Влияние вибраций на гидродинамические системы: Резонансы и осредненные эффекты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Черепанов, Анатолий Александрович

• Черепанов, Анатолий Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Черепанов, Анатолий Александрович

ВВЕДЕНИЕ.:.!.

1. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ НА ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ.?.

1.1. Линейная теория параметрически возбуждаемых волн на свободной поверхности вязкой жидкбСтй.".

1.2. Нелинейная теория ряби Фарадея.

1.3. Резонансное взаимодействие гармоник при возбуждении ряби Фарадея.

1.4. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн.

1.5. Особенности возбуждения параметрического резонанса на границе раздела фаз вблизи критического состояния.

2. ПОВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА СРЕД В ДОЛЕ ВИБРАЦИЙ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ.

2.1. Устойчивость поверхности раздела жидкостей в поле высокочастотных поступательных вибраций произвольной ориентации.

2.2. Вертикальные вибрации. Подавление неустойчивости Рэлея-Тейло-ра.

2.3. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу.

2.4. Генерация осредненных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела сред.

2.5. Поведение границы раздела сред в поле вибраций с близкими частотами.

3. КАПЛЯ ЖИДКОСТИ В ВИБРАЦИОННОМ ПОЛЕ.

3.1. Резонансное возбуждение колебаний капли в вибрационном поле.

3.2. Исследование поведения капли (пузыря) в жидкой матрице под действием вибраций высокой частоты.

3.3. Поведение жидкой капли в вибрационном поле, поляризованном по кругу.

3.4. Устойчивость цилиндрической границы раздела жидкостей в вибрационном и центробежном полях.

4. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИОННОГО ПОЛЯ НА ТВЕРДЫЕ ТЕЛА, ВЗВЕШЕННЫЕ В ЖИДКОЙ МАТРИЦЕ.

4.1. Действие вибрационного поля на твердые тела, взвешенные в жидкости.

4.2. Взаимодействие тел в вибрационном поле.

4.3. Поведение капли жидкости в неоднородном вибрацционном поле

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние вибраций на гидродинамические системы: Резонансы и осредненные эффекты»

Интерес исследователей к изучению влияния вибраций на поведение гидродинамических систем вызван как многочисленными технологическими применениями, так и общетеоретическими соображениями.

Вибрации, воздействуя на неоднородные среды, могут, прежде всего, являться причиной движения. С другой стороны, при определенных условиях, вибрации, оставляя состояния сред равновесными, нетривиальным образом действуют на устойчивость равновесия и даже создают новые равновесные состояния, невозможные в отсутствие вибраций.

В технологических процессах вибрации часто являются неизбежным и неконтролируемым фактором. Поэтому важно понять, как вибрации воздействуют на течения и равновесные состояния гидродинамических систем, чтобы учесть их влияние на ход процесса. Для некоторых процессов полезно использовать контролируемые вибрации, поскольку с их помощью оказывается удобным управлять течениями и их устойчивостью.

Влияние вибраций на поведение неоднородных сред носит разносторонний характер. Во многих ситуациях гидродинамическая система в отсутствие вибраций способна совершать движения периодического характера и обладает спектром собственных частот. Примером такого рода являются капиллярно-гравитационные волны на поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей, собственные колебания пузырька, взвешенного в жидкой матрице, колебательные моды конвективных движений при подогреве сверху и т.п. В отсутствие внешних воздействий, вследствие вязкой диссипации, собственные колебания, как правило, затухают. Подкачка энергии в систему, обусловленная вибрациями, может привести к резонансному возбуждению такого рода колебаний.

Хотя пионерская работа М.Фарадея [1], где, по-видимому, впервые описано явление параметрического резонанса, посвящена именно вибрационному возбуждению капиллярно-гравитационных волн и вышла более полутора веков назад, вопрос о вибрационном возбуждении резонансных колебаний в гидродинамических системах нельзя до сих пор считать полностью исследованным.

Вибрации влияют на равновесие и течения гидродинамических систем не только резонансным образом. Высокочастотные вибрации, как уже отмечено выше, могут подавить развитие неустойчивостей, возникающих в статических условиях и быть причиной возникновения необычных равновесных конфигураций. Кроме того, вибрации высокой частоты, как правило, индуцируют не только пульсационные течения собственной частоты, но, вследствие нелинейных и вязких эффектов, приводят к появлению сравнительно медленных средних движений.

В научной литературе большое место уделено вибрациям акустических частот, когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной звуковой волны, соответствующей частоте вибраций, и становятся существенными эффекты, связанные с сжимаемостью сред. Широко исследуются такие явления, как акустический ветер, акустический подвес пузырьков газа, капель и твердых включений в жидкости, влияние ультразвуковых волн на поведение эмульсий и взвесей. Хорошее описание некоторых из этих эффектов можно найти в классической монографии [2]. Более современное состояние проблемы описано в работах [3-5]. Исследования акустического воздействия на неоднородные среды активно продолжаются и в настоящее время. Отметим здесь, например, работы [6-7], в которых изучался акустический подвес капель и пузырьков в поле тяжести и [8-9], где изучены резонансные эффекты, связанные, прежде всего, с сжимаемостью пузырьков газа в акустическом поле.

Другим подробно исследованным примером влияния высокочастотных вибраций на поведение гидродинамических систем является так называемая вибрационная конвекция. Особенно активный интерес к конвекции, индуцированной вибрациями (равно как и к термокапиллярной конвекции) возник после первых неожиданных результатов по технологическим экспериментам в невесомости [10]. Впервые осредненные уравнения вибрационной конвекции были получены в [11] путем осреднения уравнений конвекции в приближении Бусси-неска. Здесь рассматривались вибрации высоких, но не акустических частот. В дальнейшем такой подход получил значительное развитие, библиография по вибрационной конвекции насчитывает в настоящее время десятки статей. Многие результаты по данной тематике обобщены в монографиях [12-13]. Наряду с осредненным подходом продолжаются и численные эксперименты на базе полных уравнений. Отметим работу [120], где сочетаются оба этих подхода. Теоретически предсказанные в [12] эффекты, такие как динамическая стабилизация неустойчивости Рэлея-Бенара или параметрическая раскачка конвективных колебаний, получили в дальнейшем экспериментальное подтверждение [14-15]. Подход, развитый в [11] , адекватно описывает термовибрационную конвекцию в замкнутых сосудах, совершающих однородные поступательные вибрации. При неоднородных или непоступательных вибрациях, а также при наличии свободной поверхности жидкости или поверхности раздела сред, такой подход становится некорректным. Как показано в [16] , осреднение в этом случае надо проводить на базе полных (без упрощений приближения Буссинеска) уравнений, при этом влияние вибраций оказывается более сильным, чем в традиционном подходе вибрационной конвекции [17-18]. Теоретические расчеты, проведенные по новой схеме в [19-20], хорошо согласуются с экспериментальными результатами [21-22]. Подробное изложение различных подходов к проблеме вибрационной конвекции и обзор работ, посвященных данной тематике, можно найти в монографии [23].

