Внутренняя геометрия поверхностей и распределений проективно-метрического пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Абруков, Денис Александрович

• Абруков, Денис Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абруков, Денис Александрович

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.

4. Методика исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

7. Апробация.

8. Публикации.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

10. Структура и объем работы.

11. Некоторые замечания.

Содержание диссертации.

ГЛАВА I. Внутренняя геометрия ш-мерной поверхности проективно-метрического пространства.

§1. Проективно-метрическое пространство Кп.

§2. Распределение т-мерных линейных элементов проективно-метрического пространства Кп и ассоциированное с ним гиперполосное распределение.

§5. Полный фундаментальный геометрический объект т-мерной поверхности Ут (т<п-1), не принадлежащей абсолюту проек-тивно-метрического пространства.

1. яг-мерная поверхность Ут (т<п-1) пространства Кп и ассоциированная с ней гиперполоса.

2. Инвариантные оснащения регулярной гиперполосы Нт, ассоциированной с поверхностью УтаКп (т<п-1).

3. Полный внутренний фундаментальный геометрический объект поверхности УтаКп (т<п-1).

§4. Геометрия т-мерной поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства.

1. -мерная поверхность Ут (т<п-1), принадлежащая абсолюту проективно-метрического пространства, и ассоциированная с ней гиперполоса.

2. Двойственный образ регулярной квадратичной гиперполосы

Нт(0.п-\).

3. Инвариантные оснащения в смысле Нордена-Чакмазяна регулярной гиперполосы Нт(0п]).

4. Внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых нормализацией регулярной квадратичной гиперполосы Н.

5. Связь между геометриями поверхности Ут с и т-мерной поверхности конформного пространства Спх.

ГЛАВА И. Двойственная геометрия распределения гиперплоскостных элементов проективно-метрического пространства.

§!. Тангенциальное проективно-метрическое пространство Кп, индуцируемое регулярным распределением гиперплоскостных элементов.

1. Поля геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов.

2. Двойственный образ регулярного распределения гиперплоскостных элементов в Кп и тангенциальное проективнометрическое пространство Кп. 2. Двойственные нормализации регулярного распределения гиперплоскостных элементов.

1. Двойственные поля соприкасающихся гиперквадрик.

2. Внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена распределения Ж ъ Кп.

3. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов. 3. Метрика тангенциального проективно-метрического пространства.

§4. Внутренняя геометрия нормализованного тангенциального проективно-метрического пространства.

ГЛАВА III. Геометрия гиперповерхности проективно-метрического пространства.

§1. Двойственный образ регулярной гиперповерхности Уп1 пространства Кп.

§2. Полярная гиперповерхность проективно-метрического пространства.

1. Дифференциальные уравнения полярной гиперповерхности

К-1.•••.

2. Двойственный образ полярной гиперповерхности ¥п}.

§3. Взаимные и полярные двойственные нормализации гиперповерхностей Упг и Уп1 пространства Кп.

§4. Двойственные аффинные связности, индуцируемые полярными нормализациями гиперповерхностей Уп1 и Упх пространства

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внутренняя геометрия поверхностей и распределений проективно-метрического пространства»

1. Постановка вопроса. Теория различных дифференцируемых подмногообразий однородных и обобщённых пространств составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории является дифференциальная геометрия оснащённых многообразий, погружённых как в пространства с фундаментальными группами, так и в обобщённые пространства.

Дифференцируемое многообразие, погружённое в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащённым [39], если на нём определено поле некоторого геометрического объекта gx (поле оснащающего объекта многообразия): где - главные (первичные) формы, а со*2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погружённого многообразия характеризуется строением основных функций у/*2 (£), определяющих оснащающий объект gx; в зависимости от их строения получаем различные оснащения многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [62], Э. Картана [103] и др.).

Дифференциальная геометрия многомерных однородных пространств оформилась как самостоятельная ветвь геометрической науки лишь в двадцатом столетии. Первоначально она развивалась в направлении изучения поверхностей и конгруэнции в трехмерном аффинном или проективном пространствах. Проективно-дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве хорошо разработана (см., например, [90], [114]).

Затем появились работы, в которых с различных точек зрения рассматривались обобщённые пространства - аффинной и проективной связности. И, наконец, стали изучаться многомерные конструкции в многомерных аффинных и проективных пространствах, а также в пространствах со связностями.

Обзор большого числа работ по геометрии многомерной поверхности в различных однородных и обобщённых пространствах приведен в работах Г.Ф. Лаптева [43] и Ю.Г. Лумисте [50].

