О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Моисеев, Тихон Евгеньевич

• Моисеев, Тихон Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Моисеев, Тихон Евгеньевич

Содержание

Введение

Глава 1. Нелокальные краевые задачи

1.1. О теоремах единственности решений нелокальных краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

1.2. Решение нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона

со смешанными краевыми условиями с помощью функции Грина

Глава 2. Краевые задачи с наклонной производной

2.1. О решении уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями

2.2. Об одном варианте задачи с наклонной производной

2.3. Разрешимость краевых задач с наклонной производной

Глава 3. Задачи со смешанными краевыми условиями

3.1. О единственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа

3.2. О разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными краевыми условиями

3.3. Формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе

3.4. Об условной разрешимости задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями

Глава 4. Интегральные представления

4.1. Об интегральном представлении решения уравнения Лапласа

со смешанными краевыми условиями

4.2. Эффективное интегральное представление одной краевой задачи со смешанными краевыми условиями

4.3. О разрешимости задачи Трикоми с обобщенным условием склеивания Франкля

4.4. О неединственности решения задачи Трикоми с обобщенным условием склеивания Франкля

Глава 5. Разрешимость задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева—Бицадзе с неклассическими условиями склеивания градиента (по Франклю) на линии изменения типа уравнения

5.1. Задача Геллерстедта с неклассическими условиями склеивания градиента решения на линии изменения типа с данными на внешних характеристиках

5.2. Задача Геллерстедта с неклассическими условиями склеивания градиента решения на линии изменения типа с данными на внутренних характеристиках

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиями»

Введение

Актуальность работы. Работа посвящена изучению разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа. Одним из первых, кто поставил и решил корректную задачу для уравнений смешанного типа был Трикоми [42], чье имя и название получило уравнение

д2и д2и

Задача Трикоми — найти регулярное решение уравнения (1), когда задаются условия первого рода на границе области эллиптичности и на одной из характеристик уравнения (1). При определенных требованиях на градиент решения уравнения на линии изменения типа, Трикоми удалось решить эту задачу. Метод решения этого уравнения — это сведение уравнения (1) к сингулярному интегральному уравнению с последующей его регуляризацией. Этот метод остается и сейчас одним из основных при решении уравнений смешанного типа. Трикоми также сформулировал еще одну задачу для уравнения (1), когда носителем данных является не вся характеристика, а только ее часть. Соответствующая задача получила название "задача с отходом от характеристики". Эта задача существенно трудней, чем просто задача Трикоми.

Геллерстедт [45] в докторской диссертации (1935 г.) поставил новые задачи для уравнения Трикоми, которые называются теперь задачами Геллер-стедта.

Отметим еще работу С. А. Чаплыгина "О газовых струях", написанную им в 1909 г., но получившую признание после 1945 г. [43].

Новым толчком к изучению задач смешанного типа и уравнений, вырождающихся на границе области послужила статья М. В. Келдыша [11], опубликованная в 1951 г., в которой он показал, что задача Дирихле для вы-

рождающихся на границе области уравнений, вообще говоря, некорректно поставлена. Подробные результаты об уравнениях, вырождающихся на границе и об уравнениях смешанного типа, можно найти в книгах М. М. Смирнова [39] (1966, 1970, 1985 гг.) и книге А. В. Бицадзе [1] "Некоторые классы уравнений в частных производных" (1981 г.) , а также в монографии О. И. Маричева, А. А. Килбаса, О. А. Репина [15] "Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами" (2006 г. ). В этой монографии на современном уровне изложена часть наиболее важных результатов, взятая из книг М. М. Смирнова , А. В. Бицадзе, Е. И. Моисеева и научных статей других авторов, вышедших с 1950 г . по 2006 г. В этой же книге приведено уравнение Лаврентьева-Бицадзе, которое появилось в 1950 г.

ихх + {щпу)иуу = 0. (2)

Для этого уравнения, М. А. Лаврентьевым был предложен аналог задачи Трикоми, которая формулируется следующим образом: введем область V = V1 и V 2, где Х>1 = {0 < г < 1, 0<©<7г} — полукруг в верхней полуплоскости. На границе полукруга задано условие

и(1,е) = де), (з)

где функция /(0) — функция из класса Гельдера с некоторым показателем 0 < а < 1, Т>2 —это область в нижней полуплоскости, ограниченная отрезком линии изменения типа и характеристиками уравнениями (2). Для простоты будем считать, что

и(х, -х - 1) = 0, я Е (-1,0). (4)

Кроме этого, на линии изменения типа должны выполняться условия

сопряжения

ди. ди.

