Валентинович в своей работе [31] методом Лакса (см. также работу Дубровина Б. А., Матвеева В. Б., Новикова С. П. [35]) установил, что уравне-

ние Эйлера свободного вращения У-мерного твердого тела имеет ^ + м - интегралов движения, а его общее решение выражается через тета-функции римановых поверхностей. В результате этого Манакову С. В. удалось извлечь первые интегралы уже конечномерных динамических систем на группе ЗО(п). В последствии прием Манакова был подвержен аксиоматизации и подробно изучен в работе Мищенко Александра Сергеевича и Фоменко Анатолия Тимофеевича [36].

Как и у системы Калоджеро-Мозера, уравнение (волчок) Эйлера имеет полевое обобщение, известное как уравнение Ландау-Лифшица [37—39]. Уравнение Ландау-Лифшица, как трехмерная теория поля, было впервые введено в 1935 году [37] Ландау Львом Давидовичем и Лифшицем Евгением Михайловичем с целью описать распределение магнитных моментов в ферромагнитном кристалле [37]. Этот кристал состоит из намагниченных слоёв, границы которых передвигаются во внешнем магнитном поле. В случае бездиссипативной среды и при нулевой температуре уравнение Ландау-Лифшица описывает динамику одномерного ферромагнетика [14; 39]:

д^ = 5 х 3(5) + 5 х д^,

где первое слагаемое описывает свойства анизотропии, а второе - спин-обменное взаимодействие. Вектор Б(Ь,х) = (б^^бз) - это трехмерный вектор, каждая компонента которого зависит от одномерной вещественной координаты х, 3(¡3) - тоже вектор 3(¡3) = (3131,^^,3333) = diag(31,^,33)S, но его компоненты умножены на некоторые константы З1, З2, З3, которые играют роль анизотропии, diag( J1,^,J3) - диагональная матрица [14]. В изотропном случае ,3 х 3(¡3) = 0 уравнение Ландау-Лифшица сводится к магнетику Гейзенберга, который описывает спин-обменное взаимодействие. Причина, по которой константы З1, З2, З3 играют роль анизотропии, связана с тем, что в классической механике константы З1, З2, З3 - это обратные значения тензора инерции твердого тела в главных осях (матрица тензора инерции принимает диагональный вид), так как вращение (свободное) твердого тела пишется в терминах моментов. В случае классической механики уравнение Ландау-Лифшица принимает вид уравнения Эйлера (волчок Эйлера): = ¡3 х 3(¡3). Следует отметить, что мы сменили обозначения 3{ = 1, Si = ^ (1=1,2,3) в гамильтониане волчка Эйлера (асимметрический волчок [4]), который выписывали в самом начале вве-

дения. Иначе говоря, в привычных обозначениях уравнения движения имеют такой вид: д^ = I х ш, где I = 1ш, ш = 3(§).

Мы не будем обсуждать физические свойства уравнения Ландау-Лиф-шица для одномерного ферромагнетика, а будем рассматривать свойства интегрируемости этого уравнения [39] и его обобщений [24; 40; 41]. В 1979 году Склянин Евгений Константинович при помощи классического метода обратной задачи рассеяния установил интегрируемость уравнения Ландау-Лифшица в работе [39], где уравнение Ландау-Лифшица, как одномерная теория поля, обладает солитонными решениями [14].

Для полевых интегрируемых систем аналог уравнения Лакса — это уравнение Захарова-Шабата [14—16; 42—44]:

дг Ь(х) — дхМ (г ) = [Цг),М (г)],

где Ь(х) и М(г) матричнозначные функции от динамических переменных, ^ спектральный параметр (локальная координата на комплексной кривой), £ время, а х пространственная переменная поля. Уравнение Захарова-Шабата — это уравнение нулевой кривизны [42—44], которое описывает солитонные уравнения на двумерном пространстве-времени. Уравнения нулевой кривизны калибровоч-но инвариантны и могут быть записаны как условие обращения в ноль тензора кривизны [14]: [дх + Ь,дг + М] = 0, где Ь и М — это компоненты связности, которые являются калибровочными полями. Примером связности является векторный потенциал , где аг — это матрицы Паули. А примером тензора кривизны соответственно является тензор напряженности в теории Янга-Милл-са (если теория абелева, то коммутатор связностей равен нулю):

■ аг ■ аг аг

^ т = д,А1 - — А^ - — гд

.г ^ о3

И 2' * 2

2 ^ и2 ^2

Очевидно, что уравнение Захарова-Шабата структурно схоже с тензором напряженности в теории Янга-Миллса.

В данной диссертации мы не раз будем рассматривать описание полевой системы Калоджеро-Мозера и уравнения Ландау-Лифшица, включая их взаимосвязи, переход в классическую механику и их представления в виде уравнений нулевой кривизны.