Г.Ф. Лаптев при помощи метода продолжений и охватов в инвариантной аналитической форме построил дифференциальную геометрию гиперповерхности в проективном пространстве [39] и в пространстве проективной связности [40]; последние результаты относятся и к пространству аффинной связности.

Существенные результаты по проективно-дифференциальной геометрии многомерной поверхности принадлежат А.П. Нордену [59], [62] и его 6 школе (см., например, [27], [87], [100]) и получены методом нормализации.

Исследованием инвариантно оснащённой те-мерной поверхности «-мерного проективного пространства Рп занимались: Н.М. Остиану [64], [65], Л.Я. Березина [18], A.C. Удалов [88], Ю.И.Ермаков [34], [35].

Построению аффинной геометрии гиперповерхностей положили начало Бервальд и Бляшке. В пятидесятые годы двадцатого столетия эту область развивали Г. Фернандес [107], Д. Лаугвиц [112], [113] и др. Метод внешних форм при построении общей теории гиперповерхности в аффинном пространстве применяет Ф. Фландерс [108]. Э.Д. Алшибая [14] с помощью метода продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева строит поля различных геометрических объектов, охваченных фундаментальными объектами до четвертого порядка гиперповерхности. Ряд центроаффинных инвариантов гиперповерхности строит А. Добреску [104].

Проблема инвариантного оснащения /w-мерной поверхности и-мерного аффинного пространства Ап, а также пространства аффинной связности Ап п затронута в работах К. Вейзе [119], [120], В. Клингенберга

111], А.Е. Либера [46], [47], [48], [49], П.И. Швейкина [96], [97], [98], [99], Г.Ф. Лаптева [41], Г.Ф. Лаптева и А. Зайца [42].

М.А. Акивис [11], [12] методом Г.Ф. Лаптева осуществил инвариантное построение геометрии поверхностей конформного пространства; В.И. Близникас [19], [20], [21] изучает геометрию гиперповерхности в обобщённо евклидовом пространстве, пространстве аффинной связности и обобщённо римановом [105], [106] пространстве. Вопросы приложения общей аффинной и центрально-проективной геометрии гиперповерхности в вариационном исчислении рассматриваются в работе В.В. Вагнера [30].

В 60-х-70-х годах прошлого века теория распределений те-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщённая теория распределений ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Pnjl (в частности, в проективном пространстве Рп) получила значительное развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева, Н.М. Остиану (см. [44], [45], [66]) и Ю.Г. Лумисте [51]. Двухсоставные распределения проективного пространства Рп изучаются в работе A.B. Столярова [76]. Ю.И. Попов исследует трехсоставные распределения пространства Рп (см. [68], [69], [70], [71]). Распределениями гиперплоскостных элементов (т=п-1), погружёнными в различные однородные и обобщённые пространства, в разное время занимались: Э.Д. Алшибая [15], В.И. Близникас [22], [23], Н.М. Остиану [67], A.B. Столяров [82], [83], [84] и др.

Предметом изучения настоящего диссертационного исследования являются многообразия, погружённые в /7-мерное проективно-метрическое пространство Кп [62]; под пространством Кп понимается ^-мерное 7 проективное пространство Рп, в котором задана неподвижная гиперквадрика (абсолют); фундаментальной группой пространства Кп является подгруппа группы проективных преобразований пространства Рп, а именно, стационарная подгруппа абсолюта (З^ .

В качестве погружённых подмногообразий пространства Кп рассматриваются:

1) распределение /^-мерных линейных элементов и т-мерная поверхность Ут (глава I);

2) регулярное распределение гиперплоскостных элементов (глава II);

3) регулярная гиперповерхность (глава III).

2. Актуальность темы. Теория полей геометрических объектов на дифференцируемых многообразиях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории, благодаря своей многоаспектности и широте постановки задач, является дифференциальная геометрия подмногообразий (в том числе и оснащённых), погружённых в различные однородные и обобщённые пространства и, в частности, теория подмногообразий, погружённых в пространства, фундаментальная группа которых есть подгруппа проективной (евклидовой, аффинной) группы, преобразования которой оставляют неподвижным некоторое подмногообразие (абсолют), вложенное в данное пространство.

В рамках этой геометрии большой научный интерес представляет создание двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп.

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А.Э. Хатипова [92], [93], [94], Р.Г. Бухараева [26], А.П. Нордена [60], И.Н. Мигалевой [56].