(6)

В этих предположениях А. В. Бицадзе [1], [2] доказал принцип экстремума для задачи (2)-(6). Экстремум не может достигаться на линии изменения типа уравнения. Из этого сразу следует единственность задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

А. В. Бицадзе [1], [2] получил изящное представление задачи Трикоми в эллиптической части области в виде контурного интеграла

и(2) = Яе- /(*)

7гг

1 — г I-*2

1

1

Ь — г 1 — Ьг

(7)

используя формулу Келдыша-Седова. Этот метод приведен в книге М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [13] "Методы теории функций комплексного переменного". Е. И. Моисеев [19] получил эту формулу спектральным методом, выписав решение задачи Трикоми в виде биортогонального ряда, а затем просуммировав этот ряд. Большой вклад в развитие спектральной теории решения краевых задач дифференциальных уравнений внес академик В. А. Ильин [7].

В общем случае можно показать, что все предыдущие рассуждения верны и для кривой Ляпунова (существование и единственность решения задачи (2)—(6)), но выписать решение для кривой Ляпунова в явном виде, вообще говоря, невозможно.

Отметим, что А. В. Бицадзе [1], [2] вывел своеобразную формулу среднего значения для гармонической функции

и(0,0)

1

7Г

у/2 }

А. В. Бицадзе исследовал также случай, когда в области эллиптичности задана нормальная производная. Он также доказал, что решение задачи Три-коми с отходом от характеристики при определенных ограничениях существует и единственно. Впоследствии эти ограничения были сняты. А. В. Бицадзе [1], [2] показал, что задача Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе некорректно поставлена и указал те области, для которых эта задача может быть корректна.

Ф. И. Франкль [44] обнаружил ряд важных приложений уравнений смешанного типа к задачам трансзвуковой газовой динамики и теории сопел Ла-валя. Им была поставлена новая задача, известная теперь, как задача Франк-ля.

Следующим этапом стало рассмотрение уравнение Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром

ихх + ^п у)иуу + Х2и = 0, (8)

или

^п у)ихх + Чуу + Х2и = 0. (9)

Уравнение (8) исследовал С. М. Пономарев, а уравнение (9) — Е. И. Моисеев. С. М. Пономарев выписал собственные функции для уравнения (8) и исследовал их на полноту.

Е. И. Моисеев для уравнения (9) получил априорные оценки решения задачи Трикоми, а при Л = 0 построил явно функцию Грина для задачи Трикоми. Он впервые установил области на комплексной плоскости, в которых нет точек спектра задачи Трикоми для таких уравнений, как уравнение Лаврентьева-Бицадзе и уравнение Трикоми со спектральным параметром. Е. И. Моисеев исследовал также уравнение Трикоми и получил результаты, аналогичные результатам уравнения Лаврентьева-Бицадзе. то есть нашел сектора на комплексной плоскости, где не лежит спектр задачи Трикоми.

Эти результаты изложены в книге Е. И. Моисеева [18] "Уравнения смешанного типа со спектральным параметром". В 1984 и 1987 гг. он находит точные условия полноты, минимальности и базисности неортогональных систем синусов и косинусов с нецелочисленным индексом [16], [17]. Основываясь на этих результатах, он публикует цикл статьей [19], [20] в 1990-1992 гг., в которых был предложен спектральный метод решения задач Трикоми и Геллерстед-та для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, а также для уравнения Трикоми и вырождающихся уравнений через биортогональные ряды. Однако вопрос о разрешимости задач со смешанными краевыми условиями в эллиптической части области практически не был исследован. Настоящая диссертация и призвана восполнить этот пробел.

Задачи со смешанными краевыми условиями возникают при рассмотрении нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского [3] или при сведении нелокальной задачи Геллерстедта к двум локальным задачам [8]. Кроме упомянутых авторов вопросами разрешимости уравнений смешанного типа занимались следующие ученые: В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джура-ев, В. Н. Диденко, В. И. Жегалов [5], А. Н. Зарубин [6], Т. Ш. Кальменов [9], Г. Д. Каратопраклиев, Н. Ю. Капустин [10], И. Л. Кароль, В. А. Кондратьев [12], А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, А. С. Макин [14], А. М. Наху-шев [36], О. А. Репин [15], С. П. Пулькин , К. Б. Сабитов [10], М. С. Салахит-динов, А. Л. Скубачевский, А. П. Солдатов, А. А. Полосин [38], А. В. Псху, Р. С. Хайруллин.

Эти авторы и их ученики развивали как традиционные направления, так и ставили новые задачи для уравнений смешанного типа.

Цель диссертационной работы. Изучение разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа со смешанными краевыми условиями в эллиптической части области для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Изучение разрешимости задачи Геллерстедта с условиями склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения.

Представление решений указанных задач в виде биортогональных рядов и изучение их сходимости.

Получение эффективных интегральных представлений решений указанных задач.

Выяснение условий разрешимости соответствующих задач и единственности их решений .

Получение формул среднего значения гармонической функции для выяснения применимости принципа экстремума .

