Влияние вибрации на возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шлейкель, Алексей Леович

• Шлейкель, Алексей Леович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шлейкель, Алексей Леович

Введение

Глава I. Термокапиллярная конвекция в слое однокомпонент-ной жидкости при действии высокочастотной вибрации 21 * 1.1. Постановка задачи. Основные уравнения. Безразмерные параметры

1.2 Асимптотика больших частот. Осреднение.

1.2.1. Небуссинесковские уравнения.

1.2.2. Уравнения в приближении Обербека-Буссинеска.

1.3. Равновесное решение и его устойчивость.

1.4. Термокапиллярная конвекция однородной жидкости. 1.4.1. Длинноволновая асимптотика.

1.4.2. Аналитическое исследование задачи.

1.4.3. Численные результаты.

1.5. Вибрационная конвекция Пирсона.

Глава II. Влияние примеси на вибрационную конвекцию

2.1. Постановка задачи

2.2. Осреднение. Равновесное решение.

2.3. Термоконцентрационная конвекция Марангони.

2.4. Влияние эффекта Соре.

2.5. Влияние примеси на термогравитационную конвекцию Рэлея

Бенара.

2.5.1. Вертикальные колебания (у? = 7г/2).

2.5.2. Горизонтальные колебания (у? = 0).

Глава III. Влияние вертикальных вибраций конечной частоты на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое

3.1. Постановка задачи

3.2. Квазиравновесное решение.

3.3. Решение Флоке. Метод цепных дробей.

3.3.1. Случай мягкой нижней стенки.

3.3.2. Случай твердой нижней стенки.

3.4. Дисперсионное уравнение.

3.5. Численные результаты.

3.5.1. Асимптотика больших частот.'

3.5.2. Резонансы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние вибрации на возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости»

Естественная конвекция является одним из наиболее сложных явлений, происходящих в жидкости. Даже в обычных условиях гравитации она зависит от многих факторов. В условиях микрогравитации и невесомости положение дел в этой области осложняется из-за существования негравитационных сил, вызывающих конвективное движение. Это — силы поверхностного натяжения, вибрации, магнитные и электрические поля и т.д. Изучение различных механизмов и характеристик конвективной неустойчивости является предметом многих исследований. Это представляет интерес не только для фундаментальной науки гидродинамики, но и в связи с проблемами управления устойчивостью, задачами космической технологии.

В данной работе основное внимание уделено роли вибрационных воздействий на возникновение конвекции в слое со свободной границей, когда коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры, концентрации. В связи с этим приведем обзор работ, в которых содержатся постановки основных задач, рассмотрены методы исследований, описаны результаты экспериментов.

Задача о возникновении конвективной неустойчивости в горизонтальном слое, нагреваемом снизу, имеет свое начало в экспериментах Бе-нара [1]. В [2] Блок, анализируя результаты собственных экспериментов об условиях возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведенных ранее опытов Бенара, пришел к заключению, что в подобных случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Возможиость потери устойчивости равновесия под действием термокапиллярного эффекта впервые была показана в [3] на примере плоского слоя (задача Пирсона). В этой работе исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил, при этом предполагалось, что свободная поверхность недеформируема. Пирсоном был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Кроме того, им было показано, что состояние покоя наиболее неустойчиво при коэффициенте теплоотдачи В'\ = 0, что означает отсутствие потока тепла через свободную поверхность. Исследованию термокапиллярной конвекции посвящен целый ряд работ, обзоров и книг

4Ц7].

В работе Пирсона была исследована монотонная неустойчивость. Однако численные исследования, проведенные в [8], а также в ряде других работ, где разыскивались колебательные возмущения для задачи Пирсона, показывают, что в случае недеформируемой свободной поверхности возможны только монотонные возмущения, колебательная неустойчивость не была обнаружена, но и ее отсутствие до сих пор строго не доказано.

Как отмечалось выше, исследование устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости относительно монотонных возмущений было впервые проведено Пирсоном для плоского слоя. Та же задача, но с учетом деформируемости свободной поверхности рассматривалась в [9]. Получено, что учет деформаций свободной границы приводит к понижению устойчивости в области малых волновых чисел, при этом длинные волны всегда неустойчивы. Для коротковолновых возмущений картина устойчивости не изменяется, а критические числа Марангони качественно и количественно согласуются с результатами Пирсона. В работе [10] впервые обнаружена колебательная неустойчивость Марангони, которая носит длинноволновый характер и существует при отрицательных числах Марангони. В [10, 11] рассмотрен также случай "перевернутого" слоя - ситуации, когда горизонтальный слой в поле силы тяжести ограничен сверху твердой стенкой, а снизу — свободной поверхностью. В [12] численно обнаружена коротковолновая колебательная неустойчивость.

В [13] рассматривался случай слоя с двумя свободными недефор-мируемыми границами. Было показано, что наличие второй свободной поверхности сильно понижает устойчивость. Так, при В1 = 0 получено Мс = 21.92 при волновом числе к = 1.2 (для сравнения, у Пирсона Мс = 79.6 при к = 2.1). Коротковолновая колебательная неустойчивость Бенара-Марангони в слое со свободной деформируемой границей и твердой стенкой рассмотрена в работе [14]. В [15]-[17] изучена монотонная и колебательная неустойчивость Марангони в слое с двумя свободными деформируемыми границами. Для решения этой задачи был применен метод малого параметра. Показано, что в области малых частот и волновых чисел нет нарастающих колебательных возмущений. Монотонная и колебательная неустойчивость в слое с двумя свободными деформируемыми границами исследована также в [18]-[20], однако в этих работах рассмотрены существенно другие условия нагрева слоя - источники и стоки тепла располагались в середине слоя.

В 1959 г. вышла работа [21], в которой рассматривалась концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Так как уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, а зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации примеси имеет такой же характер, как его зависимость от температуры, то задача [21] близка к задаче Пирсона. Влияние поверхностного натяжения на конвекцию в слое бинарной смеси рассматривалось в [22]—[26]. В [27]—[29] исследовалось влияние термодиффузии (эффекта Соре) на возникновение термокапиллярной неустойчивости.

