Влияние несимметричности поверхностных напряжений на формирование грибовидного течения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, кандидат физико-математических наук Даньшина, Анна Владимировна

• Даньшина, Анна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Даньшина, Анна Владимировна

Введение

1 Дипольные структуры в динамическом режиме океана

1.1 Определение параметров грибовидных течений с помощью 9 спутниковой информации

1.2 Выявление грибовидных течений в океане на основе 19 контактных наблюдений

1.3 Лабораторное моделирование грибовидных течений

1.4 Математическое моделирование дипольных вихревых 36 структур

2 Анализ характеристик грибовидного течения по 49 лабораторным экспериментам

2.1 Организация и проведение лабораторного эксперимента

2.2 Методы исследования динамики дипольных вихревых 52 структур

2.3 Условия формирования грибовидных течений в 57 зависимости от числа Рейнольдса

2.4 Распределение скоростей в грибовидных течениях

3 Влияние несимметричности напряжений на формирование 75 грибовидного течения

3.1 Несимметричный тензор поверхностных напряжений как 75 механизм генерации упорядоченных вихревых структур

3.2 Анализ безразмерных модифицированных уравнений 89 движения

3.3 Осреднение уравнений движения и параметризация 94 коэффициентов обмена

4 Численное воспроизведение грибовидного течения при 117 условии несимметричности тензора напряжений

4.1 Постановка задачи модели грибовидного течения

4.2 Численная аппроксимация и верификация модели

4.3 Анализ генерации и эволюции 3Б грибовидного течения в 139 однородной жидкости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние несимметричности поверхностных напряжений на формирование грибовидного течения»

Грибовидные течения в океане являются универсальной формой движения вод и играют важную роль в горизонтальном обмене примесями, массой и количеством движения. Таким образом, их влияние сказывается на формировании гидродинамического режима и экологической обстановки в море в целом и особенно в его прибрежных районах. Такие структуры выявляются как на спутниковых изображениях поверхности океанов и морей, так и в результате анализа прямых натурных наблюдений за термодинамическими параметрами верхних слоев океана. К тому же эти устойчивые динамические вихревые образования генерируются во всем спектре пространственных масштабов. Понимание значимости грибовидных течений в динамике океана привело к тому что, начиная с 80-х годов прошлого века, им стали уделять повышенное внимание в экспериментальных и теоретических исследованиях. Многолетние исследования позволили получить представление о динамических особенностях таких дипольных вихревых структур и выявить ряд эмпирических и теоретических зависимостей. На основании полученных знаний осуществляются попытки математического описания таких упорядоченных динамических структур.

Возможность учета формирования грибовидных течений в математических моделях динамики верхних слоев океана и динамического режима вод прибрежных зон позволит более точно учитывать особенности данных когерентных структур при описании распределения количества движения, водных масс и различных примесей. Более точное распределение динамических особенностей прибрежных вод необходимо и при проведении рекреационных мероприятий, и при проведении гидротехнических работ, а также для выполнения экологических исследований. Тем не менее, существующие на сегодняшний день математические модели дипольных вихревых структур, хотя и описывают основные особенности и закономерности их развития, но не полностью описывают механизмы их генерации. Обычно в основу таких моделей изначально закладывается распределение завихренности. В некоторых моделях грибовидные структуры формируются за счет влияния каких-либо факторов, будь то перекоса уровня, или воздействие силы плавучести. На самом деле сферический вихрь может формироваться и в однородной по плотности жидкости на конце испускаемой из горизонтально расположенного источника импульса струи и без влияния перекоса уровня. То есть, можно сказать, что имеющимся на сегодняшний день математическим моделям не удалось полностью описать и учесть все возможные механизмы генерации грибовидных течений. Существующие исследования показывают, что реальная жидкость, такая как морская вода, при определенных условиях обладает свойствами неньютоновской жидкости. Немногочисленные математические модели, построенные на основе моментной теории упругости, демонстрируют более точное описание динамики водных потоков по сравнению с классической гидромеханикой. В тоже время такие модели не рассматривали случаи преобразования классических уравнений движения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с учетом несимметричности поверхностных напряжений. И тем более такие модели не использовались для воспроизведения грибовидных течений. Таким образом, пока еще не исследовалось влияние несимметричности касательных поверхностных напряжений, формируемых за счет деформационных свойств скорости завихренности элементарных объемов жидкости, на генерацию грибовидных течений.

В связи с этим целью диссертационной работы является: численное подтверждение выводов несимметричной гидродинамики, заключающихся в параметризации коэффициентов обмена импульсом для уравнений движения с учетом несимметричности поверхностных напряжений, влияющих на формирование и возможность описания генерации грибовидного течения в однородной водной среде при ограничениях, накладываемых на интенсивность источника импульса.

Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:

-проанализировать существующее на текущий момент современное представление о динамических характеристиках грибовидных течений и механизмах их образования из различных источников информации: спутниковой, натурных исследований, лабораторных экспериментов и математических моделей;

- провести серию лабораторных экспериментов по формированию грибовидных течений при горизонтальном инжектировании струи в однородную по плотности неподвижную жидкость при условии задания «твердой крышки» и без нее для получения данных о распределении скоростей и эволюции других характеристик грибовидного течения;

- преобразовать уравнения движения жидкости с учетом несимметричности тензора напряжений;

- параметризовать коэффициенты обмена импульсом, исходя из предположения о несимметричности тензора поверхностных напряжений;

- построить математическую модель генерации грибовидных течений с учетом полученных коэффициентов обмена импульсом;

- осуществить численную реализацию и верификацию данной модели с воспроизведением основных особенностей развития дипольных вихревых структур.

Научная новизна полученных результатов:

-проведена модернизация уравнений движения жидкости с учетом несимметричности тензора поверхностных напряжений;

- впервые для описания формирования грибовидного течения применялись выводы из теории несимметричной механики жидкости для несжимаемой жидкости при параметризации коэффициентов обмена импульсом;

- представлена и численно реализована математическая модель, позволяющая описывать генерацию грибовидных течений, на основе модифицированных уравнений движения, учитывающих несимметричность поверхностных напряжений.

