Ветвление и асимптотика решений нелинейных уравнений волновых движений жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Макаренко, Николай Иванович

• Макаренко, Николай Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Макаренко, Николай Иванович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Постановка основных краевых задач

1. Уравнения движения (20). 2. Задача Коши-Пуассона (22). 3. Задача Коши на свободной границе (23). 4. Плоские стационарные течения двухслойной жидкости (25). 5. Переменные Мизеса (26). §2. Шкалы банаховых пространств аналитических функций

1. Абстрактная форма теоремы Коши-Ковалевской (28). 2. Равномерно аналитические функции (30). 3. Интегралы Гильберта и Пуассона в шкале В (32). 4. Обобщенные классы Харди (33). 5. Оценки первообразных (37).

3. Ветвление решений инвариантных вариационных уравнений

частичной редукции (53).

Глава 2. Плавный бор в двухслойной жидкости

§4. Законы сохранения и дисперсионные свойства бора

1. Исходные уравнения (58). 2. Условия согласования данных на бесконечности (60). 3. Дисперсионное соотношение (63). 4. Свойства амплитудных кривых (67). 5. Формулировка бифуркационной задачи (72).

§5. Асимптотическое представление решений типа бора

1. Уравнения для коэффициентов ряда возмущений (75). 2. Структура решения (78). 3. Асимметрия бора (80). 4. Условия разрешимости для старших приближений (83).

§6. Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона

в двойной полосе

1. Постановка задачи (86). 2. Представление решения (88). 3. Свойства

дисперсионной функции (90). 4. Свойства функций Грина (92). 5. Оценка

решения (94).

§7. Теорема существования

1. Формулировка результата (99). 2. Оценки нелинейных отображений

(101). 3. Операторное уравнение (104). 4. Оценка оператора Грина (108). 5. Проекции Ляпунова-Шмидта (110). 6. Уравнение разветвления (114). Глава 3. Длинноволновая асимптотика нестационарных поверхностных волн

§7. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона. 118 1. Исходные уравнения (118). 2. Преобразование к уравнениям на границе (119). 3. Уравнения Серра-Су-Гарднера (120). 4. Уравнения Буссинеска (123).

§9. Оценки оператора "нормальная производная"

1. Граничное интегральное уравнение (126). 2. Оценки тригонометрических интегралов (128). 3. Оценки операторов с сингулярными ядрами (130). 4. Оценки операторов с ядрами Пуассона (133). 5. Основная лемма (135).

§10. Асимптотика оператора "нормальная производная"

1. Формулировка результата и схема доказательства (137). 2. Асимптотика операторов А~ и L~ (138). 3. Асимптотика операторов А+ и L+ (139). 4. Тождества для коэффициентов (142). §11. Оценка остатка в длинноволновой асимптотике решения задачи

Коши-Пуассона

1. Существование и оценка точного решения (145). 2. Оценка приближенного решения (146). 3. Оценка погрешности (148). 4. Оценка для системы Буссинеска (150).

Глава 4. Дипольная асимптотика в задаче о генерации нелинейных волн

§11. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии

погруженного цилиндра

1. Постановка задачи (152). 2. Инверсия поля скоростей (153). 3. Ди-польное приближение (155). 4. Редукция к.уравнениям на границе (156). 5. Аппроксимации интегрального уравнения (158).

§13. Предельный переход по радиусу цилиндра

1. Операторы с суперпозициями ядер Пуассона (161). 2. Оценки скорости на границе (164). 3. Существование и оценка решения (165). 4. Оценка остатка (167).

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ветвление и асимптотика решений нелинейных уравнений волновых движений жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуются качественные свойства решений нелинейных дифференциальных уравнений волновой гидродинамики. Здесь рассматриваются два круга математических вопросов, возникающих в теории плоских потенциальных движений жидкости со свободными и контактными границами. Первый из них связан с задачей описания стационарных волновых конфигураций в стратифицированных течениях. В предлагаемой работе методами теории ветвления доказывается существование и исследуется асимптотика точных решений уравнений Эйлера типа плавного бора — гладкой уступообразной волны повышения или понижения уровня поверхности раздела двух жидкостей.

Второй круг постановок относится к проблеме обоснования приближенных моделей неустановившихся поверхностных волн. На основе теорем существования и единственности, доказанных в диссертации, даются асимптотические оценки для разности решений нелинейной задачи Коши-Пуассона и некоторых известных ее аппроксимаций - системы уравнений Буссинеска, уравнений Серра-Су-Гарднера (модель второго приближения теории длинных волн), дипольного приближения в задаче о генерации волн погруженным препятствием.

Основополагающие результаты точной теории стационарных поверхностных волн получены в 20-х - 50-х годах в работах А.И.Некрасова [60], Т.Леви-Чивита [140], Д.Стройка [168], М.А.Лаврентьева [37], К.О.Фридрихса и Д.Г.Хайерса [122]. В [60] и независимо в [140, 168] установлено существование периодических решений двумерной задачи, а в [37] (см. также [38]) и затем в [122] доказано существование

/

уединенных волн. Задача о стационарных волнах при надлежащей переформулировке сводится к отысканию ненулевых решений опера-

торного уравнения вида

и = ХАи + f(u, А).

Тривиальному решению и == 0 соответствует равномерное течение слоя жидкости глубины Н со скоростью U, а бифуркационным параметром является величина X = F2 =. U2/gH - квадрат числа Фру-да. В периодической задаче спектр линейного оператора А дискретен, и ветвление малых решений происходит согласно классической схеме Ляпунова-Шмидта. В апериодическом случае уединенные волны ответвляются от безволнового режима в граничной точке А = 1 непрерывного спектра, причем волна в первом приближении имеет вид солитона Кортевега-де Фриза. Как показано в [105], эта схема укладывается в рамки обобщенной конструкции Ляпунова-Шмидта, согласно которой главный член длинноволновой асимптотики решения принадлежит бесконечномерному ядру вырожденной предельной задачи.

