Факторизация R-матрицы, Q-оператор и разделение переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Деркачев, Сергей Эдуардович

• Деркачев, Сергей Эдуардович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Деркачев, Сергей Эдуардович

1 Введение

1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера.

1.2 Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера.

1.3 Локальный гамильтониан.

1.4 (^-оператор.

1.4.1 Общая 11-матрица.

1.4.2 Уравнения Бакстера.

1.4.3 Формула для действия на полиномы.

2 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии 8Ь(2,С).

2.1 Группа БЦг, С)

2.1.1 Представления комплексной группы 8Ь(2, С)

2.1.2 Неприводимые представления группы 8Ь(2, С) .■

2.1.3 Сплетающие операторы.

2.1.4 Генераторы алгебр Ли С) и 51(2, С)

2.2 8Ь(2, (С)-инвариантная 11-матрица.29 ■

2.2.1 Уравнение Янга-Бакстера

2.2.2 Группа перестановок и соотношения для операторов Б^и) .'

2.2.3 Операторы ^иИг.

2.3 Модули Берма и конечно-мерные представления БЬ(2, С)

2.3.1 Модули Берма.

2.3.2 Конечно-мерные представления.

3 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии БЦп, С)

3.1 Группа БЦп, С)

3.1.1 Неприводимые представления группы 8Ь(п, С).

3.1.2 Генераторы алгебры Ли gl(n, С) и генераторы правых сдвигов.

3.1.3 Сплетающие операторы.

3.2 8Ь(п, С)-инвариантная 11-матрица.

3.2.1 Операторы

3.2.2 Операторы В*.

3.3 Модули Берма и конечно-мерные представления 8Ь(п, С).

3.3.1 Модули Берма.

3.3.2 Действие оператора ГЦ на производящую функцию

4 Трансфер матрицы и (^-операторы в случае группы ЭЬ(2, С)

4.1 Локальные объекты: Ь-операторы и 11-операторы.

4.1.1 Матрицы Ь(гг) и Ь(й).

4.1.2 БЬ(2, С)-инвариантная 11-матрица.

4.1.3 Операторы Ях и Л2.

4.2 Глобальные объекты: трансфер-матрицы и (^-операторы.

4.2.1 Факторизация трансфер-матрицы.

4.2.2 Уравнения Бакстера.

4.3 Разделение переменных.

4.3.1 Собственные функции оператора Б (и).

4.3.2 Действие операторов А (и) и Б(и) на собственные функции и(г,х) . 97 4.4 Модули Верма.

4.4.1 Локальные объекты: квантовый Ь-оператор и общий Я-оператор

4.4.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (^-операторы.

4.4.3 Уравнение Бакстера и детерминантное представление.ЮЗ

4.4.4 Примеры ограничений 11-оператора на конечномерные подпространства

4.4.5 Явные формулы для действия на полиномы

5 Трансфер матрицы и (^-операторы в случае группы БЬ(п, С)

5.1 Локальные объекты: Ь-операторы и 11-операторы.Ш

5.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (¡^-операторы.

5.2.1 Элементарные трансфер матрицы.

5.2.2 Факторизация общей трансфер матрицы

5.2.3 Уравнение Бакстера

5.3 Модули Верма.

5.3.1 8І(п)-модули

5.3.2 Трансфер матрицы.

5.3.3 Трансфер матрицы высших уровней

5.3.4 Резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда.

5.3.5 Уравнения Бакстера и анзатц Бете.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Факторизация R-матрицы, Q-оператор и разделение переменных»

Современным подходом к теории квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи [1-6], разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМИ под руководством Л.Д.Фаддеева. Метод был сформулирован в работе Л.Д.Фаддеева, Е.К.Склянина и Л.А.Тахтаджяна и получил дальнейшее развитие в работах Л.Д.Фаддеева, П.П.Кулиша, Н Ю.Решетихина, Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанского, Ф.А.Смирнова, Л.А.Тахтаджяна, В.О.Тарасова и других участников Санкт-Петербургской школы математической физики. Квантовый метод обратной задачи связывает с каждым решением уравнения Янга-Бакстера [7-11] интегрируемую модель и обеспечивает метод построения собственных состояний гамильтониана модели при помощи алгебраического анзатца Бете [1,2,6]. Спектр гамильтониана находится из решения системы уравнений Бете. Проиллюстрируем основные шаги на примере интегрируемой модели, которая называется XXX спиновой цепочкой.

1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера

Без особого преувеличения можно сказать, что основным объектом является оператор а основным уравнением - уравнение Янга-Бакстера [2,7-12]. Для оператора К(и) исторически сложилось название 11-матрица. К (и) - Б1(2)-инвариантное решение уравнения Янга-Бакстера: и). (1.1)

Оператор Шгз(и) зависит от комплексного параметра и, называемого спектральным параметром, и является функцией двух наборов операторов Бг и Э3 - генераторов алгебры Ли 51(2), действующих в векторных пространствах ¥г и V.,. з1(2)-инвариантность означает, что оператор Му (и) коммутирует с суммой генераторов §г + §3

Д + • Шг3(и) = К„(и) ■ (Д + .

Выбирая различные представления в пространствах ¥г и У3, получаем следующие Ы-матрицы в порядке возрастания сложности.

