Квантовые деформации аффинных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Хорошкин, Сергей Михайлович

• Хорошкин, Сергей Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хорошкин, Сергей Михайлович

Оглавление

0 Введение

1 Квантовые аффинные алгебры

1.1 Обзор теории базисов Картана-Вейля

1.2 Квантовая аффинная алгебра СТ^Ь)

1.2.1 Базис Картана-Вейля алгебры ^(вЬ)

1.2.2 Связь с образующими Дринфельда

1.2.3 Универсальная /^-матрица

1.3 Квантовая аффинная алгебра 1/д(§)

1.3.1 Базис Картана-Вейля и реализация Дринфельда

1.3.2 Универсальная Д-матрица и ее характеры

2 Дубль Янгиана

2.1 Дубль Янгиана (с = 0)

2.1.1 Алгебраическое описание

2.1.2 Треугольное разложение и хопфово спаривание

2.1.3 Универсальная Л-матрица

2.2 Центральное расширение .цубля янгиана

2.2.1 Конструкция центрального расширения

2.2.2 Базисные представления 12)

2.3 Приложения к ¿'¿/^-инвариантной модели Тирринга

2.3.1 Представление алгебры Фадцева-Замолодчикова

2.3.2 Следы сплетающих операторов

2.4 Квантование других рациональных г-матриц

3 Эллиптическая алгебра в непрерывном пределе 119 3.1 Определение и свойства алгебры Л^зЬ)

3.1.1 Определение алгебры «Д^вЬ)

3.1.2 ¿-операторный формализм

3.1.3 Полные токи и коумножение

3.1.4 Классическии предел

3.2 Представления алгебры A,i(sl2)

3.2.1 Конечномерные представления

3.2.2 Представление в пространстве Фока (уровень 1)

3.2.3 Алгебра Фаддеева-Замолодчикова

модели Синус-Гордон

3.3 Рациональное вырождение

4 Деформации алгебр токов и задача Римана

4.1 Деформированные алгебры токов

4.1.1 Корневые токи и автоморфизмы

4.1.2 Интегральная форма универсальной Д-матрицы

4.1.3 Сингулярные Д-матрицы и //-операторы

4.1.4 Янгианная версия

4.2 Квантование аффинных алгебр и задачи Римана для деформированных токов

5 Заключение 208 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые деформации аффинных алгебр»

О Введение

1. В настоящее время считается общепризнанным тот факт, что симметрии двумерной интегрируемой квантовой теории поля и статистической механики образуют алгебры, существенно отличающиеся от таковых, возникающих из теории групп и алгебр Ли. Первые шаги в понимании этого были сделаны в знаменитой работе Г.Бете [1И]. Огромный вклад в исследование симметий точно решаемых моделей принадлежит Р.Бакстеру [Вах]. Большинство из используемых в настоящее время в интегрируемых моделей статистичесакой физики стуктур присутствуют в том или ином виде в его работах.

Большими импульсами в развитии теории интегрируемых моделей явили-сись конструкция Замолодчиковых [ZZ1] точной ¿"-матрицы рассеяния солито-нов в квантовой модели Синус-Гордон и работы В.Е.Корепина, А.Г.Изергина и соавторов [КВ1] по вычислениям корреляционных функций интегрируемых квантовых моделей.

Важнейшим этапом в развитии современного алгебраического подхода явилось создание Л.Д.Фаддеевым и его школой квантового метода обратной задачи (КМОЗ). Квантовый метод обратной задачи [ЕТ1] соединил в себе геометрический и аналитический аппарат классического метода обратной задачи, возникшего при решении классических интегрируемых систем (Захаров, Новиков и др. ^]УШР]) с техникой Бакстера расчетов квантовых систем на решетках. Все дальнейшее развитие теории квантовых интегрируемых систем обязано идеям и методам, развитым в работах Л .Д.Фаддеева, П.П.Кулиша, Н.Ю.Решетихина, Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанско-го, Л.А.Тахтаджяна и других участников Ленинградской школы математической физики.

В.Г.Дринфельд и М.Джимбо [1)1], [02], [Л], [32] формализовали математический аппарат квантового метода обратной задачи в рамках теории квантовых групп. Естественным языком для этого оказался язык алгебр Хопфа и тензорных категорий. Одним из первых примеров Дринфельда был янгиан [02], являющийся деформацией алгебры полиномиальных функций со значения-

ми в простой алгебре Ли. Оказалось, что в терминах янгиана Y(g) может быть проведено квантование невырожденного рационального решения Янга классического уравнения Янга-Бакстера, причем одновременно во всех представлениях алгебры Ли g. Более того, В.Г.Дринфельдом и М.Джимбо было дано общее определение квантованной универсальной обертывающей алгебры Ли, (в дальнейшем для краткости именуемой иногда квантованной алгеброй Ли), применимое, в частности, к аффинным алгебрам Ли. Квантованные алгебры Ли стали объектом интенсивного исследования как со стороны физиков, так и со стороны математиков в течение последующего десятилетия, что выразилось в конце концов в образование отдельной математической дисциплины. Отметим, что первый пример квантовой группы принадлежит П.П.Кулишу и Н.Ю.Решетихину [KuR].

Конструкция квантованных универсальных обертывающих алгебр была, тем не менее, жестко привязана к структуре алгебр Каца-Муди в терминах образующих Шевалле и соотношений Серра. В частности, она не отражала специфику аффинных алгебр Ли как центрально-расширенных алгебр токов, что крайне важно в физических приложениях. Этот недостаток был в какой-то мере устранен в работах Ленинградской школы. Вначале Л.Д.Фаддеев, Н.Ю.Решетихин и Л.А.Тахтаджян [RTF] переложили формулировку квантованных алгебр Ли на язык L-операторов, происходящий из КМОЗ. Наконец, Н.Ю.Решетихин и М.А.Семенов-Тян-Шанский [RST] предложили аналогичное описание для центрально-расширенной деформированной алгебры токов. С другой стороны, В.Г.Дринфельд предложил описание квантовой аффинной алгебры, аналогичное классической реализации центрально-расширенной алгебры токов (т.н. "новая реализация" [D3]).

Алгебраическая структура и теория представлений квантовой аффинной алгебры были глубоко изучены различными методами. В частности, теория квантованных базисов Картана-Вейля была обобщена В.Н.Толстым и автором предлагаемой работы [ТК] на случай квантовых аффинных алгебр. Это обобщение привело к явному построению универсальной й-матрицы для квантовых аффинных алгебр, иными словами, к явному квантованию тригонометрическо-

го решения классического уравнения ЯБ. С другой стороны, "новая реализация" Дринфельда позволила изучить бесконечномерные интегрируемые представления аффинных алгебр; реализация Решетихина и Семенова-Тян-Шанского была использована И.Б.Френкелем и Н.Ю.Решетихиным (РК] для вывода квантового аналога уравнения Книжника-Замолодчикова на матричные элементы произведений сплетающих операторов. Весьма нетривиальными оказываются взаимосвязи между различными реализациями квантовой аффинной алгебры [Веск2], [БЕ], [КТ4].

Теория интегрируемых представлений квантовой аффинной алгебры была успешно применена к исследованию квантовой модели XXZ магнетика Гейзенберга в работах М.Джимбо, Т.Мива и соавторов [БРЛШЧ]. Одним из ключевых моментов в этих работах явилась возможность реализации коммутационных соотношений соответствующей алгебры Фаддеева-Замолодчи-кова сплетающими операторами между тензорными произведениями интегрируемых представлений; так что следы произведений сплетающих операторов удовлетворяют аксиомам формфакторов производящих функций локальных операторов по Ф.А.Смирнову [Бий].

