Некоторые обратные задачи для квазилинейных параболических уравнений и систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Коршун Кирилл Викторович

• Коршун Кирилл Викторович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Коршун Кирилл Викторович

Введение

Глава 1. Вспомогательные предложения

1.1 Основные обозначения, определения и теоремы

1.2 Теоремы существования и единственности решения задачи Коши

1.3 Принцип максимума для параболического уравнения 2-го порядка

1.4 Формулировка метода слабой аппроксимации

1.5 Одна теорема сходимости метода слабой аппроксимации

Глава 2. О задаче идентификации функции источника для уравнения типа

Бюргерса

2.1 Задача Коши

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Переход от обратной задачи к прямой

2.1.3 Доказательство разрешимости прямой задачи

2.1.4 Доказательство существования решения обратной задачи

2.1.5 Доказательство единственности решения обратной задачи

2.2 Краевая задача

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Переход от краевой задачи к задаче Коши

2.2.3 Доказательство выполнения краевых условий

2.2.4 Доказательство единственности решения краевой задачи . 37 Глава 3. О задаче идентификации функции источника для двумерного уравнения типа Бюргерса

3.1 Постановка задачи и полученные результаты

3.1.1 Задача Коши

3.1.2 Краевая задача

3.2 Задача Коши

3.2.1 Переход от обратной задачи к прямой задаче

3.2.2 Доказательство разрешимости прямой задачи

3.2.3 Доказательство существования решения обратной задачи

3.2.4 Доказательство единственности решения обратной задачи

3.3 Краевая задача

3.3.1 Переход от краевой задачи к задаче Коши

3.3.2 Доказательство существования решения краевой задачи

3.3.3 Доказательство единственности решения краевой задачи . 52 Глава 4. О разрешимости задачи Коши для системы нагруженных параболических уравнений

4.1 Постановка задачи и полученные результаты

4.2 Пример

4.3 Доказательство разрешимости

Глава 5. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с параметром

5.1 Постановка задачи

5.2 Переход от краевой задачи к задаче Коши

5.3 Доказательство существования решения задачи Коши

5.4 Доказательство выполнения краевых условий

5.5 Доказательство единственности решения краевой задачи

Заключение

Список литературы

Список работ автора по теме диссертации

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые обратные задачи для квазилинейных параболических уравнений и систем»

Актуальность темы исследования

Обратными задачами для дифференциальных уравнений называют задачи нахождения неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, граничных или начальных условий, границы области. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации о решении уравнений. Такой информацией являются различного рода условия переопределения [15], [35].

Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики в настоящий момент играют большую роль в естественных науках и их приложениях [2], [52], [23], [27], [36]. Коэффициентные обратные задачи - это задачи, в которых вместе с решением дифференциального уравнения неизвестным является и один (или несколько) из его коэффициентов. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся диффузионных процессов, электромагнитных колебаний, упругих деформаций, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии и обработки изображений, теории рассеяния, акустики, оптики, теории колебания молекул, радиолокации, гравиметрии, и др. приводят к подобным обратным задачам. [39], [37], [17], [26], [1], [61], [41].

Степень разработанности темы исследования

Теория обратных задач является важным самостоятельным направлением исследований в области дифференциальных уравнений.

В настоящее время теория обратных задач математической физики развивается представителями ряда отечественных математических школ, в том числе Московской (основанной А.Н. Тихоновым) и Сибирской (основанной М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым).

Вопросы корректности обратных задач для параболических уравнений, а также задач идентификации коэффициентов или функции источника для параболических уравнений изучались в работах Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова,

Ю.Я. Белова, Е.Г. Саватеева, В.М. Волкова, А.И. Прилепко, В.В. Соловьева, А.И. Кожанова, И.В. Фроленкова и других [48], [7], [60], [43], [44].

Ряд результатов в данном направлении получили в последнее время зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др.: G. Anger, H.D. Bui, Y. Chen, D. Colton, R. Durridge, E. Francini, J. Gottlieb, M. Grasselli, R. Kress, G. Kunetz, J.Q. Lin, A. Lorenzi, J.M. Mendel, R.D. Murch, S. Rionero, M. Sondhi, S. Strom, L. Yanping, M. Yamamoto [51], [55], [57], [59].

В работе [52] Ю.Я. Беловым изучены задачи определения неизвестных коэффициентов для квазилинейных уравнений типа Бюргерса

ut(t, x) + vuux = n(t)uxx + g(t)f (t, x), u(0,x) = u0(x), —œ < x < œ, u(t,x0) = 4>(t), x0 = const.

в случае, когда входные данные допускают преобразование Фурье по пространственной переменной.

Целью настоящей работы является исследование разрешимости задач определения функции источника в случаях задачи Коши и первой краевой задачи в классах гладких функций, а также обобщение полученных результатов на уравнения большей размерности и системы уравнений.

Методы исследования

В работах [36], [60] приводятся методы решения различных обратных задач математической физики.

Исследование разрешимости рассматриваемых в диссертации задач производится методом, позволяющим переходить от обратной задачи к прямой задаче для нагруженного [23] (содержащего следы неизвестных функций и их производных) уравнения. Данный метод аналогичен методу, впервые предложенному Ю.Е. Аниконовым [4] (в котором обратная задача сводилась к прямой для интегродифференциального уравнения при помощи преобразования Фурье). Отказ от использования преобразования Фурье позволяет расширить

класс допустимых входных данных, а также позволяет рассматривать задачи с различными краевыми условиями.

Для доказательства разрешимости прямых задач для нагруженных уравнений применяется метод слабой аппроксимации, являющийся методом расщепления на дифференциальном уровне. Метод был впервые предложен Н.Н. Яненко [47] и А.А. Самарским [46]. В работе [14] приводится подробное описание метода и систематизированы полученные результаты. В работах [19], [47], [22] описывается применение метода слабой аппроксимации к решению различных задач математической физики.

Исследование обратных задач с краевыми условиями производится методом разложения входных данных в тригонометрические ряды по синусам и/или косинусам [6], с последующим их продолжением с исходной области определения на всё пространство и приведением исходной краевой задачи к задаче Коши.

