Бегущие поверхностные волны над подводным хребтом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Дмитрий Сергеевич

• Кузнецов, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Дмитрий Сергеевич

Введение

Глава 1 Предварительные сведения

§ 1 Функциональные пространства

1.1 Пространства Es(p).

1.2 Пространства Vs.

1.3 Пространства CVS.

§ 2 Псевдодифференциальные операторы

2.1 Определения и свойства.

2.2 Примеры операторов.

§ 3 Классы нелинейных отображений

Глава 2 Редукция задачи о волноводе к эквивалентной задаче ветвления

§ 1 Постановка задачи

§ 2 Реализация «нормальной производной»

2.1 Существование и оценки решения задачи (2.11)

2.2 Представление оператора К.

§ 3 «Восстановление» формы свободной поверхности £ по функции <р

§ 4 Линейная задача

§ 5 Определение высших гармоник по £ Vq

§ 6 Вывод основного уравнения

Глава 3 Возмущение спектра

§ 1 Основная теорема

§ 2 Приближенное решение

2.1 Главная часть оператора (А + T)~lVL.

2.2 Построение приближенного решения

§ 3 Точное решение

3.1 Уравнение на «собственное число».

3.2 Главная часть решения уравнения (3.22).

3.3 Завершение доказательства теоремы 3.1.

§ 4 Вариант основной теоремы

§ 5 Фредгольмовость линейной задачи в Z/2(K)

§ 6 Распространение звука в неоднородной среде

§ 7 Линейные стационарные волны, бегущие вдоль подводного хребта

Глава 4 Ветвление решения в пространстве V*

§ 1 Метод решения

1.1 Вид решения и условие разрешимости.

1.2 Оценки собственной функции линейной задачи (3.44)

§ 2 Оценки операторов

§ 3 Уравнение на «собственное число»

§ 4 Существование собственной функции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бегущие поверхностные волны над подводным хребтом»

Изучение волновых процессов в сплошных средах ведется на протяжении многих десятилетий. Эта тематика не теряет актуальности как из-за разнообразия форм движения, так и практической ценности результатов исследований. Сложность управляющих этими движениями законов заставляет строить точные решения специального вида, либо прибегать к различным приближениям точной теории. Каждому полученному решению соответствует особый тип волны, описывающий конкретный физический процесс.

Иногда физические явления характерны тем. что вдоль избранного направления распространяются волны, амплитуда которых затухает в перпендикулярном направлении. При этом говорят, что процесс сопровождается эффектом волновода. Примером тому может служить подводный канал для звуковых волн в океане. Из акустики известен общий факт: если скорость звука имеет минимум вдоль некоторой прямой М, то от источника звука вдоль нее распространяется группа медленно затухающих волн, энергия которых локализована вдоль М.

В начале 50-х годов Мунком и Арсэром [1] на основе применения принципа геометрической оптики в акустическом приближении была показана возможность существования волновода для случая линейных поверхностных волн тяжелой жидкости.

В 1957 году М. А. Лаврентьев высказал гипотезу (независимо от Мунка и Арсэра), что вдоль подводного хребта может распространяться волна, значительно отличающаяся от той, что распространяется над глубоководным участком бассейна; иными словами, что уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости допускают решения, периодические или близкие к ним по направлению хребта и быстро убывающие в поперечном направлении. Отчасти такое предположение следовало из наблюдений за волнами цунами: в местах выхода к побережью подводных архипелагов сила волн была особенно велика. В 1958 году Сунь Цао провел экспериментальное изучение влияния подводного хребта на поверхностные волны, а также выполнил некоторые расчеты [2]. Он показал количественное и качественное расхождение наблюдений с расчетами Мунка и Арсэра. Сунь Цао отмечал почти стационарное распространение волны вдоль хребта, чего не вытекало из акустической теории. На этой основе было сделано заключение, что принципы геометрической оптики малопригодны для изучения волн типа цунами и других больших волн на мелководье.