В квазиэллиптическом пространстве (проективное пространство с абсолютом в виде мнимого конуса с (т?-г-1)-мерной вершиной и мнимой гиперквадрики в этой плоскости) изучаются: ^-мерные поверхности [25]; для случая г= 1 - гиперповерхности и 2-поверхности [32], а для случая г= 1, п=3 - многообразия прямых [16], [17], линейчатые поверхности [109] и кривые [110].

В квазигиперболическом пространстве (проективное пространство с абсолютом в виде пары вещественных (мнимых) плоскостей и пары вещественных (мнимых) точек на прямой их пересечения) рассматриваются многообразия прямых [16], [17] и геометрия многомерной поверхности [74].

В трехмерном галилеевом Г3 и псевдогалилеевом 1Г3 пространствах 8 проективное пространство с абсолютом в виде плоскости, прямой и пары мнимых - Г3 или вещественных - ХГЪ точек на этой прямой) исследуются многообразия прямых [17], [52].

В работах [100], [101] изучается биаксиалъное пространство (проективное пространство с абсолютом в виде двух непересекающихся прямых), а также обобщённо биаксиальное пространство.

Д. Папук исследует m-мерную поверхность, погружённую в и-мерное проективное пространство с абсолютом в виде р конечномерных плоскостей произвольных размерностей щ,.,пр, таких, что щ+.Лп —п [115],

116], [117], [118].

Приведем еще несколько работ, в которых изучаются подмногообразия, погружённые в трехмерное проективное пространство Р2 с абсолютом в виде различных многообразий (см. таб. 1).

Абсолют в виде Предмет изучения Литература

1 плоскость и прямая конгруэнции прямых, линейчатые поверхности [54], [55]

2 плоскость, прямая и заданная на этой прямой эллиптическая инволюция вводится метрика, изучаются длины кривых в смысле данной метрики [75]

3 прямая, содержащая вырожденную гиперквадрику - пару мнимо-сопряжённых точек типы квадрик [86]

4 пара действительных точек и пара мнимо-сопряжённых прямых, одна из которых проходит через одну из этих точек поверхности, типы квадрик [57], [58]

5 пространственная кривая третьего порядка частные случаи поверхностей [89]

6 пара вещественных точек и вещественная прямая, проходящая через одну из них линейчатые поверхности [53]

Таб. 1.

В работе [38] рассматривается гиперповерхность «-мерного проективного пространства Рп с вырожденным абсолютом в виде гиперплоскости Пп1 и плоскости Пп2 на ней.

A.B. Столяров в работе [85] изучает внутреннюю геометрию нормализованного в смысле А.П. Нордена [62] проективно-метрического простран9 ства Кп с абсолютом в виде невырожденной неподвижной гиперквадрики

Задача изучения геометрии т-мерной поверхности Ут проективно-метрического пространства Кп была поставлена А.П. Норденом в его монографии [62]. Эту задачу он разбивает на два случая: а) точка т-мерной поверхности Ут не принадлежит абсолюту С^^ пространства Кп; б) точка #?-мерной поверхности Ут принадлежит абсолюту 0пх пространства Кп.

Следует заметить, что случай б) А.П. Норденом оставлен без рассмотрения, а в случае а) он ограничился лишь выводом деривационных уравнений подвижного репера и условий их интегрируемости для полярной нормализации поверхности Ут.

Объектом исследования настоящей работы являются как голономные (поверхности Ут), так и неголономные (распределения /и-мерных линейных элементов) подмногообразия пространства Кп . Эти исследования являются актуальными, представляют большой научный интерес, ибо:

1) геометрия поверхности Ут в Кп , как отмечалось выше, изучена далеко не полно;

2) геометрия распределений /«-мерных линейных элементов в Кп (даже в случае т=п-1) до настоящего времени не изучалась;

3) изучение геометрии указанных подмногообразий (как голономных, так и неголономных) в диссертации осуществляется, как правило, с привлечением теории двойственности, что до настоящего времени исследователями не проводилось.

3. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является изучение геометрии многомерных поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп; решаются следующие ключевые задачи:

1) осуществить подход к изучению геометрии поверхности Ут т<п-1), не принадлежащей абсолюту С}п1с:Кп, с общих позиций, а именно, от геометрии неголономной поверхности (распределения ти-мерных линейных элементов) с использованием подобъектов её фундаментальных объектов порядка .у = 1,2,3,. перейти к геометрии голономной поверхности Ут; доказать основную теорему теории поверхности Ут а Кп, не принадлежащей абсолюту то есть найти её полный внутренний фундаментальный объект;

2) внутренним инвариантным образом изучить двойственную геометрию поверхности Ут (т<п-1), принадлежащей абсолюту ч проектив

10 но-метрического пространства Кп;

3) построить основы двойственной геометрии как неголономной, так и голономной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство Кп .

