О растущих решениях эволюционных и стационарных нелинейных уравнений с частными производными второго и третьего порядков в неограниченных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гладков, Александр Львович

• Гладков, Александр Львович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гладков, Александр Львович

Введение

Глава I. О задаче Коши в классах функций с произвольным ростом для нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.

§ I.I. Постановка задачи и основные определения.

§ 1.2. Существование обобщенного решения задачи Коши для уравнения, нелинейного относительно. искомой функции.

§ 1.3. Существование обобщенных решений задачи Коши для уравнений, нелинейных относительно производных искомой функции.

Глава II. Задача Коши в классах растущих функций для. некоторых нелинейных уравнений с частными. производными третьего порядка.

§ 2.1. Некоторые обозначения и определения.

§ 2.2. Существование, единственность и некоторые. свойства решения первой краевой задачи.

§ 2.3. Локальная теорема существования решения задачи Коши в слое.

§ 2.4. Нелокальная теорема существования решения задачи Коши в слое.

§ 2.5. Теорема единственности для уравнения с одной пространственной переменной.

§ 2.6. Теорема существования решения задачи Коши в. области, сужающейся относительно временной., переменной.

Глава III. Задача Дирихле в классах растущих функций для нелинейных эллиптических уравнений. второго порядка в неограниченных областях

§ 3.1. Постановка задачи, обозначения, предположения, определения.

§ 3.2. Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с компактной. границей.

§ 3.3. Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с некомпакт-. ной границей.

§ 3.4. Общая теорема существования и единствен-. ности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О растущих решениях эволюционных и стационарных нелинейных уравнений с частными производными второго и третьего порядков в неограниченных областях»

В диссертации изучаются задача Коши и краевые задачи в неограниченных областях для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с данными,возрастающими на бесконечности.

В главе I рассматривается задача Коши для уравнений

Ut= [ТО*)]», (0.2. J

1Ц = WIUXX) (оз) с начальным условием

К (Х,0)- (ОС) . ГО.4)

Здесь ф (р) -гладкая функция, > О при рФ 0 , ф'(О^ = Ф (D ^ = О .Типичным примером функции р) ,для кото

ГУТ,- "1 рой выполняются налагаемые условия,является Ф(р)=[р 1 р , где Z ( для уравнения (СИ) КП > 1 ). Уравнения вида

0.-1) - (0.3) возникают в теории фильтрации,в нелинейной теории теплопроводности,а также в магнитной гидродинамике и динамике популяций.При нулевом значении решения или его производных уравнения (0.1) - (0. 2>) вырождаются.Вследствие вырождения, вообще говоря,может не существовать классического решения задачи Коши даже при как угодно гладких начальных данных.

Обозначим через Ж^ (Lm^S) классы функций ЯГ(Х}1) , удовлетворяющих почти всюду соответственно неравенствам lf'liTtX,i)) Hjf(X),

V'fVxxtttlV * Mjw.

Здесь »^ я -обобщенные производные,постоянная M > О может зависеть от tT (X^t) , -заданная положительная функция,которая может как угодно быстро расти при 1X1 —

Уравнениям вида (СИ) - (0.3) посвящено большое число работ.Ниже приводится краткий обзор только тех работ,в которых исследовались существование и единственность решения задачи Коши.

Существование и единственность непрерывного ограниченного обобщенного решения задачи Коши для уравнения (0.1) в полосе {): X € /К1 ^ i - Т) произвольной ширины Т > О при соответствующих предположениях об Up(СС) впервые доказаны в f 30] ( см. также [31], [U] ).Затем многими авторами исследовалась задача Коши для более общих нелинейных вырождающихся параболических уравнений в классах ограниченных или суммируемых с определенными степенями функций.Укажем, например, работы ГЗ^И^, [5«(]) Г 7] [1], [5 0] t из], [18] , [ 2 2] , г 19] , [ZG], [SZ1.