Аналогом квантовой аффинной алгебры для теорий с рациональными Я-матрицами является квантовый дубль янгиана. В отличие от квантовой аффинной алгебры, дубль янгиана не является контрагредиентной алгеброй и не может быть задан с помощью образующих Шевалле и соотношений сер-ра. Тем не менее, имеется явная конструкция его бесконечномерных представлений, являющаяся деформацией классических реализаций аффинных алгебр свободными полями. Соответствующие сплетающие операторы в случае дубля янгиана алгебры Ли з12 удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Фаддеева-Замолодчикова 311(2)- инвариантной модели Тирринга и допускают явное описание, что позволяет применить их для описания форм-факторов локальных операторов этой модели [КЬРЗ].

Дальнейшие исследования показали, что симметрии более общих двумерных квантовых интегрируемых моделей образуют более изощренные деформации бесконечномерных алгебр Ли. Так, алгеброй Фаддеева-Замолодчикова

восьмивершинной модели управляет эллиптическая деформация аффинной алгебры, введенная Джимбо и Мива и соавторами [Е1ЖМУ1], [ИЛКМУ2] в 1992 году; соответствующие КБОБ модели описываются в рамках теории представлений эллиптической алгебры динамического типа, введенной Д.Фельде-ром [Ре]; интегрируемые модели теории поля типа Синус-Гордон требуют привлечения непрерывного аналога эллиптических алгебр [КЬР4], а динамика бризерных состояний в этих моделей тесно связана с теорией представлений д-деформации алгебры Вирасоро [АКОБ], [РЕ].

Применение теории представлений деформированных бесконечномерных групп и алгебр Ли в изучении интегрируемых моделей теории поля и статистической физики происходит по двум направлениям, с одной стороны, используется первоначальная идея КМОЗ построения семейства коммутирующих операторов (трансфер-матриц) по конечномерным представлениям квантованных алгебр. При этом использование полной группы симметрий дает возможность строить собственные состояния гамильтонианов, а нетривиальная тензорная структура категории конечномерных представлений позволяет выписывать функциональные соотношения на трансфер-матрицы [К^Э], [В1^1],

[вьгз].

С другой стороны, применение метода угловой трансфер-матрицы для модели на решетке [ЛМ1] и углового квантования в теории поля [ВгЬ] позволяет отождествить полное пространство состояний модели с пространством эндоморфизмов некоторого бесконечномерного представления квантовой алгебры. При этом асимптотические состояния модели выражаются в терминах сплетающих операторов между тензорными произведениями бесконечномерных и конечномерных представлений. Такая интерпретация позволяет в ряде случаев реализовать явно основные операторы теории и вычислить формфак-торы локальных операторов между асимптотическими состояниями.

Отметим также, что в наиболее полной форме исследование и применение симметрий квантовых систем было проведено, начиная с работы [BPZ], в конформных теориях поля. С математической точки зрения это выразилось в детальном изучении и пременениях теории представлений алгебры Вира-

copo. Однако, до недавнего времени методы изучения конформных теорий и интегрируемых массивных теорий поля, о которых и будет идти речь в дальнейшем, существенно различались. Результаты недавних работ [BLZ1], [BLZ2], [BLZ3], [BLZ4], [BBS], [Sm5], позволяют надеяться на создание в скором будущем единой теории квантовых интегрируемых систем, объединяющей методы конформной теории, квантовых деформаций бесконечномерных алгебр Ли и алгебро-геометрических методов решения классических динамических систем.

2. Опишем вкратце основные понятия и методы, используемые в диссертации. В соответствии с названием диссертация посвящена изучению различных "квантовых" деформаций аффинных алгебр Ли, их теории представлений с приложениями к квантовым моделям двумерной теории поля и статистической физики. Аппарат теории представлений аффинных алгебр Ли является одним из важнейших инструментов в исследовании классических динамических интегрируемых систем [FT2], [DJKM], [Kl], [KKL]. Аналогично, квантовые деформации аффинных алгебр Ли порождают большие алгебры симметрий квантовых интегрируемых двумерных систем и позволяют поэтому получить значительную информацию о поведении этих систем. Основными применениями квантовых деформаций аффинных алгебр на данный момент являются:

(i) построение решений квантового уравнения Янга-Бакстера, ассоциированных с представлениями алгебры Ли g высших спинов;

(ii) конструкция коммутирующего семейства квантовых интегралов движения; (Ш) конструкция вершинных операторов, чьи следы и матричные коэффициенты описывают формфакторы локальных операторов и другие характеристики корреляционных функций модели.

Из этих трех задач мы изучаем первую и третью. Построение квантовых интегралов движения связано с изучением двойственной алгебры Хопфа (квантованной алгебры функций), которую мы в данной работе не рассматриваем.

Напомним, что аффинная (нескрученная) алгебра Ли § является бесконечномерной алгеброй Ли, которая может быть описана двумя различными способами. С одной стороны, это контрагредиентная градуированная алгебра Ли конечного роста, определяемая каноническими коммутационными соотношениями [К1] на образующие Шевалле е¿, /¿, /гг-, г = 0,1,..., г по заданной сим-метризуемой матрице Картана А параболического типа. С другой стороны, алгебра § может быть описана как центральное расширение алгебры Ли полиномиальных функций со значениями в простой алгебре Ли g. Аналогичные описания имеются и для квантовых деформаций аффинных алгебр.

Наиболее известные квантовые деформации аффинных алгебр - квантовые аффинные алгебры 6Г9(§) и янгианы У^) естественно возникают в рамках квантового метода обратной задачи. Так, янгиан является алгеброй, порожденной матричными коэффициентами ¿-оператора Ь(и), удовлетворяющего уравнению

Я(и — ь)Ь1(и)Ь2{у) = Ь2(у)Ь1(и)11(и — и),

где Щи) = 1 + Р/и- простейшее решение Янга квантового уравнения Янга-Бакстера. Здесь Р - оператор перестановки в тензорном квадрате С14 ® С1*1, Ь^и) = Ь{и) ® 1, Ь2(у) = 1 <8> Квантовая аффинная алгебра £/д(з1м)

получается применением конструкции квантового дубля [Б1] к алгебре матричных коэффициентов, удовлетворяющих аналогичному уравнению Янга-Бакстера с простейшей тригонометрической квантовой /^-матрицей. Следуя [ЯЭТ], ее можно описать системой уравнений

q-detL±(z) = 1

где

При этом матрица Ь+(и) аналитична в бесконечности, оо) = 0 для i < j^, Ь~(и) аналитична в нуле, ¿¿¿(О) = 0 для г > з, Ь%(оо)Ь^(0) = 1.

Многообразие решений квантового уравнения Янга-Бакстера, ассоциированных с различными конечномерными представлениями простой алгебры Ли g, описывается конструкцией Дринфельда [Б1] универсальной Н-матрицы, примененной к данной деформации аффинной алгебры Согласно [01], уни-веральная Д-матрица алгебры Хопфа А определяется как элемент % некоторого пополнения А ® А, удовлетворяющий условиям

Д'(а) = ПА(а)П-\ а е ид{ё) , (1)

(А ® 16)11 = 7г13тг23, (»<* ® А)7г = тг13тг12, (2)

где Д - коумножение в А, А' - противоположное коумножение: А' = РА, Р(а® Ь) = Ъ 0 а. Основная известная конструкция построения универсальной Я-матрицы использует отождествление алгебры Хопфа А с квантовым дублем подагебры Хопфа А+, так что является каноническим тензором спаривания А+ с дуальной алгеброй А\ с противоположным коумножением: % = е% ® е1.