4. Методика исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [91] и метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [39]. Использование указанных методов позволило:

1) исследование геометрии подмногообразий пространства Кп провести инвариантным образом путём построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных объектов;

2) изучить дифференциально-геометрические факты подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями по возможности высоких (до четвертого) порядков.

Все результаты получены в минимально специализированных системах отнесения.

5. Научная новизна полученных результатов обусловлена тем, что, с одной стороны, изучение дифференциальной геометрии подмногообразий происходит посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями его фундаментальных объектов, а с другой стороны, с использованием аналитического метода продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева, позволяющего получить результаты в инвариантной форме; всё это позволило достаточно глубоко разработать тему исследования и получить существенные результаты в теории подмногообразий проективно-метрического пространства Кп.

Результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми; основные положения исследования заключаются в следующем:

1) Доказано, что распределение т-мерных линейных элементов пространства Кп (т<п-1) порождает присоединённое к нему внутренним инвариантным образом гиперполосное распределение ти-мерных линейных элементов (глава I).

2) Для т-мерной поверхности Ут (т<п-1), не принадлежащей абсолюту (З^ пространства Кп, найден (глава I) порядок полного внутреннего фундаментального объекта (заметим, что для общей т-мерной поверхности Ут, т<п-\ проективного пространства Рп вопрос о порядке полного внутреннего фундаментального объекта, вообще говоря, остается открытым).

3) Показано, что с ^-мерной поверхностью Ут, т<п-\, принадлежащей абсолюту пространства Кп, внутренним инвариантным образом ассоциируется квадратичная гиперполоса это позволило по

11 строить двойственную геометрию данной поверхности (глава I).

4) Показано, что регулярное распределение гиперплоскостных элементов 51 (неголономная гиперповерхность) с центром, не принадлежащим абсолюту Qnj пространства Кп , внутренним инвариантным образом в третьей дифференциальной окрестности элемента подмногообразия индуцирует тангенциальное проективно-метрическое пространство Кп с абсолютом - тангенциальной гиперквадрикой; изучаются некоторые вопросы метрики тангенциального пространства Кп и внутренней геометрии нормализованного пространства Кп . В разных дифференциальных окрестностях получен ряд результатов, определяющих двойственную геометрию нормализованного подмногообразия .

5) Исследуется двойственная геометрия гиперповерхности Vnl} текущая точка которой не принадлежит абсолюту QMj пространства Кп : построена полярная (относительно абсолюта Q„i) гиперповерхность Vn{, найдены двойственные образы Vnx и Vnl гиперповерхностей VnY и Vnl соответственно, рассмотрены примеры построения внутренним образом двойственных и полярных нормализаций гиперповерхностей Vn1 и V/7l, найдена связь между ними; исследуется внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых этими нормализациями (глава III).

В диссертационном исследовании приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость. Исследование имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп. Основными направлениями подобных исследований являются:

• изучение внутренней геометрии гиперполос, гиперполосного распределения и распределения т-мерных линейных элементов пространства К„\

• исследование пространств с линейной связностью, индуцируемых внутренними инвариантными оснащениями данных подмногообразий.

Теория, разработанная в диссертации, может служить в качестве материала специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории подмногообразий в пространствах с фундаментальными группами;

6) по теории двойственных линейных связностей на оснащённых подмногообразиях пространств с фундаментальными группами.

7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и

12 обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2000-2002 г. г.), на итоговых научных конференциях преподавателей ЧГПУ (Чебоксары, 2001-2002 г. г.), на заседаниях молодых исследователей по геометрии (ЧГПУ, Чебоксары, 2001-2002 г. г.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, 2001 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2002), на заседаниях научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2002 г.).

8. Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертацию, опубликованы в десяти печатных работах [1]-[Ю] автора.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абруков, Денис Александрович, 2002 год

1. Абруков Д.А. Распределения гиперплоскостных элементов в проек-тивно-метрическом пространстве // ВИНИТИ РАН. - 2001. - 21 с. -№ 872-В2001 Деп.

2. Абруков Д.А. Геометрия гиперповерхности проективно-метри-ческого пространства // ВИНИТИ РАН. 2001. - 34 с. - № 2420-В2001 Деп.

