Исследование влияния высокочастотной вибрации на возникновение конвекции в слое жидкости с учетом эффекта Марангони тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Прозоров, Олег Александрович

• Прозоров, Олег Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Прозоров, Олег Александрович

Содержание

Введение

1 Исследование влияния вибрации на возникновение конвекции Марангони

1.1 Основные уравнения и безрамерные параметры

1.2 Вывод осредненной системы для случая больших частот вибрации

1.3 Квазиравновесное решение и его устойчивость. Спектральная задача

1.4 Длинноволновая асимптотика критического числа Марангони

1.5 Коротковолновая асимптотика критического числа Марангони

1.6 Численный анализ устойчивости механического равновесия осредненной системы

1.6.1 Алгоритм вычисления критических значений параметров

1.6.2 Результаты расчетов

Заключение к главе 1

2 Влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в слое со свободной границе при нагреве сверху

2.1 Постановка задачи об устойчивости механического равновесия при нагреве сверху

2.2 Асимптотический анализ устойчивости механического равновесия в горизонтальном слое, нагреваемом сверху

2.2.1 Вывод уравнений нулевого приближения

2.2.2 Уравнения первого приближения

2.2.3 Уравнения второго приближения

2.2.4 Сравнение аналитических и численных результатов

2.3 Анализ влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции 68 Заключение к главе 2

3 Возникновение вторичных режимов в задаче о вибрационной конвекции

ч" Марангони

3.1 Возникновение вторичных режимов в задаче о вибрационной конвекции Марангони в плоском слое

3.2 Схема метода многих масштабов

3.2.1 Решение линейной и сопряженной систем

3.3 Вывод амплитудных уравнений

3.4 Расчет возмущений конечной амплитуды методом конечных элементов

Список рисунков

Список таблиц

Литература

А Нахождение членов разложения по методу Вишика-Люстерника. Случай

внутренних волн

В Вывод погранслойных приближений в случае задачи с вибрацией

В.0.1 Собственное решение. Случай поверхностных волн

В.0.2 Собственное решение. Случай внутренних волн

В.0.3 Первое приближение

В.0.4 Случай изотермической твердой стенки

В.0.5 Второе приближение. Случай поверхностных волн

В.0.6 Второе приближение. Случай внутренних волн

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование влияния высокочастотной вибрации на возникновение конвекции в слое жидкости с учетом эффекта Марангони»

Введение

Конвекция жидкости может быть результатом действия многих механизмов: гравитации, электрических полей и магнитых полей и т.д. В условиях невесомости на первый план выходят силы негравитационного происхождения: поверхностного натяжения, вибрационные и др. [1]. Изучение различных механизмов возбуждения конвекции важно для развития космических технологий, материаловедения [2,3].

Актуальными задачами в настоящее время являются вопросы взаимодействия гравитационного, термокапиллярного и вибрационного механизмов конвективной неустойчивости.

Изучением воздействия вибраций на движение жидкости занимался еще М. Фарадей. В работе [4] рассматривалось возбуждение капиллярно-гравитационных волн на поверхности жидкости. Теоретическое объяснение этого явления в рамках модели идеальной жидкости было дано Рэ-леем [5,6]. В [7,8] приведены результаты экспериментов, свидетельствующие о том, что высокочастотные вертикальные колебания могут стабилизировать неустойчивое положение в системе двух несмешивающихся жидкостей (более легкая жидкость находится снизу), а горизонтальные колебания приводят к неустойчивости плоской свободной поверхности жидкости с образованием неподвижного периодического рельефа. Экспериментальному исследованию вибрационных явлений посвящены также работы [9,10]. В работах [11-13] теоретически исследуются возможные квазиравновесные формы свободной поверхности при действии горизонтальных вибраций. Так, при малых амплитудах вибрационной скорости жидкость поднимается около стенок, в остальной части поверхность остается почти плоской. Вопросам резонансных явлений на поверхности жид-

кости посвящены работы [14,15]. Описание результатов по вибрационным воздействиям на жидкость в изотермических условиях дано также в монографиях [16,17].

Одним из эффективных механизмов управления конвекцией являются вибрации большой частоты и малой амплитуды (высокочастотные вибрации). Задача о конвекции в колеблющемся слое жидкости родственна задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса (маятнике Капицы) [18,19], в которой при вертикальных колебаниях точки подвеса верхнее положение маятника становится устойчивым, а при горизонтальных — нижнее положение может стать неустойчивым и могут появляться новые положения равновесия. Начало исследованию конвекции при действии высокочастотных вибраций положила работа С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко [20], где рассматривалась задача о колеблющемся сосуде с твердыми стенками и был применен метод осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова. Процедура осреднения позволила разделить движение на две составляющие: осредненную (плавную) и высокочастотную (пульсационную). Оказалось, что для исследования устойчивости периодического решения полной задачи требуется анализ устойчивости соответствующего равновесия осредненной задачи (квазиравновесия). Под квазиравновесием далее понимается решение, при котором среднее движение отсутствует.

В работе Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкого [21] было показано, что высокочастотные вибрации являются эффективным способом управления конвекцией: например, в условиях невесомости возможно возбуждение конвекции лишь за счет включения продольных высокочастотных колебаний. В [22] были найдены условия существования квазиравновесных решений в вибрирующей жидкости в случае различных областей: плоского слоя для различных углов вибрации, цилиндрического слоя, бесконечного цилиндра.

В дальнейшем исследовались вопросы вибрационной конвекции в жидкостях с особыми свойствами, при наличии дополнительных физических факторов. Так, в работах [23-27] рассматриваются вопросы кон-

вективной неустойчивости бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии Соре. Влияние вибраций на возникновение конвекции в наклонных слоях рассматривалось в [28-30], где были получены условия существования квазиравновесного решения в зависимости от взаимного расположения векторов направления вибрации, градиента температуры и силы тяжести.