Таким образом, для построения, к примеру, универсальной Д-матрицы для квантовой аффиной алгебры необходимо построить полный линейный

базис е,- квантованной Борелевской подалгебры £79(Ь+) и вычислить дуальный базис ег в дуальной алгебре IIч{Ь_). Этот базис е,- строится как деформация базиса Картана-Вейля универсальной обертывающей алгебры £/(§). Конструкция квантованного базиса Картана-Вейля не заложена в определение квантовой аффиной алгебры. Для его построения используется определение и (%) в терминах образующих Шевалле, принадлежещее Дринфельду [01] и Джимбо [Л], [Л2]. Процедура построения базиса определяется ^-коммутаторным алгоритмом, использующим теорию нормальных порядков систем корней [АвЬ], [КТЗ]. Отдельного рассмотрения требуют мнимые корни.

Аналогичная рациональная теория требует введения квантового дубля ян-гиана БУ(^) простой алгебры Ли g и развития теории базисов Картана-Вейля в дубле Янгиана. Здесь ситуация еще более сложная, чем в случае квантовой афииной алгебры, связанной с тригонометрическими решениями уравнения Янга-Бакстера. Дубль Янгиана не является конечнопорожденной алгеброй и описание его в терминах образующих Шевалле отсутствует. Тем

не менее, частично (а в случае БУ(в12) - полностью) поставленную задачу можно разрешить и здесь. Более того, для построения нетривиальных представлений необходима конструкция центрального расширения дубля янгиана. В обоих случаях конечное выражение для универсальной /¿-матрицы описывается в форме упорядоченного бесконечного произведения, которое, несмотря на довольно сложную структуру, успешно применяется в конкретных конечномерных представлениях квантованных аффинных алгебр.

В том же частном случае з12 мы предъявляем квантование нестандартного рационального решения классического уравнения Янга-Баксера. Это квантование осуществляется при помощи твистования (подкрутки) коалгебраич-еской структуры в янгиане У^эЬ) при помощи два-тензора, определяющего нестандартное квантование простой алгебры Ли в12 [СОЭ]. Ответ, включая универсальную /¿-матрицу, выписывается как в форме конечного числа образующих, так и в форме ¿-операторов, удовлетворяющих квантовому уравнению Янга-Бакстера с нестандартной квантовой /¿-матрицей в фундаментальном представлении.

Помимо универсальной /¿-матрицы, важнейшую роль в иследовании интегрируемых квантовых двумерных моделей играют сплетающие операторы между тензорными произведениями бесконечномерных и конечномерных представлений квантованных аффиных алгебр.

Ф(г) : А -)• А' ® Ф(г) : А -4 ВД ® А',

коммутирующие с действием деформированной алгебры* Здесь - конеч-

номерное представление деформированной алгебры со спектральным параметром г, А и А' - бесконечномерные представления старшего веса. Оказывается, что компоненты сплетающих операторов для интегрируемых представлений А уровня 1 образуют представление алгебры Фаддеева-Замолодчикова квантовой модели с ¿"-матрицей, определяемой /¿-матрицей, сплетающей соответствующие конечномерные представления (см., например, формулы (2.3.15)-(2.3.20)). Следуя идеям [БЕЛУШ], [Ьик1], следы произведений сплетающих операторов в бесконечномерных представлениях отождествляются с произво-

дящими функциями формфакторов локальных операторов.

Для вычисления следов произведений вершинных операторов необходимо представление вершинных операторов и действия квантованной алгебры в бо-зонизованной форме. Для построения бозонизованной картины, так же как и в классике, необходима реализация квантовваной алгебры в форме токов, деформирующая описание аффиной алгебры в виде центрального расширения полиномиальных функций со значениями в простой алгебре Ли. Впервые такая реализация была предложена Дринфельдом [БЗ] для янгианов и квантовых аффинных алгебр ("новая реализация"). При этом реализация в форме токов возникает вместе с совершенно иной коалгебраической структурой, квантующей сингулярную классическую г-матрицу. Отметим, что, эта коал-гебраическая структура существенным образом используется при доказательстве формулы универсальной Л-матрицы.

Помимо этого, токовая реализация квантовых деформаций аффинных алгебр вместе с соответствующим коумножением заслуживает самостоятельного изучения как новая нетривиальная алгебра Хопфа. Мы называем такие алгебры Хопфа деформированными алгебрами токов. Оказывается, что для них можно развить продвинутую теорию, гораздо более полную, чем для квантовых аффинных алгебр, янгианов и т.п., параллельную теории квантовых деформаций простых конечномерных алгебр Ли с заменой комбинаторики гауссовых <7-чисел рациональными функциями с соответствующими тождествами между ними. При этом вся некоммутативность и некокоммутативность деформации сосредотачивается в полюсах рациональных функций.

Как уже было отмечено выше, бесконечномерные представления старшего веса для деформированных алгебр токов идентичны соответствующим представлениям квантовых деформаций аффинных алгебр. Для восстановления исходной коалгебраической структуры янгианов, квантовых аффинных алгебр и т.п. необходимо разбить полные токи в сумму токов с предписанными поведениями в фиксированных точках т.е., явно решить соответствующую задачу Римана, что удается в полном объеме сделать для деформированных алгебр токов со значениями в алгебре Ли з12 . Полученные аналитические части

токов суть производящие функции некоторых образующих базиса Картана-Веиля и подчиняются простому закону коумножения.

Квантовые аффинные алгебры и дубли янгианов не исчерпывают квантовых деформаций аффинных алгебр и недостаточны для изучения таких моделей, как квантовая модель Синус-Гордон или 8-вершинная модель Бакстера. Мы подробно изучаем алгебру Дь^зЬ) , играющую роль алгебры динамических симметрии в модели Синус-Гордон в угловом квантовании. В отличие от квантовых аффиных алгебр и янгианов, алгебра .Д^^г) является квазихопфо-вой алгеброй, порожденной непрерывным набором образующих, являющихся коэффициентами Фурье полных токов. Это естественно с точки зрения теории поля на некомпактном пространстве, но несколько непривычно в алгебраическом контексте. Тем не менее, для такой алгербы явно строятся бесконечномерные представления в бозонизованной форме, выписываются сплетающие операторы, следы произведений которых определяют производящие функции формфакторов локальных операторов модели Синус-Гордон.

Таковы в самом кратком виде основные идеи и методы, используемые в диссертации.

3. Структура диссертации такова. Диссертация состоит из четырех глав, каждая из которых состоит из нескольких параграфов, которые, как правило, разбиты на пункты. Нумерация формул - тройная. Первая цифра обозначает главу, в которой встречается формула, вторая - параграф, третья - порядковый номер формулы внутри параграфа. Нумерация теорем, предложений, лемм и следствий к предложениям или к теоремам - двойная; первая цифра при этом означает номер главы, вторая - порядковый' номер утверждения данного типа внутри главы. Литература упорядочена по латинскому алфавиту. Мы не приводим ссылок на оригинальные публикации, если разбираемый вопрос и имеющаяся литература отражены в цитируемых монографиях и обзорах.

Изложим содержание диссртации по главам. Во Введении дан обзор современного состояния теории квантовых деформаций бесконечномерных алге-

бр Ли, очерчены основные понятия и методы, используемые в диссертации, приведена общая характеристика работы, а также описана ее структура по главам.