Глобальное поведение ветвей решений изучалось в работах [35, 100, 101, 137, 175] с привлечением топологических теорем о неподвижных точках положительных операторов [34, 117, 176]. Логический итог данных исследований - доказательство справедливости известной гипотезы Стокса о существовании заостренной предельной волны [75, 102] с углом 120° на ее гребне. Структура множества решений вблизи экстремальных значений параметров и связанные с этим вопросы единственности исследовались в работах [3, 4, 76, 125]. В [76] доказана неединственность уединенных волн, причина которой в немонотонной зависимости амплитуды волны от числа Фруда. Приближенному аналитическому представлению периодических и уединенных волн конечной амплитуды в виде рядов теории возмущений посвящены работы [32, 71, 154, 155, 142, 182, 180].

В настоящее время теорема существования точного решения имеется также для ряда постановок задачи о стационарных волновых следах за локализованными препятствиями. Это задача о возникновении периодической волны Некрасова в д'окритическом течении при обтекании неровности дна [55] или заглубленного точечного вихря [49, 50], а также при локализованном воздействии атмосферного давления на свободную поверхность [106]. К этой же тематике близка работа [57], в которой рассматривалась задача о волнообразовании за точкой контакта свободной и заданной границ при истечении жидкости из-под жесткой стенки.

Пространственная задача о стационарных волнах принципиально отличается от двумерной. Так, в периодическом случае вместо дискретного имеется непрерывный спектр, причем бифуркации происходят в его внутренних точках. Существование точных решений типа двоякопериодических волн доказано в [74] для точек спектра, удовлетворяющих условиям отсутствия малых знаменателей. В трехмерной задаче естественным регуляризатором является капиллярное давление на свободной границе. При ненулевом коэффициенте поверхностного натяжения спектр дискретен, но размерность ядра сильно зависит от внешних параметров — в специальных случаях оно может быть шестнадцатимерным. Возникающие в этой ситуации пространственные периодические волновые структуры изучались в [40] с привлечением методов теоретико-групповой редукции уравнений разветвления, а также в [161].

В двумерной задаче существование капиллярных периодических волн доказано в [79] и [185]. Относительно недавно было обнаружено, что учет поверхностного натяжения в непериодическом случае приводит к резонансным явлениям, порождающим сложные волновые конфигу-

рации. Так, благодаря наложению мод длинных и коротких волн для капиллярных чисел Бонда, близких к 1/3, существуют решения типа уединенных волн с осциллирующими хвостами мелкой ряби на бесконечности [106, 170] и условно-периодические решения [11, 12, 13]. Резонанс групповой и фазовой скоростей в этой же волновой системе влечет существование точных решений в виде стационарных солито-нов огибающей [130]. В работах последних лет по капиллярным волнам (за исключением [106], где использовался модифицированный подход Ляпунова-Шмидта) широкое применение получил предложенный в статье [138] метод редукции эллиптических краевых задач в полосе на конечномерное центральное многообразие. В качестве уравнений разветвления при таком подходе выступает динамическая система обыкновенных дифференциальных уравнений с неявными функциями в правых частях; роль времени в ней играет продольная пространственная переменная х. Качественное описание волновых структур, близких к положению равновесия, получается путем разрешения особых точек системы на центральном многообразии. Развитию и обобщению данного подхода применительно к задачам теории волн посвящены работы [27, 112, ИЗ, 128, 145, 146].

С точки зрения приложений большой интерес представляют волновые движения жидкости, неоднородной по плотности. Существование периодических волн на поверхности раздела двух жидкостей с разными плотностями доказано Н.Е.Кочиным [33]. Периодические внутренние волны в непрерывно стратифицированной жидкости изучались М.Дюбрей-Жакотэн [119], уединенные волны - А.М.Тер-Кри-коровым [173]. Локальная теорема существования уединенных волн в двухслойной жидкости получена в [93, 111], а ветви немалых решений исследовались топологическими методами в [103] и вариационными в

[110]. Результаты теории поверхностных волн являются здесь хорошим ориентиром, однако стационарные волны в стратифицированной жидкости имеют ряд особенностей, отличающих их от однотипных поверхностных волн. Так, уединенные внутренние волны могут иметь форму не только возвышения, но и впадины, что невозможно для однородной жидкости. Это свойство, впервые обнаруженное в [141, 156] в приближении длинных волн, справедливо и для точных решений уравнений Эйлера.

Предельное поведение внутренних волн также имеет свою специфику. Как показано в [103], для ветви уединенных волн в двухслойной жидкости существуют предельные точки в пространстве параметров, при приближении к которым для решения возможна альтернатива: либо неограниченно возрастает масса жидкости между волновым профилем и равновесным уровнем границы раздела, либо на профиле появляется точка с вертикальной касательной. Численные эксперименты указывают на то, что, по-видимому, реализуются обе эти возможности. В частности, в расчетах [157] обнаруживались грибообразные профили волн, однако вопрос о существовании соответствующих точных решений пока открыт. Неограниченное увеличение массы жидкости численно отслеживалось [177] в солитонах с уплощенной вершиной, по форме напоминающих плато с очень широкой подошвой волны. Фронт такой волны локализован. в узкой области и в пределе вырождается в плавный бор - волновой режим, которому нет прямого аналога в однородном случае.

Бор в стратифицированной жидкости приближенно описывается стационарным решением в виде гиперболического тангенса для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с кубической нелинейностью [123, 131, 148]. Для уединенных волн аналогичные асимптоти-

ки изучались в [85, 149, 156]. В указанных работах рассматривались стратифицированные течения, близкие к постоянному. Для движений с поверхностями скачка плотности, моделирующими узкий пикноклин, помимо обычного волнообразного искривления границы контакта однородных слоев характерно их скольжение друг относительно друга. Л.В.Овсянниковым в [70, 72] предложена модель второго приближения теории длинных волн в двухслойной жидкости, свободная от условий малости скачка касательной скорости на границе раздела. Согласно этой модели бор возможен без каких-либо существенных ограничений на толщины слоев и плотности жидкости. Такое течение с профилем волны, неподвижным в лабораторной системе отсчета, удалось реализовать в эксперименте [16] для двухжидкостной системы с проточными слоями обеих жидкостей. Приближенные решения типа бора в многослойной жидкости получались А.Ю.Якимовым и Ю.Л.Якимовым [97].

