Математическая теория кинетики коагуляции-дробления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Дубовский, Павел Борисович

• Дубовский, Павел Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дубовский, Павел Борисович

Введение

Глава 1. Математические модели кинетики коагуляции и дробления

1.1 Постановка задач.

1.2 Основные свойства уравнения коагуляции-дробления

1.3 Основные функциональные пространства.

Заключительные замечания.

Глава 2. Существование решения для уравнения коагуляции-дробления

2.1 Локальная разрешимость задачи Коши с финитными ядрами

2.2 Разрешимость в целом задачи с финитными ядрами

2.3 Формулировка теоремы существования решения в целом. Ограниченность моментов.

2.4 Равномерная ограниченность последовательности приближенных решений.

2.5 Компактность аппроксимирующей последовательности

2.6 Доказательство теоремы существования решения . 47 Заключительные замечания.

Глава 3. Условия выполнимости закона сохранения массы и теоремы единственности решения

3.1 Сохранение массы.

3.2 Теорема единственности в пространстве 0(Т).

3.3 Теорема единственности в пространстве Г^од(Т) . 62 Заключительные замечания.

Глава 4. Некоторые свойства решений

4.1 Принцип максимума

4.2 Применение принципа максимума к уравнению коагуляции-дробления

4.3 Положительность решений.

4.4 Порядок сингулярности стационарного решения уравнения коагуляции.

Заключительные замечания.

Глава 5. Существование равновесных состояний и сходимость к ним для некоторых моделей коагуляции-дробления с источником

5.1 Проблема существования равновесных решений

5.2 Существование и единственность равновесного решения

5.3 Линейная устойчивость.

5.4 Нелинейные оценки решений.

5.5 Свойства стационарных решений для уравнения коагуляции с источниками.

5.6 Сходимость к равновесию.

Заключительные замечания.

Глава 6. Два семейства моделей коагуляции и их применение к исследованию кинетики дисперсных систем

6.1 Семейство дискретных моделей коагуляции.

6.2 Другое семейство дискретных моделей коагуляции

6.3 Переход к уравнению Сафронова.

6.4 Сравнительный математический анализ моделей коагуляции

6.5 Вычисление фронта коагуляции.

6.6 Нарушение закона сохранения массы. Ядра К(х,у) — ху)а.

6.7 Нарушение закона сохранения массы для других ядер коагуляции.

Заключительные замечания.

Глава 7. Исследование пространственно неоднородного уравнения коагуляции-дробления

7.1 Локальная разрешимость для ядер коагуляции и дробления с компактным носителем.

7.2 Теорема существования локального решения для неограниченных ядер.

7.3 Оценки решения в равномерной норме.

7.4 Оценки решения в интегральной норме.

7.5 Разрешимость в целом в классе непрерывных функций

7.6 Гидродинамический предел для уравнения коагуляции-дробления

Заключительные замечания

Глава 8. Квазифункционалы как подход к исследованию кинетики коагуляции-дробления и других задач

8.1 Понятие квазифункционалов. Основы теории корректности линейных интегральных уравнений с нефред-гольмовыми ядрами.

8.2 Аналитическое решение уравнения дробления.

8.3 Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

8.4 Решение бесконечной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

8.5 Решение бесконечной системы линейных уравнений в частных производных.

8.6 Анализ скалярных гиперболических законов сохранения

8.7 Цепочки кинетических уравнений

Заключительные замечания.

Глава 9. Применение построенной теории коагуляциидробления к задачам кинетики полимеризации

9.1 Непосредственные следствия из общей теории коагуляции-дробления для пространственно однородной системы уравнений Беккера-Дёринга.

9.2 Пространственно неоднородная модель полимеризации

9.3 Анализ уравнений Беккера-Дёринга с точки зрения квазифункционалов.

9.4 Исследование полимеризационной кинетической модели Аринштейна

Заключительные замечания.

Дополнение. Биномиальное неравенство

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая теория кинетики коагуляции-дробления»

Работа посвящена построению математической теории кинетики коагуляции-дробления.

Процессы коагуляции (слияния) и дробления (расщепления) являются одними из основных процессов, характеризующих эволюцию дисперсных систем, т.е. двухфазных систем, являющихся механической смесью среды (газообразной или жидкой) с взвесью (жидкой или твердообразной). Такие системы появляются в различных естественных и техногенных процессах. Примерами дисперсных систем, в исследовании которых активно используются модели коагуляции и дробления, могут служить воднокапельные облака в атмосфере, аэрозольные загрязнения воздуха, клубы вулканической или метеоритной пыли, дым от лесных пожаров [267, 126, 21, 23, 135], топливные смеси в двигателях внутреннего сгорания [117], космические пылевые облака и туманности [111, 255], коллоидные растворы, золи, эмульсии, суспензии [74, 91], полимеры в химических реакторах [5, 6].

Модели коагуляции и дробления используются астрофизиками для изучения образования звезд [180, 242, 256], формирования галактик [255], распределения астероидов и малых планет [111, 169, 289, 257]. Другие важные приложения имеются в теории коллоидов [84, 105, 91, 74, 215], в теории аэрозолей [85, 248, 135], метеорологии [82, 173, 21, 23], гематологии [108], инженерии [189, 155, 117], химии полимеров [5, 6], фото- и кинотехнологиях [155], теории роста зерен в сплавах [234], радиационном материаловедении [159], в технологических процессах, связанных с воздействием на эмульсии и суспензии [106], флотационным разделением руд, разрушением пен, удалением воды из нефти, подготовкой сточных вод [74], при разработке большинства моющих средств [74]. Столкновения частиц, приводящие к их коагуляции (слиянию, слипанию) и/или дроблению могут быть обусловлены самыми разнообразными эффектами - случайным (броуновским или турбулентным) блужданием, сближением под действием электрических, гидродинамических и гравитационных сил. При соединении кластеров в полимерных растворах это явление иногда называют агрегацией.

Процессам коагуляции и дробления иногда могут сопутствовать поступление извне в дисперсную систему новых частиц и/или их поглощение. При их заметном влиянии на спектр необходимо включить в рассмотрение внешние источники и стоки.

Явления, подобные коагуляции, характерны и для таких процессов, как рост кристаллов, образование дислокаций и пузырей в твердом теле под действием излучения. Таким образом, проблематика, связанная с изучением процессов коагуляции и дробления, особенно важна в метеорологии, астрофизике, технике, экологии, химии полимеров и в радиационном материаловедении. Глубокое проникновение в суть описываемых явлений невозможно без построения и изучения их математических моделей, которые, в свою очередь, требуют развитой математической теории. Именно это обстоятельство свидетельствует об актуальности представленной работы.

Целью математической теории коагуляции-дробления является описание функции распределения коагулирующих и дробящихся частиц по размерам (массам) как функции времени и, в некоторых случаях, пространственной переменной.

Обычно предполагается, что количество частиц в единице объема системы достаточно мало, так что вероятность тройных и более частых столкновений пренебрежимо мала. Бинарные столкновения предполагаются мгновенными. Предположим также, что размеры (массы) всех частиц кратны какой-то величине то- Частицы с массой гто назовем, по аналогии с полимерами, ¿-мерами. Обозначая через сг(£) концентрацию г-меров в момент времени I и используя эти предположения, М.Смолуховский [114] получил следующую бесконечную систему нелинейных дифференциальных уравнений для процесса коагуляции: Кг-ыЪ-МсЖ*) - ф) Е КЧСз(*) (0-1) оо

И 2 с начальными условиями сг(0) = с!0) > 0.