Большой цикл исследований конвекции Марангони в сосудах произвольной формы в условиях невесомости и микрогравитации проведен в работах В. И. Полежаева и его сотрудников [30]—[32].

В связи с тем, что конвективные течения играют ключевую роль во многих технологических процессах, происходящих на Земле и в космосе, важно иметь эффективные механизмы управления термокапиллярной неустойчивостью. Одним из таких механизмов являются параметрические воздействия, в том числе вибрации. Вибрации являются одним из факторов существенного влияния на диффузионные процессы в жидкостях и газах.

Задача о влиянии высокочастотных вертикальных вибраций на возникновение конвекции в области с твердой границей впервые рассмотрена в работе С. М. Зеньковской и И. Б. Симоненко [33]. В этой работе с помощью метода осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова (метод разделения движения) была выведена замкнутая автономная система для осредненного гидродинамического поля и указаны формулы для быстрых составляющих. В [33, 34] показано, что вертикальные колебания препятствуют возникновению термогравитационной конвекции в горизонтальном слое жидкости и даже могут сделать состояние относительного равновесия абсолютно устойчивым. Начиная с работы [33], возникло направление, которое теперь называется вибрационной конвекцией. В [35, 36] выведены осредненные уравнения в случае вибрации произвольного направления. Анализ осредненной задачи показал, что высокочастотная вибрация может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Установлено, например, что при всех направлениях вибрации, отличных от вертикального, гравитационная конвекция в слое жидкости может возникнуть не только при подогреве снизу, но и при нагреве сверху. В работах Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого [37, 38] в результате анализа осредненных уравнений [36] было впервые указано на возможность вибрационной конвекции в условиях невесомости. Экспериментальное подтверждение вибрационных эффектов, полученных в [33]—[38], дано в работах Г. Ф. Путина и его сотрудников [39]—[41 ]. В работе [42] исследована вибрационная конвекция в условиях невесомости и пониженной гравитации. Найдены значения скорости вибрации, при которой происходит выход на невесомость, что позволяет указать параметры для наземного моделирования условий невесомости. Кроме того, в этой работе численно изучены вторичные стационарные режимы вибрационной конвекции, возникающие в малой окрестности критического числа Рэлея.

Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в области с твердой границей проведено в работах И. Б. Симоненко и В. Б. Левенштама [43, 44]. Метод осреднения для динамических систем со связями и для неоднородной жидкости развит в цикле работ В. И. Юдовича [45]—[48]. В этих работах введены понятия виброгенной силы и виброгенных напряжений.

Задача о возникновении термокапиллярной конвекции Марангони в слое со свободной недеформируемой границей при высокочастотных вертикальных вибрациях впервые рассмотрена в работе В. А. Брискмана [49]. В [50] описан эксперимент по сглаживанию деформации свободной границы с помощью вертикальных колебаний. Дальнейшему исследованию этой задачи посвящена работа [51].

В работах Д. В. Любимова [52]—[54] при исследовании вибрационной конвекции неоднородной жидкости в областях со свободной границей был применен следующий подход: исходные уравнения записывались в общем виде, проводилось осреднение, а в осредненных уравнениях выполнялся переход к приближению Обербека-Буссинеска. В [55]-[58] этот подход применен к исследованию конвекции в горизонтальном слое со свободной деформируемой границей. Показано, что в случае слабо неизотермической жидкости достаточно в качестве исходных уравнений брать обобщенные уравнения Обербека-Буссинеска — переменную плотность учитывать не только в массовых силах, но и в инерционных членах.

Задача о влиянии высокочастотных гармонических поступательных колебаний на возникновение двухдиффузионной конвекции была поставлена в [59]. В этой работе по аналогии с [33, 36] применен метод осреднения и выведены осредненные уравнения вибрационной конвекции бинарной смеси для произвольной области с твердой или свободной недеформируемой границей. В случае горизонтального слоя эти уравнения проанализированы в [59] на модельных задачах — краевые условия заменены условиями периодичности. Показано, что имеют место эффекты примеси. В [60] рассмотрена вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси, ограниченном твердыми стенками. Исследована монотонная неустойчивость.

В [61] рассмотрено влияние высокочастотной вибрации на двойную диффузионную конвекцию в квадратной и прямоугольной области. Влияние эффекта Соре на двухдиффузионную вибрационную конвекцию Рэлея-Бенара изучалось в [62]-[64]. Термодиффузионная конвекция Марангони при действии вибрации с учетом эффекта Соре рассмотрена в [65]-[67]. При этом полученные выводы сравнивались с результатами, приведенными в [68, 69], где изучалась двухдиффузионная конвекция в отсутствии вибрации. Возникновение конвекции многокомпонентной жидкости при действии высокочастотной вибрации рассмотрено в [70]. Влияние высокочастотной вибрации на устойчивость адвективного течения исследовано в [71]. В данном введении невозможно перечислить все работы по вибрационной конвекции, опубликованные в России и за рубежом. Частично ссылки на них можно найти в книгах и обзорах [72]-[74].

Под термином вибрационная конвекция здесь понимается конвекция при действии вибрации большой частоты и конечной амплитуды скорости, и это уже общепринято. В этих случаях эффективно применение метода осреднения, либо метода многомасштабных разложений, так что в результате осредненные уравнения получаются одни и те же.

Случаи различных параметрических воздействий конечной частоты и произвольной амплитуды на возникновение конвекции рассмотрены в работах [75]-[86]. В большинстве работ применялись численные методы - метод Галеркина, метод сеток. В работах В. И. Юдовича и его учеников [87]-[90] в случае гармонических колебаний применен метод цепных дробей, который позволяет в явной форме построить дисперсионное соотношение и дает эффективный алгоритм для расчета критических значений параметров. Метод цепных дробей ранее применялся в работах [91, 92], где периодичность была по пространственной переменной. Дальнейшее развитие этого метода в задаче о параметрическом возбуждении волн на свободной поверхности дано в работах [93]—[95]. В работе [96] этот метод применен при исследовании влияния вертикальных гармоиических колебаний конечной частоты произвольной амплитуды на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости, ограниченном твердыми или "мягкими" стенками. Под "мягкой" стенкой понимается граница, непроницаемая для жидкости и свободная от касательных напряжений.