• В самом простом случае двумерных представлений спина £ = \ в пространствах У г и V, генераторы 51 выражаются через матрицы Паули: 0 1 \ ( ® 'Л ( 1 ® \

2 5 ^ =4 1 о ) ' ^ ~ у г 0 ) ' = V О -I)

В этом случае Ы-матрица даётся выражением гз (и) = и + ^ + ^г <8>СГ3 = и+ Ргз и с точностью до аддитивной добавки спектрального параметра совпадает с оператором перестановки : Р13 х <8) у = у <8 х , где х £ К и у 6 У3. Оператор перестановки можно "материализовать" в виде квадратной четырехмерной матрицы. Для этого зафиксируем стандартным образом базис в тензорном произведении двумерных пространств Ух ® У2: еі = е2 е3 е4 =

Явное выражение для оператора Р в этом базисе имеет следующий вид

Р=Л(*в,*+1) = 1(г ^

2 4 ' 2 V + га2 1 — <тз 1 о о о \

0 0 10

0 10 0

V о о о і /

1.2)

• Двумерное представление спина I — | в пространстве У3 и произвольное, возможно бесконечномерное представление спина I Е С в пространстве Уг:

Мг(и) = и + - + вг^а.

Эта Я-матрица с точностью до сдвига спектрального параметра совпадает с так называемым квантовым Ь-оператором

Ьг{и) = Мг I и- = и + = ( 1 и + вг

1.3) который используется для построения матрицы монодромии. В Ь-операторе внутри матрицы стоят понижающий и повышающий генераторы алгебры з1(2), которые связаны с генераторами стандартными формулами: 6,± = ± гбг ; й1 = б'з

• Произвольные эквивалентные представления спина £ £ С в пространствах ¥, и В этом случае 11-матрица определяется следующей компактной формулой [3,6,7]: нз

1.4) где — оператор перестановки, а Сгз оператор Казимира: С — Б Я — 5і (5і 1) + Б в пространстве V, <8> У^, то есть § = ¡Зг + Данная 11-матрица используется для построения локального гамильтониана модели.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Деркачев, Сергей Эдуардович

6 Заключение

Вместо Заключения перечислим проблемы, решение которых, как нам кажется, привело бы к более глубокому пониманию общей картины.

• Связь с другими схемами построения (^-операторов.

Как уже было отмечено во Введении, альтернативный систематический подход к проблеме построения (^-операторов разработан в работах [44-49]. На данный момент связь этих подходов подробно проанализирована в случае спиновой цепочки с алгеброй симметрии з1(2). Рассматриваемые подходы являются в каком-то смысле комплементарными друг другу. Конструкция, изложенная в данном тексте, удобна в случае бесконечномерных представлений в квантовом пространстве, в то время как конструкция работ [44-49] больше подходит в случае конечномерных представлений. На данный момент недостатком обеих конструкций является необходимость введения дополнительной регуляризации в случае конечномерных представлений в квантовом пространстве. Эта регуляризация нарушает глобальную 51(2)-симметрию модели и необходима из-за расходимости следа по бесконечномерному вспомогательному пространству.

• Регуляризация следов.

Во всем тексте мы намеренно избегали вопроса о существовании следа по бесконечномерному вспомогательному пространству. В случае непрерывных серий все операторы являются интегральными и однозначно определяются своими ядрами. Поэтому вопрос о существовании следа сводится к тому, можно ли в явном виде найти ядро рассматриваемого оператора. В случае группы симметрии 8Ь(2,С) все ядра были вычислены явным образом, поэтому вопрос о существовании следа не возникает. В случае группы ЗЬ(п, С) явные формулы для ядер более сложные и громоздкие, но, как нам кажется, это вопрос технический и при необходимости может быть решен.

В случае модулей Верма при произвольном комплексном спине в квантовом пространстве вопрос о сходимости рассматриваемых следов является открытым. Если рассматриваются конечномерные представления в квантовом пространстве, след расходится очевидным образом. Стандартный прием в этом случае - введение регуляризации, обеспечивающей сходимость следа и не нарушающей основных локальных соотношений. Для полноты картины мы приведем пример такой регуляризации и продемонстрируем, как все работает. Будем использовать следующую регуляризацию

Гуо В —1;гу0 Го9оВ ; д € С , |д| < 1, которая соответствует квазипериодическим граничным условиям для спиновой цепочки. Такая регуляризация сохраняет интегрируемость модели, подправляя соотношения, лежащие в основе интегрируемости. Это следует из коммутационного соотношения ' дго0о+~~°'9о\Коо'] = О.

Недостатком этой регуляризации является нарушение глобальной з1(2)-симметрии.

