Двойственная геометрия распределения Картана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кузьмина, Наталья Александровна

• Кузьмина, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузьмина, Наталья Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель.работы.

3. Методы исследования.

4. Научная-новизна1.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА.

§1. Распределение Картана ОМ в проективном пространстве Р2т.

1. Дифференциальные уравнения распределения Картана C>W в проективном пространстве Р2/и.

2. Инвариантные оснащения распределения Картана сМ в Р2т в смысле А. П. Нордена и Э. Картана.

§2. Ассоциированное гиперполосное распределение Картана в проективном пространстве Р2/и.

1. Дифференциальные уравнения ассоциированного гиперполосного распределения Картана с$6 в Р2ш; поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении с^б.

2. Двойственный образ регулярного ассоциированного' гиперполосного распределения Картана С&6 в Р2/п.

§3. Инвариантные оснащения распределения Картана ОW в Р2/„ с использованием ассоциированного гиперполосного распределения.

1. Двойственная нормализация распределения Картана Of Г в Р2т

2. Оснащение в смысле Э. Картана распределения Картана oWBP2m.

3. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик Q2m-\ на распределении Картана.

ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ

НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА оМ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р2т.

§1. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении Картана Q>W в V2m.

§2. Первая проективная связность на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана OW в Р2т.

§3. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана oW в Р2/„.

§4. Нормальные связности первого рода, индуцируемые на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана ОW в Р2т.

§5. Поля плоскостей на распределении Картана, параллельные в нормальных связностях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственная геометрия распределения Картана»

Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий. История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [93] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [99] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [92], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [24] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И'. А. Схоутен [95], [96] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17] и Ш. Эресман [91] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [39] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [44].

В 1926 г. Э. Картан [88] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной'группой G».

Некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см. работы В.В.Вагнера [14], А. В. Гохмана [22], П. К. Рашевского [57], С. А. Чаплыгина [79]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле /w-мерных пучков направлений не задаёт семейства m-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [13], [15], Д. М. Синцова [58], А. И. Схоутена [97], монографию Михэй-леску [94]).

В 70-х годах 20-го столетия теория распределений га-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщённая теория распределений га-мерных линейных элементов в проективном пространстве Р„ и пространстве проективной связности Рл„ получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [42], [43], [51], [52]).

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью» без кручения* эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [11], [12]. Ю. Г. Лумисте [45] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Ал шибая. [1] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [47], [48] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [46, 2-е изд.], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [46], нормализация w-мерного проективного пространства Р„ состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость », где А0 £ . При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Ря, двойственное исходному пространству Р/г. Нормализации Aq —> отвечает внутренняя5 проективно-евклидова геометрия* (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Pw позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Р„, а связку гиперплоскостей с центром в точке Aq — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Ри и Р„ индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П'. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Ря, А. И. Норден [46], В. В. Вагнер [16], А. И. Чахтаури [81], [82],

А. П. Широков [84], А. В. Чакмазян [76], Ю. И. Попов [54] - [56], М. А. Ва-силян [18] — [20] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению ч некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vnx с: Ря, гиперполосы Нт а Р„, нормализованного пространства Р„, а также по изучению двойственной геометрии сетей Z2 cz Р2 и S2 сГ2 сР3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В работе А. В. Столярова [73], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях (в смысле Э. Картана, А. П. Нордена,

Э. Бортолотти) ряда многообразий пространства проективной связности р

В классической дифференциальной геометрии теория сетей занимает существенное место. В этом направлении по двумерным и трёхмерным сетям интересные результаты получили Годо (Godeaux L.), Швец (Svec А.), СуБу-цин (Su Buchin), Ефимов Н. В., Дубнов Я. С., Бланк Я. П., Гольд-берг В. В., Чахтаури А. И., Шуликовский В. И. и др.

В области дифференциальной геометрии многомерных сетей существенные результаты получили Чжень Шэн-шэнь [90], Смирнов Р. В. [59], Ба-зылев В. Т. [2] - [10] и др. Степанов С. Е. [60] - [62] в пространстве аффинной связности Ln (п > 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью.