Следует отметить, что матричнозначная функция Ь(х) для волчка Эйлера, уравнения Ландау-Лифшица и подобных интегрируемых систем выражается через г-матрицу (см. вторую, четвертую и пятую главы диссертации).

Классическая г-матрица — это матрица, с помощью которой скобки Пуассона между матричными элементами матрицы Лакса записываются в специальной форме, позволяющей доказать интегрируемость по Лиувиллю [3; 14; 45]. Данная г-матрица удовлетворяет классическому уравнению Янга-Бакстера:

[П2,Пэ] + [г 12 ,Г2з] + [П3,Г23] = 0,

где индексы 12, 13, 23 — номера пространств, в которых г-матрица действует нетривиально (подробности во второй и третьей главах). Для него выполняется тождество Якоби. При помощи г-матрицы можно строить интегрируемую систему, но только в конкретных случаях. Например, если г-матрица антисимметрична и удовлетворяет нединамическому уравнению Янга-Бакстера. Следует иметь ввиду, что обратное утверждение «вычислить г-матрицу» работает только при наличии представления Лакса у интегрируемой системы, но даже так явно вычислить г-матрицу — это крайне сложная задача. Понятие г-матрицы в тензорном формализме, которое используется в диссертации, появилось в работе Склянина Е. К. [37], посвященной одномерному уравнению Ландау-Лифшица, в результате естественного квазиклассического предельного перехода из квантовой Д-матрицы. Квантовая Д-матрица — это матрица, которая является решением квантового уравнения Янга-Бакстера [46—50]:

рй рй рй _ рй рй рй

л12л13л23 = л23л13л12 ,

где Н — параметр, который мы считаем малым и по аналогии с физикой называем её постоянная Планка. В некоторых конкретных задачах она имеет буквально смысл постоянной Планка. Квантовое и классическое уравнения Янга-Бакстера связаны между собой разложением квантовой Д-матрицы:

Яп12 = 1 + Н П2 + 0(Н2).

Свое название уравнение Янга-Бакстера получило от независимых работ по статистической механике Чэнь-Нин Франклина Янга [46] (1968 г.) и Родни Джеймса Бакстера [47] (1971 г.). В своей работе [46] Ч. Янг с помощью ан-заца Бете [49] задачу об отталкивающем ^-взаимодействии в одном измерении для N частиц сводит к задаче о собственных значениях матриц той же размерности, что и неприводимые представления группы перестановок . Для некоторых эта задача о собственных значениях решается с помощью второй гипотезы Бете в обобщённой форме. В частности, задача о нулевом состоянии

фермионов со спином 1/2 сводится к обобщённому уравнению Фредгольма. А Р. Бакстер [47] в 1971 году рассчитал функцию распределения восьмивершин-ной модели на квадратной решётке М на N в пределе больших М и N .В общем случае свободная энергия имеет точку ветвления при фазовом переходе с иррациональным показателем.

Результаты и задачи, изложеннные в работах Ч. Янга и Р. Бакстера, послужили основой для разработки квантового метода обратной задачи для квантовомеханических моделей теории поля, получающихся при квантовании интегрируемых классических систем [49]. В диссертации не рассматривается квантовый метод обратной задачи рассеяния и его классический аналог, а рассматривается только следствие (уравнение нулевой кривизны) классического метода обратной задачи рассеяния и Д-матрицы, которые удовлетворяют не только квантовому уравнению Янга-Бакстера, но и ассоцитивному [51; 52]. Эти Д-матрицы принадлежат к специальному подмножеству квантовых Д-матриц, подробнее см. в [53—57]. Ассоциативное уравнение Янга-Бакстера - это квадратичное соотношение на Д-матрицы. Его кососимметричные и унитарные решения являются также решениями и широко известного квантового уравнения Янга-Бакстера. В диссертации по решению ассоциативного уравнения Янга-Бакстера строится уравнение Ландау-Лифшица старшего ранга . Алгебра - это алгебра бесследовых комплексных матриц размерности N х N, которая эквивалентна комплексификации алгебры ви^ группы унитарных матриц .