Научная новизна и практическая значимость работы

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и имеют строгое доказательство. Полученные результаты имеют теоретическую значимость и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса в случаях задачи Коши и первой краевой задачи.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи идентификации функции источника для двумерного уравнения типа Бюргерса в случаях задачи Коши и смешанной краевой задачи в прямоугольной области.

3. Доказана теорема разрешимости для системы нагруженных уравнений, к которой приводятся некоторые обратные задачи для параболических уравнений и систем.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи

идентификации функции источника для параболического уравнения с параметром в случаях задачи Коши и первой краевой задачи.

Апробация результатов

По теме диссертации опубликовано 13 работ, из них работы [64, 68, 73, 74] опубликованы в изданиях, входящих в Перечень периодических научных изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации. Четыре работы написаны и опубликованы в соавторстве. Во всех случаях вклад каждого из соавторов равноценен.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета под руководством д. ф.-м. н. Белова Ю.Я. (г. Красноярск, 2011 - 2015 гг.);

ХЫХ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика (г. Новосибирск, 16-20 апреля 2011 г.);

50-й юбилейной международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика (г. Новосибирск, 13-19 апреля 2012 г.);

51-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика (г. Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г.);

IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и наука», посвященной 385-летию со дня основания г. Красноярска, секция «Математика, информатика: Дифференциальные уравнения» (г. Красноярск, 15-25 апреля 2013 г.);

Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.», посвященной 105-летию со дня

рождения С. Л. Соболева (г. Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.);

52-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2014: Математика (г. Новосибирск, 11-18 апреля 2014 г.);

Тринадцатой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2014» (г. Казань, 24-29 октября 2014 г.);

53-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Математика (г. Новосибирск, 11-17 апреля 2015 г.);

Международной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» (г. Улан-Удэ, 22-27 июня 2015 г.);

Представлялись на Лаврентьевский конкурс студенческих и аспирантских работ по математике и механике (г. Новосибирск, 2014 г.);

Докладывалась и обсуждалась на семинаре Отдела условно-корректных задач Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством член-корр. РАН, д. ф.-м. н. В.Г. Романова, д. ф.-м. н. Д. С. Аниконова (г. Новосибирск, 8 сентября 2015 г.)

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 61 наименование и списка работ автора по теме диссертации, включающего 13 наименований. Объем диссертации составляет 87 страниц.

В первой главе вводятся необходимые обозначения, приводятся необходимые определения и теоремы.

Вторая глава посвящена обратной задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса. Поставленная задача относится к классу коэффициентных обратных задач для параболических уравнений. Данная задача исследована в случае задачи Коши и первой краевой задачи. Получены условия на входные данные, гарантирующие однозначную разрешимость поставленной задачи в классах гладких ограниченных функций. Основные результаты второй главы опубликованы в работе [64].

В полосе П[0,Т] = {(t,x)|0 < t < T, —ж < x < то} рассматривается задача Коши для уравнения типа Бюргерса

ut(t, x) = n(t)uxx + A(t)uux + B(t)u + C(t) + g(t)f (t, x), (2.3)

где A(t),B(t),C(t),f (t,x) - заданные функции, с данными Коши

u(0,x) = u0(x), —ж < x < ж. (2.4)

Функции u(t,x),g(t) неизвестны. Считаем, что выполнены условие переопределения

u(t,x0) = <^>(t),x0 = const, (2.5)

и условие согласования

ф(0)= щЫ. (2.6)

Исходная задача приводится к вспомогательной прямой задаче для нагруженного уравнения. Существование решения вспомогательной задачи доказывается методом слабой аппроксимации. Вспомогательная задача разрешима в малом временном интервале, т.е. для всех t £ [0,t*], где 0 < t* < T - некоторая постоянная, зависящая от входных данных. Показывается, что решение вспомогательной задачи является решением исходной обратной задачи. Доказывается единственность решения обратной задачи.

В области QT = {(t,x)|0 <t <T, 0 < x < l},T,l — const > 0 рассматри-

вается краевая задача

ut(t, x) = дuxx + A(t)uux + Bu + g(t)f (t, x), (2.48)

u(0,x) = u0(x), x £ [0,l], (2.49)

u(t, 0) = u(t,l) = 0, t £ [0,T], (2.50)

u(t, x0) = ф(t), 0 < x0 < l, (2.51)

щЫ = ф(0). (2.52)

Предполагается, что функции и0(х), I(г,х) имеют непрерывные производные по х до шестого порядка включительно, и удовлетворяют условиям

щ(0) = и^0)= Ц4\0)= и\6)(0) = 0,

,(6)/

U0 (I) = г%(1) = и04\1) = и\6)(1) = 0.

,(6),

(2.53)

(2.54)

I (г, о) = ¡хх(г, 0) = дХ, I (г, о) = ^ I (г, 0) = 0, (2.55)

I (г, I) = 1хх(г, I) = I (г,/) = ^ I (г, /) = о. (2.56)

Функция и0(х) продолжается на отрезок [—1,1]: и0(х) = —и0(—х) при —I < х < 0. Затем функция и0(х) продолжается с [—1,1] на ^ до периодической по х функции. Функция I(г,х) продолжается с [0,Т] х [0,/] на [0,Т] х до периодической и нечётной по х функции. Продолженные данным способом функции щ(х),!(г,х) берутся в качестве входных данных для задачи Коши

Ut(t, x) = цихх + A(t)uux + Ви + g(t)f (t, x),

(2.58)

и(0,х)= и0(х), х Е то). (2.59)

Доказывается, что решение задачи (2.58), (2.59) удовлетворяет краевым условиям (2.50). Доказывается единственность решения задачи (2.48)-(2.52). В данной главе доказаны следующие теоремы:

Теорема 2.1. Пусть выполняются условия

£

k=0

д k и0(х) дхк

+ £

k=0

дк f (t,x)

дхк

+ IA(t)l + IB (t)l + IC (t)l +

1

+ \ф (t)|< K, If (t,xo)I> к K = const > 0, (t,x) E Пт.