В данной диссертации исследуется влияние поступательных периодических вибраций на возникновение термокапиллярной и термоконцентрационной конвекции в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости. В основном рассматривается случай, когда одна из границ слоя — свободная деформируемая, а другая — либо твердая, либо мягкая стенка. В названии диссертации это не оговаривается, так как в главе II, где жидкость предполагается двухкомпонентной (исследуется влияние примеси), рассмотрен также слой с двумя твердыми или мягкими границами.

Первая глава посвящена исследованию влияния высокочастотных вибраций на возникновение термокапиллярной конвекции в слое одноком-понентной жидкости. В п. 1.1 приведена постановка задачи и система уравнений конвекции в обобщенном приближении Обербека-Буссинеска (переменная плотность учитывается не только в массовых силах, но и в инерционных слагаемых). Введены безразмерные параметры. В п. 1.2 рассмотрена асимптотика больших частот, выведены осредненные уравнения для плавных составляющих гидродинамического поля и приведены формулы для быстрых неизвестных. Получены выражения для виброгенной массовой силы и виброгенных напряжений. В осредненных уравнениях произведен переход к приближению Обербека-Буссинеска. При этом показано, что операции осреднения и перехода к приближению Обербека-Буссинеска неперестановочны — сначала нужно осреднить небуссинесковские уравнения, а потом перейти в осредненных уравнениях к приближению Обербека-Буссинеска (неучет виброгенной силы, происходящей от инерционного члена уравнения движения, может исказить результаты). В п. 1.3 найдено равновесное решение осредненных уравнений и выписана спектральная задача для нормальных возмущений. В п. 1.4 рассмотрен случай однородной жидкости. Соответствующая спектральная задача содержит один единственный вибрационный параметр который включает и амплитуду, и направление вибрации. Получены явные формулы для числа Марангони в случае монотонной неустойчивости для мягкой и твердой стенок. Для колебательной неустойчивости выписано трансцендентное уравнение для частоты нейтральных колебаний и формула для числа Марангони. Построена длинноволновая асимптотика критических чисел Марангони. В п. 1.5 приведены численные результаты, таблицы и графики для параметра Марангони в случае больших и малых волновых чисел и показано совпадение численных и асимптотических результатов. В п. 1.6 рассмотрена вибрационная конвекция Пирсона — свободная граница недеформируема в среднем. В этом случае продемонстрированы различия численных результатов в зависимости от выбора исходной модели конвекции: обобщенных уравнений или обыкновенных уравнений Обербека-Буссинеска. Показано, что в случае вертикальных колебаний результаты совпадают, и объяснена причина этого совпадения.

Во второй главе исследуется влияние примеси на возникновение вибрационной конвекции. Жидкость предполагается двухкомпонентной, коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации. При этом рассматривается как однородная жидкость, так и неоднородная, когда плотность р линейно зависит от температуры и концентрации. В п. 2.1 приведена постановка задачи и система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска. Исходные уравнения взяты в таком приближении Обербека-Буссинеска потому, что рассматриваются два случая: 1) жидкость однородна (р = ро); 2) жидкость неоднородна, но границы слоя либо твердые стенки, либо свободные недеформируемые. В п. 2.2 применен метод осреднения, показано, что наличие примеси не изменило вид виброгенной силы и виброгенных напряжений, полученных в главе I. Найдено равновесное решение осредненной задачи. В п. 2.3 исследуется термокапиллярная конвекция Марангони: приведена спектральная задача, показано влияние концентрационного числа Марангони на возникновение конвекции. В п. 2.4 рассмотрен случай, когда градиент концентрации создается не внешними условиями, а является следствием термодинамической диффузии Соре. Исследовано влияние параметра Соре на нейтральные кривые Ма(а). В п. 2.5 рассмотрено влияние примеси на гравитационную термоконцеитрационную конвекцию Рэлея-Бенара. Слой ограничен сверху и снизу свободными от касательных напряжений или твердыми стенками. Рассмотрены случаи вертикальных и горизонтальных колебаний. В результате показано, что при наличии примеси могут появиться замкнутые области монотонной и колебательной неустойчивости, которые исчезают, когда параметр вибрации стремится к нулю.

В третьей главе исследовано влияние вертикальных гармонических вибраций конечной частоты и произвольной амплитуды на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое однородной жидкости. В п. 3.1 сформулирована постановка задачи и приведены уравнения конвекции. В п. 3.2 найдено квазиравновесное решение, и методом линеаризации получена линейная задача для нормальных возмущений. Введены безразмерные параметры. Применена теория Флоке. В п. 3.3,3.4 построено в явной форме, с применением метода цепных дробей, характеристическое уравнение для показателей Флоке. Из него выведены уравнения для критических параметров всех трех основных типов потери устойчивости и соответствующих переходов: 1) к вторичным течениям того же периода, что и основной режим; 2) к вторичным течениям двойного периода; 3) к вторичным двухчастотным квазипериодическим режимам. В п. 3.5 приведены численные результаты. В п. 3.5.1 найдены значения безразмерной частоты шаз, при которых происходит выход чисел Марангони и частоты нейтральных колебаний на асимптотические значения при ш —» оо с заданной точностью. В п. 3.5.2 найдены области параметрических резонансов и исследовано их поведение в зависимости от частоты и амплитуды вибраций.