0.2)

Функция Kij называется ядром коагуляции, она описывает интенсивность взаимодействий между частицами с массами г и; и предполагается известной из физики процесса. Ядро коагуляции вводится в предположении, что в течение временного интервала At среднее количество слияний частиц с массами г и ] в единице объема дисперсной системы равно Из определения ядра коагуляции ясно, что коэффициенты К^ неотрицательны и симметричны, т.е. К^^ > 0 для всех г,] > 1. Неизвестная неотрицательная функция Сг(£) является искомой концентрацией (функцией распределения) частиц с массами г, г > 1.

Во многих работах, начиная с работы Зигмонди [73], экспериментально показано соответствие теории Смолуховского реальной кинетике коагуляции (подробнее экспериментальные работы описаны, например, в [105]).

В уравнении (0.1) не учтена возможность дробления частиц. Однако важность учета процессов дробления в коагулирующих дисперсных системах отмечена во многих работах [23]. Так, в работе [40] описаны эксперименты, доказывающие, что возникновение ливней объясняется именно дроблением падающих облачных капель, поскольку при дроблении их легкие осколки захватываются восходящими потоками воздуха, возвращаются в исходное облако и являются зародышами новых тяжелых капель, которые, в свою очередь, претерпевают аналогичные превращения и выполняют свою роль в развертывающейся цепной реакции образования ливня.

Знание функции распределения частиц, помимо непосредственного интереса, позволяет сделать ряд важных макроскопических выводов. Самым очевидным применением является оценка плотности вещества, равной первому моменту функции распределения. Многие макроскопические величины выражаются как функционалы от функции распределения. Например, поглощение света в межзвездной среде можно оценить по формуле [239] /0°° е(х)с(х, ¿)Ах где е{х) - коэффициент интенсивности поглощения света заданной частоты. Абсорбционные свойства атмосферного аэрозоля, сильно влияющие на оптические и электромагнитные свойства атмосферы, определяются коэффициентом абсорбции а, зависящим от длины волны Л, который равен [217] а(А) = J с(х^)а(Х, х)¿х.

Здесь а есть сечение фотоабсорбции. Зная скорость у(х) движения частиц массой х можно также вычислить среднюю скорость движения облака [100] /0°° у(х)с(х, {)йх /0°° с(х, €)(1х

Рэлеевское рассеяние света пропорционально второму моменту от функции распределения частиц /0°° ж2с(ж, ¿) [105, 186]. Другие важные функционалы, вычисляемые на основе информации о функции распределения, могут быть найдены, например, в [100].

В данной работе мы изучаем общее уравнение коагуляции-дробления с математической точки зрения. Обычно результаты и используемые методы имеют место как для дискретной, так и для непрерывной версии уравнений, так что мы обычно не будем подчеркивать это обстоятельство. Мы отметим особые случаи, когда результаты для дискретного случая не могут быть трансформированы к непрерывному случаю и наоборот. Поскольку уравнение коагуляции-дробления является сложным нелинейным интегродифференци-альным уравнением в частных производных, то разработка математической теории для этого класса задач является также вкладом в общую математическую теорию интегральных и интегродифференциальных уравнений. Некоторыми свидетельствами этому замечанию являются, например, разработанные методы нахождения априорных оценок, основанные на принципе максимума, представленном в главе 4 и применимом и ко многим другим задачам, а также метод квазифункционалов, разработанный первоначально для коагуляции-дробления и, оказавшийся плодотворным для широкого ряда систем интегральных и дифференциальных уравнений (глава 8). В частности, на основе этого метода можно построить теорию линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами.

Обсудим основные математические результаты по кинетике коагуляции-дробления, не включенные в данную диссертацию.

Первая теорема существования решения в целом была доказана в 1957 г. Мелзаком [230]. Его теорема рассматривает ограниченные ядра коагуляции и дробления. В этом случае ограниченность ядер коагуляции К обеспечивает непрерывность столкновительного оператора, выраженного правой частью уравнения (0.1), и его инвариантность, т.е. в случае ограниченных ядер столкновительный оператор отображает пространство суммируемых функций в себя. Неограниченные ядра коагуляции и дробления не обладают таким свойством, что является главной сложностью при анализе уравнений с неограниченными ядрами. Существование решения для неограниченных ядер коагуляции с линейным ростом было доказано Галкиным [25] и Уайтом [291]. Дробление, источники и стоки частиц они не учитывали. Теорема устойчивости полученного решения и некоторые его свойства были рассмотрены в [26], где сформулирован важный принцип максимума, получивший обобщение в данном диссертационном исследовании.

Затем класс ядер с линейным ростом был расширен путем рассмотрения ядер с особенностью в нуле [15] и путем дополнительного допущения, что ядро коагуляции может расти сколь угодно быстро вдоль линий, не параллельных осям положительного квадранта (х, у) Е [27]. В работах [273, 274, 27] было доказано существование решения для ядер К(х,у) = о(х)о(у) (с некоторыми вариациями).

В работах Маклауда [225, 228] рассматривалось мультипликативное ядро коагуляции К(х, у) = Сху, которое, согласно теории поликонденсации Флори и Штокмайера [283, 181], возникает, например, в полимерных растворах, в которых слияние полимерных цепочек пропорционально количеству мономеров (единичных частиц) в каждой цепочке. Это ядро имеет особую важность при исследовании процессов коагуляции, поскольку в этом случае решение, начиная с некоторого критического момента времени, перестает удовлетворять закону сохранения массы, что вызвано бесконечностью интегралов, возникающих при формальном суммировании столкно-вительного оператора (правой части) уравнения коагуляции-дробления. Оказалось, что для такого ядра закон сохранения массы нарушается в конечный момент времени, когда второй момент решения уходит на бесконечность. Затем в серии статей [212, 31, 179], в которых были использованы некоторые идеи из работ [78, 79, 80], было показано, что для этого ядра существует решение в целом по времени. Сравнительно недавно подход Маклауда был пересмотрен в [263] с иным получением решения после момента нарушения закона сохранения массы.

Известно, что если решение уравнения коагуляции-дробления имеет ограниченный второй момент, то для постоянных ядер коагуляции и дробления решения уравнения (0.1) сохраняют массу [133]. Некоторые условия, обеспечивающие сохранение массы, были также выведены в [140, 281].

Для дискретного варианта уравнения (2.26) существование решения, сохраняющего массу, было доказано Боллом и Карром [140] с линейным ядром коагуляции. Для подкласса ядер коагуляции и дробления им также удалось доказать единственность решения.

В [133, 282] была доказана единственность решения для постоянных ядер коагуляции и дробления К = Г =сопб1. В работе [27] было показано, что для ядер К(х,у) < к( 1 + хауа), а < 1, .Р = 0 рассматриваемая задача имеет не более одного решения в классе функций, интегрируемых с весом ехр(Ажа), А > 0.

Следующий шаг был сделан Стюартом [279], доказавшим единственность для ядер

К(х, у) < к^г + х^ + у, I* у/1 + уР(х - у, у)йу < к2л/1 + X (0.3) в классе функций с ограниченным первым моментом.

Следует отметить, что с математической точки зрения разница между дискретной и непрерывной моделями коагуляции состоит в том, что пространство I1 суммируемых последовательностей содержится в так что оценка суммируемости в дискрентном случае немедленно дает ограниченность решения. В непрерывном случае доказательство ограниченности решения в Ь^ требует дополнительных оценок.