Проведенные Г.Ф. Путиным и его сотрудниками эксперименты [31-33] подтвердили полученные ранее теоретические эффекты. В случае горизонтальных высокочастотных колебаний был показан их дестабилизирующий эффект. Большой объем экспериментальных данных приведен в [34], где исследованы вопросы неустойчивости подъемно-опускного течения в вертикальном слое жидкости при совместном действии гравитационного и вибрационного механизмов конвекции; показана возможность стабилизации неустойчивого механического равновесия горизонтального слоя вертикальными вибрациями. В [35], наряду с экспериментом по возникновению конвекции при продольных вибрациях при нагреве сверху, приведено численное исследование двумерных и трехмерных моделей вибрационной конвекции.

При высокочастотных вращениях сосудов появляется дополнительный механизм, связанный с угловыми качаниями. Возникающий эффект оказывается первого порядка по параметру неоднородности жидкости [36], он может доминировать над чисто вибрационным механизмом конвекции, что позволяет значительно усиливать осредненный эффект. В [37] исследовано совместное действие высокочастотных вибраций и равномерного вращения полости.

В работе [38] изучаются резонансные эффекты в тепловой конвекции жидкости, возникающие при модуляции гравитационного ускорения. В [39] рассматривается взаимодействие термовибрационного и термогравитационного механизмов в случае, когда имеются внутренние источники тепла. Интересные вибрационные эффекты получаются для вязкопласти-ческих жидкостей [40,41]. В [41] исследовано влияние гравитационного поля и вибраций различной амплитуды и частот на движение слоя вязко-

пластичной жидкости по наклонной поверхности. Показано, что вибрации оказывают существенное влияние на интенсивность и направление движения жидкости в слое, в частности, порождают заметное осреднен-ное течение жидкости даже в тех случаях, когда жидкость покоится в отсутствие вибраций.

Достаточно полная библиография работ по вибрационной конвекции имеется в монографиях [16,17,42].

Необходимо также отметить теоретические работы И.Б. Симоненко и В.Б. Левенштама [43-46], в которых дается строгое математическое обоснование метода осреднения. В работах [47, 48] строятся следующие за главным приближения метода осреднения для решения задачи вибрационной конвекции в области с твердыми стенками.

Общий подход к исследованию осредненных эффектов в динамических системах со связями дается в цикле работ В.И. Юдовича [49-52], где введено понятие виброгенных сил и напряжений.

Воздействие вибраций на жидкость со свободной границей в неизотермических условиях впервые рассматривалось в [53,54]. В работе [55] решалась задача о возникновении конвекции Марангони в слое с недефор-мируемой свободной границей при вертикальных вибрациях, был описан эксперимент, реализующий эффект сглаживания свободной границы вертикальными высокочастотными вибрациями, также приведены результаты моделирования возникающих конвективных режимов в прямоугольной области методом сеток.

В работах по областям со свободными границами в качестве исходной математической модели, к которой применялся метод осреднения, были взяты уравнения конвекции в приближении Обербека-Буссинеска. Д.В. Любимовым была показана некорректность такого подхода и предложена следующая схема: метод осреднения применяется к полным уравнениям гидродинамики, а затем используется приближение Обербека-Буссинеска [56,57]. В случае слабонеизотермической жидкости это означает, что зависимость плотности от температуры нужно сохранять не только в массовой силе, но и в инерционных слагаемых. Данная модель

в [56] была названа обобщенным приближением Обербека-Буссинеска. Этого подхода придерживалась в своих работах по исследованию вибрационных воздействий на динамику жидкости со свободной поверхностью С.М. Зеньковская с соавторами [58-62]. В [58] было проведено осреднение в задаче об устойчивости основного режима для слоя с учетом термокапиллярного эффекта. Было показано, что в осредненных уравнениях появляются так называемые виброгенные слагаемые: «виброгенная сила» в уравнениях движения и «виброгенные напряжения» в краевых условиях.

Ряд работ посвящен исследованию нелинейных режимов в задачах вибрационной конвекции. В работах [63,64] для прямоугольных областей методом сеток строятся решения нелинейной задачи вибрационной конвекции с заданным линейным профилем температуры на боковых границах, работа [65] посвящена расчету этой задачи с различными краевыми условиями для температуры.

Для исследования нелинейных задач вибрационной конвекции эффективным оказалось применение метода Ляпунова-Шмидта. В работе [66] построено уравнение, определяющее амплитуду вторичного решения в зависимости от параметров задачи для случая невесомости.

Одним из технологических приложений, в которых термокапиллярная конвекция играет особую роль, является плавление полупроводниковых кристаллов. Библиография работ по данному вопросу имеется в монографиях [67,68]. При плавлении кристаллов конвекция вызывает нежелательный перенос примесей. Вибрационные воздействия являются одним из основных механизмов управления конвекцией в таких задачах. Влиянию высокочастотных вибраций на процессы плавления кристаллов методом зонной плавки посвящены работы [69-74].

В работе [75] изучается влияние высокочастотных вибраций на течение расплава. Анализ осредненной системы показывает, что генерация сильного осредненного течения в канале дает возможность влиять на форму расплава, а также на свойства создаваемого кристалла. В работе [76] численно проанализирована двухфазная модель расплава под действием

вращательных вибраций и показано, что они уменьшают неоднородность кристалла.