Актуальность темы. В последние десятилетия активно изучается конвекция в осциллирующих полях, которые могут иметь различную природу: акустические колебания, вибрации, вращение, модуляция температуры или концентрации. Кроме научного содержания, интерес к влиянию параметрических воздействий связан с приложениями — в проблемах гео-гидрофизики, космической технологии, материаловедения и т.д. Среди множества осциллирующих полей наибольший интерес вызывают высокочастотные вибрационные поля, появился даже новый термин — "вибрационная конвекция". После того, как было теоретически установлено, что вибрация, с одной стороны, может подавлять конвекцию, а с другой может быть одной из причин возникновения негравитационной конвекции, результаты по вибрационной конвекции стали учитывать при планировании космических экспериментов, а также использовать для управления конвекцией в наземных условиях. И хотя вибрационная конвекция интенсивно изучается и теоретиками, и экспериментаторами, многие задачи остаются нерешенными. Это, в первую очередь, задачи, связанные с взаимодействием вибрации и других факторов, вызывающих конвекцию градиенты поверхностного натяжения, наличие примесей, влияние формы границы и т.д. Очевидно, что, наряду с высокочастотными полями, интересны и поля, осциллирующие с умеренной частотой. Здесь наиболее характерны явления, связанные с параметрическим резонансом. Области конечных частот, параметрических резонансов изучены недостаточно. При решении таких задач применяются в основном прямые численные методы, которые весьма трудоемки, особенно в условиях довольно слабо развитой теории. К этой актуальной области относятся исследования, проведенные в данной диссертации.

Цель работы. Целью данной работы являлось исследование влияния поступательных вибраций на возникновение конвекции в горизонтальном слое однокомпонентной жидкости или бинарной смеси, ограниченном свободной деформируемой поверхностью и твердой или свободной неде-формируемой ("мягкой") стенкой. При этом рассматривались два случая: 1) высокочастотные вибрации произвольного направления, малой амплитуды и конечной скорости; 2) вертикальные (поперечные) вибрации произвольной частоты. Жидкость предполагалась либо однородной, либо слабо неизотермической.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись аналитические, асимптотические и численные методы решений дифференциальных уравнений. Для анализа высокочастотной асимптотики применялся метод осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова в форме Капицы, развитый применительно к задачам гидродинамики в работах И. Б. Симоненко, С. М. Зеньковской, В. И. Юдовича, Д. В. Любимова и др. Для расчета нейтральных кривых применялись методы сведения к трансцендентному уравнению и метод стрельбы для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования влияния вибрации произвольной частоты применялись теория Флоке, метод цепных дробей, а также методы численного решения трансцендентных уравнений.

Научная новизна. Впервые исследовано влияние высокочастотных поступательных вибраций произвольного направления на возникновение термокапиллярной конвекции в тонком слое с деформируемой свободной границей. Показано, что в случае однородной жидкости действие вибрации приводит к сглаживанию свободной границы. Впервые исследовано влияние примеси на начало вибрационной конвекции Мараигони. Исследовано влияние вертикальных гармонических вибраций конечной частоты на возникновение конвекции; найдены области параметрических резонансов. Обнаружены новые вибрационные эффекты, связанные с действием поверхностного натяжения, а также с наличием примеси. Рассмотрены две модели: исходные уравнения взяты в обобщенном приближении Обербека-Буссинеска, введенном Д. В. Любимовым, (переменная плотность учитывается не только в массовых силах, но и в инерционных слагаемых) и в обычном приближении Обербека-Буссинеска. Проанализированы условия применимости и неприменимости уравнений Обербека-Буссинеска в задачах вибрационной конвекции в слое. Продемонстрирована эффективность метода цепных дробей в задаче термокапиллярной конвекции в осциллирующем поле.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректной постановкой задач, применением аналитических, асимптотических и численных методов, совпадением асимптотических и численных результатов, использованием надежных алгоритмов вычислений, позволяющих контролировать точность расчетов, сопоставлением полученных результатов с результатами других исследователей, а также с результатами экспериментов.

Практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы как физиками-экспериментаторами, так и прикладными математиками при решении задач космической технологии, планирования эксперимента, геофизики. Кроме того, полученные качественные выводы могут служить основанием для проведения физических экспериментов в наземных условиях, а также при подготовке экспериментов в космосе. Практическая значимость полученных результатов определяется ролью конвекции в технологических процессах в условиях микрогравитации и невесомости. Полученные выводы и применяемые методы могут быть использованы при решении подобных задач о параметрическом воздействии на жидкость другими способами, отличными от вибрации.

Структура и объем работы. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы (111 наименований). Общий объем диссертации 138 страниц, включая 31 рисунок и 18 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шлейкель, Алексей Леович

выводы подтверждаются результатами расчета нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости. В случае слоя со свободными границами вычисления проводились по формулам, полученным в [59]. Для твердых стенок спектральная задача (5.1), (5.2) решалась методом стрельбы, причем в качестве начальных значений спектральных параметров выбирались значения, полученные для свободных границ. Все вычисления проводились при Рг = 10, Ье = 0.01. Основное внимание уделялось поведению нейтральных кривых в зависимости от параметров г, Я2, а также номера собственного значения.

На рис.17 изображены нейтральные кривые Я\(а) монотонной (сплошные линии) и колебательной (пунктирные) неустойчивости в случае двух свободных границ для Рг = 10, Ье = 0.01, Я2 = Ю0 (ц = —9900, Д = 8.02), г2 = 0.001 (кривые 1) и г2 = 0.00032 (кривые 2). При указанных значениях параметра г нейтральные кривые состоят из двух компонент. Если г2 < 0.00032, то замкнутые кривые монотонной неустойчивости исчезают. С ростом вибрационного параметра г языки монотонной и колебательной неустойчивости поднимаются вверх и сужаются, а область, ограниченная замкнутой кривой, расширяется, но остается между прямыми Я\ = Я2 и Лх = Ье1Л2 (рис.18), что согласуется с асимптотикой больших г, полученной в [59]. Аналогичная ситуация имеет место и для твердых стенок (см. рис. 19, 20 и табл. 13, 14). Причем асимптотика больших г остается той же: Я\ = Я2 и Я\ = Ье~1Я% для монотонной неустойчивости и = Я2 и = кЯ2 — для колебательной. На рис. 21 изображены нейтральные кривые монотонной и колебательной неустойчивости для твердых (1) и свободных (2) границ при г2 = 0.0004. Как видно из этого рисунка, неустойчивость в случае свободных границ наступает раньше.

