Методы построения квантовых твистов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Самсонов, Максим Евгеньевич

• Самсонов, Максим Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самсонов, Максим Евгеньевич

Введение

1 Построение квантовых аналогов для расширенных жордано-вых твистов

1.1 Квантование расширенных жордановых г—матриц.

1.2 Квантовая алгебра Дринфельда-Джимбо ид($)

1.3 Квантовый жорданов твист.

1.4 Твист Креммера-Жерве и его специализация при q

1.5 Квазиклассические твисты и некоммутативная геометрия

2 Квантовые аффинные твисты и их рациональный предел

2.1 Аффинизация q—твистов.

2.1.1 Аффинный твист для Uq(sl2).

2.1.2 Аффинный твист для Uq(s\з).

2.2 Рациональное вырождение

2.2.1 Рациональное вырождение Т^.

2.2.2 Рациональное вырождение

2.3 Квантование п < 4 обобщенных жордановых г—матриц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы построения квантовых твистов»

Основные определения и необходимые сведенья

§1. Роль R—матрицы в построении интегрируемых решеточных моделей и моделей спиновых цепочек

Переход от классических интегрируемых систем к квантовым в рамках квантового метода обратной задачи [19, 35] можно рассматривать как переход от классических г—матриц (со спектральным параметром) г : С —> gln 0 gln: r12{ui - u2), Г1з(«1 - из)] + [пг(«1 ~ «г), ггз(«2 - «з)]+ ^

13(«1 - и3), Г23(и2 - «з)] = О, где r\2{u))ilk\jmn = ru\jm{u) • (Пз(«))й*|,'тп = • Slm f2z{u))ilk\jmn — ГЩтп{и) • Stf и (A <g> B)ikyi = -AijBw; к их квантовым аналогам - решениям квантового уравнения Янга-Бакстера: Ri2(ui-u2)Riz(ui-uz)R2z(u2-u3) = R2z(u2-uz)Riz{ui-uz)Ri2(ui-u2), (2) где Rij(u) обозначают матрицы построенные из R(u) тем же способом, которым гц{и) строились из г (к).

R—матрицы позволяют строить одномерные и двумерные решеточные модели, устанавливая соответствие решеточных моделей статистической механики моделям спиновых цепочек. С точки зрения статистической механики

2, 9,12], элементы R—матрицы задают веса узлов решетки - болъцмаиовские веса: где каждой строке и каждому столбцу в двумерной М х N решетке, вообще говоря, приписывается свой спектральный параметр. В случае однородной модели все спектральные параметры считаются одинаковыми. Однако, варьирование по спектральному параметру представляет самостоятельный интерес и позволяет вычислять гамильтонианы соответствующих спиновых цепочек [12].

Накладывая периодические граничные условия: можно выразить статистическую сумму модели Z через так-называемую трансфер-матрицу Т:

М + 1) = 1, (ЛГ + 1) = 1,

Z = trv®N(trvT)M, где ЬтуТ задает вклад отдельной строки узлов решетки: j 1 ]2 Зз 3N-2 jjv-l JN И

-1 задает оператор:

Т : V®N V®N ® V, след которого берется по вспомогательному пространству V: к мы опустили возможные спектральные параметры, подразумевая модель однородной.

Между трансфер-матрицами с разными спектральными параметрам выполняется следующее коммутационное соотношение [18]:

Я(щ - и2)(Т(щ) ® id)(id <g> Т(и2)) = (id <g> Т(и2)){Т(щ) ® id)i?(nj - и2), (3) где

Т(и) = RQN(u)BQjN-I(U) ■ • • Rqi(U); которое приводит к семейству коммутирующих операторов trF(T(Wl)),tr^(T(U2))] = 0.

С другой стороны, соотношение (3) можно рассматривать и в квантовом случае, как свойство квантовой матрицы монодромии:

Т(и) = LjV,a(u)LjV-l,aM ' ' ' L^a(u), где Ьща{и) (соответствует Ron(u)) матрицы размера (2s+l) х (2s+l) во вспомогательном пространстве V : dimF = 2s + 1 элементами которых являются операторы в гильбертовом пространстве % = V®N. Характерная особенность, общая для классических и квантовых интегрируемых систем, состоит в том, что у них бесконечно много коммутирующих "интегралов движения"или "законов сохранения": т, Нп] = О, где (J \ " Нп = const ( ^("l)|«2r1(w2); и т{и) = tracеу(Т(и)). Hi оказывается гамильтонианом квантовой интегрируемой модели (цепочки). Так возникает, например, гамильтониан для анизотропной модели Гейзенберга: hxyz = ^2(jx0nan+1 + -vw+i + j*«+i и его связь с восьмивершинной моделью, которую решил Р. Дж. Бакстер [3]. В восьмивершинной модели следующим узлам приписываются ненулевые веса выражающиеся через эллиптические функции: sn (A/i+/i) sn (fl) sn (A//) sn (M) fcsn (A/x) sn (Ац+ц) где sn(z) эллиптический синус Якоби: sn(*) dw J

Jo z] o y/(l-w2){l-k2w2) Эллиптическая квантовая R—матрица записывается в следующей форме

R(k, A, fi) = sn (Ац+ц) sn (р.) О о ksn (A/t) sn (A/x+/i)

Предельные случаи ц —> 0 и & 0 sn (Ад) sn (/i)

1 О 0 1 sn (Ад) sn(/u) О fcsn (A/i) sn О о sn (Аfi+ц) sa(fi)

О ведут к R—матрицам описывающим рациональные и тригонометрические шестивершинные модели. Таким образом, способы построения квантовых R—матриц приобретают особое значение в исследовании квантовой интегрируемсти.