3. Абруков Д. А. Распределения гиперплоскостных элементов в проек-тивно-метрическом пространстве // Тезисы докл. IX международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология», Чебоксары.-2001.-С. 29.

4. Абруков Д.А. О взаимном распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары: ЧГПУ, 2001. - В. 9. - С. 9-15.

5. Абруков Д.А. Внутренняя геометрия тангенциального проективно-метрического пространства // Вестник ЧГПУ. Физико-математические науки. Чебоксары: ЧГПУ, 2001. - № 2(21). - С. 9-15.

6. Абруков Д.А. Гиперповерхность в проективно-метрическом пространстве // Материалы межд. науч. молодежной школы-конференции. Казань: Изд-во ДАС, 2001. С. 73.

7. Абруков Д.А. Взаимная гиперповерхность проективно-метрического пространства // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары: ЧГПУ, 2001. - В. 10. - С. 173-179.

8. Абруков Д.А. Геометрия поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. 2002. - 24 с. -№493-В2002 Деп.

9. Абруков Д.А. О геометрии поверхности, не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства // ВИНИТИ РАН. 2002. -14 с. -№ 1009-В2002 Деп.

10. Абруков Д.А. /и-мерная поверхность, принадлежащая абсолюту проективно-метрического пространства // Тезисы докл. X международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону. -2002. С. 54.

11. Акивис М.А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства // Матем. сб. 1952. - Т. 31. - № 1. -С. 43-75.

12. Акивис М.А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей // Матем. сб. 1961. - Т. 53. - №1. - С. 53-72.

13. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей//Докл. АН СССР. 1962. -Т. 146. -№3. - С. 515-518.

14. Алшибая ЭД. Дифференциальная геометрия гиперповерхности в многомерном аффинном пространстве // Тбилисис университетис шроме124би. Тр. Тбилисск. ун-та. 1968. - 129. - С. 319-341.

15. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. инф. АН СССР. 1974.-Т. 5.-С. 169-193.

16. Атанасян C.JI., Абдурахманова Х.К., Гурьева В.П. Комплексные и двойные полярные координаты в многообразиях прямых трехмерных квазинеевклидовых пространств // Тр. Геом. семинара / Казан, ун-т. 1976. -Вып. 9. - С. 5-10.

17. Атанасян С.Л., Гурьева В.П., Мартынова A.C. Конгруэнции поляризованных прямых трехмерных пространств с проективными метриками // Геом. погружённых многообр. М., 1979. - С. 70-79.

18. Березина Я.Я. Инвариантное оснащение m-мерной поверхностив «-мерном проективном пространстве при п <^т(т + 3) // Докл. 3-й сибирской конф. по матем. и мех. Томск: Томский ун-т, 1964. - С. 180-181.

19. Близникас В.И. Некоторые вопросы пространств обобщённой евклидовой связности // Liet. Matern, rinkinys. Лит. матем. сб. 1962. -Т. 2,-№2.-С. 15-32.

20. Близникас В. И. Некоторые внутренние геометрии гиперповерхности пространства аффинной связности // Liet. Matern, rinkinys. Лит. матем. сб. 1964. - Т. 4. -№ 2. - С. 165-182.

21. Близникас В.И. О гиперповерхности обобщённо риманова прстранства// Изв. вузов Матем. 1964. - № 6. - С. 15-23.

22. Близникас В.И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства // Liet. Matern, rinkinys. Лит. матем. сб. 1964.-Т. 11.-№ 1.-С. 53-74.

23. Близникас В.К О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

24. Близникас В.И. Некоторые вопросы теории неголономных комплексов// Тр. Геом. семинара/ Ин-т. научн. информ. АН СССР. 1974. -Т. 5.-С. 69-96.

25. Бурдаков В.М. Геометрия на /и-мерной поверхности квазиэллиптического пространства // Тр. Геом. семинара / Казан, ун-т, 1976. -Вып. 9.-С. 18-25.

26. Бухараев Р.Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом // Уч. зап. Казанского гос. ун-та, 1954. Т. 114. -С. 39-52.

27. Бушманова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку //Уч. зап. Казанского гос. ун-та, 1950. Т. 110. - кн. 3. - С. 19-33.

28. Бушманова Г.В., Норден А.П. Элементы конформной геометрии. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1972. - 178с.

29. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. сем. по125вект. и тенз. анализу. М: Изд-во МГУ, 1950. - Вып. 8. - С. 197-272.

30. Василии М.А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. - Т. 6. - №6. - С. 477-481.

