Геометрия оснащённых подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Голубева, Екатерина Александровна

• Голубева, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голубева, Екатерина Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности.

§1. Пространство проективно-метрической связности.

1. Теорема Картана-Лаптева.

2. Пространство проективно-метрической связности.

3. Метрика пространства проективно-метрической связности.

§2. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения.

1. Поля геометрических объектов нормализованного пространства проективно-метрической связности.

2. Индуцированные пространства проективной связности.

3. Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства.

4. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения.

5. Тангенциальное пространство проективно-метрической связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кп п.

6. А - и В - пространства проективно-метрической связности.

§3. Геометрии двойственных пространств аффинной связности.

1. Двойственные аффинные связности.

2. Геометрии двойственных пространств аффинной связности.

3. Геометрия средней аффинной связности.

4. Пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства К

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия оснащённых подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности»

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связно-стей в различных расслоенных пространствах, а также её применение при исследовании оснащённых подмногообразий, погружённых в однородные и обобщённые пространства.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [103] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея сразу же нашла применение в общей теории относительности и была обобщена в различных направлениях. В 1918 году Г. Вейль [109] для построения единой теории поля ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [102], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [45] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [106], [107] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

Развитие теории связностей в рамках этих двух концепций продолжалось в течение всей первой половины XX века.

В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17], [19] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение В. В. Вагнера является локальным и выполнено классическими методами.

Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны.

Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [99] в 1937 году.

В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [59], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [59], нормализация «-мерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 - гиперплоскость £0», где При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 -» отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 -за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп, А. П. Норден [59], В. В. Вагнер [18], А. И. Чахтаури [88], [89], А. П. Широков [93], Г. В. Бушманова [13], Г. Н. Тевзадзе [80], А. В. Чакма-зян [85], Ю. И. Попов [68] - [70], М. А. Василян [20] - [22] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности УпА с Рп, гиперполосы НтаРп, нормализованного пространства Рп, а также по изучению двойственной геометрии сетей Е2 с Р2 и Ц2 с Г2 с: Р3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [47] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [54].

В 1926 г. Э. Картан [98] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О ».

К понятию неголономного многообразия привели учёных некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы (см. работы В. В. Вагнера [15], А. В. Гохмана [41], П. К. Рашевского [72], С. А. Чаплыгина [86]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле т -мерных пучков направлений не задаёт семейства т -мерных подпространств (см. работы

В. В. Вагнера [14], [16], Д. М. Синцова [74], Схоутена [108], монографию Михэйлеску [105]).

В инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [50], [51], [63], [65]) получила дальнейшее развитие теория распределений т -мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Рп и пространстве проективной связности Рп п.

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [10], [11]. Ю. Г. Лумисте [55] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [2] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [60], [61] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 70-х годах XX века В. Т. Базылевым получена (см. [3] - [6]) обширная теория плоских многомерных сетей погружённых в и-мерное проективное пространство Рп. В этом направлении некоторые вопросы сетей в п -мерных проективном и аффинном пространствах рассматриваются также в работах А. И. Чахтаури [89], М. Са1арБО [97], Я. Р^Погаи) [104]. Ряд классов сетей на различных многообразиях (в частности, в пространствах аффинной связности) изучается В. Т. Базылевым [7] - [9], А. Е. Либером [52]. В работах В. Т. Базылева [5], [7], Я. С. Дубнова [42], А. Е. Либера [53] в различных пространствах рассматриваются многомерные аналоги чебышевских сетей. Некоторые вопросы глобальной теории сетей на двумерных многообразиях отмечены в работах \\^851ег'а СЬ. [110], Э. Г. Поздняка [67]. А. И. Чахтаури [87] применяет метод нормализации к изучению двойственной геометрии плоских сетей Е2 •

Двойственная геометрия плоских сетей т-тканей на гиперполосном распределении Н с Рпп и на регулярной гиперповерхности с Рп изучается А. В. Столяровым [76].

Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [76] для построения основ двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективной связности Р . При этом определение двойственных пространств с линейной связностью А. В. Столяровым дано [76] с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило автору при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [59] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголономных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяровым разработаны [76] основы инвариантных двойственных теорий нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного гиперполосного распределения Я с Рп п и регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9?, погружённого в пространство Р , а также найдены некоторые пути приложения этих теорий к изучению двойственной геометрии плоских многомерных сетей (тканей).

Согласно А. П. Нордену [59], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства Рп, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена [59] изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом ()пх. В случае, когда абсолют ()пА овального типа, поляритет называется [59] гиперболическим.

Гиперболическое пространство Кп имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал первое строгое доказательство её непротиворечивости.

В работе Г. Ф. Лаптева [47] вводится понятие пространства проектив-но-метрической связности Кпп, обобщающее понятие пространства Кп: пространство К есть пространство проективной связности Р , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик <2пх (локальных абсолютов). А. В. Столяровым [79] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рпп становится пространством проективно-метрической связности Кп п.

