Математическое моделирование нелокального турбулентного переноса импульса и тепла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, доктор физико-математических наук Курбацкий, Альберт Феликсович

• Курбацкий, Альберт Феликсович
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Курбацкий, Альберт Феликсович

Список обозначений и сокращений . стр.

ВВЕДЕНИЕ. стр. Ю

Глава I.

ПРИНЦИПЫ и МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ИМПУЛЬСА, ТЕПЛА и МАССЫ ВЕЩЕСТВА В НЕОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ .стр.

§ I. Параметрическое описание структуры турбулентности сдвиговых течений эффективными коэффициентами турбулентного обмена. "1)т - модель" турбулентного переноса. Ограниченность параметрического метода .стр.

§ 2. Математическое моделирование переноса импульса с привлечением уравнений для энергии турбулентных пульсаций и скалярного параметра .стр.

§ 3. Математическое моделирование переноса импульса и скалярного свойства (тепла, массы) в неоднородной турбулентности с привлечением уравнений переноса для турбулентных потоков импульса и тепла (массы).стр.

Глава 2.

ЯВЛЕНИЯ КОНТРГРАДИЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОЙ

ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ и ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТ

НОСТИ .стр.

§ I. Экспериментальные данные о нелокальном характере механизма турбулентного переноса импульса, кинетической энергии пульсаций и тепла в неоднородной турбулентности.стр.

§ 2. Бимодальная ("двухвихревая") модель турбулентного переноса. Качественное объяснение интегрального характера механизма переноса (контрградиентной диффузии) в малых пространственных? областях (зонах смещения) турбулентных сдвиговых течений.стр.

§ 3. Экспериментальные данные о явлениях нелокального переноса импульса в сложных турбулентных течениях .стр.

§4. О моделировании явлений нелокального турбулентного переноса импульса и тепла в моделях общей циркуляции атмосферы.стр.

Глава 3.

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕТЬИХ И ВТОРЫХ МОМЕНТОВ ПОЛЯ

СКОРОСТИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕЛОКАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА ИМПУЛЬСА В

НЕОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ УЧЕТЕ СТРАТИФИКАЦИИ СРЕДЫ .стр.

§ I. Точная незамкнутая система дифференциальных уравнений турбулентного переноса для первых, вторых и третьих статистических моментов неоднородного поля скорости.стр.

§ 2. Модельные представления для тензора скорости диссипации édj, в уравнении переноса (3-7) для турбулентное напряжений .стр.

§ 3. Модельные представления для тензора корреляции пульсации давления - градиент пульсаций скорости" <3toi£ в уравнении переноса (3-7) для турбулентных напряжений .стр. ИЗ

§ 4. Модельная аппроксимация для корреляции "пульсации давления - турбулентные потоки импульса" Яи^у в уравнении переноса (3-8) для третьих моментов Моделщювание молекулярного затухания в уравнении (3-8) .стр.

§ 5. Моделирование процессов турбулентной диффузии третьих моментов Iv^xi в уравнении переноса (3-8). Гипотеза квазинормальности Миллионщикова. "Зашкание" процессов диффузии третьих моментов по методу тринадцати моментов Грэда.стр.

§ 6. Феноменологическая система уравнений для моментов поля скорости третьего уровня замыкания, описывающая интегральный характер механизма турбулентного переноса.стр.

§ 7. Феноменологическая модель турбулентного переноса вторых моментов для неоднородного поля скорости.

Алгебраические градиентные аппроксимации для третьих моментов поля скорости 1\|к .стр.

Глава 4.

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕТЬИХ и ВТОРЫХ МОМЕНТОВ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ (ТЕМПЕРАТУРЫ, КОНЦЕНТРАЦИИ) ДЛЯ ОПИСАНИЯ

НЕЛОКАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА (ТЕПЛА, МАССЫ ВЕЩЕСТВА) В НЕОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ УЧЕТЕ СТРАТИФИКАЦИИ СРЕДЫ.стр.

§ I. Точная незамкнутая система дифференциальных уравнений турбулентного переноса для первых, вторых и третьих статистических моментов неоднородного скалярного поля в приближении свободной конвекции .стр.

§ 2. Модельное выражение для корреляции "пульсации давления - градиент пульсаций скалярного плля 31®". . .стр.

§ 3. Модельная аппроксимация для скалярной диссипации

0 в уравнении переноса (4-3) .стр.

§ 4. Модельные аппроксимации для корреляций , в уравнении переноса (4-4) для третьего момента <иги;0> и корреляций и €-е в уравнении переноса (4-5) для третьего момента ^и^^ .стр.

§ 5. Моделирование цроцессов турбулентной диффузии 1-ф< и в уравнениях переноса (4-4) - (4-5) для третьих смешанных моментов. Обобщенная гипотеза квазинормальности Миллионщикова.стр.

§ 6. Феноменологическая система уравнений для первых, вторых и третьих моментов неоднородного скалярного поля в приближении свободной конвекции (модель третьего уровня замыкания) для описания интегрального характера механизма турбулентного переноса тепла (массы вещества) .стр.

§ 7. Феноменологическая модель турбулентного переноса вторых моментов для неоднородного скалярного поля. Алгебраические градиентные аппроксимации для третьих смешанных моментов поля скорости и скалярного т 0 т® поля 1-ф< и цке в уравнениях переноса (4-36) и

4-37) .стр.

§ 8. Метод функций плотности вероятностей (ФПВ) в теории турбулентного переноса. Обоснование модельных аппроксимаций релаксационного типа для корреляций с пульсациями давления в уравнениях переноса третьих моментов поля скорости (3-33) и третьих моментов скалярного поля (4-36) - (4-37) .стр.

Глава 5.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТРГРАДИЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ

ИНТЕНСИВНОСТИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В СЛЕДЕ ЗА ЦИЛИНДРОМ.стр.

§ I. Система дифференциальных уравнений для моментов неоднородного поля скорости третьего уровня замыкания для задачи о турбулентном следе за цилиндром.стр.

§ 2. Конечно-разностный метод решения. Конструкция разностной схемы.стр.

§ 3. Численные результаты моделирования контрградиентной диффузии интенсивности турбулентности в следе. Сопоставление с опытными данными.стр.

Глава 6.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТРГРАДИЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ

ТЕПЛА и ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ПСРОВДЕНШ ИНТЕНСИВНОСТИ ПУЛЬСАЦИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ В СЛОЕ СМЕШЕНИЯ С АСИММЕТРИЧНЫМ ПРО

ФИЛЕМ СРЕДНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ.стр.

§ I. Система дифференциальных уравнений вторых и третьих моментов неоднородного поля температуры для задачи о турбулентном слое смешения с наложенным скачком средней температуры.стр.