Практическая значимость работы:

-полученные зависимости, описывающие коэффициенты обмена импульсом на основе несимметричности тензора поверхностных напряжений, могут быть использованы для более глубокого изучения влияния вязкости на формирование упорядоченных вихревых структур, с предоставлением их качественных и количественных оценок;

- разработанная система основных уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости со смешанными производными и с введенными допущениями и упрощениями открывает новые возможности в математическом моделировании динамических процессов в океане и, таким образом, может применяться для воспроизведения сложных динамических структур в морской среде;

- разработанную модель с небольшими модификациями в дальнейшем можно будет использовать для оценки трансфронтального обмена вод в прибрежных районах, который является важным фактором, влияющим на перенос загрязняющих веществ и экологическую обстановку в данных зонах морей.

Основные положения, выносимые на защиту:

- введение несимметричности тензора поверхностных напряжений в уравнения движения жидкости;

-параметризация и оценка коэффициентов обмена импульсом при рассмотрении формирования грибовидных течений;

- численное воспроизведение грибовидного течения при условии модификации уравнений движения с учетом несимметричности поверхностных напряжений.

Апробация работы:

Основные результаты представляемой работы докладывались на Итоговой сессии ученого совета Российского Государственного Гидрометеорологического Университета, 1999 год; на международной конференции "ПОТОКИ И СТРУКТУРЫ В ЖИДКОСТЯХ" (International Conference "FLUXES AND STRUCTURES IN FLUIDS"), Санкт-Петербург, Пушкин, 1999 год; на международной конференции "Математические методы в образовании, науке и промышленности", Тирасполь, 1999 год, на международной конференции "Environmental Hazards along the Colombian Pacific and Caribbean Coasts", Proc. Conference, Cartagena, 2000, на международной научной конференции "Геосистемы: Факторы развития, рациональное использование, методы управления", Туапсе, 2008 год.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Даньшина, Анна Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения представленной работы была создана лабораторная установка для исследования формирования грибовидных течений. С помощью этой установки была произведена серия экспериментов при горизонтальном ижектировании струи в однородной по плотности жидкости.

Были получены характеристики эволюции грибовидных течений в лабораторных условиях при различных величинах числа Рейнольдса источника импульса. В ходе анализа серии экспериментов было выделено три динамических режима для струи, вытекающей из сопла. Было показано, как диаметр сопла источника импульса влияет на динамический режим инжектируемой струи и на величины числа Рейнольдса, при которых генерируется сферический вихрь на фронте струи. Так устойчивый турбулентный режим инжектируемой струи с увеличением диаметра сопла наступает при большей величине числа Рейнольдса, по сравнению с его значением при меньшем диаметре. Аналогичная зависимость получается и для режима грибовидных течений. В ходе экспериментов грибовидные течения устойчиво формировались при величине числа Рейнольдса до 80. Было показано, что для каждого диаметра сопла можно получить диапазон чисел Рейнольдса, в котором обязательно формируются грибовидные течения.

Информация о характеристиках грибовидных течений, полученная экспериментальным путем, была использована при параметризации коэффициентов обмена и при верификации результатов численного моделирования грибовидного течения.

В результате выполнения работы были получены следующие основные выводы:

- Рассмотрена возможность описания тензора поверхностных напряжений, как несимметричного, за счет деформации элементарного объема жидкости в результате вращения на основе моментной теории упругости. Показано, что изменение угловой скорости жидкости при вращательном движении "за счет деформирующего воздействия нецентрального распределения масс позволяет ввести коэффициент пропорциональности скорости деформации - Ь. В случае стремления коэффициента Ъ к нулю (Ь —> 0), несимметричный тензор поверхностных напряжений переходит в симметричный тензор напряжений.

- Выполнена модернизация уравнений движения Навье-Стокса с учетом несимметричности тензора поверхностных напряжений. Появление дополнительных членов в правой части уравнений движения, представленных смешанными производными второго порядка от поперечных составляющих скорости движения, демонстрирует более тесную связь между проекциями вектора течения на оси ортогональной системы координат. Полученная система уравнений движения легко переходит в систему уравнений Навье-Стокса классической гидродинамики при равенстве коэффициента Ь нулю.

- Произведено осреднение уравнений движения с учетом несимметричности тензора поверхностных напряжений. Коэффициенты обмена, полученные в результате осреднения, содержат как молекулярные вязкие, так и осредненные составляющие. В зависимости от масштабов динамических процессов, коэффициенты обмена приобретают тот, или иной вид. В случае мелкомасштабных движений, соизмеримых с молекулярными, коэффициенты обмена содержат только молекулярную вязкую часть. При динамических процессах, обладающих пространственным масштабом изменчивости более 101 см, движение можно рассматривать как осредненное, которое в полной степени характеризуется градиентами скоростей, и тогда коэффициенты обмена содержат только осредненные составляющие.

- Выполнена параметризация коэффициентов обмена импульсом.

Рассмотрены отдельно возможные способы описания нормального Ки и касательного К у коэффициентов обмена, основанных на анализе осредненного течения. Показан характер изменчивости коэффициента обмена в зависимости от изменения скорости течения, а также от продольного (дляКи) и ортогонального (для Ки) градиента скорости в этом течении для различных значений числа Яе. Коэффициент Кп максимального значения достигает при минимальных значениях скорости течения и его продольного градиента. Величина Ки возрастает с увеличением интенсивности источника импульса. Независимо от величины градиента скорости, значение коэффициента обмена снижается практически до нуля с ростом скорости течения по квадратическому закону. Величина градиента скорости влияет только на крутизну убывания Ки. При большой интенсивности источника импульса, когда можно говорить о турбулентном режиме, представленный коэффициент обмена достигает достаточно небольшой величины. В связи с этим можно сказать, что нормальный поток импульса, характеризуемый величиной , играет не основную роль в развитии струйного течения, по сравнению с адвективными членами. В отличие от продольного коэффициента обмена импульсом, касательный коэффициент своего максимального значения достигает при минимальных скоростях в струйном течении и максимальных ортогональных градиентах.