Перечислим изменения в основных формулах. Начнём с формулы для следа

Рхо • • • Р^о] = Р12Р1З ' • • Рш = Р , приводящей к оператору циклического сдвига IP . Вводим в выражение для следа указанную регуляризацию trVo [g2°a° • р10 • • • P;vo] - Р12Р13 • • • Рш • trVo [qZodo Рю] = p ' <flBl ■

Воспользуемся этим результатом, чтобы ввести регуляризацию в соотношения факторизации. При помощи N — 1 локальных соотношений для улов с номерами к = 2,., N и одного регуляризованного соотношения для первого узла, имеющего вид

Rjjo,(ui, v2\u2) • <f°'s°'P10< • qzodo Ri0(«i, u2\vuv2) = qZod° R?0(ui, "ah) • qz°,d°' Rio'(«iK u2) • Ко'Ы, v2\u2) , получаем аналог соотношения факторизации, которое содержит теперь только регуляризо-ванные следы

РqZldl ■ try0 [^МюСиьигК.^-.-К^МьИг!«!,^)] =

Вторая формула факторизации модифицируется совершенно аналогично Fqzidi -trVo [^RioiMbWaK.^-'-Rjvoiwi.^bbVz)] =

Свойства коммутативности тоже изменяются. Если в отсутствии регуляризации трансфер-матрицы коммутируют с оператором циклического сдвига Р, то теперь они коммутируют с оператором Рqzidl. Свойства коммутативности различных трансфер матриц сохраняют свой вид, если теперь считать, что они заменены на регуляризованные версии. Причём: важно, что параметр регуляризации во всех следах один и тот же.

Как и ранее, выбирая подходящим образом параметры в трансфер-матрицах, получаем регуляризованные Q-операторы Бакстера

Qi(%)= trv0 [geoaDRio(wibiJM2)-"R^o(wiK,M2)]|wl=0 , Q2(«|g)= trVo [?2o9oR?o(«i^2b2)---K^o(«i,«2b)]L2=0 • и регуляризованные общие трансфер матрицы ts(u|g) = trVo [qzodo ri0(u)r2o(w) • • ■ Rjvom] ■

Перечислим формулы факторизации и различные соотношения коммутативности дл регу-ляризованных операторов

Fqz^ ■ te(«|g) = Q2{u - s\q) Q^u + s + l\q) = Q^u + s + l\q) q2 ,

P<flSl, Qi(ti|g)] = [PgzlSl, q2(U|?)] = 0, [Qi(u\q),Qi(v\q)} = [q2№),q2(%)] = [qi(«|g),q2(v|g)] = 0.

Обратимся теперь к уравнению Бакстера. Теперь трансфер-матрица принимает вид

Ь(и\д) = ^ ^ ^ Ъх(м)Ь2(м) ■ • -Ьм(и), поскольку базис в двумерном пространстве ех = —г0 , е2 = 1 . Далее вводим регуляризацию в локальное соотношение, лежащее в основе уравнения Бакстера, и воспользуемся равенством

Это приводит к соотношению для глобальных объектов

• • • ^ и(и)Ъ2(и) ■ ■ • Ыи) =

7 ( д-дг°д°Ж\0(и + 1) -д ■ дъЪЩМд! \ (Ш2т(и + 1) -Ж%0(и)дм \ х V 0 щ и2 • д*°д°Щ0(и - 1) ) " Д 0 иги2 М?т {и - 1) / 0 ' взяв след от обеих частей которого по бесконечномерному пространству и по двумерному пространству, получим уравнение Бакстера

- д ■ Ц2(и + 1|д) + {щи*)" • - 1|д).

Рассмотрим изменения, происходящие во втором выводе уравнения Бакстера. Трансфер матрица с конечномерным вспомогательным пространством имеет вид и\д) = Ьт дгодо Ию(и) К.20Ы • ■ • Пт(и).

Поскольку в этой формуле след вычисляется по конечномерному пространству размерности п+1, то оператор дх°д° в этой формуле обращается в диагональную (п+ 1)-мерную матрицу.

При введении регуляризации происходят изменения в формуле, представляющей след по конечномерному пространству как разность следов по бесконечномерным пространствам

Эти изменения связаны с перестановочным соотношением для оператора дп+г дп+1 г0д0 дП+1 . ^годо дп+Х которое порождает

Ьгдп+1 дгодо | ) 2 ) . шт(и\е, |) д-п~х = дп+1 ■ Тпх(и|9)

Таким образом, детерминантная формула модифицируется

Р д^.Ьп(и\д) =

Ча-Ъх{и-1\д) СЬ(и-| |д) где п + 1 = а + /3 .

Чтобы получить набор соотношений для трансфер-матриц, рассмотрим определитель

СЬ(а|<7) <7п+1(Э2(а|д) <ЗіИ<?)

3і(%) д2(Ь|д) <&(%) 0 с параметрами п п п і а = и + - + 1 ; о = и - - ; с = и тгь — 1, приводящий к билинейным соотношениям п + тп и- 1 п и + 1+ - ^п+Г71+1 ^ - 171 2 1 ^ - Ці (и - || д) + д'п+Мпн<?)-<Зі -о.

Далее выбираем п = т = 0 , что даёт уравнение Бакстера для С^і

Ь(и|дШ«|д) = Сїі(и + 1|д) + д ■ (гци2)" • (и- 1|д) • Чтобы получить уравнение для второго оператора, рассмотрим определитель

СЖ?) дп+1д2(а|д)

СЗі (%) СЬ(%) <&(%) дт+1Яі(с\д) СЬ(с|д) д2(с|д) с теми же параметрами и выведем набор соотношений 0 д^) • <32 +1 + || д) - Wm.fi - т*1 о^ • (и п 2 + п и — 1 — т — — г) =о. (гг|д) • СЬ (г Выбор п = тп — 0 приводит к второму уравнению

Ь(и|д) СЦи|д) = Я • + 1|д) + {ихи2)я • СЬ(и - 1|д).