В Главе 1 изучается алгебраическая структура квантовой аффинной алгебры , где § - нескрученная аффинная алгебра Ли. Главные обсуждаемые вопросы - построение базиса Картана-Вейля и универсальной Д-матрицы.

С точки зрения алгебр Хопфа, квантовая аффинная алгебра представляет собой частный случай квантованной универсальной обертывающей алгебры Каца-Муди. Это означает, что, как алгебра, ид(&) порождена образующими Шевалле е±а<, к^ = д±н°ч, где г = 0,1..., г, подчиняющихся соотношениям, которые являются </-деформацией канонических соотношений на образующие Шевалле алгебры Каца-Муди.

Аффинная алгебра Ли, помимо задания образующими Шевалле, может быть описана в базисе корневых векторов. Нахождение подобного описания для квантовых аффинных алгебр является нетривиальной задачей. Традиционная конструкция с использованием автоморфизмов Люстига, применяемая для квантовых алгебр ид(&), где g - простая (конечномерная) алгебра Ли, не дает полного базиса, поскольку группа Вейля действует тривиально на мнимых корневых векторах. Для построения базиса Картана-Вейля мы используем процедуру построения корневых векторов индукцией по данному нормальному порядку, первоначально примененную Толстым и автором для алгебр {Уд^), где g - простая конечномерная супералгебра Ли.

Напомним, что линейный порядок < системы Д+ положительных корней алгебры Ли g называется нормальным, если для любых корней а, /?, 7 € А+ таких, что а+{3 = 7 и хотя бы один из корней- вещественный, имеет место либо а < 7 < (3, либо ¡3 < 7 < а. Индукционная процедура состоит в определении корневого вектора е7 для составного корня 7 = а + /3 как д- коммутатора составляющих: е7 = — Ма,р(еаер — при условии, что а <

... < (3 - минимальный в смысле нормального порядка сегмент, содержащий корень 7. Константа Ата/1 принимает три возможных значения: 1,1/[2]д, 1/[3]9 и определяется по матрице скалярных произведений корней а и /3.

В результате применения индукционной процедуры получаются вещесвен-ные корневые векторы е±7, 7 6 Д+е и набор корневых векторов е'±п8, где % = 1,...,г, минимальный положительный мнимый корень. Корневые векторы е'^1 объединяются в производящие функции

1<Нг) = 1 ± (« - дГ1) £ е >

т>1

где ф = Наконец, производящие функции мнимых корневых

векторов е*±п6, = — Ч^1) Х)т>1 ^тй2*™ получаются логарифмированием

К?(г): К?(г) = ехрН?(г).

Корневые векторы е±7, 7 € Д+е и е^, г = 1 ,...,г,ш > 0, образуют базис Картана-Вейля алгебры и: упорядоченные в соответствии с нормальным порядком мономы от корневых векторов образуют линейный базис (7?(§)над Картановской подалгеброй; корневые векторы подчиняются замечательным коммутационным соотношениям. Так, например, ц - коммутатор корневых векторов еа и ер выражается через корневые векторы е7 такие, что а < 7 < /3. Образующие и "новой" реализации Дринфельда с точностью до небольшой перенормировки совпадают с корневыми векторами е±а^п§ и е

В терминах корневых векторов выписывается универсальная Д-матрица алгебры . Она представляется в виде

К = К+КоК-К, (3)

где

п+ = П Ау , ■ = П ' % - П -р ( ± ® е«,)

п> 0 \ы=1 Ч Ч )

Здесь матрица, обратная к симметризованной матрице Картана Ь^ = «/), (1^- матрица, обратная к аналогу : = [п (а,, <*_,•)],, порядок сомножителей соответствует выбранному нормальному порядку системы положительных корней, удовлетворяющему некоторым условиям конечности.

Несмотря на сложную структуру бесконечного произведения, полученное выражение для универсальной /¿-матрицы может быть эффективно применено для вычисления конкретных решений квантового уравнения Янга-Бакстера и изучения их свойств. Так, например, общее свойство факторизации (3) приводит к тому, что производящие функции корневых векторов описываются в терминах Гауссовых координат Х-операторов; в случае {/^¡г) приведенная формула позволяет точно вычислить квантовую /¿-матрицу в тензорном произведении произвольных представлений алгебры [^(вЬ). Мы вычисляем также значения универсальной /¿-матрицы на тензорном произведении старших векторов произвольных конечномерных неприводимых представлений алгебры (характеры универсальной /¿-матрицы). Они имеют вид уравновешенных отношений д-аналогов Г функций.

Глава 2 посвящена деформациям аффинных алгебр, соответствующим рациональным решениям уравнения Янга-Бакстера и их приложениям к конкретным моделям двумерной квантовой теории поля. Исторически первой такого сорта алгеброй был янгиан простой алгебры Ли, введенный Дринфельдом. Однако, для конструктивного построения решений квантового уравнения Янга-Бакстера и построения полного набора динамических симметрий соответствующих квантовых моделей более удобен квантовый дубль янгиана. В этой главе дается полное описание алгебраической структуры квантового дубля янгиана простой алгебры Ли, исследуется структура соответствующей универсальной /¿-матрицы; в частности для дубля янгиана БУ(з 12) универсальная /¿-матрица выписывается полностью. Строение дубля янгиана и соответствующей универсальной /¿-матрицы сложнее, чем для квантовых аффинных алгебр. В частности, эта алгебра не является конечнопорожденной и симметрия между положительными и отрицательными гармониками также нарушается.

Оказывается также возможным построить центральное расширение дубля янгиана, расширив первоначально янгиан при помощи оператора дифференцирования и рассмотрев затем дубль расширенной алгебры Хопфа. Например, центрально расширенная алгебра ХЛР^г) может быть описана в терминах

производящих функций своих образующих

е±(и) := ± £ иеки-к~\ /*(«) := ± £ и/ки~к-\ := 1 ± I/ £ Ьки~к~\

к>0 к>0 к>О

к<0 к<0 к<О

e¿(м) = е+(«) - е~(и), /¿(и) = /+(м) - /"(и), удовлетворяющих соотношениям

(и — V — и)е(и)е(у) = (и — V + и) е(у)е(и), (4)

(и - г> + г/)/(и)/(ь) = (и - и - I/) /(«)/(«)>

(и — и — 1/)/1'±(и)е(г>) = (и — V + г/) е(и)А'±(и),

/^(ы)/^^) = /^(и)/^«),

(и — V + и — ис)К+(и)/(у) = (и — V — и — и с) /(ь)К+(и),

(и — V + 1/)К~(и)/(ь) = (и — V — и) /(у)К~(и)

(и — V + V — ис)(и — V — и)К+(и)К~(у) = (и — V + — V — и — ис)К~ [ь)К+ (и)

[е(и),/(г>)] = г/ (¿(г/ - « - */с))А"+(«) - 6(и - г>)/Г(г>)) (5)

Коумножение задается в терминах производящих функций е±(гг), /±(и), например,

оо

А(е+(и)) = е+(и) 0 1 + + " ~ ® (е+(и - исг))к+\ (6)

к=О

Как обычно, центрально расширенная алгебра имеет нетривиальные бесконечномерные представления. Мы исследуем базисные представления Ц, г = 0,1 уровня 1. Они оказываются простой деформацией классических представлений аффинной алгебры в пространстве Фока и, также как и в классике, различаются состояниями нулевых мод:

е(и) = 1/ф-(и — /(и) = иф2х{и + г/)ф21{и)ф+(и),

К+(и) = ф+(и- и)ф+\и), К~(и) = ф-(и- и)ф~_\и + и),

где ф± — аналитические в нуле и бесконечности части свободного бозонного поля:

ф+(г)ф.(ю) = И < \г\.

