Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Христофорова, Анастасия Владимировна

• Христофорова, Анастасия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Христофорова, Анастасия Владимировна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.;.

4. Методы исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

7. Апробация.

8. Публикации.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

10. Структура и объем работы.

11. Некоторые замечания.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ.

§ 1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гиперповерхности.

1.1 Расширенное пространство аффинной связности.

J .2 Дифференг{иальные уравнения гиперповерхности.21 •

1.3 Поля фундаментальных геометрических объектов на гиперповерхности.

1.4 Поля охваченных геометрических объектов на гиперповерхности

§ 2. Двойственность геометрии регулярной гиперповерхности

Vn-\<=-An,n.

§ 3. Инвариантные оснащения регулярной гиперповерхности.

3.1 Оснащение гиперповерхности в смысле А. П. Нордена.

3.2 Оснащения гиперповерхности в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти.

3.3 Двойственность оснащения гиперповерхности в пространстве аффинной связности.

1. Двойственность нормализации гиперповерхности.

2. Двойственность оснащений гиперповерхности пространства аффинной связности в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти.

ГЛАВА II. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ.

§ 1. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности.

1.1 Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности.

1.2 Двойственные аффинные связности на аффинно нормализованной гиперповерхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности»

1. Постановка вопроса.

В первой половине XX столетия благодаря эрлангенской программе Ф. Клейна в теории подмногообразий в классических однородных пространствах появилось несколько различных направлений, соответствующих различным группам преобразований (проективной, эквиаффинной, центроаффинной и т.д.). Целью исследований в каждом случае было построение инвариантной нормализации поверхности и определение индуцированных этой нормализацией геометрических структур.

Аффинная и в особенности проективная дифференциальная геометрия подмногообразий (поверхностей, распределений) стала областью исследований многих геометров. Существенные результаты в геометрии гиперповерхности принадлежат Нордену А. П. [39] и его школе, связаны с методом нормализации; Измайлов В. Д. [20], [21] построил аффинную нормаль гиперповерхности в пространстве аффинной связности; Лаптев Г. Ф. разработал в инвариантной форме дифференциальную геометрию гиперповерхности в многомерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением [23]; основные факты аффинной геометрии поверхности были распространены на гиперповерхность (в центроаффинном пространстве) в работах Фернандеса [88] и Лаугвитца [91]; задачи инвариантного оснащения подмногообразия в многомерных пространствах рассматривали А. Е. Либер [31], П. И. Швейкин [80], Г. Ф. Лаптев [28], Н. М. Остиану [41], Воронцова Н. С. [8] и другие.

В дифференциальной геометрии подмногообразий важнейшее место занимает теория связностей, берущая начало от работ Т. Леви-Чивита [92] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии, Г. Вейля [96], Р. Кенига [90], Э. Картана [85], В. В. Вагнера [7] и Ш. Эресмана [87], И. А. Схоутена [95]. Первые применения связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [84]; дальнейшее развитие теория связностей получает в методе нормализации Нордена А. П. [39], позволяющем в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Лаптев Г. Ф., следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности [24], [26], [27]. Широков П. А. и Широков А. П. исследовали локальные строения подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [81]. В работе Рыбникова А. К. [43] рассмотрены некоторые вопросы реализации аффинных связностей на оснащенных гиперповерхностях аффинного пространства.

В настоящее время теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств благодаря работам Чакма-зяна А. В. [79], Лумисте Ю. Г. [32]-[37], Евтушика Л. Е. [11]-[16], Столярова А. В. [47], [48] и ряда других геометров.

Предметом исследования диссертационной работы являются подмногообразия, погруженные в пространство аффинной связности, а также связности, индуцируемые оснащением рассматриваемых подмногообразий и поиск приложения связностей к изучению геометрии сетей. В* качестве исходных многообразий берутся:

1) пространство аффинной связности Ап п,

2) регулярная гиперповерхность Vnx а Ап п,

3) регулярное распределение гиперплоскостных элементов М с= Апп.

Задача сводится к изучению двойственной геометрии указанных оснащенных подмногообразий посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями их фундаментальных и оснащающих объектов.

2. Актуальность темы.

Дифференциальная геометрия сегодня представляет собой широкое поле исследований разнообразных структур на гладких многообразиях в классических и обобщенных пространствах.