Для случая К = а,Е = Ь с константами а, Ь сходимость к решений к равновесию изучалась с помощью функции Ляпунова Айзенманом и Баком [133] и автором [282].

Существование обобщенных решений уравнения коагуляции с начальными условиями, заданными в пространстве борелевских мер, рассмотрены в работе автора [47]. Однако при построении математической теории коагуляции-дробления нашей основной задачей будет доказательство разрешимости уравнений в классах "хороших", преимущественно непрерывных, функций. Отметим, что это требует дополнительных априорных оценок решения, которые удается получить в данной диссертации.

Эволюция дисперсных систем с учетом не только коагуляции, но и дробления, рассмотрена в работах [230, 231, 143, 198, 273, 274, 23, 133, 278, 140, 279, 157], в которых доказан ряд теорем существования и единственности решения уравнений (1.7), (1.8), в основном для пространственно однородного случая. Недавно появилась серия работ [221, 222, 223], в которых рассматривается уравнение (1.7) и передоказываются результаты, которые непосредственно следуют из ранее опубликованной работы автора [56], представленной в настоящей диссертации (глава 2).

Существование обобщенного решения для ряда пространственно неоднородных задач коагуляции (без учета дробления) было доказано в работах В.А. Галкина [28, 29], где рассмотрены ограниченные ядра коагуляции и ядра, равные нулю на диагонали первого квадранта плоскости аргументов хОу (т.е. при равных аргументах К{гг = 0). Непрерывность решения в этих работах не была выявлена. Отметим, что полученные в диссертации результаты свободны от этого недостатка.

Математический анализ пространственно неоднородной задачи коагуляции-дробления был проведен в работе автора [43], однако в ней рассматривается задача при малых начальных данных. Обсуждение других результатов, а также их сравнение с представленными в диссертации, проводится по ходу изложения.

Остановимся на структуре диссертации и представленных новых результатах.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Дубовский, Павел Борисович

Заключение

Построена математическая теория для уравнений кинетики ко агу л я ц и и - д р о б л е н и я:

- доказана корректность пространственно однородного уравнения с неограниченными ядрами коагуляции, допускающими линейный рост, а также широкого класса ядер дробления, включающего важные неограниченные1 ядра;

- сделаны выводы о свойствах решений, оценены скорости их убывания на бесконечности, выявлены случаи, когда могут возникать решения, не подчиняющиеся закону сохранения массы, доказана положительность решении и определен порядок сингулярности стационарного решения для уравнения коагуляции без учета дробления;

- исследованы вопросы существования, единственности, устойчивости стационарных решений как для уравнения с учетом дробления. так и при наличии постоянного внешнего источника частиц, выявлены свойства стационарных решений и сходимость к ним решении нестационарных задач при больших временах;

- построены новые модели кинетики коагуляции и показана их взаимосвязь с известными уравнениями. Установлена зависимость поведения фронта коагуляции при финитных начальных данных от наличия гель-перехода в дисперсной системе, приводящего к нарушению закола сохранения массы;

- изучено пространственно неоднородное уравнение коагуляции-дробления, доказаны теоремы существования и единственности для пространственно неоднородных задач при различных ядрах коагуляции и дробления и при различных скоростях пространственного переноса;

- путем расс мотрения семейства масштабированных пространственно неоднородных уравнений построена новая динамическая модель, являющаяся гидродинамическим пределом для кинетики коагуляции -дробления;

- разработан новый метод анализа уравнений и систем уравнений, содержащих функционалы от решения, зависящие от аргументов уравнения как от параметра (квазифункционалы), с помощью которого построены основы теории корректности линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами и их систем, а также получены явные решения бесконечных систем алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, что, в частности, позволило решить уравнение дробления, оценить порядок сингулярности решения стационарного уравнения коагуляции и решить бесконечную систему кинетических интегральных уравнений, сходных с цепочкой Н.Н.Боголюбова;

- в качестве применения построенной теории доказана корректность системы кинетических уравнений Беккера-Деринга, и построено явное решение этой бесконечной системы для задачи распада полимеров, исследована также близкая кинетическая модель свобод-норадикальнои полимеризации Аринштейна.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дубовский, Павел Борисович, 2000 год

1. Абрамовиц М., Стиган и., Справочник по специальным функциям, М.: Наука, 1979.

2. Агошков В.И., "Сопряженные уравнения в алгоритмах возмущений N-го порядка точности," Сопряженные уравнения и теория аозмугцений в задачах математической физики, М.: ОВМ1. АН СССР, 1985, 62-85.

3. Агошков В.И., Платова 13.М., "О разрешимости основных и сопряженных уравнений в нелинейных задачах.'' Сопряж< иные уравнения в задачей: математической физики, М.: ОВМ АН СССР. 1990, :; 46.

4. Аринштейн А». "Кинетика химических реакций анизотропных реагентов," Ж. хим. физики 12, No. 1, 1993.

5. Аринштейн А.':)., Межиковскин С.М., "Релаксационная модель формирования надмолекулярной структуры олигомерных жидкостей," Химическая физика 16, No. 5, 1997, 122-133.

6. Аринштейн А.:-.)., Гольданский 13.И., "Точнорешаемая модель необратимой агрегации частица-кластер," Доклады РАН 352, No. 4, 1997, 483-486.

7. Арсеньов A.A. "Задача Коши для линеаризованного уравнения Больцмана," Журн. вычислит, матом, матем. физики 5 (1965), 864-882.

8. Арсеньев A.A., Лекции по кинетическим уравнениям, М.: Наука, 1992.

9. Ашабоков Б.А., Калажоков XX., "Об алгоритмах расчета коагуляционных процессов в дисперсных системах, основанных на методе Галеркина," Труды Высокогорного геофиз. ин-та. 48. 1982, 3 12.

10. Ашабоков Б.А., Гаова З.С., Калажоков Х.Х., "Об одном алгоритме и некоторых результатах численного исследования коагуляционных процессов в дисперсных системах," Труды Высокогорного геофиз. ин-та. 53, 1984, 23-29.

11. Боголюбов h.h., Проблемы динамической теории в статистической физике, М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

12. Борисов A.A., Гельфанд Б.Е., Натанзон М.С., Коссов О.М., "О режимах дробления капель и критериях их существования," Инженерно-физический журнал 40, No. 1, 1981, 64-70.

13. Буробин A.B., "О существовании и единственности решения задачи Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции," Дифференциальные уравнения 19 (1983), 1568-1579.

14. Буробин A.B., "О задаче Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции при учете диффузии," Дифференц. ур-ния 21, No. 10, 1985, 1806- 1808.

15. Буробин А. В., Галкин H.A., "О решениях уравнения коагуляции," Дифференц. ур-ни.я 17, 1981, 669 677.

16. Hi. П. Ван Допген, М. Эрнст,- "Хвост распределения для боыпих кластеров при необратимой агрегации," Фракталы в физике. М.: Мир, 1988, 430-440.

17. Васенин И.VI., Архипов В.Л., Бутон В.Г., Глазунов A.A., Трофимов В.Ф. "Газовая динамика двухфазных течений в соплах." Томск: Изд-во Томского ун-та, 1986. 262 с.

18. Владимиров B.C., Волович И.В., "Законы сохранения для нелинейных уравнений," Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, Новосибирск, Наука, 198Г>. 147- 162.

19. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции а дисперсных системах, Л.: Гидрометео-издат, !97-г).