§2. Классификация г—матриц со спектральным параметром

Знание классификации г—матриц со спектральным параметром [14, 44] значительно упрощает построение соответствующих квантовых R—матриц. Рассматривая классические г—матрицы, удобно ослабить зависимость от спектрального параметра и искать решения более общего уравнения: гп{иъи2), г13(щ, м3)] + [г12(щ, и2),г2ъ(и2, из)] + [r13{uh из), г2з(и2,и3)] = О, рассматривая г—матрицы с точностью до эквивалентности r(ui,u2) - (ст(щ) ® a(u2))(r(ui,u2)), где а(и) автоморфизм. В этом случае, когда д простая алгебра Ли и г(щ, и2) = £г-/(иь и2) щ, bi 6 fl, любая г—матрица со спектральным параметром принадлежит одному из следующих классов [9]:

• Эллиптические, когда 0 = sln+i: п+1 г(щ - щ) = — еЧ%кЫ - u2)X-*Z-k <g> j,k=1 где б = е^+т и <j)jk{u + ii) = e^jk(u), ф]к{и + ^2) = екф^к(и) единственные мероморфные функции с простыми полюсами в узлах решетки Z71+Z72 и вычетом 1 при и = 0.

10 0 0 б 0 б' о о

0 0 0 о о о х =

0 10 0 0 1

0 0 0 • • • о о

- - - - /

Тригонометрические, г(щ,и2) = ~щи2 ^ морфная функция и t тензорный оператор Казимира;

0 0 0 0 t r{ui,u2), г(щ,и2) голо

Рациональные, г(щ,и2) = r(ui,u2), г(щ,и2) полином ОТ U\ и ui — u2 и2 не выше первой степени по каждой из переменных;

Каждый из классов г—матриц может быть связан с соответствующими классическими и квантовыми моделями, для нас главный интерес представляют рациональные и тригонометрические г—матрицы, как объекты связанные с квантованием алгебры токов д[и] или алгебры петель $[и,и~1]. Тригонометрические г—матрицы могут быть получены из так-называемых универсальных матриц определенных для q—деформаций универсальных обертывающих алгебр - аффинных алгебр Каца-Муди.

§3. Универсальные И—матрицы

Квантовые R—матрицы для классических тригонометрических i—матриц естественно связывать с некоторым универсальным объектом (Н, 7V) - квазитреугольной алгеброй Хопфа, порождающей матричные решения (2) после ограничения элемента 71 6 Н <8> Н на конкретное представление (д[и,и~г], алгебры петель it-1] :

Алгебры Хопфа представляют и самостоятельный интерес, не связанный с существованием универсального элемента 7Z, играя роль аналогичную группам классических симметрий в некоммутативной геометрии. Например, Янгиан Y(s\n) - квантовая алгебра, коммутационные соотношения которой получаются из (3) при V

R(ui - и2) = 1 0 1 + h-, ui — u2 где V матрица задающая оператор перестановки в Сп <8>СП, не обладает универсальным элементом И.

По определению, алгебра Хопфа (не обязательно квазитреугольная):

Я, /1, т/, А, е, S)

- это линейное пространство обладающее:

1) Структурой алгебры (if,/х, 77), где /х : Н 0 Н Н обозначает оператор умножения и г]: С —> Н оператор вложения единицы. Операторы /х и 77 позволяют записать определение ассоциативной алгебры с единицей как операторные соотношения между // и 77: х о (fi<S> id) = /х о (id <g> /х), /х о (77 <g> id) = /х о (id <g> 77) = /x;

2) Структурой коалгебры (H, А, б), где А : Н —> Н <S> Н оператор коумно-жения и б : Н —У (С оператор коединицы, которые, по определению, удовлетворяют свойствам:

A <g> id) о Д = (id ®Д)оД, (е ® id) о Д = (id (2) е) о Д = id;

3) Следующее свойство согласования выполняется:

А о /х = (id <8) г (g) id) о (/2 ® /i) о Д, где т(а <g> 6) = 6 ® а.

4) Существует такой линейный оператор S : Н ^ Н, что: fi о (S <g> id) о А = ц о (id О 5) о Д = 77 о е.

Если не требовать выполнение свойства (4), то Н называется биалгеброй.

Замечательное свойство алгебр Хопфа заключается в том, что двойственное пространство также является алгеброй Хопфа [9], где двойственные операторы определяются следующими равенствами на функционалах из Н*: A*(f®g) = (f®g) о А, е*(1) = б,

А/) = /°Ai, ?*(/) = /017,

S*f = foS.