В 60-е годы Р. М. Гариповым [3] — [о] были проведены подробные исследования нестационарной линейной задачи о волноводе. Им было доказано, что вдоль неровностей дна типа подводного гребня распространяются волны, причем при некоторых условиях скорость затухания амплитуды волны вдоль хребта значительно меньше, чем по другим направлениям. Им также была получена асимптотика решения при больших временах.

Нелинейные эффекты этой задачи впервые были исследованы Е. И. Бнченковым в 1969 году [5]. Используя нелинейное приближение теории длинных волн он доказал, что над подводным хребтом может наблюдаться стационарное распространение уединенной волны, если дно имеет цилиндрическую форму и состоит из бугров и впадин, площади поперечных сечений которых одинаковы, а профиль дна обладает вертикальной плоскостью симметрии.

В 70-х годах задачей о гравитационно-капиллярных волнах над подводным хребтом занимались В. И. Налимов и П. И. Плотников [6]. В линейном приближении она представляет собой нерегулярную задачу на собственные значения. Ими была доказана теорема существования решения в пространствах непрерывно дифференцируемых функций с весом, чем был установлен степенной характер затухания амплитуды волны в направлении, перпендикулярном хребту.

В данной работе рассматривается задача о бегущих капиллярно-гравнташюнных волнах малой амплитуды над подводным хребтом в точной нелинейной постановке для безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости.

Исследование задачи проводится в специальных банаховых пространствах функций (классы типа Харди), периодических по переменной, направленной вдоль хребта и экспоненциально убывающих в перпендикулярном направлении. При надлежащей переформулировке эта задача редуцируется к одномерной (по пространственным переменным) нелинейной задаче теории ветвления. Малым параметром является число q > 0. характеризующее отклонение формы дна от горизонтальной плоскости.

Изучение подобного класса задач начинают, как правило с рассмотрения линейного уравнения — для получения приближенного решения. Линейной задаче можно придать общую формулировку: доказать существование собственных функций оператора T — qL при отличных от нуля малых q. Здесь Т — одномерный псевдодифференциальный оператор с символом £(£), L — линейный интегральный оператор. Функция и о = Uq(x) определена на всей действительной оси.

Предполагается: а) £(£) — аналитическая функция в симметричной относительно действительной оси полосе комплексной плоскости конечной ширины ро > 0

Про = tf €C||Im£|< А,}, принимающая вещественные значения на действительной и мнимой осях: б) для всякого 0 ^ р ^ ро уравнение t(£) = t(ip) в области ПРо имеет только корни £ = ±ip единичной кратности.

Для простоты пока считаем, что собственная функция ищется как элемент пространства ^(М). Собственное число Aq полагается равным значению функции — f(£) в точке £ = iq^i : Aq = —t(iqfi), О < g// < /?о/2. Ввиду взаимно однозначной связи между Л и /i, спектральным параметром иногда будет выступать

Согласно предположению (б) оператор А0+Г обратим в 1,2(R). Тогда задача об отыскании собственных функций эквивалентна нахождению нетривиальных решений уравнения u0 = q(X0 + T)-lLu0. (1)

Рассмотрим (1), считая Ьщ фиксированной функцией /. Легко видеть, что щ{х) = у/й J k(x-y)f{y)dy, (2) где

Здесь и далее интегралы без обозначения пределов интегрирования берутся по всей действительной осн. Полюсы подынтегральной функции (3) расположены в точках £ = ±zg//. В силу аналитичности t,(£) согласно теореме о вычетах имеем (z > 0): оо-И'ро

V27rk{z)+ j AdRe£ = 27TiRes 46 oc+ipo

Следовательно, при 2 > 0 i.-e oc+ipo oc+ipo

1 ?(iqfi) J t{£)-t{iqn)

-oc+ip0

По предположению (б) у функции t(£) - £(0) в точке £ = 0 — ноль второго порядка. Поскольку t'(iqfi) — iq^tn(0) + q2t(qfi,)} где %//) — ограниченная функция при достаточно малых q fi, то п pizi p-qv-2

Res \с ^ = + qr № ^ с некоторой непрерывной ограниченной функцией г.