Причем значительное воздействие на величину коэффициента К- оказывает как интенсивность потока в виде числа Рейнольдса Яе, так и величина градиента ортогональной составляющей скорости потока. При малой интенсивности источника импульса своих максимальных значений коэффициент К - достигает при условии максимального значения градиента Э^у/сЬс-. При условии дVj/дXj^>0 максимально возможная величина К у снижается в несколько раз. Случай максимального значения градиента ди^ Iдх] , но имеющего обратный знак, приводит к тому, что Ку-^0. В обоих случаях величина коэффициента обмена быстро начинает возрастать, когда скорость в потоке снижается за отметку 4 % от своего максимального значения. Увеличение К у в зависимости от увеличения градиента дю1/дх] имеет более плавный характер. Поэтому основная область действия коэффициента касательного обмена импульсом лежит в области умеренных и низких скоростей движения жидкости. Повышение интенсивности источника импульса приводит к увеличению коэффициента обмена К у. Причем, максимальные значения этого коэффициента при возрастании числа Рейнольдса Яе на порядок увеличивается всего в несколько раз, что отличает его от коэффициента нормального обмена импульсом. Режим возрастания

К у при снижении скорости потока сохраняется. Не изменяется и характер влияния градиента ортогональной составляющей скорости течения ди¡/дх-.

Влияние смены знака при этом градиенте, вызывает снижение величины коэффициента обмена, почти также как и при более низких величинах числа Яе, хотя и не так сильно. При повышении интенсивности источника импульса до Яе = 10 влияние безразмерного сомножителя на величину коэффициента касательного обмена импульсом сказывается еще меньше. Можно сказать, что при числах Рейнольдса более 10 коэффициент касательного обмена импульсом соответствует уже не несимметричной механике жидкости, а классической гидродинамике. Так при Яе = 1000 разность между максимальными значениями К у для градиентов дvJ■/дXj противоположного знака не превышает 1 %, что позволяет рассматривать коэффициент К у, как универсальную функцию обмена импульсом при различных режимах движения, описываемого как классической теорией гидродинамики, так и несимметричной.

Основную роль в динамике струйного потока и формирования упорядоченных динамических систем играет К¡., поскольку даже при малой интенсивности источника импульса (Яе = 1-КО) коэффициент К¡. на порядок превышает величину коэффициента Кн. Причем это влияние в большей степени проявляется во фронтальной области струйного течения, где скорость движения потока резко снижается, а градиенты скорости еще сохраняются значительными.

-Разработана математическая модель воспроизведения грибовидного течения в однородной жидкости. В основе этой модели лежит модифицированная система осредненных уравнений движения, полученная из теоретических предположений несимметричной гидродинамики, а также уравнение неразрывности. Распределение давления в моделируемой области восстанавливается с помощью уравнения Пуассона. При численной реализации данной модели использовался метод конечных объемов для аппроксимации пространственных производных первого и второго порядка, а схема верхней релаксации - для аппроксимации производных по времени. Решение уравнения Пуассона основывалось на комбинировании разностных аппроксимаций уравнений движения. Метод конечных объемов обеспечил консервативность численной схемы. Для борьбы с неустойчивостью использовался принцип поступления информации сверху по потоку или снизу, в зависимости от направления потока. В качестве наилучшего подхода была выбрана схема Леонарда, которая обеспечила второй порядок аппроксимации, а использование высокоточной интерполяции сделало ее одной из наименее диссипативных среди схем второго порядка.

- Выполнено численное воспроизведение грибовидного течения и верификация модели. Так был численно сымитирован случай образования грибовидного течения, как и в одном из лабораторных экспериментов, когда скорость инжектируемой жидкости в источнике бралась как 1/ист =1.5 см/с, а 2 безразмерный импульс источника имел величину 1-{рчу = 2025 при числе Рейнольдса Яе = 45. Для визуализации вихревой структуры на фронте струйного течения после расчета распределения составляющих скорости течения был произведен расчет распространения пассивных маркеров, перемещающихся в формируемой динамической системе. Наиболее точно модель воспроизводит распределение продольной составляющей скорости на начальных стадиях развйтия вихревого диполя. На стадий полностью сформировавшегося диполя (/=120 с) модель не полностью обеспечивает усиление степени завихренности вокруг фокусной точки. Кривая распределения продольной составляющей скорости несколько отклоняется от значений, полученных в ходе лабораторного эксперимента. Также прослеживается некоторое отличие в расположении фокусных точек при численном моделировании и эксперименте. Полученные незначительные отклонения от экспериментальных распределений составляющих скорости в грибовидном течении и в режиме его развития могут быть связаны как с выбором пространственной дискретизации параметров модели, так и с особенностями параметризации коэффициентов обмена импульсом в уравнениях движения. В целом результаты численного моделирования соответствуют общим представлениям о соотношении размеров и скорости в грибовидном течении. Сопоставление результатов численного решения с теоретическими и экспериментальными данными, полученными из литературных источников и проведенных лабораторных экспериментов, позволяет сделать вывод о хорошей работоспособности разработанной модели и возможности на ее основе получать адекватную информацию о характеристиках дипольных вихревых структур.

Таким образом, на основании вышеизложенных основных результатов представляемой работы, показано, что цель исследования была достигнута, а его основные задачи выполнены.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Даньшина, Анна Владимировна, 2011 год

1. Кистович, А.В. Геометрия спиральных вихрей в однородной идеальной жидкости Текст. / А.В. Кистович, Ю.Д. Чашечкин // Докл. АН-2000.-Т. 372, № 1.-С.46 49.

2. Гинзбург, А.И. Нестационарные вихревые движения в океане Текст. / А.И. Гинзбург // Океанология.-1992.-Т. 32, вып. 6.-С.997 1003.

3. Ivanov, A.Yu. Oceanic eddies in synthetic aperture radar images Текст. / A.Yu. Ivanov, A.I. Ginzburg // J. of Earth System Science.-2002.-V. Ill, № 3,-P.281 -295.

4. Гинзбург, А.И. Грибовидные течения в океане (по данным спутниковых изображений) Текст. / А.И. Гинзбург, К.Н. Федоров // Исслед. Земли из космоса.-1984.-№ 3.-С.18 25.

5. Mied, R.P. The generation and evolution of mushroom-like vortices Текст. / R.P. Mied, J.C. McWilliams, G.J. Lindemann // J. Phys. Oceanogr-1991 .-Issue 21 .-P.490 510.