Однозначная обобщенная разрешимость в Л д задач (0.1) > {О.Ц) с непрерывной начальной функцией il0 Ж л где J W = (fa ОС2-)" , е^О установлена в f^J, f 1 Ц ] ; при 6=0 разрешимость доказана лишь для достаточно малых Т > 0 ,что связано с существом дела, как показывает пример из [ Z] .Классы единственности обобщенных решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для уравнений {О А) , (О. Я) и их многомерных аналогов исследовались в [ Z 3] .Для уравнения т>1)> (о.s) где А -оператор Лапласа по переменным X= доказано (см. ),что,как и в случае уравнения теплопроводности, неотрицательное непрерывное обобщенное решение задачи Коши в слое единственно без каких-либо ограничений на рост при /XI 00 .

В работах fS3], [31 , Г5€], [49] рассматривалась задача Коши для уравнений (0.1) , (0. Z) с обобщенными функциями в начальном условии.В [кЧ] изучалась задача Коши для уравнения Со.5) с начальным условием (0.^),где il0 есть плотность, соответствующая такой мере ,что г= (Г^-*1 <0 {Яб^: |0£|<R}< + oo^>I (0.6)

Доказано существование обобщенного решения задачи Коши (о.£), [ОМ) дая 0<-fc <CoriSi/f^frfle f = ^^.Из результатов [к 5] вытекает,что условие СО.б) необходимо для существования обобщенного решения задачи (О.£) , (О.Ц) в слое.В fS?J результаты [ 45] обобщены на случай нестепенной функции <f{U).

Разрешимость задачи Коши при сколь угодно быстро растущей на бесконечности начальной функции для линейных параболических уравнений второго порядка с ограниченными коэффициентами изучалась в [к к] .В этой работе показано,что при произвольной начальной функции решение задачи Коши не может,вообще говоря, существовать в слое и построена сужающаяся относительно временной переменной неограниченная область,в которой решение существует.В статье [^3] аналогичная область построена для линейного параболического уравнения любого порядка с растущими на бесконечности коэффициентами,а для уравнения второго порядка уточнена зависимость вида области от скорости роста начальной функции и коэффициентов уравнения.В главе I настоящей диссертации результаты типа полученных в [ЧЬ] , доказываются для нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.

В §1.1 излагается постановка задачи и приводятся основные определения.

В § 1.2 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси i областях задачи Коши (О."!), (ОЛ) с начальной функцией,имеющей произвольный рост на бесконечности.Предполагается, что непрерывная начальная функция К0(£)>0 удовлетворяет неравенству и, $(Х) (М1>0)1 а функция Ф(р) удовлетворяет условиям,которые выполняются, например,если ф(р)= р™", П>1 (р>0). Пусть fi (X) - непрерывная положительная ограниченная четная функция,невозра-стающая при Х>0 .Обозначим : Жб 0<t< ксх)} и определим при четную функцию пц^ такую,что г(Х*?>Ъ) при X > О .Предположим,что при некотором ^6(0,^1) для функций jf(X) и ii(oc) выполняется следующее соотношение t1[h*)ftfi{f(*htfMlt[3(*)r1}<if где постоянная > О зависит только от функции ^ .Доказывается

Теорема 0.1. При любом ^ > О в области существует непрерывное обобщенное решение задачи Коши

0.-1) » (О.Ц) принадлежащее классу .В тех точках Qfa^ j где U(X,-t)> 0 ,функция имеет непрерывные производные,входящие в уравнение (0.1),и удовлетворяет ему в обычном смысле.

Показывается точность теоремы 0.1.

Пример построенный в Г 2» ],свидетельствует о том,что единственность в классе при Cj(X)- (1-t J:2)1"*6, £>0 ,может нарушаться,если рассматривать задачу (o.1)f(0.4J в сужающейся по i области.Следовательно,на такие области не распространяется упоминавшаяся выше теорема единственности из Г 51] .