Если с < 0, то вычет считается в точке £ = —iq/j. Отсюда получаем представление для ядра к:

ВД = ^фщШ + (4) где k0(z) = а функция к\ равномерно ограничена по g, //, и с.

Учитывая (4) и то, что решение уравнения {—D2 + q2 ц2)щ = qf задается формулой

Мх) = [ h{x~ y)f{y)dy, приходим к выводу:

При малых q главной частью (Aq + T1)-1 будет оператор, обратный к дифференциальному оператору второго порядка — D2jt-q2fi2. В этом случае задача (1) сводится к следующей с новым оператором L\:1

-u'q 4- г/У"о = qLiUo. (5)

Пользуясь (2), запишем эквивалентное (о) интегральное уравнение wo(*) =/ e-^^Lru0(y)dy. (6)

Относительно L\ предположим, что функция h(x) = L[(l)(x) определена и экспоненциально убывает на бесконечности. Переходя к пределу при q —>■ 0 в обеих частях (6), получаем и0(*)|9=0 = COllst., fl]q=0 = \ J hix) dx

Отсюда следует, что стандартная техника т.еории ветвления здесь неприменима, поскольку при нулевом q точечный спектр Т отсутствует — задача (5), а вместе с ней и (1), имеют только обобщенную собственную функцию, равную константе.

В монографии [7] методом определителей показано, что возмущенный вешественнозначной функцией h(x) d С5°() оператор Лапласа -d2/dx2 - qh имеет собственное число при положительных q тогда и только тогда, когда fh(x) dx > 0, причем в окрестности <7=0 собственное число анали-тично по q.

Из требования сходимости интеграла (6) возникает известное [6. 7] условие на функцию h(x): h(0) > 0.

Для построения приближенного решения (1) используется следующий прием: оператор q(Xq + T)~lL представляется в виде суммы операторов То и Т\. где То — конечномерный оператор, а Т\ — малый по норме (порядка q1^2). Кроме того, результат действия оператора Т\ на единицу есть ноль. Исходя из вида решения (6) и того факта, что lim ио(х) = const, для задачи (5) оператор Tq имеет вид:

Так как функция h(x) — быстро убывающая, оператор Tq переводит ограниченные функции в интегрируемые с квадратом, хотя его норма

В связи с вышеизлолсенным, приближенное решение v находится из уравнения

Пользуясь конкретным видом Tq. функцию г>, единственную с точностью до постоянного множителя, можно выписать явно. Заметим, что для задачи (о) г имеет вид

После подстановки v(x) в (7) получаем уравнение на. параметр и — //(g), определяющий приближенное собственное число линейной задачи (1) Aq = -t(iqu). Существование, единственность и свойства функции u{q) следуют из теоремы о неявной функции, условия которой выполнены 0 растет как q 1//2с уменьшением q. v = Tqv при q -> 0, если /?(0) > 0.

Точное решение (1) ищется методом возмущения: щ = v + w, fi = v + г.

В силу конечномерности Го, оператор I — Г0 фредгольмов в Ь^Ш). Условие разрешимости уравнения на w есть уравнение на параметр г. Система уравнений на w, г решается так: сначала устанавливается существование функции т(д,ш), обращающей условие разрешимости в тождество при малых q, w. Затем извлекается главная часть w\ функции w ( w = w 1 + w2); «добавок» ищется методом сжатых отображений.

В процессе решения линейной задачи (1) пришлось преодолеть технические трудности, связанные прежде всего с оценкой вырождающегося оператора (Aq + Г)-1. Путем введения «нормы» N(-) (см. (3.7), с. 55) удалось получить необходимые оценки.

Для исследования нелинейной задачи доказывается самосопряженность и фредгольмовость оператора Aq + Г — qL в пространстве Ь-2(Ш).

Нелинейная задача ветвления, к которой редуцируется задача о волноводе бегущих со скоростью а поверхностных волн формулируется так: при малых значениях параметра q требуется доказать существование нетривиальных экспоненциально убывающих решений уравнения

А + Т)и = qLu + F0{q,a<u) (8) в окрестности пары ( и0. Xq) — собственной функции и собственного числа линейной задачи (1). Здесь — нелинейная правая часть порядка <70//'2, ^ — частота волны, а связь между собственным числом А и скоростью а дается соотношением А = —a^uj2.