20. Волощук В.М., Свиркунов H.H., "Об одной особенности коагуляции аэрозоля в турбулентной атмосфере," Метеорология и гидрология 12, 1983, 5-10.

21. Волощук В.М., Кинетическая теория коагуляции, Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

22. Волынский A.A. "Изучение дробления капель в газовом потоке," ДАН СССР 68, No. 2, 1949, 237-240.2о. Галкин В.А., "О существовании и единственности решения уравнения коагуляции," Дифферент ур-ния 13 (1977), 1460 -1470.

23. Галкин В.А., Об устойчивости и стабилизации решений уравнения коагуляции," Дифференц. ур-ния 14 (1978). 1863 1874.

24. Галкин В.А., Дубовский П.В., "О решениях уравнения коагуляции с неограниченными ядрами." Дифференциальные уравнения 22, 504-509 (1986).

25. Галкин В.А. "О решениях уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем," ДАН СССР 285 (1985), 1087 1091.

26. Галкин В.А., "Обобщенные решения пространственно неоднородного уравнения коагуляции," ДАН СССР 293 (1987), 74-77.

27. Галкин В.А., "Об одном свойстве процесса коагуляции атмосферного аэрозоля," Метеорология и гидрология 12, 1983, 11-19.

28. Галкин В.А. "О решении кинетического уравнения коагуляции с ядром Ф = ху," Метеорология и гидрология 5, 1984,33-39.

29. Галкин В.А., "Глобальная разрешимость законов сохранения," Исследование нелинейных моделей математической физики. Обнинский институт атомной энергетики. Обнинск, 1990, с. 3-23.

30. Головин A.M., "О спектре коагулирующих облачных капель. П," Изв. АН СССР, Сер. Геофизич. 9 (1963), 1438-1447.

31. Градштоки И.С., Рыжик И.М., Таблицы, интегралов, сум.м, рядов и произведений, М.: Фиэ-матгиз, 1963.

32. Данфорд Н. Шпарц Дж., Линейные операторы. I. Общая теория, М.: Мир, 1965.

33. Дерягин С.В. Аэрозоли, М.: Знание, 1961.

34. Домиловский K.P., .'ушников A.A., Пискунов В.Н., "Стационарные распределения частиц по размерам в конечных коагулирующих системах с распадами," Прикл. матем. механика 44, No. 4, 1980, 697 701.

35. Дубовский II.В., "Разрешимость уравнения коагуляции с учетом процессов конденсации," Деп. в ВИНИТИ 53 13-В89, 1989, 57с.

36. Дубовский П.Б., "О решениях пространственно неоднородного уравнения коагуляции с учетом дробления частиц," Дифференц. ур-ния 26, No 3, 508-513 (1990).

37. Дубовский II.В., 'Итерационный метод решения уравнения коагуляции с пространственно неоднородными полями скоростей," Журнал вычислит, матем. и матем. физики 30 (1990), 1755 1757.

38. Дубовский П.В., "Об обобщенных решениях уравнения коагуляции," Функциональный анализ и его приложения 25(2) (1991), 62-64.

39. Дубовский Ü.B., Галкин В.А., Стюарт И.В., "Точные решения уравнения коагуляции-дробления," Л. Phys. А: Mat.li. Сен. 25 (1992), 4737-4744.

40. Дубовский П.В., Стюарт И.В., "О порядке сингулярности решений стационарного уравнения коагуляции," Appl. Math. Lett. 8, No. 5, 17-20 (1995).

41. Дубовский П.В., Стюарт И.В., "Комментарий о сингулярных решениях стационарного уравнения коагуляции," .1. Phys. А: Mat.li. Gen. 28, 3563-3564 (1995).

42. Дубовский П.В., "Сходимость решения уравнения коагуляции с источником к равновесному состоянию," Дифференц. ур-ния 31, No 4, 684-689 (1995).

43. Дубовский П.В., Чел Д., "Взаимосвязь между скалярными законами сохранения и бесконечными линейными системами уравнений в частных производных," Appl. Math. Lett. 8, No 5, 21-25 (1995).

44. Дубовский П.В., Чеэ Д., "Существование и единственность для пространственно неоднородного уравнения коагуляции с источниками и стоками", Z. angew Math. Phys. (ZAMP) 46, 580-594 (1995).

45. Зигмонди Р., "Коагуляция и притяжение частиц," Коагуляция коллоидов, М.: ОНТИ, 1936, 40 60 (Zsigmondy R., Zeit,sehr, für physik. Chemie 92, 1918, 600-620).

46. Зонтаг Г., Штренге К., "Коагуляция и устойчивость дисперсных систем," М.: Химия, 1973.

47. Калажоков Х.Х., Ашабоков В.А., "Об одном методе аналитического решения задачи Коши для некоторого класса уравнений коагуляции," Труды Высокогорного геофиз. ин-та. 39, 1978, 91-97.

48. Колмогоров А.Н., "О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении," ДАН СССР 31, No. 2, 1941, 99-101.

49. Крянев A.B., Шихов С.Б., Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ, М.: Энергоатомиздат, 1983.

50. Кучанов С.И., "Общие принципы количественной теории гомогенной необратимой сополиме-ризации," ДАН СССР 229, 1976, No. 1, 135-138.

51. Кучанов С.И., Методы кинетических расчетов в химии полимеров, М.: Химия, 1978.

52. Кучанов С.И., "Об "эффекте замещения" в теории поликонденсационных процессов," ДАН СССР 249, 1979, No. 4, 899-903.

53. Латышев A.B., Юшканов A.A., "Аналитическое решение задачи о поведении плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле," Теоретическая и математическаяфизика, 103, No. 2, 1995, 299-311.

54. Левин Л.М., "О функции распределения облачных и дождевых капель по размерам," ДАН СССР 94, No. 6, 1954, 1045-1048.

55. Левин Л. М., Седунов Ю.С., "Кинетическое уравнение, описывающее микрофизические процессы в облаках," ДАН СССР 170 (1966), 4-7.

56. Левич В.Г., "Теория коагуляции коллоидов в турбулентном потоке жидкости," ДАН СССР 99, No. 5,1954,809-812.

57. Левич В.Г., "Теория коагуляции и осаждения частиц аэрозоля в турбулентном потоке газа. О коэффициенте улавливания частиц аэрозоля," ДАН СССР 99, No. 6 (1954), 1041-1044.

58. Лушников A.A., Смирнов В.И., "Стационарная коагуляция и распределения частиц атмосферных аэрозолей по размерам," Изв. АН СССР, сер. ФАО 11, No. 2, 1975.

59. Лушников A.A., Пискунов В.П., "Сингулярные асимптотические распределения в коагулирующих системах," ДАН СССР, 231, No. 5, 1976, 1166-1169.

60. Лушников A.A., Пискунов В.Н., "Коагуляция в присутствии внешних источников," ДАН СССР, 231, No. 6, 1976, 1403-1406.

61. Лушников A.A., "Некоторые точно решаемые модели стохастической теории коагуляции," ДАН СССР 237, No. 5 (1977), 1122-1125.

62. Лушников A.A., "Некоторые новые аспекты теории коагуляции," ФАО 14, No. 10 (1978), 1046-1054.

63. Мартынов Г.А., Муллер В.М., "О роли распадов в механизме агрегативной устойчивости коллоидных систем," ДАН СССР 207, No. 2 (1972), 370-373.

64. Мартынов Г.А., Муллер В.М., "Уравнения кинетики коагуляции с учетом распада образующихся агрегатов," ДАН СССР 207, No. 5 (1972), 1161-1164.