Исследованию возникновения конвекции при нагреве со стороны свободной поверхности посвящены работы [77-80]. В [81] в предположении недеформируемости свободной границы исследовалась только монотонная неустойчивость. В [82] отмечено, что в случае полубесконечной области возможны волновые движения, а в [77] — что учет деформируемости свободной границы приводит к возникновению колебательной потери устойчивости при нагреве сверху. В работе [78] для предельных случаев глубокой жидкости и больших длин волн проведен анализ дисперсионного соотношения и, наряду с гравитационно-капиллярными, исследовано возникновение термокапиллярных волн. В работе [79] методом сращиваемых асимптотических разложений построены первые члены асимптотического разложения для внутренних и поверхностных волн, а также исследуются условия их резонанса. Подробное описание этих результатов содержится в монографиях [17], [83], [84]. Трехмерная задача исследовалась в [80], где псевдоспектральным методом строилось решение задачи и были исследованы различные волновые режимы.

В диссертационной работе основное внимание посвящено гидродинамическим системам при действии высокочастотных вибраций.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цель и задачи работы, научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена исследованию влияния вибраций различного направления на возникновение конвекции Марангони в горизонтальном слое, ограниченном твердой стенкой и свободной поверхностью, на которой действует поверхностное натяжение с коэффициентом, зависящим от температуры. Слой, как целое, совершает высокочастотные поступательные колебания. Выводятся осредненные уравнения для модели

недеформируемой в среднем свободной границы, вклад высокочастотной вибрации учитывается только в массовой силе.

В п. 1.1 приведена математическая постановка задачи. В качестве исходной математической модели выбираются обобщенные уравнения конвекции Обербека-Буссинеска, предложенные Д.В. Любимовым [56]: переменная плотность удерживается в инерционных слагаемых.

В п. 1.2 при помощи метода осреднения выводится система уравнений для плавных компонент решения для случая недеформируемой в среднем свободной поверхности. В п. 1.3 выводится линейная задача устойчивости квазиравновесного решения. В пп. 1.4, 1.5 приводится построение длинноволновой и коротковолновой асимптотик решения спектральной задачи устойчивости в случае монотонной неустойчивости для краевых условий фиксированной температуры или заданного теплового потока.

В п. 1.6 спектральная задача устойчивости квазиравновесия исследуется численно. Описывается алгоритм нахождения собственных значений методом пристрелки. Построены нейтральные кривые числа Марангони при различных значениях вибрационного параметра. Получено, что нейтральные кривые с ростом параметра теряют выпуклость — появляются одна, две, а затем три точки локального минимума при увеличении вибрационного параметра.

Вторая глава посвящена исследованию влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции Рэлея-Марангони в плоском горизонтальном слое, ограниченном сверху свободной поверхностью, а снизу — твердой стенкой. Рассматривается случай нагрева сверху. Предполагается, что числа Рэлея и Марангони отрицательны и велики по модулю, а динамическое число Бонда является конечным.

В п. 2.1 приведена математическая постановка задачи. В спектральной задаче выделяется малый параметр при старшей производной, что дает возможность применить метод пограничного слоя Вишика-Люстерника.

В п. 2.2 на примере задачи о термокапиллярной конвекции в слое без учета вибрации продемонстрирована методика расчета собственных значений и собственных функций задачи. Выводятся нулевые члены разло-

жения и условия на параметры задачи, при которых существует нетривиальное решение задачи. Показано, что возможна колебательная потеря устойчивости, установлено совпадение с известными результатами [79] (пп. 2.2.1). В пп. 2.2.2-2.2.3 выводятся следующие слагаемые асимптотического разложения, получены формулы для нулевого и первого членов.

В пп. 2.2.4 проведено сравнение асимптотических и численных результатов, рассматривается сходимость асимптотического разложения для первых двух членов погранслойного разложения.

В п. 2.3 методом, развитым в п. 2.2, решается задача о конвекции в слое с учетом вибрации. Показано, что существуют две ветви собственных значений, соответствующих возникновению поверхностных и внутренних волн. Построены собственные функции и исследовано влияние вибрации на каждую ветвь, проведено сравнение численных и асимптотических результатов. Представлены расчеты собственных значений и критических параметров задачи. При фиксированном значении числа Рэлея показано, что с ростом вибрационного параметра области колебательной неустойчивости смещаются в сторону больших значений числа Маранго-ни и расширяются. При фиксированном значении динамического числа Бонда нейтральные кривые смещаются сторону больших волновых чисел и больших чисел Рэлея.

Третья глава посвящена исследованию нелинейных режимов в задаче о вибрационной конвекции Марангони в плоском слое в случае воздействия высокочастотных вибраций. В качестве управляющего параметра выбрана безразмерная скорость вибрации.

В п. 3.1 в операторной форме выводится плоская нелинейная задача для возмущений в переменных функция тока-температура.

В п. 3.2 дана схема метода многих масштабов для вывода амплитудных уравнений. Дан аналитический метод расчета собственных значений и собственных функций задачи, выводится сопряженная система, находится ее решение (пп. 3.2.1).

В п. 3.3 выводятся условия разрешимости задач для приближений второго и третьего порядка по надкритичности. Вычисляются значения коэффициентов амплитудных уравнений.

В п. 3.4 плоская нелинейная задача решается методом конечных элементов. В качестве начальных функций берутся решения амплитудных уравнений. Показывается, что результаты этого пункта хорошо согласуются с результатами расчета амплитуды п. 3.3.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для задачи о вибрационной конвекции в слое жидкости со свободной границей построены осредненные уравнения движения с учетом термокапиллярного эффекта. Получены уравнения, описывающие эволюцию возмущений квазиравновесия задачи для случая недеформи-руемой в среднем свободной поверхности жидкости. В зависимости от вибрационного параметра определены области значения числа Марангони, при которых квазиравновесие устойчиво по линейному приближению.

2. Построены первые три члена длинноволновой и коротковолновой асимптотик критических параметров в случае невесомости. Показано, что с увеличением вибрационного параметра нейтральные кривые теряют выпуклость и возможно появление не более трех локальных минимумов, при этом глобальный минимум достигается при наименьшем значении волнового числа.