§ 2. Начально-краевая задача для систем квазилинейных дифференциальных уравнений моментов поля скорости (6-6) и поля температуры (6-23), (6-24) в слое смешения.стр.

§ 3. Разностная схема для уравнений переноса статистических свойств полей скорости и температуры в слое смешения и алгоритм её численной реализации.стр.

§ 4. Численные результаты математического моделирования контрградиентного переноса тепла и отрицательного порождения интенсивности пульсаций температуры. Сравнение с опытными данными.стр.

Глава 7.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛОКАЛЬНОГО МЕХАНИЗМА

ПЕРЕНОСА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТЕЙ и ГАЗОВ.стр.

§ I. Уравнения турбулентного переноса для моделирования свободной термической конвекции, создаваемой плавучестью. (Модельная задача о "термоклине").стр.

§ 2. Начальные и граничные условия для системы прогностических уравнений турбулентного переноса свободной термической конвекции.

Численная реализация.стр.

§ 3. Численные результаты моделирования механизма нелокального переноса энергии турбулентных пульсаций в свободноконвективном слое жидкости при неустойчивой температурной стратификации. Сопоставление с опытными данными.стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелокального турбулентного переноса импульса и тепла»

В целом ряде актуальных задач турбулентного переноса оказывается необходимым описание детальных свойств реальных (неоднородных) турбулентных течений жидкостей и газов. Эти свойства определяются не только осредненными по времени (или статистически, по ансамблю реализаций) величинами скорости, температуры, концентрации, солености и т.д., но и более тонкими характеристиками течения, зависящими от турбулентных пульсаций этих величин (например, турбулентными потоками, процессами турбулентной диффузии и др.).

К таким задачам можно отнести метеорологические и океанологические задачи геофизической гидромеханики, связанные с проблемой диагноза основных физических процессов в условиях стратификации среды (эти процессы участвуют в формировании погоды),и задачи современной аэрогазодинамики, связанные с решением проблемы адекватного физической реальности описания тонких свойств турбулентного перемешивания жидкостей и газов в газодинамических процессах современной техники.

При решении перечисленных выше практических задач турбулентного переноса наиболее рабочим (реализуемым) представляется метод статистического описания случайных гидродинамических полей - метод моментов (т.е. П - мерных корреляций Ш -го порядка при конечных значениях Л и ш ). Этот метод статистического- описания случайных гидродинамических полей позволяет вычислить достаточное число детальных статистических характеристик реальных турбулентных течении в согласии с экспериментально наблвдаемыми.

Уравнения для статистических характеристик турбулентности -статистических моментов (операция осреденения понимается как осреднение по ансамблю реализаций), "незамкнуты". Дифференциальные уравнения для моментов Ш -го порядка содержат моменты (И1+ I) -го порядка.

Замыкание" системы уравнений для моментов, т.е. приведение в соответствие числа рассматриваемых моментных функций с числом дифференциальных уравнений их определяющих, требует привлечения дополнительных гипотез статистического или физического характера. Процедура замыкания означает переход от точных уравнений для моментов к модели турбулентного переноса, удовлетворяющей некоторым "естественным" требованиям инвариантности и реализуемости. Требование реализуемости - свойство физической непротиворечивости вычисления моделью турбулентного переноса необходимых детальных статистических характеристик случайных гидродинамических полей в согласии с экспериментальными значениями.

В зависимости от поставленных целей модельное описание турбулентного переноса в неоднородных турбулентных течениях жидкостей и газов может проводиться на различных уровнях "замыкания" системы уравнений для моментов. Необходимость получения информации о более тонких свойствах, определяемых турбулентными пульсациями гидродинамических полей, требует, вообще говоря, привлечения моделей турбулентности высокого уровня замыкания.

Прогресс в области численных алгоритмов решения нелинейных дифференциальных уравнений и наличие современных мощных ЭВМ делает практически доступным применение моделей турбулентного переноса высокого уровня замыкания.

Описание турбулентного течения на основе уравнений переноса о о для одних осредненных значении полей скорости, температуры, концентрации (первых статистических моментов) полностью исключает из рассмотрения пульсационные характеристики этих полей и доставляет тем самым минимум информации о статистических свойствах течения. Это - самый низкий уровень описания - модель первых моментов.

Описание турбулентности как таковой возможно лишь на следующем по сложности уровне описания - на основе модели вторых моментов, включающей в себя модельные уравнения для тензора рейнольд-совых напряжений и векторов турбулентных потоков тепла (массы вещества) .

И, наконец, для решения задач переноса в сложных турбулентных течениях современной геофизической гидромеханики и аэрогазодинамики потребуется (по необходимости) привлечение и уравнений для третьих моментов (процессов турбулентной диффузии), т.е. использование модели третьих моментов.

Необходимость построения рабочей модели турбулентного переноса импульса и тепла с включением в неё в качестве искомых моментов второго (турбулентные потоки) и третьего (процессы турбулентной диффузии) порядков вызывается нелокальным характером механизма турбулентного переноса импульса, тепла и других статистических свойств гидродинамических полей развитой турбулентности.

Нелокальный характер механизма турбулентного переноса проявляется в отсутствии универсальных связей локального вида для турбулентных потоков (импульса, тепла и т.д.) в некоторой пространственно-временной точке поля развитой турбулентности с соответствующими градиентами средних гидродинамических полей (скорости, температуры, концентрации и т.д. ).

Интересным с физической и важным с чисто практической точ:ек зрения представляется создание модельного описания нелокального механизма турбулентного переноса импульса и тепла, порождающего сопутствующие ему так называемые явления отрицательной турбулентной "вязкости".

Это понятие сформулировано впервые в книге профессора Масса-чусетского технологического института Виктора Старра (В.П.Старр. Физика явлений с отрицательной вязкостью. М., "Мир", 1971) на основе проведенного им анализа эмпирических данных о процессах макротурбулентного переноса импульса и тепла, происходящих в атмосферах Земли и Солнца, а также в струйных течениях Мирового океана. Следут при этом указать, что выявление эффектов отрицательной турбулентной "вязкости" в течениях общей циркуляции атмосферы планомерно проводилось советскими исследователями с середины 50-х годов, и эта большая работа была затем подытожена в монографии Г.В.Груза "Ма!фОтурбулентность в общей циркуляции атмосферы" (1961).

Суть явления отрицательной турбулентной "вязкости" в качественном отношении достаточно подробно пояснена, например, в цитированной выше книге Старра.