65. Мартынов P.A., Муллер В.М., "К теории устойчивости лиофобных коллоидов," Поверхностные силы в тонких пленках и дисперсных системах. М.: Наука, 1972, 7-34.

66. Марчук Г.И., '( 'опрнжепные уравнения и чувствительность функционалов," Исследование

67. Земли из космоса 4, 1997, 100 -!25.97j Марчук Г.И., Алоян А.Е., Математическое .моделирование переноса аэрозолей в атмосфере с учетом коагуляции. Препринт No. 324 ОВМ АН СССР, Москва, 1989, 29с.

68. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев 13.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в ш. линейных задачах математичес кой физики. М.: Наука, 1993.

69. Марчук Г.И., Орлов 13.В., "К теории сопряженных функций," Нейтронная физика. М.: Гос-атомиздат, 1961,30-45.

70. Матвеев Л .Т. Динамика облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

71. Морку.чович 13.М., Степанов A.C., "О возможности описания коагулирующей системы с помощью среднего чисоа частиц," Известия АН СССР, сер, ФАО 22, No. 3, 1986, 258-264.

72. Нааарин M.M., Мануйлов M.В., Балака .H.A., "К вопросу математического моделирования процесса коагуляции," Деп. в ВИНИТИ No. 454-82, Харьков, Харьковский политехнич. ин-т. 1982.

73. Назарян М.М., Мануйлов М.Б., Балака Л.А., "Применение метода моментов к решению уравнения Смолуховского," Деп. в ВИНИТИ No. 455-82, Харьков, Харьковский политехнич. ин-т, 1982.

74. ПО-)! Овероек Дж., 'Кинетика коагуляции," Наука о коллоидах, Кроит Г.!1. (ред.), М.: ИЛ, 1955, 390 421.

75. Панченков Г.М., Цабек .il.К., Поведение эмульсий во внешнем электрическом поле, М.: Химия, 1969.

76. Пискунов В.И., "Стационарные спектры частиц в дисперсных системах с коагуляцией и распадом," При к л. м «тем. мех. 49, No. (J (1985), 1035- 1039.

77. Попел ь Л.С!., Реригер С.А., Шадрина II.X., "Об уравнениях кинетики агрегационных процессов в суспензиях," Ирикл. матем. мех. 39, No. 1, 1975, 130-143.

78. Пшенай-С'еверин C.B., "Распределение частиц дисперсной системы по размерам в процессе коагуляции." ДАН СССР 94, No. 5 (1954), 865-868.10! Сафронов B.C., "Мастный случай решения уравнения коагуляции," ДАН ('ССР 147, No. 1 (1962), 64-67.

79. Сафронов B.C., Эволюция допланетарного облака и образование Земли и планет, М.: Наука, 1969, 244с.

80. Смирнов В.И. ''Микроструктура облаков и осадков," Итоги науки и техники. Метеорология и климатология 15. М.: Изд. ВИНИТИ 1987, 3-193.

81. Смирнов В.И. "Решения семейства уравнений стационарной коагуляции и модель спектра размеров частиц атмосферного аэрозоля," Изв. АН СССР, сер. ФАО 13, No. 3, 1977, 274-286.

82. Z Phys. ( 'hem, 92 (1917), 129 168).

83. Рогинского). М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949, 137-173.119. 'I руби и ков Б.Л., "Решение уравнения коагуляции при билинейном коэффициенте слипания частиц," ДЛИ СССР 196, No. 6, 197], 1316-1319.

84. Трубников Б.А., "Гидродинамическая модель слипающихся метеоров," ДАН СССР 197, No.1, 1971, 59- 61.

85. Туницкий Н., "О коагуляции полидисперсных систем," ЖЭТФ, 8, No. 4, 1938, 418-424.

86. Тупчпев В.А. "Об асимптотических свойствах решения уравнения коагуляции," Труды ИЭМ 23, 1971, 17 27.

87. Фихтеигольц Г.М. Дифференциальное; и интегральное исчисление. Т. 2, М.: Наука, 1966.

88. Френкель Я.И., Кинетическая теория жидкостей, 1945, часть 7.12ч. Френкель Я.И., Шишкин U.C. "Роль коагуляции водных капель в возникновении грозовых разрядов," Изв. АН СССР, сер. гоогр. и геофиз. 10, No. 4, 1946.

89. Фукс Н А., Механика аэрозолей, М.: Изд-во АН СССР, 1955

90. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Мир, 1970.

91. Чандраеекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии, М.: ИЛ, 1947 (Chanel rasekhar S., Stochastic problems in physics and astronomy," Reviews of Modern Physics 15, No. 1,1943,1-89).

92. Эдварде P.E., "Функциональный анализ", M.: Мир, 1968.

93. Эрнст M., "Кинетика образования кластеров при необратимой агрегации," Фракталы в физике. M.: ilhp. 1988, 399- 429.

94. Abraham F.F., "Miill.islate kinet ics in nonst.cady-state nucleat.ion: a numerical soluition," J. Chem. Phys 51, No. 4, 1969, 1632-1638.

95. Aloyan A.E., Egorov V.D., Marchuk G.I., and Piskunov V.N., "Aerosol formation mathematical modelling wit,h consideration for condensation kinetics," Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling 7, No. 6. 1992,457-471.

96. Aloyan A.E., Lushnikov A.A., Makarcnko S.V., Marcbuk G.I., and Zagainov V.A., "Mathematical modelling of the atmospheric aerosol transfer with coagulation taken into account," Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling 8, No. 1, 1993, 17-30.

97. Apsitis L.V., Yeiimov V.A., Arinstein A.E., "Application of ferromagnetic fluids in dispersion media diagnostics," J. of Magnetism and Magnetic Materials 85 (1990), 264-268.

98. Arcipiani B., "The hackward Kolmogorov equation for the statistical distribution of coagulating droplets," .1. Phys. A: Math. Gen. 13 (1980), 3367-3372.

99. Bak 'I .A. and Binglin L., "Polymerization reactions in closed and open systems," Lectures in Applied Mathematics 24, 1986, 63-79.

100. Ball J.M. and Carr .]., "Asymptotic behaviour of solutions to the Becker-Döring equations for arbitrary initial data," Proc. Royal Soc. Edin. Sect.A 108 (1988), 109-116.

101. HO. Ball .i.M. and ('hit J., "The discrete coagulation-fragmentation equations: existence, uniqueness, and density conservation," .1. Stat. Phys. 61 (1990), 203-234.

102. Ball J.M., Carr •)., and Penrose O., "The Becker-Döring cluster equations: basic properties and asymptotic behaviour of solutions ," Commun.Math.Phys. 104 (1986), 657-692.

103. Bardos C., Golse F., and Levermore D., "Fluid dynamic limits of kinetic equations. I. Formal derivations," J. Stat. Phys. 63, No. 1/2, 323-344 (1991).

104. Barrow .I.D., "Coagulation with fragmentation," J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 729-733.

105. Bartlett J.T., "The growth of cloud dropl ets by coalescence," Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 921966), 93 104.

106. Bartlett J.T., "The growth of cloud droplets by coalescence," Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 931967), 269 270.

107. Bayewitz M.H., Yerushalmi J., Katz S., Sliinnar R., "The extent of correlations in a stochastic coalescence process," J. Atm. Sei. 31 (1974), 1604-1614.