За последние десятилетия теория подмногообразий, погруженных в аффинное пространство и пространство аффинной связности, получила значительное развитие в работах У. Симона [44], Э.Д. Алшибая [2], [3], Акивиса М. А. [1], Тадеева П. А. [59], Степанова С. Е. [45], [46] и ряда других геометров (см., например, работы Ивлева Е. Т. [19], Капустиной Е. Е. [22], Султановой Н. С. [58], Сальвадора Ж. [89], Линдена М. [93]). Злата-нов Г. 3. [17], [18], Капустина Е. Е. [22] в своих трудах изучают геометрию сетей и тканей на многообразиях в пространстве аффинной связности. Вопросами геометрии оснащенной гиперповерхности занимались Столяров А. В. [47], [49], [50], [51], [53], [54], [56] (в пространствах проективном, проективно-метрическом, проективной связности), Долгов С. В. [10] (в проективном пространстве), Глухова Т. Н. [9] (в конформном пространстве) и другие.

Актуальность диссертационного исследования обусловлена тем, что полученные в нем результаты позволяют значительно расширить и обогатить геометрию оснащенных подмногообразий в пространстве аффинной связности, ибо автор подходит к исследованию с новой точки зрения, а именно, изучается двойственность геометрии подмногообразий путем расширения исходного пространства аффинной связности до пространства проективной связности. Такой подход позволил:

- дать определение двойственных пространств аффинной связности (эквивалентное определению двойственных пространств с линейной связностью, сформулированное Столяровым А. В. [47]);

- построить основы двойственной теории оснащенных подмнообразий (гиперповерхности и распределения гиперплоскостных элементов) пространства аффинной связности, включающей, в частности, геометрию двойственных линейных (аффинных, проективных, нормальных)■ связно стей на указанных оснащенных подмногообразиях; найти некоторые приложения двойственных связностей к. теории многомерных сетей.

Следует отметить, что до настоящего времени построение двойственной геометрии рассматривалось лишь в случае, когда объемлющее пространство, как правило, является проективным или проективной связности.

3. Цель работы.

Цель настоящего диссертационного исследования заключается в значительном расширении и обогащении теории оснащенных подмногообразий в пространстве аффинной связности путем перехода к рассмотрению аналогичных вопросов в ассоциированном пространстве с проективной структурой (расширенном пространстве аффинной связности); а именно, в работе решаются следующие ключевые задачи:

1) построение основ двойственной геометрии гиперповерхности (как голономной, так и неголономной), погруженной в пространство аффинной связности;

2) построение двойственной теории линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле А.П. Нордена, Э. Картана, Э. Бортолотти) гиперповерхности в пространстве аффинной связности;

3) приложения двойственной теории линейных связностей к исследованию геометрии сетей на рассматриваемых подмногообразиях (а именно, на гиперповерхности и на распределении гиперплоскостных элементов), вложенных в пространство аффинной связности.

4. Методы исследования.

В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, теоретико-групповой метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [24], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [60], метод нормализации А. П. Нордена [39]. Применение указанных методов позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями высокого (до четвертого) порядков.

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения (в репере нулевого и первого порядков), что позволило все результаты сформулировать в инвариантной форме.

Отметим, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [24], [25].

5. Научная новизна полученных результатов.

Научная новизна диссертационного исследования обусловлена, прежде всего, постановкой задачи: построение и изучение двойственной геометрии оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство аффинной связности, через исследование полей фундаментальных и оснащающих объектов. Следует заметить, что до настоящего времени вопросы двойственной геометрии оснащенных подмногообразий в аффинном пространстве и пространстве аффинной связности математиками не рассматривались. Данное исследование имеет целью положить начало восполнению этого пробела в дифференциальной геометрии обобщенных пространств; изучение указанных вопросов проводится на примере оснащенной регулярной гиперповерхности и оснащенного регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности.

Все результаты, полученные в работе, являются новыми; их основные положения заключаются в следующем:

1) построены основы двойственной геометрии аффинных, проективных, нормальных связностей, индуцируемых на оснащенной гиперповерхности; найдены некоторые приложения аффинных связностей к теории сетей на гиперповерхности в пространстве аффинной связности;

2) доказано, что при задании регулярного распределения гиперплоскостных элементов индуцируется пространство аффинной связности, двойственное исходному; найдено условие существования указанного пространства;

3) построена двойственная геометрия регулярного распределения гиперплоскостных элементов, погруженного в пространство аффинной связности; рассмотрены двойственные аффинные связности, индуцируемые при различных оснащениях распределения.

