Двойственные пространства аффинно-метрической связности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Аленина, Татьяна Геннадьевна

• Аленина, Татьяна Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аленина, Татьяна Геннадьевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикация.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объем работы.

10.Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинно-метрической связности.

§1. Пространство аффинно-метрической связности.

1. Теорема Картана-Лаптева.

2. Пространство аффинно-метрической связности.

§2. Двойственные пространства проективной связности.

1. Поля геометрических объектов нормализованного пространства аффинной связности.

2. Индуцированные пространства проективной связности.

3. Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства.

§3. Двойственные пространства аффинно-метрической связности.

1. Двойственные аффинные связности.

2. Двойственные пространства аффинно-метрической связности.

ГЛАВА 2. Двойственная геометрия регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов в пространстве аффинно-метрической связности.

§1. Тангенциальное пространство проективной связности, индуцируемое регулярным гиперполосным распределением т-мерным линейным элементов.

1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении Н в А*п п.

2. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения и тангенциальное пространство проективной связности.

3. Двойственные пространства аффинной связности.

4. Двойственные пространства аффинно-метрической связности без кручения.

§2. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения Н в

§3. Поля соприкасающихся гиперквадрик на регулярном гиперполосном распределении в Шпп.

1. Поле соприкасающихся гиперквадрик на взаимном гиперполосном распределении Н вМй)1.:.

2. Поле соприкасающихся гиперквадрик на гиперполосном распределении Н в МИ)Я.

§4. Двойственные аффинные связности на нормализованном гиперполосном распределении Н в Ыпп.

1. Двойственная нормализация распределения Н в М

2. Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией распределения Н в Мя/г.

3. Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией распределения Н в Мпи.

ГЛАВА 3. Пространство аффинно-метрической связности на нормализованной гиперповерхности.

§1. Регулярная гиперповерхность Упх в пространстве аффинной связности Ап,п.

§2. Пространство аффинно-метрической связности Ми-1,л-1 на нормализованной гиперповерхности ¥пх а Ми п.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственные пространства аффинно-метрической связности»

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связно-стей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [89] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [94] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [88], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [37] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [91], [92] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

В 1950 году В. В. Вагнер [26], [28] и Ш. Эресман [87] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

А. П. Норден [50] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [50], нормализация п -мерного проективного пространства Р„ состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость », где А0 <£ ¿¡(). При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Р„, двойственное исходному пространству Ри. Нормализации А0 —> £о отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Р„ позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Ри, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Р,г и Р/г индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного-пространства Р„, А. П. Норден [50], В. В. Вагнер [27], А. П. Широков [85], А. В. Чакмазян

80], Ю. И. Попов [58] - [60], Г. В. Бушманова [22], Г. Н. Тевзадзе [74], М. А. Василян [29] - [31] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Упх сРн, гиперполосы Н/;г с:Р,г, нормализованного пространства Р„. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [39] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [45].

В 1926 г. Э. Картан [86] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О».

Некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегри-руемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см. работы В. В. Вагнера [24], А. В. Гохмана [34], П. К. Рашевского [62], С. А. Чаплыгина

81]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле /77-мерных пучков направлений не задаёт семейства 777-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [23], [25], Д. М. Синцова [65], А. И. Схоутена [93], монографию Михэйлеску [90]).

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [19], [20]. Ю. Г. Лумисте [46] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [18] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве., А. П. Норден [51], [52] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 70-х годах 20-го столетия теория распределений 777-мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Р/7 и пространстве проективной связности Р , получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [42], [43], [56], [57]).

Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [69] для построения основ двойственной теории оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Ри п. При этом определение двойственных пространств с линейной связностью дано с точки зрения инволютив-ных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило А. В. Столярову при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [50] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголономных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяров строит [69] инвариантную двойственную теорию нормализованного пространства проективной связности Р;г п, регулярного гиперполосного распределения Н с: Р/; п, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9?, погруженного в пространство проективной связности Р,г п.