108. Benilcui P., Wrzosek D., "On an infinite system of reaction-diffusion equations," Advances in Mathematical Sciences and Applications 7. No. 1, 1997, 351-366.

109. Berry E.X., "Cloud droplet growth by collection," J. Atm. Sei. 24, 1967, 688-701.

110. Hl eck R. J. Geophys. Res. 75, 1970, 5165.

111. Bogdan T.J., Lerche 1., "Classes of exact, solutions to generalizations of the coagulation equation," I'hysica D 25, No. 1-3, 1987, 382 386.

112. J. Carr, "Asymptotic behaviour of solutions to the coagulation-fragmentation equations. I. The strong fragmentation case," Proc. Royal Soc. Edin. Sect.A 121 (1992), 231-244.

113. Carr J., da Costa F.P., "Asymptotic behavior of solutions to the coagulation-fragmentation equations. II. Weak formulation," J. St.at. Phys. 77, No. 1/2, 1994, 89-123.

114. Charlesby A., "Molecular-weight, changes in the degradation of long-chain polymers," Proc. Roy. Soc., Ser. A: Math. Phys. Sci. 224, No. 1156, 1954, 120-128.

115. Cohen R.J., Benedek C.B., "Equilibrium and kinetic theory of polymerization and the sol-gel transition," J. Phys. Chem. 86, No. 19, 1982, 3696-3714.

116. Cohen R.J., Schulthess G.K., and Benedek G.B., "Equilibrium and kinetic analysis of the condensation of multifunctional units in the limit of high functionality," Ferroelectrics 30 (1980), 185-186.

117. C'onvay E., "The Formation and Decay of Shocks for a Conservation Laws in Several Dimensions," Arch. Rat. Mech. Anal. 64, 1977, 135-151.

118. Courtney W.G., "Non-steady-st.ate nucleation," J. Chem. Phys. 36, No. 8, 1962, 2009-2017.

119. Courtney W.G., "Kinetics of condensation of water vapor," J. Chem. Phys. 36, No. 8, 1962, 20182025.

120. Dobiâs B. (ed.), Coagulation and flocculation, Marcel Dekker, Inc., N.Y. 1993.

121. Dohnanyi J.S., "Collisional model of meteroids," TR-67-340-3 (1967).

122. Donoghue E., "Analytic solutions of gelation theory for finite, closed systems," J. Chem. Phys. 77, No. 7 (1982), 4236-4246.

123. Drake R.L., "A general mathematical survey of the coagulation equation," Topics in current aerosol research, International Reviews in Aerosol Physics and Chemistry, G. M . Hidy, J. R. Brock (eds.), V.3, Pt.2, Pergamon Press, Oxford, 1972, pp.201-376.

124. Drake R.L., "The scalar transport, equation of coalescence theory: moments and kernels," J. of the Atmospheric Sciences 29, No. 3, 1972, 537-547.

125. Drake R.L. and Wright, T.I., "The scalar transport equation of coalescence theory: new families of exact solutions," J. of the Atmospheric Sciences 29, No. 3, 1972, 548-556.

126. Drake R., "Similarity solutions for homogeneous and nonhomogeneous aerosol balance equations," J. of Colloid and Interface Sci. 57, No. 3, 1976, 411-423.

127. Ernst M.H., Hellesoe K., and Hauge E.H., "Nonunique solutions of kinetic equations," J. Stat. Phys. 27, No. 4 (1982), 677 691.

128. Ernst M.H., Hendriks E.M., and Ziff R.M., "Critical kinetics near the gelation transition," J. Phys. A.: Math. Gen. 15 (1982), L743-L747.

129. Ernst M.H., Ziff R.M., and Hendriks E.M., "Coagulation processes with a phase transition," J. Coll. Interf. Sci., 97 (1984), 266-277.

130. Field B. and Saslaw W., Astrophys. J. 142, 1965, 568.

131. Flory P.J., Principles of polymer chemistry, Cornell Univ., Ithaca, 1953.

132. Folland G.B., Introduction to Partial Differential Equations, Princeton Univ. Press, 1976.

133. Friedhr.der S.K., "On the particle size spectrum in a condensing vapour," Phys. Fluid 3 (I960), 693 696.

134. Friedlander S.K., "Similarity considerations for the particle size spectrum of a coagulating, sedi-menting aerosol," J. Meteorol. 17, No. 5 (1960), 479-483.

135. Friedlander S.K., ' Theoretical considerations for the particle size spectrum of the stratospheric aerosol," J. Meteorol. 18, No. 6 (1961), 753-759.

136. Friedlander S.K., Smoke, dust and haze. Fundamentals of aerosol behavior. NY: Wiley, 1977.

137. Friedlander S.K., Wang C.S., J. Colloid Sci. 22, 1966, 126.

138. Friedman A., Reitich F., "Asymptotic behavior of solutions of coagulation-fragmentation models," Indiana Univ. Math. J. 47, No. 2, 1998, 563 591.

139. Friedman A., Mathematics in industrial problems. Part 5. NY: Springer-Verlag, 1992.

140. Gajewski II., "On a first order partial differential equation with nonlocal nonlinearity," Mathematische Nachrichten 111 (1983), 289-300.

141. Gajewski H. and Zaharias K., "On a initial value problem for a coagulation equation with growth term," Math. Nahr. 109 (1982), 135-156.

142. P. Hartman and A. Winter, "On Hyperbolic Differential Equations," Amer. J. Math. 74, 1952, 834-864.

143. Hendriks E.M., "Exact solution of a coagulation equation with removal term," J. Phys. A: Math. Gen. 17, No. 11 (1984), 2299-2303.

144. Hendriks E.M. and Ernst M.H., "Transition kernels for the nonlinear Boltzmann equation," Physica 112A (1982), 119-145.

145. Hendriks E.M., Ernst M.H., and Ziff R.M., "Coagulation equations with gelation," J. Stat. Phys. 31, No. 3, 1983, 519-563.

146. Hendriks E.M. and Ernst M.H., "Exactly soluble addit, ion and condensation models in coagulation kinetics," J. Colloid Iterface Sci. 97, No. 1, 1984, 176-194.

147. Hendriks E.M., Sponge J.L., Eibl M., and Schreckenberg M., "Exact solutions for random coagulation processes," Z. Phys. B. Condensed Matter 58, 219-227 (1985)

148. Hilgers J.W. and Spahn R.J., "A perturbation method for solving a quadratic evolution equation," Quart. Appl. Math. 41, No. 3, 198.3, 343-351.

149. Hilgers J.W. and Spahn R.J., "A variation of the coagulation equation with applications in materialsciences," Math. Modelling 6, No. 5, 1985, 463-471.

150. Hidy J.M., Brock J.R., The dynamics of aerocolloidal systems, Pergamon Press, NY 1970.

151. Klett J.D., "A class of solutions to the steady-state, source-enhanced, kinetic coagulation equation," J. Atm. Sci. 32, No. 2, 1975.

152. Kovetz A., Olund B., "The effect of a coalescence and condensation on rain formation in a cloud of finite verbal extent," J. Atm. Sci. 26, No. 5, part 2, 1970, 1060-1065.

153. Kreer M., Penrose O., "Proof of dynamical scaling in Smoluchowski's coagulation equation with constant kernel," J. Stat. Phys. 75, Nos. 3/4 (1994), 389-407.

154. Kuttler K.I , Hilgers J.W., and Courtney T.H., "The solution of an evolution equation describing certain typos of mechanical and chemical interaction," Applicable Analysis 19, No. 2+3, 1985, 75-88.