Тогда существует постоянная t*, 0 < t* < T, такая, что в полосе П[0,^] существует единственное решение (и,д) задачи (2.3)-(2.6) класса

4

Z = {u(t,x),g(t)|u(t,x) E ClX(Пlo,t*]),

д

+ £

s=0

дs дx■

-n(t, x)

K,

(Ь,х) е пш*],д(ь) е С([0,Ь*])},

1 Ггк

С^п^]) = {п(ь,х)\п(ь,х) е с(п^),к = 0, г..л},

Для любого М > 0

д к пт д к п

дхк дхк

^ 0, к = 0,1...4,

С (П[0,4*])

при т ^ 0.

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (2.53)-(2.56), а условия Теоремы 2.1 выполнены при (Ь,х) е Цт. Тогда существует постоянная Ь*, 0 < Ь* < Т, такая, что в области Ц^* существует единственное решение (п, д) задачи (2.48)-(2.52) класса

Ж = {п(1,х),д(1)\п(1,х) е СЖЦг),д(г) е С([0,Ь*])}.

При этом

д к пт д к п

дхк дхк

^ 0, к = 0,1...4, т ^ 0.

С ([0,4*] х [0,1])

В третьей главе исследована задача идентификации функции источника для двумерного уравнения типа Бюргерса. Данная задача является обобщением задачи (2.3)-(2.6) на двумерный случай. Рассмотрены случаи условий Коши и смешанных краевых условий в прямоугольной области. Доказана теорема существования и единственности решения поставленной задачи. Результаты исследования опубликованы в работе [68].

В полосе Щ0т] = {(Ь,х,у)\0 < Ь < Т, —то < х < то, —то < у < то} рассматривается задачу Коши

щ(Ь,х,у) = ^г(Ь)пхх+^2 (Ь)пуу+аг(Ь)пх+а2(Ь)пу+Ьг(ь)ппх+Ь2(ь)ппу+д (Ь)/(Ь,х,у),

(3.1)

где ^¡(Ь) > 0,аг(Ь),Ъг(Ь), /(Ь,х,у),г = 1, 2 - заданные функции, с начальными условиями

п(0,х,у)= щ(х,у), (х, у) е К2. (3.2)

Считаем, что выполнены условие переопределения

u(t, x0, y0) = 4>(t), x0 = const, y0 = const, (3.3) и условие согласования

ф(0) = и0(^0,У0). (3.4)

Под решением задачи (3.1)-(3.4) понимается пара функций и(t,x,y),g(t), принадлежащая классу

ZP(T) = {и(t,x,y),g(t)\u(t,x,y) E C 1,р(П{0Т]),

д

—4t,x,y)

+

+ \Dau(t,x,y)\ < к, (t,x,y) E nm,g(t) E C([0,T])}, p > 2 E Z,

\a\<p

где C 1'Р(П[0,Т]) = {u(t,x,y)\du, Dau(t, x, y) E C(П^т]), \a\ < p}.

В области QT = {(t,x,y)\0 < t < T, 0 < x < l1,0 < y < l2}, T,l1 ,l2 -const > 0 рассматривается краевая задача

ut(t,x,y) = дi(t)uxx + №(t)uyy + bi(t)uux + g(t)f (t,x,y), (3.6)

u(0,x,y) = u0(x, y), (x,y) E [0,li] x [0,k], (3.7)

u(t, 0,y) = u(t,li,y) = 0, (3.8)

uy(t,x, 0) = uy(t,x,l2) = 0, (3.9)

u(t, x0,y0) = Ф(t), (x0, y0) E П = (0, li) x (0, l2). (3.10)

Уравнение (3.6) получено из уравнения (3.1) при ai(t) = a2(t) = b2(t) = 0. В данной главе доказаны теоремы:

Теорема 3.1. При выполнении условий

u0(x,y) E Cp+2(R2), f(t,x,y) E C0,P+2(n{0T]), & E C([0,T]), ai E C([0,T]), Ьг E C([0,T]), ф(t) E Ci([0,T]) £ \Dau0(x,y)I + £ \Daf(t,x,y)\ + \&i(t)I + \ai(t)I + \bi(t)\ + (3.5)

\a\<p+2 \a\<p+2

+ \ф(^\ + \^(t)\< K, \f (t,x0,y0)\> 1, i = 1, 2, K = const > 0, p > 4,

K

существует единственное решение задачи (3.11)-(3.14) в классе Ер(Ь*), где Ь* > 0 - некоторая постоянная, зависящая от входных даных.

Теорема 3.2. Пусть функции п0(х,у),/(Ь,х,у),^1(Ь), ^2(Ь),Ь1(Ь) удовлетворяют условиям Теоремы 3.1 при (х,у) е й и р = 6. При выполнении условий

¡к (0,у)= (Ш = В 0,у) = В (*,'1,у) = 0, к = 0 2 4 6 8

дт по дтщ дт / дт /

-дут(х,0) = -щт(х, 12) = дут(Ь,х,0) = дут(Ь,х, к)=° т=1,357

существует единственное решение задачи (3.6)-(3.10) в классе

Ж = {п(Ь,х,у),д(Ь)\п(Ь,х,у) е С 1,6(Цг*),

9 ,

~п(Ь,х,у)

+

+ ^ \Бап(Ь,х,у)\ < К, (Ь, х, у) е Цг ,д(Ь) е С ([0,Ь*])}.

\а\<6

В четвёртой главе рассмотрена задача Коши для системы нагруженных [23] (содержащих следы неизвестных функций и их производных) уравнений.

п

— = ^(Ь,ш(Ь))Ап + V(п • Ч)п + ¡(Ь,х,п,й(Ь)), (4.1)

д Ь

п(0,х) = ф(х), (4.2)

где 0 < Ь < Т, х е Кп, п = (п1(Ь,х),... ,пп(Ь,х)) - неизвестные функции, у(Ь,й(Ь)), / = (¡1,... ,/п), ф = {<Р1(х),.. .,<Рп(х)) - заданные функции, V е К -заданный коэффициент. Через й(Ь) = ^¡(Ь,х7), Оащ(Ь,х-7 % = 1,...,п; ] = 1,...,г; \а\ = 0,...,р0 обозначена вектор-функция, компонентами которой являются следы неизвестных функций и их производных по пространственным переменным до порядка р0 включительно, взятые в точках х1,... ,хг е Кп.