6. Федоров, К.Н. Приповерхностный слой океана Текст. / К.Н. Федоров, А.И. Гинзбург.-Л.: Гидрометеоиздат, 1988.-304 с.

7. Griffiths, R.W. Satellite images of an unstable warm eddy derived from Leeuwin current Текст. / R.W. Griffiths, A.F. Pears // Deep Sea Res.-1985 -V. 32, issue 11.-P. 1371 1380.

8. Pearce, A. Applications of satellite remote sensing to the marine environment in Western Australia Текст. / A. Pearce, C. Pattiaratchi // J. of Royal Society of Western Australia.-1997.-№ 80.-P.1 14.

9. Johannessen, J.A. Three-dimensional structure of mesoscale eddies in the Norwegian coastal current Текст. / J.A. Johannessen, E. Svendsen, O.M. Johannessen, K. Lygre // J. Phys. Oceanogr.-1989.-V. 19, issue 1.-P.3 19.

10. Kostianoy, A.G. Physical Oceanography of the Frontal Zones in SubArctic Seas Текст. / A.G. Kostianoy, J.C.J. Nihoul, V.B. Rodionov.-New-York: Elsevier, 2004.-326 p.

11. Prater, M.D. Eddies in the Labrador Sea as observed by Profiling RAFOS floats and remote sensing Текст. / M.D. Prater // J. Phys. 0ceanogr.-2002-V. 32.-P.411 -427.

12. Ikeda, M. Observation and modeling of satellite-sensed meanders and eddies of Vancouver island Текст. / M. Ikeda, L.A. Mysak, W.J. Emery // J. Phys. Oceanogr.- 1984,-V. 14, issue 1.-P.3 -21.

13. Ruijter, W.P.M. Eddies and dipoles around South Madagascar: formation, pathways and large-scale impact Текст. / W.P.M. Ruijter, H.M. van Aken, E.J. Beier, J.R.E. Lutjeharms, R.P. Matano, M.W. Schouten // Deep See Research.-2004.-V. 1, № 51.-P.383 400.

14. Lorenzo, E.D. Modelling observed California Current mesoscale addies and the ecosystem response Текст. / E.D. Lorenzo, A.J. Miller, D.J. Neilson, B.D. Cornuelle, J.R. Moisan // J. Remote sensing.-2004.-V. 25, № 7.-P. 1307 1312.

15. Кузьмин, Н.П. Дрейфующий лед как трассер при исследовании особенностей циркуляции вод окраинных морей Текст. / Н.П. Кузьмин, В.Е. Скляров // Исслед. Земли из космоса.-1984.-№ 1.-С.16 25.

16. Cushman-Roisin, В. Simulation and characterization of the Adriatic Sea mesoscale variability Текст. / В. Cushman-Roisin, K.A. Korotenko, C.E. Galos, D.E. Dietrich//J. Geophys. Res.-2007.-V. 112.-P.1 13.

17. Canals-Silander, M.F. On the three-dimensional structure of Caribbean mesoscale eddies Текст.: M.Sc. Dissertation / M.F. Canals-Silander.-Puerto-Rico, 2006.-90 p.

18. Карлин, Л.Н. Экспериментальные исследования течений дипольного типа при условии твердой крышки Текст./ Л.Н. Карлин, А.В. Даныпина // Ученые записки РГГМУ.-СПб.: Изд. РГГМУ, 2008.-№ 7.-С.74 80.

19. Казьмин, A.C. Некоторые особенности циркуляции вод Черного моря по данным ИСЗ «Метеор» Текст. / A.C. Казьмин, В.Е. Скляров // Исслед. Земли из космоса.-1984.-№ 1.-С.16 25.

20. Попов, Ю.И. Особенности циркуляции вод поверхностного слоя Черного моря по термическим спутниковым данным Текст. / Ю.И. Попов, A.C. Матыгин // Вюник Одеського державного еколопчного ушверситету-2008.-вип. 6.-С.217 224.

21. Спутниковый мониторинг Российского сектора Черного и Азовского морей Текст./ Итоговый бюллетень апрель-октябрь 2006 г. М.: ГУ «НИЦ «Планета»», 2006.- 48 с.

22. Ahlnas, К. Multiple dipole eddies in the Alaska coastal current Текст. / К. Ahlnas, T.S. Royer, T.M. George // J. Geophys. Res.-1987.-V. 92.-P.41 47.

23. Федоров, K.H. Избранные труды по физической океанологии Текст. /К.Н. Федоров.-JI.: Гидрометеоиздат, 1991.-310 с.

24. Костяной, А.Г. Мелкомасштабные вихри Черного моря Текст. / А.Г. Костяной, А.И. Гинзбург, Н.А. Шеремет, О.Ю. Лаврова, М.И. Митягина // Современ. проблемы дистанц. зондирования Земли из космоса.-2010.-Т. 7, № 1.-С.248 259.

25. Finley, R.J. Interpretation of surface-water circulation. Aransas Pass, Texas, using Landsat imagery Текст. / R.J. Finley, R.W. Baumgardner // Rem. Sens. Environ.-1980.-V. 10, № 1.-P.3 22.

26. Millot, C. Some features of the Algerian current Текст. / С. Millot // J. Geophys. Res.-1985.-V. 90, № 4.- P.7169-7176.

27. Griffiths, R.W. Satellite images of an unstable warm eddy derived from Leeuwin current Текст. / R.W. Griffiths, A.F Pears // Deep Sea Res.-1985.-V. 32, issue 11.-P. 1371 1380.

28. Гинзбург, А.И. Некоторые закономерности развития грибовидных течений в океане, выявленные путем анализа спутниковых изображений Текст. / А.И. Гинзбург, К.Н. Федоров // Исслед. Земли из космоса-1984.-№ 6.-С.З 12.

29. Ikeda, М. Satellite observations and modeling of meanders in California current system off Oregon and Northern California Текст. / M. Ikeda, W.J. Emery // J. Phys. Oceanogr.-1984.-V. 14, issue 9,- P. 1434 1450.