3. Методом многомасштабных разложений в окрестности критического значения вибрационного параметра построено уравнение для определения амплитуд вторичных режимов для нелинейной задачи вибрационной термокапиллярной конвекции в слое жидкости.

4. Методом Вишика-Люстерника построены главный и следующий члены погранслойной асимптотики собственных значений и соб-

^ ственных функций спектральной задачи устойчивости равновесия

для случая вибрационной конвекции Рэлея-Марангони в слое при нагреве сверху.

5. Численно и асимптотически показана стабилизирующая роль высокочастотных вибраций в слое при нагреве сверху. При фиксированном значении числа Рэлея получено, что с ростом вибрационного параметра области, ограниченные замкнутыми нейтральными кривыми колебательной неустойчивости, увеличиваются и смещаются в сторону больших значений числа Марангони.

6. Для задачи вибрационной конвекции Рэлея-Марангони с нагревом сверху показано, что при фиксированном значении динамического числа Бонда рост вибрационного параметра приводит к тому, что нейтральные кривые сдвигаются в сторону больших волновых чисел и больших чисел Рэлея.

Научная новизна. Впервые проведено аналитическое исследование влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в слое жидкости со свободной границей в случае нагрева сверху. Методом пограничного слоя Вишика-Люстерника получены главный и второй члены асимптотического разложения собственных значений и собственных функций задачи. В случае монотонной неустойчивости построены длинноволновая и коротковолновая асимптотики критических параметров и собственных функций. Проведено параметрическое исследование влияния произвольных амплитуд и скорости вибрации на развитие конвекции при нагреве сверху. В задаче о вибрационной конвекции в слое с неде-формируемой в среднем свободной поверхностью построено амплитудное уравнение, описывающее возникновение нелинейных режимов вблизи критического значения вибрационного параметра.

Научная и практическая значимость. Результаты работы углубляют понимание явлений, происходящих в жидкости в результате вибрационных воздействий. Развитые в диссертации методы могут быть применены при исследовании вибрационных эффектов в других задачах гидродинамики. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при планировании и проведении наземных и космических экспериментов.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается корректной постановкой задач, применением аналитических и численных методов, совпадением асимптотических и численных результатов, сравнением с результатами других авторов. Исследования, представленные в диссертационной работе, поддержаны грантами:

• «Влияние вибрационных и осциллирующих тепловых полей на динамику поверхностей раздела и конвекцию несжимаемой жидкости» (РФФИ № 09-01-00658-а, руководитель С.М. Зеньковская).

• «Устойчивость, бифуркации, вторичные режимы конвективных течений в осциллирующих полях» (РФФИ № 12-01-00582-а, руководитель С.М. Зеньковская).

• Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» («Динамика распределенных и точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости» №2.1.1/554, руководитель Л.Г. Куракин).

• Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» («Математическая гидродинамика жидкостей со сложными физико-химическими свойствами» №2.1.1/6095, руководитель М.Ю. Жуков).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• Шестом Международном Аэрокосмическом Конгрессе 1АС09, г. Москва;

• XX осенней международной математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2009), г. Севастополь, Украина;

• X Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Нижний Новгород, 2011 г.

• международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2008-2012 гг.;

• XVII и XVIII Зимних школах по механике сплошных сред, г. Пермь 2011г., 2013 г.;

• научном семинаре кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, 2012 г.;

• заседании Пермского гидродинамического семинара, 2014 г.

Личный вклад. В совместных работах [62,85-89] С.М. Зеньковской принадлежат постановка задач и окончательное редактирование текста. Автору диссертации принадлежат вывод асимптотических формул, программная реализация расчетных схем и проведение вычислительного эксперимента. Анализ результатов вычислений принадлежит авторам в равной мере. В статье [90] постановка задачи и метод решения предложены

B.И. Юдовичем, автором диссертации построено решение задачи и проведен подробный анализ результатов. В [91] автору принадлежат постановка задачи, построение алгоритма вычислений, реализация программы расчетов; A.A. Гончаренко выполнен вывод коэффициентов амплитудных уравнений в аналитической форме.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 16 публикациях. Из них 4 [62,85,90,92] составляют статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 3 — депонированные статьи [86-88], 6 статей опубликованы в трудах конференций [89,91,93-96], 3 — в тезисах докладов [97-99].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 158 страниц с 22 рисунками и 12 таблицами. Список литературы содержит 140 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям:

C.М. Зеньковской за предложенное направление исследований, постановку задач, предложенные методы решения, В.Г. Цибулину — за неоценимую помощь в подготовке диссертации.

Глава 1

Исследование влияния вибрации на возникновение конвекции Марангони

В первой главе исследуется влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в слое жидкости со свободной поверхностью. Если поверхностное натяжение жидкости зависит от температуры, конвекция Марангони может возникать даже в отсутствие силы тяжести [81], [83]. Важным для практики механизмом, влияющим на устойчивость механического равновесия, являются высокочастотные вибрации [20].

В качестве математической модели для описания вибрационной конвекции в жидкости, заключенной в контейнер с твердыми границами, обычно используется система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска [20], [66]. Для исследования таких задач, начиная с работы [20], применяется метод осреднения. При определенных предположениях решение удается разделить на быстрые и плавные составляющие. Задача об устойчивости периодического решения исходной системы сводится к вопросу об устойчивости механического равновесия осредненной системы — квазиравновесия исходной системы.

Задача об устойчивости квазиравновесия в области со свободной границей впервые рассматривалась в работах [54,100,101]. В случае областей со свободными границами, в [56], [57] показано, что использование в качестве математической модели конвекции приближения Обербека-Буссинеска некорректно, так как возникающие в задаче ускорения жидкости нельзя считать малыми по сравнению с вибрационными ускорени-

ями. В этих работах была предложена модель, называемая обобщенными уравнениями Обербека-Буссинеска, в которых зависимость плотности от температуры остается не только в массовой силе, но и в инерционных слагаемых. С использованием этого приближения в работе [58] для случая горизонтального слоя была проведена процедура осреднения. В результате, в уравнениях движения осредненной системы появляется дополнительное слагаемое — «виброгенная» сила, а в краевых условиях — «виброгенные» напряжения [49].