А. В. Столяров [77] изучает внутреннюю геометрию оснащённого в смысле А. П. Нордена [59] проективно-метрического пространства Кп\ в работе [79] им исследуются некоторые вопросы дифференциальной геометрии полярной нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп. Д. А. Абруковым [1] получены результаты по изучению геометрии поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп.

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [82] - [84], Р. Г. Бухараева [12], А. П. Нордена [57], И. Н. Мигалевой [56].

Обзор работ в квазиэллиптическом, квазигиперболическом, галилее-вом Г3, псевдогалилеевом 1Г3, проективном Р3 пространствах с соответствующими абсолютами приведён в монографии [1]. В частности, в работах А. П. Широкова [90], [91] изучается биаксиальное пространство (проективное пространство Р3 с абсолютом в виде двух непересекающихся прямых), а также обобщённо биаксильное пространство.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голубева, Екатерина Александровна, 2006 год

1. АбрукоеД. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве: Монография / Д. А. Абруков. -Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2003. - 140 с.

2. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

3. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Ба-зылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. -М., 1965.-№243.-С. 29-37.

4. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях /B. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1965.-С. 138-164.

5. Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной в нём сетью / В. Т. Базылев // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб. Вильнюс, 1966. - Т. 6. - № 3. - С. 313-322.

6. Базылев В. Т. О фундаментальных объектах плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1967. - № 9. - С. 3-15.

7. Базылев В. Т. О V-сопряжённых сетях в пространстве аффинной связности / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1974. - № 5.C. 25-30.

8. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1974. - Т. 6. - С. 189-205.

9. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев, М. К. Кузьмин, А. В. Столяров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12.-С. 97-125.

10. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб.-Вильнюс, 1971.-Т. ll.-№ 1.-С. 63-74.

11. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М„ 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

12. Бухараев Р. Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом / Р. Г. Бухараев / Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954.-Т. 114.-С. 39-52.

13. Бушманова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку / Г. В. Бушманова // Уч. зап. Казанского ун-та. Казань, 1950. -Т. 110.-С. 19-33.

14. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобачевского: сб. ст. Казань, 1940. - С. 195-262.

15. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголоном-ных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1941.-Вып. 5.-С. 301-327.

16. Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1941.-Вып. 5.-С. 173-225.

17. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945, 46. - № 8. -С. 335-338.

18. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. -Вып. 8.-С. 197-272.

19. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. -Вып. 8.-С. 11-72.

20. Васнлян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

21. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос/ М. А. Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. - Т. 6. - № 6,-С. 477-481.

22. Василян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. - Т. 57. - № 4. -С. 200-205.

23. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) А пространство проективно-метри-ческой связности / Е. А. Мухина, А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2004.-№3(41).-С. 29-33.

24. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) Нормализованное пространство проективно-метрической связности / Е. А. Мухина // ВИНИТИ РАН. М., 2004. - № 615 - В2004. - 17 с.

25. Голубева Е. А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. - № 163 - В2005. - 19 с.

26. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. -№ 1352 - В2005. - 19 с.

27. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения, ассоциированные с регулярной неголономной гиперповерхностью / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. -№ 1743 - В2005. - 17 с.

28. Голубева Е. А. Линейные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Наука XXI века. Достижения и перспективы: сб. ст. / Чувашский гос. ин-т гум. наук. Чебоксары, 2005. - С. 4-5.

29. Голубева Е. А. Метрика пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2005. - № 1(43). -С. 25-29.

30. Голубева Е. А. Взаимно-полярные распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - №731 - В2006. - 14 с.

31. Голубева Е. А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Известия вузов. Матем. 2006. - № 1. - С. 73-75.

32. Голубева Е. А. Двойственная геометрия нормализованного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 397 -В2006. -28 с.

33. Голубева Е. А. Геометрия плоских сетей в проективно-метричес-ком пространстве / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 960 -В2006. - 11 с.

34. ДубновЯ. С. О пространственных аналогах чебышевской сети / Я. С. Дубнов, С. А. Фукс // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 28. -№2.-С. 102-104.

35. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

36. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ГИТТЛ, 1961.-580 с.

37. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

38. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу.-М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344 с; Т. 2.-414 с.

39. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. - Т. 2. -С. 275-382.

40. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

41. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). Ленинград, 1964.-Т. 2.-С. 226-233.

42. Либер А. Е. К теории сетей в многомерном пространстве / А. Е. Либер // Диф. геометрия / Саратовский ун-т. Саратов, 1974. -Вып. 1.-С. 72-84.

43. Либер А. Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах / А. Е. Либер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ.-М., 1974. Вып. 17. - С. 177-183.

44. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-С. 123-168.

45. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

46. Мигалева И. Н. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом / И. Н. Мигалева // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1963. - Т. 208. - С. 252-264.

47. Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу /МГУ.-М., 1948.-Вып. 6.-С. 125-224; Вып. 7.-С. 31-64.

48. Норден А. П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1952.-Вып. 9.-С. 198-212.

49. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. -М.: Наука, 1976.-432 с.

50. Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. - № 11. - С. 87-97.