Как впервые отметили М.Джимбо, Т.Мива и соавторы [БРЛУШ], важнейшую роль в приложениях к квантовым интегрируемым моделям играют операторы, сплетающие тензорные произедения бесконечномерных и конечномерных представлений. В данном случае мы исследуем операторы

Ф«(г) : Ц 0 К, Ф*%) Ух-,-,

коммутирующие с действием .ОУ^Ь). Здесь Ц, - двумерное представление ВУ(з12) со спектральным параметром г. Компоненты сплетающих операторов могут быть выписаны в бозонизованной форме

Ф_(*)

М*)

Ф1(*)

f n't

du :Ф_(_г)/(и):

г (]',

Je h

2iir (и — z){u — z — h) dv :Ф *_(z)e(v):

(7)

2г7Г (v — z)(v — z — h) ' где контуры С и С таковы, что точки гг + Я,0 (z, 0) лежат внутри С (С) а точки z,oo (z + h, оо) - снаружи контура С (С); поле rj+(z) находится из функционального уравнения r]+(z)rj+(z — Н) = ф+(г)( — 1)р (р - оператор дифференцирования по нулевой моде) в виде корректно определенного бесконечного произведения полей ф+(г{). сплетающие операторы опрёделяют представление в пространстве Фока алгебры Фаддеева-Замолодчикова ¿'[/^-инвариантной модели Тирринга:

Ф£1(г1)Ф:2(г2) = фг^ы^ы,

V 7Г Z\ — Z2 (

где

ад

_r(i-jk)r(i + &)

1 о

о о

0 h(z) c(z)' 0 0 c(z) b(z) 0 0 0 0 1

(8)

. , жг lt . z , . % • 2h

Ф) = -ctg &(,) = —, Ф) = — , <7 = •

Как показал С.Л.Лукьянов [Lukl], в этой ситуации следы произведений определенных комбинаций сплетающих операторов подчиняются свойствам форм-факторов локальных операторов в упомянутой теории и представляют собой производящие функции этих формфакторов. Мы показываем, что нормированный след произведений сплетающих операторов корректно определен и вычисляем след, предъявляя ответ в интегральной форме. На конкретных примерах мы также демонстрируем связь наших вычислений с общими формулами для формфакторов локальных операторов, полученных Ф.А.Смирновым [Sml], [Sm2], [Sm3] в бутстрапном подходе.

Хорошо известно, что, помимо решения Янга, существуют другие невырожденные рациональные решения классического уравнения Янга-Бакстера. Ранее их классификация была разработана А.А.Столиным. Мы изучаем квантование нестандартного решения

г{и) = - + h А /, и

где /г, е, /- стандартные образующие алгебры Ли sl2 , t — соответствующий разнесенный оператор Казимира. Оказывается, что соответствующая квантовая алгебра является янгианом ^(sb) , в котором коумножение подкручено при помощи 2-тензора

¿к к—1

^ = + 2i))®f, еес.

к>О К- i=0

Мы детально описываем получившуюся алгебру Хопфа, задавая ее как в форме образующих и соотношений, так и в токовой форме; выписываем соответствующую универсальную Д-матрицу.

Целью Главы 3 является нахождение и исследование квантовой алгебры, описывающей симметрии квантовой модели Синус-Гордон. Следуя идеям С.Л.Лукьянова [Lukl], предложившим бозонизацию алгебры Фаддеева-Замо-лодчикова модели Синус-Гордон, мы определяем соответствующую алгебру

симметрии: , исходя из матричного уравнения

д(«х («2,о = Lt(u2,-«2,0 , (9)

где R(u, 0 совпадает с точностью до умножения на оператор перестановки с ¿'-матрицей Замолодчикова модели Синус-Гордон, = £ + г/гс, где h - однородный параметр деформации, который обычно полагают равным 7г, с - центральный элемент. Можно показать, что уравнение (9) является скейлинговым пределом определяющего соотношения для эллиптической аффинной алгебры, введенной М.Джимбо и соавторами [FIJKMY1], [FIJKMY2].

Отфакторизовывая квантовый детерминант и переходя к Гауссовым координатам, мы показываем, что алгебра матричных коэффициентов ¿-операторов порождается коэффициентами Фурье ё\, f\ и i\ токов

Е(и) = Г d\ е,л"ёд, F(u) = Г d\ е,л,7л, и G С.

J—оо J—оо

= Г ¿д егЛи

27TJ7 ./-оо

которые удовлетворяют соотношениям = = 1):

tf+MJTM = shМи ~ " ~ 'М1 ~ c/2))sh~ « + гП(1 ~ Ф)) K-(v)K+(u)

{ ) [ ) shттг}{и — V ih(l + c/2))sh irri'(u — v — ih(l + c/2)) [ ) l b

А^М/^Ы = + K±(v)K±(u)

[u)K [v) shттг)(и — и + ih)shitt]'(u — v — iñ) { V±t \T?í \ sh. irr](u — v — ih(l ^ с/4)) ±

= -, + «(! ±c/4)) *(">**(»).

v y w sh7r?7'(u - и - »ft(l ± c/4)) v y v y

= sh^-.-г-Я) w w sh щ(и - v + »Ä) v ; v ;

= s.h"','!°"°+'S , ■

sh7r?7'(u — v — гп)

[E(u),F(v)) = -:

27Г2?7 \c f ich\ ^ ¿cft^ r ( i г'сЙ^ ^ гсТг

í [ и - и - — J I<+ [u - — j -S(u-v + — J (v 4

sin TTrjh

некоторым интегральным соотношениям на образующие ёд, /д и ¿д, которые

где S(u) = ¿ /f^ с?Л егХи, и € R. Описанные соотношения эквивалентны

также приведены в этой главе. Коумножение по формулам, аналогичным (6), выписывается в терминах токов е±(и) и /*(«), связанных с полными токами как

е±(и) = sin пф [ ^ . , (Ю)

v у Je 2пг sh 7гг/( гг - v ± ich 4)

le 2iri sh.Trr)(u — v ± ich/4) '

/*(«) = sin irrj'ñ f ^ . „ ■ fc//n , (11)

J v ; ' Je 2ттг sh7T?7'(M - v =F гс/г/4) v

где контур С' проходит от —оо к +оо так, что точки и + ich/А + ik£' (к > 0) находятся выше контура, а точки и—ich/4—ik^' (к > 0) - ниже контура. Контур С также проходит от —оо к +оо, но точки и — ich/4 + ik£ (к > 0) лежат выше контура, а точки и + ich/4 — ik( (к > 0) - ниже контура, так что

, / ich\ _ ( ich\ sin ттф

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Хорошкин, Сергей Михайлович

5 Заключение

В заключение кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построена теория базисов Картана-Вейля квантовых аффинных алгебр £/?(§) . В терминах базиса Картана-Вейля выписана явно универсальная Д-матрица для квантовых аффинных алгебр . Вычислены характеры универсальной /^-матрицы в конечномерных представлениях .

2. Предъявлена конструкция дубля янгиана простой алгебры Ли g и его центрального расширения. Для центрально расширенного дубля янгиана ¿)У(з12) выписана универсальная Д-матрица.

3. Описаны представления уровня 1 дубля янгиана и построены соответствующие сплетающие операторы в бозонизованной форме. Алгебра сплетающих операторов представлений уровня 1 отождествлена с алгеброй Фад-деева-Замолодчикова 5£/(2)- инвариантной модели Тирринга. Вычислены следы сплетающих операторов в базисных представлениях расширенного дубля янгиана /Ж^Ь). Показано, что эти следы вычисляют формфакторы локальных операторов в 311(2)- инвариантной модели Тирринга.