Квазитреугольность связана с существованием специального элемента

КеН®Н подчинящегося ряду условий, гарантирующих выполнение уравнения Янга-Бакстера (универсального) записываемого как равенство в Н <g> Н <g> Н: nl2nlzn2z = П23П13П12, (4) где К = Zi ® Hf] и

12 = Е< ® к\2) <g> 1, тг13 = Ег ® 1 ® тг23 = Ei 1 ® ® я{2).

По определению, квазитреуголъпая алгебра Хопфа - это почти кокоммута-тивная алгебра г о А(х) = ПА(х)П~1, (5) такая что

А ® id) (Я) = (id ® А)(7г) = П13К12; (6)

Из (5) и (6) автоматически следует (4).

Элементарным примером квазитреугольной алгебры Хопфа является универсальная обертывающая (U(q), % = 1 <8> 1), где

А(х) = ж<8>1 + 1®я, S(x) = -х, е(х) = О если х G 0. Отображения А, б, S могут быть продолжены на все элементы U(q) из требования чтобы Д,е были гомоморфизмами в соответствующие алгебры и S антигомоморфизмом:

S(xy) = S(y)S(x), 5(1) = 1.

Теперь можно ввести понятие твиста как элемента удовлетворяющего условиям:

F12(A®id)(F) = JF23(id<8) (7) e ® id) (J7) = (id®e)(f) = l. (8)

Твисты позволяют строить новые квазитреугольные алгебры Хопфа:

Н, ц, г], Ad.77 о Д, е, Sj?), где Sj?{x) = vS(x)v~\ v = /i о (id <g> S)(F).

§4. г—матрицы, треугольные твисты и *—умножение

Классические г—матрицы без спектрального параметра г = ^ <8) г-2-1 i являются решениями классического уравнения Янга-Бакстера: г, г]] = [Г12, Пз] + [Г12, г23] + [пз, Г2з] = О, где

Г12, Пз] = X>f}, ® ^ ® ^ [П2, г23] = £ rf) (8) [r<2), rf] (2) rf, i,j hi

Г13, r23] = x; rf} о rj15 <g) [rf}, rf >].

Задание структуры Пуассона-Ли на группе G приводит к появлению дополнительной операции - коскобки на алгебре Ли 0 = Lie (С?) :

5 : 0 -»> qAQ, билинейного функционала на двойственном пространстве 0*, определяемого равенством: 6(Х), & ® £2 >=< X, (d{fU /2})е >,

11

ГДе (dfi)e =

Из свойств скобки Пуассона {•, •} следует, что двойственное пространство д* является алгеброй Ли относительно скобки Ki,6]fl. = (d{f1,f2})e.

В частном случае, когда 0 полупростая алгебра Ли, 6 является кограничным оператором:

6(Х) = [Х<8>1 + 1 ® X, г] = rf}] ® rf} + rf] <g> [X, rf}]). i

Справедливость тождества Якоби для <5* записывается как условие на S : 0, (9) с.р где с.р обозначает циклическую перестановку. Непосредственным вычислением для = [X <8) 1 + 1 <g> X, г] убеждаемся что (9) эквивалентно свойству:

8 ® id) о <5(Х) + [X<g>l®l + l<g>X<8>l + l<8>l<8>X, [[г,г]]] = 0. с.р

Из антисимметрии коскобки, которая отражает соответствующее свойство скобки Пуассона, следует инвариантность симметричной части г :

X® l + l®X,r + r2i] = 0.

Поэтому, только антисимметричная часть г оказывает влияние на кострукту-РУ Естественно считать г—матрицы антисимметричными и выделить следующие два случая:

1) Так-называемые модифицированные г—матрицы удовлетворяющие свойству:

М] е (л30)" \ ОТ, (ю) где (Л3д)0 обозначает пространство инвариантных полностью антисимметричных тензоров:

X<g>l<g>l + l®X(g)l-t-l<g>l<g>X, Л30] = 0

2) Антисимметричные j—матрицы:

Ml = o. и)

Пусть д - простая алгебра Ли, тогда первое семейство кограничных коскобок можно связать с неантисимметричными решениями классического уравнения Янга-Бакстера, если мы заметим, что в случае простой алгебры Ли и тензорного оператора Казимира t: *]] е (Д30)0, dim(A30)0 = 1 можно сделать соответствующий сдвиг г = A t + г так что [[г, г']] = 0. Таким образом, с точностью до умножения на константу г—матрицы соответствуют двум классам:

1) Неантисимметричные г—матрицы:

П2 + г21 = t, [[г, г]] = 0.

2) Антисимметричные г—матрицы:

Г21 = -П2, [[г, г]] = 0.

В первом случае может быть получена полная классификация г—матриц согласно [4, 5]. Классификация основана на понятии тройки Белавина-Дрин-фельда: (Г1,Г2,т), где Г^Гг подмножества диаграммы Дынкина алгебры Ли q между которыми существует т изометрия, которая подчиняется условию нильпотентности: тк{а) Гх для любого корня a G Ti и некоторого к. Пусть будет картановская часть тензорного оператора Казимира t, тогда справедливо следующее:

Теорема 0.1 (Белавин-Дринфельд). Пусть to € 1)<8> \) решает систему: tf + t$ = tQ, (т(а)<8>1 + 1®а)(*0) = 0, аеТь (12) тогда тензор а>0 а,/?>0,а>-/? является неантисимметричной i—матрицей. Более того, всякая неантисимметричная г—матрица имеет вышеприведенную форму, для подходящего треугольного разложения g и подходящей замены базиса {Ха}.