31. Володина Т.П. Основы теории гиперповерхностей и 2-поверхностеи в квазиэллиптическом пространстве sl II ВИНИТИ РАН. 1985. -15 с. -№5161-85 .

32. Евтушик JI.E., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. 1979. -Т. 9.-246 с.

33. Ермаков Ю.И. Об инвариантном оснащении некоторых поверхностей специального вида в проективном пространстве // ДАН СССР. -1965,-№6.-С. 1234-1237.

34. Ермаков Ю.И. О поверхностях специального вида в аффинных и проективных пространствах// Изв. вузов Матем. 1966. - №3. - С. 60-67.

35. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. -М.: ГИТТЛ, 1961. 580 с.

36. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. -ИЛ.-М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344с.

37. Кузякина И.А. Гиперповерхность Vn пространства Kn+l II Диф. геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 2000.-Вып. 31.-С. 45-48.

38. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва, 1953. Т. 2. - С. 275-382.

39. Лаптев Г.Ф. Гиперповерхность в пространстве проективной связности // ДАН СССР. 1958. - Т. 121. - № 1. - С. 41 -44.

40. Лаптев Г.Ф. Об инвариантном оснащении поверхности в пространстве аффинной связности // ДАН СССР. 1959. - № 3. - С. 490-493.

41. Лаптев Г.Ф., Зайц А. Об оснащении поверхности в пространстве аффинной связности // Liet. Matern, rinkinys. Лит. матем. сб. 1963. -№2.-С. 212.

42. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Геометрия (1963) / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. 1965. - С. 5-64.

43. Лаптев Г.Ф. Распределение касательных элементов // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. 1971. - Т.З. - С. 29-48.

44. Лаптев Г.Ф., Остиану ИМ. Распределения m-мерных линейных126элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. 1971. -Т.З. - С. 49-94.

45. Либер А.Е. К теории поверхностей в центрально-аффинном (векторном) пространстве // ДАН СССР. 1952. - 85. - № 1. - С. 37-40.

46. Либер А.Е. К теории поверхностей в проективном пространстве // ДАН СССР. 1953. - 90. - № 2. - С. 137-140.

47. Либер А.Е. О геометрии поверхностей в аффинных пространствах // Саратовский гос. ун-т. Научный ежегодник, 1955. С. 669-671.

48. Либер А.Е. О геометрии т-мерной поверхности в аффинных и проективных пространствах // Тр. 3-го Всес. матем. съезда. Т. 1. - АН СССР.-М„ 1956.-С. 157-158.

49. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. -Т. 13. — М., 1977.-С. 273-380.

50. Лумисте Ю.Г. Распределения на однородных пространствах // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. -1977.-Т. 8.-С. 5-24.

51. Мартакова А. С. Конгруэнции прямых трехмерного галилеева и псевдогалилеева пространства // Тр. Геом. семинара У Казан, ун-т. 1976. -Вып. 9.-С. 54-59.

52. Мекеров Д., Петрова П. Каноничен репер за рой прави в тример-но проективно пространство с абсолют две реална точки и реална равнина пред една от тая // Сб. Тр. мл. науч. раб. и студ. Пловдив, ун-т. 1974. -№ 1. - С. 137-142.

53. Мекеров Д., Кожаурова Р. Конгруенции от прави линии в три-мерно проективно пространство с абсолют равнина и ряд точки в ней II Науч. Тр. Пловдив, ун-т. Матем. 1975(1977). -№ 1. -С. 251-271.

54. Мекеров Д., Кожаурова Р. Върху диференццалната геометрия на конгруэнции от прави в пространството А(#) // Науч. Тр. Пловдив, ун-т. Матем. 1975(1977). -№ 1. - С. 273-287.

55. Мигалева И.Н. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом // Уч. зап. МГПИ им Ленина, 1963. Т. 208. -С. 252-264.

56. Моисеев С.А. Квадрики в проективном пространстве с неплоским абсолютом особого вида // ВИНИТИ РАН. 1989. - 14 с. - № 120-В1989 Деп.

57. Моисеев С.А. Поверхности в проективном пространстве с неплоским абсолютом особого типа // ВИНИТИ РАН. 1989. - 15 с. -№ 119-В1989 Деп.

58. Норден АЛ. О внутренней геометрии поверхности проективного пространства // Тр. сем. по вект. и тенз. анализу / МГУ. М., 1948. -Вып. 6.-С. 31-64.