155. R. Lang and N.X.Xanh, "Smoluchowski's theory of coagulation in colloids holds rigorously in the Boltzmann-Grad-Limit," Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 54, No. 3, 1980, 227-280.

156. Laurencot Ph., Wrzosek D., "Fragmentation-diffusion model. Existence of solutions and their asymptotic behaviour," Proc. Royal Soc., Edinburgh 128A, 1998, 759-774.

157. Laurencot Ph., Wrzosek D., "The Becker-Döring model with diffusion. I. Basic properties of solutions," Colloquium Mathematicum 75, No. 2, 1998, 245-269.

158. Laurencot Ph., Wrzosek D., "The Becker-Döring model with diffusion. II. Long time behavior," J. Differ. Eqs 148, 1998, 268-291.

159. Lai F.S., Friedlander S.K., Pich J., and Hidy J.M., J. Colloid Sei 39, 1972, 395.

160. Leyvraz F., " Existence and properties of post-gel solutions for the kinetic equations of coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 16 (1983), 2861-2873.

161. Leyvraz F., "New exactly solvable models of Smoluchowski's equations of coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 18 (1985), 321-326.

162. Leyvraz F. and Tschudi H.R., "Singularities in the kinetics of coagulation processes," J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 3389-3405.

163. Leyvraz F. and Tschudi H.R., "Critical kinetics near gelation," J. Phys. A: Math. Gen. 15 (1982), 1951-1964.

164. Low T.B., List R. "Collision, coalescencwe and breakup of rain-drops. Part I: Experimentally established coalescence efficiencies and fragment size disrtibutions in breakup," J. Atm. Sei. 39, No. 7 (1982), 1591-1606.

165. Lushnikov A.A., "Evolution of coagulating systems," J. Colloid Interface Sei. 45, No. 3 (1973),549.556.

166. Lushnikov A.A., J. Colloid Interface Sei. 65 (1978), 276.

167. Lushnikov A.A., Lyubovtseva Yu.S., "Atmospheric aerosols the subject of physico-chemicalstudy," Atmospheric Aerosols and Nucleation, Springer-Verlag, 1988, 138-157.

168. Majda A., Compressible Fluid Flow and Systems of Conservation Laws in Several Space Variables, Springer-Verlag, 1984.

169. McGrady E.D., Ziff R.M., "Shattering transition in fragmentation," Phys. Rev. Letters 58, No. 9, 1987, 892-895.

170. McLaughlin D.J., Lamb W., McBride A.C., "A semigroup approach to fragmentation models," SIAM J. Math. Anal. 28, No. 5, 1997, 1158-1172.

171. McLaughlin,' D. J.; Lamb, W.; McBride, A. C., "Existence results for non-autonomous multiple-fragmentation models," Math. Meth. Appl. Sei. 20, No.15, 1997, 1313-1323.

172. McLaughlin D.J., Lamb W., McBride A.C., "An existence and uniqueness result for a coagulation and multiple-fragmentation equation," SIAM J. Math. Anal. 28, No. 5, 1997, 1173-1190.

173. McL aughlin, D. J.; Lamb, W.; McBride, A. C., "Existence and uniqueness results for the non-autonomous coagulation and multiple-fragmentation equation," Math. Methods Appl. Sei. 21,1. No.11, 1067-1084 (1998).

174. McLeod J.B., "On an infinite set of non-linear differential equations," Quart. J. Math. Oxford (2) 13 (1962), 119-128.

175. McLeod J.B., "On an infinite set of non-linear differential equations II," Quart. J. Math. Oxford (2) 13 (1962), 193 -205.

176. McLeod J.B., "On a recurrence formula in differential equations," Quart. J. Math. Oxford (2) 13 (1962), 283-284.

177. McLeod J.B., "On the scalar transport equation," Proc. London Math. Soc. (3) 14 (1964), 445-458.

178. Melzak Z.A., "The effect of coalescence in certain collision processes," Quart. Appl. Math. 11, No. 2 (1953), 231-234.

179. Melzak Z.A., "A scalar transport equation," Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957), 547-560.

180. Melzak Z.A., "The positivity sets of the solutions of a transport equation," Mich. Math. J. 6 (1959), 331-334.

181. Melzak Z.A., "Multiple scalar transport," Can ad. Math. Bull. 16, No. 2, 1973, 257-268.

182. Merkulovich V.M., Stepanov A.S., "On the role of aerosol particles spatial fluctuations under coagulation growth," Atmospheric Aerosols and Nucleation, Wagner P.E., Vali G., editors, SpringerVerlag, 1988, 100-103.

183. Mirold P., Binder K., "Theory for the initial stages of grain growth and unmixing kinetics of binary alloys," Acta Metallurgica 25, 1977, 1435-1444.

184. Morgenstern Ü., "Analytical Studies Related to the Maxwell-Boltzmann Equation," Arch. Rat. Mech Anal., 1956.

185. Nanda V.S., Pathria R.K., "Polymers and theory of numbers. I, II, and III," J. Chem. Phys. 30, No. 1, 1959, 27-36.

186. Nelson L.D., "A numerical study on the initiation of warm rain," J. Atm. Sei. 28, No. 5 (1971), 752-762.

187. NorrisJ.R.,"Smoluchowski'sc.oagulationequation-.uniqueness, nonuniquenessandahydrodynamiclimit forthestochastic coalescent," Ann.Appl.Probab.9(1999), No.1,78-109.

188. Oort, J.H. and van de Hülst. H.C., "Gas and smoke in interstellar space," Bull. Astron. Inst. Netherland 10 (1946), 187 -210.

189. Oshanin G.S. and Burlatsky S.F., "Fluctuation-induced kinetics of reversible coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1989), L973-L976.

190. Pearcey I., Hill G., "A theoretical estimate of the collection efficiencies of small droplets," Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 83, No. 77, 1957.

191. Penston M.V., Munday V.A., Strickland C.J., and Pension M.J., "Interstellar clouds," Monthly Notes Royal Astron. Soc. 142, No. 3, 1969, 355-386.

192. Penrose O., Buhagiar A., "Kinetics of nucleation in a lattice gas model: microscopic theory and simulation compared," J. Stat. Phys. 30, No. 1, 1983, 219-241.

193. Penrose O., "Metastable states for the Becker-Döring cluster equations," Comrnun. Math. Phys. 121 (1989), 527-540.

194. Penrose O. and Lebowitz J.L., "Towards a rigorous molecular theory of metastability," Studies in statistical mechanics VII, Fluctuation phenomena, ed. Montroll E. and Lebowitz J.B., North-Holland, Amsterdam, 1976.

195. Piotrowsky S., "The collissions of asteroids," Acta Astron., Ser. A 5 (1953), 115-124.

196. Quon J.E., Mockros L.F., "The equilibrium size distribution of an aerosol continuously reinforced with particles," Int. J. Air Water Pollution 9, No. 5, 1965.

197. Ramabhadran T.W., Poeterson T.W., and Seinfeld J.H., AI Chem. Eng. J. 22, 1976, 840.

198. R ossow W.B., Gierasch P.J., "The clouds of Venus: I. An approximate technique for treating the effects of coagulation, sedimentation and turbulent, mixing on an aerosol," J. Atm. Sei. 34, 1977, 405-416.

199. Rossow W.B., "The clouds of Venus: II. An investigation of the influence of coagulation on the observed droplet size distribution," J. Atm. Sei., 34, 1977, 416.