В диссертации исследуется случай недеформируемой в среднем свободной поверхности: вклад высокочастотных слагаемых в осредненной системе присутствует только в массовой силе, а виброгенные напряжения отсутствуют. Характерной особенностью данной модели является то, что возникновение вибрационной конвекции описывается одним безразмерным параметром (безразмерной скоростью вибрации), включающим в себя амплитуду вибрации и угол наклона оси, вдоль которой происходят вибрации. Необходимо отметить, что в задаче о конвекции в контейнере с твердыми стенками эти параметры входят независимо, в этом случае приходится исследовать возникновение конвекции для двух параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Прозоров, Олег Александрович, 2015 год

Литература

1. Конвективные процессы в невесомости / Полежаев В.П., Белло М.С., Верезуб Н.А. [и др.]. М.: Наука, 1991. 240 с.

2. Мышкис А.Д. Гидромеханика невесомости. М.:Наука, 1976. 504 с.

3. Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. 165 с.

4. Faraday М. On the forms and states assumed by fluids in contact with vibrating elastic surfaces // Philos.Trans. R. Soc. London. 1831. Vol. 121, no. 9. P. 319-340.

5. Rayleigh Lord. XXXIII. On maintained vibrations // Philosophical Magazine Series 5. 1883. Vol. 15, no. 94. P. 229-235.

6. Rayleigh Lord. VII. On the crispations of fluid resting upon a vibrating support // Philosophical Magazine Series 5. 1883. Vol. 16, no. 97. P. 5058.

7. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium // Zeitschrift fur Physik. 1969. Vol. 227, no. 3. P. 291-300.

8. Wolf G.H. Dynamic Stabilization of the Interchange Instability of a Liquid-Gas Interface // Phys. Rev. Lett. 1970. Vol. 24. P. 444-446.

9. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей / Безденежных Н.А., Брискман В.А., Пузанов Г.В. [и др.] // Гидродинамика и массотеплообмен в невесомости. М. Наука. 1982. С. 34-39.

10. Иванова A.A., Козлов В.Г., Эвеск П. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях // Известия РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 28-35.

11. Любимов Д.В., М.В. Саввина, Черепанов A.A. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести // Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. Новосибирск: СО АН СССР. 1987. С. 97-105.

12. Interface oriented by vibrations / D.V. Lyubimov, A.A. Cherepanov, T.P. Lyubimova et al. // C.R. Acad. Sei. Paris. Serie II b. 1997. Vol. 325. P. 391-396.

13. Квазиравновесные формы свободной поверхности жидкости в высокочастотном вибрационном поле / Любимов Д.В., Любимова Т.П., Мераджи С. [и др.] // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Вып. 2. Пермь. 2001. С. 174-187.

14. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 6. С. 8-13.

15. Любимов Д.В., Хеннер М.В., Шоц М.М. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ 1998. № 3. С. 25-31.

16. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов A.A. Динамика поверхностей раздела. М.: Физмалит, 2003. 216 с.

17. Liquid Interfacial Systems: Oscillations and Instability / Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G. et al. 2003. 392 p.

18. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1951. Т. 21. С. 588-597.

19. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук. 1951. Т. 44. С. 7-20.

20. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. № 5. С. 51-55.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // Доклады академии наук. 1979. Т. 249, № 3. С. 580-584.

22. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационном поле в невесомости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. № 4. С. 12-19.

23. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect / Gershuni G.Z., Kolesnikov A.K., Legros J.C. et al. // Journal of Fluid Mechanics. 1997. Vol. 330. P. 251-269.

24. Зеньковская C.M. О влиянии вибрации на возникновение конвекции в бинарной смеси//ВИНИТИ 10.04.81. 1981. Т. 1570-1581. 34 с.

25. Smorodin B.L., Myznikova B.I. Convective instability of the thermovi-brational flow of binary mixture in the presence of the Soret effect // Philosophical Magazine. 2003. Vol. 83, no. 17-18. P. 2155-2170.

26. Ishutov S.M., Myznikova B.I., Smorodin B.L. Convection of a binary mixture under high-frequency vibrations // Comptes Rendus Mécanique. 2013. Vol. 341. p. 477^482.

27. Гневанов H.B., Смородин Б.Л. Конвективная неустойчивость течения бинарной смеси в условиях вибрации и термодиффузии // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, № 2. С. 77-84.

28. Demin V.A., Gershuni G.Z., Verkholantsev I.V. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1996. Vol. 39, no. 9. P. 1979- 1991.

29. Гершуни Г.З., Демин В.А. Термовибрационная конвективная неустойчивость механического квазиравновесия наклонного слоя жидкости // Известия РАН. МЖГ. 1998. № 1. С. 8-15.

30. Демин В.А. Вибрационная конвекция в наклонном слое жидкости при подогреве снизу // Известия РАН. МЖГ. 2005. № 6. С. 38-48.

31. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной конвекции // Доклады Академии Наук СССР. 1985. Т. 281, №4. С. 815-818.

32. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. О термоконвективной неустойчивости в вибрационном поле // Доклады Академии Наук СССР. 1985. Т. 299, № 2. С. 309-312.

33. Зюзгин А.В., Путин Г.Ф., Харисов А.Ф. Наземное моделирование термо-вибрационной конвекции в реальной невесомости // Известия РАН. МЖГ. 2007. Т. 3. С. 21-30.

34. Зюзгин А.В. Нелинейные проблемы теории быстроосциллирующих конвективных течений // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Пермь. 2011. 180 с.