Антисимметричные г—матрицы не могут быть так эффективно классифицированы, их классификация сводится к классификации так-называемых квазифробениусовых подалгебр Ли в 0 :

Определение 0.1. Квазифробениусова подалгебра Ли f С 0 - это подалгебра Ли f с невырожденной антисимметричной 2—формой В, такой что:

В{[х, y],z) + В ([у, z],x) + B([z, х], у) = 0;

Подалгебра f называется фробениусовой подалгеброй Ли, если существует линейный функционал / : В(х, у) = f([x, г/]).

Рассматривая В как линейный оператор:

В\х))(у) = В{х,у), можно показать что г = Yhifi ® С^*)1(/г*) является решением (11). Согласно результату Дринфельду [15], всякая антисимметричная г—матрица может быть непосредственно связана с некоторым бидифференциальным оператором позволяющему деформировать умножение в С°°(Л4), алгебре функций на пуассоновом многообразии на котором определено действие [/(f). Новое *—умножение согласовано с пуассоновой структурой в следующем смысле: у h *пh ~ /2 /1 г, гЛ

Ьт-г-= {/i,/2}, п где /1*А/2 = E,(№(V > fMi^r1 > /2) и Т = Ei В случае когда М = G, согласно [15], можно построить такие твисты в U(g)[[h]], что: где г—матрица соответствует S : 5(х) = [х ® 1 + 1 <g> х, г].

Простейшая иллюстрация связи *—умножения и деформации при помощи твистов, может быть дана на примере умножения Мояла, когда соответствующий твист может быть найден явно. Явная формы твиста позволяет вычислить *—умножение и применить его для построения некоммутативных теорий поля, это одна из мотиваций для поиска более сложных решений уравнения Дринфельда (7). Для этого мы рассмотрим квантование Вейля и простейший случай когда Л4 = Ж2 и скобка Пуассона дается своим обычным выражением

Переход к квантовой механике осуществляется путем представления наблюдаемых алгеброй эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве так чтобы канонические коммутационные соотношения в пуассоновой алгебре были согласованы с коммутацией операторов:

Задавшись (13) мы можем построить представление трехмерной алгебры Гейзен-берга-Ли:

ХЪ Х2, а), (уЪ у2, 6)] = (О, О, Х\У2 - х2у\) при помощи отображения ф(х\, х2, а) = х\ • Р -f Х2 • Q — гНа •

От алгебры Гейзенберга-Ли можно перейти к соответствующей группе Ли, где закон умножения определяется как

JF=l<g)l -\hr-\---i,/a} = dhdf2dhdh dp dq dp dq

P, Q] = -ih idw.

13) p((x 1, x2, a), (г/i, y2, b)) = (xi + yh x2 + y2, a + b + xiy2), и от представления ф к представлению Ф группы Гейзенберга в гильбертовом пространстве %. Квантование Вейля сопоставляет каждой функции f(p,q) оператор построенный следующим образом:

Ф(/) = ff /К, ^)Ф(ехр(г Z'P + irj-Q)) d^dr), где 2

К> v) = (jf^J J J Я?» я) ехр(-г Z-p-irj-q) dpdq и

Ф(ехр(г £-P + irj-Q)) = ехр irj, 0)).

Дж. Моял [39] интерпретировал процедуру квантования Вейля как деформацию умножения в С°°(М2) удовлетворяющую свойству:

Ф(/1*/2) = Ф(Л)-Ф(/2), (И) где правая часть задается выражением х ехр(г & • Р + i Щ- Q) d^idrjid&d^. Используя формулу Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа: exp(Xi) ехр(Х2) = ехр№ + Х2 + 1[ХЬ Х2]), приходим к

IIIУ^ ^OAfe,*72) exp(z^ (а»72 — €2T7I)/2)Х

X ехр(г £ • Р + г 77 • Q) dZxd'qxd&d^, где £ = + £2, 7? = Т/i + »?2.

Ч /Ч

1(6, шШб, т) ехр(г'Й (6^/2 - 6ш)/2) = (fУ" - €ьч - ч.), где

Сравнивая подынтегральные выражения в обеих частях (14), получаем явное выражение для *—умножения: где бидифференциальный оператор Т соответствует абелевому твисту [41]. §5. Содержание диссертации

В данной диссертации рассматривается проблема построения (квантовых) твистов и их квазиклассических аналогов в пределе q —» 1, когда в качестве квантовой алгебры Хопфа Н берется квантование алгебры петель sl„[u]. Среди возможных квантований такие известные квантовые алгебры как Ян-гиан Y(sln) и Uq{sln), имеющие непосредственное отношение к квантовым интегрируемым моделям. Кроме того, всякий твист Т в U(q) определен и для Y{#) D U(q) и ведет к деформированным Янгианам У-р(б) [28, 36].