В § 1.3 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси i областях задач Коши (D.Z), (OA) и (0.3), (OA) с начальными функциями,имеющими произвольный рост на бесконечности.При исследовании задачи (О.Я), (О. Ц) предполагается,что начальная функция £(<>(3?)€ С1 удовлетворяет неравенству

Ч'ш'еСх))* Mz (М1>О)} а функция ЧЧр) удовлетворяет условиям,которые выполняются, например, если ф(р )= J р 1 р , т> Z .Пусть при некотором

0?i) для функций и fi (90 справедливы следующие соотношения: {^хЧ"*-} < 1, где <оз -положительная постоянная, зависящая только от функции У .Определим при £>0 четную функцию 'k^W такую,что (l^(X)- при Х>0 .В § 1.3 доказывается

Теорема 0.2. При любом О в области существует обобщенное решение задачи (о,£), (0.4) ,обладающее обобщенными производными Ux 6 Jf™ (Q^^) , € ( Q^ г) и принадлежащее классу «X?

А V ^fizS

Показывается точность теоремы 0.2.Аналогичная теорема приводится для задачи Коши (0.3) , (0.4) .

В главе II рассматривается уравнение ut= д ut + Д ФШ), (о.?) где Д -оператор Лапласа по переменным СС= ), fl-1 .Подобные уравнения принято называть псевдопараболическими. Относительно функции Ч'Ср) делаются предположения, которые выполняются,например,если tp(p)= р"1^ /П > Z (р*0).

Уравнения вида (о. Ч-) возникают в теории движения грунтовых вод при учете зависимости потенциала скорости от глубины.

При c{Uz (*<>о) уравнение (О.Ч) рассматривалось, например, в Г 8 ] , [^0] ,где можно найти дальнейшие ссылки. В [В] при И. = i доказаны существование и единственность ограниченного решения задачи Коши с начальной функцией,принадлежащей С * (R )(] W^ (|R) .Здесь через С* ((R) обозначается пространство функций,имеющих в IR ограниченные непрерывные производные до второго порядка включительно,а через W/\ ClR) -пространство Соболева функций,квадратично суммируемых на 1R вместе с обобщенными производными первого порядка. В f ^ О] доказаны существование и единственность ограниченного решения задачи Коши с начальной функцией,принадлежащей Сй ( iR^) , ИМ^2.j. .На основе развитого в [3G] метода верхних и нижних решений в [40] решены также краевые задачи с граничными условиями двух видов.

Задача Коши и первая краевая задача в неограниченных областях для линейных псевдопараболических уравнений рассматривались, например, в [41 ] , [42] ; при этом допускался рост решений на бесконечности.

В главе II для уравнения (о.Ч) при произвольном Hc1fZr,, доказывается ряд теорем о существовании классического решения задачи Коши с начальной функцией,неограниченно возрастающей на бесконечности.

В § 2.1 приводятся постановка задачи и определения. В § 2.2 для уравнения С о. 7) рассматривается первая краевая задача в Q^ - il* (0,Т) с начальным условием гкэг,0)» КР(Х) > 0 , ХеЦ (о2) и граничным условием и A(x,i) , ST= "dSl - [0,Т7 , (0.9) где

Л -ограниченная область в Rn , il= IfLUSl. Приводятся нужные для дальнейшего изложения свойства функции Грина G (ос,у) первой краевой задачи для оператора

5 - л 1Г + и в области л .Обозначим через С (!) пространство непрерывных на множестве ё функций.Введем пространство где О* I Z. О = t 1 • • • П. 7 > k"H При Uo (Л) e С2(Л), кca»,t)€ C*'t ( ST) и выполнении условия согласования Ы0 (X) jxe^Sl' k (%,()) доказываются теоремы существования и единственности решения задачи (0.8), (0.9). Теорема существования устанавливается с помощью метода верхних и нижних решений.Доказываются некоторые свойства решения: бесконечная скорость распространения возмущений,непрерывная зависимость от начальных и граничных условий,а также аналитичность по -t при более специальных предположениях.

В § 2.3 рассматривается задача Коши в слое J~J «^IR** [ОТ] для уравнения (0,7) с начальным условием

U(X,0)= HJX) & о t (0.10) где U0(X) £ С * OR"1) .Предполагается,что начальная функция Ыо удовлетворяет неравенству

6 M1(MHilx\i)! А?3>° А>0- ^

Под решением задачи (ОЛ), (0.10) будем понимать функцию tUVKC^ (Л т/ , удовлетворяющую в ли уравнению О. if) и условию (0.10).