30. Marchesiello, P. Equilibrium structure and dynamics of the California Current System Текст. / P. Marchesiello, J.C. McWilliams, A. Shchepetkin // J. Phys. 0ceanogr.-2003 -V. 33.-P.753 783.

31. Traganza, E.D. Satellite observation of a nutrient upwelling off the coast of California Текст. / E.D. Traganza, D.A. Nestor, A.K. McDonald // J. Geophys. Res.-1980.-V. 85, № 7.-P.4101 4106.

32. Joyce, T.M. An upper ocean current jet and internal waves in a Gulf Stream warm core ring Текст. / T.M. Joyce, M.C. Stalcup // J. Geophys. Res-1984.-V. 89, № C2.-P.1997 2003.

33. Fujiwara, T. Tidal-jet and vortex-pair driving of the residual circulation in a tidal estuary Текст. / Т. Fujiwara, H. Nakata, K.J. Nakatsuj // Continental Shelf Research.-l994-V. 14, issue 9.-P.1025 1038.

34. Voropayev, S.I. Vortex structures in a stratified fluid Текст. / S.I. Voropayev, Y.D. Afanasyev.-London: Chapman & Hall, 1994.-230 p.

35. Филюшкин, Б.Н. Экспериментальные исследования начальной стадии формирования линзы средиземноморской воды Текст. / Б.Н. Филюшкин, Е.А. Плахин // Океанология.-1995.-Т. 35, № 6.-С.875 882.

36. Afanasyev, Y.D. Analysis of velocity field in the eastern Black Sea from satellite data during the Black Sea'99 experiment Текст. / Y.D. Afanasyev, A.G. Kostianoy, A.G. Zatsepin, P.-M. Poulain // J. Geophys. Res.-2002.-V. 107, issue C8.-P.3098-3109.

37. Huld, T. Coherent structures in two-dimensional plasma turbulence Текст. / Т. Huld, A. H. Nielsen, H. L. Pcseli & J. J. Rasmussen // Phys. Fluids В 3.-1991.-V. 3, issue 7.-P.1609 (1 17).

38. Couder, Y. Experimental and numerical study of vortex couples in two dimensional flows Текст. / Y. Couder, C. Basdevant // J. Fluid Mech-1986-V. 173.-P. 225-251.

39. Nguyen Due, J.M. Experimental characterization of steady two dimensional vortex couples Текст. / J.M. Nguyen Due, J. Sommeria // J. Fluid Mech.-1988.-V. 192.-P.175 192.

40. Neely, T.W. Observation of vortex dipoles in oblate Bose-Einstein condensate Текст. / T.W. Neely, E.C. Samson, A.S. Bradley, M.J. Davis,

41. B.P. Anderson//Phys. Rev. Letters.-2010-V. 104, issue 16.-P. 160401 (1 -4).

42. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости Текст. / Дж. Бэтчелор.-М.: Мир, 1973.-778 с.

43. Afanasyev, Y.D. Investigating vortical dipolar flows using particle image velocimetry: an experiment for the advanced undergraduate laboratory Текст. / Y.D. Afanasyev // Am. J. of Phys.-2002.-№ 70(1).-P.86 88.

44. Воропаев, С.И. Развитие горизонтальной струи в однородной по плотности и стратифицированной жидкостях. Лабораторный эксперимент Текст. / С.И. Воропаев, И.А. Филиппов // Изв. РАН. Сер. ФАО.-1985.-Т. 21, № 9.-С.964 972.

45. Adrian, R.J. Particle-imaging techniques for experimental fluid mechanics Текст. / R.J. Adrian // Ann. Rev. Fluid Mech-1991-V. 23.-P.261 -304.

46. Fincham, A. Low cost, high resolution DPIV for measurement of turbulent fluid flow Текст. / A. Fincham, G. Spedding // Experiments in Fluids.-1997.-V. 23, № 6.-P.449 462.

47. Afanasyev, Y.D. A variational filtration and interpolation technique for PIV employing fluid dynamical constraints Текст. / Y.D. Afanasyev, E.K. Demirov // Experiments in Fluids.-2005.-V. 39, № 5.-P.828 835.

48. Stern, M.E. Formation of vorticity fronts in shear flow Текст. / M.E. Stern, S.I. Voropaev // Phys. Fluids.-1984.-V. 27, № 4.-P.848 855.

49. Воропаев, С.И. Лабораторное и математическое моделирование течений дипольного типа (грибовидных течений) в стратифицированной жидкости Текст. / С.И. Воропаев, И.А. Неелов // Океанология-1991.-Т. 31, вып. 1.-С.68 75.

50. Воропаев, С.И. Моделирование вихревых структур в потоке со сдвигом скорости с помощью струи с переменным импульсом Текст. /

51. C.И. Воропаев // Морской гидрофиз. журн.-1987.-№ 2.-С.ЗЗ 39.

52. Афанасьев, Я.Д. Лабораторное воспроизведение плоских вихревых структур в стратифицированной жидкости Текст. / Я.Д. Афанасьев, С.И.Воропаев, И.А. Филиппов // Докл. АН СССР.-1988.-Т. 300, № 3,-С.704 707.

53. Афанасьев, Я.Д. Модель грибовидных течений в стратифицированной жидкости при кратковременном действии источника импульса Текст. / Я.Д. Афанасьев, С.И. Воропаев // Изв. АН СССР. Сер. ФАО.-1989.-Т. 25, № 8.-С.843 851.

54. Voropayev, S.I. Horizontal jets and vortex dipoles in a stratified fluids Текст. / S.I. Voropayev, Y.D. Afanasyev, I.A. Filippov // J. Fluid Mech-1991-V. 227.-P.543 566.

55. Flor, J.B. An experimental study of dipolar vortex structures in a stratified fluid Текст. / J.B. Flor, G.J.F. vanHeijst // J. Fluid Mech.-1994.~ V. 279.-P.101 133.

56. Afanasyev, Y.D. Starting vortex dipoles in a viscous fluid: Asymptotic theory, numerical simulations, and laboratory experiments Текст. / Y.D. Afanasyev, V.N. Korabel // Physics of fluids.-2004.-V. 16, issue 11.-P.3850 3858.

