Вопросы корректности задач для уравнения пространственно неоднородной коагуляции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Буробин, Александр Васильевич

• Буробин, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Буробин, Александр Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ.

§ I.I. Основные обозначения. Классы функций

§ 1.2. Предварительные построения.

§ 1.3. Разрешимость аппроксимирующей задачи

§ 1.4. Теоремы существования

§ 1.5. Существование единственного решения. Итерационный процесс.

§ 1.6. Свойства решений.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА. КОПИ. ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ ГРАВИТАЦИ

0НН0Г0 ТИПА

§ 2.Т. Постановка задачи

§ 2.2. Нелокальная теорема существования и единствен ности. Итерационный процесс

§ 2.3. Другие теоремы существования. Свойства решений

§ 2.4. Уравнение коагуляции с малым параметром

§ 2.5. Некоторые замечания о начально-краевых задачах

ГЛАВА 3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ТИПА.

§ 3.1. Постановка задачи. Классы функций

§ 3.2. Разрешимость-вспомогательной задачи.

§ 3.3. Существование решений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы корректности задач для уравнения пространственно неоднородной коагуляции»

Проводится изучение некоторых математических задач, возникающих при описании эволюции микрогетерогенных физических систем, называемых дисперсными, методами статистической физики.

Под дисперсной системой понимают среду /дисперсионная среда/ с распределенными в ней частицами диспергированной фазы. В простейшем случае среда может быть жидкой, газообразной /облака, туманы, дымы, коллоидные растворы и т.п./. Могут быть дисперсные системы и более сложной природы. Например, пористые среды.

Физические объекты, по сути являющиеся дисперсными системами, широко распространены в природе; вещества в диспергированном v виде часто используются в промышленности, всё чаще появляются в быту. Поэтому исследования по физике дисперсных систем имеют как фундаментальное, так и прикладное значение. Большое внимание таким исследованиям уделяется, к примеру, в физике атмосферы [1-4]; с ними связано изучение процессов образования и эволюции облаков, туманов, осадкообразования, загрязнения атмосферы в результате природных явлений, промышленной деятельности человека и её самоочищения, разработка методов и средств активного воздействия на эти процессы. Сходные задачи могут решаться для помещений ["5 ] .

Первые попытки применения статистических методов к описанию дисперсных систем восходят, по-видимому, к трудам польского физика М. Смолуховского; ему принадлежат фундаментальные результаты в статистической теории броуновского движения; он заложил основы кинетической теории процессов коагуляции /см. [з] /.

Коагуляция - один из основных механизмов, ответственных за эволюцию дисперсной системы. Различные микрофизические процессы могут приводить к сближению частиц диспергированной фазы и их слиянию /коагуляции/ с образованием частиц более крупных размеров. Характер этих процессов определяется природой дисперсной системы.

В дальнейшем, как правило, предполагается, что дисперсионная среда жидкая или газообразная. Изучению микрофизики таких систем посвящены, например, работы [1,3,6,7] .

Для описания эволюции дисперсных систем за счёт коагуляции частиц используется аппарат кинетических уравнений [3,8-Ю] .

Пусть система коагулирующих частиц сосредоточена в некоторой области пространства. Рассмотрим кинетическое уравнение общего вида diujuw.zii] - di,ujD(x,z)V*f]= JyJ,J). /1 /

Функция J - унарная функция распределения частиц системы по размерам X /массам или объёмам/, %>/0 , она является функцией пространственных координат ч Zn ) /здесь 11 может принимать одно из значений: 0,1,2,3; если fl-О , зависимость от пространственных координат отсутствует/ и времени t ; ШХ,Х) вектор-функция, составленная из К) компонент, Vs CUnt/jn^* >Uh) ;

- матрица размерности И X 11 с элементами (И;; , являющимися функциями аргументов ОС и Z . Правая часть уравнения представляется в виде:

ЯДЛ^Р(эс-у ,х) f (y,z,t) йу

Неотрицательная функция Я?(Х,у>Х) характеризует интенсивность столкновений частиц с массами X и у в окрестности заданной точки области; эта функция должна быть симметричной относительно аргументов I и У , т.е. ЯР(Х,у,Х) =Ф(у,Х,Х). 2 /

Первый интегральный член в правой части уравнения /I/ учитывает приход частиц размера ОС как результат слияния частиц с размерами 9С-у и у ,второй член - уход частиц размера X за счёт их слияния с другими частицами.