Нахождение функции Грина в явном аналитическом виде для некоторых задач.

Научная новизна.

1. Впервые получена формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе, когда на радиусах этого сектора наклонные производные с постоянным углом наклона равны нулю. Доказано, что эта формула справедлива, если сумма углов наклона производных не отрицательна, и не справедлива в противоположном случае. Эта формула совпадает с формулой среднего значения А. В. Бицадзе при сумме углов наклона производных равной нулю. Полученная в диссертации формула необходима при применении принципа экстремума для гармонической функции.

2. Впервые исследована разрешимость краевой задачи для гармонической функции в круговом секторе, когда на дуге сектора задано условие первого рода, а на радиусах сектора наклонные производные равны нулю. Доказано, что такая задача однозначно разрешима, если сумма углов наклона производных неотрицательна. Когда эта сумма меньше нуля, однородная задача имеет нетривиальное решение, а неоднородная задача всегда разрешима при любых данных Дирихле на дуге сектора. Полученные решения выписа-

ны в виде биортогональных рядов. Эти же решения выписаны в виде восьми интегралов типа Коши. Одним из частных случаев этих решений является изящная интегральная формула А. В. Бицадзе. Все результаты справедливы для любой области, которая является образом конформного отображения кругового сектора.

3. Впервые изучена разрешимость двух задач Трикоми со смешанными краевыми условиями (на одной части границы эллиптической области задано краевое условие первого рода, а на другой — наклонная производная). Для одной из них доказано существование нетривиального решения однородной задачи при определенном угле наклона производной и однозначная разрешимость неоднородной задачи при других углах. Для сопряженной задачи Трикоми доказано, что в зависимости от угла наклона производной, задача либо условно разрешима, либо однозначно. Решения этих задач выписаны в виде биортогональных рядов.

4. Впервые рассмотрены задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями и с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. Доказано, что в зависимости от значения параметра склеивания и угла наклона производной задачи либо однозначно разрешимы, либо однородная задача имеет нетривиальное решение и при этом неоднородная всегда разрешима, либо неоднородная задача условно разрешима. Для решений этих задач получены интегральные представления в виде интегралов типа Коши.

5. Впервые изучены задачи Геллерстедта с условиями склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Доказано, что в зависимости от значений параметров склеивания задачи Геллерстедта либо однозначно разрешимы, либо однородная задача имеет нетривиальное решение и при этом неоднородная всегда разрешима, либо неоднородная задача условно разрешима. Для решений этих задач получены интегральные представления в виде интегралов типа Коши.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Предложенные методы могут быть использованы для дальнейшего изучения и развития теории уравнений смешанного типа. Полученные результаты могут применяться для решения прикладных математических задач. Например, для ряда важных приложений уравнений смешанного типа к задачам трансзвуковой газовой динамики и теории сопел Л аваля.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на международных конференциях: "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), посвященной 100-летию академика А. Н. Тихонова; "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2007 и 2011), посвященных памяти академика И. Г. Петровского ; "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва, 2008), посвященной 100-летию со дня рождения академика Л. С. Понтрягина; "Современные проблемы математики, механики и их приложений", (Москва, 2009), посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего; "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Москва, 2009), посвященной 90- летию со дня рождения академика А. А. Самарского.

Доклады также были сделаны на конференции факультета ВМК МГУ "Тихоновские чтения" (Москва, 2010) и на конференции МГУ "Ломоносовские чтения" (Москва, 2011), посвященной 300-летию со дня рождения М. В. Ломоносова.

Результаты работы неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры вычислительных методов, а также кафедры функционального анализа и его применений.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации представлены в 15 работах автора, опубликованных в журналах, входящих в перечень ВАК. Список публикаций приведен в конце диссертации.

Во введении приведены основные исторические этапы развития теории уравнений смешанного типа, на основании чего ставятся цели данной работы и обосновывается ее актуальность. Кроме того, формулируется научная новизна и значимость полученных результатов, а также излагается краткое содержание работы.

В первой Главе диссертации рассматриваются два нелокальных аналога задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева- Бицадзе, в эллиптической части области которого заданы нелокальные условия Бицадзе-Самар-ского. Доказано, что каждая из этих задач сводится к двум локальным задачам и формулируются две теоремы о единственности и существовании решений этих локальных задач.

Кроме того, рассматривается краевая задача со смешанными краевыми условиями и нелокальным условием четности для уравнения Пуассона в области, ограниченной полукругом. Для этой задачи построена функция Грина в явном аналитическом виде.