59. Норден А.П. О полярной нормализации в пространстве с вырож127денным абсолютом // Тр. сем. по вект. и тенз. анализу / МГУ. М., 1952. -Вып. 9.-С. 198-212.

60. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Гостехиздат, 1956. -260 с.

61. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.-432 с.

62. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия//Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. - T. 7. - №2. -C. 231-240.

63. Остиану Н.М. Об инвариантном оснащении многомерной поверхности в проективном пространстве // Тезисы доклада Второй Всес. геометрич. конф. 17-23 сент. 1964. Харьков: Харьковский ун-т, 1964.

64. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. 1966.-T. 1.-С. 239-263.

65. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. информ. АН СССР. 1971. - Т. 3. - С. 95-114.

66. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геом. семинара / Ин-т. научн. инф. АН СССР. 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

67. Попов Ю.И. Трехсоставные регулярные распределенияпроективного пространства // ВИНИТИ РАН. 1982. - 21 с. 6192-В1982 Деп.

68. Попов Ю.И. Введение аффинной связности на регулярном трехсоставном распределении Hrm>ni II Диф. геометрия многообразий фигур, Калининград: Калининградский ун-т, 1983. Вып. 14. - С. 72-76.

69. Попов Ю.И. Скомпонованные трехсоставные распределения проективного пространства // Диф. геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 1990. - Вып. 20. - С. 73-96.

70. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. С.-Петребург: С.-Петребургский ун-т, 1992. -172 с.

71. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.-632 с.

72. Рыжков В. В. О тангенциально вырожденных поверхностях // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135. - С. 20-22.

73. Семенова Т.А. Геометрия m-мерных поверхностей в ^-мерномквазигиперболическом пространстве klS™ II ВИНИТИ РАН. 1984. 10 с. -№ 5397-В1984.

74. Сирота А.И. Некоторые экстремальные задачи в пространстве с вырожденной метрикой // ВИНИТИ РАН. 1979. - 6 с. - № 1014-В1979128Деп.

75. Столяров A.B. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения /w-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. -1975.-Т. 7.-С. 117-151.

76. Столяров A.B. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы //Известия вузов. Матем. 1975. -№10. - С. 97-99.

77. Столяров A.B. Условия квадратичности регулярной гиперполосы // Известия вузов. Матем. 1975. - № 11. - С. 106-108.

78. Столяров A.B. Приложение теории регулярных гиперполос к изучению геометрии многомерных поверхностей // Известия вузов. Матем. 1976. - №2. - С. 111-113.

79. Столяров A.B. О внутренней геометрии поверхности Картана // Диф. геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 1976. - Вып. 7. - С. 111-118.

80. Столяров A.B. Двойственные линейные связности на оснащённых многообразиях пространства проективной связности // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. 1977. - Т. 8. -С. 25-46.

81. Столяров A.B. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I // Изв. вузов Матем. 1980. - №1. - С. 79-82.

82. Столяров A.B. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. II // Изв. вузов Матем. 1980. - №2. - С. 84-87.

83. Столяров A.B. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. Чебоксары, 1994. - 290 с.

84. Столяров A.B. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства // Диф. геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.

85. Суслопарова Г.П. Трехмерное пространство с вырожденной евклидовой метрикой. Инварианты квадрик. Классификация квадрик // ВИНИТИ РАН. 1983. - 8 с. - № 5204-В1983 Деп.

86. Тевзадзе Г.Н. О паре сопряжённых аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Р3 II Сообщение АН ГрССР. 1966. - 42. - №2. - С. 257-264.

87. Удалое A.C. Инвариантное оснащение поверхностей в проективном многомерном пространстве // Изв. вузов Матем. 1968. - №2.-С. 102-105.

88. Уткин A.A. Дифференциальная геометрия пространства с кубическим абсолютом // ВИНИТИ РАН. 1988. - 4 с. - № 5305-В1988 Деп.

89. Фиников С.П. Проективно-дифференциальная геометрия. М., 1937.129

90. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

91. Хатипов А.Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряжённых плоскостей // Тр. Узбек, ун-та. 1955. - 59. - С. 105-132.

92. Хатипов А.Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом // Тр. сем. по вею1, и тенз. анализу. — Mi Изд-во МГУ, 1956.-Вып. 10.-С. 285-308.

93. Хатипов А.Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей // Тр. Узбек, ун-та. -1956.-65.-С. 11-15.

94. Чакмазян A.B. Двойственная нормализация // Докл. АН Арм. ССР. 1959. - Т.28. -№4. - С. 151-157.