Квантовые твисты также позволяют лучше понять квантование антисимметричных г—матриц и построить соответствующие твисты Дринфельда, которые получаются в пределе g —> 1 из квантовых, в явной форме. Таким способом нам удалось построить некоторые из обобщенных жордановых х

Если ввести бидифференциальный оператор то *—умножение может быть записано как fi *h /з)(р, я) = I* (F > (/i ® h)) (р, я), г—матриц типа Креммера-Жерве, которые явно задаются в базисе Картана-Вейля формулой п-1 j-i-l

Гр = Dp А Ерф+1 + X/ Eij-m+\ a Ejj+m, (15) р= 1 i<j 771=1 где

-Dp = --{Ец + #22 Ч-----h -Ерр) ~~ ~(#р+1,р+1 + #р+2,р+2 Ч-----Епп). ть ть

Известно, что некоторые антисимметричные г—матрицы могут быть связаны с вырождением модифицированных г—матриц, решений так называемого модифицированного уравнения Янга-Бакстера:

П2, Пз] + [Г12, Г2з] + [ПЗ, г2з] = с ш, (16) где ш есть д—инвариантный элемент bqAqAquc^O. Для этого, следуя [21], необходимо подействовать на обе части (16) оператором Ad(exp(£r) <g> ехр(£ж) <g) ехр(£ж)) (выбирая х ad—нильпотентным), и заметить, что в силу произвольности rm возникающее из

Adexp(fa?)(r) = г + £ п + • • • £тгш, будет решением обыкновенного уравнения Янга-Бакстера.

Эту связь между различными классами г—матриц можно проследить на уровне соответствующих квантовых твистов. А именно, квазиклассические твисты можно рассматривать как предельные случаи квантовых когда q —> 1. В Главе 1 мы рассматриваем случай жордановых твистов и их q—аналогов, мы показываем, что q—аналоги могут быть естественно определены для жордановых твистов сконструированных в [22, 32] и являются кограничными твистами, то есть представимыми в форме:

W ®W)A{W~1). 18

Также мы обсуждаем вычисление предела q —> 1 и его корректное определение.

Одной из мотиваций для изучения квантовых твистов было то, что многие вычислительные проблемы встречающиеся при построении твистов [32], такие как необходимость каждый раз анализировать возникающие деформированные коумножения и использовать формулу Кемпбелла-Хаусдорфа для непосредственной проверки (7), могут быть разрешены, когда мы работаем с квантовыми алгебрами вроде вместо классических. Таким образом, квантовые твисты - это источник универсальных деформационных формул в терминологии [22].

R—матрицы и твисты могут рассматриваться с точки зрения некоммутативной геометрии. Так с матричными решениями уравнения Янга-Бакстера можно связать соответствующие пространства ковариантные относительно кодействия квантовой группы [23]. В связи с тем, что некоммутативная геометрия является также самостоятельным источником твистов в Главе 1 мы также рассматриваем вопрос о приложении q—твистов к построению q—аналога твиста встречающегося в некоммутативной геометрии А. Конна [7], который тесно связан со скобками Ранкина-Коэна для модулярных форм веса к и I. Напомним что модулярная форма веса к преобразуется под действием модулярной группы дискретной группы дробно-линейных преобразований, следующим образом: о g)(z) = } (Щ*) = (cz + dff(z), где g = 6 PSX2(Z).

Скобки Ранкина-Коэна могут быть получены из PSLzib)—инвариантных псевдодифференциальных операторов. Так, согласно [10], каждой модулярной форме / веса 2к G Z+, можно поставить в соответствие инвариантный псевдодифференциальный оператор: оо (-к-1) £ Лк{ Jfin)dk~n, ( = (-1 )Щк + 1 ).(* + !- 1)//!; п=0 Vя/ то есть такой что выполняется свойство

ZLft(/) = £>*(/) о д.

Умножение псевдодифференциальных операторов определяет семейство билинейных операций на множестве модулярных форм веса 2к и 21: ь/2)-*Лп согласно равенству

00

Z>fc(/l)Z>,(/2) = п=0 и hn модулярная форма веса 2& + 2/ + 2п. Модулярные формы hn пропорциональны скобкам Ранкина-Коэна:

Л0.(/, Я) S [Л,Г>:= £ (-ir(" + 2sfc" ("^'^W'r+s—n ^ ' ^ '

Можно связать скобки Ранкина-Коэна с универсальной деформационной формулой [22] для жорданова твиста Tqz'n>0 ' к=о (iа)к := а(а 4-1) • • • (а + & — 1); заданного на классической подалгебре Бореля:

У, X] = X, А(Х) = X ® 1 + 1 <g> X, Д(У) = У®1 + 1<8>У.

Известно,[7], что подалгебра Бореля действует на пространстве модулярных форм при помощи следующих операторов: где / имеет вес к и A(z) = (2тг)12т?24й = (2тг)12д EKLiC1 ~ Л24, Я. = е2™. Тогда относительно этого действия мы имеем: п

RCn(f1, /2) := ЕМ)* (fc) + + n - k)k(f2). к=О

Следующее умножение ассоциативно на множестве модулярных форм: М = YIi>qMi, где М.1 пространство модулярных форм веса I: a*tb = ^2tnRCn(a,b). п

В качестве бесконечномерного обобщения алгебры Бореля Ь2 в некоммутативной геометрии возникает следующая алгебра Хопфа обозначаемая %\ :

Y,Xl=X, [Y,6n] = n6n, [Х,5п] = 5п+Ъ = k,l> 1.