Пусть вектор-функция V (0С;£) задает скорость частиц размера ЗС в точке Z области, матрица D тривиальна, т.е. все её элементы тождественно обращаются в нуль, тогда имеем кинетическое уравнение, которое, в частности, можно рассматривать как уравнение гравитационной коагуляции. Коагуляция частиц обусловливается действием силы тяжести; падение частиц различных размеров происходит с различными скоростями, вследствие чего возможно их сближение и слияние.

Изучение зависимости скорости падения частиц от размера проводилось, например, в работах [3,4»6,7] . Представлены как теоретические результаты, так и результаты, полученные при обработке экспериментальных данных, теоретические рассмотрения касаются,в основном, частиц малых размеров и шарообразной формы, на основании закона Стокса устанавливается, что скорость падения таких частиц пропорциональна квадрату радиуса, т.е. X . При возрастании размеров характер зависимости меняется. Он может оставаться степенным, только величина показателя степени уменьшается. В [3,б] указаны диапазоны размеров частиц, когда показатель принимается равным l/З, затем l/б . В работе [4] предложена несколько иная аналитическая формула, призванная описывать скорость падения капель в довольно широком диапазоне их размеров с удовлетворительной точностью. Полученная на основе анализа экспериментальных материалов, она имеет вид:

Vj fx) =4^(1- ехр(-а , где V^, и (к - некоторые постоянные, формула дает несколько завышенную / по сравнению с экспериментальной/ скорость падения капель малых размеров, для крупных же капель скорость несколько занижена. Тем не менее выражается мнение, что скорость падения капель не может неограниченно возрастать при возрастании их размеров, а стремится вследствие сплющивания этих капель к конечному пределу. Такое мнение, по-видимому, не противоречит результатам экспериментов, представленным в работе [7] .

Следовательно, падение более крупных частиц происходит с большей скоростью. интенсивность взаимодействий частиц при гравитационной коагуляции определяется размерами частиц и скоростями их падения; интенсивность тем выше, чем больше эти размеры и сильнее различаются скорости.

Выводу и статистическому обоснованию уравнения гравитационной коагуляции посвящена работа [ 9] •

Пусть теперь тождественно обращаются в нуль компоненты векt тор-функции V , а матрица О нетривиальна, матрица О характеризует броуновское движение частиц. Коагуляция частиц является результатом этого движения, интенсивность столкновений частиц определяется их размерами и подвижностью [зЗ » интенсивность тем выше, чем больше размеры ил подвижность; в то же самое время подвижность зависит от размеров и больше у мелких частиц.

Вывод и статистическое обоснование уравнения коагуляции броуновски движущихся частиц представлены в работе' [ю] .

Уравнение /х/ в общем виде, но с правой частью, по-прежнему задаваемой формулой /£/, трактовать как уравнение коагуляции, в котором учитывается коагуляция частиц за счёт действия механизма гравитационной коагуляции и броуновского блуждания частиц одновременно, нет оснований. Однако уравнения такого вида рассматриваются в некоторых работах / см. [II, 12]/ по другому поводу, например, при попытке учесть турбулентное перемешивание частиц в случае гравитационной коагуляции.

Состояние системы коагулирующих частиц нием /I/, в любой момент времени t зависит тояния этой системы в момент времени t - О нужно дополнить начальным условием f(x,z,o) = fo (х,г), / з / где Z - точка рассматриваемой области. По своему физическому смыслу начальная функция j0 должна быть неотрицательной. Если уравнение /х/ решается во всем пространстве, имеем задачу Коши /X/,/3/ . Ищется неотрицательное решение задачи. Если же область не совпадает со всем пространством, помимо начального условия требуются ещё условия на границе области.

Уравнение jjJ интегродифференциальное, и постановка граничных условий всецело определяется свойствами дифференциального оператора. Иными словами, для уравнения /I/ может рассматриваться краевая задача из числа тех, которые имеют смысл для этого уравнения без учёта процесса коагуляции, т.е. для дифференциального уравнения ft i + diUx[v(xfz)t] - ciivz[D(x,z)Vzf] = 0, I 4 / но с учётом зависимости функции ,f от аргумента X .

Начальная или смешанная задача для уравнения /4/ называется далее порождавдей дифференциальной задачей для интегродифферен-циального уравнения /I/.