Явления кажущейся отрицательной турбулентной "вязкости" создаются, например, при моделировании зональной циркуляции атмосферы, когда крупномасштабные незональные движения могут снабжать кинетической энергией квазизональные струйные течения. Эти крупномасштабные движения (синоптические вихри и волны Россби-Блино-вой) создают турбулентные потоки импульса, которые и порождают отрицательную турбулентную "вязкость" при попытке интерпретации механизма переноса импульса и тепла, вызываемого этими крупномасштабными движениями, на основе локальных градиентных аппроксимаций типа Буссинеска.

Аналогичные проявления нелокальности механизма турбулентного переноса статистических свойств развитой турбулентности в виде контрградиентной диффузии встречаются в целом ряде задач турбулентного переноса современной океанологии, проблеме турбулентного динамо (и связанной с ней проблемой описания генерации дифференциального вращения Солнца), в актуальных сегодня задачах турбулентного горения и смешения турбулентных потоков жидкостей и газов в различных машинах и аппаратах современной техники (газодинамических и химических лазерах и др.)

Коэффициенты переноса импульса, тепла и вещества, вводимые кинетической теорией цроцессов переноса, хотя и базируются на параметрах феноменологического характера: средняя длина свободного пробега молекул, сечения соударений и т.д., описывают они тем не менее физические свойства основополагающего континууш -молекулярного движения жидкостей и газов. Положительность этих молекулярных коэффициентов переноса имеет надежное обоснование в термодинамике необратимых процессов.

Сложнее дело обстоит с "основополагающим континуумом" поля развитой турбулентности, включающим в себя целый спектр нелинейно взаимодействующих вихрей, линейные размеры которых могут различаться на пять порядков, а наименьшие из них обычно превышают в несколько раз молекулярные масштабы длины.

Коэффициенты турбулентной вязкости, теплопроводности и диффузии описывают уже не физические свойства жидкостей, газов, а статистические свойства их (нерегулярных, завихренных) турбулентных движений и определяются по аналогии с молекулярными коэффициентами, как отношения средних (по ансамблю реализаций) турбулентных потоков импульса, тепла и вещества к средним градиентам скорости, температуры и концентрации, соответственно.

Положительность коэффициентов турбулентного обмена поэтому не имеет, вообще говоря, столь глубокого обоснования, как положительность коэффициентов молекулярного переноса. Это обстоятельство и побудило Старра ввести для качественной интерпретации результатов наблюдений геофизических турбулентных течений понятие отрицательной турбулентной "вязкости".

В связи с этим различные подходы к математическому моделированию механизма нелокального турбулентного переноса и сопутствующих ему явлений отрицательной турбулентной вязкости (или контрградиентной диффузии импульса, тепла и вещества) мыслимы и возможны.

В последние годы Н.Н.Яненко сформулирована концепция знакопере менного коэффициента "вязкости". Развитие этой концепции направлено на конструирование дифференциальных математических моделей, которые бы позволяли ставить и решать для них корректную начально-краевую задачу с таким коэффициентом. Более широко эта проблема связана с изучением дифференциальных моделей (уравнений) переменного типа. Перспективность этих исследований с точки зрения их приложения видится в том, что с построением корректной математической теории таких дифференциальных моделей с знакопеременным коэффициентом "вязкости" могут открыться возможности применения этой математической концепции к описанию явлений в турбулентности типа отрицательной"вязкости".

В данной работе в основу математического моделирования нелокальных явлений турбулентного переноса положен метод статистических моментов, с помощью которого разработаны рабочие математические модели вторых и третьих моментов полей скорости и температуры для неоднородных турбулентных течений жидкостей и газов. Работоспособность моделей в описании нелокального механизма турбулентного переноса импульса и тепла (явлений контрградиентной диффузии или отрицательной турбулентной "вязкости") показана при решении ряда сложных задач турбулентного переноса, в том числе и задач геофизической гидромеханики при учете стратификации среды (по температуре и плотности).

Это - основной результат, полученный в диссертации.

Кратко структуру диссертации можно охарактеризовать так.

В главе I дан обзор применения традиционного в теории турбулентного переноса параметрического описания турбулентных сдвиговых течений на основе концепции коэффициентов турбулентной вязкости, теплопроводности, диффузии (градиентная аппроксимация Буссинес-ка для коэффициентов турбулентного обмена, "кинетический" механизм турбулентной вязкости, прандтлевская теория пути смешения и т.д.). Указано на недостаточность концепции коэффициентов турбулентного переноса при её использовании в сложных задачах турбулентного переноса. Дана краткая характеристика основным методическим постро- ( ениям моделей турбулентного переноса, связанным с использованием моментов второго порядка (модели турбулентности Колмогорова, Давыдова и родственные им).

В главе 2 дан анализ экспериментальных данных о нелокальном механизме турбулентного переноса (явлениях контрградиентной турбулентной диффузии импульса и тепла) в различных задачах неоднородных турбулентных течений, в том числе и геофизических турбулентных течениях при учете температурной стратификации среды. На основе этого анализа сделан обоснованный вывод о необходимости разработки рабочей (реализуемой) модели турбулентного переноса вторых и третьих моментов неоднородных полей скорости и скалярного поля развитой турбулентности для адекватного физической реальности математического моделирования нелокального характера механизма турбулентного переноса импульса и тепла.

Основные результаты диссертации содержатся в главах 3, 4, 5, 6, 7.

В главе 3 изложена, разработанная автором, модель вторых и третьих моментов для неоднородного поля скорости развитой турбулентности с учетом стратификации среды, предназначенная для описания нелокального механизма турбулентного переноса в сложных турбулентных течениях. Включение в модель переноса в качестве иско--мых функций не только средних скоростей и компонент тензора рей-нольдсовых напряжений (турбулентных потоков импульса), но также и третьих моментов поля скорости (процессов турбулентной диффузии) существенно расширяет возможности математического моделирования статистических эффектов отрицательной турбулентной "вязкости" (контрградиентной диффузии импульса, тепла и массы вещества) не только на уровне вторых, но также и третьих моментов.

Моделирование турбулентного переноса импульса и тепла в ряде важных с практической точки зрения задач современной геофизической гидромеханики (в условиях неустойчивой температурной стратификации) требует включения в модель переноса в качестве искомых третьих моментов поля скорости для физически непротиворечивого и адекватного физической реальности (данным эксперимента и наблюдений) предвычисления переносимых статистических свойств поля скорости -вторых и третьих моментов.

