Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Мазунина, Екатерина Сергеевна

• Мазунина, Екатерина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мазунина, Екатерина Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Линейная термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла при изотермической твердой границе.

1.1. Состояние механического равновесия.

1.2. Уравнения малых возмущений.

1.3. Результаты анализа линейной устойчивости для системы с Ье = 1.

1.4. Результаты анализа линейной устойчивости для системы с Ье ф 1.

1.5. Два механизма термокапиллярной неустойчивости в слое с концентрационными источниками тепла.

Глава II. Численное исследование надкритических движений в слое при изотермической нижней границе.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Метод решения.

2.3 Надкритические режимы конвекции при равенстве диффузионного и температурного времени релаксации.

2.3.1 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке с вертикальными свободными границами.

2.3.2 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке с периодическими условиями на вертикальных границах.

2.3.3 Термокапиллярная конвекция в ячейке (3:1) с периодическими условиями на вертикальных границах.

2.4 Исследование надкритических режимов движения жидкости в слое при Ье = 0.1.

2.4.1 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке при Ма > 0 с вертикальными свободными границами.

2.4.2 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке при Ма > с периодическими условиями на вертикальных границах.

2.4.2 Термокапиллярная конвекция в прямоугольной ячейке (5:1) при Ма < 0.

Глава III. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости при фиксированном тепловом потоке через твердую границу.

3.1. Состояние механического равновесия и граница термокапиллярной неустойчивости.

3.2. Надкритические движения.

Глава IV. Термокапиллярная конвекция в прямоугольном канале.

4.1. Состояние механического равновесия и линейная устойчивость.

4.2. Надкритические режимы конвекции.

4.2.1. Термокапиллярная конвекция в канале с твердыми стенками при теплоизолированной нижней границе.

4.2.2. Термокапиллярная конвекция в канале с твердыми стенками при изотермической нижней границе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла»

Исследование устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости представляет большой интерес не только с теоретической точки зрения, но и благодаря многочисленным приложениям к различным задачам техники и технологии, а также в связи с математическим моделированием большого количества природных процессов. Этой проблеме посвящено достаточно большое количество работ. Основные результаты представлены в монографиях Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого [1], Полежаева В.И., Буне A.B., Верозуба H.A. [2], Пухначева В. В. [3], Андреева В.К. и Рябицкого Е.А. [4], Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G., J.C. Legro [5] и обзорах [6, 7].

На физические процессы, протекающие в жидкости со свободной поверхностью, существенное влияние оказывает движение жидкости, связанное с термо- и концетрационно-капиллярными эффектами. Особенно сильный эффект наблюдается в условиях невесомости. Кроме того, проблема конвективной устойчивости привлекала заметное внимание исследователей всю вторую половину XX века и начало нового века в связи с теоретической важностью проблемы. Поэтому новые исследования, определяющие пороги возникновения движения и структуру движения, являются актуальными для теории конвективной неустойчивости.

В большинстве ранее проведенных исследований по термокапиллярной неустойчивости в плоских слоях предполагалось, что в состоянии механического равновесия температура меняется с поперечной координатой линейно или квадратично. Безусловно, представляет интерес анализ влияния на пороги конвекции более сложных законов изменения температуры и механизмов формирования этих распределений.

Особой для конвекции является ситуация, когда силой тяжести можно пренебречь. Если при этом исключить вибрационное воздействие, то основную роль в процессах тепломассопереноса начинает выполнять конвекция Марангони. Вызывающие движение капиллярные силы определяются зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры и (или) концентрации поверхностно активного вещества.

Для удобства обзора результатов предшествующих исследований, относящихся к теме диссертации, разобьем все работы на три группы. К первой отнесем литературу по Марангони неустойчивости механического равновесия жидкости с линейным профилем температуры и нелинейные расчеты конвекции Марангони в прямоугольных полостях. Обсуждение этой части работ позволит выяснить основные механизмы неустойчивости и их характерные черты, а также проанализировать влияние граничных условий на устойчивость равновесия и структуру возникающих течений. Во вторую группу выделим работы, в которых рассматриваются жидкости с внутренними источниками тепла различной природы. Наконец, в третью группу включена немногочисленная литература по конвекции в средах с концентрационными источниками тепла.

Начало теоретическим исследованиям термокапиллярной неустойчивости механического равновесия неизотермической жидкости было положено работой Пирсона [8]. В ней изучалось равновесие плоского слоя жидкости со свободной границей, подогреваемого со стороны твердой границы. На основе анализа линеаризованных уравнений конвекции' было показано, что слой теряет устойчивость относительно монотонно нарастающих возмущений, длина волны которых примерно равна тт. Неустойчивость наступает при числе Марангони около восьмидесяти.