Таким образом, при введении регуляризации, обеспечивающей сходимость следа, все работает, как и без регуляризации, только теряется глобальная бі (2)-инвариантность и в формулах появляется зависимость от параметра д. Все происходит аналогичным образом и в общем случае алгебры БІ(гг) [57].

• Конечномерные представления в квантовом пространстве.

Как мы уже отмечали, в случае конечномерных представлений в квантовом пространстве все существующие конструкции (^-оператора включают д-регуляризацию. Таким образом, на вопрос Георгия Павловича Пронько, заданный на конференции С(^13-2011: Можно ли построить два основных 0,-оператора для простейшей XXX спиновой цепочки спина 2 с периодическими граничными условиями и почему, если нельзя? , мы до сих пор не знаем ответа.

• Метод разделения переменных в случае групп высших рангов.

Алгебраическая часть схемы метода разделения переменных допускает обобщение на случай алгебры в1(3) [86-88] и на случай алгебры ид(з1(гс)) [89]. До сих пор неизвестен ни оператор перехода в представление разделенных переменных, ни связь с (^-операторами. Мы намеренно привели в тексте формулу (4.47) для меры в представлении разделенных переменных, так как это выражение совпадает с мерой Планшереля для группы ЗЬ(АГ — 1,С). Вряд ли это может быть случайным совпадением, но на данный момент причина этого совпадения абсолютно непонятна.

• Уравнение Бакстера.

Уравнение Бакстера в форме (5.19) было навеяно работами [90]. В [90] предложена интересная интерпретация этого соотношения, по духу близкая к работам [91]. Установление всех взаимосвязей могло бы пролить свет на проблему разделения переменных в случае высших рангов.

• Обобщение на случай д-деформированных и эллиптических алгебр.

Мы рассмотрели только случай рациональных К-матриц и возникает естественный вопрос, насколько вся конструкция выдерживает различные деформации. На данный момент рассматривался только случай группы ранга один, т.е. алгебра э1(2) и ее деформации. В работе [97] было продемонстрировано, что вся схема построения общего решения уравнения Янга-Бакстера переносится на случай ^-деформации и, более того, на случай эллиптической деформации - алгебры Склянина [92]. Аналог сплетающего оператора построен А.Забродиным [35], а доказательство соотношений Кокстера основано на формуле Френкеля-Тураева [94]. Интересно установить связь с эллиптическими интегралами В.Спиридонова [105,106] для эллиптических гамма-функций [93] и с работами [95,96,107].

В работе [104] было показано, что схема построения (^-оператора переносится на случай ¿/-деформации. Важную роль при этом играют различные соотношения для вантового ди-логарифма [71,98,99,103]. Открытый вопрос - перенесение всей схемы на случай квантового дубля [100-102]. л

7 Благодарности

Мне хотелось бы выразить исключительную признательность Людвигу Дмитриевичу Фад-дееву, Петру Петровичу Кулишу, Михаилу Арсеньевичу Семенову-Тян-Шанскому и Евгению Константиновичу Склянину за поддержку и очень ценные научные обсуждения. Большое спасибо Виталию Олеговичу Тарасову за многочисленные обсуждения и критические замечания.

Я благодарен оппонентам - Анатолию Моисеевичу Вершику, Алексею Петровичу Исаеву и Сергею Михайловичу Хорошкину, взявшими на себя труд прочитать текст, за многочисленные обсуждения, дельные советы и вопросы, которые во многом способствовали более глубокому пониманию изложенного материала.

Огромное спасибо моим друзьям и соавторам - Григорию Корчемскому, Александру Ма-нашову, Давиду Караханяну и Роланду Киршнеру за дружеское отношение и многолетнее сотрудничество.

На разных этапах работы многие вещи становились ясными и понятными после обсуждений со специалистами. Хотелось бы поблагодарить Льва Николаевича Липатова, Георгия Павловича Пронько, Никиту Андреевича Славнова, Федора Александровича Смирнова, Андрея Быцко, Александра Горского, Александра Одесского, Антона Забродина, Сергея Хар-чева, Андрея Маршакова, Вячеслава Спиридонова, Михаила Бабича, Винсента Паскье и Жана-Мишеля Майе за обсуждения.

Отдельное спасибо Михаилу Бабичу и Вадиму Кострыкину за поддержку и особая признательность и благодарность Григорию Корчемскому, без помощи и поддержки которого этот текст не был бы написан.

И, наконец, последнее по счету, но не по значимости - спасибо моей жене Оле и маме Татьяне Сергеевне.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Деркачев, Сергей Эдуардович, 2011 год

1. L. D. Faddeev, E. K. Sklyanin and L. A. Takhtajan, The Quantum Inverse Problem Method. 1, Theor. Math. Phys. 40 (1980) 688 Teor. Mat. Fiz. 40 (1979) 194].

2. Тахтаджян JI. И. , Фаддеев JI. Д. Квантовый метод обратной задачи и ХУХ-модель Гейзенберга Успехи мат. наук, 1979, Т.34, N5, стр 13-63.