В главе 4 сформулирована модель турбулентного переноса для неоднородного скалярного поля (температуры, концентрации, солености и т.д.), включающая в качестве искомых не только среднюю величину поля скаляра, но также вторые моменты поля температуры (турбулентные потоки скалярного свойства: температуры, массы вещества) и третьи моменты поля температуры (процессы турбулентной диффузии), предназначенная вместе с соответствующей моделью поля скорости для математического моделирования статистических эффектов нелокального характера механизма турбулентного переноса скалярных свойств в поле развитой турбулентности. Привлечение в дифференциальную модель турбулентного переноса в качестве искомых процессов турбулентной диффузии (третьих моментов) связано с необходимостью адекватного данным наблюдений предвычисления турбулентных потоков различных статистических свойств полей скорости и температуры в задачах геофизической гидромеханики (например, в задачах, моделирующих некоторые основные черты развития термоклина в океане).

Дано обоснование модельным аппроксимациям релаксационного типа трудно аппроксимируемых корреляций с пульсациями давления в уравнениях переноса для третьих моментов на основе метода функций плотности вероятностей (метода ФИВ) теории турбулентного переноса.

Развитые в главах 3 и 4 модели турбулентного переноса вторых и третьих моментов для неоднородных полей скорости и скалярного поля использованы в главах 5, 6 и 7 для математического (численного) моделирования ряда задач сложных турбулентных течений, в том числе и стратифицированных, в которых явления нелокального турбулентного переноса (контрградиентная диффузия импульса, тепла и энергии турбулентных пульсаций) имеет место в части областей таких течений, либо даже во всем поле течения.

В главе 5 численно решена задача о контрградиентной диффузии продольной интенсивности турбулентности в приосевой зоне следа за цилиндром, явлении обнаруженном экспериментально Таунсендом и Бэтчелором.

В главе б численно решена задача о контрградиентной диффузии тепла в слое смешения с наложенным асимметричным профилем средней температуры. Адекватность численного моделирования этого явления контрградиентной диффузии опытным данным Бегье, Фкшашье и Кеффера позволяет цредвычислить обнаруженное в этих опытах явление отрицательности механизма порождения пульсаций температуры в некоторой части поля течения слоя смешения.

В главе 7 численно решена задача о моделировании переноса кинетической энергии турбулентности через слой жидкости, перемешиваемый флуктуирующей силой плавучести, в условиях неустойчивой температурной стратификации (модельная задача о "термоклине"). Отличитильная особенность этой задачи геофизической гидромеханики - контрградиентный характер механизма переноса кинетической энергии турбулентных пульсаций по всей толщине свободно-конвективного слоя перемешивания.

Численные результаты решения задач в главах 5, 6, 7 сопоставлены с имеющимися опытными данными.

Для численного решения задач турбулентного переноса, квазилинейный дифференциальный оператор системы уравнений турбулентного переноса которых содержит нелинейные конвективные члены, автором разработан эффективный конечно-разностный метод на основе неявных разностных схем. Отличительной особенностью этого оператора является его непараболический характер, заключающий в себе гиперболические свойства.

Перечислим кратко, по пунктам, основные результаты, полученные в диссертации (подробнее они изложены в Заключении).

1. Разработана модель турбулентного переноса вторых и третьих моментов для неоднородного поля скорости развитой турбулентности, описывающая эффекты нелокального турбулентного переноса импульса, энергии турбулентных пульсаций.

2. Разработана модель турбулентного переноса вторых и третьих моментов для неоднородного скалярного поля (температуры, концентрации, солености и др.) развитой турбулентности, описывающая явления контрградиентной диффузии скалярных свойств (и отрицательность механизма порождения пульсаций скалярного поля (температуры)).

3. Дано обоснование аппроксимациям релаксационного типа для корреляций с пульсациями давления в уравнениях переноса для третьих моментов полей скорости и скаляра на основе метода функций плотности вероятностей (метода ФПВ).

4. Работоспособность и эффективная численная реализуемость моделей турбулентного переноса подтверждена прямым способом - численным решением с их помощью различного рода задач турбулентного переноса импульса и тепла, в том числе и в условиях неустойчивой температурной стратификации среды, в которых механизм турбулентного переноса носит нелокальный характер (контрградиентная диффузия импульса, тепла и других статистических свойств гидродинамических полей развитой турбулентности).

Адекватность физической реальности, получаемых с ломощью разработанных моделей турбулентного переноса вторых и третьих моментов результатов (численного) моделирования структуры поля развитой турбулентности, подтверждена сравнением этих результатов с имеющимися опытными данными.

5. Разработан эффективный (алгоритмически простой и численно легко реализуемый) конечно-разностный метод решения систем квазилинейных дифференциальных уравнений турбулентного переноса для вторых и третьих моментов неоднородных полей скорости и скаляра (концентрации, температуры) с непараболическим квазилинейным дифференциальным оператором.

Результаты, перечисленные в пунктах 1-5 , выносятся автором на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Курбацкий, Альберт Феликсович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Создание машин и аппаратов новой техники (газодинамические и химические лазеры, химические реакторы и целый ряд других технических .устройств и технологических процессов, в которых рабочая среда (жидкость или газ) находится в состоянии турбулентного (нерегулярного, хаотического и завихренного) движения, предъявляет к теории турбулентного переноса требования описания внутренних, тонких свойств турбулентного перемешивания жидкостей и ;газов, зависящих от пульсационных параметров гидродинамических полей -турбулентных потоков импульса, тепла и массы вещества и процессов турбулентной диффузии этих потоков в рабочих пространствах машин, аппаратов и технических устройств.

Другой класс практически важных задач, для которых развитие адекватных физической реальности моделей турбулентного переноса, могущих достоверно описывать процессы переноса не только осреднен-ных (по времени, пространству или ансамблю реализаций турбулентного течения) значений скорости, температуры, концентрации вещества, но также и более детальных характеристик поля развитой турбулентности - турбулентных потоков импульса, тепла и массы вещества - служат задачи теории турбулентного переноса двух, получивших в последнее время бурное развитие, наук о природе - метеорологии и океанологии.

Важнейшие народохозяйственные задачи, поставленные перед этими науками - надежное и долгосрочное цредсказание погоды на Земле и прогнозирование последствий естественных и, вызванных человеческой деятельностью на Земле, загрязнений воздушного и водного бассейнов требуют как развития и совершенствования экспериментальной техники и получении с её помощью данных наблюдений о тонких процессах и свойствах турбулентных потоков воздушных масс и турбулентных.движений океанических водных масс; так. л создания математических моделей, способных моделировать детальные свойства процессов турбулентного переноса пульсационных характеристик гидродинамических полей в атмосфере и океане с диагностическими целями.