К системе такого типа сводятся некоторые коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений и систем. Для рассмотренной задачи доказана теорема разрешимости. Приведён пример коэффициентной обратной задачи, приводящейся к рассматриваемой системе уравнений, и указан способ проверки условий теоремы разрешимости.

Основное содержание четвёртой главы опубликовано в работе [73]. В пятой главе рассмотрена краевая обратная задача для п-мерного параболического уравнения с параметром

ди^^у) = XAxu(г, x, у) + ^(г, у^!'x, у), (51)

и(0,х,у) = ио(х,у), (5.2)

и(г,х,у)1хезп = 0, (5.3)

и(г,х,у)1х=у = ф(г,y), (г,х,у) Е Ят, (5.4)

где

Ят = {(г,х,у)1г Е [0,Т], х Е п, у е в],

Т > 0, П - прямоугольный параллелепипед [0,1\] х [0,12] х ••• х [0,1п] в Кп, В - компактное подмножество П с достаточно гладкой границей дБ, Ах = ^П=\ дЬ1 - оператор Лапласа, и(г,х,у) и г, у) - неизвестные функции; функции I(г,х,у), и0(х,у) заданы.

Для данной задачи получены следующие результаты:

Теорема 5.1. Пусть входные данные задачи (5.1)-(5.4) удовлетворяют условиям

II(г, у, у)|> К > 0, у Е В,

I(г,х,у) х у I(г, у, у)

\ВахВвуио(х,у) \ < К2,

н< Р, 1в 1< 1, (г,х,у) Е Ят, р > 6; д к

< Кз, \ВвФг(г,у)\< К4, (5.5)

дхк д к

ио (х1, ...,хг,.. .,хп ,у)1х=0,х=и = 0,

I (г,хЛ,... ,хг,... ,хп,у)1х=о,хг=к = 0, г = 1,...,п, к = 0, 2,4,6.

дхк

Тогда задача (5.1)-(5.4) имеет решение класса.

ЕР(П) = {(и(г,х,у),»(г,у)) 1ваи(г,х,у) е с([0,Т] х п х в), 1ваи(г,х,у)1< к, р(г,у) Е С([0,Т] х В), |а| <Р — 2]—

Теорема 5.2. Решение задачи (5.1)-(5.4) класса Zp(Q) единственно. Теорема 5.3. Рассмотрим задачу Коши (5.1), (5.2), (5.4) в полосе

Е = {(Ь,х,у)\Ь е [0,Т],х е Шп,у е Б}.

а) Задача (5.1), (5.2), (5.4) имеет решение класса Zp(Rn), если условия (5.5) выполняются в Е.

б) Решение задачи (5.1), (5.2), (5.4) единственно.

Полученные результаты опубликованы в работе [74].

Глава 1. Вспомогательные предложения 1.1 Основные обозначения, определения и теоремы

М, Ъ, К - множества натуральных, целых и действительных чисел соответственно.

Кп — действительное п-мерное евклидово пространство, п е N. Элементы пространства Кп называются точками. Точка в Кп обозначается через х = (х1,..., хп). О — ограниченная область в Кп. Замыкание множества О обозначим как О, границу области О - как дО.

Пусть а — мультииндекс, то есть а = (а\,..., ап), где — целые неот-

п

рицательные числа и \а\ = ^ а^. Под обозначением Н(х) будем понимать

¿=1

частную производную функции Н(х) порядка \а\:

Ба Ы да\к(х)

Бх П(х) дха ... дх°„п.

Символом Ск(О) будем обозначать множество всех к раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на О.

Оператор Лапласа А — дифференциальный оператор, ставящий в соответствие функции Н(х) функцию

( д2 д2 д2 \ АН(х)={д% + Щ + - + дхпп) н(х).

Рассмотрим ограниченное в Кп множество О и пространство С (О) непрерывных на О функций /(х) с нормой \\/\\с(^) = тах\1 (х)\.

хеН

Пусть М — некоторое бесконечное множество непрерывных на О функций (М С С (О)).

Определение 1. Говорят, что функции множества М равномерно ограничены в С (О), если существует постоянная к такая, что неравенство

\\/\\с(П) < к выполняется для всех функций из М.

Определение 2. Говорят, что функции множества М равностепенно непрерывны в П, если для любого е > 0 найдётся 5 = 5(е) > 0 такая, что для любых х и х из П, удовлетворяющих неравенству

1х' — х'Ч < 5,

имеет место неравенство

II(х>) — I(х")1 < е,

для всех функций I из М.

Определение 3. Множество М банахова пространства X называется компактным, если из любой бесконечной последовательности {хп] С М можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся по норме к элементу х Е М.

Теорема 1.1 (Арцела). Для того, чтобы множество М С С(П) было компактно в С(П), необходимо и достаточно, чтобы функции из М были равномерно ограничены в С(П) и равностепенно непрерывны в П.

Доказательство теоремы 1.1 можно найти, например, в [24]. 1.2 Теоремы существования и единственности решения задачи Коши

Рассмотрим в полосе Щ0т] = {(г,х)|0 < г < Т,х Е Кп] задачу Коши

щ = Ащ + Н, (1.1)

щ(0,х) = ш0 (х). (1.2)

Здесь Н(г,х) и ш0(х) — заданные функции. Определению подлежит функция

щ(г,х).

Определение 4. Функция щ(г,х), принадлежащая пространству С1х2 = {щ(г,х)Ыг,х),ващ(г,х) е с(п^), N < 2],

называется решением (классическим решением) задачи Коши, если она удовлетворяет уравнению (1.1), а при £ = 0 — начальному условию (1.2).

Теорема 1.2. Задача Коши (1.1), (1.2) не может иметь более одного ограниченного в П[о,т] классического решения.

Обозначим через В(Кп) (В(П[0,Т])) банахово пространство непрерывных и ограниченных в Кп (П[0,т]) функций с нормой

Теорема 1.3. Если ш0(х) принадлежит В(Кп), а функции Н(Ь,х), (Ь,х) (г =

Доказательство теорем 1.2 и 1.3 см. в [30, с. 347-350].