1.1. О теоремах единственности решений нелокальных краевых задач для уравнения Лаврентьева—Бицадзе

1.1.1. Постановка задачи

В области £> = £>+ и £>1_ и £>2_, где Г>+ = {(г, 0) : 0 < г < 1, 0 < 0 < < 7г} — полукруг в верхней полуплоскости,

V1_ = {{x,y): -у<х<у + 1, —1/2 < < 0},

Р2- = {{х,у) : -у-1<х<у, -1/2 < у < 0},

равнобедренные прямоугольные треугольники в нижней полуплоскости, изучается единственность регулярного решения уравнения

ихх + (у) -иуу = 0 в V, (10)

удовлетворяющего следующим краевым условиям: на границе области Т>\ задается нелокальное условие четности

и(1,0) =и(1,тг-0), Э е [0,71-/2], (И)

и нормальная производная

ди дг

В гиперболической области задаются условия Геллерстедта:

= /(6), 6 € (0,7Г/2). (12)

г=\

(13)

и{х, х - 1) = 0, ж €[1/2,1],

и{х,-х- 1)=0, х Е [—1/2, —1]. Регулярное решение задачи (10)—(13) изучается в классе функций

и е С°(Т>) П С2(р+) П С2(А_) П С2(£>2-),

где V — замыкание области и предполагается, что функция и(х. у) непрерывно дифференцируема при переходе через отрезки (0,1) и ( — 1,0) действительной оси и gradг¿ может обращаться в бесконечность медленнее первой степени в точках ( — 1,0), (0,0) и (1,0).

Для дальнейшего изложения удобно определить область

£>1+ = {(г, 6) : 0 < г < 1, 0 < в < тг/2}

и ее замыкание Т)\+.

Наряду с задачей (10)—(13) будем также изучать единственность регулярного решения краевой задачи (10). (12), (13) с нелокальным условием нечетности

и(1,0) =-и(1,тг-0), 0е[О,тг/2], (14)

Решение задачи (10), (12)—(20) ищется в том же классе функций, что и решение задачи (10)—(13).

Поскольку речь идет о единственности решения задач (10)—(13) и (10), (12)—(20), то будем предполагать, что / = 0. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 0.1. [1.1] Однородная задача (10)-(13) с нелокальным условием четности имеет только тривиальное решение.

Теорема 0.2. [1.2] Однородная задача (10), (12)-(20) с нелокальным условием нечетности имеет только тривиальное решение.

Замечание 0.1. Теоремы 0.1 и 0.2 моо/сно доказать для областей более общих, чем полукруг, а именно для области Т>\, симметричной относительно прямой Оу.

1.2. Решение нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона со смешанными краевыми условиями с помощью функции Грина

В области, ограниченной полукругом, рассмаривается краевая задача со смешанными краевыми условиями и нелокальным условием четности для уравнения Пуассона. Для этой задачи построена функция Грина в явном аналитическом виде, с помощью которой выписано решение исходной задачи, причем оно выписывается не прибегая к решению сингулярного интегрального уравнения. Рассмотрены другие варианты краевых условий и для них выписано решение через функцию Грина.

1.2.1. Постановка задачи

В области V — {(г, в) : 0 < г < 1. О < в < 7г} рассмотрим следующую задачу для оператора Лапласа. Найти регулярное решение уравнения Пуассона

Аи = / в V, (15)

которое удовлетворяет следующим краевым условиям: на границе области Т) задается нелокальное условие четности

и(1,е) = и(1,тг-0), ее[о,тг/2],

(16)

и нормальная производная

ди д г

7-1

О 6е(0,тг/2),

(17)

а на интервалах ( — 1.0) и (0,1) оси абсцисс задаются наклонные производные

= 0, же (-1,0) (18)

ди ди дх д у

у=0

' ди ди\ дх ду)

0, ж е (0,1), и(1,0) = и(1,тг) = 0.

(19)

у=0

Под регулярным решением задачи (15)—(19) будем понимать функцию, принадлежащую классу

и е С°(Т>) ПС2(Р),

где Т> — замыкание области Т>, и gradг¿ непрерывен до следующих участков границы области

V = { г = 1, 0 < в< ^}и{у = 0, —1 <гг<0}и{у = 0,0<х< 1}.

£

Функция / принадлежит классу Гельдера / Е Са1(Т>), где а\ — некоторое ЧИСЛО, 0 < СХ1 < 1.

Для дальнейшего изложения удобно определить область

= {(г, в) : 0 < г < 1, 0<9< тт/2),

а Т>1+ — замыкание области Т>\+.

Наряду с задачей (10)—(13) будем также изучать единственность регулярного решения краевой задачи (10). (12), (13) с нелокальным условием нечетности

и(1,6) =-и(1,тг-6), 9е[0;тг/2], (20)

Теорема 0.3. [1.3] Решение задачи (15)-(19) единственно.