3. V. О. Tarasov, L. A. Takhtajan, L. D. Faddeev, Local Hamiltonians for integrable quantum models on a lattice, Theor. Math. Phys. 57 (1983) 163.i

4. P.P. Kulish and E.K. Sklyanin , Quantum spectral transform method. Recent developments, Lect. Notes in Physics, v 151, (1982) , 61-119.

5. E.K.Sklyanin,Quantum Inverse Scattering Method.Selected Topics, in "Quantum Group and Quantum Integrable Systems"(Nankai Lectures in Mathematical Physics), ed. Mo-Lin Ge,Singapore:World Scientific,1992,pp.63-97; hep-th/9211111.

6. L.D.' Faddeev, How Algebraic Bethe Anstz works for integrable model, In: Quantum Symmetries/Symetries Qantiques, Proc.Les-Houches summer school, LXIV. Eds. A.Connes,К.Kawedzki, J.Zinn-Justin. North-Holland, 1998, 149-211, hep-th/9605187.

7. P.P. Kulish, N.Yu.Reshetikhin and E.K.Sklyanin, Yang-Baxter equation and representation theory, Lett.Math.Phys. 5 (1981) 393-403.

8. P.P. Kulish and E.K.Sklyanin , On the solutions of the Yang-Baxter equation Zap.Nauchn.Sem. LOMI 95 (1980) 129.

9. M.Jimbo introduction to the Yang-Baxter equation, Int.J.Mod.Phys A 4, (1983) 3759 Yang-Baxter equation in integrable systems, M.Jimbo ed., Adv.Ser.Math.Phys., 10 , World Scientific (Singapore) 1990.

10. V.G.Drinfeld, Hopf algebras and Yang-Baxter equation, Soviet Math.Dokl. 32(1985), 254 V.G.Drinfeld, Quantum Groups in "Proc.Int.Congress Math., Berkeley, 1986 AMS, Providence RI (1987), p 798.

11. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, London, 1982.

12. B. Sutherland, A General Model For Multicomponent Quantum Systems, Phys. Rev. В 12 (1975) 3795.

13. P. P. Kulish and N. Yu. Reshetikhin, On GL^-invariant solutions of the Yang-Baxter equation and associated quantum systems. Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 120 (1982), 92-121

14. P. P. Kulish and N. Y. Reshetikhin, Diagonalization Of Gl(N) Invariant Transfer Matrices And Quantum N Wave System (Lee Model), J. Phys. A 16 (1983) L591.

15. G. P. Pronko and Yu. G. Stroganov, Bethe Equations "on the Wrong Side of Equator" , J. Phys. A 32 (1999) 2333, hep-th/9808153.

16. G. P. Pronko and Yu. G. Stroganov, The complex of solutions of the nested Bethe ansatz: The A(2) spin chain, arXiv:hep-th/9902085.

17. E. K. Sklyanin, The quantum Toda chain, Lecture Notes in Physics, vol. 226, Springer, 1985, pp.196-233; Functional Bethe ansatz, in "Integrable and superintegrable systems", ed. B.A. Kupershmidt, World Scientific, 1990, pp.8-33.

18. M. Gaudin and V. Pasquier, The periodic Toda chain and a matrix generalization of the bessel function's recursion relations, J. Phys. A 25 (1992) 5243.

19. L. N. Lipatov, Evolution equations in QCD, in "Perspectives in Hadronic Physics," Proceedings of the Conference, ICTP, Trieste, Italy, 12-16 May 1997, eds. S. Boffi, C. Ciofi Degli.Atti and M. Giannini, World Scientific (Singapore, 1998).

20. L. N. Lipatov, High-energy asymptotics of multicolor QCD and two-dimensional conformal field theories, Phys. Lett. B 309 (1993) 394.

21. N. Lipatov, Asymptotic behavior of multicolor QCD at high energies in connection with exactly solvable spin models, JETP Lett. 59 (1994) 596, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 59 (1994) 571.

22. N. Lipatov, Duality symmetry of reggeon interactions in multicolor QCD, Nucl.Phys. B 548, (1999) 328.

23. L.D.Faddeev and G.P.Korchemsky, Hight-energy QCD as a completely integrable model, Phys.Lett.B342(1995)311.

24. D.Karakhanian and R.Kirschner, Conserved currents of the three-reggeon interaction, hep-th/9902147; "High-energy scattering in gauge theories and integrable spin chains hep-th/9902031, Fortschr. Phys.48, (2000) 139.

25. R. J. Baxter, Partition function of the eight-vertex lattice model, Annals Phys. 70 (1972) 193 Annals Phys. 281 (2000) 187].

26. V. V. Bazhanov and Yu. G. Stroganov, Chiral Potts model as a descendant of the six vertex model, J. Statist. Phys. 59 (1990) 799.

27. A. Y. Volkov, Quantum lattice KdV equation, Lett. Math. Phys. 39 (1997) 313.

28. A.Antonov, B. Feigin Quantum group representation and Baxter equation, Phys.Lett. B392 (1997), 115-122 , hep-th/9603105.

29. S E Derkachov Baxter's Q-operator for the homogeneous XXX spin chain J. Phys. A 32 (1999) 5299, arXiv:solv-int/9902015.