В работе приведены доказательства сформулированных в виде теорем всех основных выводов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства, а также при изучении пространств с линейной связностью, индуцируемых оснащением рассматриваемых многообразий.

Теория, разработанная в диссертационной работе, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно, спецкурсов: а) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях в классических пространствах с фундаментальными группами или в пространствах с линейной связностью; б) по теории распределений гиперплоскостных элементов и гиперповерхностей.

7. Апробация.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2006-2009 гг.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по дифференциальной геометрии (Чувашский госпедуниверситет, Чебоксары, 2006-2009 гг.), на региональной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (Чебоксары, 2006 г.); на заседаниях Молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2008-2009 гг.), XXIV Всероссийского конкурса-конференции научно-исследовательских, творческих и изобретательских работ обучающихся «Национальное достояние России» (работа отмечена серебряным знаком отличия и дипломом 1-ой степени победителя конкурса) (Москва, 2009 г.), Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009 г.), Международной научной конференции «Лаптевские чтения — 2009» (Москва — Тверь, 2009 г.), на заседании Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2009).

8. Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в семнадцати работах [62] - [78].

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Христофорова, Анастасия Владимировна, 2010 год

1. Акивис М. А. К аффинной теории соответствия Петерсона между гиперповерхностями / М. А. Акивис // Известия вузов. Математика. -Казань, 1994. - № 4. - С. 3-9.

2. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

3. Алшибая Э. Д. Об аффинных связностях на распределении гиперплоскостных элементов в Ап+1 / Э. Д. Алшибая // Известия вузов. Математика. Казань, 2002. - № 8. - С. 72-74.

4. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базы-лев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. — 1965. №243. -С. 29-37.

5. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки. Геометрия (1963). ВИНИТИ АН СССР. 1965. -С. 138-164.

6. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. — 1966. — №2.-С. 9-19.

7. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. — 1950. — В. 8. — С. 11-72.

8. Воронцова Н. С. Гиперповерхности проективного пространства с общим оснащением / Н. С. Воронцова / Уч. зап. Моск. гос. пед. инта. 1963. - № 208. - С. 99-108.

9. I.Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. 1979. - Т. 9. - 246 с.

10. Златаиов Г. 3. О геометрии сетей в пространстве А2п аффиннойсвязности / Г. 3. Златанов // Докл. Болг. АН. 1989. - № 11. - С. 2529.

11. Златанов Г. 3. Сильно параллельные сети в пространстве аффинной связности / Г. 3. Златанов // Научн. тр. Мат. Пловдив, ун-т, 1989. — № 3. - С. 227-239.

12. Капустина Е. Е. О существовании некоторых специальных сетей в пространствах аффинной связности / Е. Е. Капустина // Известия вузов. Математика. Казань, 1993. -№ 9. - С. 18-21.

13. Лаптев Г. Ф. Гиперповерхность в пространстве проективной связности/Г. Ф. Лаптев//Докл. АН СССР. 1958.-Т. 121. -№ 1.-С.41-44.

14. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // ДАН СССР. 1943. - Т. 41. - № 8. - С. 329-331.

15. Лаптев Г. Ф. О погружении пространства аффинной связности в аффинное пространство / Г. Ф. Лаптев // ДАН СССР. 1945. - 47. -№ 8.-С. 551-554.

16. Лаптев Г. Ф. Об инвариантном оснащении поверхности в пространстве аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // Докл. АН СССР. 1959. — №3.-С. 490-493.

17. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Труды геом. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1971. - Т. 3. - С. 29-48.

18. Лумнете Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных пространствах и аффинных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тар-туск. ун-та. 1965. - В. 177. - С. 6-42.

19. Лумисте Ю. Г. К основаниям глобальной теории связностей / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1964. - В. 150. - С. 69-108.

20. Лумисте Ю. Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения / Ю. Г. Лумисте // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР.-1966.-Т. I. С. 191-237.

21. Лумисте Ю. Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей / Ю. Г. Лумисте // Матем. сб. 1973. — Т. 91. -№ 2. - С. 211-233.

22. Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Матем. сб. 1966. - Т. 69. - № 3. - С. 434-469.

23. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М.: Наука, 1976.-432 с.

24. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Труды геом. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

25. Рыбников А. К. Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства / А. К. Рыбников // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. — 1974'. — Т. 6. — С. 135-155.

26. Сгшон У. К аффинной теории гиперповерхностей: калибровочно-инвариантные структуры / У. Симон // Известия вузов. Математика. Казань, 2004. - № 11. - С. 53-81.

27. Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Соврем, геометрия : Вопросы дифференц. геометрии. — JI. — 1980. С. 73-76.

28. Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов. М. - 1978. - № 3415-78 Деп. - 8 с.

29. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. Чебоксары, 1994. - 290 с.

30. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. 2005. - № 4. - С. 21 - 27.

31. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1980. - № 1 - С. 79-82.

32. Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1977. — № 8 — С. 68-78.

33. Столяров А. В. О сетях и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1970. -№ 7 - С. 96-101.

34. Столяров А. В. О сетях с совпавшими псевдофокусами, заданных на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Матем. 1970. - № 2 - С. 86-93.

35. Столяров А. В. Сужения пространств проективной связности, индуцируемых на оснащенной гиперполосе / А. В. Столяров // Межву-зовск. темат. сб. научн. тр. «Дифференциальная геометрия многообразий фигур». Калинингр. ун-т, 1999. - Вып. 31 — С. 88-92.

36. Тадеев П. А. Распределения на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / П. А. Тадеев //Геом. погруж. многообразий. — Моск. гос. пед. ун-т, 1989. С. 82-86.

37. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана / С. П. Фиников. М.: ГИТТЛ, 1948.-432 с.

38. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций / С. П. Фиников. М.: ГИТТЛ, 1956.-444 с.

39. Христофорова А. В. Двойственность геометрии гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. — Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. Т. 36. - С. 238-241.

40. Христофорова А. В. Двойственность геометрии распределения гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. 2009. - № 28-В2009 Деп. -20 с.

41. Христофорова А. В. Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. 2008. - № 237-В2008 Деп. -13 с.

42. Христофорова А. В. Двойственные линейные связности на оснащенной гиперповерхности пространства аффинной связности / А. В. Христофорова // Известия вузов. Математика. — Казань, 2009. — № 11.-С. 72-79.

43. Христофорова А. В. Двойственные пространства аффинной связности, определяемые неголономной гиперповерхностью / А. В. Христофорова // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. 2009. - № 1(61). — С.36-43.

44. Христофорова А. В. Фундаментально-групповые линейные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // ВИНИТИ РАН. 2008. - № 910-В2008 Деп. -31 с.

45. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

46. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alia geometria metrica differanziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rend. Semin Fac. Univ. Cagliari. 1933. -№ 3. - C. 81-89.

47. Cartan Е. Legons sur la theorie des 6spaces a connexion projective / E. Cartan. Paris, 1937.

48. Cartan E. Les espaces a connexion projective Труды семинара по векторному и тензорному анализу / Е. Cartan. - МГУ, 1937. — № 4. — С. 147-159.

49. Cartan Е. Les groups d'holonomie des espaces generalises / E. Cartan // Acta math. 1926. - V. 48. - P. 1-42.

50. Casanova G. La notion de pole harmonique // G. Casanova. Rev. math, spec., 1955. - T. 65. - № 6. - C. 437-440.

51. Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre dif-ferentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. — Bruxelles, 1950. — P. 29-55.

52. Fernandez G. Geometria differencial afin hipersperficies / G. Fernandez // Rev. Union mat. argent, у Asoc. fis. argent. 1955.— 17. — 29-38.

53. Gigena Salvador. Общая аффинная геометрия гиперповерхностей. General affine geometry of hypersurfaces / Salvador Gigena I I Math, no-tae. 1992. - C. 1-41.

54. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conse-guente specificazione geometrica della curvature Riemannianna / Levi-Civita T. // Rend. circ. vatem. Palermo, 1917. - V. 42. - P. 173-205.

55. Linden M. Об аффинных отображениях многообразий аффинной связности. On affine maps between affinely connected manifolds / Martin Linden, Helmut Reckziegel // Geom. dedic. 1990. - № 1. - P. 91-98.

56. Mihailescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihailescu // Bucur-e§ti Acad. RPR. 1958. - 494 p.

57. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire generale de M. Konig / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sci. 1924. - V. 178. - 2044-2046.

58. Weyl H. Raum, Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.N