Согласно А. П. Нордену [50], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кн называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой — подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства К,г. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства К„ с невырожденным абсолютом . В случае, когда абсолют (2пх овального типа, поляритет называется гиперболическим.

Гиперболическое пространство К„ представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство ее непротиворечивости.

В работе Г. Ф. Лаптева [39] вводится понятие пространства проективно-метрической связности К,г п: пространство К есть пространство проективной связности Р , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик 0,п{ (локальных абсолютов). А. В. Столяровым найдено [73] инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Р становится пространством проективно-метрической связности .

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах

А. Э. Хатипова [76] - [78], Р. Г. Бухараева [21],А. П. Нордена [48], И. Н. Ми-галевой [47].

Е. А. Голубевой [32], [33] получены результаты по изучению геометрии оснащенных подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности Кпп.

А. В. Столяров показал [73], что с пространством аффинной связности

Апп ассоциируется расширенное пространство аффинной связности А* , которое является пространством проективной связности Рпп, центропроективные слои которого являются расширениями центроаффинных слоев пространства Аи п. В работе А. В. Столярова [75] вводится понятие пространства аффинно-метрической связности М: пространство аффинной связности

Апп, называется пространством аффинно-метрической связности Мли, если пространство проективной связности Р;г п = А* п является пространством проективно-метрической связности Ки и.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аленина, Татьяна Геннадьевна, 2010 год

1. Абруков Д. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве: Монография / Д. А. Абруков. — Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2003. — 140 с.

2. Аленина Т. Г. Геометрия невырожденной нормализации пространства аффинной связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2008. - № 236. -В2008.- 17 с.

3. Аленина Т. Г. О двойственных пространствах аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2008. — № 1 (11).-Т. 1.-С. 5-10.

4. Аленина Т. Г. Регулярное гиперполосное распределение и двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2008. - № 909. - В2008. - 19 с.

5. Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности, индуцируемые гиперполосным распределением / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - № 140. - В2009. - 19 с.

6. Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Известия вузов. Матем. — Казань, 2009. — № 7. — С. 65-70.

7. Аленина Т. Г. Линейные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - № 697. - В2009. - 15 с.

8. Аленина Т. Г. Аффинные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - № 7973. - В2009. - 22 с.

9. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Инт научн. информ. АН СССР. М., 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

10. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1971. Т. 11. - № 1. - С. 63-74.

11. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

12. Бухараев Р. Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом / Р. Г. Бухараев / Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954.-Т. 114.-С. 39-52.

13. Буишанова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку / Г. В. Бушманова // Уч. зап. Казанского ун-та. Казань, 1950. - Т. 110. - С. 1933.

14. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобаческого : сб. ст. Казань, 1940. - С. 195-262.

15. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу/МГУ. 1941.-Вып. 5.-С. 301-327.

16. Вагнер В. В. Геометрия (п -1) -мерного неголономного многообразия в и-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1941. - Вып. 5. - С. 173-225.

17. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945^ 46. -№8. -С. 335-338.

18. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1950. — Вып. 8.-С. 197-272.

19. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1950. - Вып. 8. -С. 11-72.

20. Васнлян М. А. Об инвариантном оснащении . гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

21. Васнлян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изв. АН АрмССР. 1971. - Т. 6. - № 6. - С. 477-481.

22. Васнлян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. - Т. 57. - № 4. -С. 200-205.

23. Голубееа Е. А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Известия вузов. Ма-тем. 2006. -№1.- С. 73-75.

24. Голубева Е. А. Двойственная геометрия нормализованного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 397. - В2006. -28 с.

25. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1966.-Т. 1.-С. 111-138.

26. Евтуишк JI. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Jl. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

27. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ГИТТЛ, 1961. -580 с.

28. Картам Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

29. Кобаясн Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу.-М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344 е.; Т. 2.-414 с.

30. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. - Т. 2. - С. 275382.

31. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). — Ленинград, 1964. — Т. 2.-С. 226-233.

32. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // ДАН СССР. 1943. - Т.41. - №8. - С. 329-331.

33. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. — С. 29-48.

34. Лаптев Г. Ф. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

35. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

36. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1971.-С. 123-168.

37. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

38. Мигалева И. 77. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом / И. Н. Мигалева // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1963. - Т. 208. - С. 252-264.

39. Норден А. 77. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1948. - Вып. 6. - С. 125-224; Вып. 7. - С. 31-64.

40. Норден А. П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1952. - Вып. 9. - С. 198-212.

41. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М.: Наука, 1976. - 432 с.

42. Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. - № 11 - С. 87-97.

43. Норден А. 77. Теория композиции / А. П. Норден // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С. 117-145.

44. Остиану 77. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии/ВИНИТИ АН СССР.-М., 1977.-Т. 8.-С. 89-111.

45. Остиану H. M. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). — 1962. T. 7. - № 2. - C. 231-240.

46. Остиану H. M. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева / H. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. Семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 7-70.

47. Остиану H. М. Распределения /w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

48. Остиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1973. Т. 4. - С. 71-120.

49. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. - № 374. - Т. 1. - С. 102-117.

50. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983 - 82 с.

51. Попов Ю. И. Специальные классы регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов, А. В. Столяров. — Калининград: Калининградский унт, 1992.-80 с.

52. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. -М.: Гостехиздат, 1947. 354 с.

53. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. - 664 с.

54. Рашевский 77. К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. - Вып. 8. - С. 82-92.

55. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. -Киев: Вища школа, 1972. 294 с.

56. Столяров А. В. Аффинно-метрическая связность / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. Чебоксары, 2006. — №5. - С. 158-167.

57. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научных трудов / Калининградский ун-т. Калининград, 2001. -Вып. 32.-С. 94-101.

58. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. Чебоксары, 2005. - №4. - С. 21-27.

59. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. 2-е изд., доп. — Чебоксары : Изд-во Чуваш, гос. пед. ин-та, 1994.-290 с.

60. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности, i / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. - № 1. - С. 79-82.

61. Столяров А. В. Пространство аффинно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. 2007. - №9. - С. 71-82.

62. Столяров А. В. Проективно-дифференциалвная геометрия регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. — 1975. —Т.7. — С. 117-151.

63. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. — 2003. — №11. — С. 70-76.

64. Тевзадзе Г. Н. О паре сопряженных аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Р3 / Г. Н. Тевзадзе // Сообщения АН ГрССР. 1966, 42. —№2. - С. 257-264.

65. Фиников С. 77. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

66. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряженных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1955, 59. - С. 105-132.

67. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек. ун-та.- 1956, 65.-С. 11-15.

68. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом / А. Э. Хатипов // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. -М., 1956. -. Вып. 10. -С. 285-308.

69. Христофорова А. В. Двойственная геометрия гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Вестник Чуваш, гос. пед. ун-та. 2006. - № 3(50). - С. 35-42.

70. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. — Т. 28.-№4.-С. 151-157.

71. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. — Л., 1933.-Т. 1.-С. 212-214.

72. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чахтау-ри // Труды Тбилиского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15. -С. 101-148.

73. Широков 77. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М. : ГИФ-МЛ, 1959. - 320 с.

74. Широкое А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. - Т. 11 - С. 153-207.

75. Широков А. 77. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. - Т. 17 -С. 131-151.

76. Cartan Е. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. - P. 1-42.

77. Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre dif-ferentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). — Paris, 1951.-P. 29-55.

78. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. König // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920, 28. - P. 312-228.

79. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conse-guente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. Palermo, 1917, 42. -P. 173-205.

80. Michäilescu T. Geometrie differentialä projectivä / T. Michäilescu // Bu-cure§ti Acad. RPR, 1958. 494 p.

81. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire de la connexion lineaire generale de M. König / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sei. 1924, 178. - P. 2044-2046.

82. Schouten J. A. Erlanger Programm und Übertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometrie / J. A. Schouten // Rend. circ. matem. — Palermo, 1926, 50.-P. 142-169.

83. Schouten J. A. Über nicht-holonome Übertragungen in einer Ln / J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929, 30. -P. 149-172.

84. Weyl H. Raum. Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.