В настоящей работе основное влияние уделяется вибрациям неакустических частот при изотермических условиях. Поэтому следует сделать более подробный обзор литературы по данной тематике.

Как уже отмечалось выше, первая работа, посвященная параметрическому резонансу на поверхности жидкости [1], появилась еще в 1831 году. В указанной статье описан ряд экспериментов, в частности эксперименты по возбуждению стоячих волн на поверхности жидкости, налитой на вибрирующую в вертикальном направлении упругую пластинку. Теоретическое объяснение было дано Рэлеем [2] на основе теории идеальной жидкости. Было показано, что рябь Фарадея есть проявление параметрического резонанса, что объяснило наблюдавшееся в [1] соотношение частот: частота возбуждаемых волн была равна половине частоты вибраций. Интерес к указанному эффекту возродился в 1950-х годах в связи с техническими приложениями. В работах [24-25] была более подробно развита линейная теория ряби Фарадея для свободной поверхности невязкой жидкости. В рамках этой теории порог возбуждения ряби нулевой«, & ч экспериментах, однако, рябь всегда возбуждается пороговым образом. Связано это с диссипативными эффектами и потому порог не может быть определен в рамках модели идеальной жидкости. Впервые порог возбуждения параметрических волн определен, по-видимому, в [26-27], где учет вязкости был произведен феноменологически, путем подстановки демпфирующего слагаемого в уравнение Матье, описывающего поведение поверхности невязкой жидкости при наличии вертикальных вибраций. Экспериментальные исследования в [27-28] показали, что стационарный режим стоячих волн, возникающий на поверхности жидкости в вибрирующем сосуде, при увеличении амплитуды вибраций становится неустойчивым и сменяется системой хаотически двигающихся волновых конгломератов. Указанный эффект подробно исследован в ряде теоретических и экспериментальных работ [29-31]. Дальнейшее увеличение амплитуды вибраций приводит к фонтанированию капель с поверхности жидкости [27]. Отметим цикл работ теоретического и экспериментального характера [32-34], в которых изучались параметрические волны не на свободной поверхности жидкости, а на поверхности раздела несмешивающихся сред разной плотности. Список работ, посвященных ряби Фарадея, насчитывает в настоящее время сотни названий. Довольно подробную библиографию можно найти в обзорах [35-36]. К сожалению, эти обзоры несколько устарели, поскольку исследования параметрических волн продолжаются с прежней интенсивностью. До сих пор нет полной ясности даже в линейной теории параметрически возбуждаемых волн, особенно для жидкостей с большим значением коэффициента вязкости, неясно до конца также влияние конечной толщины слоя жидкости [37-38]. Нелинейная теория ряби Фарадея впервые исследована в работе [39] на основе модели идеальной жидкости. Довольно полное исследование нелинейных аспектов параметрически возбуждаемых волн проведено в [40], на основе Лагранжева подхода. При таком подходе затруднительно учесть диссипативные эффекты, поэтому в [40] вязкость не учитывалась^либо вводилась модельным образом, когда предполагалось, что вязкая сила, действующая на жидкую частицу, пропорциональна ее скорости. В работах [41-42] подобная методика применялась для волн в стратифицированных средах. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [43-48] и других работах. Отличительной особенностью цитированных работ является либо полностью невязкий подход, либо феноменологический учет вязкости, когда демпфирующее слагаемое добавляется в амплитудные эволюционные уравнения, полученные в невязком приближении.

Несмотря на обилие работ, посвященных параметрическому возбуждению волн на поверхности жидкости, некоторые особенности возбуждения и развития ряби Фарадея остаются неясными. На взгляд автора, недостаточно выяснены важные теоретические вопросы, связанные с влиянием вязкости на нелинейное развитие параметрических волн.

Отметим еще, что наряду с классической задачей Фарадея, в настоящее время довольно широко исследуется параметрическое возбуждение ряби с учетом ряда осложняющих факторов: границы раздела вязких сред [49-50], близость системы жидкость-пар к критической точке [51-52], неизотермичность системы [53], наличие сообщающихся сосудов [54-56] и т. д.

Другим примером гидродинамической системы, обладающей спектром собственных колебаний, является капля жидкости (или газовый пузырек), взвешенная в жидкой матрице другой плотности. Спектр собственных частот такой капли рассчитан Чандрасекаром [57]. В литературе интенсивно изучается поведение такой системы в поле вибраций акустической частоты [58-60]. В этом случае резонанс может иметь место только для мод высокой частоты, но при таких частотах характерна сильная диссипация энергии вследствие вязких эффектов. Поэтому резонансные колебания капли в поле вибраций акустической частоты, как правило, не наблюдаются. Интересные результаты получены в экспериментах [61-62], где капля подвешивалась в жидкой матрице акустическим полем, состоящим из двух ультразвуковых компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась при этом близка к собственным частотам низших мод колебаний капли и в эксперименте наблюдалось резонансное возбуждение колебаний капли на указанной комбинационной частоте. Что касается поведения капли (или пузыря) в вибрационном поле неакустической частоты, то оно в научной литературе практически не изучено.