1.3 Принцип максимума для параболического уравнения 2-го

порядка

Теорема 1.4 (Принцип максимума). Пусть Т — положительная постоянная,

1,...,п) принадлежат В(П[0,Т]), то существует принадлежащее В(П[0,Т]) классическое решение ^(Ь,х) задачи (1.1), (1.2); при этом \\^\\В(П[0Т]) < \\^0\\в(мп) + Т 11^11 В(П[о,т]).

П[0,т] = {(£,х)\0 < £ < Т,х е Кп} ,

и(0,х) = <р(х), (г,х) е П[0,т],

где

п

(г,х)£& > 0 V (£,х) е Ят\Гт, V £ = 0 е Кп, (1.3)

и выполняются соотношения

\щ(х)\< д, х Е кп, Ц(г,х)1< ^, с(г,х) < т, (г,х) Е П[0,т]. Тогда всюду в П[0,т]

\и(г,х)\< втг(М + д). Доказательство см. в [20].

1.4 Формулировка метода слабой аппроксимации

Рассмотрим в = {(г,х)\г0 < г < г1,х Е Еп] систему нелинейных

дифференциальных уравнений в частных производных

ди

— = щ(г,х,и). (1.4)

Здесь и = и(г, х) = (и1(г, х),..., щ (г, х)), щ = (щ1,... ,щ) — вектор-функции размерности I (I Е М). Через и = (у0,у1,...,уг) обозначена вектор-функция, компоненты которой определяются следующим образом:

Уо = и = (и\,... ,щ)\

у1 — вектор, составленный из всех производных от и первого порядка по х; у2 — вектор, составленный из всех производных от и второго порядка по х и так далее; уг — вектор, составленный из производных порядка г по х от и. Таким образом,

дщ ди1 дщ дги1 дгиЛ

и = и1,... ,щ ,

дх\ дх2 ' дхп ' дх1 ' ' дхгп ) '

-1

и система уравнений (1.4) содержит производные по пространственным переменным до порядка г включительно (г > 0). Мы предполагаем, что

т т

Щ = £ = £ Щ, 3 = 1,...,l,

г=1 г=1

где рг — вектор-функции размерности I; , ( — ]-е компоненты векторов р и рг соответственно. Рассмотрим систему

Л Т т

оп'

г=1

где функции аг Т определены соотношением

^2аг,т (г)рг(£,х,пт), (1.5)

, ^ £0 + (п + г—) т<£ < £0 + (п + т) ^

аг,т (£) = _

0, в противном случае, п = 0,1,...,Ж - 1; тЖ = £1 - £0.

Наконец, рассмотрим систему

дпт т

— = ^2 аг,т (£)Рг,т & х, пТ ), (1.б)

г=1

где вектор-функции ргт(£, х,Пт) есть некоторые аппроксимации вектор-функций рг(£,х,Пт), зависящие от т.

При исследовании разрешимости задач вида (1.4) методом слабой аппроксимации решение п(Ь, х) ищется как предел последовательности решений пт(Ь,х) задач (1.6) при т ^ 0. Следующая теорема даёт достаточные условия существования данного предела [14, 47].

1.5 Одна теорема сходимости метода слабой аппроксимации

Ниже будем рассматривать классические решения уравнений (1.4), (1.5), (1.6). Под классическими решениями уравнений (1.5), (1.6) мы понимаем функцию пт, непрерывную вместе со всеми своими производными по пространственным переменным, которые входят в уравнение (1.5), в полосе П^0 ^], обладающую кусочно-непрерывной производной Щ" в (щ может иметь разрывы лишь на гиперплоскостях £ = (п + т) т, при п = 0,1,... — 1; тЖ = £1 — £0, г = 0,1,... ,т — 1) и удовлетворяющую уравнению (1.5), (1.6).

Предположим, что выполняются следующие условия. Условие 1. Вектор-функции pi определены и непрерывны при любых значениях своих аргументов. Вектор-функции (t,x,UT) на классических решениях UT системы уравнений (1.6) непрерывны по переменным (t, x) из n[to,tl].

Пусть {тк}Ж=1 (0 < тк < то) — некоторая последовательность, сходящаяся к нулю: lim Тк = 0. Заметим, что последовательности {тксоответствует

к^ж

последовательность {Nk}Ж=1 целых чисел, таких, что ткNk = t1 — t0.

Через uTk (t,x) обозначим решение системы (1.6) при фиксированном Тк >

0.

Условие 2. Пусть при всех Тк > 0 классическое решение uTk системы (1.6) существует и при Тк ^ 0 равномерно в

= {(t,x)\to < t < ti, \x\ < N},

последовательность uTk сходится к некоторой вектор-функции u вместе со всеми производными по x, входящими в уравнение (1.4), причём

max lpt(t,x,uTk) - (t,x,uTk)| ^ 0,

n[io,ii]

Tk ^ 0, i = 1,... ,m. (1.7)

Теорема 1.5. Пусть выполняются условия 1, 2. Тогда вектор-функция u(t,x) есть решение системы (1.4) в

Доказательство теоремы 1.5 можно найти в [14].

Глава 2. О задаче идентификации функции источника для

уравнения типа Бюргерса

Задача Коши

du(t,x) д u2(t,x) d2u(t,x)

+ дХ= м дх2 ' (2)

u(0, х) = u0(x), ц > 0 — const (2.2)

исследовалась И.Бюргерсом [54], Э. Хопфом [58], И. Коулом [56]. Эта задача широко известна в теории турбулентности. Само уравнение (2.1) часто называют уравнением Бюргерса [45].

В работе [52] изучены задачи определения неизвестных коэффициентов для уравнений типа Хопфа в случае данных Коши, когда входные данные допускают преобразование Фурье по пространственной переменной. В настоящей главе исследуется задача определения функции источника в случаях задачи Коши и первой краевой задачи в классах гладких функций.