До сих пор речь шла о первом собственном значении (п = 1) 11\(а). На рис. 22 приведены замкнутые нейтральные кривые монотонной неустойчивости при п = 1,2,3 для слоя со свободными границами. Для твердых стенок поведение нейтральных кривых Я^а) качественно такое же. На рис. 23 представлен случай, когда замкнутыми являются нейтральные кривые и монотонной, и колебательной неустойчивости в случае свободных границ. Заметим, что на рис. 23 изображена только часть кривой монотонной неустойчивости. На рис. 24 приведена зависимость частоты нейтральных колебаний с(а) для этого случая. Аналогичная картина имеет место и для твердых стенок. Следует отметить, что изучение задачи со свободными границами позволяет не только исследовать качественное поведение нейтральных кривых, но и дает начальные приближения для искомых параметров - числа Рэлея и частоты с - в задаче с твердыми стенками, что, как известно, вызывает большие трудности при численном решении спектральных задач.

2.5.2. Горизонтальные колебания (<р = 0)

В этом случае задача со свободными недеформируемыми границами не имеет простого точного решения. В работе [59] была рассмотрена модельная задача — краевые условия заменены условиями периодичности по переменной х. Показано, что при всех значениях параметров г, ¡3 существуют две непрерывные ветви нейтральных кривых Я^/З) > 0 и Щ((3) < 0, которые сближаются с ростом параметра г, выходя на ту же асимптотику, что и в случае вертикальных колебаний, но только с другой стороны. Вычисления, проведенные в данной работе, показывают, что поведение нейтральных кривых Л^а) в случае твердых стенок остается таким же (см. рис.25 и табл.15). Основной результат состоит в том, что с увеличением вибрации область устойчивости уменьшается. Однако, в пределе при г —оо остается полоса устойчивости: Я\ = #2 и = Хе-1^

Ma!

-J CD

2 4

Рис.13. Ма2=-1000, В01=0, В02=0, Cr=0.01, Pr=0.01, Sc=10, В0=0, Bi,=0, Bi2=0

Рис.14. Ма2=-1000, В01=0, В02=0, Cr=0.01, Pr=0.01, Sc=10, В0=0, Bi,=0, Bi2=0

Ma

0 0 Рис.17. Свободные границы, ф=71/2,Н2=100,Рг=10,Ье=0.01 3 4 а

0,0 3,5 7,0

Рис.18. Свободные границы, ф=тс/2, 1*2=100, Рг=10, Ье=0.01

150

0,0

1,3 2,6

Рис. 19. Твердые стенки, <р=я/2, Н2=100, Рг=10, Ье=0.01 N

110 100

55

10 0

1*1

1 - г2=0.0004

2 - г2=0.0005 3 - г2=0.001 4 - г2=0.1

0,0 3,5 7,0

Рис.20. Твердые стенки, <р=я/2, Н2=100, Рг=10, Ье=0.01

0,0

1,4

Рис.21. ф=7с/2, Н2=100, 1>г=10, Ье=0.01, г =0.0004

2,8

0,0 2,5 , 5,0

Рис.22. Свободные границы, <р=я/2, Я2=100, Рг=10, Ье=0.01, г =0.01

R, 10 oo

Oï 1 - г2=0 2 - г2=0.0001 3 - г2=0.001

4 - г2=0.01

Рис.25. Твердые стенки, ф=0, R2=100, Pr=10, Le=0.01

Заключение.

В задачах со свободной деформируемой (и деформирующейся) поверхностью наблюдаются новые вибрационные эффекты, отличные от случаев твердых или полностью недеформируемых границ. Основные результаты данной работы удобно представить в следующих четырех рубриках.

A. Свободные деформируемые границы.

А1. При любом направлении, отличном от продольного, высокочастотные вибрации оказывают стабилизирующее влияние на термокапиллярную неустойчивость однородной жидкости — они сглаживают свободную границу. Наибольший стабилизирующий эффект достигается при вертикальных вибрациях. Продольные высокочастотные колебания не влияют на термокапиллярную неустойчивость (разумеется, речь идет о ведущем приближении метода осреднения).

А2. Действие высокочастотной вибрации создает виброгенное поверхностное натяжение а/а, так что эффективный коэффициент поверхностного натяжения принимает вид С3 = С + Са/а2 + р3 Ш а/а. АЗ. Если жидкость неоднородна, а свободные границы иедеформируемы в среднем, то существуют такие значения безразмерной скорости вибрации 5 = з*(Во,В1) (где в2 = (сР^рох^Бт2 (р)/(2сго), Во,В1 — параметры теплоотдачи), что при й > 5* имеет место устойчивость квазиравновесия. Это — эффект абсолютной стабилизации.

B. Влияние примеси.

В1. В случае неоднородной жидкости обнаружены ситуации, в которых, при наличии примеси, область неустойчивости содержит "облака" — области, ограниченные замкнутыми нейтральными кривыми монотонной или колебательной неустойчивости. Они найдены в явном виде в случае двух мягких границ и численно в случае двух твердых стенок. Следующие выводы относятся к однородной жидкости. В2. В отличие от термокапиллярной конвекции, в случае двухдиффузионой конвекции Марангони монотонная неустойчивость может иметь место не только при положительных, но и при отрицательных тепловых числах Марангони Ма\. При отрицательных концентрационных числах Марангони (Ма2 < 0) колебательная неустойчивость может стать наиболее опасной. ВЗ. Для любого отрезка волновых чисел [с*!, а2], не содержащего точку а = 0, можно так подобрать амплитуду вибрации а* = а (а 1,0:2) (а?1 < а2 < оо), чтобы подавить дестабилизирующее влияние термодиффузии (эффекта Соре).

С. Параметрические резонаисы (конечные частоты, вертикальные колебания).

С1. Исследованы условия применимости асимптотического метода осреднения. Найдены значения безразмерной частоты ша3) при которых происходит выход на высокочастотную асимптотику с заданной точностью при условии, что остальные параметры фиксированы. Оказывается, для колебательной неустойчивости эти значения намного выше, чем для монотонной.

С2. Построены нейтральные кривые, отвечающие параметрическим резо-нансам Т-периодического и 2Т-периодического режимов.

Накопленный опыт при решении рассмотренных выше задач привел к ряду выводов о применяемых математических моделях и методах.