Кроме резонансных движений, высокочастотные вибрации приводят, как правило, к появлению осредненных эффектов. Примером двоякого действия вибраций может служить поведение такой простой системы, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса [63-64]. В отсутствие вибраций, в статическом поле тяжести, маятник имеет два положения равновесия: устойчивое нижнее и неустойчивое верхнее. Вертикальные колебания точки подвеса с частотами, равными или кратными собственной частоте маятника могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, приводя к параметрическому резонансу. С другой стороны, вертикальные вибрации высокой частоты приводят к тому, что верхнее положение равновесия становится устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации точки подвеса достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [65]. Отметим еще нелинейные исследования [66-67], которые показали, что при достаточно интенсивных вертикальных вибрациях с частотами, сравнимыми с собственной частотой маятника, поведение последнего становится весьма сложным и проявляет элементы стохастики.

В гидродинамических системах высокочастотные вибрации также, при определенных условиях, приводят к стабилизации равновесных состояний, неустойчивых в статических условиях и приводят к возникновению новых равновесных конфигураций. В работах [68-69] описаны эксперименты по динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора, когда высокочастотные вертикальные вибрации приводят к устойчивости инверсного положения сред (тяжелая жидкость налита поверх легкой ). Там же отмечено, что при высокочастотных горизонтальных колебаниях сосуда плоская поверхность раздела сред становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный периодический рельеф, амплитуда которого определяется уровнем вибраций. Подробное экспериментальное исследование указанных эффектов было продолжено в [70-73], где были обнаружены некоторые новые интересные явления, такие, например, как удвоение пространственного периода рельефа при повышении интенсивности вибраций. Теоретически проблема динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора изучалась в [74], где границы устойчивости плоской поверхности раздела сред определялись численно, путем приближенного расчета соответствующего определителя Хилла [75-76]. Аналогичные эксперименты не для свободной поверхности, а для системы двух жидкостей описаны в [77]. Установлено, что и здесь высокочастотные вибрации подавляют развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора, причем на некоторых частотах наблюдается аномальная диффузия, вызванная, по-видимому, параметрическим резонансом.

Теория возникновения рельефа на поверхности раздела сред в поле высокочастотных горизонтальных вибраций была построена в [78-79], где был проведен линейный и слабонелинейный анализ указанного явления. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментами [72-73]. В работе [80] численно была рассчитана эволюция рельефа при увеличении интенсивности вибраций и показано, что при достаточно сильных вибрациях рельеф преобразуется в систему страт, границы которых практически вертикальны, что также хорошо согласуется с экспериментальными данными [72-73].

Наряду с вибрациями линейной поляризации представляют интерес вибрации более сложного вида: поступательные вибрации круговой поляризации, хаотические трехмерные вибрации, вибрации непоступательные, когда кроме поступательных смещений имеет место повороты сосуда, содержащего неоднородные среды. В работе [81] показано, что поступательные вибрации круговой поляризации подавляют развитие рэлеевской капиллярной неустойчивости жидкого столба жидкости. Непоступательность вибраций, как в изотермическом случае, так и в случае тепловой конвекции приводит к новым эффектам. Общая теория осредненных течений при наличии вибраций общего вида построена, как уже указывалось в [23], проведенные эксперименты [82-83] хорошо согласуются с теоретическими и численными расчетами, проведенными по схеме, предложенной в [23].

Неоднородность вибраций, а также наличие поверхности раздела (или свободной поверхности) при однородных вибрациях, приводят, как правило, к появлению медленных, осредненных течений. Впервые эффект генерации вихревого среднего течения колеблющимся в жидкости твердым телом описан в [84-85]. При высокочастотных вибрациях тела вблизи его поверхности возникает тонкий вязкий скин-слой Стокса. В этом слое, вследствие нелинейных эффектов, возникает, наряду с пульсационным движением, среднее течение вихревого характера, проникающее далеко за пределы стоксова слоя. Другой механизм формирования средних течений вибрациями, характерный для систем с поверхностью раздела жидкостей (или со свободной поверхностью жидкости) изучен Лонге-Хиггинсом и Доре [86-87] применительно к бегущей по поверхности волне. Поскольку вибрации, как правило, приводят к генерации волн на поверхности жидкости, то указанный механизм должен проявиться и в этом случае. Расчеты и эксперименты [88] показывают справедливость такого положения.

Высокочастотные вибрации, действуя на каплю или пузырек, взвешенные в среде другой плотности, не возбуждают, в большинстве случаев, резонансных колебаний, поскольку моды колебаний высокой частоты имеют мелкую структуру и эффективно подавляются вязкостью. Тем не менее, такие вибрации сильно влияют на поведение капли. В уже отмеченных работах [58-60], где рассматривается поведение капли в акустических полях, исследованы такие эффекты, как возникающие вследствие вибраций средние силы, действующие на каплю и изменение ее средней формы. При теоретическом описании указанных эффектов важную роль играет сжимаемость сред, характерная для акустических частот (эксперименты проводятся обычно в ультразвуковой части спектра). Влиянию вибраций акустической частоты на поведение эмульсий и взвесей посвящен цикл работ, обобщенных в уже упоминавшихся работах [4-5].

Что же касается вибраций неакустических частот, а также вибраций с поляризацией, отличающейся от линейной, вопрос об их осредненном влиянии на каплю (пузырек), взвешенную в жидкой матрице, изучен недостаточно.

В экспериментах Челомея [89] наблюдалось парадоксальное поведение твердого тела в контейнере с жидкостью, совершающем вертикальные вибрации высокой частоты: под действием вибраций всплывали тела с плотностью, превышающей плотность окружающей среды, и тонули тела, легкие по сравнению с жидкостью. Теоретическому объяснению эффекта посвящены работы [90-91]. В них показано, что при вибрациях сосуда с жидкостью, содержащей твердые включения, вследствие разной инерционности тел и жидкости, возникают пульсационные течения, которые приводят к появлению средней силы, действующей со стороны жидкости на тело. Было показано, что эти силы действуют на тела таким образом, что они притягиваются к ближайшей из стенок сосуда. В [92-93] проведен расчет сил взаимодействия между двумя телами, возникающих при указанных вибрациях сосуда. В цитированных работах рассматриваются тела с высокой степенью симметрии (сферы и цилиндры), поэтому не изучались осредненные моменты сил, которые, в принципе, могут возникать в вибрирующем сосуде.