Д(У) = У®1 + 1®У, Д(й) = Si <8> 1 + 1 ®

18)

Д(Х) = Я" ® 1 +1 <8> X + й <g> Г; Если на алгебре Л определено действие Hi такое, что элемент 6'2 = 62 — действует внутренним образом:

6'2(а) = [П,а] и

4, П] = 0; тогда, согласно [7], следующее выражение задает универсальную деформационную формулу вводящую новое умножение на Л: лп п

RC = -ID-1 )k(l)Ak(2Y + k)n-k®Bn-k(2Y + n-k)k, п>0 П' к=0

Лт+1 = S(X)Am - mQR(Y -Вт+1 = ХВт — m£l(Y — т~)Вт-1, где Од оператор правого умножения на Q.

21

В частном случае когда Q централен в А, например когда = ^52, мы получаем элемент Тем-, который как было показано в [7] является твистом :

Тем = £'"£ + в + п~к)к (1Э) п> О к=0 ' ^ >' где S{X) = -Х + SiY.

Как приложение квантового жорданового твиста, мы показываем, что существует гомоморфизм: i-.Ux-* ^(sWIM], где Т является жордановым твистом, t позволяет связать Тем с квазиклассическом твистом Ф в U^(sis)[[t]\. Квантование позволяет ввести квантовый аналог iq, который приводит к квантовой алгебре являющейся q—аналогом для когда 8'2 = 0. Соответствующие q—соотношения имеют форму: кхк~х = q2 х, kzk~l = q2 z, q2xz — zx = —tz2; ^0)

A(k) = k0k, A(z) = z® k + 1 <g>£; (21) fc-i1)

Д(ж) = x®k~l + l®x + t z® --(22)

1 — ql

В Главе 2 рассматривается построение аффинных твистов, и приложение к построению аффинных версий твистов типа Креммера-Жерве в случае

А А «

Uq{s\2) и Uq(si3), которые мы обозначаем как затем исследуется рациональное вырождение, так-называемый янгианный предел в смысле [27, 45] и строится квантование (15) для si3 и SI4. Для этого мы конструируем гомоморфизмы t2,3 такие, что (t2,3 ® твист для С/Фз-4 (в[3,4), где Ф3)4 расширенный жорданов твист для U{s\3) или U(sU). Окончательно, квантование гр определяется следующей формулой:

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Самсонов, Максим Евгеньевич

Заключение

Квантование квазиклассических твистов, определяющих универсальные 71— матрицы для расширенных жордановых и параболических г—матриц, может рассматриваться как продолжение на случай твистов связи, наблюдаемой между антисимметричными и модифицированными г—матрицами посредством контракции. Так во Введении §5 отмечалось, что обобщенные жор-дановы г—матрицы получаются при помощи контракции из модифицированных г—матриц типа Крем-мера-Жерве: f XJ Л ез* ) + ( ~ + ~ л езз ) +2 ( Y1 Л еы+т i<j / \ i<j / \i<j т=1

С другой стороны, исследуя квантование г—матриц Креммера-Жерве можно сконструировать непосредственно твист jfcg3 определяющий универсальную 7Z—мат-рицу, соответствующую следующему матричному решению уравнения Янга-Бакстера [24, 34]:

Rcg = Rdj + (Р - 1) (Ец ® Е22 + Е22 <g> £33)+

Цр-1 - 1) (Е22 <g> Еи + Е33 ® Е22) + (p2/q - 1) Ец ® #33+ + (q/p2 - 1) Е33 ® Ец + qv (Е32 ® Еи - p2/q2 Еи ® Е32), где rdj = Eii ® Eii + £Eii ® En + (9 - £^ii ® Eji. г i^j i<j

Тогда на уровне твистов для Uq(sl$) существует связь: enJORD == № ® И^ОД Д^"1), ГДе ^GenJORD такой чт0:

GenJORD) = и J-"p задает параболический твист из [38]. Заметим, что при таком подходе аффинизация при помощи элемента не была использована, и элемент W3 конструируется ad hoc. Для построения Т^ нам с самого начала необходимо знать выражение для TcGzi что в высших размерностях представляет большую трудность. Использование элемента и неаффинного Tcg% — в Утверждении 10, позволило избежать непосредственного построения твиста fcga и привело естественным образом к его аффиннизированому варианту Ф, благодаря возможности вложить твист Креммера-Жерве из Uq(si4) в Uq(si3). Можно предположить, что в дальнейшем, найдя о>4 € можно продолжить этот индуктивный процесс и от возникшего аффинноч го твиста Креммера-Жерве в Uq{sl$) перейти к неаффинному в Uq(sU) и, вложив его тождественно в Uq{sU), построить аффинный твист Креммера-Жерве используя CJ4, который предположительно должен оказаться вложением неаффинного твиста Креммера-Жерве из Uq($l5) и так далее. Таким способом мы сможем сконструировать индуктивно все твисты Креммера-Жерве в высших размерностях при условии, если мы располагаем выражениями для шп, параллельно мы должны также получать Хотя мы проследили эти закономерности вплоть до зЦ, мы надеемся получить явные формулы для всех ип в дальнеших публикациях. При построении квантовых твистов мы исходили из квантования Дринфельда-Джимбо Uq(g), даже пример квантования алгебры Конна-Московичи %'lq приводит к подалгебре Хопфа в Uq(o). %'iq можно рассмотривать и как подалгебру в q—квантовании Янгиана [45], поэтому естественно задаться вопросом какие типы алгебр Хопфа можно использовать для получения новых твистов для классических универсальных обертывающих алгебр предельным переходом их сооветствующих квантовых алгебр и твистов для них.