На уровне классической механики существуют два больших класса интегрируемых моделей, уравнения которых можно представить в виде уравнения Лакса. Первый - это системы взаимодействующих частиц, ярким представителем которых является система Калоджеро-Мозера [18—21; 25], а второй класс - интегрируемые волчки (например, волчок Эйлера) и их многомерные обобщения [58; 59] (в этом случае динамические переменные описываются матрицами размера N х N). Оба класса связаны между собой калибровочным преобразованием Ь1ор = дЬсмд-1, где Ь1ор - матрица Лакса волчка Эйлера, Ьсм -матрица Лакса системы Калоджеро-Мозера, а д - специальная матрица калибровочного преобразования. Данное калибровочное преобразование нашло свое активное применение в разных направлениях интегрируемых систем. В частности, в работе [58] был построен рациональный волчок Эйлера старшего ранга, где динамические переменные описываются матрицами размера N х N, а

функции волчка можно представить в виде дроби. Данный волчок описывается матрицей Лакса со спектральным параметром и классической нединамической кососимметричной г-матрицей, то есть используется формализм г-матрицы. Это формализм, который позволяет строить интегрируемые системы (волчки и их полевые обобщения) в терминах г-матрицы, на нём мы остановимся в диссертации. В случае орбиты минимальной размерности волчок Эйлера ка-либровочно эквивалентен рациональной системе Калоджеро-Мозера. Подобные задачи решались и в работах [22; 53; 59; 60].

Калибровочная эквивалентность интегрируемых систем — это широко известное явление. Одним из примеров такого явления является калибровочная эквивалентность магнетика Гейзенберга и нелинейного уравнения Шредингера [61; 62], канонические координаты которого отличаются от координат в системе Калоджеро-Мозера. Известны также его расширения на случай магнетика Ландау-Лифшица [63]. Помимо этого есть ещё калибровочное преобразование с классической г-матричной структурой в теориях Весса-Зумино-Новикова-Виттена и Тоды, описанное в [64]. И последний пример — специальное калибровочное преобразование в квантовых статистических моделях [65—68]. Два последних примера близки к исследованию диссертации.

Из перечисленных выше примеров особый интерес вызывает калибровочная эквивалентность магнетика Гейзенберга и нелинейного уравнения Шредингера [61; 62]. Нелинейные дифференциальные уравнения считаются калибровочно эквивалентными, если соответствующие связности Ь1, Ь2 определены в одном расслоении и получаются друг из друга калибровочным преобразованием

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аталиков Кантемир Русланович, 2025 год

Список литературы

1. Арнольд В. Математические методы классической механики. — Москва : Наука, 1974. — С. 432.

2. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. — Главная редакция физико-математической литературы издательства, Москва: Наука, 1990. — С. 240.

3. Babelon O., Bernard D., Talon M. Introduction to classical integrable systems. — Cambridge University Press, 2003. — P. 602.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Механика. Т. 1. — Москва: Наука, 1988. — С. 216.

5. Биркгоф Г. Гидродинамика: Методы, факты: подобие. — Москва: Иностранная литература, 1963. — С. 246.

6. Виноградов А., Красильщик И. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. — Москва: Факториал, 1997. — С. 246.

7. Tong D. TASI lectures on solitons: Instantons, monopoles, vortices and kinks. — Centre for Mathematical Sciences, Wilberforce Road, Cambridge, 2005. — P. 139.

8. Тода М. Теория нелинейных решёток. — Москва : Мир, 1984. — С. 262.

9. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры. — Москва : Изд-во МЦНМО, 2005. — С. 112.

10. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — Москва: Мир, 1987. — С. 479.

11. Zabusky N., Kruskal M. Interaction of" Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States // Physical Review Letters. — 1965. — Vol. 15, no. 6. — P. 240-243.

12. Gardner C. S. et al. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation // Physical Review Letters. — 1967. — Vol. 19, no. 19. — P. 1095-1097.

13. Gardner C. S. et al. Korteweg-devries equation and generalizations. VI. methods for exact solution // Communications on pure and applied mathematics. — 1974. — Vol. 27, no. 1. — P. 97-133.

14. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солито-нов. — Москва : Наука, 1986. — С. 528.

15. Зотов А. В. Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2006. — Т. 37, № 3. — С. 759—843.

16. Зотов А. В., Смирнов А. В. Модификации расслоений, эллиптические интегрируемые системы и связанные задачи // Теоретическая и математическая физика. — 2013. — Т. 177, № 1. — С. 3—67.

17. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Matematika. — 1969. — Vol. 13, no. 5. — P. 128-150.

18. Calogero F. Solution of a three-body problem in one dimension // Journal of Mathematical Physics. — 1969. — Dec. — Vol. 10, no. 12. — P. 2191-2196.

19. Calogero F. Solution of the one-dimensional N-Body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials // Journal of Mathematical Physics. — 1971. — Vol. 12. — P. 419-436.

20. Sutherland B. Exact results for a quantum many body problem in one-dimension // Phys. Rev. A. — 1971. — Vol. 4. — P. 2019-2021.

21. Sutherland B. Exact results for a quantum many-body problem in one dimension. II // Phys. Rev. A. — 1972. — Mar. — Vol. 5. — P. 13721376.