2.1 Задача Коши

2.1.1 Постановка задачи

В полосе П[0,Т] = {(t,x)|0 < t < T, —ж < х < то} рассмотрим уравнение типа Бюргерса

ut(t,x) = v(t)uxx + A(t)uux + B (t)u + C (t) + g(t)f (t,x), (2.3)

где A(t),B(t),C(t),f (t,x) - заданные функции, с данными Коши

u(0,x) = u0(x), —ж <x< ж. (2.4)

Функции u(t,x),g(t) неизвестны. Считаем, что выполнены условие переопределения

u(t,x0) = <^>(t),x0 = const, (2.5)

и условие согласования

ф(0) = щ(хо).

(2.6)

2.1.2 Переход от обратной задачи к прямой

Приведем задачу (2.3)-(2.6) к прямой задаче. Подставим х = хо в уравне^ ние (2.3). Учитывая условие (2.5), получим соотношение

■ф(г) - ц(г)ихх(г, хо) - л(г)ф(г)пх(г, хо)

9(1) =

где т = Ф' (г) - в (г)ф(г) - с (г).

1 (г,хо)

Подставляя (2.7) в (2.3), получим задачу

щ(г, х) = ^(г)ихх + А(г)иих + в (г)и + с (г) +

+Ф(г) - ц(г)ихх(г, хо) - А(г)ф(г)их(г, хо) )

и(0,х) = ио(х).

1 (г,хо)

(2.7)

(2.8) (2.9)

2.1.3 Доказательство разрешимости прямой задачи

Предположим, что входные данные задачи (2.3)-(2.5) удовлетворяют следующим условиям:

£

к=0

дк ио (х) дхк

+£

к=0

дк I (г,х)

дхк

+ 1А(г)1 + \в (г)1 + 1С (г)1 +

1

+\Ш\< к, \1 (г,хо)\>—, к = ооивг > 0.

к

(2.10)

Существование достаточно гладкого решения задачи (2.8), (2.9) докажем методом слабой аппроксимации (главы 1.4-1.5). Аппроксимируем задачу (2.8),

(2.9) задачей

Щ = 3ц(1)птхх + 3В (£)пт,

£ е (пт, (п + 1)т],

(2.11)

т 0^(£) — 11(£)пХх(£ — 3, х0) — А(£)Ф(£)пХ(£ — 3,х0)^^ х) +(2 12)

щ = 3

I (£,х0 )

+ 3С (£),

1 2

£ е {(п + 3)т, (п + 3)т], (2.13)

т 2

пт = 3А(г)пт(г — - ,х)птх(г,х), £ е ((п + -)т, (п + 1)т], (2.14)

3

3

пт (0,х) = п0(х).

(2.15)

Введем неотрицательные, монотонно возрастающие функции:

д к

Щ(Ь) = 1+ вир вир \пт(£,х)\ ,и0:0 = 1 + вир

£е[0,г] хеЕ! ' хеЕ!

2

Щ(£) = вир вир

£€[0,4] хеЕ1

дк

дхк

щ (£,х)

дхк

, ит(£) = ^2ит(£),

щ(х)

г=0

Щ,к = вир

хеЕ1

дк

дхк

п0(х)

, и0 = ^ Щ,г, к = 1..6.

(2.16)

(2.17)

(2.18)

г=0

Рассмотрим нулевой целый шаг (п = 0). На первом дробном шаге решается задача Коши (2.11), (2.15). В силу принципа максимума (Теорема 1.4) имеем Щ(£) < и0,0вшг, 0 <£ < 3. Дифференцируя задачу (2.11), (2.15) дважды по х получаем, что

Щ(£) < и0,кеш\ 0 < £ < -,к = 0,1, 2,

т

3

(2.19)

откуда следует, что

ит (3) < и0вКт.

(2.20)

На втором дробном шаге решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.12) с начальными данными пт(3,х). Заметим, что, по построению, правая часть уравнения (2.12) - известная функция. Реше-

ние ит(г,х) этой задачи и его производные записываются в явном виде:

г

иТ (г,х) = иТ (3 ,х)+(^^х^) (Ф(С) - КС )иТхх(С - 3 ,хо) -

т 3

-А(С )ф(С К(С - 3 ,хо)) + с (С) ) дкит(г,х) = ^(Т,х) + 3 ( (щ^Щж) -

dxk ' dxk 3 J у f(£,x0)

3

-КС )ихл - 3 ,хо) - А(С )ф(С )их(С - 3 ,хо)) + с (С) ) ^

(т 2т

г 6 13, т.

В это выражение входят производные их,ихх, взятые при 0 < г < |, которые оценены на первом дробном шаге. Отсюда

д k

uT(t, x)

dxk

< Щ[+ щ Q + ut (3>>. (2.21)

В неравенствах (2.21) возьмем sup по x E E\ и t E [0, ^] от левой части. Складывая полученные из (2.21) неравенства при k = 0,1, 2, получим неравенство

UT (it) < UT (3)+ (l + U (3) + U2 (3)). (2.22)

Учитывая, что Щ (|) > U0o > 1 (см. (2.16)), можно записать

UT (2i) < UT (3) + зкт ^ (3) + ) (3) + UT (3)) =

= UT (3) (1 + 3KT) < UT (3) e3KT. (2.23)

На третьем дробном шаге (t E (Щт,т]) решается задача Коши для уравнения переноса

uTt = 3A(t)uT(t - Т, x)uTx(t, x) (2.24)

с начальными данными uT(Щг, x). Решение уравнения (2.24) имеет вид uT(t, x) =

' 2t

ит(, ф(г, х)) [21, теорема 2.6], где ф - характеристическая функция этого уравнения. Отсюда следует оценка

\ит(г,х)\< щ(2Л, 2т<г < т. (2.25)

Продифференцируем уравнение (2.24) по х, получим:

4 = 3А(г)птх(г — т,х)гт + 3А(Ь)пт (Ь — т,х)гтх, (2.26)

где гт(Ь, х) = птх(г, х). Решение этого уравнения имеет вид [21] (здесь ф - характеристики уравнения (2.26)):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Коршун Кирилл Викторович, 2016 год

Список литературы

1. Алексеев, А. С. Методы решения прямых и обратных задач сейсмологии, электромагнетизма и экспериментальные исследования в проблемах изучения геодинамических процессов в коре и верхней мантии Земли / А. С. Алексеев и др. - Новосибирск: Издательство СО РАН. - 2010. - 310 с.