35. Experimental and theoretical study of vibration-induced thermal convection in low gravity / Shevtsova V. M., Ryzhkov I.I., Melnikov D.E. et al. // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 648. P. 53-82.

36. Козлов В.Г. О вибрационной тепловой конвекции в полости, совершающей высокочастотные вращательные качания // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 3. С. 138-144.

37. Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция во вращающихся полостях // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1. с. 5-14.

38. Мелентьев А.Б., Тарунин E.JI. Резонанс при модуляции ускорения свободного падения в задачах о свободной конвекции при подогреве снизу // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. 2010. Т. 42. С. 78-88.

39. Vibrational convection in a horizontal fluid layer with internal heat sources / Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M., Kolesnikov A.K. et al. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1989. Vol. 32, no. 12. P. 2319-2328.

40. Перминов A.B. Движение нелинейно-вязких жидкостей в вибрационном поле // ПГУ. Пермь. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 2000. 16 с.

41. Любимов Д.В., Перминов A.B. Воздействие несимметричных вибраций на движение тонкого слоя вязкопластичной жидкости // Известия РАН. МЖГ. 2011. Т. 1. С. 30-41.

42. Gershuni G.Z., Lubimov D.V. Thermal vibrational convection. Wiley-VCH, 1998. 512 p.

43. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Математический сборник. 1972. Т. 87 (129), № 2. С. 236-253.

44. Симоненко И.Б. Старшие приближения метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Математический сборник. 1973. Т. 92 (134), № 4(12). С. 541-549.

45. Левенштам В.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сибирский математический журнал. 1993. Т. 2. С. 105-122.

46. Левенштам В.Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. с. 1416-1424.

47. Левенштам В.Б. Старшие приближения метода усреднения для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью в случае задачи Коши // Матем. заметки. 1999. Т. 65, № 4. С. 562-572.

48. Левенштам В.Б. Построение старших приближений метода усреднения для параболических начально-краевых задач методом пограничного слоя // Изв. вузов. Матем. 2004. № 3. С. 41-45.

49. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Успехи механики. 2006. Т. 4. С. 26-158.

50. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Деп. в ВИНИТИ. 2003. 53 с.

51. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть 2 // Деп. в ВИНИТИ. 2003. 62 с.

52. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. Регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2003. С. 304-325.

53. Briskman V.A. Vibrational thermocapillary convection and stability // Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity. London: Gordon and Breach Sci. Publ. 1991. P. 111-119.

54. Vibrational-thermocapillary parallel flows and stability / Birikh R., Briskman V., Myznikov V. et al. // Proc. of the Eighth European Symposium on Material and Fluid Scii in Microgravity, Brussels, Belgium. 1992. Vol. 333. p. 747.

55. О взаимодействии термовибрационного и термокапиллярного механизмов конвекции / Брискман В.А., Бирих Р.В., Зуев А.Л. [и др.] // Изв. РАН. МЖГ. 1994. Т. 5. С. 1070-121.

56. Lyubimov D.V. Thermovibrational flows in a fluid with a free surface // Microgravity Quarterly. 1994. Vol. 4. P. 117-122.

57. Любимов Д.В. Нелинейные проблемы теории быстроосциллирую-щих конвективных течений // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Пермь. 1994. 415 с.

58. Зеньковская С.М., Шлейкель A.JI. Влияние высокочастотной вибрации на возникновение конвекции Марангони в горизонтальном слое жидкости // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, № 4. С. 573-583.

59. Зеньковская С.М., Шлейкель A.JT. Влияние высокочастотной вибрации на возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости // Доклады РАН. 2002. Т. 382, № 5. С. 632-636.

60. Зеньковская С.М., Новосядлый В.А., Шлейкель A.J1. Влияние вертикальных колебаний на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71, № 2. С. 277-288.

61. Zenkovskaya S.M., Novosiadly V.N. Averaging method and long-wave asymptotics in vibrational convection in layers with an interface // Journal of Engineering Mathematics. 2011. Vol. 69, no. 2-3. P. 277-289.

62. Зеньковская C.M., Прозоров O.A. Возникновение конвекции в горизонтальном слое со свободной поверхностью // Известия Высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск "Актуальные проблемы математической гидродинамики". 2009. С. 87-91.

63. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. О вибрационной тепловой конвекции в невесомости // Гидромех. и тепло- и массообмен в невесомости. 1980. С. 90-98.

64. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. Вибрационная конвекция в наклонном слое жидкости при подогреве снизу // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 4. С. 94-99.

65. Сираев P.P. Численное исследование стационарных и колебательных режимов вибрационной конвекции в прямоугольной полости с переменной температурой границы в невесомости // Инженерно-физический журнал. 1989. Т. 57, № 1. С. 33-37.

66. Зеньковская С.М., Овчинникова С.Н. Термовибрационная конвекция в слое жидкости при невесомости или пониженной гравитации // Прикладная механика и теоретическая физика. 1991. № 1. С. 84-90.

67. Lappa М. Thermal Convection: Patterns, Evolution and Stability. Wiley; 1st edition (December 28, 2009). 690 p.

68. Lappa M. Fluids, Materials and Microgravity: Numerical Techniques and Insights into Physics. Elsevier Science, 2004. 538 p.

69. Конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне в высокочастотном вибрационном поле / Гершуни Г.З., Любимов Д.В., Любимова Т.П. [и др.] // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. Т. 5. с. 53-61.

70. Coupled thermovibrational and thermocapillary convection in liquid bridge (floating zone system). Proc. of the VHIth Eur. Symp. on Materials and Fluid Sciences in Microgravity. ESA Publication Division / Gershuni G.Z., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. et al. 1992. P. 117-122.

71. Lyubimov D., Lyubimova Т., Roux B. Mechanisms of vibrational control of heat transfer in a liquid bridge // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1997. Vol. 40, no. 17. P. 4031 -4042.