Начало построения математической теории уравнения JjJ положено изучением уравнения в случае пространственно однородных систем коагулирувдих частиц. Обзор основных результатов, полученных описываемой уравне- -, естественно, от сос-. Поэтому уравнение /jJ вплоть до 1974 года, представлен в работе [з] . Заслуживает внимание результат работы [33] : доказано существование единственного решения задачи Коши, определенного при всех 1>/0 , в предположении, что ядро Я? - ограниченная функция. Однако этим предположением исключаются из рассмотрения физически интересные, поскольку такие ядра, например приведенные в [з»14^ , могут неограниченно возрастать при возрастании аргументов X и у . Ослабить слишком ограничительное требование удалось только в последние годы. В работе [15] доказаны теоремы существования для задачи Коши, установлены классы единственности решения при неограниченных ядрах ф ,но растущих не быстрее линейной по X и у функции. Такое поведение характерно и для физически интересных дцер. В работах [l6,I7] изучен также вопрос устойчивости решений в классе единственности, установлены асимптотические свойства решений при больших значениях аргументов X и Ь ,другие свойства.

Если теория уравнения пространственно однородной коагуляции достаточно разработана, иначе обстоит дело в случае уравнения, учитывающего пространственную неоднородность системы коагулиру-вдих частиц, хотя, бесспорно, именно этот последний случай и представляет основной интерес. Ведутся исследования с целью разработки приближенных методов построения решений. Так, в работах 118-20] предложены численные схемы, построенные на основе сеточных методов, приведены результаты расчётов. В работах [21»22] осуществляется иной подход: решение ищется в виде разложения в ряд по присоединенным полиномам Лагерра, изучаются свойства первых двух членов разложения. Однако предлагаемые методы не имеют надлежащего математического обоснования. Более того, не выясненными остаются вопросы корректности постановки задач для уравнении такого вида. В известной литературе эти вопросы даже не поднимались. рассматривая кинетическое уравнение коагуляции, следует провести аналогию с классическим уравнением физической кинетики, а именно уравнением Больцмана кинетической теории газов [23] , более изученным, нежели уравнение коагуляции. Эти уравнения имеют сходные по структуре интегральные столкновительные члены, что указывает на возможное сходство методов их математического исследования.

Изучению уравнения Больцмана в пространственно однородном случае посвящена работа [24J , в которой устанавливаются условия однозначной разрешимости задачи Коши, изучается поведение решений при больших временах, в частности их стремление к равновесному распределению. Результаты изучения нелинейного уравнения Больцмана общего вида можно подразделить на локальные и нелокальные. В работах [25»26 ] получены теоремы существования и единственности "в малом", т.е. на некотором конечном временном промежутке, за пределы которого продолжить решение не удаётся. Эти теоремы получены в довольно общих предположениях относительно дополнительных условий. Однозначную разрешимость "в целом" в работах [27-29] оказывается возможным установить в других предположениях. Решение ищется в окрестности равновесного распределения, причём принципиально важно, что это распределение нетривиально.

Изучается поведение решений при больших временах.

В работах [30»3l] рассматривается кинетическое уравнение, представляющее собой несколько видоизменённое уравнение Больцмана. Видоизменение касается столкновительного члена и преследует цель учесть возможность пространственного "размазывания" процесса столкновения, тогда как обычно считается, что столкновение происходит в точке. В пространственно однородном случае уравнение совпадает с классическим уравнением Больцмана. для такого уравнения доказаны нелокальные теоремы существования и единственности.

Исследования в теории уравнения Больцмана оказали влияние на становление теории уравнения пространственно однородной коагуляции. Это влияние обнаруживается при сравнении методов, применявшихся в работах [15] и [30»31 ] .

В настоящей работе предпринимается попытка изучения кинетического уравнения пространственно неоднородной коагуляции вида /I/. Основная цель работы - доказательство теорем существования и единственности при неограниченных, вообще говоря, ядрах Ф , в том числе и физически интересных. Будет показано, что для уравнения /I/ могут быть получены как локальные, так и нелокальные результаты. Локальные результаты по сути своей аналогичны соответствующим результатам для уравнения Больцмана. Доказательство нелокальных теорем использует принципиально отличные методы, существенно учитывашие специфику столкновителъного интегрального члена, определяемого формулой /2/. работа состоит из трёх глав. Глава I посвящена изучению уравнения коагуляции /I/ с нетривиальной матрицей D . дифсоерен-циальный оператор уравнения подчиняется условию равномерной па-раболичности [32,33 ] , обобщенному на случай коэффициентов, зависящих от параметра ОС . Постановка задачи /начальной или смешанной/ осуществляется таким образом, чтобы порождавшая дифференциальная задача была поставлена корректно, причем требуется существование функции Грина [33 ] . Доказывается разрешимость задачи при различных предположениях относительно функции Грина, решения пороЕдающей задачи, ядра . Предположения в основном касаются поведения этих функций в зависимости от аргумента % . от функции Грина большей частью требуется некоторая монотонность, но специалъного вида, решение порондающей задачи должно быть суммируемой функцией с весовыми функциями специального вида; их вид определяется характером поведения ядра Ф .