Существование стационарных решений уравнений Эйлера в виде плавного бора доказано Ч.Эмиком, Р.Тернером [104], автором [144] и А.Мильке [147]. В [104] с помощью техники редукции на центральное многообразие исследована задача о волновых режимах, слабо возмущающих равномерное бессдвиговое течение двухслойной жидкости. В случае общего положения реализуются периодические и уединенные волны, а при специальном соотношении между плотностями и глубинами на центральном многообразии имеется гетероклиническая траектория, соединяющая две особые точки - это и есть бор. Построение точной теории плавного внутреннего бора в двухслойной жидкости с конечным сдвигом скорости между слоями является одной из основных целей данной диссертации. Изложение базируется на работах автора [144, 45]. А.Мильке [147] также рассматривал задачу со скольжением слоев; им же строго обоснована возможность предельного вырожде-

ния уединенных волн типа плато в бор. Для параболических уравнений реакции-диффузии ветвление решений типа перехода изучалось В.А.Треногиным [87].

Вторую половину диссертации - главы 3 и 4 - занимает анализ асимптотических свойств решений уравнений нестационарной волновой гидродинамики. Важная роль методов возмущений, которую они играют в теории волн, объясняется трудностями анализа ее нелинейных начально-краевых задач с граничными условиями на искомых свободных поверхностях и границах раздела. Большинство известных [82, 84] приближенных моделей базируется на уравнениях, возникающих в результате разложения по подходящему малому параметру. Так, уравнения линейной теории получаются в качестве первого приближения по амплитудному параметру. Уже упоминавшаяся выше нелинейная теория длинных волн (или теория мелкой воды) описывает движения жидкости, средняя глубина которой мала по сравнению с характерной длиной волны. Наряду с этими двумя доминирующими приближенными теориями существует ряд моделей, использующих малость других характерных параметров. Сюда относятся вариационный метод усреднения Уизема [89], коротковолновые асимптотики и основанная на них лучевая теория волн [21], теория нелинейной модуляции волновых пакетов [24, 96] и связанные с ней модели резонансного взаимодействия волн [90].

Проблема строгого обоснования приближенных моделей волн на воде в четкой форме впервые обозначена в монографии Дж.Дж.Стокера [84], который подчеркивал актуальность ее решения для уравнений теории мелкой воды. Под обоснованием понимается доказательство теоремы существования и единственности решения в подходящем классе функций при всех значениях участвующего в моделировании параме-

тра (включая и предельное) и получение оценки близости для разности точного и приближенного решений. В математической литературе по теории волн эти вопросы стали рассматриваться с начала 70-х годов. Методической основой для их решения служат результаты о корректности задачи Коши-Пуассона. Модельные постановки, прояснившие нелокальный характер этой задачи, рассматривались в [64], а однозначная разрешимость в точной нелинейной постановке в аналитических классах и в классах Жеврея установлена в работах [52, 53].

В связи с рассматриваемой проблематикой Л.В.Овсянниковым [63, 65] была разработана специальная техника шкал банаховых пространств, обобщающая классический метод мажорант и представляющая собой абстрактную форму теоремы Коши-Ковалевской (теорема Овсянникова). На этой основе в [67, 68, 42, 43] дано обоснование теории мелкой воды в классе периодических и убывающих на бесконечности аналитических функций. Близкие результаты были получены также японскими математиками Т.Кано и Т.Нисидой [132, 133, 134, 153], применявшими другой вариант абстрактной теоремы Коши-Ковалевской — теорему Овсянникова-Трева-Ниренберга-Нисиды [63, 151, 152, 178] (см. также [62]).

Для корректности постановки задачи Коши-Пуассона в классах функций конечной гладкости при ее трактовке как нелинейной псевдодифференциальной задачи Коши на многообразии существенным оказывается тип системы уравнений. Задача корректна [54, 59] в пространствах Соболева W*, если начальный градиент давления всюду на свободной границе направлен внутрь жидкости, и некорректна [73] в противном случае. Обоснование линейной теории и теории мелкой воды в классах конечной гладкости выполнено В.И.Налимовым в [72].

Формальная схема асимптотического перехода от системы к одному

скалярному уравнению (Кортевега - де Фриза, Буссинеска, Бюргерса и т.п.) описана в [172] для широкого класса нелинейных эволюционных систем с дисперсией и диссипацией. Строгое обоснование такого перехода получено в работах Л.А.Калякина [28]-[31]. Для задачи о волнах на воде вывод уравнений КдФ и Буссинеска обоснован У.Крэйгом [114], а также Т.Кано и Т.Нисидой [136]. Они же обосновали предельный переход и к уравнению Кадомцева - Петвиашвили - трехмерному аналогу уравнения Кортевега - де Фриза. В работе У.Крэйга с соавторами [116] изучалась также возможность асимптотического перехода к нелинейному уравнению Шредингера (уравнение для огибающих в теории модуляции нестационарных волн на воде).

В диссертации исследуется предельный переход к нелинейной дисперсионной модели второго приближения теории длинных волн — системе Серра-Су-Гарднера [166, 169]

Л* + (иК)х = О,

щ + иих + 1гх = ¿те2 {Ь?[их1 + иихх - и2х)}х . и ее слабонелинейной подмодели — системе уравнений Буссинеска

Тц + {иЬ)х = О, | щ + иих + кх- \е2иххг — 0.

Эти системы описывают свободные поверхностные волны. Хорошо известным приближением в теории вынужденных волн является аппроксимация погруженных тел особенностями поля скоростей - вихрями и диполями. Впервые это допущение было принято Ламбом [39, 139], который использовал его для приближенного вычисления волнового сопротивления цилиндра. Гипотеза Л амба состояла в том, что замена условия непротекания на границе движущегося цилиндра заданием

полюса комплексной скорости в центре г — с(£) его сечения т-, /■ ч 7 1 2тТЕ2 с'и) ^ , .

слабо сказывается на картине волнового следа, если радиус е мал по сравнению с глубиной погружения. Этот подход в сочетании с линеаризацией уравнений движения оказался весьма эффективным для решения многих прикладных вопросов. Обоснование возможности замены задачи о движущемся теле на задачу о диполе в линейном приближении было получено сравнительно недавно С.Ю.Доброхотовым и П.Н.Жевандровым [22]. В диссертационной работе данный вопрос исследуется в точной нелинейной постановке задачи Коши-Пуассона без предположений об асимптотической малости волновых амплитуд.