Но следует заметить, что все эти исследования проведены без привлечения теории двойственности; исключения составляют работы А. И. Чахтаури по двумерным сетям и некоторые работы Столярова А. В. — по многомерным [63], [68], [71]. В начальной стадии находятся исследования двойственной геометрии аналогов сетей, а именно, тканей на неголономных подмногообразиях, погружённых в пространства проективной структуры.

Э. Картан [86], [87] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства Р„ выделил класс таких поверхностей Vm (п> 2т), для которых:

1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм фа = Aaik6) о О) о (г, j, к = 1, т\ а = т +1,2т )на поверхности равно т;

2) поверхность Vm несёт сеть сопряжённых линий; следовательно, в репере, отнесённом к этой сети, направления касательных к её линиям попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.

Сеть на поверхности Картана является голономной, то есть вдоль каждой линии сети поверхность Vm допускает расслоение на (т -1) -мерные подповерхности, несущие сети из линий остальных т — 1 семейств.

Чжень Шэн-шэнь [90] показал, что для поверхности Картана Vm можно построить преобразования, которые конструктивно выполняются так же, как и преобразования Лапласа поверхности V2 в Р3, осуществляемые с помощью конгруэнций касательных к двум семействам линий сопряжённой сети на поверхности V2. Этому результату Чжень Шэн-шэня дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [59], построив преобразования Лапласа для произвольных /^-сопряжённых систем. При этом р-сопряжённая система определяется как такая ^-мерная поверхность Vр в Ри, на которой существует сеть Ър, обладающая тем свойством, что касательные к линиям z-го семейства, взятые вдоль любой линии у'-го семейства, образуют развёртывающуюся поверхность {1ф j). Если такую поверхность Vp отнести к подвижному реперу, построенному на касательных к линиям сети, то A^j = 0, / Ф j и cijj = 0 (все индексы различны). Следовательно, эта сеть является, сопряжённой голономной сетью; Точки F/ = -а^А0 + Аг-, \ Ф j — фокусы касательной А0Аг к линии /-го семейства в точке А0 - описывают поверхности, для которых, а также и для исходной поверхности Vp, прямая А0А,- является общей касательной. Таким образом, в общем случае существует р(р-1) новых поверхностей (f/J — преобразований Лапласа исходной поверхности Vp. Эти поверхности {f{ J также являются р-сопряжёнными системами (если^ исключить случаи вырождения), к которым можно применить то же преобразование, и т.д.

Поверхность Картана есть частный случай /^-сопряжённой системы.

Изучением поверхности Картана Vm также занимались В. Т. Базылев [2], А. В. Столяров [66] и др.

Обобщая.понятие поверхности Картана, нами вводится [25], [26] понятие «распределения Картана».

В! проективном пространстве Р2ш, отнесённом к подвижному реперу R = {Ajj, рассмотрим распределение OW касательных элементов (А0,Пт) [43]. В репере нулевого порядка (вершины репера А0,А, расположены в соответствующей плоскости распределения, причём А0 совпадает с его центром) система дифференциальных уравнений распределения /я-мерных линейных элементов имеет вид cof = A?iL6)q [43].

Продолжая уравнения этой системы, получим, что совокупность функций есть тензор первого порядка, вообще говоря, не симметричный по индексам /, к, но им охватывается симметричный тензор

Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм Фа = afko)'0o)о на распределении равно т; 2) распределение О if несёт га-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани Е cz olf попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.

Такое распределение, по аналогии с поверхностью Картана [86], [87], назовём распределением Картана QM.

Следует заметить, что двойственная теория ряда оснащённых подмногообразий (голономная и неголономная гиперполосы, голономная и неголо-номная гиперповерхности), вложенных в и-мерное пространство проективной связности ¥пп (в проективное пространство Р/г) разработана достаточно полно (см., например, [73]). Но до настоящего времени вопросы, изучения двойственной геометрии поверхности и распределения Картана математиками не ставились и не рассматривались.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузьмина, Наталья Александровна, 2009 год

1. Алишбая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э: Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

2. Базылев В. Т. О плоских сетях, присоединённых к поверхности Картана / В. Т. Базылев // Сибирский матем. журнал. 1964. — Т. 5. - № 4. -С. 729-738.

3. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетях / В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1965. -№243.-С. 29-37.

4. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях /B. Т. Базылев // Итоги науки. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. М., 1965.-С. 138-164.

5. Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной на нём сетью / В." Т. Базылев, // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1966. Т. 6. - № 3. - С. 313-322.

6. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. — 1966. — № 2. —C. 9-19.

7. Базылев В. Т. О фундаментальных объектах плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Известия-вузов: Матем. 1967. - № 9. - С. 3-15.

8. Базылев В. Т. О V-сопряжённых сетях в пространстве аффинной связности / В: Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1974. - № 5. — С. 2530.

9. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В'. Т. Базылев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР^ М., 1974. - Т. 6. - С. 189-205.

10. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев, М. К. Кузьмин, А. В. Столяров// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12. — С. 97-125.

11. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства. / В. И. Близникас // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1971. Т. 11. — № 1. - С. 63-74.

12. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В: И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М*., 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

13. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобаческого: сб. ст. Казань, 1940. - С. 195-262.

14. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1941. — Вып. 5. С. 301-327.

15. Вагнер В. В. Геометрия {п -1)-мерного неголономного многообразия в ^-мерном пространстве / В. В'. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1941. - Вып. 5. - С. 173-225.

16. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1950. -Вып. 8. С. 197-272.

17. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер'// Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1950. — Вып. 8. -С. 11-72.

18. Василян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян // Докл.АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

19. Васгтян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изс. АН АрмССР: 1971. - Т. 6. - № 6. - С. 477-481.

20. Василян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. - Т. 57. - № 4. -С. 200-205.

21. Голъдберг В. В. Об одной нормализации /^-сопряжённых систем «-мерного проективного пространства / В. В. Гольдберг // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР:-М., 1966.-Т. 1.-С. 89-109.

22. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. — М*., 1966.-Т. 1.-С. 111-138.

23. Еетушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / JI. Е. Евтушик и др:.,// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

24. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.

25. Кузьмина Н. А'. Инвариантные оснащения распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Пятой молодёжной науч. школы-конф. — Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2006. Т. 34. - С. 140-142*.

26. Кузьмина Н. А. Распределение Картана / Н. А. Кузьмина // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела: тезисы регион, наун. конф. — Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2006: -С. 22-23.

27. Кузьмина Н. А. Гиперполосное распределение, ассоциированное с распределением Картана / Н. А. Кузьмина // Математика. Образование: Материалы XV междунар. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007. -С. 241.

28. Кузьмина Н. А. К двойственной геометрии распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2007. — № 1 (9) -С. 7-12.

29. Кузьмина Н. А. Двойственные нормализации распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Як Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2007. - № 3 (55) - С. 43-48.

30. Кузьмина Н\ А. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. -Чебоксары, 2007.-№ 2 (10).-Т." 1.-С. 106-112.

31. Кузьмина Н. А. Двойственная*геометрия вполне сопряжённой ткани на распределении Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 977 - В2007. - 18 с.

32. Кузьмина Н. А. Нормальные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина 11 ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 1173 -В2007. - 13 с.

33. Кузьмина Н. А. Проективно-дифференциальная геометрия распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 62-69.

34. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

35. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые про- • странства1/ Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). Ленинград, 1964.-Т. 2.-С. 226-233.

36. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 29-48.

37. Лаптев Г. Ф. Распределения w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН'СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 49-94.

38. Лумисте Ю: Г, Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю: Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ AH? СССР. М., 1971.-С. 123-168.

39. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН*СССР. -М:, 1977. Т. 8. - С. 5-24.

40. Норден А. П. Пространства аффинной связности (2-е изд.) / А. П. Норден. М.: Наука, 1976. - 432х.

41. Норден А. П. Теория композиции / А. П; Норден // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР: М., 1978. - Т. 10. -С. 117-145.

42. Норден А-. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. - № 11 - С. 87-97.

43. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / Н. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. -T. 7. -№ 2. - C. 231-240.

44. Остиану H. M. Инвариантное оснащение поверхности, несущей сеть / Н. М. Остиану // Известия.вузов. Матем. 1970. - № 7 - С. 72-82*.