Дальнейшее изучение термокапиллярной неустойчивости плоского слоя неравномерно нагретой жидкости с постоянным поперечным градиентом температуры проводилось в ряде работ [9,10]. В [9] рассматривается влияние двух механизмов: термокапиллярного и термогравитационного на порог устойчивости жидкости в плоском слое. В работе [10] исследована монотонная неустойчивость жидкого слоя с двумя свободными границами. Было показано, что наличие второй свободной границы приводит к повышению порога неустойчивости системы. Это результат того, что пирсоновский механизм неустойчивости, существующий на поверхности, с которой осуществляется прогрев, препятствует возникающему движению. В приведенных выше случаях границы слоя предполагались плоскими, и устойчивость нарушалась относительно монотонных возмущений. Учет деформации свободной поверхности приводит к возникновению в системе колебательных возмущений. Исследование влияния деформируемости границ на термокапиллярную неустойчивость плоского слоя жидкости, подогреваемого снизу, было проведено в работах [11-15].

В работе [16] была рассмотрена Марангони неустойчивость бинарной жидкой смеси с недеформируемой свободной границей в приближении малых значений чисел Льюиса и Био. Авторы статьи учитывали зависимость поверхностного натяжения от концентрации и температуры, а также эффект Соре.

Еще один механизм термокапиллярной неустойчивости описан в работе [17]. Он связан с возникновением в слое жидкости, подогреваемом снизу, под воздействием возмущений, участков различной толщины. В результате высокий участок рельефа поверхности оказывается более холодным по сравнению с участком, лежащим ниже, и под действием термокапиллярных сил жидкость течет в сторону от горячего пятна поверхности к более высокой его точке, поддерживая рельеф. Различные механизмы неустойчивости на примере жидкой пленки с поперечным градиентом температуры подробно обсуждаются в [18].

Численное исследование конвекции Марангони, основанное на решении полных нелинейных уравнений методами конечных разностей, проводилось в работах [19-21]. В них изучались конвективные режимы, возникающие в прямоугольных областях (задачи решались в плоской постановке). В работе [19] исследуется термокапиллярная конвекция в открытой прямоугольной кювете (рассмотрены случаи, когда отношение длины к толщине равно 4,

12.5, 25), боковые стенки которой поддерживаются при различных температурах. В работе [20] методом конечных элементов изучается взаимодействие гравитационной и термокапиллярной конвекции в прямоугольной области со свободной границей с учетом деформации границы. Проведен анализ движения жидкости для разных значений безразмерных параметров: чисел Бонда, Марангони, Био, угла смачивания.

В [21] также исследуется взаимодействие гравитационной конвекции и конвекции Марангони в прямоугольной полости с деформируемой свободной границей. Через свободную границу происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Методом конечных разностей исследована неустойчивость при различных отношениях сторон (1 — 20). В бесконечном плоском слое с недеформируемой границей, как и предсказывает линейная теория, возникают вихри, размеры которых порядка толщины слоя. Если граница деформируется, то в полости возникают вихри, длина которых порядка длины полости. Деформация свободной границы поддерживает существование длинноволновых возмущений.

Перейдем к обсуждению другой группы работ, связанных с наличием в среде внутренних источников тепла. Тепловыделение может быть обусловлено различными причинами. Большое количество работ посвящено исследованию конвекции в средах, внутри которых находятся тепловыделяющие тела или абстрактные источники без указания их природы [22-25]. Так в работе [22] описываются результаты экспериментального и теоретического исследования совместной термокапиллярной и свободной конвекции в прямоугольных камерах с локальным нагревом, создаваемым тонкими проводами, размещаемыми вдоль поверхности. Показано, что при определенной разности температур стационарное двумерное поле потока становится колебательным и трехмерным. Определяется критическая разность температуры начала осцилляций при различных начальных условиях. В [23] исследуется линейная устойчивость и надкритические режимы течения в плоском слое с локализованным источником тепла. Внутри слоя от места локализации источника в обе стороны в основном состоянии формируется линейный профиль температуры. В работе [24] рассмотрено движение вязкой несжимаемой жидкости в плоском бесконечном наклонном слое при наличии внутренних источников тепла, сосредоточенных на оси слоя. Оказалось, что наиболее опасными являются плоские и спиральные возмущения.