Решение (8) ищется в виде и = щ + щ, а = а0 + «ь причем о.о = ~~Aqj иР". Доказывается (гл. 4), что уравнение (8) имеет решение в пространствах функций с экспоненциальным (порядка q) убыванием при всех достаточно малых q > 0. Для определения скорости а служит условие разрешимости, которое добавляется к уравнению (8). Амплитуда волны (как норма в соответствующем пространстве) есть величина порядка

Изложим кратко схему редукции задачи о волноводе поверхностных волн к задаче (8).

Пусть область течения Q (рис. 1, с. 10) ограничена снизу твердым дном цилиндрической формы z = —1 + qh(x), сверху — свободной поверхностью 2: = £(х, у). Вектор ускорения свободного падения коллине-арен оси oz и направлен вниз. Подводный хребет простирается вдоль оси оу.

В предположении потенциальности течения, в точной постановке (жидкость тяжелая идеальная несжимаемая) требуется определить потенциал Ф в частично неизвестной области fi, если известно, что внутри Q функция Ф удовлетворяет уравнению Лапласа; на твердой границе Q ставится однородное условие Неймана (непротекание). На свободной границе ставятся два условия: кинематическое и динамическое. Смысл первого тот же, что и на твердой стенке, второе — это условие постоянства давления.

Известно [9]. что задачи о потенциальных движениях жидкости допускают понижение размерности по независимым переменным на единицу. Для этого вводится оператор «нормальная производная» К (гл. 2. § 1). после чего задача сводится к системе из двух уравнений на своz=^(x,y) z

Рис.1 бодной поверхности а(у +К {q,Q<p = H{qX)r, С - а<ру - а2 А С = J{q,(,V>)

Здесь Н и J — нелинейные правые части уравнений, определяемые формулами (2.8), (2.9) (с. 33). Искомыми функциями являются ((х.-у) и у{х,у) — форма свободной поверхности и след потенциала на ней.

Решение ищется в классах 2тг/^ - периодических функций по у — координате, направленной вдоль хребта. Каждая гармоника при этом является экспоненциально убывающей функцией переменной х (гл. 1, § 1):

Оператор К нелокален и имеет сложную структуру. Присутствие в задаче малого параметра q позволяет выписать несколько первых членов его разложения (теорема 2.3):

А' (д. С) = А'(0) + дЛ~(1) + q2K[2) + А'(3)(?,С), где

Л'(0) = |V| th |V|, Л"(1) = D,\hDr\ + D2ykhk, A = ch"1 |V|.

Норма оператора K^\q,Q является величиной порядка g3.

Следующий шаг — разрешение одного из уравнений получившейся системы относительно функции ((х.у). Доказывается, что при достаточно малых q и р форма свободной поверхности восстанавливается однозначно, а отображение Ф : (q. а, р) И- ( обладает всеми необходимыми для дальнейших исследований свойствами (теорема 2.4).

Разложим пространство решений в прямую сумму двух ортогональных подпространств. Одно из них — это функции, имеющие конечный ряд Фурье («низшие» гармоники с п = ±1). Элементами второго являются функции, разложение которых в ряд Фурье по у начинается с ^ 2 («старшие» гармоники): ^ = <р(°) + где

1 \тг\у2

Уравнение на потенциал (р расщепляется на систему двух уравнений в этих подпространствах. Следует отметить, что в силу однородности по у нелинейной правой части уравнений, (р = 0 — точное решение. Задача заключается в доказательстве существования ненулевых решений. Роль спектрального параметра играет а, специальный выбор которого. а также соотношение auj ^ у/2 между капиллярным числом а и частотой волны uj позволяют по функции — «низшей» гармонике — определить «высшие» гармоники (гл.2, §5): ^^ — 0(д, а, у'0)). Мотивировка выбора а приводится как во введении (с. 6), так и в главе 3 при подробном изучении линейной задачи.