Важную роль при изучении разрешимости задачи играет вспомогаг тельная задача, называемая аппроксимирующей. Эта задача получается при замене в столкновительном члене, задаваемом формулой /2/, бесконечного предела интегрирования конечным, но произвольным. Интегрирование производится до некоторого неотрицательного А . Однозначную разрешимость аппроксимирующей задачи при любом А установить значительно проще, нежели исходной задачи, решение исходной задачи ищется как предел при [{—> Д - параметрического семейства функций. При этом вводится понятие А - решения, поскольку не всегда удаётся показать, что предельная функция удовлетворяет уравнению, указываются условия, при которых А - решение удовлетворяет уравнению в классическом и обобщённом смысле зз] .

Такой подход к исследованию разрешимости задачи идейно связан с методами доказательства теорем существования в работах [15, 31 ] , но приводит к более общим результатам.

Одназначная разрешимость исходной задачи устанавливается на основе изучения свойств отображения /обозначим его /V /, переводящего множество функций, среди которых ищется решение, в себя. Отображение У\. сопоставляет всякой функции f £ функцию как решение задачи для уравнения

Очевидно, решение исходной задачи будет неподвижной точкой отображения А. . Указываются условия, при которых у\ имеет единственную неподвижную точку.

В наиболее общих предположениях относительно функции Грина и ядра Я^ доказывается локальная по времени однозначная разрешимость рассматриваемой задачи. Обсуждаются некоторые возможные подходы к получению необходимых априорных оценок, позволяющих продолжить решение локальной теоремы на временной промежуток-произвольной длины.

Предположения главы I не исключают из рассмотрения физически интересных задач.

В главе 2 изучается уравнение /I/ с тривиальной матрицей D, называемое далее уравнением коагуляции гравитационного типа. В этом случае свойства дифференциального оператора определяются свойствами вектор-функции U , что проявляется, конечно, и в постановке задач /см. [34] /. Особую роль играет характер зависимости функции I) от аргумента ОС , в частности её составляющей в направлении силы тяжести.

Основное внимание при изучении уравнения коагуляции гравитационного типа уделяется корректности постановки задачи Коши. Решение вопроса разрешимости этой задачи связывается с вопросом существования неподвижных точек у отображения /V , определяемого как и в 'Предыдущей главе.

При доказательстве нелокальной теоремы существования и единственности относительно вектор-функции U предполагается, что она перестает изменяться при изменении аргумента % , если ОС становится больше некоторого ЗС0 .В силу такого предполохсения частицы, размер которых больше Х0 ,будут падать с одинаковой скоростью, а потому при гравитационной коагуляции могут расти только за счёт слияния с частицами, размеры которых меньше ЗС0 . Полувается локальная однозначная разрешимость задачи Коши. Приводится также пример нелокальной теоремы, но в предположении ограниченности ядра

Ещё один вопрос, которому уделяется внимание во второй главе, - это изучение уравнения коагуляции гравитационного типа, в которое добавлены вторые производные по пространственным переменным с коэффициентами, мультипликативно включающими в себя малый параметр, или возмущенного уравнения. Смысл такого уравнения обсуждался выше. При фиксированных значениях параметра на него распространяются результаты первой главы. В данной главе с привлечением методов работ [35,363 будет показано, что малые возмущения могут не приводить к существенным изменениям решений.

Предметом изучения в главе 3 является стационарная задача гравитационной коагуляции. Зта задача рассматривается в одномерном случае / П= 1 /, когда ось Z имеет направление,противоположное направлению силы тяжести. На границе 7L- О ставится условие, вид которого определяется свойствами функции U . Для простоты полагается, что И суть функция только аргумента X .