Завершая обзор литературы, отметим, что ряд результатов о разрешимости задачи Коши-Пуассона был получен безотносительно к анализу зависимости ее решения от малых параметров. Несколько вариантов аналога теоремы Коши-Ковалевской в плоском и трехмерном варианте доказано в [159]-[161]. В [184] с помощью методики работы [54] установлена корректность постановки двумерной задачи о волнах на поверхности жидкости конечной глубины в классах функций конечной гладкости. В трехмерном случае эта задача решена в [9] . Задача о развитии неустойчивости Рэлея - Тейлора на границе раздела двух жидкостей под действием силы тяжести, направленной из более плотной жидкости в менее плотную, изучались в [2].

Перечисленные результаты относятся к безвихревым движениям идеальной жидкости. Вопросам корректности постановок линейных начально-краевых задач динамики стратифицированной жидкости посвящены монографии [17, 18]. Это направление тесно соприкасается с исследованиями [25, 80, 92] качественных свойств решений уравнений

типа С.Л.Соболева [81] ввиду имеющейся аналогии между стратификацией и вращением жидкости. Анализу устойчивости решений задач гидродинамики со свободными границами посвящена монография [1].

Разрешимость нелинейной задачи о неустановившихся поверхностных волнах в завихренной жидкости в аналитических классах доказана в [77], а совсем недавно - и в классах конечной гладкости [58]. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений "вихревой" мелкой воды получена в [174] с помощью техники бесконечномерных гиперболических систем с операторными коэффициентами [86].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка и восьми рисунков. В тексте принята сквозная нумерация параграфов и индивидуальная нумерация формул, лемм и теорем внутри каждого параграфа. Перекрестная ссылка на формулу (11.3) или лемму 2.1 означает, что речь идет о формуле (3) из §11 и лемме 1 из §2.

Ниже дается краткая характеристика содержания диссертации. Первая глава является подготовительной, в ней содержится краткое изложение необходимых сведений из волновой гидродинамики и приводится используемый математический аппарат. В §2 более подробно по сравнению с остальным материалом обсуждается конструкция специальных пространств экспоненциально убывающих аналитических функций (п.п. 4-5) типа классов Харди, которые используются в задаче о стационарных внутренних волнах. В связи с этой же задачей в §3 отдельно рассматриваются некоторые вопросы теории ветвления в условиях групповой симметрии. Новым результатом здесь является теорема о теоретико-групповой редукции уравнений разветвления для инвариантных вариационных задач.

Вторая глава полностью посвящена анализу движений типа плавного бора в двухслойной жидкости. По своей постановке, предварительный анализ которой проводится в §4, данная задача близка к задаче об уединенной волне. Принципиальное отличие заключается в геометрической несимметрии бора, что является основным источником математических трудностей. В §5. методом узких полос строится асимптотика, главный член которой дает начальное приближение для искомой неподвижной точки оператора задачи. Основным результатом §5 является теорема об алгоритмической разрешимости процедуры вычисления коэффициентов ряда возмущений сколь угодно высокого порядка. Эта теорема представляет самостоятельный интерес в связи с задачей приближенного аналитического описания бора. В §6, играющем вспомогательную роль, рассматривается линейная неоднородная задача со смешанными краевыми условиями в двойной полосе для уравнения Пуассона. С помощью техники преобразования Фурье здесь получается представление решения и изучается его асимптотика для значений чисел Фруда вблизи границы непрерывного спектра. Упомянутое представление позволяет свести исходную нелинейную задачу об околокритических течениях к задаче отыскания неподвижной точки фредгольмова оператора с одномерным ядром. Эта задача решается в §7, заключительном параграфе второй главы. Нестандартным элементом в применении классического подхода Ляпунова-Шмидта является тот факт, что уравнение разветвления оказывается выполненным тождественно относительно бифуркационного параметра. Основной результат данного параграфа - теорема существования семейства точных стационарных решений в виде гладких уступообразных волн -центральный результат диссертации в целом.

В третьей главе исследуется длинноволновая асимптотика нестаци-

онарных поверхностных волн - здесь дается строгое обоснование приближенных моделей Серра-Су-Гарднера и Буссинеска. Постановка задачи обсуждается в §8, а основную техническую нагрузку несут §9 и §10. В них изучаются свойства нелокального отображения, ставящего в соответствие граничным значениям гармонической функции значения ее нормальной производной. В §9 получаются равномерные по малому параметру оценки решения интегрального уравнения, реализующего действие оператора "нормальная производная". Ключевую роль здесь играет получение оценок норм интегральных операторов типа потенциала через норму функции, задающей форму искомой свободной границы. В §10 исследуется асимптотика оператора "нормальная производная" (типа асимптотики узких полос). В завершающем главу §11 доказываются основные результаты - теоремы 11.3 и 11.4, согласно которым для рассматриваемых моделей разность между точным и приближенным решением имеет порядок 0(еА) по параметру теории мелкой воды.

Четвертая глава в идейном и техническом плане близка к предыдущей. В ней рассматривается плоская задача о нестационарном движении цилиндра под свободной поверхностью жидкости. В §12 с помощью преобразования инверсии относительно поверхности препятствия выполняется редукция исходных уравнений к интегро-дифференциальной задаче Коши и проводится ее предварительный анализ. В заключительном §13 с помощью техники шкал банаховых для указанной задачи доказывается однозначная разрешимость в классе аналитических функций и исследуется асимптотика решения при стремлении радиуса цилиндра к нулю. Для течения в дальнем поле дается степенная по радиусу оценка остатка в асимптотике, главный член которой соответствует особенности поля скоростей (полюс второго порядка), со-

средоточенной в центре сечения цилиндра. Тем самым дается утвердительный ответ на вопрос [39] о правомерности замены в линеаризованной задаче препятствия конечных размеров точечным вихрем и диполем. Одновременно здесь же рассматривается нелинейное обобщение дипольного приближения, суть которого в том, что интенсивность особенности не фиксируется заранее, как в классическом приближении, а является функционалом от формы свободной поверхности и поля скоростей на ней. Благодаря этому свойству модифицированное дипольное приближение годится для описания волновых движений, амплитуда которых сравнима с глубиной погружения препятствия.