72. Vibrational control of crystal growth from liquid phase, J. Cryst. Growth / Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Meradji S. et al. 1997. Vol. 180. p. 648-659.

73. Numerical investigation of meniscus deformation and flow in an isothermal liquid bridge subject to high-frequency vibrations under zero gravity conditions / Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Skuridin R.V. et al. // Computers & Fluids. 2002. Vol. 31, no. 4-7. P. 663 - 682.

74. Control of thermo- and solutocapillary flows in FZ crystal growth by magnetic field and vibrations / Lyubimova T.P., Faizrakhmanova I.S., Scuridyn R.V et al. // J. Jpn. Soc. Microgravity Appl. 2008. Vol. 25, no. 3. p. 567-572.

75. Lyubimova T.P., Lyubimov D.V., Ivantsov A.O. The influence of vibrations on melt flows during detached Bridgman crystal growth // Journal of Crystal Growth. 2014. Vol. 385. P. 77 - 81. The 7th International Workshop on Modeling in Crystal Growth.

76. Lyubimova T.P., Parshakova Ya.N. Numerical investigation of heat and mass transfer during vertical Bridgman crystal growth under rotational vibrations // Journal of Crystal Growth. 2014. T. 385. C. 82 - 87. The 7th International Workshop on Modeling in Crystal Growth.

77. Takashima M. Surface tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface. II. Overstability // J. Phys. Soc. Japan. 1981. Vol. 50. P. 2751-2756.

78. Левченко Е.Б., Черняков А.Л. Неустойчивость поверхностных волн в неоднородно нагретой жидкости // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1981. Т. 81, № 1(7). С. 204 - 209.

79. Rayleigh-Marangoni oscillatory instability in a horizontal liquid layer heated from above: coupling and mode mixing of internal and surface dilational waves / Rednikov A.Ye., Colinet P., Velarde M.G. et al. // Journal of Fluid Mechanics. 2000. Vol. 405. P. 57-77.

80. Boeck Thomas, Jurgk Matthias, Bahr Ute. Oscillatory Rayleigh-Marangoni convection in a layer heated from above: Numerical simulations with an undeformable free surface // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. 4 p.

81. Pearson J.R. On convection cells induced by surface tension // Journal of Fluid Mechanics. 1958. Vol. 5. P. 489-500.

82. Sterling C.V., Scriven L.E. Interfacial turbulence: hydrodynamics instability and Marangoni effect // AIChE Journ. 1959. Vol. 5. P. 514-520.

83. Colinet P., Legros J.C., Velarde M.G. Nonlinear Dynamics of Surface-Tension-Driven Instabilities. Wiley-VCH, 2001. 512 p.

84. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость / под ред. В.В. Пухначева. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма, 2000. 275 с.

85. Зеньковская С.М., Новосядлый В.А., Прозоров O.A. Вибрационная конвекция в областях со свободной границей // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 4, № 3. С. 689690.

86. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое с недеформирующейся в среднем свободной поверхностью. Часть 1 // ВИНИТИ. 2009. № 825-В2009. 27 с.

87. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое с недеформирующейся в среднем свободной поверхностью. Часть 2. Колебательная неустойчивость при нагреве сверху//ВИНИТИ. 2012. № 443-В2012. 41 с.

88. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Возникновение конвекции в горизонтальном слое со свободной поверхностью при нагреве сверху // ВИНИТИ. 2012. № 442-В2012. 20 с.

89. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вторичные режимы термовибрационной конвекции в горизонтальном слое // Труды XVI международной конференции. Современные проблемы механики сплошной среды, г. Ростов-на-Дону. 2012. Т. 1. С. 114-118.

90. Прозоров O.A. Положительность эволюционного оператора задачи Коши для параболических уравнений // Известия СКНЦ ВШ, ест.науки. 2004. Т. 3. С. 12-17.

91. Гончаренко A.A., Прозоров O.A. Возникновение вторичных режимов в задаче вибрационной конвекции Марангони // Труды XVI между-

ч

ч народной конференции. Современные проблемы механики сплош-

ной среды, г. Ростов-на-Дону. 2012. Т. 2. С. 66-70.

92. Прозоров O.A. Асимптотический анализ устойчивости горизонтального слоя вязкой жидкости при нагреве сверху // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 157-167.

93. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вибрационно-гравитационная конвекция в горизонтальном слое // Труды XIII международной конференции. Современные проблемы механики сплошной среды, г. Ростов-на-Дону. 2009. Т. 1. С. 96-100.

94. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Асимптотический анализ конвекции в слое со свободной поверхностью // Труды XIII международной конференции. Современные проблемы механики сплошной среды, г. Ростов-на-Дону. 2009. Т. 2. С. 69-73.

95. Зеньковская С.М., Прозоров O.A., Шлейкель A.JI. Вибрационная конвекция в слое бинарной смеси с учетом эффекта Соре // Труды XIV международной конференции. Современные проблемы механики сплошной среды, гг. Ростов-на-Дону, Азов. 2010. Т. 1. С. 140-144.

96. Овчинникова С.Н., Прозоров O.A. Решения нелинейной задачи вибрационной конвекции // Труды XVII международной конференции. Современные проблемы механики сплошной среды, г. Ростов-на-Дону. 2014. Т. 2. С. 161-165.

97. Зеньковская С.М., Новосядлый В.А., Прозоров O.A. Параметрическое возбуждение термокапиллярной конвекции в двухслойной системе // Шестой Международный Аэрокосмический Конгресс. П99. Тезисы Докладов. 2009.

98. Вибрационная конвекция Марангони в слоях со свободной границей и поверхностями раздела при невесомости и микрогравитации / Зеньковская С.М., Новосядлый В.А., Прозоров O.A. [и др.] // Шестой Международный Аэрокосмический Конгресс. П99. Тезисы Докладов. 2009.