22. Krasnov T., Zotov A. Trigonometric Integrable Tops from Solutions of Associative Yang-Baxter Equation // Annales Henri Poincaré. — 2019. — June. — Vol. 20, no. 8. — P. 2671-2697.

23. Atalikov K., Zotov A. Field theory generalizations of two-body Calogero-Moser models in the form of Landau-Lifshitz equations // Journal of Geometry and Physics. — 2021. — Vol. 164. — P. 104161.

24. Atalikov K., Zotov A. Gauge equivalence between 1+1 rational Calogero-Moser field theory and higher rank Landau-Lifshitz equation // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2023. — Т. 117, № 8. — С. 632—633.

25. Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Advances in Mathematics. — 1975. — Vol. 16. — P. 197220.

26. Calogero F. Exactly solvable one-dimensional many-body problems // Lettere al Nuovo Cimento (1971-1985). — 1975. — Vol. 13. — P. 411-416.

27. Кричевер И. М. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиа-швили и интегрируемые системы частиц // Функциональный анализ и его приложения. — 1980. — Т. 14, № 4. — С. 45—54.

28. Ахметшин А. А., Вольвовский Ю. С., Кричевер И. М. Эллиптические семейства решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили и полевой аналог эллиптической системы Калоджеро-Мозера // Функциональный анализ и его приложения. — 2002. — Т. 36, № 4. — С. 1—17.

29. Euler L. Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. — Rostochii; Gryphiswaldiae: Litteris et impensis AF Rose, 1765. — С. 520.

30. Arnold V. I. Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits // Annales de l'Institut Fourier. — 1966. — Vol. 16. — P. 319-361.

31. Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела // Функциональный анализ и его приложения. — 1976. — Т. 10, № 4. — С. 93—94.

32. Дикий Л. А. Замечание о гамильтоновых системах, связанных с группой вращений // Функциональный анализ и его приложения. — 1972. — Т. 6, № 4. — С. 83—84.

33. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Vol. 125. — Springer Nature, 2021.

34. Мищенко А. С. Интегралы геодезических потоков на группах Ли // Функциональный анализ и его приложения. — 1970. — Т. 4, № 3. — С. 73—77.

35. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31, 1 (187). — С. 55—136.

36. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 1978. — Т. 42, № 2. — С. 396—415.

37. Landau L. D., Lifshitz E. On the theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies // Phys. Z. Sowjet. — 1935. — Vol. 8. — P. 153.

38. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. Т. 9. — Физматлит, Теоретическая физика, 2004. — С. 496.

39. Sklyanin E. K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation : tech. rep. — Leningrad, 1979. — LOMI-E-79-3.

40. Atalikov K., Zotov A. Higher rank 1+1 integrable Landau-Lifshitz field theories from associative Yang-Baxter equation // Письма в ЖЭТФ. — 2022. — Т. 115, № 11/12. — С. 809.

41. Аталиков К. Р., Зотов А. В. Калибровочная эквивалентность между (1+1)-мерными теориями поля Калоджеро-Мозера-Сазерленда и тригонометрическим уравнением Ландау-Лифшица старшего ранга // Теоретическая и математическая физика. — 2024. — Т. 219, № 3. — С. 545— 561.

42. Zakharov V. E., Shabat A. B. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1970. — Vol. 34. — P. 62-69.

43. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функциональный анализ и его приложения. — 1974. — Т. 8, № 3. — С. 43— 53.

44. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функциональный анализ и его приложения. — 1979. — Т. 13, № 3. — С. 13— 22.

45. Рейман А., Семенов-Тян-Шанский М. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 352.

46. Yang C. N. Some Exact Results for the Many-Body Problem in one Dimension with Repulsive Delta-Function Interaction // Physical Review Letters. — 1967. — Vol. 19. — P. 1312-1315.

47. Baxter R. J. Partition function of the Eight-Vertex lattice model // Annals of Physics. — 1972. — Vol. 70, no. 1. — P. 193-228.

48. Склянин Е. К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера // Доклады Академии наук. Т. 244. — Российская академия наук. 1979. — С. 1337—1341.

49. Склянин Е. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи. I // Теоретическая и математическая физика. — 1979. — Т. 40, № 2. — С. 194—220.

50. Kulish P., Reshetikhin N., Sklyanin E. Yang-Baxter equation and representation theory: I // Letters in Mathematical Physics. — 1981. — Sept. — Vol. 5. — P. 393-403.

51. Fomin S., Kirillov A. N. Quadratic Algebras, Dunkl Elements, and Schubert Calculus // Advances in Geometry / ed. by J.-L. Brylinski et al. — Boston, MA : Birkhauser Boston, 1999. — P. 147-182.

52. Polishchuk A. Classical Yang-Baxter equation and the ATO-constraint // Advances in Mathematics. — 2002. — Vol. 168, no. 1. — P. 56-95.