57. Афанасьев, Я.Д. Модель грибовидных течений в стратифицированной жидкости при непрерывном действии источника импульса Текст. / Я.Д. Афанасьев, С.И. Воропаев, И.А. Филиппов // Изв. АН СССР. Сер. ФАО.-1989.-Т. 25, № 7.-С.741 749.

58. Van Heijst, G.J.F. Dipole formation and collisions in stratified fluid Текст. / G.J.F. van Heijst, J.B. Flor // Nature.-1989.-V. 340, № 6230.-P.212 -215.

59. Flôr, J.B. Decay of dipolar vortex structures in a stratified fluid Текст. / J.B. Flôr, G.J.F. van Heijst // Phys. Fluids.-1995.-V. 7, issue 2.-P.374 383.

60. Praud, O. The structure and dynamics of dipolar vortices in a stratified fluid Текст. / О. Praud, A.M. Fincham// J. Fluid Mech.-2005.-V. 544.-P.1 22.

61. Gharib, M. A universal time scale for vortex ring formation Текст. / M. Gharib, E. Rambod and K. Shariff// J. Fluid Mech.-1998.-V.360.-P.121- 140.

62. Afanasyev, Y.D. Formation of fortex dipoles Текст. / Y.D. Afanasyev // Phys. Fluids.-2006.-V. 18, issue 3.-P.037103 (1 -9).

63. Wells, M.G. Dipole formation by tidal flow in a channel Текст. / M.G.Wells, G.J.F. van Heijst // Shallow flows / Ed. by G.H. Jirka, W.S.J. Uijttewaal.-London: Taylor & Francis Group, 2004.-P.63 71.

64. Voropayev, S.I. Dipolar eddies in a stratified shear flow Текст. / S.I. Voropayev, S.A. Smirnov // Phys. Fluids.-2001.-V. 13, issue 12.-P.3820-3823.

65. Воропаев, С.И. Грибовидные течения в сдвиговом потоке стратифицированной жидкости Текст. / С.И. Воропаев, С.А. Смирнов, А. Брандт, И.А. Филиппов // Изв. РАН. Сер. ФАО.-2002.-Т. 38, № 2.-С.241 -246.

66. Trieling, R.R. Two-dimensional vortices in strain and shear flows Текст./ R.R. Trieling.-Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven, 1996.149 p.

67. Афанасьев, Я.Д. Взаимодействие вихревых диполей: теория, лабораторный эксперимент Текст. / Я.Д. Афанасьев, С.И. Воропаев, П.Г. Потылицин // Изв. РАН. Сер. ФАО.-1994.-Т. 30, № 5.-С.696 703.

68. Afanasyev, Y.D. Spontaneous emission of gravity waves by interacting vortex dipoles in a stratified fluid: laboratory experiment Текст. / Y.D. Afanasyev// Geophys. and Astrophys. Fluid Dynamics.-2003.-V. 97, № 2-P.79-95.

69. Voropayev, S.I. Two -dimensional vortex-dipole interactions in a stratified fluid Текст. / S.I. Voropayev, Y.D. Afanasyev // J. Fluid Mech-1992-V. 236.-P.665 689.

70. Voropayev, S.I. Symmetric interaction of developing horizontal jet in a stratified fluid with a vertical cylinder Текст. / S.I. Voropayev, Y.D. Afanasyev // Phys. Fluids.-1994.-V. 6, № 6.-P.2032 2037.

71. Voropayev, S.I. On the frontal collision of two round jets in water Текст. / S.I. Voropayev, Y.D. Afanasyev, V.N. Korabel, I.A. Filippov // Phys. Fluids.-2003.-V. 15, № 11.-P.3429 3433.

72. Cieslik, A.R. Dipole-wall collision in a shallow fluid Текст. / A.R. Cieslik, R.A.D. Akkermans, L.P.J. Kamp, H.J.H. Clercx, G.J.F. van Heijst // European J. of Mech. B/Fluids.-2004.-V. 28, issue 3.- P.397 404.

73. Flierl, G.R. The physical significance of modons: Laboratory experiments and general integral constraints Текст. / G.R. Flierl, M.E. Stern, J.A. Whitehead // Dyn. Atmos. Oceans.-1983.-V. 7.-P.233 263.

74. Fedorov, K.N. "Mushroom-like" currents (vortex dipoles) in the ocean and in a laboratory tank Текст. / K.N. Fedorov, A.I. Ginsburg // Ann. Geophys-1986.-V. 4.-P.507 516.

75. Voropayev, S.I. Horizontal jets in a rotating stratified fluid Текст. / S.I. Voropayev, Z. Xiuzhang, D.L. Boyer, H.J.S. Fernando, C.-W. Pok // Phys. Fluid-1997.-V. 9, issue 1.-P.115 126.

76. Kloosterziel, R.C. Propagation of barotropic dipoles over topography in a rotating tank Текст. / R.C. Kloosterziel, G.F. Carnevale, D. Phillippe // American Geophys. Union Sciences Meeting-1993 -V. 19, issues 1 4.-P.65 - 100.

77. Afanasyev, Y.D. Generation of intermediate water vortices in a rotating stratified fluid: Laboratory model Текст. / Y.D. Afanasyev, I.A. Filippov // J. Geophys. Res-1996-V. 101 (C8).-P. 18167 18174.

78. Afanasyev, Y.D. Dipolar gyres generated by continuous forcing on a polar р-plane Текст. / Y.D. Afanasyev, V. Jewtoukoff // Phys. Fluids-2009-V. 21.-P.066602(l-7).

79. Eames, I. Fluid transport by dipolar vortices Текст. / I. Eames, J.B. Flor// Dynamics of Atmospheres and Oceans.-1998.-V. 28.-P.93 105.

80. Fuentes, O.U.V. Experimental study of dipolar vortices on a topographic beta-plane Текст. / O.U.V. Fuentes, G.J.F. van Heijst // J. Fluid Mech.-1994.-V. 259.-P.79- 106.

81. Zavala Sansón, L. Ekman decay of a dipolar vortex in a rotating fluid Текст. / L. Zavala Sansón, G.J.F. van Heijst, N.A. Backx // Phys. Fluids-2001, V. 13.-P.440-451.