Основными результатами, представляемыми к защите, являются:

1. Теорема существования плавного бора в двухслойной жидкости (теорема 7.1).

2. Теорема о редукции уравнений разветвления в бифуркационных задачах с групповой симметрией (теорема 3.1).

3. Обоснование предельного перехода к нелинейным дисперсионным системам уравнений Буссинеска и Серра-Су-Гарднера (теоремы 11.3 и 11.4).

4. Математическое обоснование гипотезы Ламба о правомерности аппроксимации источника волн конечных размеров точечной особенностью поля скоростей (теорема 13.1).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [44]-[47], [144], сборниках тезисов [48] и [143], монографии [72]. Они докладывались на Международной летней школе IUTAM "Waves in Fluids" (г.Удине, Италия, 1990), Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Новосибирск, 1991), Международной конференции "Аналитические методы и оптимизация

процессов в механике жидкости" (Арзамас, 1994), Международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996), конференциях "Математические методы в механике" (Новосибирск, 1989, 1994), школе-семинаре по аналитическим методам в газовой динамике САМГАД (Екатеринбург, 1992), совещаниях по численным методам в волновой гидродинамике (Новосибирск, 1992, 1994), Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1997). В разное время эти результаты обсуждались на семинарах Теоретического отдела Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН и кафедры гидродинамики Новосибирского государственного университета.

Внимание автора к вопросам, затрагиваемым в диссертации, было привлечено Л.В.Овсянниковым. Автор благодарен ему, а также В.М.Тешукову и всем участникам упомянутых семинаров за плодотворные дискуссии. Автор благодарит Ж.Л.Мальцеву за помощь в оформлении рисунков.

Большинство представленных результатов получено при поддержке грантов РФФИ 93-013-17621 и 95-01-00859, гранта 96-15-96283 программы "Ведущие научные школы", гранта Санкт-Петербургского конкурсного центра (программа "Университеты России"), Интеграционного проекта СО РАН N 43 "Исследование поверхностных и внутренних гравитационных волн в жидкости", грантов ИГИЛ СО РАН Г4-8990 и Г8-9192.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Макаренко, Николай Иванович, 1998 год

Литература

[1] Андреев B.K. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. 1992.

[2] Бабенко К.И., Петрович В.Ю. О неустойчивости Рэлея-Тейлора // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, N3. С. 551-554.

[3] Бабенко К. И. Несколько замечаний к теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294, N 5. С. 1033-1037.

[4] Бабенко К. И. О локальной теореме существования в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294, N 6. С. 1289-1292.

[5] Базденков C.B., Морозов H.H., Погуце О.П. Дисперсионные эффекты в двумерной гидродинамике // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, N 4. С. 818-822.

[6] Барахнин В.Б., Хакимзянов Г. С. Численное моделирование колебаний жидкости, вызванных мгновенным наклоном основания резервуара // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, N 1. С. 31-39.

[7] Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М., Мир, 1980, т.1. 456 с.

[8] Баутин H.H., Леонтович A.A. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

[9] Бименов М.А. Пространственная задача Коши-Пуассона в классах функций конечной гладкости // Динамика сплошной среды. Сб. науч. тр. ИГиЛ СО РАН. 1994. Вып. 109. С. 65-78.

[10] Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980. 440 с.

[11] Брюно А.Д., Солеев А. Бифуркации решений в обратимой системе ОДУ // Докл. РАН. 1995. Т. 345, N 5. С. 590-592.

[12] Брюно А.Д., Солеев А. Локальный анализ особенности одной обратимой системы ОДУ. Простые случаи. Препринт ИПМ N 40: Ин-т прикл. мат. им. М.В.Келдыша РАН. 1995. 20 с.

[13] Брюно А.Д., Солеев А. Локальный анализ особенности одной обратимой системы ОДУ. Сложные случаи. Препринт ИПМ N 47: Ин-т прикл. мат. им. М.В.Келдыша РАН. 1995. 20 с.

[14] Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

[15] Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

[16] Гаврилов Н.В. Неподвижные в лабораторной системе координат внутренние уединенные волны й плавные боры // ПМТФ. 1994. N 1. С. 29-33.

[17] Габов С. А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. 288 с.

[18] Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 342 с.

[19] Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир,

1984. 472 с.

[20] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963. 312 с.

[21] Доброхотов С.Ю., Жевандров H.H. Нестандартные характеристики и операторный метод Маслова в линейных задачах о неустановившихся волнах на воде / / Функц. анализ и его при лож.

1985. Т. 19, вып. 4. С. 43-54.

[22] Доброхотов С.Ю., Жевандров H.H. Волны на поверхности жидкости переменной глубины, возбуждаемые движущимся погруженным источником // Колебания и волны в жидкости / Межведомств. сб. научн. тр. Горький. 1988. С. 32-41.

[23] Железняк М.И., Пелиновский E.H. Физико-математические модели наката цунами на берег. В кн.: Накат цунами на берег. ИПФ АН СССР, Горький. 1985. С. 8-33.

[24] Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. N 2. С. 86-94.

[25] Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ, 1970. 164 с.

[26] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

[27] Ильичев А. Т. Уединенные и обобщенные уединенные волны в диспергирующих средах // ПММ. 1997. Т. 61, вып. 4. С. 606-627.

[28] Калякин Л. А. Длинноволновые асимптотики решений нелинейных систем уравнений с дисперсией // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288, N 4. С. 809-813.

[29] Калякин Л. А. Длинноволновая асимптотика решения нелинейной системы уравнений с малой дисперсией // Дифф. уравнения. 1987. Т. 23, N 4. С. 696-705.

[30] Калякин Л.А. Асимптотический распад одномерного волнового пакета в нелинейной диспергирующей среде // Мат. сборник. 1987. N 4. С. 470-495.

[31] Калякин Л.А. Длинноволновые асимптотики. Интегрируемые уравнения как асимптотический предел нелинейных систем // УМН. 1989. Т. 44, вып. 1. С. 5-34.

[32] Карабут Е.А. Суммирование ряда Вайтинга в задаче об уединенной волне // Сиб. Мат. Журнал. 1995. Т. 36, N 2. С. 328-347.