53. Levin A., Olshanetsky M, Zotov A. Relativistic classical integrable tops and quantum Д-matrices //J. High Energy Phys. — 2014. — July. — Vol. 2014, no. 7. — P. 1-39.

54. Levin A., Olshanetsky M, Zotov A. Classical integrable systems and soliton equations related to eleven-vertex Д-matrix // Nuclear Physics B. — 2014. — Oct. — Vol. 887. — P. 400-422.

55. Levin A., Olshanetsky M, Zotov A. Planck constant as spectral parameter in integrable systems and KZB equations //J. High Energy Phys. — 2014. — Oct. — Vol. 2014, no. 10. — P. 1-29.

56. Левин А. М., Ольшанецкий М. А., Зотов А. В. Квантовые Д-матрицы Бакстера-Белавина и многомерные пары Лакса для уравнения Пенлеве VI // Теоретическая и математическая физика. — 2015. — Т. 184, № 1. — С. 41—56.

57. Levin A., Olshanetsky M, Zotov A. Yang-Baxter equations with two Planck constants // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2015. — Vol. 49, no. 1. — P. 014003.

58. Aminov G. et al. Rational top and its classical r-matrix // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2014. — July. — Vol. 47, no. 30. — P. 305207.

59. Zabrodin A., Zotov A. Field analogue of the Ruijsenaars-Schneider model // Journal of High Energy Physics. — 2022. — July. — Vol. 2022, no. 7. — P. 1-51.

60. Levin A. M, Olshanetsky M. A., Zotov A. Hitchin systems symplectic hecke correspondence and two-dimensional version // Communications in Mathematical Physics. — 2003. — May. — Vol. 236, no. 1. — P. 93-133.

61. Захаров В. Е., Тахтаджян Л. А. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредингера и уравнения ферромагнетика Гейзенберга // Теоретическая и математическая физика. — 1979. — Т. 38, № 1. — С. 26—35.

62. Lakshmanan M. Continuum spin system as an exactly solvable dynamical system // Physics Letters A. — 1977. — Vol. 61, no. 1. — P. 53-54.

63. Kundu A. Landau-Lifshitz and higher-order nonlinear systems gauge generated from nonlinear Schrodinger type equations // Journal of Mathematical Physics. — 1984. — Dec. — Vol. 25, no. 12. — P. 3433-3438.

64. Balog J., Dabrowski L, Feher L. Classical r-matrix and exchange algebra in WZNW and Toda theories // Physics Letters B. — 1990. — Vol. 244, no. 2. — P. 227-234.

65. Baxter R. Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain. II. Equivalence to a generalized ice-type lattice model // Annals of Physics. — 1973. — Vol. 76, no. 1. — P. 25-47.

66. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, 5 (209). — С. 13—63.

67. Склянин Е. К. О пуассоновой структуре периодической классической XYZ-цепочки // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1986. — Т. 150. — С. 154—180.

68. Pasquier V. Etiology of IRF models // Communications in Mathematical Physics. — 1988. — Vol. 118. — P. 355-364.

69. Vicedo B. 4D Chern-Simons theory and affine Gaudin models // Lett. Math. Phys. — 2021. — Feb. — Vol. 111, no. 1. — P. 1-21.

70. Lacroix S., Wallberg A. An elliptic integrable deformation of the Principal Chiral Model //J. High Energy Phys. — 2024. — May. — Vol. 2024, no. 5. — P. 1-57.

71. Sechin I., Zotov A. Associative Yang-Baxter equation for quantum (semi-) dynamical Д-matrices // Journal of Mathematical Physics. — 2016. — May. — Vol. 57, no. 5.

72. Krichever I. Vector bundles and Lax equations on algebraic curves // Communications in Mathematical Physics. — 2002. — Aug. —Vol. 229, no. 2. — P. 229-269.

73. Михайлов А. В., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. — 1987. — Т. 42, 4 (256). — С. 3— 53.

74. Mikhailov A., Shabat A., Sokolov V. The symmetry approach to classification of integrable equations // What is integrability? — 1991. — P. 115-184.

75. Чередник И. В. Об одном методе построения факторизованных S-матриц в элементарных функциях // Теоретическая и математическая физика. — 1980. — Т. 43, № 1. — С. 117—119.

76. Kameyama T, Yoshida K. Anisotropic Landau-Lifshitz sigma models from q-deformed AdS5x S5 superstrings // Journal of High Energy Physics. — 2014. — Vol. 2014, no. 8. — P. 1-40.

77. Antonov A., Hasegawa K., Zabrodin A. On trigonometric intertwining vectors and non-dynamical Д-matrix for the Ruijsenaars model // Nuclear Physics B. — 1997. — Vol. 503, no. 3. — P. 747-770.