30. V.B.Kuznetsov, M.Salerno, E.K.Sklyanin, Quantum Backlund transforation for the integrable DST model, J.Phys.A 33(2000)171-189, arXiv:solv-int/9908002.

31. E.K. Sklyanin, Backlund transformations and Baxter's Q-operator, In: Integrable systems:from classical to quantum(Montreal ,QC, 1999),227-250, CRM Proc.Lecture Notes 26, Amer.Math.Soc.,Providence,RI,2000 nlin.SI/0009009.

32. V. B. Kuznetsov, V. V. Mangazeev and E. K. Sklyanin, Q—operator and factorised separation chain for Jack's symmetric polynomials, Indag. Math. 14 (2003) 451.

33. V. B. Kuznetsov, E. K. Sklyanin, Factorization of symmetric polynomials, Contemp.Math. 417 (2006) 239-256 e-Print: math/0501257 math-ca].

34. K. Hikami, Baxter Equation for Quantum Discrete Boussmesq Equation, Nucl. Phys. B 604 (2001) 580.

35. G.P.Pronko, On the Baxter's Q-operator for the XXX spin chain, Commun.Math.Phys. 212: 687-701, 2000 hep-th/9908179,

36. A.E.Kovalsky and G.P.Pronko Baxter Q-operators for integrable DST chain, nlin.SI/0203030,

37. A.E.Kovalsky and G.P.Pronko Baxters Q-operators for the simplest q-deformed model, nlin.SI/0307040.

38. A.A Belavin, A.V.Odessky, R.A.Usmanov, New relations in the algebra of the Baxter Q-operators, hep-th/0110126.

39. M.Rossi, R.Weston, A Generalized Q-operator for Uq(sl2) Vertex Models, J.Phys.A 35(2002) 10015-10032 , math-ph/0207004.

40. A.Zabrodin Commuting difference operators with elliptic coefficients from Baxter's vacuum vectors, J.Phys.A 33(2000) 3825, math.QA/9912218.

41. C. Korff, Auxiliary matrices for the six-vertex model and the algebraic Bethe ansatz, J. Phys. A 37 (2004) 7227.

42. C. Korff, Representation Theory and Baxter's TQ equation for the six-vertex model.A pedagogical overview.,* arXiv:cond-mat/0411758.

43. M. Kirch and A. N. Manashov, Noncompact SL(2,R) spin chain, JHEP 0406 (2004) 035.

44. A. G. Bytsko and J. Teschner, Quantization of models with non-compact quantum group symmetry: Modular XXZ magnet and lattice smh-Gordon model, arXiv:hep-th/0602093.

45. T. Kojima, The Baxter's Q-operator for the W-algebra Wjv,(2008) arXiv:nlin./0803.3505].j

46. V.B. Kuznetsov, E.K. Sklyanin, Few remarks on Baecklund transformations for many-body systems, J.Phys.A 31 (1998) 2241-2251, arXiv:solv-int/9711010.

47. S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD. I: Baxter Q-operator and separation of variables, Nucl. Phys. B 617 (2001) 375 arXiv:hep-th/0107193].

48. S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Separation of variables for the quantum SL(2, R) spin chain, JHEP 0307 (2003) 047.

49. S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Baxter Q—operator and separation of variables for the open SL(2, R) spin chain, JHEP 0310 (2003) 053.

50. V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Integrable structure of conformal field theory. I-III, Commun. Math. Phys. 177 (1996) 381 arXiv:hep-th/9412229], 190 (1997) 247 [arXiv:hep-th/9604044], 200 (1999) 297 [arXiv:hep-th/9805008].

51. V. V. Bazhanov, A. N. Hibberd and S. M. Khoroshkin, Integrable structure of W(3) conformal field theory, quantum Boussinesq theory and boundary affine Toda theory, Nucl. Phys. B 622, 475 (2002) arXiv:hep-th/0105177].

52. V.'V. Bazhanov, Z. Tsuboi, Baxter's Q-operators for supersymmetric spin chains,(2008) arXiv:hep-th /0805.4274].

53. V. V. Bazhanov, T. Lukowski, C. Meneghelli and M. Staudacher, A Shortcut to the Q-Operator, J. Stat. Mech. 1011 (2010) P11002 arXiv: 1005.3261 [hep-th]].

54. V. V. Bazhanov, R. Frassek, T. Lukowski, C. Meneghelli, M. Staudacher Baxter Q-Operators and Representations of Yangians, Nucl.Phys. B850 (2011) 148-174 e-Print: arXiv:1010.3699 math-ph].

55. R. Frassek, T. Lukowski, C. Meneghelli, M. Staudacher Oscillator Construction of su(n\m) Q-Operators, Nucl.Phys. B850 (2011) 175-198 e-Print: arXiv:1012.602I math-ph].

56. S. M. Khoroshkin and V. N. Tolstoy, Universal R-matrix for quantized (super)algebras, Comm. Math. Phys. 141 (1991), 599.

57. S. M. Khoroshkin and V. N. Tolstoy, The uniqueness theorem for the universal R-matrix, Lett. Math. Phys. 24 (1992), 231.