2. Аниконов, Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биологии / Ю. Е. Аниконов // Доклады академии наук СССР. - 1991. - Т. 318, № 6 -С. 1350-1354.

3. Аниконов, Ю. Е. Об обратных задачах для уравнений математической физики с параметром / Ю.Е. Аниконов, М.В. Нещадим // Сибирские электронные математические известия. - 2012. - Т. 9. - С. 45-63.

4. Аниконов, Ю. Е. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения / Ю. Е. Аниконов, Ю. Я. Белов // Доклады АН СССР. - 1989. - Т. 306, № 6. - С. 1289-1293.

5. Ахтамова, С.С. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений / С.С. Ахтамова, Ю.Я. Белов // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 316, № 4. - С. 791-795.

6. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы. - 1961. - 937 с.

7. Белов, Ю. Я. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени / Ю. Я. Белов, Е.Г. Саватеев // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 334, № 5. - С. 800-804.

8. Белов, Ю.Я. Об одной обратной задаче для полулинейного параболического уравнения / Ю.Я. Белов // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 316, № 5. - С. 1034-1038.

9. Белов, Ю.Я. Об одной линейной стационарной задаче динамики океана / Ю.Я. Белов // Математические заметки. - 1979. - Т. 26, № 1. - С. 45-52.

10. Белов, Ю.Я. О некоторых системах линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / Ю.Я. Белов // Доклады АН СССР. - 1976. - Т. 231, № 5. - С. 1037-1040.

11. Белов, Ю.Я. Расщепление вырождающегося квазилинейного параболического уравнения / Ю.Я. Белов // Математические заметки. - 1989. - Т. 46, вып. 6. - С. 26-31.

12. Белов, Ю.Я. Теоремы однозначной разрешимости и аппроксимации некоторых краевых задач для систем уравнений, описывающих течения океана / Ю.Я. Белов // Сибирский математический журнал. - 1979. - Т. 20, № 6.

- С. 1206-1225.

13. Белов, Ю.Я. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени / Ю.Я. Белов, Е.Г. Саватеев // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 316, № 5. - С. 1034-1038.

14. Белов, Ю. Я. Метод слабой аппроксимации / Ю. Я. Белов, С. А. Кантор. -Красноярск:КрасГУ. - 1999.

15. Белов, Ю. Я. Неклассические и обратные краевые задачи: учебное пособие [Электронный ресурс]/ Ю.Я. Белов, С. В. Полынцева, Р. В. Сорокин, И. В. Фроленков, О.Н. Черепанова // Сибирский федеральный университет. - 2007. - Режим доступа: http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/20/u_posob.pdf.

16. Вабищевич, П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики / П.Н. Вабищевич. - М.: Издательство Московского университета.

- 1991. - 156 с.

17. Ватульян, А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А. О. Ватульян. - М.: Физматлит. - 2007. - 224 с.

18. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. - Новосибирск: НГУ. - 1983. - 84 с.

19. Демидов, Г.В. Теорема существования решения задачи краткосрочного прогноза погоды. / Г. В. Демидов, Г. И. Марчук // Доклады АН СССР. - 1966.

- Т. 170, № 5. - С. 1006-1009.

20. Ильин, А. М. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / А. М. Ильин, А. С. Калашников, О. А. Олейник // Успехи математических наук. - 1962. - т.17, №3. - С. 3-146.

21. Камке, Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / Э. Камке. - М.: Наука. - 1966.

22. Ковеня, В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. / В.М. Ко-веня, НН. Яненко, Ю.И. Шокин. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд. - 1981.

- 304 с.

23. Кожанов, А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.

24. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Физматлит. - 2009. - 575 с.

25. Коновалов, А. Н. Метод фиктивных областей в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил / А.Н. Коновалов // Численные методы механики сплошной среды. - 1972. - Т. 3, № 5. -С. 52-67.

26. Косьянов, А. Н. Методология решения обратных задач геофизики / А. Н. Косьянов, В. А. Сосов // Молодой ученый. - 2012. - №1. Т.1. - С. 77-79.

27. Лаврентьев, М.М. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / М. М. Лаврентьев, В. Г. Васильев, В. Г. Романов. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд. - 1969. - 67 с.

28. Лаврентьев, М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский. - М.: Наука. - 1980.

- 285 с.

29. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир. - 1972. - 587 с.

30. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. - М.: Наука. - 1976. - 391 с.

31. Новиков, В.А. Некоторые вопросы сходимости метода слабой аппроксимации. / В. А. Новиков // Сибирский математический журнал. - 1977. - Т. 18, № 5. - С. 1125-1139.

32. Орунханов, М.К. К теории метода фиктивных областей / М.К. Орунханов, Ш. Смагулов // Численные методы механики сплошной среды. - 1982. - Т. 13, № 2. - С. 125-137.

33. Осколков, А.П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром, аппроксимирующей систему уравнений Навье-Стокса / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. - 1971. - Т. 32.

- С 78-103.

34. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. / А. Д. Полянин. - М.: Физматлит. - 2001. - 576 с.

35. Прилепко, А. И. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43, № 9. - С. 1392-1401.

36. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. -М.: Наука. - 1984. - 262 с.

37. Романов, В. Г. Обратные задачи электродинамики / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин, Т. П. Пухначева. - Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН СССР. - 1984. - 210 с.

38. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Соболев С. Л. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1988.

- 336 с.

39. Соболева, О. В. Обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции - диффузии - реакции / О. В. Соболева // Дальневосточный математический журнал. - 2010. - Т. 10, № 2. - С. 170-184.

40. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука. - 1977. - 736 с.

41. Тихоцкий, С. А. Комбинированная инверсия данных сейсмологии и гравиметрии в задаче определения положения геологической границы в трёхмерном случае / С. А. Тихоцкий, У. Ашауер // Геоинформатика. - 2006. - № 3. - С. 25-28.

42. Треногин, В. А. Функциональный анализ. / В А. Треногин. - М.: Физматлит.

- 2002. - 488 с.

43. Фроленков, И. В. О существовании решения для класса нагруженных двумерных параболических уравнений с данными Коши / И. В. Фроленков,

Ю. Я. Белов // Неклассические уравнения математической физики. - 2012.