Опытные данные и данные наблюдений в естественных условиях об энергетической картине турбулентных течений большого'масштаба - струйных течений в атмосфере и океане, а также турбулентных движений меньшего масштаба, происходящих в океанических и атмосферных поверхностных слоях, свидетельствуют о наличии таких механизмов процессов переноса, формирующих энергетическую картину, которые не могут быть правильно математически смоделированы на основе простейших соображений, исходящих из представления о том, что турбулентные потоки статистических свойств гидродинамических полей вызываются локальными градиентами осредненных свойств этих полей (градиентные апцроксимации.для потоков типа соотношений Бус-синеска).

Кроме того, в перечисленных выше задачах геофизической гидромеханики важную роль играет поле тяжести Земли. Процессы турбулентного переноса в условиях температурной или плотностной стратификации обладают свойствами, делающими их мало похожими на тур/ булентные сдвиговые течения, когда влияние гравитационного поля Земли малосущественно. В частности, стратификация среды вызывает сильную анизотропию турбулентного переноса, которую трудно учесть физически непротиворечивым образом на основе локальных градиентных аппроксимаций для турбулентных потоков импульса, теп ла и массы вещества. Наличие же дополнительного механизма порождения турбулентных пульсаций скорости, .обусловленного работой флуктуирующей массовой архимедовой силы, меняет вихревую структуру геофизических турбулентных течений так, что во многих задачах этого класса концепция коэффициентов турбулентного обмена не позволяет в соответствии с данными наблюдений (или опытными данными) описать эволюцию энергитической картины таких турбулентных течений. I

Примером тому может служить свободноконвективный слой перемешивания, возникающий в атмосфере или океане, процесс переноса кинетической энергии турбулентности через толщину которого носит контрградиентный характер и не может быть описан адекватно на основе традиционного подхода моделирования - локальных аппроксимаций градиентного типа, связывающих турбулентные потоки и градиенты осредненных переносимых величин. Следовательно, на основе таких аппроксимаций нельзя правильно предвычислить и развитие во времени таких слоев, их эволюцию.

Задачи геофизической гидромеханики, подобные этой, требуют,по--необходимости, математического моделирования более высокого уровня, когда процессы турбулентной диффузии импульса, тепла, энергии пульсаций (третьи моменты) следует рассматривать как зависимые переменные и включать их в модель турбулентного переноса в качестве искомых, наряду с самими турбулентными потоками импульса, тепла и массы вещества (вторыми моментами).

Математическое моделирование процессов переноса тепла, импульса, энергии турбулентных пульсаций в свободноконвективном слое перемешивания в соответствии с опытными данными проведено в диссертации с помощью разработанной и изложенной в главах 3 и 4 модели турбулентного переноса вторых и третьих моментов для неоднородных полей скорости и температуры. Эти результаты изложены в главе 7.

В поле развитой турбулентности многих реальных течений, встречающихся как в машинах и аппаратах новейшей техники, так и в reo-физических турбулентных речениях, действует механизм турбулентного переноса неградиентного типа статистических свойств гидродинамических полей, вызываемый крупномасштабными вихревыми движениями.

Попытки интерцретации этого механизма турбулентного переноса на основе традиционных для теории турбулентного переноса представлений, основанных на аналогии с молекулярным переносом в виде локальных градиентных законов для потоков импульса, тепла и массы вещества, приводят к так называемому явлению отрицательной турбулентной "вязкости" (или в более общем виде - явлению контрградиентной диффузии статистических свойств поля развитой турбулентности) .

Это явление отнюдь не малозначительный экзотический феномен в механизме турбулентного переноса, а распространенная физическая реальность, давно известная метеорологам. Так для целей предсказания погоды важно иметь физически осмысленную и непротиворечивую модель зональной циркуляции атмосферы, Известно, что крупномасштабные незональные движения (синоптические вихри и волны Россби-Блиновой) могут снабжать кинетической энергией зональные струйные течения. Попытки описания зональной циркуляции атмосферы на основе локальных градиентных аппроксимаций для турбулентного потока зонального импульса приводят к явлениям кажущейся отрицательной турбулентной "вязкости"(соответствующий коэффициент турбулентной вязкости при этом отрицателен и это не решает задачу моделирования) .

Современная точка зрения метеорологов на адекватное математическое моделирование процессов турбулентного переноса импульса и тепла в моделях зональной циркуляции - в рассмотрении в качестве искомых величин турбулентных потоков импульса и тепла, т.е. включении в модель соответствующих феноменологических уравнений переноса для вторых моментов неоднородных полей скорости и температуры.

Явления контрградиентной диффузии статистических свойств гидродинамических полей в поле развитой турбулентности сдвиговых течений наблюдаются в условиях контролируемого лабораторного эксперимента и такие течения представляют удобный объект, как подходящий тест для проверки возможностей модели турбулентного переноса вторых и третьих моментов в описании этих явлений.

Опытные данные такого лабораторного эксперимента доставляют интересную физическую информацию о структуре вихревого механизма переноса неградиентного типа и служат непосредственно источником информации о физической реальности явления.

Примерами сложных турбулентных сдвиговых течений, в которых получены надежные экспериментальные данные о наличии контрградиентного механизма турбулентного переноса статистических свойств поля развитой турбулентности,могут служить след за цилиндром и слой смешения с асимметричным профилем средней температуры.

В следе за цилиндром явление контрградиентной диффузии возникает применительно к переносу поперек следа продольной интенсивности турбулентности, т.е. имеет место на уровне третьих моментов.

С помощью разработанной модели турбулентного переноса третьих моментов для неоднородного поля скорости (глава 3) это явление предвычисляется в согласии с опытными данными, в то время как при использовании градиентной аппроксимации, выражающей третьии моменты поля скорости через градиенты от вторых моментов, это явление в модельном описании утрачивается.

В слое смешения с асимметричным профилем средней температуры явление контрградиентной диффузии тепла в части поля этого течения возникает, как и в случае зональной циркуляции в атмосфере, на уровне вторых моментов, т.е. контрградиентным является турбулентный поток тепла. Явление контрградиентной диффузии тепла в этом течении сопровождается и другим интересным с физической точки зрения явлением - отрицательным порождением интенсивности турбулентных пульсаций температуры.

Оба этих явления предвычисляются в соответствии с опытными данными при численном моделировании развития такого слоя смешения на основе моделей вторых моментов для неоднородных полей скорости и температуры, сформулированных в главах 3 и 4.

В предшествующем тексте Заключения изложены основные физические результаты, полученные в диссертации на основе разработанных моделей вторых и третьих моментов для неоднородного поля скорости и скалярного поля (температуры, концентрации), по математическому моделированию нелокального турбулентного переноса статистических свойств гидродинамических полей (скорости, температуры) в поле развитой турбулентности как классических сдвиговых свободных турбулентных течений, так и геофизическом турбулентном течении , происходящем при неустойчивой температурной стратификации, статистические свойства нелокального механизма турбулентного переноса которых установлены в условиях контролируемого лабораторного эксперимента.