Обозначим через я класс функций для которых выполняются следующие неравенства t(xti)) < н5 a+ixi*), tTt(i,t)H Me (1+1x1% где ^ , M5, Hq -некоторые положительные постоянные. В § 2.3 доказывается

Теорема 0.3. При достаточно малом Т > О в слое Hj> существует неотрицательное решение К ) задачи [0.4), (0.10) , принадлежащее классу

Приводится пример,показывающий,что при предположении (О.'Н) решение,вообще говоря,не продолжается на произвольный промежуток изменения

В §2.4 получена нелокальная теорема существования решения задачи Коши для случая,когда неотрицательная начальная функция ii0(X)£ C^fK^j подчинена неравенству

В § 2.5 доказывается,что решение задачи Коши для уравнения (О. 7J с одной пространственной переменной единственно в классе Ж .Единственность решения устанавливается с помощью метода Хольмгрена.Предварительно в прямоугольнике Q ) * (Ojl„) ({>0}to>0) рассматривается вспомогательная линейная краевая задача,представляющая самостоятельный интерес ь°{**1-а{х* , (x'i} € Qt,i., (0Лг) j[t(,l)=0 , (0.-12.) f f*,-U = t.

Здесь функция OCX, t )&С (Q^JjWeC* ( [-(/]) 0.

Относительно знака функции Cx}i) не делается никаких предположений.Доказывается

Лемма 0.1. Существует решение (x{i )€ C^t^-fcJ задачи (O.U) - [0. iM) .

Основным результатом § 2.5 является

Теорема 0.4. Решение задачи Коши (0.7), (O.jО) при YI- А единственно в классе Л?

В § 2.6 доказывается разрешимость задачи Коши в сужающейся по направлению оси i. области для уравнения (О.Ц) с неотрицательной начальной функцией Ч0(Х)£ С (IR^) удовлетворяющей неравенству f'(%,(x))4 Mt d+ixf)^ Mg>0)

В главе III рассматривается уравнение

1\1S(X)~ р(Х) 9(tJ)= Ч>(Х)} (0.15) где ifix)e Z(tt (jH, рю&с^ (!Hn-)1o<^^)f>u)>a>o!

Д -оператор Лапласа по переменным Ха (}. ?.Относительно функции ^РсО") делаются предположения,которые выполняются, например, если Ф(^)" * т. >1 .В частности, функция Ф(г?) не предполагается дифференцируемой при tT- О .

К виду (0.45) заменой U~ Ф№ = 1(tS) приводится уравнение

Д <f(U)~ р(х) Ч = V(X)t описывающее стационарное распределение температуры в нелинейной среде с поглощением и источниками тепла.При этом для Ф(гЛ » loxr^V получим <р(го= [Ы Г'л и.

Для уравнения (0.15) изучается задача Дирихле в неограниченной области Si С R П с граничным условием tfWj (a-ie) где () £ С (dSl) .При этом 'ЭXI .может быть как компактной,так и не компактной.

Квазилинейные уравнения эллиптического типа в ограниченных областях рассматривались,например,в [2^] ,где дана обширная библиография.

Ряд работ посвящен квазилинейным эллиптическим уравнениям в неограниченных областях.Уравнения вида (0.45) с p(X)si изучались, например, в L4G ] , [53] .При этом в tkGl предполагалось,что if/ £ J^ (f^*1 ) п ^ 1 ,а в [58] при К - рассматривался случай,когда 4f(X) есть обобщенная функция типа плотности,соответствующей ограниченной мере. Задача Дирихле в неограниченных областях для широкого класса квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений исследо- ' вался вероятностными методами в [ ЪВ] .В каждой из этих работ данные задачи обеспечивали существование ограниченного или суммируемого решения.В f доказана разрешимость задачи Дирихле для некоторых квазилинейных эллиптических уравнений в классе функций,стремящихся к нулю на бесконечности.Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений исследовалось,например,в [Z5J, [33 J ,где можно найти дальнейшие ссылки.В для линейных эллиптических уравнений в неограниченных областях изучалось влияние геометрических свойств области на классы единственности.Определение решения задачй (0.1S) , (0.<6) дается в §3.1,где указываются также предположения относительно функции -,области S1 и вводится класс функций .Классу У4 0 принадлежат,например, не прерывные в XL функции 1ГСЛ) удовлетворяющие при достаточно больших значениях IXI неравенству iv(x)i> ае>о ? хел.