4. Построен деформированный янгиан квантующий нестандартное рациональное решение классического уравнения Янга-Бакстера.

5. Построена непрерывная версия .Д^^г) эллиптической аффинной алгебры. Описаны ее конечномерные представления и базисное представление уровня 1. Алгебра сплетающих операторов отождествлена с алгеброй Фаддеева—Замолодчикова модели Синус-Гордон. Показано, что следы произведений сплетающих операторов вычисляют формфакторы локальных операторов в квантовой модели Синус-Гордон.

6. Построена теория деформированных алгебр токов со значениями в простой алгебре Ли с простыми связями в тригонометрическом и рациональном вариантах. Построено новое действие группы кос и полный набор корневых токов в деформированных алгебрах токов. Во всех приведенных алгебрах токов универсальная Д-матрица построена как в форме бесконечного произведения, так и в интегральной форме.

7. В процессе построения универсальной Д-матрицы для алгебр токов построен комплексный вариант упорядоченной экспоненты, обобщающий д-экспоненциальные функции.

8. Изучена связь между деформированными алгебрами токов и квантовыми деформациями аффинных алгебр Ли (включающими в себя квантовые аффинные алгебры, дубли янгианов, непрерывные варианты эллиптических алгебр и эллиптические алгебры динамического типа). В одну сторону связь описана как твистование (скручивание) хопфовой структуры, в другую сторону как решение некоторой классической задачи Римана.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хорошкин, Сергей Михайлович, 1998 год

Литература

[Ar] Arnaudon, D., Buffenoir,E., Ragoucy, E., Roche, Ph. Universal Solutions of Quantum Dynamical Yang-Baxter Equations. Preprint q-alg/9712037 (1997).

[Ash] Ашерова, P.M., Смирнов, Ю.Ф., Толстой, B.H. Описание некоторого класса проекционных операторов для полупростых комплексных алгебр Ли. Матпем. Заметки 26 (1979), 15-25.

[AKOS] Awata, Н., Kubo, Н., Odake, S. and Shiraishi, J. Quantum Wn algebras and Macdonald polynomials. Preprint q-alg/9508011 (1995).

[BBS] Babelon, 0., Bernard, D. and Smirnov, F.A. Null-vectors in Integrable Field Theory. Commun.Math.Phys. 186 (1997) 601-648.

[BLZ1] Bazhanov, V.V., Lukyanov, S.L. and Zamolodchikov, A.B. Integrable Structure of Conformal Field Theory III. The Yang-Baxter Relation, preprint hep-th/9805008 (1998)

[BLZ2] Bazhanov, V.V., Lukyanov, S.L. and Zamolodchikov, A.B. Integrable Quantum Field Theories in Finite Volume: Excited State Energies Nucl.Phys. В489 (1997) 487-531

[BLZ3] Bazhanov, V.V., Lukyanov, S.L. and Zamolodchikov, A.B. Integrable Structure of Conformal Field Theory, Quantum KdV Theory and Thermodynamic Bethe Ansatz Commun.Math.Phys. 177(1996) 381-398

[BLZ4] Bazhanov, V.V., Lukyanov, S.L. and Zamolodchikov, A.B. Integrable Structure of Conformal Field Theory II. Q-operator and DDV equati<?n Commun.Math.Phys. 190 (1997) 247-278

[Bax] Baxter, R.J. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. Academic, London, 1982.

[Bar] Barnes, E.W. On the theory of the multiple gamma functions. Trans. Cambridge Philos. Soc., 19 (1904) 374-425.

[BPZ] Belavin, A.A., Polyakov, A.M. and Zamolodchikov, A.B. Infinite confomal symmetry in two-dimensional conformal field theory. Nucl. Phys. В2^1 (1984), 333-380.

[Beckl] Beck, J. Convex bases of PBW type for quantum affine algebras. Com. Math. Phys. 165 (1994), 193-200.

[Beck2] Beck, J. Braid group action and quantum affine algebras. Com. Math. Phys. 165 (1994), 555-568.

[BL] Bernard, D., LeClair, A. The quantum double in integrable quantum field theories. Nucl. Phys. В 399 (1993) 709-748.

[BGG] Бернштейн, И.Н., Гельфанд, И.М., Пономарев, В.А., Функтор Кок-стера и теорема Габриэля, Успехи Математических Наук, 28, 1973, 17-32.

[Btj Behte, Н., Zur Theory de Metalle, Eigenwerte und Eigenunktionen der linearen Atomkette, Zt. Pysik 71 (1931), 205-226.

[Br] Бурбаки, Группы и Алгебры Ли. Главы 4-7 Москва, Мир (1972)

[BrL] Brazhnikov, V. and Lukyanov, S. Angular quantization and form-factors in massive integrable models, preprint hep-th/9707091 (1997).

[ChP] Chari, A., Pressley, A.N. A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

[Ch] Chervov, A. Traces of creating-annihilating operators and Fredholm's formulas. Preprint (1997) 1-20, q-alg/9703017. - 4

[DJKM] Date, E.Jimbo, M., Kashiwara, M. and Miwa, T. Transformations groups for soliton equations, in: Nonlinear integrable systems- classical theory and quantum theory. World Scientific (1983). 39-120.

[DFJMN] Davies, В., Foda, 0, Jimbo, M., Miwa, T. and Nakayashiki, A. Diagonalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators. Comm. Math. Phys. 151 (1993) 89-153.

[DF] Ding, J., and Frenkel, I.B. Isomorphism of two realizations of quantum affine algebras Uq(gl(n)). Commun. Math. Phys., 156 (1993), 277-300.

[DK1] Ding, J. and Khoroshkin, S. Weyl group extension of quantized current algebras. q-alg/9804139 (1998)

[DK2] Ding, J., and Khoroshkin, S., On the FRTS approach to quantized current algebras. pre-print math/9804140 (1998).

[DI] Drinfeld, V.G. Quantum groups. Proc. ICM-86 (Berkely USA) vol.1, 798-820. Amer. Math. Soc. (1987).

[D2] Дринфельд, В.Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера. ДАН СССР. 283 (1985), 1060-1064.

[D3] Дринфельд, В.Г. Новая реализация янгианов и квантованных аффинных алгебр. ДАН СССР. 286:1 (1987), 13-17.

[D3a] Дринфельд, В.Г. Новая реализация янгианов и квантованных аффинных алгебр. ФТИНТ Препринт 30-86 (1986).

[D4] Дринфельд, В.Г. Квазихопфовы алгебры. Алгебра и Анализ 1:6 (1989), 114148.

[DeCK] De Conchini, С., Кас, V. Representations of quantum groups at root of 1. Progress in Math. 92 (1990), 471-505.

[Fl] Faddeev, L.D. Quantum completely integrable models in field theory. Sov. Sci. Rev. Math. Phys. CI (1980) 107-155.

[F2] Faddeev, L.D and Volkov, A. Yu., Abelian current algebra and the Virasoro algebra on the lattice. Phys. Lett. B315 (1993), 311-318.

[FF] Feigin, B.L., Frenkel E.V. Quantum W- algebras and elliptic algebras. Preprint q-alg/9508009 (1995).

[Fe] Felder, G. Elliptic quantum groups preprint hep-th/9412207 (1994).