200. Schumann T.E.W., "Theoretical aspects of the size distribution of fog particles," Quart. J. Roy.

201. Meteor. Soc. 66, No. 285, 1940, 195-207.

202. Scott W.T. "Analytical studies of cloud droplet coalescence, I," J. Atm. Sei. 25, 1968, 54-65.

203. Scott W.T., "On the connection between the Telford and kinetic equation approaches to droplet coalescence theory," J. Atm. Sei. 25, 1968, 871-873.

204. Shafrir U., "Collision efficiencies of two spheres falling in a viscous medium," J. Geophys. Res. 68, No. 13, 1963, 4141-4147.

205. Silk J. and White S.D., "The development of structure in the expanding universe," Astrophys. J. 223, No. 2, part 2, 1978, L59-L62.

206. Silk J., Star formation, Sauverny, Geneva Observatory, 1980, 131-222.

207. Simons S., Simpson I.C., and Williams I.P., Astrophys. Space. Sei. 19, 1978, 399.

208. Simons S., "On the expectation value of particle coagulation times," J. Phys. A: Math. Gen. 23, 1990, L441-L444.

209. Simons S., "Comment, on "Exact solutions for the coagulation-fragmentation equation," J. Phys. A: Math. Gen. 26, 1993, 1259.

210. Simons S., "On steady-state solutions of the coagulation equation," J. Phys. A: Math. Gen. 29, 1996, 1139-1140.

211. M. Slemrod, "Trend to equilibrium in the Becker-Döring cluster equations," Nonlinearity 2, 1989, 429-443.

212. M. Slemrod, "Coagulation-diffusion systems: derivation and existence of solutions for the diffuse interface sta ture equations," Physica D 46, 1990, 351-366.

213. M. Slemrod, "A note on the kinetic equations of coagulation," J. Int. Eqs Appl. 3, 1991, 167-173.

214. Slemrod M., Qi A., Grinfeld M., Stewart I., "A discrete velocity coagulation-fragmentation model," Math. Meth. Appl. Sei. 18, 1995, 959-993.

215. Smoluchowski M., "Drei Vorträge über Diffusion, Brownishe Bewegung und Koagulation von Kolloidteilchen," Physik. Z. 17, 1916, 557-585.

216. Sonntag H., "Coagulation kinetics," Coagulation and flocculation, Dobias B., ed. NY: Marcel Dekker, Inc., 1993, 57-99.

217. Sorensen C.M., Zhang H.X., and Taylor T.W., "Cluster-size evolution in a coagulation-fragmentation system," Phys. Rev. Lett., 59, 1987, 363-366.

218. Spouge J.L., "Solutions and critical times for the polydisperse coagulation equation when a(x, y) = .4 + B{x + y) + Cxyr J. Phys. A: Math. Gen. 16, 1983, 3127-3132.

219. Spouge J.L., "Equilibrium polymer size distributions," Macromolecules 16, 1983, 121-127.

220. Spouge J.L., "The size distribution for the AgRBf-g model of polymerization," J. Stat. Phys. 31, No. 2,1983,363-378.

221. Spoug; J.L., "An existence theorem for the discrete coagulation-fragmentation equations," Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 96, 1984, 351-357.

222. Spouge J.L., "An existence theorem for the discrete coagulation-fragmentation equations. II." Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 98, 1985, 183-185.

223. Spouge J.L., "Analytic solutions to Smoluchowski's coagulation equation: a combinatorial interpretation," J. Phys. A: Math. Gen. 18, 1985, 3063-3069.

224. Stewart I.W., "A global existence theorem for the general coagulation-fragmentation equation with unbounded kernels," Math. Methods Appl. Sei. 11, 1989, 627-648.

225. Stewart I.W., "A uniqueness theorem for the coagulation- fragmentation equation," Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 107, 1990, 573-578.

226. Stewart I.W., "On the coagulation-fragmentation equation", J.Appl. Maths.Phys. (ZAMP) 41, .1990,917-924.

227. Stewart I.W., "Density conservation for a coagulation equation," ZAMP 42, 1991, 746-756.

228. Stewart I.W., Dubovskiï P.B., "Approach to equilibrium for the coagulation-fragmentation equation via a Lyapunov functional," Math. Methods Appl. Sei. 19, No 3, 1996, 171-185.

229. Stockmayer W.U., "Theory of molecular size distribution and gel formation in branched-chain polymers," J. Chem. Phys. 11, No. 2, 1943, 45-55.

230. Suffman P. and Turner J., "On the collision of drops in turbulent clouds," J. Fluid Mech. 1, No. 16, 1956.

231. Swift D.L. and Friedlander S.K., .1. Colloid Sei. bf 19, 1964, 621.

232. Telford J.W., "A new aspect of coalescence theory," J. Meteorol. 12, 1955, 436-448.

233. Twomey S., "Statistical effects on evolution of a distribution of cloud droplets by coalescence," J. Atm. Sei. 21, 1964, 553-557.

234. Vigil R.D. and Ziff R.M., "Comment on "Cluster-size evolution in a coagulation-fragmentation system," Phys. Rev. Let. 61, No. 12, 1431.

235. Wacker J.F., Greenberg R., Hartman W.K., and Chapman C.R., "Planetesimals to planets: a simulation of collisional evolution," Bull. Amer. Astron. Soc. 9, No. 4, Part. I, 1977, 544-545.

236. Warshaw M., "Cloud droplet coalescence, statistical foundations and a one-dimentional sedimentation model," J. Atm. Sci. 24, No. 3, 1967, 278-286.

237. White W.H., "A global existence theorem for Smoluchowski's coagulation equation," Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 273- 276.

238. White W.H., "On the form of steady -state solutions to the coagulation equations," J. Coll. Interf. Sci. 87, No. 1. 1982, 204-208.

239. Williams M.M.R., "The statistical distribution of coagulating droplets," J. Phys. A: Math. Gen. 12, No. 7 (1979), 983-989.

240. Williams M.M.R., "Some exact and approximate solutions of the nonlinear Boltzmann equation with applications to aerosol coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 2037-2089.

241. Wrzosek D., "Existence of solutions for the discrete coagulation-fragmentation model with diffusion," Topological methods in Nonlinear Analysis 9, 1997, 279-296.

242. Zagaynov V.A., Lushnikov A.A., "Modeling of coagulation processes in the atmosphere," Atmospheric Aerosols and Nucleation, Wagner P.E., Vali G., editors, Springer-Verlag, 1988, 93-95.

243. Ziff R.M., "Kinetics of polymerization," J. Stat. Phys. 23, No. 2 (1980), 241-263.

244. Ziff R.M., Ernst M.H., and Hendriks E.M., "Kinetics of gelation and universality," J. Phys. A.: Math. Gen. 16 (1983), 2293-2320.

245. Ziff R.M., Ernst M.H., and Hendriks E.M., "A transformation linking two models of coagulation," •J. Colloid and Interface Sci. 100, No. 1, 1984, 220-223.

246. Ziff R.M., Hendriks E.M., Ernst M.H., "Critical properties for gelation: a kinetic approach," Phys. Rev. Lett. 49, No. 8 (1982), 593-595.

247. Ziff R.M. and McGrady E.D., "The kinetics of cluster fragmentation and depolymerisation", J. Phys. A: Math. Gen., 18 (1985), 3027-3037.

248. Ziff R.M. and Stell G., "Kinetics of polymer gelation," .J. Chem. Phys. 73 (1980), 3492-3499.