Под решением задачи (0.15), (0.1G ) будем понимать функцию 1У(Х) £ С* (Л) ,удовлетворяющую уравнению (0,1 S) и граничному условию (0. б ) .

В § 3.2 рассматривается задача Дирихле (0.15) , (О. -1£) в области Si с компактной границей .Предполагается, что функция р(Х)=.'1 , а функция удовлетворяет неравенству m«i * м9 (о(0-цх1лг* ; где М^ и о(0 -некоторые положительные постоянные.Доказывается

Теорема 0.5. В области SL существует решение задачи (0.15), (0.1G) удовлетворяющее при некоторых положительных постоянных с(л и м10 неравенству ivmi * Iм10 Ыл* ш8-)"1"1. fo.«)

Решение задачи (0.1 S ), (о. 1G) удовлетворяющее неравенству (ОАЧ) и принадлежащее классу единственно.

Приводятся достаточные условия для принадлежности решения классу .Строится пример,показывающий,что теорема 0.5 является в определенном смысле точной.

В § 3.3 рассматривается задача Дирихле (0.45)9 (O.IG) в области JTL с некомпактной границей 'ЪЛ .Предполагается, что в уравнении (0.15 ) p(X)s 1 , =. О а граничная функция tT0 (X) удовлетворяет неравенству где М^ и -некоторые положительные постоянные.При этих условиях доказывается теорема существования и единственности решения задачи Дирихле (0.4 5), (0. Л0>) ,аналогичная теореме 0.5.Приводится пример,свидетельствующий о точности полученной теоремы.Даются достаточные условия для принадлежности решения классу .

Основным результатом главы III является приведенная в § 3.4

Теорема 0.6. Пусть выполняются следующие соотношения: гг (х)\ ^ o<vp(x)* аА>

Д <j(x) - рт + I У(х)\ * о; л

ГЛ с; т Д^шГ^т} - о при достаточно больших значениях /Ос/ ,

1 Л -(л-ч)

9 < Ь(Х) £ £(х) IX I

Здесь Ci (C = i2.) -положительные постоянные,зависящие от функции Ф , ^зс)€С*(Д) и к(Х)еСг(Л) -некоторые функции,а £(#)—> О при /XI —* о© .Тогда существует решение задачи (0.4 В) , (0.1G) удовлетворяющее неравенству

IV(X)j ^ CJ (х)t (о.18)

Решение задачи (0.1 5), (0.4 G) удовлетворяющее С О.18) и принадлежащее классу единственно.

Показывается,что если область Л. лежит в конусе и раствор конуса уменьшается,то происходит расширение класса единственности решения.

Поскольку в диссертации основное внимание уделяется условиям, касающимся роста решений,автор не стремился доказывать теоремы при минимальной гладкости данных.

Основные результаты диссертации изложены в работах

ПО] - НЬ] .

Результаты диссертации докладывались на конференции "Функциональный анализ,дифференциальные уравнения и их приложения" в Московском университете в апреле 1983 г.,на совместных заседаниях семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в январе 1984 г.,а также на научно-исследовательских семинарах в Московском университете,Московском энергетическом институте и Университете дружбы народов.

Автор глубоко благодарен А.С.Калашникову за постоянную помощь и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гладков, Александр Львович, 1984 год

1. М.Ахунбаев. Задача Коши для вьфождакяцегося квазилинейного уравнения параболического типа второго порядка.-Известия АН УзССР,сер. физ.-матем. наук, 1973, № 1. с. 16-22.

2. Г.И.Баренблатт. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде.-Прикл. матем. и механ., 1956, т. 20, «96, с. 761-764.

3. С.Н.Бернштейн. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа.-ДокладыАН СССР, 1938, т. 18, №7, с. 385-388.

4. Г.Н.Ватсон. Теория бесселевых функций.Часть I.-M. Издательство ИЛ, 1949, 799 с.