45. Остиану Н. М. Распределения' га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. И / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ.АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

46. Остиану Н. М. Распределения гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

47. Остиану Н. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. -С. 89-111.

48. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. - № 374. - Т. 1. — С. 102117.

49. Попов Ю. И. Общая теория'регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983 - 82 с.

50. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. Mi: Гостехиздат, 1947. - 354 с.

51. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. Киев: Вища школа, 1972. - 294 с.

52. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа ^-сопряжённых систем / Р. В. Смирнов // Доклады АН СССР. — 1950. — Т. 71.-№3.-С. 437-439.

53. Степанов С. Е. Геометрия декартовых пространств / С. Е. Степанов. -М. 1978. -№ 3414 - 78 Деп. - 8 с.

54. Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов. -М. 1978. -№ 3415 - 78 Деп. - 8 с.

55. Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Соврем, геометрия: Вопросы дифференц. геометрии. Л. — 1980. — С. 73-76.

56. Столяров А. В. О двойственной геометрии плоских многомерных сетей / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1973. - № 7. — С. 92-102.

57. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН СССР. 1975. - Т. 7. - С. 117-151.

58. Столяров А. В. О геометрии сетей на распределениях m-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1976. -№2473-76 Деп.-21 с.

59. Столяров А. В. О внутренней геометрии поверхности Картана / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 1976. - Вып. 7. — С. 111-118.

60. Столяров А. В. Двойственные линейные связности на оснащённых многообразиях пространства проективной связности / А. В. Столяров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977.-Т. 8.-С. 25-46.

61. Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1977. - № 8. -С. 68-78.

62. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. - № 1. — С. 79-82.

63. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. II / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. - № 2. - С. 84-87.

64. Столяров А. В. Двойственная геометрия га-тканей на распределении М с ~Рп п / А. В. Столяров // Тез. докл. 8-й Всес. конф. по совр. пробл.диф. геометрии. Одесса, 1984. - С. 151.

65. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1985. - № 9. -С. 72-75.

66. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский гос. пед. ин-т, 1994.-290 с.'

67. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П: Фиников. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

68. Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве / П. А. Фисунов. — Чебоксары: Чуваш, гос. пед. ун-т, 2006. 129 с.

69. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация I А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. - Т. 28. - № 4. - С. 151-157.

70. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Р„ / А. В. Чакмазян // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М*., 1978. - Т. 10. - С. 5574. '

71. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

72. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933.-Т. 1.-С. 212-214.

73. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чах-таури // Труды« Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15. -С. 101-148.

74. Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. инта АН ГрССР. Тбилиси, 1954, 20. - С. 89-130.

75. Чахтаури А. И. Об обобщении конфигураций Лапласа для /7-мерных сетей / А. И. Чахтаури // 6-я Всес. геом. конф. по совр. проблемам геометрии: тез. докл. — Вильнюс, 1975. С. 251-253.

76. Широков А. 77. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. - Т. 11 - С. 153-207.

77. Широков А. П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. -Т. 17 - С. 131-151.

78. Шуликовский В. И. Проективная теория сетей / В. И. Шуликов-ский. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. - 78 с.

79. Cartan Е. Sur les varietes de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. 1919. - V. 47. -P. 125-160.

80. Cartan E. Sur les varietes de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. 19201 - V. 48. -P. 132-208.

81. Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. - P: 1-42.

82. Cartan E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по-векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937. Вып. 4. -С. 147-159.

83. Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1944, 30. № 4. - P. 95-97.

84. Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre dif-ferentiable / G. Ehresmann // Collque deTopologie (Bruxelles, 1950). Paris, 1951.-P. 29-55.

85. Konig R. Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. Konig // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920; 28. - P. 312-228.

86. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geometrica' della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. Palermo, 1917, 42. - P. 173-205.

87. Michailescu T. Geometrie differentials projectiva / T. Michailescu // Bucure§ti Acad. RPR, 1958. 494 p.

88. Schouten J. A. Uber nicht-holonome Ubertragungen in einer Ln /J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929, 30. - P. 149-172.

89. Svec A. On orthogonal conjugate nets in E4 I A. Svec // Comment.Math. Univ. Carol.~1975, 16.-№1.-P. 183-187.99: WeylH. Raum. Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.