- С. 262-279.

44. Фроленков, И. В. О задаче идентификации функции источника специального вида в двумерном параболическом уравнении / И. В. Фроленков, Е. Н. Кригер // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2010. - Т. 3, № 4. - С. 556-564.

45. Яненко, Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Л. Б. Рождественский, Н. Н. Яненко. - М.: Наука. - 1978. -687 с.

46. Яненко, Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. / Н.Н. Яненко. - Новосибирск. - 1967. - 195 с.

47. Яненко, Н. Н. Исследование задачи Коши методом слабой аппроксимации / Н. Н. Яненко, Г. В. Демидов // Доклады АН СССР. - 1966. - Т. 167, № 6.

- С. 1242-1244.

48. Anikonov, Yu. E. Inverse and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov, B. A. Bubnov, G. N. Erokhin. - Utrecht: VSP. - 1997. - 239 p.

49. Anikonov, Yu. E. Inverse problems for evolution and differential-difference equations with a parameter / Yu. E. Anikonov // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. - 2003. - V. 11, no. 5. - P. 439-473.

50. Anikonov, Yu. E. The indetification problem for the functional equation with a parameter / Yu. E. Anikonov // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. -2012. -V. 20(4). - P. 401-409.

51. Belleni, Morante A. Inverse problems in photon transport - Part I: determination of physical and geometrical features of an interstellar cloud. / R. Monaco, S.

Pennisi, S. Rionero, T. Ruggeri // Proceedings of the XII Int. Conference on Waves and Stability in Continuous Media. - World Scientific. - 2004. - P. 52-59.

52. Belov, Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations / Yu. Ya. Belov. - Utrecht etc.:VSP. - 2002. - 211 p.

53. Belov, Yu.Ya. On Estimates of Solutions of the Split Problems for Some Multi-Dimensional Partial Differential Equations / Yu.Ya. Belov // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2009. - no. 2(3). - P. 258-270.

54. Burgers, I. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence / I.M. Burgers // Advances of mechanics. - 1948. - no. 1. - P. 171-199.

55. Cannon, J.R. Determination of a parameter p(t) in some quasilinear parabolic differential equations / J. R. Cannon, Lin Yanping //J. Ill-Posed and Inverse Problems. - 1988. - V.4. N1. - P.595-606.

56. Cole, I. D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics / I. D. Cole // Quart. Appl. Math. - 1951. - no. 9. - P. 226-236.

57. Francini, E. An inverse problem for higher order parabolic equation with integral overdetermination. Unique solvability and stabilization of the solution. / E. Francini, V. Kamynin // Pubblicazioni Dell'istituto di analisi globale e applicazioni. Serie "Problemi non ben pasti ed inversi". - Firenze. - 1996.

58. Hopf, E. The partial differential equation ut + uux = ßuxx / E. Hopf // Comm. Pure Appl. Math. - 1950. - no. 3. - P. 201-230.

59. Lorenzi, A. Identification problems for pseudohyperbolic integrodifferential operator eqations / A. Lorenzi, E. Paparoni //J. Inverse Ill-Posed Probl. -1998. - V. 5. N6. - P. 523-548.

60. Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - New York: Marcel Dekkar, inc. -1999. - 709 p.

61. Ramm, A. G. Inverse Problems, Tomography, and Image Processing / A. G. Ramm. - New York: Springer US. - 1998. - 258 p.

Список работ автора по теме диссертации

62. Коршун, К.В. Задача идентификации коэффициентов квазилинейного параболического уравнения / К.В. Коршун // Материалы XLIX международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет. - 2011. - С 48.

63. Коршун, К.В. О задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса / К.В. Коршун // Материалы 50-й юбилейной международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет. - 2012. - С. 34.

64. Коршун, К. В. О задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса / Ю. Я. Белов, К. В. Коршун // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2012. - Т. 5, № 4. - С. 497-506.

65. Коршун, К. В. Об одной обратной задаче для уравнения типа Бюргерса / К. В. Коршун // Молодежь и наука: сборник материалов IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых

с международным участием, посвященной 385-летию со дня основания г. Красноярска [Электронный ресурс] № заказа 2394/отв. ред. О. А. Краев. -Красноярск: Сибирский федеральный университет. - 2013. - Режим доступа: http://conf.sfu-kras.ru/sites/mn2013/thesis/s062/s062-010.pdf

66. Коршун, К. В. Об одной обратной задаче для уравнения типа Бюргерса / К. В. Коршун // Материалы 51-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет. - 2013. - С. 88.

67. Коршун, К. В. Задача идентификации функции источника для многомерного уравнения типа Бюргерса / К. В. Коршун // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. (Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.): Тезисы докладов. - Новосибирск: Институт математики СО РАН. - 2013. - С. 173.

68. Коршун, К. В. Об одной обратной задаче для уравнения типа Бюргерса / Ю. Я. Белов, К. В. Коршун // Сибирский журнал индустриальной математики. Июль-сентябрь, 2013. - 2013. - Т. 16, № 3(55). - С. 28-40.

69. Коршун, К. В. О разрешимости задачи Коши для системы нагруженных параболических уравнений / К. В. Коршун // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2014: Математика. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет. - 2014. - С. 84.

70. Коршун, К.В. О разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения с параметром / К. В. Коршун // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: материалы Тринадцатой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения-2014". - Казань: Издательство Казанского университета. - 2014. - Том 50. - С. 106-107.

71. Коршун, К.В. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с параметром. / К. В. Коршун // Материалы 53-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Математика. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет. - 2015. - С. 30.

72. Коршун, К.В. Об обратной задаче для параболического уравнения с параметром. / Ю. Я. Белов, К. В. Коршун // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование". - 2015. - С. 65-66.

73. Korshun, KV. On Solvability of the Cauchy Problem for a Loaded System / Yu.Ya. Belov, K.V. Korshun // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2014. - V. 7, no. 2. - P. 155-161.

74. Korshun K.V. On some inverse problem for a parabolic equation with a parameter / K.V. Korshun // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2015. - V. 8, no 3. - P. 281-290.