Перечисленные по пунктам, основные результаты, подученные в диссертации, выглядят так.

1. Проведен подробный анализ (глава 2) имеющихся опытных данных, полученных в условиях контролируемого эксперимента, о наличии нелокального механизма турбулентного переноса в различных реальных неоднородных турбулентных течениях, как изотермических, так и неизотермических, в том числе и геофизических турбулентных течениях, развивающихся в условиях неустойчивой температурной стратификации. Нелокальный характер механизма переноса в поле этих течений приводит к реально наблюдаемому и инструментально измеряемому явлению контрградиентной диффузии статистических свойств гидродинамических полей турбулентных течений. Это явление вызывается доминирующим переносом статистических свойств пульсационных полей крупномасштабными турбулентными движениями (крупномасштабными вихрями).

2. Дана в подробном изложении эвристическая концепция о бимодальной или "двухвихревой" структуре механизма турбулентного переноса, призванная для качественной интерпретации его контрградиентного характера в малых локализованных областях поля течения конкретной геометрической конфигурации.

3. На основе результатов анализа опытных данных и качественных модельных представлений о реально имеющем место в различных неоднородных турбулентных течениях нелокальном характере механизма турбулентного переноса (выражающемся, в частности, в создании контрградиентных потоков импульса, тепла и массы вещества) сделан обоснованный вывод о необходимости привлечения для его адекватного математического моделирования моделей турбулентного переноса импульса, тепла и вещества второго и третьего уровней замыкания (модели турбулентного переноса вторых и третьих моментов).

4. Разработана (глава 3) модель турбулентного переноса третьего уровня замыкания для неоднородного поля скорости несжимаемой жидкости (газа), позволяющая предвычислять тонкие свойства пульсационного поля скорости - вторые (турбулентные потоки импульса) и - третьи (процессы турбулентной диффузии) моменты. Такая дифференциальная модель турбулентного переноса описывает явления контрградиентной диффузии (импульса, энергии турбулентных пульсаций) в согласии с опытными данными.

5. Сформулированные в пункте 4. свойства модели третьих моментов поля скорости подтверждены путем тестирования её на сложной классической задаче свободных турбулентных течений - следе за цилиндром, в поле течения которого явление контрградиентной диффузии возникает применительно к диффузии продольной интенсивности турбулентности, т.е. имеет место на уровне третьих моментов. Численные результаты моделирования (глава 5) согласуются с опытными данными.

6. Разработана (глава 4) модель турбулентного переноса третьего уровня замыкания для неоднородного скалярного поля (температуры, концентрации) при учете стратификации среды, предназначенная для предвычисления детальных статистических свойств пульсационного скалярного поля (температуры, кон- . центрации) - вторых (турбулентные потоки тепла, массы вещества) и - третьих (процессы турбулентной диффузии потоков) моментов. Дифференциальная модель турбулентного переноса третьих моментов скалярного поля описывает явления контрградиентной диффузии потоков тепла, энергии пульсаций при математическом моделировании развития реальных неоднородных турбулентных течений, в том числе и геофизических турбулентных течений при учете стратификации среды (по температуре, плотности).

7. Модель турбулентного переноса третьих моментов для неоднородного скалярного поля (температуры) применена для математического (численного) моделирования детальных статистических свойств поля развитой турбулентности в слое, перемешиваемом флуктуирующей силой плавучести в условиях неустойчивой температурной стратификации. Отличительная особенность этой геофизической задачи, моделирующей некоторые основные черты развития "термоклина" в океане, -контрградиентный характер механизма турбулентного переноса кинетической энергии пульсаций скорости от нижней (нагреваемой) границы слоя к его верхней границе п о всей толщине слоя.

Результаты численного моделирования энергитической картины развития свободноконвективного слоя перемешивания согласуются с экспериментальными данными (глава 7).

8. Адекватность опытным данным, полученных с помощью моделей третьих моментов для неоднородных полей скорости и температуры численных результатов моделирования тонких свойств механизма турбулентного переноса (в том числе свойства его нелокального характера, или свойства контрградиентности), достигнута при использовании в качестве обрывания цепочки моментных уравнений на уровне третьих моментов гипотезы квазинормальности Миллионщикова (и её обобщенного варианта для скалярного поля) и релаксационных аппроксимаций для корреляций третьего порядка с пульсациями давления и корреляций третьего порядка молекулярной деградации статистических свойств пульсационных гидродинамических полей (скорости, температуры).

Сочетание обоих приближений дает физический способ достижения реализуемости моделей турбулентного переноса, их достоверности в предвычислении детальных свойств пульсационных полей и непротиворечивости.

Релаксационным аппроксимациям корреляций третьего порядка дано обоснование на основе метода ФПВ теории турбулентного переноса.

9. В целом ряде практически важных задач турбулентного пере носа (перечисленных в вводной части настоящего Заключения) достаточно знать детальные характеристики поля турбулентности на уровне вторых моментов, т.е. адекватно предвычис-лять турбулентные потоки импульса, тепла, массы вещества.

Для этих целей в главах 3 и 4 сформулированы модели турбулентного переноса для неоднородных полей скорости и скаляра (температуры, концентрации) второго уровня замыкания. Искомые функции этих моделей - средние поля (скорости, температуры, концентрации) и турбулентные потоки (составляющие тензора рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного потока скалярного свойства).

Обрывание цепочки моментных уравнений на уровне вторых моментов осуществлено, при использовании гипотезы квазинормальности, с помощью градиентных (но не локальных!) аппроксимаций для третьих моментов.

10. Модель турбулентного переноса вторых моментов для неоднородного температурного поля (вместе с моделью соответствующего уровня замыкания для неоднородного поля скорости) использована для численного моделирования контрградиентного переноса тепла в свободном сдвиговом течении - слое смешения с асимметричным профилем средней температуры. Контрградиентный характер механизма турбулентного'переноса (тепла) в этом сдвиговом течении проявляется на уровне вторых моментов, для составляющих вектора турбулентного потока тепла.

Модель позволяет адекватно опытным данным предвычис-лить при численном моделировании развития такого течения, не только зону смещения (пространственную область в поле занятом течением, где перенос тепла контрградиентен, т.е. направлен в сторону противоположную той, что предписывается градиентом средней температуры), но также и получить в численном решении отрицательную величину порождения интенсивности пульсаций температуры, обнаруженную в опытах прямыми измерениями. Эти результаты изложены в главе 6.