Математические модели и методы. Б1. В случае больших частот эффективен метод осреднения. Показано, что при наличии деформирующейся свободной границы в исходных уравнениях необходимо учитывать переменную плотность в инерционных членах. ду'

Инерционные члены порождают виброгенную силу (¡ЗТ'-^г-) (здесь (.) —

1/1/ среднее за период).

Показано, что если в исходной системе уравнение неразрывности взять в виде сНу у' = 0, то для слабо неизотермической жидкости (предельный случай /3 —> 0) осредненная задача не изменится.

Б2. Операции осреднения и перехода к уравнениям Обербека-Буссинеска неперестановочны: сначала нужно осреднить исходную задачу, а затем, в осредненных уравнениях, переходить к приближению Обербека-Буссинеска.

БЗ. Метод цепных дробей, позволяющий строить дисперсионные уравнения явно, оказался весьма эффективным и в задаче вибрационной термокапиллярной конвекции в случае конечных частот и вертикальных колебаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шлейкель, Алексей Леович, 2004 год

1. Benard Н. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. Gen. Sci. Pure Appl. 1900. Vol. 11. P. 1261-1268.

2. Block M. J. Surface tension as the cause Benard cells and surface deformation in a liquid film // Nature. 1956. Vol. 178, N 4534. P. 650651.

3. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension //J. Fluid Mech. 1958. Vol. 5, № 4. P. 489-500.

4. Regnier V. S., Lebon G. Time-growth and correlation length of fluctuations in thermocapillary convection with surface deformation //J. Mech. appl. Math. 1995. Vol. 48. Pt. 1. P. 57-75.

5. Ландау JI. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Т. 6. М.:Наука. 1986. 733 с.

6. Гершуни Р. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.

7. Андреев В. К., Захватаев В. Е., Рябицкий Е. А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука. 2000. 280 с.

8. Vidal A., Acrivos A. Nature of the neutral state in surface tension driven convection // Phys. Fluids. 1966. Vol. 9, N 3. P. 615-616.

9. Scriven L. E., Sterling С. V. On cellular convection driven by surface tension gradients: effect of mean surface tension and surface viscosity // J. Fluid Mech. 1964. Vol. 19, N 3. P. 321-340.

10. Takashima M. Surface tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface. II. Overstability //J. Phys. Soc. Japan. 1981. Vol. 50, N 8. P. 2751-2756.

11. Takashima M. Surface tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface. I. Stationary convection //J. Phys. Soc. Japan. 1981. Vol. 50, N 8. P. 2745-2750.

12. Рябицкий E.A. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. 1992. т. С. 19-23.

13. Бадратинова Л. Г. Термокапиллярная неустойчивость равновесия жид кого слоя, ограниченного свободными поверхностями // Динамика сплошной среды. 1980. № 46. С. 14-22.

14. Hashim /., Wilson S. К. The onset of Benard-Marangoni convection in a horizontal layer of fluid // International Journal of Engineering Science, 37 (1999), P. 643-662.

15. Funada T. Marangoni instability of thin liquid sheets //J. Phys. Soc. Japan. 1986. Vol. 55. N 7. P. 2191-2202.

16. Funada Т., Kubo Т., Matsuura S. Marangoni instability of unsteady mode for a liquid sheet // Numazu College Technol. Research Annual. 1994. N 28. P. 53-59.

17. Бирих P. В., Рудаков P. H. Термокапиллярная неустойчивость деформируемой жидкой пленки // Механика жидкости и газа. №5. 1996. С. 30-36.

18. Birikh R. V., Briskman V. A., Rudakov R. N., Velarde M. G. Marangoni-Benard convective instability driven by a heate divider // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. N 3. P. 493-498.

19. Birikh R.V., Boushoueva S.V., Briskman V.A., Velarde M.G. Thermocapillary overstability and excitation of surface waves // J. of the Japan Society of Microgravity application. Tokyo. 1998. Vol. 15. P. 384389.

20. Sterling С. V., Scriven L. E. Interfacial turbulence: hydrodynamics insta bility and Marangoni effect // AIChE Journ. 1959. Vol. 5, N 4. P. 514-520.

21. McTaggart Carol L. Convection driven by concentration- and temperature-dependent surface tension // J. Fluid. Mech. 1983. Vol. 134. P. 301-310.

22. Chen C. F., Su T. F. Effect of surface tension on the onset of convection in a double-diffusive layer // Phys. Fluids. 1992. A4(ll). P. 2360-2367.

23. McCaughan F., Bedir H. Marangoni convection with a deformable surface // J. Appl. Maths. Mechs. September 1994. Vol. 61. P. 681-687.

24. Рябицкий E.A. Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ. 1993. №1. С. 6-10.

25. Рябицкий Е.А. Термокапиллярая неустойчивость равновесия плоского слоя при наличие растворимого поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. МЖГ. 1996. №1. С. 3-8.

26. Joo S.W. Marangoni instabilities in liquid mixture with Soret effects 11 J. Fluid Mech. 1995. Vol. 293. P. 127-145.

27. Рябицкий Е.А. Термокапилляркая неустойчивость плоского слоя с учетом эффекта Соре // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №3. С. 3-9.

28. Bergeon А., Henry D., Benhadid Н., Tuckerman L. S. Marangoni convection in binary mixtures with Soret effect // Fluid Mech. 1998, Vol. 375, P. 143-177.

29. Полежаев В. И. Термокапиллярная конвекция жидкости в цилиндрическом сосуде при заданном подводе тепла. Некоторые применения метода сеток в газовой динамике // М. Изд. МГУ, 1972, С. 175-213.

30. Полежаев В. И., Велло М. С., Верезуб Н. А. и др. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука. 1991. 240с.

31. Полеэ/саев В. И. Режимы микроускорений, гравитационная чувствительность и методы анализа технологических экспериментов в условиях невесомости // Изв. РАН МЖГ 1994. №5, С. 22-36.

32. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №5. С. 51-55.

33. Зеньковская С. М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. М. С. 55-58.

34. Зенъковская С. М. О влиянии вибрации на возникновение конвекции // М. 1978 Деп. в ВИНИТИ 11.07.78. №437-78. 30 с.