[FIJKMY1] Foda, O., Iohara, K., Jimbo, M., Kedem, R., Miwa, Т., Yan, H. An elliptic quantum algebra for sl2. Lett. Math. Phys. 32 (1994) 259-268;

[FIJKMY2] Foda, О., Iohara, К., Jimbo, M., Kedem, R., Miwa, Т., Yan, H. Notes on highest weight modules of the elliptic algebra Apq. Prog. Theoret. Phys., Supplement, 118 (1995) 1-34.

[FR] Frenkel, I.В., and Reshetikhin, N.Yu. Quantum Affine Algebras and Holonomic Difference equations. Commun. Math. Phys., Ц6 (1992), 1-60.

[FK] Frenkel, I.В., and Kac, V.G. Basic representations of affine Lie algebras and dual resonance models Invent. Math 62 (1980), 23-66.

[FJ] Frenkel, I.В., and Jing, N. Vertex operators of quantum affine algebras Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 85 (1988), 9373-9377.

[Fro] Fronsdal, Quasi Hopf Deformations of Quantum Groups, Lett. Math. Phys. 40 (1997), 117-126.

[GGS] Gestenhaber,M., Giantino, A. and Schack, A. Quantum Symmetry, in Lecture Notes in Math., 1510 (1992), 9-45 (1992).

[GK] Гохберг, И.П., Крейн, М.Г., Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. Успехи Мат. Наук, 13:2 (1958), 3-72.

[Gr] Green, J.A., Quantum groups, Hall algebras and quantized shuffles. Preprint (1995).

[Jl] Jimbo, M., A g-analogue of U(gl(N + 1)), Hecke algebra and the Yang - Baxter equation. Let. Math. Phys., 11 (1986), 247-252.

[J2] Jimbo, M., Quantum R- matrix for generelazied Toda system. Comm. Math. Phys., 102 (1986), 537-547.

[JKOSl] Jimbo, M., Konno, H., Odake, S., Shiraishi, J. Quasi-Hopf twistors for elliptic quantum groups. Preprint q-alg/9712029 (1997).

[JKOS2] Jimbo, M., Konno, H., Odake, S., Shiraishi, J. Elliptic algebra Uq<p{sl2): Drinfeld currents and vertex operators. Preprint math/9802002 (1998).

[JKM] Jimbo, M., Konno, H., Miwa, T. Massless XXZ model and degeneration of the elliptic algebra ЛьгА) • Preprint hep-th/9610079 (1996).

[JMl] Jimbo, M., and Miwa, T. Algebraic Analisys of Solvable Lattice Models. Conference Board of the Math. Sci., Regional Conference Series in Mathematics, 85 (1995).

[JM2] Jimbo, M., Miwa, T. Quantum KZ equation with \q\ = 1 and correlation functions of the XXZ model in the gapless regime. J. Phys. A 29 (1996) 2923-2958.

[Kl] Кац, В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли Мосва, "Мир" (1993).

[Kw] Kashiwara, М. On the crystal base of a ^-analogue of universal enveloping algebra, it Duke Math. J. 63 (1993), 465-516.

[KR] Kirillov, A.N., and Reshetikhin, N.Yu. q-Weyl group and a multiplicative formula for universal i?-matrices. Comm. Math. Phys. 134 (1990), 421-431.

[KKL] Kharchev, S.M., Khoroshkin, S.M. and Lebedev, D.R. Intertwining operators and Hirota bilinear equations. Теоретич. и Мат. Физика 104:1 (1995), 144-157.

[КТ1] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N., Universal R-matrix for quantized (su~ per)algebras, Commun. Math. Phys. 141, 1991, 599-617.

[KT2] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N. The Uniqueness Theorem for the universal R- matrix. Lett. Math. Phys., 24 (1992), 231-244.

[KT3] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N., The Cartan-Weyl basis and the Universal Д-matrix for Quantum Kac-Moody Algebras and Superalgebras, in: Quantum Symmetries, H.-D. Doebner and V.K. Dobrev eds, World Scientific Publishing Co, Singapore- New Jersey-London- Hong-Kong, 1993, 336-351.

[KT4] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N., On Drinfeld realization of quantum affine algebras, Journal of Geometry and Physics, 11, 1993, 101-108.

[KT5] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N., Twisting of quantum (super)algebras. Connection of Drinfeld's and Cartan-Weyl realizations for quantum affine algebras, Max Planck Institute Preprint MPI/94-23, hep-th/9404036, 1994, 1-25.

[KT6] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N., Extremal projector and Universal ñ-matrix for quantum contragredient Lie (super)algebras, in: Groups and Related Topics, R. Gielerak et al. eds, Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 1992, 23-32.

[KT7] Khoroshkin, S.M., and Tolstoy, V.N. Yangian Double, Lett. Math. Phys. 36, 1996, 373-402.

[KST1] S.Khoroshkin, A. Stolin, V. Tolstoy, Generalized Gauss decomposition of trigonometric R-matrices, Modern Phys. Lett. A, 19, 1995, 1375-1392.

[KST2] S.Khoroshkin, A. Stolin, V. Tolstoy, Rational solutions of Yang-Baxter equation and deformation of Yangians, in: From Field Theory to Quantum Groups, B. Jancewicz and J. Sobczyk eds, World Scientific Publishing Co, Singapore- New Jersey-London- Hong-Kong, 1996, 53-75.

[KST3] S.Khoroshkin, A. Stolin, V. Tolstoy, Deformation of Yangian Y(sl2). Preprint q-alg/9511005 (1995), toappear in Comm. in Algebra.

[K] Khoroshkin, S. Central Extension of the Yangian Double, in: Algèbre Noncommuta-tive, Groupes Quantique et Invariants, J.Alev edt, Société Mathématique de France, Collection Séminaires et Congrès, Numéro 2, 1997, 119-135.

[KLP1] Khoroshkin, S., Lebedev, D., Pakuliak, S. Intertwining Operators for the Central Extension of the Yangian Double, Phys. Letters A, 222, 1996, 381-392.

[KLP3] Khoroshkin, S., Lebedev, D., Pakuliak, S., Traces of intertwining operators for the Yangian double, Let. Math. Phys, 41, 1997, 31-47.

[KLP4] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak, Elliptic algebra AqtP(sl2) in the scaling limit, Com. Math. Phys. 190 (1998), 597-627.

[KLPST] Khoroshkin, S., Lebedev, D., Pakuliak, S., Stolin, A,, Tolstoy, V., Classical limit of the scaled elliptic algebra An,%(sl2). Preprint ITEP-TH-1/97, RIMS-1139, q-alg/9703043, to appear in Compositio Mathematica.

[KLP5] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak, Yangian algebras and classical Riemann problems, Preprint ITEP/TH-66-97, Roma-1189/97.

[KBI] Korepin, V.E., Bogolyubov, N.M. and Izergin, A.M. Quantum inverse scattering method and correlation functions. Cambridge Univ. Press (1993).

[Кг] Крейн, М.Г., Об определении потенциала частицы по ее ¿"-функции. ДАН СССР 105:3 (1955), 433-436.

[KuR] Кулиш, П.П. и Решетихин, Н.Ю. Кбантовая линейная задача для уравнения Синус- Гордон и высшие представления. Записки научных семинаров ЛОМИ 101 (1981), 101-110.

[KuS] Kulish, P.P. and Sklyanin, E.K. Quantum spectral transform method: recent developments. Led. Notes in Physics. Integrable Quantum Field Theories, 151 (1982), 61-119.

[Kul] Kulish, P.P. and Stolin, A. New rational solutions of Yang-Baxter equation and deformed Yangians. Czech. J. Phys.,47 (1997), 123-130.