В обзоре [25] рассматриваются экспериментальные и основанные на аналитических оценках теоретические исследования конвективной теплоотдачи однокомпонентной тепловыделяющей жидкости.

Тепловыделение может быть обусловлено поглощением жидкостью излучения. Сюда можно отнести нагрев солнечным излучением, а также лазерным лучом. Так в работе [26] проведено численное исследование термокапиллярной устойчивости плоского слоя жидкости, поглощающей внешнее излучение по закону Бугера-Ламберта. В [27] экспериментально исследуется деформация границы раздела фаз под влиянием термокапиллярной конвекции, вызванной действием лазера.

Еще одним источником тепла внутри жидкости может служить протекающая в ней химическая реакция [28-30]. Реакция приводит к выделению или поглощению тепла и к образованию продукта с плотностью, вообще говоря, отличной от плотности реагента. В жидкости, таким образом, возникнут неоднородности плотности, которые могут привести к конвекции в среде. В работе [28] исследовалась конвективная устойчивость равновесия плоского горизонтального бесконечного слоя химически активной жидкости. Слой ограничен плоскостями, имеющими одинаковую температуру. Особенностью такой системы является то, что в ней возможны два равновесных распределения температуры. Проведенные расчеты показывают, что, хотя в системе возможны осциллирующие возмущения, в исследованной области изменения параметров колебательная неустойчивость I I отсутствует, и к кризису равновесия приводят монотонные возмущения. В [29] рассматривались конвективные движения конечной амплитуды в прямоугольной области с периодическими условиями на боковых границах. Была изучена структура течений, построены амплитудная кривая и диаграмма режимов движения. Дополнительный конвективный теплоперенос из зоны реакции приводит к смещению границы теплового взрыва в сторону больших значений параметра Франка-Каменецкого. В ячейке в зависимости от чисел Франк-Каменецкого и Релея может возникать двухвихревое движение при малых значениях параметров и четырех- вихревое движение при больших значениях параметров. В работе [30] исследовался случай; когда теплоперенос из зоны реакции через границы слоя пропорционален соответствующим коэффициентам теплоотдачи. Учет конечной теплопроводности границ слоя весьма существенно изменяет и, порог теплового взрыва, и конвективную устойчивость реагента.

Работа [31] посвящена экспериментальному изучению возникновения вибрационной конвекции в плоском горизонтальном слое с однородными ч внутренними источниками тепла, созданными при пропускании электрического тока через проводящую жидкость. В" экспериментах применяли раствор хлористого калия в этиловом спирте, по которому пропускали ток промышленной частоты. Слой совершал гармонические колебания в своей плоскости. Одна граница слоя изотермическая, а другая теплоизолированная. Возникновение конвективного движения в слое сопровождалось возрастанием теплопереноса к изотермической границе, т.е. понижением температуры жидкости в слое. Вибрации полости оказывали сильное дестабилизирующее воздействие.

В большинстве работ источники тепла вне зависимости от их природы считаются однородными. Это приводит к появлению в плоском слое параболического профиля температуры. Отдельно выделим две работы [32, 33], объекты исследования, в которых близки к тематике данной диссертации. В работе [32] исследуется термокапиллярная устойчивость равновесия плоского слоя жидкости с однородным внутренним тепловыделением, ограниченного свободной и твердой поверхностями, в условиях невесомости. Свободная граница предполагается недеформируемой с ньютоновским условием теплоотдачи, твердая граница - изотермическая. Линеаризованная система уравнений для плоских нормальных возмущений равновесных распределений скорости и температуры решалась численно методом Рунге-Кутта. Колебательные возмущения в работе не исследовались. В результате было выяснено, что с ростом числа Био пороговое значение числа Марангони быстро убывает до 1624, а затем для В>4 медленно увеличивается. Для ВК4 исследуемая система оказывается неустойчивой и для отрицательных чисел Марангони.

В [33, 5] рассматривается устойчивость механического равновесия к плоского слоя жидкости с внутренними источниками тепла, ограниченного теплоизолированной твердой и деформируемой свободной границами. Были рассмотрены нейтральные монотонные возмущения, получены нейтральные кривые для различных чисел Био и Вебера. При числе Био равном нулю и числе Вебера равном бесконечности (плоская свободная граница) зависимость числа Марангони от волнового числа имеет минимум при к = 0.

В работе [5] была рассмотрена термокапиллярная неустойчивость жидкой пленки с внутренними источниками тепла. В такой системе возможны монотонные и колебательные возмущения. Было обнаружено два механизма неустойчивости, связанные с неоднородным распределением температуры на свободных границах и возможностью свободной границы деформироваться, что приводит к возникновению в слое участков разной толщины.