51. Норден А. П. Теория композиции / А. П. Норден // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С.117-145.

52. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. -T. 7. - № 2. - C. 231-240.

53. Остиану H. M. Распределения m -мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

54. Остиану H. М. Очерк научных исследований Германа Фёдоровича Лаптева / H. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 7-70.

55. Остиапу Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1973.-Т. 4.-С. 71-120.

56. Остиану Н. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977.-Т. 8.-С. 89-111.

57. Поздняк Э. Г. Геометрические исследования, связанные с уравнением =8тг / Э. Г. Поздняк // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 225-241.

58. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. - № 374. - Т. 1. -С. 102-117.

59. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983. - 82 с.

60. Х.Попов Ю. И. Специальные классы регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов, А. В. Столяров. Калининград: Калининградский ун-т, 1992. - 80 с.

61. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. М.: Гостехиздат, 1947. - 354 с.

62. Рашевский И К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. - Вып. 8. - С. 82-92.

63. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. -Киев: Вища школа, 1972. 294 с.

64. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р -сопряжённых систем / Р. В. Смирнов // Доклады АН СССР. 1950. - Т. 71. -№3. - С. 437-439.

65. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский гос-педун-т, 1994.-290 с.

66. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научных трудов / Калининградский ун-т. Калининград, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.

67. Столяров А. В. Взаимно-полярные неголономные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2003.-№ 1.-С. 51-58.

68. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 2003. - № 11. - С. 70-76.

69. Тевзадзе Г. Н. О паре сопряжённых аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Ръ / Г. Н. Тевзадзе // Сообщения АН ГрССР. 1966,42. - № 2. - С. 257-264.

70. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

71. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряжённых плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1955, 59. - С. 105-132.

72. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1956,65. - С. 11-15.

73. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом / А. Э. Хатипов // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1956. - Вып. 10. - С. 285-308.

74. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. - Т. 28. -№ 4. - С. 151-157.

75. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933. Т. 1. -С. 212-214.

76. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чах-таури // Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15.-С. 101-148.

77. Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. инта АН ГрССР. Тбилиси, 1954,20. - С. 89-130.

78. Чахтаури А. И. Об обобщении конфигураций Лапласа для п -мерных сетей / А. И. Чахтаури // 6-я Всес. геом. конф. по совр. проблемам геометрии: тез. докл. Вильнюс, 1975. - С. 251-253.

79. Широков А. П. Геометрия обобщённых биаксийьных пространств / А. П. Широков // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954. - Т. 114. — кн. 2.-С. 123-166.а

80. Широков А. П. Классификация групп движения биаксиЛыюго пространства эллиптического типа / А. П. Широков // Уч. зап. Казанского гос. ун-та.-Казань, 1963.-Т. 123.-кн. 1.-С. 208-221.

81. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1974. Т. 11.-С. 153-207.

82. Широков А. П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги наукии техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. — Т. 17.-С. 131-151.

83. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия /B. И. Шуликовский. М.: Физматгиз, 1963. - 540 с.

84. Шуликовский В. И. Проективная теория сетей / В. И. Шуликовский. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. - 78 с.

85. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alla geometría métrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. - T. 3 - P. 81-89.

86. Calapso M. Sulle reti a invarianti uguali di un iperspazio affine / M. Calapso // Rend. Cire, matem. Palermo, 1973,22. - № 1-2 - P. 62-66.

87. Carian E. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. - P. 1-42.

88. Cartan E. Les éspaces á connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937. - Вып. 4.C. 147-159.

89. Casanova G. La notion de pôle harmonique / G. Casanova // Rev. math. spéc. 1955, 65. - № 6. - P. 437-440.

90. Ehresmann С. Les connexions infinitésimales dans un éspace fibré différentiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie (Bruxelles, 1950). Paris, 1951.-P. 29-55.

91. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. König // Jahresb. d. Deutsch. Math. Ver. 1920,28. - P. 213-228.

92. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geométrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. Palermo, 1917,42. - P. 173-205.

93. Migliorato R. Intormo ad alcune reti ad invariati uguali in un iperspazio affine / R. Migliorato // Atti Soc. pelorit. sei. fis. mat. e nature. 1971, 17.-№3-4.-P. 379-381.

94. Mihälescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihalescu // Bu-cureçti Acad. RPR. 1958. - 494 p.

95. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire de la cjnnexion lineare generale de M. König / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sei. 1924,178. - P. 2044-2046.

96. Schouten J. A. Erlanger Programm und Übertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometrie / J. A. Schouten // Rend. circ. matem. Palermo, 1926, 50.-P. 142-169.

97. Schouten J. A. Über nicht-holonome Übertragungen in einer Ln / J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929,30. - P. 149-172.

98. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. / H. Weil. Berlin, 1918.

99. Wissler Ch. Globale Tochebyscheh-Netze auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Fortsetzung von Flächen konstanter negativer Krümmung / Ch. Wissler Ii Comment. math. helv. 1972, 47. - № 3. - P. 348-372.