[33] Кочин Н.Е. Точное определение установившихся волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей. Собр. соч. Т. 2, М.-Л.: Изд. АН СССР, 1949. С. 43-75.

[34] Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1956. 392 с.

[35] Красовский Ю.П. К теории установившихся волн конечной амплитуды // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1, N 5. С. 836-855.

[36] Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984, 368 с.

[37] Лаврентьев М.А. До теорп довпххвшь // 36. Прац. 1нст. Матем. АН УССР. 1946. N 8. С. 13-63.

[38] Лаврентьев М.А. К теории длинных волн. Избранные труды. М.: Наука, 1990. С. 524-570.

[39] Ламб Г. Гидродинамика. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

[40] Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985, 184 с.

[41] Логинов Б.В., Сидоров H.A. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации // Мат. сборник. 1991. Т. 182, N 5. С. 681-691.

[42] Макаренко Н.И. Обоснование трехмерной модели мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980. Вып. 44. С. 61-82.

[43] Макаренко Н.И. К теории двухслойной мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981. Вып. 50. С. 121-134.

[44] Макаренко Н.И. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Вып. 77. С. 56-72.

[45] Макаренко Н.И. Асимптотика несимметричных внутренних волн // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2, N 4. С. 22-29.

[46] Макаренко Н.И. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии погруженного препятствия // Вычислительные технологии. 1995. Т. 11, N 4. С. 169-175.

[47] Макаренко Н.И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений // Докл. РАН. 1996. Т. 348, N 3. С. 302-304.

[48] Макаренко Н.И. Инвариантные вариационные уравнения и несимметричные уединенные волны // Межд. школа-семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов жидкости и газа САМГОП-94". Тез. докл. Арзамас, 1994. С. 76.

[49] Маклаков Д. В. Существование решения задачи о докритиче-ском обтекании вихря // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск, 1990. С. 89-102.

[50] Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. 280 с.

[51] Марчук Ан.Г., Чубарое Л.В., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983. 176 с.

[52] Налимов В.И. Априорные оценки решений эллиптических уравнений в классе аналитических функций и их приложение к задаче Коши-Пуассона // Докл. АН СССР. 1969. Т. 189, N 1. С. 45-49.

[53] Налимов В. И. Задача Коши-Пуассона в классах Жеврея // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1969. Вып. 1. С. 258-263.

[54] Налимов В.И. Задача Коши-Пуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1974. Вып. 18. С. 104-210.

[55] Налимов В.И. Докритические течения над неровным дном // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. Вып. 58. С. 108-156.

[56] Налимов В.И. Метод узких полос в краевой задаче с разрывными граничными условиями // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1989. Вып. 90.

[57] Налимов В.И. Сверхкритические течения из-под щита // ПМТФ. 1989. N 2. С. 77-80.

[58] Налимов В.И. Вихревые поверхностные волны // Сиб. Мат. Журнал. 1996. Т. 37, N 6. С. 1356-1366.

[59] Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: НГУ, 1975.

[60] Некрасов А.И. О волнах установившегося вида // Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та. 1921. N 3. С. 52-65.

[61] Нелсон Э. Аналитические векторы // Сб. переводов: Математика, 6:3. 1962. С. 89-131.

[62] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 326 с.

[63] Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, N 4. С. 819-822.

[64] Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. С. 5-75.

[65] Овсянников Л.В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, N 4. С. 789-792.

[66] Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск: НГУ, 1972.

[67] Овсянников Л.В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1973. Вып. 15. С. 104-125.

[68] Овсянников Л. В. Обоснование теории мелкой воды // Труды Все-союз. конф. по уравнениям с частными производными. М.: МГУ. 1978. С. 185-188.

[69] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

[70] Овсянников Л.В. Волновые движения сплошных сред. Новосибирск: НГУ, 1985. 44 с.

[71] Овсянников Л.В. Об асимптотическом представлении уединенных волн // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, N 3. С. 556-559.

[72] Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. 320 с.

[73] Плотников П.И. Некорректность нелинейной задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора // Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. 1980. Т. 96. С. 240-296.

[74] Плотников П. И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, N 3. С. 591-594.

[75] Плотников П. И. Обоснование гипотезы Стокса в теории поверхностных волн // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, N 1. С. 80-83.

[76] Плотников П.И. Неединственность решения задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, N 2. С. 339-366.

[77] Седенко В. И. Разрешимость начально-краевой задачи для течений идеальной несжимаемой неоднородной жидкости, ограничение

ной свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, N 3. С. 550-554.

[78] Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

[79] Секерж-Зенъкович Я.И. Об установившихся капиллярно-гравитационных волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 445-458.

[80] Сказка В. В. Асимптотика при £ —» оо решений одной задачи математической физики // Матем. сб. 1985. Т. 126, N 1. С. 3-41.

[81] Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, N 1. С. 3-50.

[82] Сретенский Л.Я. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 815 с.

[83] Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1977.

[84] Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959. 617 с.

[85] Стокер Дж. Дж. Бифуркационные явления в теории поверхностных волн // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 152-166.

[86] Тешуков В.М. О гиперболичности уравнений длинных волн // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 3. С. 555-559.

[87] Треногий В.А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии // Вопросы ка-

чественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С. 134-140.

[88] Треногин В.А., Сидоров H.A., Логинов Б.В. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркация, симметрия // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. С. 286-289.

[89] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

[90] Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометео-издат, 1980. 320 с.

[91] Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. И. М.: Наука, 1969.

[92] Фокин М.В. Существование сингулярного спектра и асимптотическое поведение решений в задаче Соболева // Докл. РАН. 1993. Т. 333, N 3. С. 304-308.

[93] Хабахпашева Т.Н. Уединенные волны в двухслойной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985. Вып. 69. С. 96-122.

[94] Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

[95] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

[96] Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир, 1987. 182 с.

[97] Якимов А.Ю., Якимов Ю.Л. Дифференциальное уравнение для стратифицированной жидкости и его частные решения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 5. С. 83-87.

[98] Alt H.W., Caffarelli L.A., Friedman A. Jets with two fluids, I // Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33. N 2. P. 213-247.

[99] Alt H.W., Caffarelli L.A., Friedman A. Jets with two fluids, II // Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33. N 3. P. 367-391.