Следует отметить еще теоретические и экспериментальные работы последнего времени [94-95], посвященные поведению твердых тел в жидкости при непоступательных (качательных) вибрациях.

Проведенный краткий обзор научной литературы, посвященной влиянию вибраций на поведение гидродинамических систем, показывает актуальность данной тематики, которая связана как с практическими приложениями, особенно в условиях микрогравитации, так и с общетеоретическим интересом. Из этого обзора следует также, что остается широкий спектр вопросов, требующих дальнейшего изучения.

В задаче о классической ряби Фарадея не до конца исследована роль дис-сипативных эффектов, особенно при наличии границы раздела сред. Не развита в полной мере нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн с последовательным учетом вязкости. Требует аналитического решения задача о подавлении неустойчивости Рэлея-Тейлора с помощью вертикальных вибраций. Не исследована устойчивость поверхности раздела сред при горизонтальных вибрациях с поляризацией отличной от линейной. Требует изучения поведение капли (пузыря), взвешенной в жидкости другой плотности при наличии вибрационного поля неакустической частоты. В этой задаче не изучены как резонансные явления, так и эффекты, появляющиеся при высокочастотных вибрациях. Не исследована вибрационная генерация осредненных течений вблизи поверхности раздела жидкостей. Представляет интерес, в связи с технологическими экспериментами в космосе, изучить влияние вибраций на устойчивость цилиндрической поверхности раздела сред. Не изучено ориентирующее действие вибраций на несимметричные твердые тела, взвешенные в жидкости, а также взаимодействие твердых включений при неоднородных вибрациях. Целью диссертационного исследования является изучение перечисленных вопросов и некоторых связанных с ними задач.

Содержание диссертации изложено в четырех главах.

В первой главе диссертации изучается влияние вертикальных вибраций на устойчивость плоской поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей. Рассматриваются вибрации с частотами сравнимыми с собственными частотами невысоких мод капиллярно-гравитационных волн, поэтому на первый план выходят резонансные эффекты.

В разделе 1.1 в линейной постановке изучается классическая задача Фа-радея для свободной поверхности вязкой жидкости. Для сосуда, глубина которого велика по сравнению с длиной возбуждаемых волн, получено эволюционное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее амплитуду отклонения поверхности от равновесного положения. Это уравнение замкнуто, в том смысле, что не содержит частных производных и включает в себя функцию только времени. Анализ этого уравнения позволяет получить уточненное значение порога возбуждения и волновое число ряби Фарадея.

Здесь же эта задача решена для поверхности раздела жидкостей со сравнимыми вязкостями и плотностями. Показано, что наличие второй среды сильно влияет на условия возникновения параметрических волн. Конечная вязкость и плотность второй, более легкой жидкости приводит к заметному сдвигу резонансной длины волны, а также сильно поднимает порог возбуждения ряби. Уже для поверхности раздела таких разных по плотности сред, как вода и воздух, учет конечных плотности и вязкости воздуха приводит к увеличению порога возбуждения параметрических волн на 8-10 % по сравнению со случаем свободной поверхности.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Черепанов, Анатолий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам диссертации можно сделать следующие выводы:

1. При вычислении порога возбуждения параметрических волн необходимо корректно учитывать вязкость жидкости;

2. Значительное влияние на порог возбуждения ряби Фарадея имеет вязкость и плотность легкой жидкости, даже если они намного меньше соответствующих параметров тяжелой жидкости;

3. Корректная нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн может быть построена только при последовательном учете вязкости, в противном случае возникают трудности, связанные с коротковолновой неустойчивостью решений;

4. Вибрационный и термокапиллярный механизмы возбуждения поверхностных волн сильно и несимметричным образом взаимодействуют между собой, эффект Марангони приводит к немонотонному изменению порогового значения вибраций;

5. Вблизи критического состояния необходим сравнительно высокий уровень вибраций, необходимый для возбуждения волн на межфазной поверхности, связано это с тем, что в этом состоянии велик уровень диссипации и мала разность плотностей фаз;

6. При возбуждении параметрического резонанса критическая амплитуда скорости вибраций (именно этим параметром определяется подводимая от вибратора мощность) растет с частотой вибраций и, следовательно, при высокочастотных вибрациях резонансные явления затруднены высоким уровнем диссипации;

7. Для вибраций высокой частоты особо большое значение имеют осредненные эффекты. Так вертикальные вибрации приводят к дополнительной упругости поверхности раздела сред и могут, таким образом, предотвратить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора.

8. Аналогичный эффект оказывают на поверхность раздела поляризующихся сред вращающиеся в горизонтальной плоскости электрические и магнитные поля, для магнитного поля этот эффект имеет место и в случае проводящей жидкости;

9. Горизонтальные поступательные вибрации высокой частоты сильно влияют на устойчивость поверхности раздела сред, в отличие от вертикальных вибраций их влияние носит дестабилизирующий характер. При достаточно высоком уровне вибраций, поляризованных по кругу, плоская поверхность раздела становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный рельеф в виде гексагональных ячеек для слоев большой толщины и длинноволнового неподвижного солитона при тонких жидких слоях.

10. Вибрации не только влияют на форму поверхности раздела сред, но и генерируют осредненные течения, их основной источник - тонкий стоксов слой вблизи поверхности раздела сред;

11 .Вертикальные вибрации, имеющие вид высокочастотного дублета, приводят к совместному эффекту: высокочастотная составляющая придает дополнительную упругость поверхности жидкости, в то время как комбинационная частота, равная разности частот дублета, приводит к возбуждению параметрического резонанса;

12.Своеобразный вид имеет параметрический резонанс для жидкой капли, взвешенной в жидкой же матрице другой плотности, здесь одновременно возбуждаются две соседние моды собственных колебаний с периодической передачей энергии от одной моды к другой,

13.В рассматриваемом случае влияние вязкости носит несколько парадоксальный характер, учет вязкости приводит, как щ следовало ожидать, к конечному порогу возбуждения резонанса, но при этом уширяет зону неустойчивости - колебания возбуждаются при значении параметров, для которых невозможен резонанс в идеальной жидкости;

14.При воздействии на каплю высокочастотного дублета картина резонанса резко меняется: на комбинационной частоте возбуждается только нижняя мода собственных колебаний, соответствующая ее форме в виде эллипсоида вращения;