На скорость движения частиц оказывают влияние сила тяжести и восходящие потоки. Скорость восходящих потоков имеет положительное направление. В результате частицы малых размеров движутся вверх, более крупные - вниз. При постановке граничного условия нужно задавать только распределение частиц с положительной скоростью. Задача решается на полупрямой. Доказывается разрешимость чается, в сущности, "непрерывный" рост частиц [з] . Однако величина может быть сколь угодно большой, никаких ограничений на её выбор нет.

В более общих предположениях относительно функции доказьг этой задачи. Теорему единственности установить не удаётся. При доказательстве теоремы существования важную роль играет отображение, аналогичное рассматриваемым в первых двух главах, только построенное для стационарного случая.

Таким образом, имеются три основные задачи, которые составляют предмет изучения в данной работе. Задачи различаются рассматриваемыми уравнениями, причем эти различия касаются только дифференциальных операторов. Интегральный столкновительный член всегда имеет вид, задаваемый формулой /2/. Отсюда и сходство применяемых методов, что проявляется, в частности, в структуре отображений

А , с которыми связывается исследование задач. Методы в определенном смысле универсальны, причем можно сделать такое замечание: как правило, теорему существования удается доказать тогда, когда удается показать, что соответствующее отображение /V вполне непрерывно, а если какая-либо степень оказывается еще и сжимающим отображением, хотя ■бы локально по времени, то справедлива и теорема единственности. Это в полной мере относится к задачам двух первых глав. В определенной мере это справедливо и в случае задачи главы 3.

Характерно,что приведенное соображение распространяется и на случай уравнения пространственно однородной коагуляции. Результаты работы [ 15] по разрешимости задачи Коши для этого уравнения суть частный случай полученных в данной работе.

Поскольку принципиальная особенность уравнения /I/ связана с тем, что оно интегродифференциальное,заслуживают внимания свойства, по крайней мере основные, интегрального члена /2/. Некоторые из них известны /см. [3,15] /, разве что несколько обобщены, другие установлены вновь и раньше в литературе не встречались.Для простоты полагаем,что функция ф зависит' только от аргументов ОС и у , все рассматриваемые функции непрерывны, а выполняемые операции законны.

Пусть р ( х ) - не убывающая неотрицательная функция, причём

Р(Х+ р(Х) + р(у) , Х,у>07 функция f неотрицательна. тогда

1 fiWftJf,J) dx 4 0.

СО, со) х

В частности, функция JJ может иметь вид: р (ос) = I , X >/ 0)

JD (X) ~ ОС , X >0.

В последнем случае неравенство превращается в равенство.

Считая функцию fl положительной, легко получить более общее неравенство: ch

S pWUf, fidxtfyj I [£ С* j/(oc) х

СО,сю) ^ ' С^)Го(оо)и^х C<fl*i у

СП* 1-К {/}-! где ,[}(] - целая часть У , дробная часть. Если к тому же справедливо соотношение

Ф(ос,у) £ р (ос) + р(у) ; имеет место неравенство

I pWyj.JJd* 4 J s [С£ с" 0К(Х, X

СО, ©о) • lOjOO) к=£ MJ-ri

X рУ+1(у)] J(x) fly) dxdy.

Пусть теперь X - неотрицательный параметр, функция р по-прежнему характеризуется отмененными свойствами. Тогда

S [еър(Хр(х))-1] s S Ф(ос-и)х x[expdp(x))-l] [exp(Xp(tj))-iJ i(x) i(y) dxdy.

Равенство здесь будет только в том случае, когда p(X-vy) = PCX) + р(у) ? ЭС,у >, о.

Зафиксируем произвольное X, iC > О . найдется непрерывная неотрицательная функция Ф аргументов X и % , Т - неотрицательный параметр, имещая непрерывную неотрицательную и не убывающую с возрастанием Т производную >что если f (ос) ¥(х/г;Х) ; х £ Го,Х] 7 г» о.

Такую функцию можно искать, например, в виде т;Х) = С,(Х) еар [Ср(Х) хт].

Далее используются как эти свойства, так и производные из них.

Вид и свойства интегрального столкновительного члена в уравнении гравитационной коагуляции несколько изменятся, если, следуя [30,3l] , подправить его на случай возможного пространственного "размазывания" процесса столкновения частиц. Такой формальный учет "размазывания" приводит к уравнению, которое, по-видимому, не представляет принципиального интереса. Впрочем, изучение этого уравнения аналогичными методами потребует только технических изменений, причем необходимость в специальном характере зависимости вектор-функции 13 от аргумента X отпадает.