82. Tenreiro, M. Interaction of dipolar vortices with a step-like topography Текст. / M. Tenreiro, L. Zavala Sansón, G.J.F.van Heijst // Phys. Fluids-2006-V. 18.-P.056603 (1 12).

83. Zavala Sansón, L. The long-time decay of rotating homogeneous flows over variable topography Текст. / L. Zavala Sansón // Dynamics of Atmospheres and Oceans.-2007.-V. 44.-P.29 50.

84. Etling, D. The development of mushroom-like vortices from shear flow instabilities Текст. / D. Etling, D. Hansen, R. Jürrens // Dynamics of Atmospheres and Oceans.-1993.-V. 20.-P.107 126.

85. Kloosterziel, R.C. An experimental study of unstable barotropic vortices in a rotating fluid Текст. / R.C. Kloosterziel, G.J.F. van Heijst // J. Fluid Mech-1991.-V. 223.-P. 1 -24.

86. Orlandi, P. Evolution of isolated vortices in a rotating fluid of finite depth Текст. / P. Orlandi, G.F. Carnevale // J. Fluid Mech.-1999.-V. 381.-P.239 269.

87. Гурулев, А.Ю. Численное моделирование взаимодействия дипольных вихревых структур со сдвиговым течением Текст. / А.Ю. Гурулев // Океанология.-1991 -Т. 31, вып. 1.-С.28 33.

88. Godoy-Diana, R. Internal gravity waves in a dipolar wind: a wave-vortex interaction experiment in a stratified fluid Текст. / R. Godoy-Diana, J.M. Chomaz, C. Donnadieu // J. Fluid Mech.-2006.-V. 548,- P.281 308.

89. Plougonven, R. Internal gravity wave emission from a pancake vortex: An example of wave-vortex interaction in strongly stratified flows Текст. / R. Plougonven, V. Zeitlin // Phys. Fluids.-2003.-V. 14.-P.1259 1268.

90. Billant, P. Experimental evidence for a zigzag instability of a vertical columnar vortex pair in a strongly stratified fluid Текст. / P. Billant, J. Chomaz // J. Fluid Mech.-2000.-V. 418.-P.167 188.

91. Lelong, M. Internal wave-vortical mode interactions in strongly stratified flows Текст. / M. Lelong, J. Riley // J. Fluid Mech.-1991.-V. 232,-P.l 19.

92. Cantwell, B.J. Viscous starting jets Текст. / B.J. Cantwell // J. Fluid Mech.-1986.-V. 173.-P.159 189.

93. Stanaway, S.K. A numerical study of viscous vortex rings using a spectral method Текст. / S.K. Stanaway, B.J. Cantwell, P.R. Spalart.-Florida: NASA.-1988.-169 p.

94. Афанасьев, Я.Д. О спиральной структуре грибовидных течений в океане Текст. / Я.Д. Афанасьев, С.И. Воропаев // Докл. АН СССР.-1988,-Т. 308, № 1.-С.179- 183.

95. Turner, J.S. The flow into an expending spherical vortex Текст. / J.S. Turner // J. Fluid Mech.-1964.-V. 18 (2).-P.195 208.

96. Cantwell, B.J. The decay of a viscous vortex pair / B.J. Cantwell, N. Rott // Phys. Fluids.-1988.-V. 31, issue 11.-P.3213 (1 12).

97. Duran-Matute, M. Dynamics and structure of decaying shallow dipolar vortices Текст. / M. Duran-Matute, J. Albagnac, L.P.J. Kamp, G.J.F. van Heijst // Phys. Fluids.-2010.-V. 22, issue ll.-P.l 16606 (1 9).

98. Akkermans, R.A.D. Three-dimensional flow in electromagnetically driven shallow two-layer fluids Текст. / R.A.D. Akkermans, L.P.J. Kamp, H.J.H. Clercx and G.J.F. van Heijst // Phys. Rev. E.-2010.-V. 82, issue 2.-P.Q26314 (1 11).

99. Nitsche, M. A numerical study of vortex ring formation at the edge of a circular tube Текст. / M. Nitsche, R. Krasny // J. Fluid Mech.-1994.-V. 276,-P.139- 161.

100. Linden, P.F. The formation of 'optimal' vortex rings, and the efficiency of propulsion devices Текст. / P.F. Linden, J.S. Turner // J. Fluid Mech.-2001.-V. 427.-P.61 -72.

101. Mohseni, K. Numerical experiments on vortex ring formation Текст. / К. Mohseni, H. Ran, T. Colonius // J. Fluid Mech.-2001.-V. 430.-P.267 282.

102. Krueger, P.S. The formation number of vortex rings formed in uniform background co-flow Текст. / P.S. Krueger, J.O. Dabiri, M. Gharib // J. Fluid Mech.-2006.-V. 556.-P.147 166.

103. Kaplanski, F. A generalized vortex ring model Текст. / F. Kaplanski, S. Sazhin, Y. Fukumoto, S. Begg, M. Heikal // J. Fluid Mech.-2009.-V. 622,-P.233 273.

104. Wang, R.Q. Large-eddy simulation of starting buoyant jets Текст. / R.Q. Wang, A. Law, E. Adams, O. Fringer // Environmental Fluid Mech.-2011-V 11,№4.-P.341 -370.

105. Yuan L.L. Large eddy simulations of a yet in crossflow. Текст.: PhD thesis / L.L. Yuan.-CA: Stanford University, 1997.-7 p.

106. Даныпина, A.B. Численное моделирование формирования течений дипольного типа в прибрежных районах моря Текст. / А.В. Даныпина //

107. Материалы Итоговой сессии Ученого Совета, 26-27 января 1999г.-СПб.: Изд. РГГМУ, 1999.-С.88 89.

108. Данынина, А.В. Двумерная модель грибовидного течения в однородной жидкости Текст. / А.В. Данынина, В.Ю. Чанцев // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. тематич. сб. тр.-СПб.: Изд. СПб.ГАСУ, 1999-вып. 5.-С.32 37.

109. Chantsev, V. Modelo Bidimensional simple para el desarrollo de una corriente de tipo Dipolar en un líquido homogéneo en la región ecuatorial del océano Текст. / V. Chantsev, A. Danshina // Boletín Científico СССР-Bogota: СССР, 1998.-№. 7.-P.25 29.