15. При высокочастотных вибрациях резонанс подавлен, но влияние вибраций проявляется в изменении формы капли, она приобретает форму эллипсоида вращения, сплюснутого в направлении вибраций, его эксцентриситет растет по мере роста уровня вибраций. Вибрации, поляризованные по кругу, придают капле форму вытянутого эллипсоида вращения, его большая полуось перпендикулярна плоскости вибраций;

16.Осевые вибрации цилиндрической жидкой зоны делают ее поверхность неустойчивой, даже если развитие капиллярной неустойчивости подавлено центробежными силами, на поверхности пороговым образом возникает стационарный волновой рельеф;

17.В вибрационном поле возникают средние силы и моменты сил, действующие на твердое тело со стороны жидкой матрицы, в которой оно взвешено, они не только притягивают тела к стенке сосуда, но оказывают на них ориентирующее действие, разворачивая несимметричные тела так, чтобы их широкая сторона была перпендикулярна направлению вибраций;

18. Твердые тела взаимодействуют между собой в вибрационном поле, силы быстро убывают с ростом расстояния между телами, вибрации и здесь стремятся оказать ориентирующее действие, например, круговые цилиндры выстраиваются так, чтобы линия, соединяющая их оси, была перпендикулярна направлению вибраций, эффект взаимодействие тел имеет место и в случае неоднородных вибраций;

19.При неоднородных вибрациях на каплю, взвешенную в жидкости другой плотности, действуют средние силы даже вдали от стенок сосуда, при этом ее форма имеет более сложный вид, чем при однородных поступательных вибрациях.

Полученные результаты свидетельствуют о сильном и разнообразном влиянии вибраций на неоднородные гидродинамические системы. Учет этого влияния необходим там, где вибрации возникают неконтролируемым образом. С другой стороны из приведенных результатов видно, что контролируемые вибрации мргут эффективно использоваться для управления устойчивостью гидродинамических систем.

Автор благодарен своим соавторам и другим коллегам, как теоретикам, сотрудничество с которыми принесло ему неоценимую пользу, так и экспериментаторам, чьи результаты служили ему вдохновляющей поддержкой при проведении исследований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Черепанов, Анатолий Александрович, 2000 год

1. Faradey М. On a peculiar class acoustical figures and on certain forms assumed by a group of particles upon elastic surface. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1831, v.121, pp.209-318.

2. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука, т.1, М., ГИТТЛ, 1955.

3. Физическая акустика. Т.2 Свойства полимеров и нелинейная акустика . под ред. Мезона, М., Мир, 1969.

4. Ганиев Р.Ф., Лапчинский В.Ф. Проблемы механики в космической технологии. М., Машиностроение, 1978.

5. Ганиев Р.Ф., Лакиза В.Д., Цапенко А.С. Вибрационные эффекты в невесомости и перспективы космической технологии. ДАН СССР, 1976, т. 230, № 1, с. 48-50.

6. Lee С.P., Aniikumar A.V., Wang T.G. Stability of an acoustically levitated and flattened drop: an experimental study. Phys.Fluids, 1993, v. A5, p.2763.

7. Lee C.P., Aniikumar A.V., Wang T.G. Static shape and instability of an acoustically levitated liquid drop. Phys.Fluids, 1991, v. A3, p.2497.

8. Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulation of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field. Fhys.Fluids, 1997, v.A9, p.519

9. Yarin A.L., Weiss D.A. Acoustically levitated drop: ultrasound modulation and drop dynamics on and off resonance. Third Int. Conf. On Multiphase Flow, ICMF-98, Lyon, France, 1998.

10. Авдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д. и др. Проблемы космического производства. М., Машиностроение, 1980.

11. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, с. 51-55.

12. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М., Наука, 1972.

13. Герщуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М., Наука, 1989.

14. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вирационной конвекции. ДАН СССР, 1985, т. 281, № 4, с.815-816.

15. Иванова А.А., Козлов В.Г. Экспериментальное исследование влияния вертикальных вибраций на конвекцию в горизонтальном цилиндрическом слое. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 6, с. 180-183.

16. Lyubimov D.V. A new approach in the vibrational convection theory. C.R.A.S., Ser. 1 lb, 1995, v/320, No. 6, pp. 271-275.

17. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux B. The flows induced by a heated oscillating sphere. Int. J. Heat Mass Transfer, 1995, v.38, No. 11, pp. 2089-2100.

18. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Py Б., Черепанов А.А. Течение, индуцированное колеблющейся нагретой сферой. Изв. РАН, МЖГ, 1996, № 1, с. 31-39.

19. Гершуни Г.З., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Ру Б. Конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне в высокочастотном вибрационном поле. Изв. РАН, МЖГ, 1994, № 5, с. 53-61.

20. Gershuni G,Z., Lyubimov D.Y., Lyubimova T.P., Roux В. Convective flow in a liquid bridge subjected to high frequency vibrations. Microgravity Quarterly, 1994, v. 4, No. 2, pp. 113-118.

21. Козлов В.Г. О вибрационной тепловой конвекции в полости, совершающей высокочастотные вращательные качания. Изв. АН СССР, МЖГ, 1988, № 3, с. 138-144.

22. Козлов В.Г. О вибрационной конвекции в полости, совершающей пространственные маятниковые качания. Сб. Конвективные течения, Пермь, 111 ПИ, 1989, с. 19-31.

23. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. John Wiley and Sons, 1998.

24. Моисеев И.Н. Динамика корабля, имеющего жидкие грузы., Изв.АН СССР, ОТН, 1957, № 7, с. 25-45.

25. Benjamin Т.В., Ursell F. The stability of the plane free surface of a liquid in a vertical periodic motion, Proc. Roy. Soc., 1954, v.A225. No. 1163, pp. 505-515.

26. Болотин B.B. О движении жидкости в колеблющемся сосуде. ПММ, 1956, Т.20, №2, с.293-294.

27. Сорокин В.И. Об эффекте фонтанирования капель с поверхности вертикально колеблющейся жидкости. Акуст. Журнал, 1957, т.З, №3, с.262-273.