Теорема 0.4. [1.4] Решение задачи (15)-(19) может быть выписано в виде и = II + V, где функции и и V определяются соответственно формулами (21) и (22)

У{хъУ\) =

Р(х2, У2)Сг{а, /5, С, Г]) (1х2 &У2;

(21)

в

1+

и(хиуг) = Т{х2,У2)02{а,13^)Г1)(1х2(1у2-

■к/2

дУ дг

¿е. (22)

г=1

Функции и С?2 — это функции Грина, определяемые формулами

+

(а - С)2 + (/3 + ту)

2 \ 1/2

+ (-1}Чп

2

+

+ {-1У arctg + (-1 У'1 arctg

/5 + С

Во второй главе изучается разрешимость краевых задач для уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями трех видов. Такие задачи возникают при изучении краевых задач для уравнений смешанного типа.

2.1. О решении уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями

Рассматривается смешанная краевая задача для уравнения Лапласа. Краевые условия - это заданная нормальная производная на части границы и наклонная производная на другой его части. Решение выписано в виде биор-тогонального ряда. Установлено, что если задача вырождается в задачу Неймана, то возникает условие разрешимости, в других случаях никаких дополнительных условий не требуется. Такие задачи появляются при исследовании уравнений смешанного типа с нулевыми данными на характеристиках.

2.1.1. Постановка задачи

В области, ограниченной единичной окружностью, прямыми х = 0 и у = 0, требуется найти решение уравнения Лапласа

Аи = О, 17

удовлетворяющее следующим краевым условиям: на единичнои окружности задана нормальная производная

ди дг

= /(©), в е (0,71-/2),

(25)

г=1

на промежутке 0 < у < 1 оси х — 0 условие второго рода

= 0

ди дх

(26)

ж=0

(которое в данном случае совпадает с нормальной производной) и на промежутке 0 < х < 1 оси у = 0 наклонная, записанная в полярных координатах производная

/ г)и 1 Йи\

0. (27)

' 1

0=0

дг гд 0

Решение задачи (24)-(27) будем искать в классе функций и Е С0И П С2(Б), непрерывно дифференцируемых вплоть до границы, за исключением точек (0,0), (1,0), (0,1). Здесь И - замыкание области И. При к = 1 и к = — 1 к этой задаче сводятся задачи Трикоми, Геллерстедта и одна нелокальная задача Геллерстедта с условием четности. Отметим, что при к — 0 задача (24)-(27) является задачей Неймана и она разрешима при условии

тг/2

ДО) ¿0 = 0. (28)

При выполнении условия (28) решение задачи Неймана выписывается в виде ряда Фурье и оно определяется с точностью до константы. При других значениях к решением однородной задачи (24)-(27) является константа, но дополнительных условий на функцию /(0) для неоднородной задачи не возникает и решение выписывается в виде биортогонального ряда. Ранее такие задачи сводились к проблеме Римана-Гильберта.

Теорема 0.5. [2.1] При к > 0 для функции /(©), принадлеэюащей классу Гёлъдера на отрезке [0,7г/2]. решение задачи (24)-(27) имеет вид

00 /

7Г

и = ^Кгапсоъап[--е \ +С. (29)

п=О ^ '

Здесь С - произвольная постоянная, ап = 2п + 2©о/7г, п = 0,1,..., где ©о = агс^/с, Ап - коэффициенты биортогонального разложения.

Теорема 0.6. [2.2] При к < 0 решением задачи (24)~(27) является ряд

ОО / \

и = 12 АпГ°п со8 ап с' (30)

если /(©) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [0,7г/2] функция и ее производная принадлежит классу Гёльдера на отрезке [0,7г/2]. Здесь С -произвольная постоянная, ап = 2п + 2©о/7г, п — 1,2,..., ©о = arctg /с.

2.2. Об одном варианте задачи с наклонной производной

В области И. являющейся четвертью круга, рассмотрим следующую задачу. Найти гармоническую функцию, которая на отрезке [0,1] оси х — О принимает нулевое значение, на интервале (0,1) оси у = 0 имеет наклонную производную

/ г)и г)т\

= о, (31)

du ^ди ду дх /

у=О

а на оставшейся части границы задана нормальная производная, равная нулю. Приведен пример, показывающий, что при к > 0 задача имеет нетривиальное решение, а при других к - только нулевое решение.

Отметим, что однородная задача Трикоми для уравнения Лаврентье-ва-Бицадзе

ихх + №пу)иуу = 0 (32)

имеет единственное нулевое решение вне зависимости от задания нулевых условий как на левой, так и на правой характеристике, т. е. однородная задача Трикоми всегда имеет только нулевое решение.

2.2.1. Постановка задачи

В области В = {(г, в) :0<г<1, 0<в< тг/2} рассмотрим следующую задачу. Найти гармоническую функцию, удовлетворяющую в области Б уравнению

Аи = 0, (33)

и следующим краевым условиям: на границе области И заданы нормальная производная

Ян

= 0, ее (0,71-/2), (34)

ди дг

г=1

при у = 0, 0 < ж < 1 наклонная производная (31), а на линии х = 0 при у Е [0.1] условие первого рода

и(г, тг/2) = 0. (35)

Под регулярным решением задачи (33), (31), (34), (35) будем понимать функцию, принадлежащую классу и Е С0(Б) П С2(И), непрерывно-дифференцируемую вплоть до границы, за исключением точек (0, 0), (1, 0), (0,1), в которых gradг¿ может иметь особенность ниже первой степени.