110. Aydemir, E. The formation of vortex rings in a strongly forced round jet Текст. / E. Aydemir, N.A. Worth, J.R. Dawson // Exp. in Fluids.-201 l.-V. 51, № 3.-P.679-688.

111. Токарев, М.П. Адаптивные алгоритмы обработки изображений частиц для расчета мгновенных полей скорости Текст. / М.П. Токарев, Д.М. Маркович, А.В. Бильский // Вычислительные технологии-2007.-Т. 12, №3.-С.Ю9- 131.

112. Ринкевичюс, Б.С. Оптические методы исследования потоков Текст. / Б.С. Ринкевичюс // Информационный бюллетень лазерной ассоциации.-2009.-вып. 401, № 2.-С.1 6.

113. Баренблатт, Г.И. Модель федоровских когерентных структур в верхнем слое океана Текст. / Г.И. Баренблатт, С.И. Воропаев, И.А. Филиппов // Докл. АН СССР.-1989.-Т. 307, № 3.-С.720 724.

114. Cantwell, B.J. Transition and mixing in impulsively started jets and vortex rings Текст. / B.J Cantwell and G.A.Jr. Allen // Proc. IUTAM Symposiumon Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids / Ed. by T. Tatsumi.-Kyoto, 1984.-P.123- 132.

115. Воропаев, С.И. Теория автомодельного развития струи в однородной жидкости Текст. / С.И. Воропаев // Изв. РАН. Сер. ФАО.-1985,-Т. 21,№12.-С.1290- 1294.

116. Voropayev, S.I. Free jet and frontogenesis in shear flow Текст. / S.I. Voropayev.-Woods Hole: Woods Hole Oceanographic Institution, 1983.-27 p.

117. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя Текст. / Г. Шлихтинг-М.: Наука, 1974.-712 с.

118. Stokes, V.K. Couple stresses in fluids Текст. / V.K. Stokes // Phys. Fluids.-1966.-V. 9, issue 9.-P.1709 1715.

119. Stokes, V.K. Theories of Fluids with Microstructure Текст. / V.K. Stokes.-New-York: Springer, 1984.-312 p.

120. Зеленяк, Т.И. О свойствах решения нелинейных уравнений переменного типа Текст. / Т.И. Зеленяк, Н.Н. Яненко, В.А. Новиков // Численные методы механики сплошной среды.-1974.-Т. 5, № 4.-С.35 47.

121. Яненко, Н.Н. Об одной модели циркуляции атмосферы с локальным знакопеременным коэффициентом турбулентности Текст. / Н.Н. Яненко, Т.П. Курбаткин, В.Н. Крупчатников, М.Ш. Эйхер // Численные методы механики сплошной среды.-1976.-Т. 7, № 1.-С.137 153.

122. Яненко, Н.Н. Об одной модификации уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости Текст. / Н.Н. Яненко, Б.Ю. Скобелев // Докл. АН СССР.-1984.-Т. 275, № 3.-С.576 579.

123. Cosserat, E. Théorie des Corps Déformables Текст. / Е. Cosserat, F. Cosserat.-Paris: Hermann, 1908.-746 p.139Toupin, R.A. Elastic materials with couple-stresses Текст. / R.A. Toupin // Arch. Rational Mech. Anal.-1962.-V. 11.-P.385 414.

124. Mindlin, R.D. Effects of couple-stresses in linear elasticity Текст. / R.D. Mindlin, H.F. Tiersten // Arch. Rational Mech. Anal.-1962.-V. 11.-P.415 -448.

125. Koiter, W.T. Couple stresses in the theory of elasticity, I and II Текст. / W.T. Koiter // Proc. Ned. Akad. Wet. (B).-1964.-№. 67.-P.17 44.

126. Новацкий, В. Теория упругости Текст. / В. Новацкий.- М.: Мир, 1975.- 872 с.

127. Eringen, А.С. Simple microfluids Текст. / А.С. Eringen // Int. J. Eng. Sci.-1964.-V. 2.-P.205 207.

128. Eringen, A.C., Suhubi E.S. Nonlinear theory of simple micro-elastic solids Текст. / А.С. Eringen, E.S.// Int. J. Eng. Sci.-1964.-V. 2.-P.189 203.

129. Eringen, A.C. Theory of micropolar fluids Текст. / А.С. Eringen // J. Math. Mech.-1966.-№ 16.-P.11 18.

130. Виноградова Ю.В., Ерофеев В.И. Вывод уравнений динамики нелинейной среды Коссера Текст. / Ю.В. Виноградова, В.И. Ерофеев // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского.-2009.-№ 6 (1).—С. 159 — 162.

131. Даныпина, А.В. Несимметричность напряжений вязкой несжимаемой жидкости Текст. / А.В. Даныпина, JI.H. Карлин,

132. B.Ю. Чанцев // Ученые записки РГГМУ.-СПб.: Изд. РГГМУ, 2011.-вып. 20,1. C.156- 166.

133. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа Текст. / Л.Г. Лойцянский.-М.: Дрофа, 2003.-840 с.

134. Колмогоров, А.Н. Почти горизонтальная турбулентность Текст. / А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук.-2004.-Т. 59, вып. 2 (356).-С. 3-8.

135. Озмидов, Р.В. Диффузия примесей в океане Текст. / Р.В. Озмидов.-Л.: Гидрометеоиздат, 1986.-280 с.

136. Смирнов, Е.М. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии Текст./ Е.М. Смирнов, Д.К. Зайцев // Научно технические ведомости.-2004.-№2 (36).-С.70 81.

137. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкости Текст. / К. Флетчер.-М.: Мир.- 1991.-Т. 1.-502 с.

138. Leonard, В.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation Текст. / B.P. Leonard // Comput. Methods Appl. Mech. Eng.-1979.-V. 19.-P.59 98.

139. Гизбург, А.И. Эволюция грибовидных течений в океане Текст. / А.И. Гизбург, К.Н. Федоров // Докл. АН СССР.-1984.-Т. 276, №3.-С.481 -484.