Обсудим теперь основные результаты работ, исследующих поведение жидких смесей с концентрационными источниками тепла. Модель с концентрационными источниками тепла может применяться при рассмотрении ряда практически интересных физических задач, например, поглощение света в загрязненной пылью подвижной среде, конвекция в земных недрах [34], когда интенсивность тепловыделения пропорциональна концентрации некоторой активной компоненты смеси. Первые работы, рассматривающие такие среды, были посвящены исследованию конвективной устойчивости гравитационной конвекции в слоях с твердыми границами [35, 36]. При наличии линейного градиента концентрационных источников тепла в слое устанавливается стационарная температура, которая зависит от вертикальной координаты по кубическому закону. В случае отрицательного значения диффузионного числа Релея неоднородности концентрации оказывают стабилизирующее воздействие на конвективную устойчивость, при положительном - дестабилизирующее. Диффузия внутренних источников тепла изменяет не только критическое число Релея, но и форму возмущений. В [37] рассматривается термокапиллярная устойчивость равновесия плоского слоя жидкой бинарной смеси. Предполагается, что поверхностное натяжение зависит только от температуры, а градиент концентрации активной компоненты поперек слоя линеен. Построены нейтральные кривые, найдены зависимости критических чисел Марангони от числа Био и структуры возникающих конвективных движений. Интегрирование уравнений для амплитуд нормальных возмущений осуществлялось методом Рунге-Кутты. Обнаружено сильное понижение пороговых значений числа Марангони с уменьшением числа Льюиса. В приведенных работах не учитывалось уменьшение концентрации активной компоненты бинарной смеси в процессе тепловыделения.

Проведенный обзор литературы показывает, что термокапиллярная неустойчивость в плоском слое жидкости подробно исследована для линейного и параболического профиля температуры и практически не исследовались ситуации с более сложной формой температурного профиля в плоском слое, особенно когда распределение температуры определяется несколькими процессами переноса.

Предлагаемая работа проводилась с целью определения порога конвекции Марангони и ее структуры в плоском слое жидкости со сложным профилем температуры и двумя процессами переноса, формирующими этот профиль. Была рассмотрена термокапиллярная конвекция в бинарной смеси, одна из компонент которой выделяет тепло пропорционально ее концентрации — так называемая среда с концентрационными источниками тепла. Исследовано влияние возможного выгорания активной компоненты смеси.

Диссертация посвящена исследованию термокапиллярной неустойчивости и надкритических режимов движения плоского слоя вязкой несжимаемой жидкой бинарной смеси с концентрационными источниками тепла. Предполагается, что сила тяжести пренебрежимо мала, или слой имеет малую толщину, и только поверхностные силы могут вызвать движение жидкости в рассматриваемой системе. Также мы полагаем, что поверхностное натяжение зависит только от температуры. Активная компонента создает источники тепла, удельная мощность которых зависит от концентрации активной компоненты в данном месте. С течением времени в процессе тепловыделения концентрация активной компоненты уменьшается (активная компонента «выгорает»). Порог устойчивости системы исследуется в рамках линейной теории. Расчет нелинейных плоских движений проводился численно методом конечных разностей.

Порядок изложения материала диссертации и основные результаты.

Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Мазунина, Екатерина Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ линейной термокапиллярной неустойчивости механического равновесия смеси с концентрационными источниками тепла в плоском слое показал, что при изотермической твердой границе имеет место неустойчивость относительно монотонных и колебательных возмущений при положительных и отрицательных значениях числа Марангони. Для адиабатической твердой границы обнаружена только монотонная неустойчивость, которая возникает при положительных значениях числа Марангони.

Обнаружен новый механизм поддержки малых возмущений, обусловленный выносом на свободную поверхность жидкости с повышенной концентрацией тепловыделяющей компоненты смеси и изменением в связи с этим температуры поверхности.

Исследование надритических режимов движения методом сеток для числа Льюиса, равного 1 и 0.1, показало, что вблизи положительного критического значения числа Марангони мягко возникает стационарная конвекция. При увеличении значения числа Марангони обнаружено существование нескольких разных режимов колебательной конвекции, которые возникают в результате неустойчивости режимов, существующих при меньшем значении числа Марангони. При каждой бифуркации колебательного режима движение усложняется, однако при некотором значении числа Марангони в ячейке слоя возникает бегущая волна с достаточно регулярным движением.