78. Zakharov V. E. et al. What is integrability? — Berlin, Germany : Springer, 1991.

79. Belavin A. Dynamical symmetry of integrable quantum systems // Nuclear Physics B. — 1981. — Vol. 180, no. 2. — P. 189-200.

80. Levin A., Olshanetsky M, Zotov A. Noncommutative extensions of elliptic integrable Euler-Arnold tops and Painleve VI equation //J. Phys. A. — 2016. — Т. 49, № 39. — С. 395202.

81. Zotov A. Relativistic elliptic matrix tops and finite Fourier transformations // Mod. Phys. Lett. A. — 2017. — Vol. 32, no. 32. — P. 1750169.

82. Аталиков К. Р., Зотов А. В. Обобщение старшего ранга 11-вершин-ной рациональной Д-матрицы: соотношения IRF-Vertex и ассоциативное уравнение Янга-Бакстера // Теоретическая и математическая физика. — 2023. — Т. 216, № 2. — С. 203—225.

83. Кулиш П. П., Манойлович Н., Надь З. Жорданова деформация открытой XXX-спиновой цепочки // Теоретическая и математическая физика. — 2010. — Т. 163, № 2. — С. 288—298.

84. Smirnov A. Degenerate Sklyanin algebras // Open Physics. — 2010. — May. — Vol. 8, no. 4. — P. 542-554.

85. Burban I., Kreussler B. Vector bundles on degenerations of elliptic curves and Yang-Baxter equations // Mem. Amer. Math. Soc. — 2007. — Aug. — Vol. 220, no. 1035.

86. Burban I., Henrich T. Semi-stable vector bundles on elliptic curves and the associative Yang-Baxter equation // Journal of Geometry and Physics. — 2012. — Vol. 62, no. 2. — P. 312-329.

87. Jimbo M, Miwa T, Okado M. Local state probabilities of solvable lattice models: A^ family // Nuclear Physics B. — 1988. — Vol. 300. — P. 74108.

88. Jimbo M. et al. The face models // Communications in Mathematical Physics. — 1988. — Vol. 119, no. 4. — P. 543-565.

89. Gervais J. L., Neveu A. Novel Triangle Relation and Absence of Tachyons in Liouville String Field Theory // Nuclear Physics. — 1984. — Vol. 238. — P. 125-141.

90. Felder G. Conformal field theory and integrable systems associated to elliptic curves // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: August 3-11, 1994 Zürich, Switzerland. — Springer. — P. 1247-1255.

91. Babelon O. et al. A quasi-Hopf algebra interpretation of quantum 3-j and 6-j symbols and difference equations // Physics Letters B. — 1995. — Vol. 375. — P. 89-97.

92. Арутюнов Г. Э., Фролов С. А., Чехов Л. О. Квантовые динамические Д-матрицы для эллиптической модели Руджинарса-Шнайдера // Теоретическая и математическая физика. — 1997. — Т. 111, № 2. — С. 182— 217.

93. Avan J., Rollet G. Parametrization of semi-dynamical quantum reflection algebra // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — Feb. — Vol. 40, no. 11. — P. 2709-2731.

94. Ogievetsky O, Popov T. Д-matrices in Rime // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. — 2007. — Vol. 14. — P. 439-505.

95. Трунина Е. С., Зотов А. В. Многополюсное обобщение для эллиптических моделей интегрируемых взаимодействующих волчков // Теоретическая и математическая физика. — 2021. — Т. 209, № 1. — С. 16—45.

96. Trunina E., Zotov A. Lax equations for relativistic GL(NM,C) Gaudin models on elliptic curve //J. Phys. A. — 2022. — Vol. 55, no. 39. — P. 395202.

97. Сечин И. А., Зотов А. В. Интегрируемая система обобщенных релятивистских взаимодействующих волчков // Теоретическая и математическая физика. — 2020. — Т. 205, № 1. — С. 55—67.

98. Matushko M., Zotov A. Anisotropic Spin Generalization of Elliptic Mac-donald-Ruijsenaars Operators and Д-Matrix Identities // Annales Henri Poincare. — 2023. — May. — Vol. 24, no. 10. — P. 3373-3419.

99. Matushko M, Zotov A. Elliptic generalisation of integrable g-deformed anisotropic Haldane-Shastry long-range spin chain // Nonlinearity. — 2022. — Dec. — Vol. 36, no. 1. — P. 319-353.

100. Матушко М. Г., Зотов А. В. Д-матричные тождества, связанные с эллиптическими анизотропными спиновыми операторами Руйсенарса-Мак-дональда // Теоретическая и математическая физика. — 2022. — Т. 213, № 2. — С. 268—286.