Случай к = — 1 соответствует левой характеристике, а к = 1 - правой. В нашей задаче единственность будет зависеть от знака к.

2.2.2. Основные результаты

Теорема 0.7. [2.3] Задана (33), (31), (34), (35) имеет единственное решение в следующих случаях: при к < 0 или при условии и(1, 0) = 0.

Теорема 0.8. [2.4J При к > 0 существует только одно линейно независимое нетривиальное решение и оно может быть записано в виде

00

и(г, в) = s,n(2n+1-2e°) (1-е), (36)

п=0 \ 71 / \ /

где ©о = arctg k, а Ап - коэффициенты биортогонального разложения.

2.3. Разрешимость краевых задач с наклонной производной

В параграфе приведены две постановки смешанных краевых задач для уравнения Лапласа. Особенностью этих задач является наличие нетривиального решения. Доказывается разрешимость неоднородных краевых задач.

2.3.1. Постановка задачи

В области И — {(г, ©) : 0 < г < 1,0< Э < 7г/2}, - замыкание области I), рассмотрим смешанную краевую задачу. Найти в области И функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа

Аи = 0 (37)

и следующим краевым условиям: заданы на четверти окружности единичного радиуса неоднородное условие первого рода

и( 1,9) = /(0), 9 е [0,71-/2], (38)

где /(О) - функция из класса Гёльдера, при у — 0 наклонная производная с постоянным углом наклона к

'k^U + ^ ч дх ду.

= 0, ж G (0,1), (39)

у=о

а при х = 0 условие второго рода

= 0, у G (0,1). (40)

du дх

х=0

Под регулярным решением задачи (37)-(40) будем понимать функцию, принадлежащую классу и Е С°(£)) ПС2(1)), непрерывно дифференцируемую вплоть до границы, за исключением точек (0.0), (1,0), (0,1), в которых gradгг может иметь особенности ниже первой степени.

Теорема 0.9. [2.5] Однородная задача (37)-(40) имеет единственное решение в следующих случаях: при к, большем или равным нулю, либо при к < 0 и и{0,0) = 0.

2.3.3. Построение нетривиального решения однородной задачи (37)—(40) при к < 0.

Теорема 0.10. [2.6] Если к < 0 и и(0,0) Ф 0, то нетривиальное решение однородной задачи (37)-(40) существует и выписывается в виде ряда

где С - произвольная постоянная, не равная нулю. Ряд (41) сходится равномерно и других линейно независимых решений задача (37)-(40) не имеет. Коэффициент ап определяется равенством ап — — (2/ж) аг^ к + 2п, а Вп -коэффициенты биортогонального разложения.

2.3.4. Решение неоднородной задачи (37)-(40)

Пусть к < 0. Рассмотрим ряд с пока произвольными биортогональными коэффициентами Ап

IV — и

Нетрудно убедиться в том, что каждое слагаемое ряда (42) является гармонической функцией и удовлетворяет однородным краевым условиям (39)

71=0

(41)

(42)

и (40). Для того чтобы ряд удовлетворял неоднородному условию (38), используем тот факт, что биортогональные системы у рядов (41) и (42) совпадают. Отсюда получаем явное выражение для Ап:

An —

7Г

7Г

2

71 = 0,1,2,... (43)

о

Итак, неоднородное решение задачи (37)-(40) с неоднородным условием (38) построено. Отметим, что выражения для коэффициента /3 у рядов (41) и (42) совпадают. Используя оценку, полученную в п. 2 для коэффициента ¡3, устанавливаем равномерную сходимость ряда (42). Таким образом, неоднородное решение задачи (37)-(40) построено.

При к > 0 будем искать решение в виде ряда

ОО /

7Г

u = J2B"ran cosaj- -в] +Б0. (44)

п=1 ^ '

Здесь Вп - биортогональные коэффициенты, Bq - произвольная положительная константа. Явные выражения коэффициентов Вп выписаны в статье [21]. Там же доказана равномерная сходимость ряда (44).

Теорема 0.11 (2.7) Решение неоднородной задачи (31)-(40) существует, если f принадлежит классу Гёльдера и записывается в виде ряда (44) при к > 0 или в виде ряда (42) при к < 0.

В третьей главе впервые получена формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе, когда на радиусах этого сектора наклонные производные с постоянным углом наклона равны нулю. Доказано, что эта формула справедлива, если сумма углов наклона производных не отрицательна, и не справедлива в противоположном случае. Эта формула совпадает с формулой среднего значения A.B. Бицадзе при сумме углов наклона производных равной нулю.