11. Принятый способ замыкания системы моментных уравнений (гипотеза квазинормальности, релаксационные аппроксимации для корреляций третьего порядка с пульсациями давления и молекулярной деградации) на уровне третьих моментов порождает модель турбулентного переноса, дифференциальный оператор которой обладает гиперболическими свойствами.

Стандартных методов численной реализации таких дифференциальных операторов нет (в отличие от чисто газодинамических задач физическая структура уравнений турбулентного переноса заключает в себе свойства поля развитой турбулентности - сильную нелинейность и быструю диссипацию кинетической энергии в энергию молекулярного движения).

Применена неявная разностная схема типа "предиктор -корректор", реализующая дифференциальный оператор турбулентного переноса с гиперболическими свойствами.

12. Способ получения замкнутой модели турбулентного переноса второго уровня замыкания (модели вторых моментов для неоднородных полей скорости и скаляра) - гипотеза квазинормальности и градиентные (но не локальные!) аппроксимации для третьих моментов поля скорости и скалярного поля, связывающие их с градиентами от вторых моментов, также порождают непараболический дифференциальный оператор систем уравнений турбулентного переноса импульса, тепла, вещества, заключающий в себе гиперболические свойства.

Для сдвиговых неоднородных турбулентных течений как изотермических, так и неизотермических численная реализация такого оператора осуществляется конечно-разностным методом, по специально разработанной неявной разностной схеме, построенной с помощью универсального принципа, основанного на математических и физических структурных свойствах уравнений турбулентного переноса.

13. Реализация неявного конечно-разностного аналога дифференциальных операторов систем уравнений турбулентного переноса (третьих и вторых моментов) импульса, тепла, вещества осуществляется устойчивым вычислительным алгоритмом - меI

-360тодом векторной прогонки. Этот алгоритм при реализации хорошо обусловленных матриц разностных уравнений (хорошая обусловленность вытекает из физически аккуратной постановки решаемых краевых задач) модифицирован в части алгоритмического способа обращения матриц, что позволило повысить эффективность всего вычислительного процесса в алгоритме векторной прогонки в 1,5 раза по сравнению со стандартными способами обращения, имеющимися в библиотеках математического обеспечения ЭВМ вычислительных центров.

П о с л е с л о в и е.

В постановке задачи о течении в следе за цилиндром (глава У) и обсуждении результатов принимал участие А.Т.Онуфриев.

В постановке задачи о математическом моделировании контрградиентного характера механизма турбулентного переноса тепла в слое смешения с асимметричным профилем средней температуры (глава У1) и обсуждении результатов большое участие принимал Н.Н.Яненко.

Автор приносит глубокую благодарность и выражает искреннюю признательность академику Николаю Николаевичу Яненко и профессору Анатолию Тимофеевичу Онуфриеву за плодотворные обсуждения различных аспектов цроблемы турбулентного переноса.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Курбацкий, Альберт Феликсович, 1983 год

1. Reynolds 0«, On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the Criterion, Phil. Trans. Roy. Soc., London, Ser. A., 1894, 186, p. I23-I6I. (руССК. Перевод в сб. "Проблемы турбулентности", M., ОНТИ, 1936, с. 185-227).

2. Taylor G.I., Production and dissipation of vorticity in a turbulent fluid, Proc. Roy. Soc., Ser.A, 1938, 164, p. 15-23« Колмогоров A.H., Уравнения турбулентного движения несжимаемойжидкости, Изв. АН СССР,Сер.физ.,1942, т. 6, № 1-2, с. 56-58.t •

3. Boussinesq J., Théorie de L'écoulement tourbillionant et tu-multuex des liquides dans les lits rectilignes a grade section, I-II, Paris, Gauthier-Villars, 1897.7* Taylor G.I., Eddy motion in the atmosphere, Phil. Trans. Roy. Soc., 1915, A2I5» p. 1-26.

4. Taylor G.I., The transport of vorticity and heat through fluids in turbulent motion, Proc. Roy. Soc., Ser A, 1932, N.828, p. 685-706, срусск. перевод в сб. "Проблемы турбулентности", М.-Л., ОНТИ, 1936, с. 228-248).

5. Taylor G.I., Statistical theory of turbulence. IY. Diffusion in a turbulent air stream, Proc. Roy. Soc., 1935, A 151, N.874, p. 465-478.

6. Prandtl L., Bericht übet Untersuchungen zur ausgebildeten

7. Turbulenz, Zs.angew. Math« Mech., 1925, No.2, p. 156-159. II» Prandtl L», Bemerkungen zur Theorie der Freien Turbulenz, Zs. angew» Math. Mech., 1942, 22, No.5, p. 241-245.

8. Karman T., Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz, Ges.Wiss., Göttingen, Math.-Phys. EL, 1950, p. 58-76 (русск. переводв сб. "Проблемы турбулентности", M.-Л., ОНТИ, 1936, с. 271286).

9. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, ч. I. "Наука", 1965. 520 с.

10. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, I960. 510 с.15* Lumley J.L., Modelling turbulent flux of a passive scalar quantités in inhomogeneous flows, Phys.Fluids, 1975, vol.18, No. 6, p. 619-621.

11. Tennekes H., Lumley J.L. A first course in turbulence. MIT Press. Cambridge, 1972. 288 p.

12. Corrsin S. Limitations of gradient transport models in random walks and in turbulence. "Turbulent Diffusion in Envi-romental Pollution", Pergamon Press, N.-Y., 1974, vol. I8A, p. 25-60.

13. Munk W.H., Anderson E.R., Notes on the theoiy of the ther-mocline. J. of Marine Research, 1948, vol. I.

14. Townsend A.A. The Pully Developed Turbulent Wake of a circular cylinder. Australian J.Sci. Res. Ser.A., Phys. Sci., 1949, vol.2, No.4, p. 451-468.

15. Таунсенд А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом, ИЛ., М., 1959. 399 с.

16. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Теплообмен в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. - 342 с.

17. Гиневский А.С. Теория турбулентных струй и следов. М., "Машиностроение", 1969. 400 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Гостехиздат, 1953. 788 с.

19. Глушко Г.С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР. Механика, 1965, J* 4, с. 13-23.

20. Saffman P.G., Wilcox D.C. Turbulent-Model Predictions for Turbulent Boundary Layers. AIAA J., 1974-, vol. 12, No.4, p. 541-546.

21. Wilcox D.C., Traci R.M., A Complete Model of Turbulence. AIAA Paper, 1976, No. 76-351»31* Chambers T.L*, Wilcox D.C. Critical Examination of Two-Equation Closure Models for Boundary Layers. AIAA J., 1977, vol. 15, N0.6, 821-828.

22. Nee V.W., Kovasznay L.S.G. Simple phenomenological theory of turbulent shear flows. Physics of Fluids, 1969, vol. 12,1. No. 3, 475-484.