[100] Amick C.J., Toland J. On solitary water-waves of finite amplitude // Arch. Rational. Mech. Anal. 1981. V. 76. P. 9-95.

[101] Amick C.J., Toland J. On periodic water-waves and their convergence to solitary waves in the long wave limit // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1981. V. 303(1481). P. 633-673.

[102] Amick C.J., Fraenkel L.E., Toland J. On the Stokes conjecture for a wave of extreme form // Acta Math. 1982. V. 148. P. 193-214.

[103] Amick C.J., Turner R.E.L. A global theory of internal solitary waves in two-fluid systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V. 289, N 2. P. 431-484.

[104] Amick C.J., Turner R.E.L. Small internal waves in two-fluid systems // Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. V. 108. P. 111-139.

[105] Beale J.T. The existence of solitary water waves // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 373-389.

[106] Beale J.T. Water waves generated by a pressure disturbance on a steady stream // Duke Math. Journ. 1980. V. 47. P. 297-323.

[107] Benjamin T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form //J. Fluid Mech. 1966. V. 25. P. 241-270.

[108] Benjamin T.-B. A unifed theory of conjugate flows // Philos. Trans.

' Roy. Soc. London A. 1971. V. 269. P. 587-643.

[109] Benjamin T.B., Lighthill M.J. On cnoidal waves and bores // Proc. Roy. Soc. London A. 1954. V. 221. P. 448-460.

[110] Bona J.L., Bose D.K., Turner R.E.L. Finite amplitude steady waves in stratified fluids //J. Math. Pure Appl. 1983. V. 62. P. 389-439.

[111] Bona J.L., Sachs R.L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1989. V. 48. P. 25-51.

[112] Bridges T.J. Spatial Hamiltonian structure, energy flux, and the water-wave problem // Proc. Roy. Soc. Lond. 1992 V. A439. P. 297-315.

[113] Bridges T.J. Hamiltonian spatial structure for 3D water-waves relative to a moving frame of reference //J. Nonlinear Sci. 1994. V. 4. P. 221-251.

[114] Craig W. An existence theory for water waves, and the Boussinesq and Korteweg-de Vries scaling limits // Comm. Part. Diff. Eq. 1985. V. 10. P. 787-1003.

[115] Craig W., Sternberg P. Symmetry of the free-surface flows // Arch. Rat. Mech. Anal. 1992. V. 118. N 1. P. 1-36.

[116] Craig W., Sulem C., Sulem P.L. Nonlinear modulation of gravity waves: a rigorous approach // Nonlinearity. 1992. V. 5. Iss. 2. P. 497-522.

[117] Dancer E.N. Global solution branches for positive mappings // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 52. P. 181-192.

[118] Dancer E.N. The G-invariant implicit funcion theorem // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1982. V. A92. P. 13-30.

[119] Dubreil-Jacotin M.L. Sur les theoremes d'existence relatifs aux ondes permanentes périodiques a deux dimensions dans les liquides heterogenes // J. Math. Pures Appl. 1937. V.9. N 19. P. 43.

120

121

122

123

124

125

126

127

128

Fenton J.D. A ninth-order solution for the solitary wave //J. Fluid Mech. 1972. V. 53. P. 257-271.

Friedrichs K. 0. On the derivation of the shallow water theory // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 81-85.

Friedrichs K.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. P. 517-550.

Funakoshi M. Long internal waves in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1985. V. 54, N 7. P. 2470-2476.

Funakoshi M., Oikawa M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1986. V. 55, N 1. P. 128-144.

Garabedian P.R. Surface waves of finite depth //J. D'Analyse Math. 1965. V. 14. P. 161-169.

Garipov R.M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V.24. N5. P. 352-362.

Hewgill G., Reeder J., Shinbrot M. Some exact solutions of nonlinear water waves problem // Pacific J.Math. 1981. V. 92, N 1.

Iooss G., Adelmeyer M. Topics in bifurcation theory and applications. River Edge: World Scient. Publ., 1992.

Iooss G., Kirchgassner K. Bifurcation d'ondes solitaires en presence d'une faible tension superficielle // C.R.Acad. Sci. Paris. 1990. V. 311. I. P. 265-268.

[130] Iooss G., Kirchgâssner K. Water waves for small surface tension: an approach via normal form // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1992. V. 122 A. P. 267-299.

[131] Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves in two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45, N 2. P. 463-476.

[132] Kano T. Une theorie trois-dimensionelle des ondes de surface de l'eau et le développement de Friedrichs // J. Math. Kyoto Univ. 1986. V. 26. P. 157-175.

[133] Kano T., Nishida T. Sur les ondes de surface de l'eau avec une justification mathématique des equations des ondes en eau peu profonde // J. Math. Kyoto Univ. 1979. V. 19. P. 335-370.

[134] Kano T., Nishida T. Water waves and Friedrichs expansion // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1983. V. 6. P. 39-57.

[135] Kano TNishida T. Sur l'équation de Boussinesq des ondes de surface de l'eau // Proc. Jap. Acad. Ser. A. 1985. V. 61. N 4. P. 91-94.

[136] Kano T., Nishida T. A mathematical justification for Korteweg-de Vries equation and Boussinesq equation of water surface waves // Osaka J. Math. 1986. V. 23. P. 389-413.

[137] Keady G., Norbury J. On the existence theory for irrotational water waves // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1978. V. 83. P. 137-157.

[138] Kirchgâssner K. Wave-solutions of reversible systems and applications // J. Diff. Eq. 1982. V. 45. P. 113-127.

[139] Lamb H. On some cases of wave-motion on deep water // Ann. di Mat. 1913. Y. 21. P. 237.

[140] Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie // Math. Ann. 1925. Bd. 93. S. 264-314.

[141] Long R.R. Solitary waves in one- and two-fluid systems // Tellus. 1956. V. 8, N 4. P. 460-471.

[142] Longuet-Higgins M.S., Fenton J.D. On the mass, momentum, energy, and circulation of a solitary wave. II. // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1974. V. 340. P. 471-493.

[143] Makarenko N.I. Smooth bore in a two-layer fluid // Int. Conf. "Free Boundary Problems in Continuum Mechanics". July 15-19, 1991. Novosibirsk, 1991. Abstracts. P. 84.