58. S. M. Khoroshkin, A.A.Stolin and V. N. Tolstoy, Generalized ' Gauss decomposition of trigonometric R-matrices, Mod.Phys.Lett. A10 (1995), 1375-1392.

59. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Factorization of the transfer matrices for the quantum st(2) spin chains and Baxter equation J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 4147-4159 arXiv: nlin.si /05012047].

60. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Baxter operators for the quantum s£(3) invariant spin chain, J. Phys. A 39 (2006) 13171 arXiv:nlin.si/0604018].

61. A. V. Belitsky, S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Baxter Q-operator for graded SL(2jl) spin chain, J. Stat. Mech. 0701 (2007) P005 arXiv:hep-th/0610332].

62. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, R-matrix and Baxter Q-operators for the noncompact SL(N, C) invariant spin chain SIGMA 2 (2006) 084 arXiv:nlin.SI/0612003.

63. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Factorization of R— matrix and Baxter Q—operators for generic sl(N) spin chains, J. Phys. A 42 (2009) 075204.

64. С. Э. Деркачев, А. Н. Манатов, Общее решение уравнения Янга-Бакстера с группой симметрии SL(n,C), Алгебра и анализ, 21:4 (2009), 1-94.

65. М. В. Бабич, С. Э. Деркачев, О рациональной симплектической парамет- ризации коприсоединенной орбиты GL(n,С): диагонализуемый случай, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 16-31.

66. S. Е. Derkachov and А. N. Manashov, Noncompact stn spin chains: BGG-resolution, Q-operators and alternating sum representation for infinite dimensional transfer matrices, Lett. Math. Phys. 97 (2011) 185-202.

67. С. Э. Деркачев, Факторизация R-матрицы, Q-onepamop и разделение переменных в случае ХХХ-спиновой цепочки с группой симметрии SL(2,C), Теоретическая и математическая физика, Т. 169, No. 1. (2011).

68. И. М. Гельфанд, Г.Е.Шилов Обобщённые функции. Вып 1: Обобщённые функции и действия над ними М.:Наука, 1959.

69. И. М. Гельфанд и М. И. Наймарк Унитарные представления классических групп Труды математического института им В.И. Стеклова, 36, 1950.

70. И. М. Гельфанд, М. И. Наймарк, Н.Я.Виленкин Обобщённые функции. Вып 5: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений М.:Наука, 1962.

71. Д.П.Желобенко,Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений. Успехи мат.наук т. 17 вып. 1(103) 27-120 (1962).

72. Д.П.Желобенко,Компактные группы Ли и их представления. М.:Наука, 1970.

73. М.А.Наймарк, Теория редставлений групп. М.:Наука, 1976.

74. Кокстер Г.С.М., Мозер У.О.Дж., Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.:Наука, 1980.

75. Knapp. A.W. Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples. Princeton,N. J.: Princeton Univ.Press, 1986.

76. A. H. Васильев, Квантовополевая ренормгруппа в теории критичесского поведения и стохастической динамике, 774 стр., Издательство ПИЯФ, Санкт-Петербург, 1998.

77. A. Yu. Volkov, Noncommutative hypergeometry, Commun. Math. Phys. 258 (2005) 257-273 arXiv:math/0312084].

78. A. P. Isaev, Multi-loop Feynman integrals and conformal quantum mechanics, Nucl. Phys. В 662 (2003) 461 arXiv:hep-th/0303056]. A. P. Isaev, Operator approach to analytical evaluation of Feynman diagrams, Phys.Atom.Nucl.71:914-924,2008, arXiv:0709.0419.

79. E. K. Sklyanin, Classical limits of the Yang-Baxter equation, J. Sov. Math. 40 (1988) 93.

80. S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Universal R-matrix as integral operator, Nucl. Phys. В 618 (2001) 589-616.

81. G.Gasper, Elementary derivation of summation and transformation formulas for q-series., (1995).

82. G.Gasper, M. Rahman, Basic hypergeometric series., Cambridge: Cambridge University Press (1990).

83. A. Molev, Yangians and classical Lie algebras, vol. 143 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

84. A.Kuniba, T.Nakanishi, J.Suzuki, Functional relations in solvable lattice models I. Functional relations and representations theory II. Applications Int.J.Mod.Phys. A9 1994, 5215-5312.i

85. A. Zabrodin, Discrete Hirota's equation in quantum integrable models, arXiv:hep-th/9610039.

86. Z. Tsuboi, Analytic Bethe ansatz and functional equations for Lie superalgebra sl(r + l\s + 1), J. Phys. A 30'(1997) 7975.

87. I.Krichever, O.Lipan, P.Wiegman, A.Zabrodin, Quantum Integrable Systems and Elliptic Solutions of Classical Discrete Nonlinear Equations arXiv:hep-th/9604080.

88. Z. Tsuboi, Analytic Bethe ansatz related to a one-parameter family of finite-dimensional representations of the Lie superalgebra sl(r + l|s + 1), J. Phys. A 31 (1998) 5485.

89. A. Kirillov and N. Reshetikhin, Proc. Conf. on Infinite Dimensional Lie Groups and Algebras, Marseille 1988, ed. V. G. Kac, (Singapore: World Scientific)

90. V. Bazhanov and N. Reshetikhin, Restricted Solid On Solid Models Connected With Simply Based Algebras And Conformal Field Theory, J. Phys. A 23 (1990) 1477.

91. Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968).

92. Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g—Modules, Lie Groups and Their Representations!. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.

93. E.K. Sklyanin, Separation of variables in the classical integrable SL(3) magnetic chain, Commun.Math.Phys. 150 (1992) 181-192 e-Print: hep-th/9211126.

94. E. K. Sklyanin, Separation of variables in the quantum integrable models related to the Yangian Ysl(3)], J. Math. Sci. 80 (1996) 1861 [Zap. Nauchn. Semin. 205 (1993) 166] [arXiv:hep-th/9212076].

95. E.K. Sklyanin, Separation of variables new trends,. Prog.Theor.Phys.Suppl. 118 (1995) 35-60 e-Print: solv-int/9504001.

96. F. A. Smirnov, Separation of variables for quantum integrable models related to Uq(slN), arXiv:math-ph/0109013.

97. A. Chervov, D.Talalaev, Quantum spectral curves, quantum integrable systems and the geometric Langlands correspondence. e-Print: hep-th/0604128,

98. A. Chervov, D.Talalaev, Universal G-oper and Gaudin eigenproblem. e-Print: hep-th/0409007,

99. D. Talalaev, Quantization of the Gaudin system. e-Print: hep-th/0404153.

100. A. P. Isaev, O. V. Ogievetsky, P.N. Pyatov, Q-multilinear Algebra arXiv:math/9912231, Lecture given at the 3rd International Workshop on "Lie Theory and Its Applications in Physics 1999, Clausthal, Germany,

101. A. P. Isaev, O. V. Ogievetsky, P. N. Pyatov, Cayley-Hamilton-Newton identities and quasitriangular Hopf algebras, arXiv:math/9912197.

102. E.K.Sklyanin, On some algebraic structures related to Yang-Baxter equation , Funkz. Analiz i ego Pril. 16 (1982) pp 27-34

103. On some algebraic structures related to Yang-Baxter equation: representations of the quantum algebra , Funkz. Analiz i ego Pril. 17 (1983) pp 34-48.

104. G.Felder and A.Varchenko , The elliptic gamma function and SL(3, Z) x Z'3 arXiv:math.qa/9907061.

105. I.Frenkel and V.Turaev, Elliptic solutions of the Yang-Baxter equation and modular hypergeometric functions, The Arnold-Gelfand Mathematical Seminars (Cambridge, MA:Birkhauser Boston) (1997) pp 171-204.

106. V. V. Bazhanov and S. M. Sergeev, A master solution of the quantum Yang-Baxter equation and classical discrete integrable equations, arXiv: 1006.0651 math-ph] .

107. V. V. Bazhanov, S. M. Sergeev, Elliptic gamma-function and multi-spin solutions of the Yang-Baxter equation. e-Print: arXiv:1106.5874 math-ph].

108. S. Derkachov, D. Karakhanyan, and R. Kirschner, Yang-Baxter 1Z-operators and parameter permutations, Nucí. Phys. B 785 (2007), 263-285.

109. A. Yu. Volkov and L. D. Faddeev, Yang-Baxterization of the quantum dilogarithm, Zapiski POMI 224 (1995), 146-154 (J. Math. Sciences 88 (2) (1998), 202-207).

110. L. D. Faddeev and R. M. Kashaev, Quantum Dilogarithm, Mod. Phys. Lett. A 9 (1994) 427 arXiv:hep-th/9310070].

111. L. D. Faddeev, Modular double of a quantum group, Conf. Moshíe Flato 1999, vol. I, Math. Phys. Stud. 21, Kluwer, Dordrecht, 2000, pp. 149-156.

112. L. D. Faddeev and A. Yu. Volkov, Algebraic quantization of Integrable models in discrete spacetime, Discrete Integrable Geometry and Physics, Oxford Lecture Series in Mathematics' and its applications 16 (1999) 301-320 arXiv:hep-th/97010039].

113. D. Faddeev, R. M. Kashaev, and A.Yu. Volkov, Strongly coupled quantum discrete Liouville Theory. I: Algebraic approach and duality, Commun. Math. Phys. 219 (2001), 199-219.

114. S. Kharchev, D. Lebedev, and M. Semenov-Tian-Shansky, Unitary representations of Ug(sl(2, the modular double and the multiparticle q-deformed Toda chains, Commun. Math. Phys. 225 (2002), 573-609.

115. A.N.Kirillov, Dilogarithm identities, Progr.Theor.Phys.Suppl.118 (1995) 61-142, hep-th/9408113

116. S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Baxter Q-operators of the XXZ-chain and R-matrix factorization, Nucl. Phys. B 738 (2006) 368-390.

117. V. P. Spiridonov, On the elliptic beta function, Uspekhi Mat. Nauk 56 (1) (2001), 181-182 (Russian Math. Surveys 56 (1) (2001), 185-186).

118. V. P. Spiridonov, Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions, Uspekhi Mat. Nauk 63 (3) (2008), 3-72 (Russian Math. Surveys 63 (3) (2008), 405-472).

119. V. P. Spiridonov, Elliptic beta integrals and solvable models of statistical mechanics, arXiv:1011.3798 hep-th].