Роль капиллярности в нелинейной задаче и вышеуказанная связь ее с частотой волны обусловливается следующим. Уравнение на ^^ («старшие» гармоники) имеет вид (|?г| ^ 2):

Anipn = Bn(q,a,<pl0\<pM), (9) где .4,, — псевдодифференциальный оператор с символом Вп — малый по q нелинейный оператор. Если а = 0, то при каждом |n| ^ 2 нули функции Ап(£) располагаются на действительной оси: Ап(£п) = 0. Е М. В этом случае оператор, обратный к.4= Y1 егпшуАп, не ОГра

М^г ничен. а для разрешимости (9) необходимо удовлетворить счетному (по количеству £п) числу условий ортогональности.

Присутствие в операторе А капиллярного числа а вместе с неравенством GjJ ^ у/2 гарант,ируют, что нули функций Ап(^) будут располагаться на мнимой оси в точках = doirn, тп ^ ы/2 (лемма 2.2). Следовательно, на подпространстве «старших» гармоник А~1 равномерно ограничен по q, и (9) разрешимо относительно в силу принципа сжимающих отображений (гл.2, §§4,5).

Подстановка = 0(q, а, 9(0)) в уравнение на приводит к задаче (8). Оператор Т задается символом m = [1 + + сJ2)W? + U* th v^T^; оператор

L = —e~iujy |P[A'(1) + qK{2)]j егшу, где P= I -a2(D2x + D2y).

Краткий обзор содержания работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Дмитрий Сергеевич, 2001 год

1. W. Н. Munk, R. S. Arthur. Wave intensity along a refracted ray // Gravity Waves., Nat. Bur. Standarts, Circ., 1952. p. 521.

2. Сунь Цао. О волноводе поверхностных волн тяжелой жидкости // Известия СОАН СССР. Новосибирск: Изд. АН СССР, 1959. №5. С. 20 25.

3. Гарипов P.M. Неустановившиеся волны над подводным хребтом // Доклады академии наук СССР. М.: Наука, 1965. т. 161, №3. С. 547 550.

4. Гарипов P.M. Асимптотика волн Коши-Пуассона // Сб. Некоторые проблемы математики и механики. JI.: Наука, 1970. С. 135 -145.

5. Биченков Е.И., Гарипов P.M. Распространение волн на поверхности тяжелой жидкости в бассейне с неровным дном // ПМТФ. М.: Наука, 1969. №2. С. 21 26.

6. Налимов В.И., Плотников П.И. Нерегулярные задачи на собственные значения и эффект волновода // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1975. Вып. 23. С. 132 150.

7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 4. М.: Мир, 1982.

8. Овсянников JI.B. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1973. Вып. 15. С. 104 125

9. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.

10. Налимов В.И. Докритические течения из-под щита // Журнал прикладной механики и технической физики, 1998. №1. С. 54 -60.

11. Налимов В. И. Псевдодифференциальные операторы с аналитическими символами // Сиб. мат. журн., 1997. Т. 38, №3. С. 627 -637.

12. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

14. Б ере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

15. Псевдодифференциальные операторы. Сборник статей. М.: Мир, 1967.

16. Стокер Дж. Волны на воде. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1959.

17. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962.

18. Дъедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.

19. Кузнецов Д.С. Линейные стационарные волны над подводным хребтом // Тр. Межд. Конф. «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Уфа, 2000. С. 37 40.

20. Кузнецов Д. С. Нелинейные стационарные поверхностные волны над подводным хребтом // Тр. Межд. Конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск, 2000. С. 130 134.

21. Кузнецов Д. С. Нестандартные задачи ветвления и эффект волновода // Тр. 32-й Per. Конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург, 2001. С. 127 132.

22. Кузнецов Д.С. Задача о возмущении спектра и приложение её к волнам над подводным хребтом // Сиб. мат. журн., 2001. Т. 42, №4. С. 794 812.

23. Кузнецов Д. С. Нелинейные стационарные поверхностные волны над подводным хребтом // Сиб. мат. журн. (в печати).