28. Агеев С.Г. Условия нарушения сплошности свободной поверхности вибрирующего столба жидкости. В сб Научные труды Челябинского политехнического института, Челябинск, 1976, № 180, с.24-28

29. Езерский А.Б., Коротин П.И., Рабинович М.И. Случайная самомодуляция двумерных структур на поверхности жидкости при параметрическом возбуждении. ЖЭТФ, 1986, Т.41, сЛ29-131.

30. Henderson D.M., Miles J.W. Faradey waves in 2:1 internal resonance. J. Fluid. Mech., 1991, v. 222, pp. 449-470.

31. Ciliberto S. Gollub J.P. Chaotic mode competition in parametrically forced surface waves. J. Fluid Mech., 1985, v. 158, pp. 381-398.

32. Секерж-Зенькович С.Я., Калиниченко В.А. О возбуждении внутренних волн в двуслойной жидкости вертикальными колебаниями. ДАН СССР, 1979, т.249 №4, с.797-799.

33. Секерж-Зенькович С.Я. Параметрическое возбуждение волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разных плотностей. ДАН СССР, 1983, Т.272, № 5, с. 1083-1084.

34. Калиниченко В.А., Нестеров C.B., Секерж-Зенькович С.Я. Параметрическое возбуждение внутренних волн. В кн. Волны и дифракция. Труды 8-го Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн., М., Наука, 1981, Т.1, с.185-188.

35. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение поверхностных волн. Инж,-физ. журн,, 1985, № 49, с. 1482-1494.

36. Miles J., Henderson D. Parametrically forced surface waves. Annu. Rev. Fluid Mech. 1990, No. 22, pp. 143-165.

37. Miles J. On Faradey resonance of a viscous liquid. J.Fluid Mech., 1999, v.395, pp. 321-325.

38. Kumar K. Linear theory of Faradey instability in viscous liquids. Proc. R. Soc. Lond., 1998, v. A452,pp. 1113-1126.

39. Ockendon J.R., Ockendon H. Resonant surface waves. J.Fluid Mech., 1973, v.59, part 2, pp.397-413.

40. Нестеров С.В. Параметрическое возбуждение волн на поверхности жидкости. В сб. Морские гидрофизические исследования., Севастополь, 1969, № 3(45), с. 87-97.

41. Нестеров С.В. Собственные частоты внутренних волн в жидкости с произвольной частотой Брента-Вяйсяля. ДАН СССР, 1983, т.277, № 3, с. 570-572.

42. Секерж-Зенькович С.Я. Параметрический резонанс в стратифицированной жидкости при вертикальных колебаниях сосуда. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 5, с. 1089-1091.

43. Cerda Е.А., Tirapegui E.L. Faradey's instability in viscous fluids. J. Fluid Mech., 1998, v. 368, pp. 195-228.

44. Becchoffer J., Ego V., Manneville S., Jonson B. An experimental study of the onset of parametrically pumped surface waves in viscous fluids. J. Fluid Mech., 1998, v. 288, pp.325-350.

45. Chen P., Vinale J. Pattern selection in Faradey waves. Phys. Rev. Lett., 1994, v.14, pp. 2670-2673.

46. Edwards W.S., Fauve S. Patterns and quasipatterns in the Faradey experiments. J. Fluid. Mech., 1994, v. 278, pp. 123-148.

47. Edwards W.S., Fauve S. Parametrically excited quasicristalline surface waves. Phys. Rev., 1993, v. E47, pp. 788-791.

48. Wright J., Yon S., Pozrikidis C. Numerical studies of two-dimensional Faradey oscillations of inviscid fluids. J. Fluid Mech., 1999, v. 402, pp. 1-32.

49. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение волн на границе раздела. Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 2, с. 167-170.

50. Kumar К., Tuckerman L.S. Parametric instability of the interface between two fluids. J.Fluid Mech., 1994, v. 279, pp. 49-68.

51. Fauve S., Kumar К., Laroche С., Beysens D., Garrabos Y. Parametric instability of a liquid-vapour interface close to the critical point. Phys. Rev. Lett., 1992, v.68, pp. 3160-3163.

52. Beysens D., Wunenburger R., Chabot С., Garrabos Y. Effect of oscillatory ac-cerelations on two phase fluids. Int. J. Of microgravity researh and applications. 1998, v.ll,No. 3, pp.113-118.

53. Неволин В.Г., Кирчанов B.C. Влияние подогрева на параметрическое возбуждение волн на поверхности жидкости. ИФЖ, 1977, т.32, № 4, с. 708-711.

54. Григорян С.С., Жигачев Л.И., Когарко B.C., Якимов Ю.Л. Параметрический резонанс в сообщающихся сосудах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 2, с. 42-51.

55. Брискман В.А., Иванова А.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрические колебания жидкости в сообщающихся сосудах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 2, с. 3642.

56. Брискман В.А., Иванова А.А., Черепанов А.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрическая неустойчивость равновесия жидкости в сообщающихся сосудах. В сб. Гидродинамика, № 8, Пермь, 1976, с. 97-113.

57. Chandrasekhar S. The oscillations of viscous liquid glob. Proc. Lond. Math. Sci., 1959, v. 9, p. 141.

58. Yarin A.L., Pfaffenlehner M., Tropea C. On the acoustic lévitation of droplets. J. Fluid Mech., 1998, v. 356, p. 65.

59. Lee C.P., Anilkumar A.V., Wang T.G. Static shape of an acoustically levitated drop with wave-drop interaction. Phys.Fluids, 1994, v. 6, p.3554.

60. Mei C.C., Zhou X. Parametric resonance of a spherical bubble. J. Fluid Mech., 1991, v. 229,p.29.

61. Marston P.L., Apfel R.E. Quadrupole resonance of drops driven by modulated acoustic radiation pressure. Experimental properties. J. Acoust. Soc. Am., 1980, v. 67, p. 27.

62. Marston P.L. Shape oscillations and static deformation of drops and bubbles driven by modulated radiation stress theory. J. Acoust. Soc. Am., 1980, v. 67, p. 15

63. Капица П.JI. Маятник с вибрирующим подвесом. УФН, 1951, т. 44, № 1, с.7-20.

64. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, т.21, № 5, с.588-594.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., Наука, 1973.