101. Vasilyev M, Zotov A. On factorized Lax pairs for classical many-body integrable systems // Reviews in Mathematical Physics. — 2019. — June. — Vol. 31, no. 06. — P. 1930002.

102. Mikhailov A., Olshanetsky M., Perelomov A. Two-dimensional generalized Toda lattice // Communications in Mathematical Physics. — 1981. — Dec. — Vol. 79. — P. 473-488.

103. Mikhailov A. Integrability of the two-dimensional generalization of Toda chain // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 1979. — Oct. — Vol. 30. — P. 414-418.

104. Голубчик И. З., Соколов В. В. Многокомпонентное обобщение иерархии уравнения Ландау-Лифшица // Теоретическая и математическая физика. — 2000. — Т. 124, № 1. — С. 62—71.

105. Polishchuk A. Massey Products on Cycles of Projective Lines and Trigonometric Solutions of the Yang-Baxter Equations // Algebra, Arithmetic, and Geometry: Volume II: In Honor of Yu. I. Manin / ed. by Y. Tschinkel, Y. Zarhin. — Boston : Birkhauser Boston, 2009. — P. 573-617.

106. Schedler T. Trigonometric solutions of the associative Yang-Baxter equation // Mathematical Research Letters. — 2003. — Vol. 10, no. 3. — P. 301-321.

107. Зотов А. В., Левин А. М. Интегрируемая система взаимодействующих эллиптических волчков // Теоретическая и математическая физика. — 2006. — Т. 146, № 1. — С. 55—64.

108. Levin A. et al. Characteristic classes of SL(N, C)-bundles and quantum dynamical elliptic R-matrices // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2012. — Dec. — Vol. 46, no. 3. — P. 035201.

109. Сечин И. А., Зотов А. В. GL^M-значная квантовая динамическая Д-матрица, построенная по решению ассоциативного уравнения Янга-Бакстера // Успехи математических наук. — 2019. — Т. 74, 4 (448). — С. 189—190.

110. Чередник И. В. Релятивистски-инвариантные квазиклассические пределы интегрируемых двумерных квантовых моделей // Теоретическая и математическая физика. — 1981. — Т. 47, № 2. — С. 225—229.

111. Чередник И. В. Эллиптические кривые и матричные солитонные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия «Алгебра. Топология. Геометрия». — 1984. — Т. 22, № 0. — С. 205—265.

112. Zotov A. V. 1+1 Gaudin Model // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2011. — Vol. 7. — P. 067.

113. Levin A., Olshanetsky M, Zotov A. 2D Integrable systems, 4D Chern-Simons theory and affine Higgs bundles // Eur. Phys. J. C. — 2022. — Vol. 82, no. 7. — P. 635.

114. Скрыпник Т. В. Квазиградуированные алгебры Ли, схема Ко-станта-Адлера и интегрируемые иерархии // Теоретическая и математическая физика. — 2005. — Т. 142, № 2. — С. 329—345.

115. Skrypnyk T. Infinite-dimensional Lie algebras, classical r-matrices, and Lax operators: Two approaches // Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Oct. — Vol. 54, no. 10. — P. 103507.

116. Zhu X. Gauge equivalent structures of the integrable (2+1)-dimensional nonlocal nonlinear Schrodinger equations and their applications // Physica Scripta. — 2023. — June. — Vol. 98, no. 7. — P. 075203.

Приложение А Эллиптические функции

Здесь мы даем определения и свойства эллиптических функций, используемых в данной работе. Используя обозначения Римана, начнем с определения тэта-функции:

а

(х, т) = ^ ехр(2тгг ((.?'+ а)22 + С/+ а)(* + &})) , 1т(т) > 0 . (А.1)

зе Z

Характе а/2 Ь/2

ристики а,Ь равны либо 0, либо 1/2. Для краткости мы обозначаем = 9аъ. Нечетная тета-функция также обозначается как —(х), так что

вп(х, т) = -(х) = в

1/2 1/2

(х, т)

Связь с обозначениями Якоби

Функции Эйзенштейна:

Е1(х|т) = дх |г),

1 -''' (0)

Е2(х | г) = -дгЕ^х | г) = д2г \аЕ-(г | г) = р(г) - - - ()

3 -'(0)

Эллиптическая функция Кронекера и ее производная:

-'(0)-(г + и)

х,и) =

- ( ) - ( и)

/(х,и) = диф(х,и) = ф(х,и)(Е1(х + и) - Е\(и))

Формулы сложения (или тождество Фэя):

х,и)дуф(х) - ф(х)диф(х,и) = (Е2(и) - Е2(ю)) ф(х,и + у)

X, - д)ф(Xя) = р(х) - р(д) = е2(х) - е2(д).