5. Т.Д.Вентцель, О.А.Ойейник. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа.-Математический сборник, 1957, т. 41, №1, с. 105-128.

6. В.С.Владимиров. Уравнения математической физики.-М.,"Наукаи, 198I, 512 с.

7. А.И.Вольперт, С.Й.Худяев. О задаче Коши для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.-Матем. сб., 1969, т. 78, №3, с. 374-396.

8. В.Д.Гилев. Решение обобщенного уравнения Буссинеска в теории фильтрации жидкости со свободной поверхностью.-Кандидатская диссертация. М., Ун-т дружбы народов им. П.Лумумбы, 1979.

9. А.Л.Гладков. Решение типа источника для некоторых квазилинейных параболических уравнений.-Вестн. Моск. ун-та, матем., механ., 1982, №5, с. 36-39.

10. А.Л.Гладков. О задаче Коши в классах функций с произвольнымростом для некоторых нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.-В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения. М., Изд-во МГУ, 1984, с. 70-75.

11. А.Л.Гладков. Задача Коши в классах растущих функций для некоторых нелинейных уравнений с частными производными третьего порядка.-Рукопись деп. в ВИНИТИ 12 апреля 1984 г., W- 2282-84 Деп.

12. А.Л.Гладков. О растущих решениях некоторых квазилинейных уравнений с частными производными третьего порядка.-Успехи матем. наук, 1984, т. 39, №4, с. 136.

13. А.Л.Гладков. Задача Дирихле в классах растущих функций для некоторых нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях.-рукопись деп. в ВИНИТИ 4 июля 1984 г., № 4623-84 Деп.

14. Ю.А.ДубинскиЙ. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях.-Матем. сб., 1965, т. 67, Ш9 с. 609-642.

15. Ю.А.ДубинскиЙ. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения.-М., ВИНИТИ, 1976, т. 9, с. 5-130.

16. А.С.Калашников. Задача Коши в классах растущих функций для уравнений типа нестационарной фильтрации.-Вестн. Моск. унта, матем., механ., 1963, №-6, с. 17-27.

17. А.С.Калашников. О задаче Коши в классах растущих функций для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.-Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, Н°4, с. 682-691.

18. А.С.Калашников. О задаче Коши для вырождающихся параболических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейно-стями.-Труды семинара им. И.Г.Петровского, М., Изд-во МГУ,198I, вып. 6, с. 83-96.

19. С.Г.Крейн, М.И.Хазан. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 21, ВИНИТИ, 1983.

20. С.Н.Кружков. 0 задаче Коши для некоторых классов параболических уравнений.-Матем. заметки, 1969, т. 6, №3, с. 295300.

21. С.Н.Кружков. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными.-Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1979, вып. 5,с. 217-272.

22. Н.В.Крылов. Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения.-Известия АН СССР, сер. матем., 1982, т. 46, И©, с. 487-523.

23. О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.-М. ,"Наука", 1967, 736 с.

24. О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.-М.,"Наука", 1973, 576 с.

25. Е.М.Ландис. Оценки решений квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях.-Труды семинара им. И.Г.Петровского, М., Нзд-во МГУ, 1983, вып. 9, с. 45-62.

26. Н.А.Ларькин, В.А.Новиков, Н.Н.Яненко. Нелинейные уравнения переменного типа.-Новосибирск,"Наука", 1983, 269 с.

27. Ж.-Л. Лионе. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М.,"Мир", 1972, 587 с.

28. Лу Вень-туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными производными,суммируемыми с различными степенями.-Вестн. Ленингр. ун-та, 1961, №7, вып. 2, с. 23-37.

29. Н.О.Максимова. Теоремы единственности для уравнений типамногомерного уравнения нестационарной фильтрации.-Рукопись деп. в ВИНИТИ 15 мая 1981 г., К? 2366-81 Деп.

30. О.А.Олейник. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации.-Доклады АН СССР, 1957, т. ИЗ, Р6, I2I0-I2I3.