35. Зенъковская С. М. О влиянии вибрации на конвективную неустойчивость. Сборник «Численные методы динамики вязкой жидкости» // Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР. 1979 (Труды VII Всесоюзного семинара по численным методам). С. 116-122.

36. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // ДАН СССР. 1979. Т. 249. №3. С. 580-584.

37. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационного поле в невесомости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. т. С. 12-19.

38. Заварыкин М. П., Зорин С. В., Путин Г. Ф. Экспериментальное исследование вибрационной конвекции // ДАН СССР. 1985. Т. 281. №4. С. 815-816.

39. Заварыкин М. П., Зорин С. В., Путин Г. Ф. О термоконвективной неустойчивости в вибрационном поле // ДАН СССР. 1988. Т. 299. №2. С. 309-312.

40. Заварыкин М. П. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости в переменном поле тяжести // ПГУ. Пермь. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 1998. 16 с.

41. Зенъковская С. М., Овчинникова С. Н. Термовибрационная конвекция в слое жидкости при невесомости или пониженной гравитации // ПМТФ. 1991. №2. С. 84-90.

42. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87. №2. С. 236-253.

43. Левенштам В. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. мат. журн. 1993. №2. С. 105-122.

44. Юдович В. И. Вибродинамика систем со связями // Докл. РАН. 1997. Т. 354. №5. С. 622-624.

45. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Деп. в ВИНИТИ. 2003. 53 с.

46. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть 2 // Деп. в ВИНИТИ. 2003. 62 с.

47. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. Регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2003. С. 304-325.

48. Briskman V.A. Vibrational thermocapillary convection and stability // Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity. London: Gordon and Breach Sci. Publ. 1991. P. 111-119.

49. Briskman V.A., Zuev A.L. Influence of different factors on the thermocapillary deformation of a thin liquid layer //Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity, London: Gordon and Breach Sci. Publ. 1992. P. 139-144.

50. Брискман В. А., Бирих P. В., Зуев A. JI., Чернатынский В. И., Якушин В. И. О взаимодействии термовибрационного и термокапиллярного механизмов конвекции // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №5. С. 107-121.

51. Lyubimov D. V. Thermovibrational flows in a fluid with a free surface // Microgravity Quarterly. 1994. V. 4. №. P. 117-122.

52. Гершуни Г. 3., Любимов Д. В., Любимова Т. П., Ру Б. Конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне в высокочастотном вибрационном поле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. №5. С. 53-61.

53. Любимов Д. В. Нелинейные проблемы теории быстроосциллирующих конвективных течений // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Пермь. 1994. 415 с.

54. Зепьковская С. М., Шлейкелъ А. Л. Конвекция Марангони в высокочастотном вибрационном поле // Деп. в ВИНИТИ 06.06.00. М615-В00.

55. Зеньковекая С. М., Шлейкелъ А. Л. Конвекция в горизонтальном слое жидкости при действии высокочастотной вибрации // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. Регион. Естественные науки. 2001. Спецвыпуск. Мат. моделирование. С. 78-81.

56. Зенъковская С. M., Шлейкель A. JI. Влияние высокочастотной вибрации на возникновение конвекции.в горизонтальном слое жидкости // ДАН. 2002. т. 382. №5. стр. 632-636.

57. Зенъковская С.М., Шлейкель A.JI. Влияние высокочастотной вибрации на возникновение конвекции Марангони в горизонтальном слое жидкости // ПММ. 2002. Т. 66. С. 573-583.

58. Зенъковская С. М. О влиянии вибрации на возникновение конвекции в бинарной смеси. // М. 1981. Деп. в ВИНИТИ 10.04.81. №1570-81. 28 с.

59. Зенъковская С. М., Куринной В. В. Свободная конвекция в слое жидкости при осциллирующем поле тяжести. // М. 1983. Деп. в ВИНИТИ 7.07.83. №4095-83. 30 с.

60. Bardan G., Knobloch Е., Majtabi A., Khallouf H. Natural doulby diffusive convection with vibration // Fluid Dynamics Research. 2001. 28. P. 159— 187.

61. Gershuni G.Z., Kolesnikov A.K., Legros J. C., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal binarymixture layer with Soret effect. // J. Fluid Mech. 1997 Vol. 330, P. 251.

62. Мызникова Б. И., Смородин Б. JI. О конвективной устойчивости горизонтального слоя двухкомпонентной смеси в модулированном поле внешних сил // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2001. №1. С. 3-13.

63. Мызникова Б. И., Смородин Б. JI. Влияние модуляции на конвективную неустойчивость горизонтального слоя бинарной смеси с учетомэффекта Соре. VIII Всеросийский съезд по теор. и прикладн. механики. Пермь. 2001. Аннотации докладов. С. 445.

64. Гершуни Г. 3., Колесников А. К., Легро Ж.-К., Мызникова Б. И. Вибрационно-конвективная устойчивость квазиравновесия горизонтального слоя бинарной смеси с эффектом Соре // Пермь. Вибрационные эффекты в гидродимамике. 1998. 266 с.

65. Gershuni G.Z., Kolesnikov А. К., Legros J. С., Myznikova B.I. On the convective instability of a horizontal binary mixture layer with Soret effect under transversal high frequency vibration // Int. J. Heat and Mass Transf. 1997. Vol. 330. P. 251-269.

66. Зенъковская C.M., Шлейкель A. JI. Влияние высокочастотной вибрации иа возникновение конвекции Марангони в слое бинарной смеси с учетом эффекта Соре. // Труды VII Российского симпозиума "Механика невесомости". Москва. 2000. С. 248-261.

67. Legros J. С., Platten J. К., Poty P.G. Stability of two component fluid layer heated from below // Phys. Fluids. 1972. Vol. 15. P. 1383.

68. Platten J. K., Legros J. C. Kinetics of the Liquids. Springer. 1984.

69. Зенъковская С. M. О возникновении конвекции многокомпонентной жидкости при действии высокочастотной вибрации // Изв. АН. ФАО. 1998. Т. 34. М. С. 68-77.

70. Бирих Р. В., Катанова Т. Н. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость адвективного течения // Механика жидкости и газа, Ж 1. 1998. С. 16-22.