99. Прозоров О.А. О возникновении вибрационной конвекции в слое со свободной недеформирующейся поверхностью // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения. Тезисы докладов 4-й Всероссийской конференции, г. Бийск. 2011.

100. Briskman V.A., Zuev A.L. Influence of different factors on the ther-mocapillary deformation of a thin liquid layer // Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity. 1992. P. 139-144.

101. Control of thermocapillary convection in a liquid bridge by high-frequency vibrations / Birikh R.V., Briskman V.A., Chernatynsky V.I. et al. // Microgravity Quarterly. 1993. Vol. 3. P. 23-28.

102. Hashim I., Wilson S.K. The onset of Benard-Marangoni convection in a horizontal layer of fluid // International Journal Of Engineering Science. 1999. Vol. 37. P. 643-662.

103. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Изд-во Наука, 1972. 392 с.

104. Юдович В.И. О границе монотонной и колебательной конвективной устойчивости горизонтального слоя жидкости // ПМТФ. 1991. Т. 6. С. 44-50.

105. Takashima М. Surface tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface. I. Stationary convection // J. Phys. Soc. Japan. 1981. Vol. 50. P. 2745-2750.

106. Зеньковская C.M. О влиянии вибрации на конвективную неустойчивость // Сборник «Численные методы динамики вязкой жидкости». 1979. С. 116-122.

107. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. 1957. Т. 12.5. С. 3-122.

108. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Изд-во Наука, 1989.

109. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Авто структуры. Хаотическая динамика ансамблей. Сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. 397 с.

110. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Мир, 1988. 694 с.

111. Newell А.С. Finite bandwidth, finite amplitude convection // Journal of Fluid Mechanics. 1969. Vol. 38. P. 279-303.

112. Gibbon J.D., McGuinness M.J. Amplitude equations at the critical points of unstable dispersive physical systems // Proc. R. Soc. Lond. A. 1981. Vol. 377. P. 185-219.

113. Говорухин B.H., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Мир, 1997. 208 с.

114. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX. СПб: "Питер 2001. 642 с.

115. Chorin A.J. The numerical solution of the Navier-Stokes equations for an incompressible fluid // Bull. Amer, Math. Society. 1967. Vol. 73. P. 928-931.

116. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations. Math. Comput. // Math. Сотр. 1968. Vol. 22. P. 745-762.

117. Chorin A.J. On the convergence of discrete approximations to the Navier Stokes equations. // Math. Сотр. 1969. Vol. 23. P. 341-353.

118. Жуков М.Ю., Ширяева E.B. Использование пакета конечных элементов FreeFem для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Издательство ЮФУ, 2008. 256 с.

119. Современные математические модели конвекции / Андреев В.К., Га-поненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. ФИЗМАТЛИТ, 2008. 368 с.

120. Зеньковская С.М. Об осредненных уравнениях конвекции и некоторых вибрационных эффектах // Труды XIV международной конференции. Современные проблемы механики сплошной среды, гг. Ростов-на-Дону, Азов. 2010. Т. 2. С. 103-107.

121. Зеньковская С.М. О совместном действии высокочастотных вибраций и осциллирующего теплового поля на возникновение конвекции // Труды научной школы И.Б. Симоненко. 2010. Т. 1. С. 99-105.

122. Зеньковская С.М. О влиянии вибрации на возникновение конвекции // ВИНИТИ. 1978. № 2437-78. 30 с.

123. Зеньковская С.М. О возникновении конвекции при действии высокочастотных поступательных вибраций. // Изв. вузов, сев.-кав. Естест. науки. Спецвыпуск. 2005. С. 65-67.

124. Справочник по теплопроводности жидкостей и газов / Варгаф-тик Н.Б., Филлипов Л.П., Тарзиманов А.А. [и др.]. М.: Энергоатом-издат, 1990. 352 с.

125. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Изд-во Наука, 1972. 721 с.

126. Block M.J. Surface tension as the cause Benard cells and surface deformation in a liquid film // Nature. 1956. Vol. 178. P. 650-651.

127. Рябицкий E.A. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии вертикального градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. 1992. Т. 3. С. 19 - 23.

128. Marangoni-Benard convective instability driven by a heated divider / Birikh R.V., Briskman V.A., Rudakov R.N. et al. // Intern. J. of Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. P. 493-498.

129. Marangoni-Benard instability of a floating liquid layer with an internal, permeable, heated or cooled divider and two deformable open surface / Birikh R.V., Briskman V.A., Rudakov R.N. et al. // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1995. Vol. 38. P. 2723-2731.

130. Thermocapillary overstability and excitation of surface waves / Birikh R.V., Boushoueva S.V., Briskman V.A. et al. // J. of the Japan Society of Microgravity application. Tokyo. 1998. Vol. 15. P. 384 - 389.

131. Зеньковская C.M., Куринной B.B. Свободная конвекция в слое жидкости при осциллирующем поле тяжести // Деп. в ВИНИТИ. 1983. № 4095-83. 30 с.

132. Briskman V.A., Zuev A.L. Influence of different factors on the thermocapillary deformation of a thin liquid layer. 1992. P. 139-144.

133. Заварыкин М.П. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости в переменном поле тяжести // ИГУ. Пермь. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 1998. 16 с.

134. Levenshtam V.B. Asymptotic expansion of the solution to the problem of vibrational convection // Comput. Math. Math. Phys. 2000. P. 1357— 1365.

135. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I // УМН. 1960. Т. 15, № 3. с. 3-80.

136. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

137. Найфэ А. Введение в методы возмущений. Мир, 1984. 535 с.

138. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Мир, 1968. 464 с.

139. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. Мир, 1972. 276 с.

140. Цибулин В.Г. Моделирование и численный анализ конвективных движений жидкости в пористой среде. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2010. 32 с.