(А.2)

-(х) = -в1(х), вт(х) = в2(х), воо(х) = е3(х), вог(х) = вА(х). (А.3)

(АЛ) (А.5)

(А.6) (А.7)

(А.8)

(А.9)

Формулы сложения (тождества Римана для тэта-функций):

0(х + и)0(х - и)001(0)01о(О) = воо{хЩх)Ми)0ю(и) +

+0ю(х) Мх) воо(иЩи), (А.1О)

0(х - и)0оо(х + и)0о1 (0)01о(О) = Ооо(х)0(х)^(и)0ю(и)-

-01о (х)0о1(х) 0(ю(иЖи), (А.11)

у(х + и)0о1 (х - и)0оо(О)01о(О) = 0оо(х)01о(х)0о1(и)^(и)+

+0о1(х)??(х) 0оо(и) 01о(и), (А.12)

у(х - и)0о1 (х + и)0оо(О)01о(О) = -0оо(х)01о(х)0о1 (и)0(и) +

+0о1(х)??(х) Ми) Ми), (А.13)

у(х + и)01о(х - и)0оо(О)0о1(О) = 0оо(х)0о1 (х)Ми)$(и)+

+0ю(х)0(х) 0оо(и) 0о1(и), (А.14)

0(х - и)01о(х + и)0оо(О)0о1(О) = -Мх)0о1(х)0ю(и)0(и) +

+0ю(х)0(х) 0оо(и) Ми). (А.15)

В частных случаях получаются соотношения между квадратами тэта-функций:

0(^)2МО)2 = М^)2МО)2 - М^)2МО)2, (А.16)

001 (х)4 + 01о(^)4 - 0оо(ж)4 = 0ц(ж)4 , (A.2O)

701(O) = t700(^) t7l0(O) — U10(6) t700

01о(г)20о1 (0)2 = 001 (2)2010(O)2 — ^(z)2000(O)2 , (A.17)

000(^)2001 (0)2 = 001 (г)20оо(О)2 — 0(z)2ew(O)2 , (A.18)

001(z)2001(O)2 = 0оо( г)20оо(О)2 — 01о(2)20ю(О)2 , (A.19)

W®)4 + M®)4 — 0оо

000(O)4 = 010(O)4 + 001 (O)4 . (A.21)

Квазипериодичности на решетке периодов Z 0 rZ:

§(z + 1) = —&(z), <&(z + t) = —q—2e—2m4(z) ,

( A.22)

Ex(z + 1) = Ei(z), Ex(z + т) = Ex(z) — 2iri,

E2(Z + 1) = E2(Z), E2(Z + t) = E2(Z) , и + 1, z) = ф(и, z), ф(и + T, z) = е—2пггф(и, z),

а

(г + 1| г) = ехр(2т г а) в

( 2 + а'т| т) = ехр ( -2та'2^ - 2ттга'(г + Ь)) в

(*1 Г) ,

+

( А.23)

(г| т). (А.24)

Тета-функции с двойным модульным параметром:

2-(х, 2 т)001(3/, 2 т) = - «А^ ,т) +

+д10, 'х±1 Л- (х-1 Л,

С

2

2воо(х, 2т)вю(у, 2т) = -(Х41 ,т ) -( ^) +

2

,

+Ц^Ц—-

2

2воо(х, 2т)6*оо(у, 2т) = Яоо (Ц1 ^ воо (^) +

+001 (^во1 (^

2

2в ю(х) 2т) вю(у, 2т) = 0со ( воо ( ^

-0![ х^01 (х-УД

2

Квазипериодические функции:

( А.25)

( А.26)

( А.27)

( А.28)

фа(х) = ехр(2ттггдтиа)ф(г,иа), а = 1,2,3 ,

( А.29)

где иа - полупериоды эллиптической кривой (в фундаментальном параллелограмме)

и1 = — , ш2 = —+— , и3 = 1. (А.30)

2

2

2

Точнее,

^) = , ^) = , <*(*) = (А.31)

-(*) во1 (0)

-М0оо(0)

-М вю(0)

или

Ыг) = е™ф(г,2) , = 1), ^з(г) = ф(г, 1) . (А.32)

'2-

Из (Л.8)-(Л.9) имеем (для различных а,/3,^)

Ур М Л М - У7 М И М = У« И (Р (шр) - р (ш7)) , (А.33)

^а(^)2 = РЙ - Р (Ш«) , (А.34)

где, используя определение (Л.7), мы ввели

ЛМ = ^7(4), /2(*) = (*,^), Н( *) = /(*, 1). (А.35) Также для различных а,/,7

(ра(х)(рр(х) = у7(г)Е1(г) - ¡7(г) = -д^(г). (А.36)

Приложение от [112] также может оказаться полезным.