71. Гершуни Г. 3., Жг^ховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.

72. Вибрационные эффекты в гидродимамике // Пермь. 1998. 266 с.

73. Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей //Сб. науч.' тр.]. Екатеринбург: УрО РАН. 1999. 186 с.

74. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости // ПММ. 1963. 27. №5. С. 779,

75. Маркман Г. С., Урипцев A.JI. О параметрическом возбуждении конвективного движения в жидкости, подогреваемой сверху // Изв. СКНЦ ВШ. Естественые науки. 1976. С. 24-27.

76. Saunders В. V., Murray В. Т., McFadden G. В., Coriell S. R., Wheeler A. A. The effect of gravity modulation on thermosolutal convection in infinite layer of fluids // Physics of Fluids. 1992. Ser. A. Vol. 4. N 6. P. 1176-1189.

77. Or A. C., Kelly R. E. Onset of Marangoni convection in a layer of fluid modulated by a weak nonplanar oscillatory shear // Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 38, N 12, 1995. P. 2269-2279.

78. Гершуни Г. 3., Келлер И. О., Смородин Б. Л. О вибрационно-конвективной неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости при конечных частотах вибрации // Механика жидкости и газа. 1996. №5. С. 44-50.

79. Бирих Р. В., Брискман В. А., Веларде М.Г., Черепанов A.A. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн // ДАН. 1997. Т. 352. №5, С. 616-619.

80. Смородин Б. Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМ и ТФ. 2002. Т. 43. №2. С. 54-61.

81. Kelly R. Е., Ни Н.-С. The onset of Rayleihg-Benard convection in non-planar oscillatory flows // J.Fluid Mech. 1993, Vol. 249, P. 373-390.

82. Бурдэ Г. И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил //Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №2. С. 196.

83. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С. О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра // ПММ. 1970. 34. №, С. 470.

84. Полежаев В. И., Соболева Е. Б. Тепловая гравитационная и вибрационная конвекция околокритического газа в условиях микрогравитации // Изв. АН, МЖГ. 2000. №3. С. 70-80.

85. Полежаев В. И., Яремчук В. П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу //Изв. АН. МЖГ. 2001. №4. С. 34-45.

86. Беленькая JI.X., Юдович В. И. Численное исследование возникновения конвекции в бинарной смеси под действием периодических по времени внешних сил. // М. 1981. Деп. в ВИНИТИ 10.04.81. №1570-81. 74 с.

87. Маркман Г. С., Юдович В. И. Численное исследование возникновения конвекции в слое жидкости под действием периодических по времени внешних сил // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. №3. С. 81-86.

88. Маркман Г. С., Юдович В. И. Возникновение конвекционных режимов двойного периода в периодическом поле внешних сил // ПМТФ. 1972. №6. С. 65-70.

89. Беленькая Л. X., Юдович В. И. Устойчивость вязкоупругого стержня под действием периодической нагрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №6. С. 146-152.

90. Мешалкин Л. Д., Синай А. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 6. С. 1140-1143.

91. Юдович В. И. Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потери устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 3. с.453-467.

92. Зенъковская С. М., Юдович В. И. Метод интегро-дифференциальных уравнений и цепных дробей в задаче о параметрическом возбуждении волн // Журнал выч. математики и матем. физики. 2004. №2. С. 370384.

93. Зенъковская С. M., Юдович В. И. Метод интегро-дифференциальных уравнений в задачах со свободными границами и параметрическое возбуждение волн. Часть I. // Деп. в ВИНИТИ. ДО2587-В2001.

94. Зенъковская С. М., Юдович В. И. Граничные интегро-диффференциальные уравнения и метод цепных дробей в задаче о параметрическом возбуждении волн. // Труды VII Международной конференции. Ростов. 2001. Т. 1. С. 191-195.

95. Зенъковская G.M., Новосядлый В. А., Шлейкелъ А. Л. Влияние вертикальных вибраций конечной частоты на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое // Деп. в ВИНИТИ. 27.07.03. N1440-2003. 36 с.

96. Зенъковская С.М., Шлейкелъ А. Л. Вибрационная конвекция в слое со свободной деформируемой границей // Деп. в ВИНИТИ 04.08.97. №2604-В97. 41 с.

97. Зенъковская С. М., Шлейкелъ А. Л. Термокапиллярная конвекция в слое с деформируемой границей под действием высокочастотной вибрации // Деп. в ВИНИТИ 1.02.98. № 354-В98. 30 с.

98. Shleikel A., Zenkovskaya S. The thermocapillary and concentrational capillary convection by high frequency vibration in weghtlessness and microgravity // J. of the Japan Society of Microgravity application. Tokyo. 1998. Vol. 15. P. 384-389.

99. Шлейкелъ A. Л. Численное исследование вибрационной конвекции в слое бинарной смеси // Труды Зимней школы по механике сплошных сред (двенадцатой). Пермь. 1999. С. 320.

100. Шлейкелъ А. Л. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси с учетом поверхностного натяжения // Труды VI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 2001. Т. 1. С. 114-118.

101. Шлейкелъ А. Л. Вибрационная конвекция в слое бинарной смеси в условиях невесомости и микрогравитации // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь. 2001. Аннотации докладов. С. 612.

102. Шлейкелъ А. Л. Конвекция Марангони в бинарной смеси при действии высокочастотной вибрации // Труды VII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 2001. т. 2. С. 169-173.

103. Shleykel A. L. Marangoni convection in a horizontal binary mixture layer in presence of high frequency gravity modulation // Patterns and Waves, St. Peterburg. 2003. P. 15-29.

104. Zenkovskaya S.M., Shleykel A.L., Novossiadliy V.A. Influence of vibration on Marangoni convection in horizontal fluid layer //Book of Abstracts of the 5th Euromech Fluid Mechanics Conference. France. 2003. P. 509.

105. Zenkovskaya S. M., Korovaynaya Y. Y., Shleykel A. L. Influence of gravity modulation on the onset of convection in horizontal fluid layer // Abstracts of International Conference "Advanced problems in thermal convection". Perm. 2003. P. 262-263.