Чтобы дать наглядную иллюстрацию, рассмотрим абелеву алгебру Хопфа U(M2) :

В, Е] = О, А(В) = В®1 + 1®В, А(Е) = Е®1 + 1®Е.

Элемент Т = ехр(А А®Е) задает абелев твист, который некограничный. Однако, мы можем подобрать такое расширение C/(R2), что Т может быть получен предельным переходом из некоторого кограничного твиста Т в U(М2). Положим 1Ц5?) := U(R2) ф {А}, где

А, В] = [А,Е] = О, А(А) = A®l + l®A+(q-l)B®E.

Тогда

F={W® W)A(W~1) = ехр(А А ® Е), W — ехр(--А). Q

Кроме того, интересно рассматривать и другие алгебры (не обязательно алгебры Хопфа) с целью реконструкции твистов из их алгебраической структуры

13].

Подводя итог, основные результаты полученные в работе могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получены квантовые аналоги жордановых твистов для серий простых неисключительных алгебр Ли. Исследован переход к пределу в случае q

1 в алгебрах вида С/д (б) [[£]]. Сконструирован q—аналог для твиста Конна-Московичи и соответствующая q—алгебра

2. Разработан метод построения аффинных твистов при помощи "о;—аффини-зации", метод применен к конструированию аффинных версий твистов Крем-мера-Жерве для Uq(si2,3).

3. Исследовано рациональное вырождение полученных аффинных твистов и продемонстрирована их связь с обобщенными жордановыми г—матрицами типа Креммера-Жерве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самсонов, Максим Евгеньевич, 2006 год

1. Ананикян Д.Н., Кулиш, П.П. и Ляховский, В.Д.: Цепи твистов для симплектических алгебр Ли, Алгебра и Анализ, 14 (2002), 27-54, math. QA/0010312.

2. Белавин, А.А., Кулаков, А. Г. и Усманов, Р.А., Лекции по теоретической физике, МЦНМО, Москва, 2001.

3. Baxter, R.J., Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, New York, 1982.

4. Belavin, A.A. and Drinfeld, V.G., Solutions of the Classical Yang-Baxter Equation, Funct. Analysis and its Appl. 16 (1982), 159-180.

5. Belavin, A.A. and Drinfeld, V.G., Triangle Equation and Simple Lie Algebras, Soviet Scientific Reviews, C4 (1984), 93-165.

6. Bonneau, P., Gerstenhaber, M., Giaquinto, A. and Sternheimer, D.: Quantum groups and deformation quantization: Explicit approaches and implicit aspects, J. Math. Phys. 45 (2004), 3703.

7. Connes, A. and Moscovici, H.: Rankin-Cohen Brackets and the Hopf Algebra of Transverse Geometry, Московский Математический Журнал: 4(1) (2004), math.QA/0304316.

8. Chaichian, M., Kulish, P.P. and Damaskinsky, E.V.: Dynamical systems related to the Cremmer-Gervais R—matrix, Tcor. Mat. Fiz, 116(3) (1998), 101-112, q-alg/9712016.

9. Chari, V. and Pressley, A.: A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, 1994.

10. Cohen, P., Manin, Y. and Zagier, D.: Automorphic pseudodifferential operators. In Algebraic aspects of integrable systems, 17-47, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 26, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1997.

11. Cremmer, E. and Gervais, J. -L.: The quantum group structure associated with non-linearly extended Virasoro algebras, Comm. Math. Phys. 134 (1990), 619-632.

12. Джимбо, M. и Мива: Алгебраический анализ точно решаемых решеточных моделей, Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

13. Damaskinsky, E.V., Kulish, P.P. and Stolin, A.A.: On construction of universal twist element from Я-matrix, ZNS POMI 291, 228-244 (2002), math. QA/0307306.

14. Drinfeld, V.G.: Quantum groups, Proceedings ICM (Berkeley 1986) 1 (1987), AMS 798-820.

15. Drinfeld, V.G., On constant quasiclassical solutions of the Yang-Baxter quantum equation, Soviet Math. Dokl. 28 (1983), 667-671.

16. Jimbo, M.: A q—difference analogue of U($)and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10, 63-69, (1985).

17. Endelman, R. and Hodges, Т.: Generalized Jordanian R—matrices of Cremmer-Gervais type, Lett. Math. Phys. 52(3) (2000), 225-237, math. QA/0003066.