[Ku2] Kulish, P.P. and Stolin, A. Deformed Yangians and Integrable Models. Preprint q-alg/9708024 (1997).

[KNS] Kuniba, A., Nakanishi, T. and Suzuki, J. Functional relations in solvable lattice models, I: Functional relations and representation theory, II: Applications. Int. J. of Mod. Phys. A9 (1994), 5215-5312.

[LPK] Лебедев, Д.P., Пакуляк, C.3., Хорошкин, C.M., Алгебра Замолодчико-ва - Фаддеева для дубля Янгиана на уровне 1, Теоретическая и Математическая Физика, 110, 1, 1997, 25-45.

[Lus] Lusztig, G. Canonical bases arising from quantized enveloping algebras. J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 447-498.

[Lukl] Lukyanov, S. Free field representation for massive integrable models, Commun. Math. Phys. 167 (1995), 183-226.

[Luk2] Lukyanov, S. Correlators of the Jost functions in the Sine-Gordon model. Phys. Lett. B325 (1994) 409-417.

[Luk4] Lukyanov, S. Form-factors of exponential fields in the sine-Gordon model. Mod.Phys.Lett. A12 (1997) 2543-2550.

[LZ] Lukyanov, S. and Zamolodchikov, A. Exact expectation values of local fields in quantum sine-Gordon model. Nucl.Phys. B493 (1997) 571-587.

[LS] Levendorskii, S.Z., and Soibelman, Ya.S. Some application of quantum Weyl groups. The multiplicative formula for universal R-matrix for simple Lie algebras. Geom. and Phys 7:4 (1990), 1-14.

[Molev] Молев, А., Частное сообщение.

[MNO] Молев, А., Назаров, А. и Ольшанский, Г. Янгианы и классические алгебры Ли. Успехи Математических Наук 51:2 (1996), 205-282.

[NPT] A. Nakayashiki, A., Pakuliak, S. and Tarasov, V. On solutions of the KZ and qKZ equations at level zero. Preprint q-alg/9712002 (1997).

[Ohn] Ohn, С. A *- product on SL(2) and the corresponding nonstandard quantum U(sl(2)). Lett. Math. Phys. 25 (1992), 85-88.

[RST] Reshetikhin N.Yu., Semenov-Tian-Shansky, M.A. Central-extensions of quantum current groups. Lett. Math. Phys. 19 (1990), 133-142.

[RTF] Решетихин, Н.Ю., Тахтаджан, Л.А., Фаддеев, Л.Д. Квантование групп Ли и алгебр Ли. Алгебра и Анализ 1:1 (1989), 178-206.

[R] Reshetikhin, N.Yu. Multiparameter quantum groups and twisted quasitriangular Hopf algebras. Lett. Math. Phys. 20 (1990), 331-335.

[RS] Reyman A., Semenov-Tian-Shansky, M. Lie algebras and Lax equations with spectral parameter on an elliptic curve, J. Sov. Math. 46 (1989) 1631.

[Ril] Ringel, C.M. PBW-bases of Quantum Groups, Journal für die reine und angewandte Mathematik 470, 1996, 51-88.

[Ri2] Ringel, C.M., Hall algebras and quantum groups, Inventiones Mathematica 101, 1990, 583-592.

[Ri3] Ringel, C.M. The Composition algebra of a cyclic quiver Proc. London Math. Soc. 66, 1993, 507-537.

[Ri4] Ringel, C.M. From representations of quivers via Hall and Loewy algebras to quantum qroups Contemporary Mathematics 131, 1992, 381-401.

[Ri5] Ringel, C.M. Hall algebras revisited Israel Math. Conf. Proc. 71993, 171-176.

[Ro] Rosso, M. An analogue of PBW theorem and the universal /¿-matrix for Uh(sl(n-И)) Commun. Math. Phys. Щ (1989), 307-318.

[Ski] Склянин, E.K. Некоторые алгебраические структуры, связанные с уравнением Янга - Бакстера. Функ. Анализ и его Прил. 16:4 (1982), 27-34.

[Sk2] Склянин, Е.К. Некоторые алгебраические структуры, связанные с уравнением Янга - Бакстера. Представления квантовых алгебр. Функ. Анализ и его Прил. 17:4 (1983), 34-48.

[SS] Semenov-Tian-Shansky, М.А., and Sevostyanov, A.V., Drinfeld-Sokolov reduction for difference operators and deformations of Ж-algebras. II. General semisimple case. q-alg 9702016, 1997.

[Sml] Smirnov, F.A. Form Factors in Completely Integrable Field Theories. World Scientific, Singapore, 1992.

[Sm2] Smirnov, F.A. Dynamical symmetries of massive integrable models. I and II. Intern. J. Modern Phys. A 7, Suppl. IB (1992) 813-837.

[Sm3] Smirnov, F.A. Counting the local fields in SG theory. Nucl.Phys. B453 (1995) 807824.

[Sm5] Smirnov, F.A. Quasi-classical Study of Form Factors in Finite Volume. Preprint hep-th/9802132 (1998).

Irreducible representations of the function algebra on and Schubert cells. Soviet Math. Dokl. 40 (1)

[St] Stolin, A., On rational solutions of the Yang- Baxter equation. Maximal orders in loop algebra. Comm. Math. Phys., Ц1 (1991), 533-548.

[FT1] Тахтаджан, JI.А., Фаддеев, Л.Д., Квантовый метод обраной задачи и XYZ модель Гейзенберга. Успехи матем. наук 34:5 (1979) 13-63.

[FT2] Тахтаджан, Л.А., Фаддеев, Л.Д., Гамильтонов подход в теории соли-тонов Москва, Наука (1986).

[Tarl] Тарасов, В.О. О строении квантовых L-операторов для /¿-матрицы XXZ-модели. Теор. и Матп. Физика 61:2 (1985), 1065-1071.

[Таг2] Тарасов, В.О. Неприводимые матрицы монодромии для /2-матрицы XXZ-модели и решеточные локальные квантовые гамильтонианы. Теор. и Мат. Фишка 63:2 (1985), 175-196.

[Tl] Tolstoy, V.N. Extremal projectors for quantized Kac-Moody superalgebras and some of their applications. The Proc. of the Quantum Groups Workshop. Clausthal, Germany (July 1989). Lectures Notes in Physics 370 (1990), 118-125.

[T2] Толстой, B.H. Экстремальные проекторы для контрагредиентных алгебр и супералгебр Ли конечного роста. Успехи Мат. Наук 44 (1989), 211-212.

[ТК] Толстой, В.Н., Хорошкин, С.М., Универсальная Д-матрица для квантованных нескрученных аффинных алгебр Ли, Функциональный анализ и его приложения, 26, 1, 85-88.

[VI] Vladimirov, A.A., A closed expression for the universal R- matrix in a nonstandard quantum double. Modern Phys. Lett. A, 8 (1993), 2573-2578.

[V] Volkov, A. Yu., ^-combinatorics and quantum integrability. Preprint q-alg/9702007 (1997).

[ZMNP] Захаров, B.E., Манаков, С.В., Новиков, С.П.г Питаевский, Л.П., Теория солиинов: Метод обатной задачи. М., Наука (1986).

[ZZ1] Zamolodchikov, А.В. and Zamolodchikov, Al.B. Factorized ¿"-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models. Ann. Phys. (N.Y.) 120 (1979) 253-291.

[Zh] Желобенко, Д. П. Экстремальные коциклы на группе Вейля. Функциональный анализ и его приложения 21:3 (1987), 11-21.