Получен критерий однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для гармонической функции в секторе круга, на дуге которого задано первое краевое условие, а на радиусах задаются наклонные производные с постоянным углом наклона на каждом из радиусов. Решение этой задачи выписано в виде биортогонального ряда. Построено нетривиальное решение однородной задачи. На основе полученных результатов изучена разрешимость двух задач Трикоми со смешанными краевыми условиями. Для одной из этих задач доказано существование нетривиального решения однородной задачи при определенном угле наклона производной, а при других углах — однозначная разрешимость неоднородной задачи. Для другой задачи Трикоми доказано, что в зависимости от угла наклона производной задача либо условно разрешима, либо однозначно разрешима. Условие разрешимости явно выписано в виде интеграла с помощью формулы среднего значения.

3.1. О единственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа

3.1.1. Постановка задачи

В области V = [{г, ■#} : 0 < г < 1, 0 < $ < 7г/2] требуется найти решение уравнения Лапласа

Аи = О

(45)

которое удовлетворяет следующим краевым условиям:

и(М) = /(0), 19 е [0,тг/2],

(46)

1 ди ,

Г ОХ7

(47)

1 ди ди

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Моисеев, Тихон Евгеньевич

Выводы. Основные результаты

1. Впервые получена формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе, когда на радиусах этого сектора наклонные производные с постоянным углом наклона равны нулю. Доказано, что эта формула справедлива, если сумма углов наклона производных не отрицательна, и не справедлива в противоположном случае. Эта формула совпадает с формулой среднего значения А. В. Бицадзе при сумме углов наклона производных равной нулю. Полученная в диссертации формула необходима при применении принципа экстремума для гармонической функции.

2. Впервые исследована разрешимость краевой задачи для гармонической функции в круговом секторе, когда на дуге сектора задано условие первого рода, а на радиусах сектора наклонные производные равны нулю. Доказано, что такая задача однозначно разрешима, если сумма углов наклона производных неотрицательна. Когда эта сумма меньше нуля, однородная задача имеет нетривиальное решение, а неоднородная задача всегда разрешима при любых данных Дирихле на дуге сектора. Полученные решения выписаны в виде биортогональных рядов. Эти же решения выписаны в виде восьми интегралов типа Коши. Одним из частных случаев этих решений является изящная интегральная формула А. В. Бицадзе. Все результаты справедливы для любой области, которая является образом конформного отображения кругового сектора.

3. Впервые изучена разрешимость двух задач Трикоми со смешанными краевыми условиями (на одной части границы эллиптической области задано краевое условие первого рода, а на другой — наклонная производная). Для одной из них доказано существование нетривиального решения однородной задачи при определенном угле наклона производной и однозначная разрешимость неоднородной задачи при других углах. Для сопряженной задачи

Трикоми доказано, что в зависимости от угла наклона производной, задача либо условно разрешима, либо однозначно. Решения этих задач выписаны в виде биортогональных рядов.

4. Впервые рассмотрены задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями и с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. Доказано, что в зависимости от значения параметра склеивания и угла наклона производной задачи либо однозначно разрешимы, либо однородная задача имеет нетривиальное решение и при этом неоднородная всегда разрешима, либо неоднородная задача условно разрешима. Для решений этих задач получены интегральные представления в виде интегралов типа Коши.

5. Впервые изучены задачи Геллерстедта с условиями склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Доказано, что в зависимости от значений параметров склеивания задачи Геллерстедта либо однозначно разрешимы, либо однородная задача имеет нетривиальное решение и при этом неоднородная всегда разрешима, либо неоднородная задача условно разрешима. Для решений этих задач получены интегральные представления в виде интегралов типа Коши.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Моисеев, Тихон Евгеньевич, 2013 год

Литература

1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

3. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач //ДАН СССР. 1969. Т. 185, № 4. С. 739-740.

4. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. Задача с косой производной //Матем. сб. 1969. Т. 78. С. 148-179.

5. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии //Ученые записки Казан, гос. ун-та. 1962. Т. 122, кн. 3. С. 3-16.

6. Зарубин А. Я. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Орел: ОГУ, 1999. 225 с.

7. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991. 368 с.

8. Ионкин Н. И., Моисеев Т. Е. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями //Доклады РАН. 2005. Т. 400, № 5. С. 592-595.

9. Калъменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 13. С. 1718-1725.

10. Капустин Н. Ю, Сабитов К. Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа //Дифферент уравнения. 1991. Т. 27, № 1. С. 60-68.

11. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области //ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 2. С. 177-179.

12. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками //Труды московского математического общества. 1967. Т. 16. С. 123-187.

13. Лаврентьев М. А., Шабат М. В. Методы теории функций комплексного переменного. М: Наука, 1973. 736 с.