[144] Makarenko N.I. Smooth bore in a two-layer fluid // Intern. Ser. of Numerical Math. 1992. V. 106. Birkhâuser Verlag, Basel. P. 195-204.

[145] Mielke A. Hamiltonian and Lagrangian flows on center manifolds with applications to elliptic variational problems // Lecture Notes in Math. V. 1489. Springer-Verlag, N.-Y. / Berlin, 1991.

[146] Mielke A. Essential manifolds for an elliptic problem in an infinite strip // J. Diff. Eq. 1994. V. 110. P. 322-355.

[147] Mielke A. Homoclinic and heteroclinic solutions in two-phase flow // Adv. Series in Nonlinear Dynamics. 1995. V.7. / Proc. IUTAM/ISIMM Symposium on Structure and Dynamics of Nonlinear Waves in Fluids. World Scientific. P. 353-362.

[148] Miles J.W. On internal solitary waves // Tellus. 1979. V. 31. P. 456.

[149] Mirie R.M., Fennel S.A. Internal solitary waves in a two-fluid system // Phys. Fluids. Ser. A. 1989. N 1. P. 986.

[150] Mirie R.M., Su C.H. Collisions between two solitary waves. Part 2: Numemerical study // J. Fluid Mech. 1982. V. 115. P. 475-492.

[151] Nirenberg L. An abstract form of the nonlinear Cauchy - Kowalewski theorem //J. Diff. Geometry. 1972. V. 6. P. 561-576.

[152] Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg //J. Diff. Geometry. 1974. V. 12. N 4. P. 629-633.

[153] Nishida T. Equations of fluid dynamics - free surface problems // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. S221-238.

[154] Pennel S.A., Su C.H. A seventeenth-order seriies expansion for the solitary wave // J.Fluid Mech. 1984. V. 149. P. 431-443.

[155] Pennel S.A. On a series expansion for the solitary wave //J. Fluid Mech. 1987. V. 179. P. 557-561.

[156] Peters A.S., Stoker J.J. Solitary waves in liquids having non-constant density // Comm. Pure Appl. Math. 1960. V. 13. P. 115-164.

[157] Pullin D.I., Grimshaw R.H.J. Finite-amplitude solitary at the interface between two homogeneous fluids // Phys. Fluids. 1988. V. 31, N 12. P. 3550-3559.

[158] Rogers J.C.W. Water waves: analytic solutions, uniqueness and continuous dependence on data // Naval Ordnance Laboratory NSWC/WOL/TR. 1975. P. 43-75.

[159] Reeder J., Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity, II // Indiana Univ. Math. J. 1976. V. 25. P. 1049-1071.

[160] Reeder J., Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity, III // J. Math. Anal.Appl. 1979. V. 67. P. 340-391.

[161] Reeder J., Shinbrot M. Three-dimensional nonlinear wave interaction in water of constant depth // Nonlinear Analysis, Theory, Meth. Appl. 1981. N 5. P. 303-323.

[162] Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory. Lecture Notes in Math. // 1979. V. 762. P. 1-240.

[163] Schonbek M.E. Existence of solutions for the Boussinesq system of equations // J. Diff. Eq. 1981. V. 42. P. 325-352.

[164] Seabra-Santos F.J., Renuard D.P., Temperville A.M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle // J. Fl. Mech. 1987 V. 176. P. 117-134.

[165] Seabra-Santos F.J., Renuard D.P., Temperville A.M. On the weak interaction of two solitary waves // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1989. V. 8. N 2. P. 103-115.

[166] Serre F. Contribution a 1'etude des écoulements permanents et variables dans les canaux // La Houille Blanche. 1953. N 3. P. 374-388.

[167] Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity, I // Indiana Univ. Math. J. 1976. V. 25. P. 281-300.

[168] Struik D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles permanentes dans un canal a profondeur finie // Math. Ann. 1926. V. 95. P. 595-634.

[169] Su C.H., Gardner C.S. Korteweg-de Vries equations and generalizations III // J.Math. Phys. 1969. V. 10. N 3. P. 536-539.

[170] Sun S.M. Existence of a generalized solitary wave solution for water with positive Bond number smaller than 1/3 // J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 156. P. 471-504.

Sun S.M., Shen M.C. Solitary waves in a 2-layer fluid with surface-tension // SIAM J. Math. Anal. 1993. V. 24. N 4. P. 866-891.

Taniuti T., Wei C.-C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation //J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 24. P. 941.

Ter-Krikorov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaires dans un liquide heterogene //J. Mecanique. 1963. V. 2. P. 351-376.

Teshukov V.M. On Cauchy problem for long wave equations // Intern. Ser. of Numerical Math. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag, Basel. P. 331-338.

Toland J.F. On the existence of a wave of greatest height and Stokes's conjecture // Proc. Roy. Soc. Lond. 1978. A 363. P. 469-485.

Turner R.E.L. Transversality and cone maps // Arch. Rat. Mech. Anal. 1975. V. 58. P. 151-179.

Turner R.E.L., Vandtn-Broeck J.-M. Broadening of interfacial solitary waves // Phys. Fluids. 1988. V. 31. N 9. P. 2486-2490.

Treves F. Ovcyannikov theorem and hyperdifferential operators // Notas de Matematica. N 46. Rio de Janeiro: 1968.

Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry. Boston: Pitman, 1982. P. 350.

Williams J.M. Limiting gravity waves in water of finite depth // Philos. Trans. Roy. Soc. London A. 1981. V. 302. P. 139-188.

[181] Wilmott P. On the motion of a small two-dimensional body submerged beneath surface waves //J. Fluid Mech. 1987. V. 176. P. 465-481.

[182] Witting J. On the highest and other solitary waves //J. Appl. Math. 1975. V. 28. N 3. P. 700-719.

[183] Yih C.-S. Stratified Flows. N.-Y.: Academic Press, 1980.

[184] Yoshihara H. Gravity waves on the free surface of an incompressible perfect fluid of finite depth // J. Math. Kyoto Univ. 1982. V. 18. P. 49-96.

[185] Zeidler E. Beitrage zur Theorie und Praxis freier Randwertaufgaben. Akademie-Verlag: Berlin, 1971.