Для отрицательных значений числа Марангони в ячейке слоя 5:1 получена колебательная конвекция, которая возникает мягко. Интерполяция на нулевое значение квадрата амплитуды функции тока дает значение критического числа Марангони и частоту колебаний, которые хорошо согласуются с линейной теорией.

В принятых двух моделях ячейки плоского слоя результаты для стационарной конвекции одинаковы. При периодических условиях на вертикальных границах возможность к деформации границы ячейки приводит к появлению колебательных режимов, которые не наблюдались в другой модели.

Анализ надкритических режимов движения жидкости в канале с твердыми боковыми стенками при изотермической и теплоизолированной нижней границе показал, что твердые стенки приводят к возникновению асиметрии движения. Конвективное движение с восходящим потоком у твердых границ оказывается меньшей интенсивности, чем движение с восходящим потоком на оси канала. Однако при больших значениях числа Марангони устойчивым оказывается режим с меньшей интенсивностью.

В заключении, автор диссертации выражает благодарность научному руководителю Рудольфу Вольдемаровичу Бириху за постановку задачи, научное руководство и непрерывный контроль, а также за моральную поддержку и взаимопонимание, которые создавали творческие условия для работы.

Автор выражает особую благодарность Якушину Валентину Ивановичу, Мызникову Владимиру Митрофановичу, Еремину Евгению Александровичу за ценные рекомендации, замечания и обсуждения, которые существенно повлияли на содержание диссертации.

Автор выражает благодарность участникам Пермского гидродинамического семинара и его председателю профессору Любимову Дмитрию Викторовичу за полезные дискуссии и замечания по работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мазунина, Екатерина Сергеевна, 2011 год

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.

2. Полежаев В.И., Буне А.В., Верозуб Н.А. и др. Математическое моделирование конвективного теплообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 272 с.

3. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции 2008. ФИЗМАТЛИТ, 368 с.

4. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000 г., 280 с.

5. Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G., Legros J.-C. Liquid interfacial systems: oscillations and instability. New York-Basel: Marcel Dekker Inc., 2003.367 p.

6. Pukhnachov V.V. Thermocapillary convection under low gravity. Fluid Dynamics Transactions. 1989, N14, pp. 154-204.

7. Зейтунян P.X. Проблемы термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони//Успехи физ. наук. -1998.-Т.168.-№3.с.259-286.

8. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech.-1958.-V. 4. -P. 489-500.

9. Smith K.A. On convective instability induced by surface-tension gradients //J. Fluid Mech.-1966.-V. 24. №2. P. 401-414.

10. Levchenko Е.В., Chernyakov A.L. Instability of surface waves in noninformly heated liquid//Sov. Phys.-JTEP, 1981.-V. 54. P. 102-106.

11. Castillo J.L., Garsia-Ybarra P.L., Velarde M.G. Interfacial oscillations in Benard-Marangoni Layers // Phys. Chem. Hydrodyn. -1987.-V. 9. -P. 387392.

12. Рябицкий E. А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличие вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. 1992.-№3.-С. 19-23.

13. Garsia-Ybarra P.L., Velarde M.G. Oscillatory Marangoni-Benard interfacial instability and capillary-garvity waves in single^ — and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion // Phys. Fluids. -1987.-V. 3.-P. 1649-1660.

14. Shklyaev S., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Marangoni convection in a binary liquid layer with Soret effect at small Lewis number: Linear stability analysis // Physics of Fluids 2009 - V.21. - 054101.

15. Goussis D.A., Kelly R.E. On the thermocapillary instabilities in a liquid layer heated from below // Intern. J. Heat Mass Transfer.-1990.-V. 33.-№ 10.-P.2237-2245.

16. Бирих P.B., Рудаков P.H. Термокапиллярная неустойчивость деформируемой пленки//Изв. РАН. МЖГ. 1996.-№5.-С. 30-36.

17. Ben Hadid Н., Roux В. Thermocapillary convection in long horizontal layers of low-Prandtl-number melts subject to a horizontal temperature gradient // J. Fluid Mech.-1990.-V. 221.- P. 77-103.

18. Kliff K.A., Tavener S.J. Marangoni-Benard Convection with a Deformabale Free Surface // J. of Сотр. Phys. 1998. V. 145, P. 193228.

19. Florian J.M., Czechowski L. Marangoni Instability in a Finite ContainerTransition Between Short and Long Wavelengths Modes J. Heat Trasfer. 2001. V. 123. №97. P. 96-104.