14. Макин А. С. О свойствах корневых функций и спектральных разложений отвечающих несамосопряженным дифференциальным уравнениям. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1993.

15. Маричев О. И, Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самар. гос. экон. ун-та, 2008. 276 с.

16. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов //ДАН СССР. 1984. Т. 275, № 4. С. 794-798.

17. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов //Дифферент уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 177-179.

18. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. 149 с.

19. Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях //Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 1. С. 93-104.

20. Моисеев Е. И. Применение метода разделения переменных для решений уравнений смешанного типа //Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 7. С. 1160-1172.

21. Моисеев Е. И. О дифференциальных свойствах разложений по системам синусов и косинусов //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 1. С. 117-126.

22. Моисеев Т. Е. О теоремах единственности решений нелокальных краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 710-712.

23. Моисеев Т. Е. Решение нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона со смешанными краевыми условиями с помощью функции Грина //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1423-1425.

24. Моисеев Т. Е. О решении уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 4. С. 563-566.

25. Моисеев Т. Е. Об одном варианте задачи с наклонной производной //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С. 1434-1436.

26. Моисеев Т. Е. Разрешимость краевых задач с наклонной производной //Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 7. С. 995-997.

27. Моисеев Т. Е. О неединственности решения смешанной краевой

задачи для уравнения Лапласа //Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 712-714.

28. Моисеев Т. Е. О разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 10. С. 1512-1514.

29. Моисеев Т. Е. Формула среднего значения для Гармонической функции в круговом секторе //Доклады РАН. 2010. Т. 432, № 5. С. 592-593.

30. Моисеев Т. Е. Об условной разрешимости задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1513-1515.

31. Моисеев Т. Е. Об интегральном представлении решения уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 10. С. 1446-1451.

32. Моисеев Т. Е. Эффективное интегральное представление одной краевой задачи со смешанными краевыми условиями //Доклады РАН. 2012. Т. 444, № 2. С. 150-152.

33. Моисеев Т. Е. О решении задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1404-1408.

34. Моисеев Т. Е. О полноте собственных функций одной нелокальной задачи Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 1568-1570.

35. Моисеев Т. Е. О разрешимости одного нелокального варианта задачи Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 10. С. 1382-1386.

36. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 288 с.

37. Пономарев С. М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева-Бицадзе. Дисс. д. физ.-мат. наук. М.: 1981.

38. Полосин А. А. О задаче с отходом от характеристики для уравнения Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1428-1442.

39. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

40. Скубачевсий А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах //Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 9. С. 1500-1599.

41. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

42. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. 443 с.

43. Франкль Ф.И. Об одном классе решений газодинамических задач С. А. Чаплыгина //Ученые записки МГУ. 1951. 154. Механ., № 4. С. 287-310.

44. Франкль Ф.И. Два газодинамических приложения краевой задачи Лаврентьева-Бицадзе //Вестн ЛГУ, Сер. матем., мех., и астр. 1951. Т. 6, № И. С. 3-7.

45. Gellerstedt S. Sur un the problème aux limites pour une equation lineare aux derives partieelles du second ordere de type mixte //Dissertation Uppsalla University, 1935.

Основные публикации по теме диссертации

1. Ионкин Н. И., Моисеев Т. Е. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями //ДАН. 2005. Т. 400, № 5. С. 592-595.

2. Моисеев Т. Е. О теоремах единственности решений нелокальных краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 710-712.

3. Моисеев Т. Е. Решение нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона со смешанными краевыми условиями с помощью функции Грина //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1423-1425.

4. Моисеев Т. Е. О решении уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 4. С. 563-566.

5. Моисеев Т. Е. Об одном варианте задачи с наклонной производной //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С. 1434-1436.

6. Моисеев Т. Е. Разрешимость краевых задач с наклонной производной //Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 7. С. 995-997.

7. Моисеев Т. Е. О неединственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа //Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 712-714.

8. Моисеев Т. Е. О разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 10. С. 1512-1514.

9. Моисеев Т. Е. Формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе //ДАН. 2010. Т. 432, № 5. С. 592-593.

10. Моисеев Т. Е. Об условной разрешимости задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1513-1515.

11. Моисеев Т. Е. Об интегральном представлении решения уравнения

Лапласа со смешанными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 10. С. 1446-1451.

12. Моисеев Т. Е. Эффективное интегральное представление одной краевой задачи со смешанными краевыми условиями //ДАН. 2012. Т. 444, № 2. С. 150-152.

13. Моисеев Т. Е. О решении задачи Геллерстедта для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1454-1456.

14. Моисеев Т. Е. О разрешимости одного нелокального варианта задачи Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 10. С. 1404-1408.

15. Моисеев Т. Е. О полноте собственных функций одной нелокальной краевой задачи Геллерстедта //Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 1568-1570.