66. Troger Н. Heteroklinische Punkte und das Pendel mit periodisch erregtem Aufhangepunkt. Z. Angewandte Mathematic und Mechanik, Berlin, B.59, No.5, s.158-160.

67. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и "фазовые переходы" в стохастическом поведении неавтономного гармонического осциллятора. Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 38, вып.2, с.64-67.

68. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium. Z.Physik, 1961, B.227, s.291-300.

69. Wolf G.H. Dynamic stabilization of the interchange instability of a liquid-gas interface. Phys.Rev.Lett., 1970, v.24, No.9, pp.444-446.

70. Безденежных H. А. Инвертирование устойчивых стратификаций жидкость-газ под воздействием вибраций (эксперимент). В сб. II Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Тезисы докладов, Пермь, 1981, с. 114-115.

71. Безденежных H.A., Брискман В.А., Пузанов Г.В., Черепанов A.A., Шайдуров Г.Ф. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей. В кн.: Гидродинамика и массотеплообмен в невесомости, М., Наука, 1982, с. 34-39.

72. Безденежных H.A., Брискман В.А., Черепанов A.A., Шаров М.Т. Управление устойчивостью поверхности жидкости с помощью переменных полей, В кн.: Гидромеханика и процессы переноса в невесомости, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1983, с. 37-56.

73. Troyon F., Gräber R. Theory of dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability. Phys. Fluids, 1971, v. 14, No 10, pp. 2069-2073.

74. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций Матье. М., Ил, 1953.

75. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа, ч. 2, М., Физматгиз, 1963.

76. Gerhauser Н. Theoretische Analyse des turbulent Transports durch die diffuse Grenzschicht bei der dynamischen Stabilisierung uberschichteter Flussi gheiten. Ber. Kernforschungsanlage Jülich, 1980, No. 1645, s. 41.

77. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, №6, с. 8-13.

78. Замараев A.B., Любимов Д.В., Черепанов A.A. О равновесных формах поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. В кн.: Гидродинамика и процессы переноса, Свердловск, УрО АН СССР, 1989, с.23-26.

79. Любимов Д.В., Черепанов А.А Динамическая стабилизация рэлеевской капиллярной неустойчивости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, № 6, с. 3-7.

80. Kozlov V.G., LyubimovD. V., Lyubimova T.P., Roux В. Time-average vibrational flows induced by vibrations of solid body. Int. Workshop on Non-Gravitational Mechanisms of Convection and Heat/Mass Transfer, Zvenigorod, 1994, Abstracts, p. 28.

81. Lyubimov D.V., Ivanova A.A., Kozlov Y.G., Lyubimova T.P. Time-average flows induced by oscillations of container with change of its orientation. ELGRA-94 Biennial Meeting, Madrid,1994, Abstracts.

82. Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics. Camb. Univer. Press, 1967.

83. SchlichtingG. Grenzchicht-Theory, Karlsruhe, Braun, 1951.

84. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., 1953, Ser. A245, pp. 535-581.

85. Dore B.D. On mass transport induced by interfacial oscillations at a single frequency. Proc. Camb. Phil. Soc., 1973, v. 74, pp. 333-347.

86. Kozlov V.G., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В. On the vibrational flows in the isotheral liquid induced by solid body oscillations. 30th CO SPAR Meeting, Hamburg, 1994, Abstracts.

87. Челомей B.H. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 1, с. 62-67.

88. Сенницкий В.Л. О движении кругового цилиндра в вибрирующей жидкости. ПМТФ, 1985, № 5, с. 314-317.

89. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости. ДАН СССР, 1986, т. 289, с. 49-58.

90. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А. А. О движении твердого тела в вибрирующей жидкости. Конвективные течения, Пермь, 1987, с. 61-70.

91. Kozlov V.G. Solid body dynamics in cavity with liquid under high-frequency rotational vibration. Europhys. Lett., 1996, v. 36, No. 9, pp.651-656.

92. Kozlov V.G., Ivanova A. A., Evesque P. Mean dynamics of body in cavity subjected to high frequency pendular oscillations. Proceed. Of 2nd Europ. Conf. On Fluid in Space, Naples, 1996, pp. 578-582.

93. Черепанов A.A. Влияние переменных внешних полей на неустойчивость Рэ-лея-Тейлора. В сб. Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости, Препринт Института механики сплошных сред УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, с. 29-53.

94. Черепанов А.А. Резонансное взаимодействие гармоник при возбуждении ряби Фарадея, Вестник Пермского университета, Физика, вып.2, 1997, с. 39-45.

95. Бирих Р.В., Брискман В.А., Веларде М.Г., Черепанов А.А. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн, 1997, Доклады Академии Наук, т.352, N 5, с. 616-619.

96. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Особенности возбуждния параметрического резонанса на границе раздела фаз вблизи критического состояния. Гидродинамика, вып. 12, Пермь, ПГУ, 1999, с. 183-203.

97. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Движение неоднородной жидкости в поле высокочастотных поступательных вибраций. В сб. Конвективные течения, ПГПИ, Пермь,1989, с. 52-59.

98. Любимов Д.В., Перминов A.B., Черепанов A.A. Генерация осредненных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела сред, Вибрационные эффекты в гидродинамике, Пермь, 1998, с. 204-221.

99. Черепанов A.A., Шипулин Д.В. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу. В сб.: Конвекция в системах несмешиваюгцихся жидкостей. РАН, Екатеринбург, 1999, с. 134-154.

100. Черепанов A.A. К вопросу об удержании жидкого металла вращающимся магнитным полем. Тезисы докладов IX Рижского совещания по магнитной гидродинамике, ч.Ш, МГД-технология и устройства, Рига, 1978,с.26-27

101. Черепанов A.A. О подавлении Рэлей-Тейлоровской неустойчивости поляризующихся жидкостей вращающимся внешним полем. Сб. Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость, Свердловск, УНЦ АНСССР, 1979,с.41-49

102. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В. Deformation of gas or drop inclusion in high frequency vibrational field, 1997, Microgravity Quarterly, v.6, No.2-3, pp.69-73.

103. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В. Interface orienting by vibrations. C.R.Acad.Sci.Paris,1997, t.325,Serie lib, p.391-396

104. Брискман В.А., Муратов И.Д., Черепанов А.А. К нелинейной теории устойчивости цилиндрической поверхности раздела жидкостей в присутствии вращения и осевых вибраций. В сб. Конвективные течения, ПГПИ, ПермьД989, с. 115-119

105. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Cherepanov A.A., Roux В. Vibration effects on heterogeneous systems. Microgravity Science and Technology, 1998, vol.XI, N 3, pp. 107-112.

106. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Dynamic stabilization of capillary instability of cylindrical liquid zone. Hydromechaiiics and heat/mass transfer in microgravity, Gordon and Breach Science Publishers, 1992, p. 209-213

107. Lyubimov D.V., Cherepanov A. A., Lyubimova T.P. Behavior of a drop (bubble) in a non-uniform pulsation flow. World COSPAR Conference, Warsaw, 2000, Abstracts.

108. Lyubimov D. V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux B. Deformation of gas inclusions in high frequency vibrational field. Proc. of 3-rd China-Japan Workshop on Microgravity Science, Xian, China, 1996, pp.136-141.

109. JI юбимов Д.В. Любимова Т.П., Черепанов А.А. Поведение капли жидкости или газового пузыря в неоднородном пульсационном потоке. Сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, вып.7, Новосибирск, 2000, с.89-90

110. Lyubimov D. V., Cherepanov А.А., Lyubimova T.P. Stability of fluid interface in vibrational field, 16-th IMACS World Congress on the Scien. Computation, Appl. Math. And Simulation, Proceedings, Lausanne, 2000, Sessions, 164-1

111. Герценштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в осциллирующем поле сил и микрогравитации. Изв. РАН, МЖГ, №5, с. 99-106.

112. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1966.

113. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, М., Наука, 1984

114. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ, 1968, № 2, с. 86-95.

115. Вайнберг М.М.„ Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969.

116. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1978.

117. Найфе А.Х. Методы возмущений. М., Мир, 1976.

118. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М., Мир, 1972.

119. Pearson J.R.A., On convection cells induced by surface tension. J.Fluid Mech., 1958, 4, pp.489-500.

120. Garcia Ybarra P.L., Velarde M.G., Oscillatory Marangoni-Benard interfacial instability and capillary-gravity waves in single and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion., Phys.Fluids, 1987, 30, pp. 1649-1660.

121. Левченко Е.Б., Черняков А.И., Неустойчивость поверхностных волн в неоднородно нагретой жидкости. ЖЭТФ, 1981, 54, с. 102-106.

122. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, М., Наука, 1982

123. Ivanova A.A., Tashkinov C.L Two liquid interface stability in cavity, subject to circular translational vibrations. Труды 28 Летней школы «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем (NOMS-OO», С.-Петербург, 2000.

124. Gailitis A. Formation of the hexagonal patterns on the surface of a ferromagnetic fluid in a applied magnetic field. J. FluidMech., v. 82, N 3, pp. 401—413.

125. Кузнецов E.A., Спектор М.Д. О существовании гексагонального рельефа на поверхности жидкого диэлектрика во внешнем электрическом поле. ЖЭТФ, 1976. т. 71, вып. 1, с. 262—272

126. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир, 1981.

127. Korteweg D.J., de Vries G. On the chouse of form of long waves advancing in a rectangular channel and on a new type of long stationary waves. Phil. Mag., 1895, v.39,No.5, pp. 422-443

128. Любимов Д.В., Хеннер M.B. О длинноволновой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях. Сб. Гидродинамика, № 11, Пермь, ПГУ, 1999, с. 191-196

129. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р. and RouxB. Vibrational convection in a heated liquid bridge with a free surface, C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, 320, Ser. II b, 225-230.

130. Любимов Д.В., Саввина M.B., Черепанов A.A. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести. В кн: Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами, Новосибирск: СО АН СССР, 1987, 97-105.

131. Шмидт Г. Параметрические колебания. М., Мир, 1979.

132. Melcher J.R. Field-coupled surface waves. Cambridge, MIT Press, 1963.

133. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. М., Наука, 1973.

134. Ладиков ЮЛ. Стабилизация процессов в сплошных средах. М., Наука, 1978.

135. Бучин В.А., Цыпкин А.Г. О неустойчивости Рэлея-Тейлора поляризующихся и намагничивающихся жидкостей в переменном электромагнитном поле. ДАН СССР, 1974, т.219, № 5, с. 1085-1087.

136. Шаров М.Т. Устойчивость равновесия поверхности жидкости при гармонических пульсациях электрического поля. В сб. Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1983, с. 85-98.

137. Любимов Д.В., Черепанов A.A. Устойчивость поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле с круговой поляризацией. Материалы VII школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1992, с. 39-40

138. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A., Lyubimova Т.Р., Roux В., Beysens D. Resonance oscillations and equilibrium shape of a liquid drop in a vibrational field. EU-ROMECH, 3-rd Eur. Fluid Mech. Conf., Gottingen, 1997, Book of Abstracts, p.222.

139. Lyubimov D. V., Cherepanov A.A., Lyubimova T.P., Roux В., Beysens D. Parametric resonance at the interface of phase separating media. Waves in two phase flow, EUROMECH Colloquium 376, Istanbul, 1998, Book of Abstracts, pp. 56-57.

140. Любимов Д.В., Перминов А.В., Черепанов А.А. Генерация средних течений в поле высокочастотных вибраций вблизи поверхности раздела сред. Сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, вып. 7, Новосибирск, 2000, с.78-80

141. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982.

142. Брискман В.А., Любимов Д.В., Черепанов А.А. Устойчивость поверхности раздела вращающихся жидкостей в осевом вибрационном поле. Материалы IV Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, Новосибирск, 1987, с. 64-65 .

143. Брискман В.А., Любимов Д.В., Черепанов А.А. Равновесие, движение и устойчивость неоднородной жидкости в высокочастотном вибрационном поле. Аннотации докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986, с. 135.

144. Birikh R.V., Briskman V.A., Cherepanov А.А., Velarde M.G. Interaction between mechanisms of thermo-capillaiy overstability and parametric wave excitation. 2-nd European fluid mechanics conference, abstracts of papers, Warsaw, 1994, p. 77