20. Kyu-Jung L., Yasuhiro K., Shinichi Y. Combined thermocapillary and naturally convection in rectangular containers with localized heating. Int. J. Heat and Mass Trasfer. 2002. V. 45. №23. P. 4621-4630.

21. Гневанов И.В. Влияние размещения источников тепла на устойчивость равновесия в горизонтальном слое //Гидродинамика: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2007. Вып. 16. С. 56-63

22. Гневанов И.В., Тарунин E.JI. Устойчивость конвективного течения в наклонном слое с тепловыделением в центре слоя // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2007. №3. С. 31-38.

23. Болыпов JI.A., Кондратенко П.С., Стрижов В.Ф. Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости // Успехи физических наук, 2001. Том 171, №Ю. С. 1051-1070.

24. Якушин В.И. Термокапиллярная устойчивость жидкости, поглащающей внешнее излучение. Конвективные течения.: сб. науч. тр. Вып. 3 / Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2007. С. 20-28.

25. Безуглый Б.А., Флягин В.М. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости с квазиточечным источником тепла в подложке. Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2007. № 6. С. 124-134.

26. Еремин Е.А., Колесников А.К. К теории конвективной устойчивости горизонтального слоя реагирующей среды // Гидродинамика. Вып. 10. Республиканский сборник. Пермь, 1977. С 76 84.

27. Еремин* Е.А. Численное исследование конечноамплитудных движений и режимов теплопереноса в горизонтальном слое реагирующей жидкости // Конвективные течения. Пермь, 1985. С. 310.

28. Колесников А.К. О конвективной неустойчивости реагирующей жидкости в горизонтальном слое с границами конечной теплопроводности. // Конвективные течения: сборник научных трудов. Пермь: ПГПИ. 1989. С. 3 8.

29. Брискман В.А., Якушин В.И. Термокапиллярная конвекция в слое с внутренними источниками тепла //Термо- и концентрационные эффекты в сложных системах / Екатеринбург: УрО РАН, 2003, С. 3443.

30. Андреев В.К., Родионов A.A., Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоских слоях под действием внутренних источников тепла //ПМТФ. 1989.№2. С.101-108.

31. Булашевич Ю.П., Хачай Ю.В. Конвективная устойчивость земных недр с радиоактивными источниками тепла // Изв. АН СССР. Физ.Земли. 1975. №12. С. 13-19

32. Колесников А.К., Якушин В.И. О конвективной неустойчивости смеси с концентрационными источниками тепла // Инженерно-физический журнал. 1979. Том XXXVI. № 4. С. 708-714.

33. Еремин Е.А., Шихов В.М., Якушин В.И., О типах неустойчивости конвективных течений бинарной смеси с концентрационными источниками тепла. Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1987. №2. С. 15-19.

34. Якушин В.И. Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла. Конвективные течения. :сб.науч.тр. Перм. гос.пед.ун-т.-Пермь, 2003. С. 64-74.

35. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирования процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.

36. Тарунин E.JL Двухполевой метод решения задач гидродинамики вязкой жидкости. Пермь, 1985. 88 с.

37. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.:Мир, 1980. 616 с.

38. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты в технике и физике. М: Энергия, 1964. 208 е.

39. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978 г. 592 с.

40. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. М.: Мир 1987 г. - 300 с.

41. Братчикова E. С. Устойчивость термокапиллярной конвекции бинарной жидкости с концентрационными источниками тепла в горизонтальном слое. Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 42

42. Братчикова Е. С. Структура нелинейных колебаний в слое с концентрационными источниками тепла. Конвективные течения. хб.науч.тр. Вып 3. Перм. гос.пед.ун-т.-Пермь, 2007. С. 7 — 19.

43. Мазунина Е.С. Нелинейная Марангони неустойчивость слоя жидкости с концентрационными источниками тепла // Международная конференция «НЕЗАТЕГИУС-2008», Москва. Тезисы докладов. С. 56.

44. Мазунина Е.С. Конечно-амплитудная термокапиллярная конвекция в слое с концентрационными источниками тепла. // Неравновесные процессы в сплошных средах. Материалы всероссийской конференции молодых ученых НПСС 2008. Пермь, 2008. С. 223-226.

45. Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2009. № 1. С. 3-12. (Английский перевод:

46. Birikh, R. V., Mazunina, E. S. Thermocapillary convection in a plane liquid layer with concentration heat sources // Fluid Dynamics, Vol: 44, Issue: 1, Date: February 2009, Pages: 1-9.)