95. Швейкин П.И. Об аффинно-инвариантных построениях на поверхности // Успехи матем. наук, 1955. 10. -№ 3(65). - С. 181-183.

96. Швейкин П.И. Об аффинно-инвариантном оснащении поверхности // Тр. 3-го Всес. матем. съезда Т. 1. М. - АН СССР. - 1956. - С. 175.

97. Швейкин П.И. Инвариантные построения на /и-мерной поверхности в и-мерном аффинном пространстве // ДАН СССР. 1958. - № 5. -121.-С. 811-814.

98. Швейкин П.И. К аффинной геометрии многомерной поверхности Диссертация. МГУ, 1959.

99. Широков А.П. Геометрия обобщённых биаксиальных пространств // Уч. зап. Казанского гос. ун-та, 1954. Т. 114. - кн. 2. - С. 123166.

100. Широков А.П. Классификация групп движения биаксиального пространства эллиптического типа // Уч. зап. Казанского гос. ун-та, 1963. -Т. 123.-кн. 1,- С. 208-221.

101. Akivis M.A., Goldberg V.V. Conformai differential geometry and its generalization. USA, 1996. - 386p.

102. Cartan E. Les espaces á connexion projective // Тр. сем. по вект. и тенз. анализу / МГУ. М., 1937. Вып. 4. - С. 147-159.

103. Dobrescu A. Sur les variétés V„ immergees dans En+1 II Rev. roumanine math, pures et appl. 1967. - 12. -№ 6. - P. 829-841.

104. Einstein A. The meaning of Relativity. Princeton Univercity Press, 1950.

105. Eisenhart L.P. Generalized Riemann Spaces. Proc. Nat. Acad. Sei. -USA, 1952.

106. Fernandez G. Geometría diferencial afín hipersperficies // Rev. Union mat. argent, y Asoc. fis. argent. 1955. - 17. - P. 29-38.

107. Flanders F. Local Theory of affine hypersurfaces II Итон леаналиса математит, J. analyse math. -1965. 15. - P. 353-387.

108. Hellmuth S. Strohlflächen in quasielliptischen Raum // Ber. Math. -Statist. Sek. Forschungszent. Graz., 1979. -№ 120. 409.130tatist. Sek. Forschungszent. Graz., 1979. -№ 120.-409.

109. Hellmuth S. Fundamentalsätze der quasiellptischen Differential geometrie // Geom., 1979. 13. -№ 2. - C. 144-153.

110. Klingenberg W. Über das Einspannungsprblem in der projektiven und affinen Differentialgeometrie // Math. Z. 1952. - 55. - № 1. - P. 321-345.

111. Laugwitz D. Zur Differentialgeomertie der Hyperflächen in Vektorräumen und zur affingeometrischen Deutung der Thejrie der Finsler-Räume II Math. Z. 1957. - 67. - № 1. - P. 63-74.

112. Laugwitz D. Beiträge zur affinen Flächentheorie mit Anwendunden auf die allgemeinmetrische Differentialgeometrie. Abhandl. Bayer. Akad. Wiss II Math.-naturwiss. Kl. 1959. - № 93, 59 S, ill.

113. Mihäilescu 71 Geometrie differentiala projectiva. Bucureçti Acad. RPR.- 1958.-494 p.

114. Papuc D. Asupra teoriei hipersuprafetelor intr-un spatiu Klein eugrup liniar complet reducttibil. I II Studii çi cercetari çtiint. Acad RPR Fil. Iaçi. Mat., 1958. 9. - № 2. - C. 163-180.

115. Papuc D. Asupra teoriei hipersuprafetelor intr-un spatiu Klein eugrup liniar complet reducttibil. II // Studii §i cercetari çtiint. Acad RPR Fil. Iaçi. Mat., 1959. 10. - № 1. - C. 141-151.

116. Papuc D. Theoreme d'existence et d'unicité pour une hypersurface d'un espace biaxial «-dimentionnel II An. çtiint. Univ. Iaçi., 1960. -sec. 1.-6. -№ 2. -C. 297-314.

117. Papuc D. Sur les variétés des espaces kleineens a groupe lineaire complete-ment réductible II An. çtiint. Univ. Iaçi., 1963. 9. - № 2. -C. 423-436.

118. Weise K. Der Berührungstensor zweier Flächen und die Affingeotrie der Fß iml.I II Math. Z. 1938. - 43. - P. 369-480.p n $

119. Weise K. Der Berührungstensor zweier Flächen und die Affingeotrie der Fp im An . II II Math. Z. 1939. - 44. - P. 161-184.