Исследование разрешимости рассматриваемых задач сопряжено также с разработкой приближенных методов построения решений. В случае однозначной разрешимости решение, как уже отмечалось, суть неподвижная точка соответствующего отображения А , степень которого является сжимающим отображением. Известным образом / см., например, [37,3б] / строится последовательность функций,предельная функция которой - решение задачи. Таким образом, можно предложить итерационный метод решения задачи. Поскольку названное свойство отображения А удается установить только на временном промежутке определенной величины, последовательность функций будет сходиться только на этом промежутке, т.е. локально по времени. Есть, однако, исключение. Если ядро Я? остается ограниченным при возрастании аргументов X и у равномерно по аргументу Z , сходимость будет иметь место на любом временном промежутке. То же самое справедливо, если заменить исходную задачу аппроксимирующей с произвольным значением параметра А . Выбирая А достаточно большим, решение исходной задачи можно приблизить сколь угодно точно.

В случае уравнения коагуляции могут быть использованы итерационные схемы,предложенные в работе [30] для уравнений общего вида. Сходимость итераций возможна и нелокальная по времени, но неограниченных ядер сходимость установить не удается, даже локальную. Итерационные схемы другого вида в литературе не встречались.

Методы изучения разрешимости рассматриваемых задач позволяют провести обоснование и некоторых других приближенных методов их решения. В частности, может быть развит метод, предложенный в [39] для решения уравнения Больцмана.

Следует, наконец, отметить, что предложенные в работе [40] методы решения интегродифференциальных уравнений не нашли применения в данном случае. Трудности, возникающие при их применении, оказались непреодолимыми.

Результаты диссертации докладывались: на семинаре под руководством В. А. Тупчиева в Обнинском филиале МИФИ; на семинаре математического отдела Института экспериментальной метеорологии под руководством А. С. Степанова; на Всесоюзной школе-семинаре "Методы малого параметра и их.применение" в Минске в 1982 г. Перечень публикаций по существу содержания прилагается.

Диссертация выполнена под руководством В. А. Тупчиева. Постоянное внимание, интерес к результатам исследований, моральная поддержка, которые автор ощущал в процессе работы по теме диссертации, во многом определили итог этой работы. Автор глубоко признателен своему научному руководителю за руководство.

Автор благодарен А. С. Степанову за постановку задачи, изучению которой посвящена последняя глава, обсуждение полученных результатов, а также признателен В. А. Галкину, который любезно предоставил оттиски своих работ. всякий раз приходится требовать ограниченность

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Буробин, Александр Васильевич, 1984 год

1. Мзйсон Б. Де. Физика облаков. - J1.: Гидрометеоиздат, 1961. - 542 с.

2. Стыро Б»И. Самоочищение атшсферы от радиоактивных загрязнений. Я.: Гидрометеоиздат, 1968. - 288 с.

3. Волощук в.М.» Седунов ю.С» Процессы коагуляции в .дисперсных системах. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

4. Штвеев Л.Т. Курс общей метеорологии: оязика атмосферы.- Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 639 с.

5. Ткачук А.Я., Новак В.А. Снижение расхода тепла на вентиляцию производственных помещений при туманообразовании. Водоснабжение и сантехника, 1981» $ 10» с. 14-16.

6. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных систем. Л.: Гидрометеоиздат, 1971. - 208 с.

7. Becud K.V., Pxwppachet H.R. ft determination of the teiminafc 'UeFoclttj and cixacj of- watet drops By means of a wind iu nne£,-ТоигпаС of the CHmosphexic Sciences, i9 69 , V. 26,^9, p. 1066-1072.

8. Степанов А.С. Об использовании кинетических уравнений для описания облачных сред. Труды ИЗМ, 1974, вып. 8/46/, с,124-'- 139.

9. Степанов А.С. К выводу уравнения коагуляции. труды И8М, 1971» вып. 23, с. 3-16.

10. Степанов А.С. Вывод уравнения коагуляции для броуновски движущихся частиц. Труды ИЭМ, 1971, вып. 23, с. 42 - 64.

11. Rossow W-B., Glezagch РЛ. The clouds о$- Venus; I. СЫ apptoximaie technique f-ot Ixeaiinq ihe effects of coagufotuw,yeoiiwehtfttton and tux£uCent mixing on an ««xosoC.--J<?uxna£ the tftmosphexit Sciences, 497Л 34, ЛГЯ, p. Ч05-Ч06.