18. Фаддеев, Л.Д., Решетихин, H. Ю. и Тахтаджян, Л. А.: Квантование групп Ли и алгебр Ли, Алгебра и анализ, 1 (1989), 178-206.

19. Faddeev, L.D.: Algebraic aspects of the Bethe Ansatz, Int. J. Mod. Phys. A10 (13) (1995), 1845-1978, hep-th/9404013.

20. Faddeev, L.D. and Kashaev, R.M.: Quantum dilogarithm, Modern Phys. Lett. A 9 (1994), 427-434, hep-th/9310070.

21. Gerstenhaber, M. and Giaquinto, A.: Boundary solutions of the classical Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 40(4) (1997) 337-353, math.QA/9609014.

22. Giaquinto, A. and Zhang, J.: Bialgebra actions, twists, and universal deformation formulas, Journal of Pure and Applied Algebra 128(4) (1998), 133-151, hep-th/9411140.

23. Isaev, A.P.: The R—matrix approach to differential calculus on quantum groups, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 28(3) (1997), 685752.

24. Isaev, А.Р. and Ogievetsky, O.V.: On Quantization of r—Matrices for Belavin-Drinfeld Triples, Physics of Atomic Nuclei 64(12) (2001), 2126-2130, math. QA/0010190.

25. Кас, V. and Cheung, P.: Quantum calculus, Springer, Berlin, 2002.

26. Кассель, К., Квантовые группы, ФАЗИС, Москва, 1999.

27. Khoroshkin, S.M., Stolin, A.A. and Tolstoy, V.N.: g-Power function over g-commuting variables and deformed XXX XXZ chains, Physics of Atomic Nuclei 64(12) (2001), math.QA/0012207.

28. Khoroshkin, S.M., Stolin, A.A. and Tolstoy, V.N.: Deformation of the Yangian Y(sl2), Commun. Alg. 26(3) (1998), 1041-1055, q-alg/9511005.

29. Khoroshkin, S.M. and Tolstoy, V.N.: Universal R—matrix for quantized (super)algebras, Commun. Math. Phys. 141(3) (1991), 599-617.

30. Khoroshkin, S.M. and Tolstoy, V.N.: The Uniqueness Theorem for the universal Я-matrix, Lett. Math. Phys., 24 (1992), 231-244.

31. Korogodski, L. and Soibelman, Y.: Algebras of functions on quantum groups, Providence, R.I.: AMS, 1998.

32. Kulish, P.P., Lyakhovsky, V.D. and Mudrov, A.I.: Extended jordanian twist for Lie algebras, Journ. Math. Phys. 40 (1999), 4569-4586, math.QA/9806014.

33. Kulish, P.P., Lyakhovsky, V.D. and Stolin, A.A.: Chains of Frobenius subalgebras of so(M) and the corresponding twists, J. Math. Phys. 42, 5006 (2001), math.QA/0010147.

34. Kulish, P.P. and Mudrov, A.I.: Universal R—matrix for esoteric quantum group, Lett. Math. Phys. 47(2)(1999), 139-148, math.QA/9804006.

35. Kulish, P.P. and Sklyanin, E.K., Lect. Notes. Phys., 151(61) (1982).

36. Kulish, P.P. and Stolin, A.A.: Deformed Yangians and Integrable Models, PDMI-9/97, May, 1997, St.Petersburg, q-alg/9708024.

37. Lyakhovsky, V., Mirolubov, A. and del Olmo, M.: Quantum Jordanian twist, Journ. Phys., A: Math. Gen., 34 (2001), 1467-1475, math.QA/0010198.

38. Lyakhovsky, V.D. and Samsonov, M.E.: Elementary parabolic twist, Journal of Algebra and Its Applications, 1(4) (2002), 413-424, math.QA/0107034.

39. Moyal, J. E., Quantum mechanics as a statistical theory, Proc. Camb. Phil. Soc. 45 (1949), 99-124.

40. Ogievetsky, O.V.: Hopf structures on the Borel subalgebra of sl(2), Rendiconti Cir. Math. Palermo Suppl. 37(2) (1994) 185-199.

41. Reshetikhin, N.Yu.: Multiparameter quantum groups and twisted quasitriangular Hopf algebras, Lett. Math. Phys. 20 (1990) 331-335.

42. Samsonov, M. E.: Semi-Classical Twists for and si4 Boundary r—matrices of Cremmer-Gervais Type, Lett. Math. Phys. 72(3) (2005), 197-210, math. QA/0501369.

43. Samsonov, M.E.: Quantization of semi-classical twists and noncommutative geometry, Lett Math. Phys. 75(1) (2006), 63-77, math.QA/0309311.

44. Stolin, A.A.: On rational solutions of Yang-Baxter equation for sl(n), Math. Scand. 69(1) (1991), 57-80.

45. Tolstoy, V.N.: From quantum affine Kac-Moody algebra to Drinfeldians and Yangians. Kac-Moody Lie algebras and related topics, 349-370, Contemp. Math., 343 (2004), AMS, Providence, RI, math.QA/0212370.

46. Tolstoy, V.N.: Extremal projectors for contragredient Lie algebras and superalgebras of finite growth, Usp. Math. Nauk, 44, 211-212 (1989).