31. О.А.Олейник, А.С.Калашников, Чжоу Юй-линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации.-Известия АН СССР, сер. матем., 1958, т. 22, №5,с. 667-704.

32. О.А.Олейник. О некоторых нелинейных задачах теории дифференциальных уравнений с частными производными.-В кн.: Первая летняя матем. школа, т. 2, Киев, 1964, с. 117-255.

33. О.А.Олейник, И.Каметака. Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка.-Матем. сб., 1978, т. 107, №4, с. 572-600.

34. А.П.Осколков. О разрешимости задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной области.-Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 1967, т. 102,с. 128-136.

35. И.Г.Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными.-М. ,"Физматгиз", 1961» 400 с.

36. В.П.Политюков. К теории верхних и нижних решений и разрешимости квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений.-Матем. сб., 1978, т. 107, №2, с. 218-226.

37. Е.С.Сабинина.' О задаче Коши для уравнения нестационарной фильтрации газа с многими пространственными переменными.-Доклады АН СССР, 1961, т. 136, N<5, с. 1034-1037.

38. М.Й.Фре^цлин. О существовании "в целом" гладких решений вырождающихся квазилинейных уравнений.-Матем. сб., 1969, т. 78, №, с. 332-348.

39. А.Фрвдман. Уравнения с частными производными параболического типа.-М.,"Мирп, 1968, 427 с.

40. В.З.Фураев. О разрешимости краевых задач и задачи Коши для обобщенного уравнения Буссинеска в теории нестационарной фильтрации.-Кандидатская диссертация, М., Ун-т дружбы народов им. П.Лумумбы, 1983.

41. Г.И.Хилькевич. О поведении решений псевдопараболических уравнений в окрестности нерегулярных точек границы и на бесконечности.-В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения.!. , Изд-во МГУ, 1984, с. 170-175.

42. Г.И.Хилькевич. Аналог принципа Сен-Венана,задача Коши и первая краевая задача в неограниченной области для псевдопараболических уравнений.-Успехи матем. наук, 1981, т. 36, W3, с. 229-230.

43. С.Д.Шмулевич. О задаче Коши с произвольно растущей начальной функцией для уравнений параболического типа.-В кн.: Линейные операторы в функциональных пространствах. Воронеж, Изд-во ВГУ, 1982, с. I08-II8.

44. С.Д.Эйдельман, И.М. Петрушко. О разрешимости задачи Коши для параболических уравнений второго порядка в классах произвольно растущих функций.-Украинск. матем. журн., 1967, т. 19, №1, с. 108-113.

45. S, G. Дъопвоп Й.Л. Cailaittll. Jit LniltatjVoim. Sup.47. 9. JWcicta, M. (kernelat(} Я 9it\\l. Solution* o| i(it porous medium e.<juaiion In.UKdci ojollma( condliLonS on InlUaf v&tuiir JUi(*na Univ. Шк

46. J. J, $с0г2 ; St. Jitzsntl . Ovi a Kovillviicx, 1hojdhimit pOtlGiloliC. tCjUQtiiovb lvl LYljillioilLotn, di tVApoiotiiovi IhiouyL Q. polwS medium-Mqlh. JUs. Cenizi, Univ o{Wiscontin}19M.

47. S, "Xamlvi, Source,-iypt SotuiioviZ ^оч ecjUQ({ion.s oj nonsieilonQi^ jilimilovi,

48. MM. j\lAOtl. OilAd Jlppt } 19Jg} V. G^AkZ, p. IQb- Z1Q.

49. JU. Pll^ll. UiAiOjUtni^S, oj ifit SolulionZ of wUb InULa.? daium a Measure. \fontinzci4 Jnod,.}V. G; л/о p. nS-Ач .

50. M. UjjhL, %lil(xi V&lutz oj YionniCjalivlSoluiions oj jililOtiLovi ECjUQtiiO^i ^J, kcjUQti. j i9S2>} I/. tJsi ; p. 104- m.

51. J. Voizcjuzz. On c* semUtnecti zcjua-Hoyl LVL RL involving iounc/eo( YntbluW. Roy. Soc, Uiviiui^ii> 49П,95*A; p. m-zoz.