12. Головин A.M. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха. Изв. АН СССР. Сер. геошиз., 1963, й 5, с. 783 - 791.

13. Галкин В.А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции. дифференциальные уравнения, 1977, т. 13,8, с. 1460 1470.

14. Галкин в.А. Об устойчивости и стабилизации решений уравнения коагуляции. дифференциальные уравнения, 1978, т.14,J 10, с. 1863 1874.

15. Галкин B.A., Тупчиев В.А. Об асимптотическом поведении решения уравнения коагуляции. Труды ИЭМ. 1978, вып. 19/72/, с. 31 - 41.

16. Wgxshaw ТИ. iioud dwplti coalescence-, staiUiicGl £otmc{attOHs and a one- dimen sionaC seoilmen tatlon model. Journal of the Cibmo sphexic Sciences, LS 6?,V.ZH, чАГЗ, p,l7?-l86.

17. T)e£s0n nwmexicaC study cm the Initiation ofwat-m tain.- ToutnaCof the tftmos ph-exlc Sciences, 19 71, v. 2.8, W5, p. Ш-761.

18. Васильева К.И., Степанов А.С. Численное моделирование эволюции микроструктуры теплого кучевого облака. Труды ИЗМ» 1976, вып. 12/31/, с. 3 - 18.

19. Енукашвили И.М. К вопросу кинетической теории гравитационной коагуляции в пространственно неоднородных облаках. Изв. АН СССР. Сер.геофиз., 1964, J5 II, с. 1729 - 1732.

20. Енукашвили И.М. К теории конвективного переноса облачных -частиц. ТРУДЫ ЗакНИП®, 1971, вып. 41/47/, с. 3 - 18.

21. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана.- М.: Мйр, 1978. 496 с.

22. Карлеман т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: Иностранная литература, i960. - 120 с.

23. Грэд Г. Кинетическая теория газов. в кн.: термодинамика газов. М-: Шшино строение, 1970, с. 5 - 109.

24. Ufcai S., Points., GfileluwcfteH. to solution ^оЫг du pwSteme m'uete de i'equation de Boitzmann поп (ineaiie.- J. Tnath. Pute el dppl. Л 6 7, , p. 103- ZZ9.

25. Woagenstetn 3b. flnafyUcae siudie s xetaied to the Шх-\tfelt-Bodtxmann equation.-Toutiici i of Rational Mechanics andCinatysis, 19^6. у.Ч p. 5H-S5H.

26. Повзнер А. Л. Об уравнении Больцмана кинетической теории газов.- Математический сборник, 1952, т. 58/100/, № I, с. 65-86.

27. Эйдельман С. Д. Параболические системы.- М.: Наука, 1964. 444 с. '

28. Ладыженская 0. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, I9S7. 736 с.

29. Годунов С. К. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1979. 392 с.

30. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.- Успехи математических наук, 1957, т. 12, вып. 5/77/, с. cj— 122.

31. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.- М.: Наука, 1973.37. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.М.: Наука, 1977. 744 с.

32. Далецкий 10. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- fvl.: Наука, 1970. 536 с.

33. Аристов В. В., Черемисин Ф. Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана.- Доклады АН СССР, 1976, т. 231, W I, с. 49-52.

34. Политюков В. П. Решение некоторых нелинейных операторных уравнений и их применение к интегродифференциальным уравнениям.-Доклады АН СССР, 1980, т. 250, № 4, с. 818-822.

35. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.- М.:' Наука, 1974. 808 с.

36. Иосида К. функциональный анализ.- М.: Мир, 1957. -- 624 с.

37. Хилле Е., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы.- М.: Иностранная литература, 1962.- 830 с.44. 'Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1976. 152 с.

38. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981. 544 с.

39. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.- М.: Высшая школа, 1982. '272 с.

40. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1970. 720 с.

41. С1гоп$оп St).О. The frundamentat solution a ilneat paxa&oClt equation containing a sma££ paaawe-tet.- lit. J. Width.»1955, V.3,^4, p.SBO-b 19.

42. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Мир, 1969. 448 с.П У Б Л И К А Ц И И ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

43. Буробин А. В., Галкин В. А. О решениях уравнения коагуляции,- Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, Р 4, с. 669-677.

44. Буробин А. В. О существовании и единственности решения • задачи Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции,- Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, № 9, с. 1568-1579.