23. Секундов A.H. Пршенение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений. Изв. АН СССР, МИГ, 1971, № 5, II4-I27.

24. Абрамович Г.Н., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н. Турбулентные течения при воздействии объемных сил и неав-томодельности. М: "Машиностроение", I975.-95 с.

25. Гиневский А.С., Иоселевич В.А., Колесников А.В., Лапин Ю.В., Пилипенко В.Н., Секундов А.Н. Методы расчета турбулентного пограничного слоя. Механика жидкости и газа. Итоги науки и техники. М: ВИНИТИ, 1978, том II, с. 155-304.

26. Mellor G.L., Herring H.G. A survey of mean turbulent field closure models. AIAA J., 1973, vol. II, No.5, 590-599*

27. Launder B.B., Reece G.G., Rodi W.J. Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure, J. Fluid Mech., 1975, vol. 68, No.3, 537-566.

28. Турбулентность: Принципы и применения / ред. Фрост У., Моулден Т. / М: "Мир", 1980, 535 с.

29. Topics in Applied Physics, vol. 12. Turbulence (ed. Bradshaw P.), 1976, Springer-Verlag. 335 p*

30. Компанией B.3., Овсянников А.А., Полак Л.С. Химические реакции в турбулентных потоках газа и плазмы. М: "Наука", 1979, 242 с.

31. Ed. Durst P., Launder B.E., Schmidt F.W., Whitelaw J.H.),

32. Structure of the temperature field in the turbulent wake behind an asymmetrical heated plate. Phys. Fluids, I979i vol. 22, No.625-650.

33. Bradshaw P. Complex turbulent flows. Theoretical and applied mechanics: Proc. of the 14-th IUTAM Congr. Delft

34. Aug.- 4 Sept. I976)/Bd. Koiter W.T. /. 491 p. (Русск. перевод: "Теоретическая и црикладная механика": Тр. Х1У Меящупарод. контр. iutam /Ред. Койтер В.Т./; перевод под ред.Михайлова Г.К.; М.:г"Мир":, 1979, с. 276-299.).

35. Bradshaw Р., Shabaka I.M.M.A. Turbulent Flow Measurements in a Idealized Wing/Body Junction. AIAA J., 1981, vol. 19, No.2, p. I3I-IJ2.

36. Chandrsuda C., Bradshaw P. Turbulence structure of reattaching mixing layer. J. Fluid Mech., 1981» vol. 110,p. I7I-1946$. Daly B.J., Harlow F.H. Transport equations of turbulence.

37. Phys. Fluids, 1970, vol. 13, No.II, p. 2634-264964. Daly B.J., Harlow F.H. Transport Theory of Turbulence.

38. Gauthier-Villars, 1903, vol. 2. 68. Тэрнер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: "Мир", 1977, 431 с.69* Chou P.-Y. On velocity correlation and the solution of the equation of turbulent fluctuation» Quart. Appl. Math», 1945, vol» 3 No.I, p. 38-54.

39. Chou P.-Y. Pressure flow of a turbulent fluid between parallel planes. Quaxt. Appl. Math. 1945, vol.3, No.3, p. 198-209*71» Chou P.-Y» Turbulent flow along a semi-infinite plane. Quart, Appl. Math., 1947, vol. 5, p» 346-353*

40. Rotta J. Statistische Theorie nichtgomogener Turbulenz.

41. Z. Physik, 1951, Bd. 129, No.6, p. 547-572} 1951, Bd. 131, No.I, p. 51-77*

42. Коловандин Б.А. Моделирование теплопереноса при неоднородной турбулентности. Минск, "Наука и техника", 1980. 169 с.

43. Давыдов Б.И. Феноменологические уравнения статистической динамики несжимаемой турбулентной жидкости. Ж. эксп. теор. физ., 1958, 35, № 2(8), с. 527-529.

44. Давыдов Б.И. К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости. Докл АН СССР, 1959, т. 127, № 4, с.768-771.

45. Давыдов Б.И., К статистической теории турбулентности. Докл. АН СССР, 1959',:т.;,127,ЬЖ;5, с. 980-982.

46. Давыдов Б.И., К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости, Докл. АН СССР, 1961, т. 136, № I, с. 47-50.

47. Hanjalic К., Launder В.Е. A Beynolds stress model of turbulence andits application to thin shear flows. J. Fluid Mech., 1972, vol. 52, No.4, p. 609-638.

48. Дэли Б., Харлоу Ф. Учет турбулентных эффектов при численном решении газодинамических задач. В сб.: "Численные методы в механике жидкостей", М.: "Мир", 1973, с. 277-288.

49. Lumley J.L., Khajeh-Nouri B. Computation of turbulent transport. In: Adv. in Geophys., 1974, vol. I8A, p. 169-192.

50. Harlow F.H., Nakayama P.I. Turbulence transport equations. Phys. Fluids, 1967, vol. 10, No.II, p. 2333-2532.

51. Launder B.E« Progress in the modelling of turbulent transport. In: "Lecture Series 76s Prediction Methods for Turbulent Flows", von Karman Institute, Belgium, 1975*

52. Hossain M.S. Mathematische Modellierung von turbulenten Auftriebsströmungen. SFB 80/T/I62. Sonderforschungsbereich 80

53. Ausbreitungs und Transportvorgänge in Strömungen. Universität Karlsruhe, 1980. - 163 s.

54. Eodi W. Turbulence Models for Environmental Problems. In: "Prediction Methods for Turbulent Flows" (Ed. Kollmann W.), von Karman Institute for Fluid Mechanics, 1980. - 549 p.

55. Lewellen W.S., Teske M., Donaldson C. du P. Application of turbulence model equations to axisymmetric wakes. AIAA

56. Lumley J.L., Newman G.R. The return to isotropy of homogeneous turbulence. J.Fluid Mech., 1977$ vol. 82, p.I6I-l78.

57. Reynolds W.C. Computational of turbulent Flows. Ins Annual Rev. Fluid Mech., 1976, vol. 8, p. 182-208.

58. Rotta J.C. Turbulente Strömungen. Teubner, Stuttgart, 1972, 267 s.95« Rotta J.C. Turbulent Shear layer prediction on the basis of the transport equations for the Reynolds stresses. In: Theor. and Appl. Mech., Berlin e.a., 1972, 295-308.

59. Crow S.C. Viscoelastic properties of fine-grained incompressible turbulence. J.Fluid.Mech., 1968,vol.23» No.I, p. I-20.97« Launder B.E. On effects of gravitational field on the turbulent of heat and momentum. J. Fluid Mech., 1975» vol. 67, p. 569-581.

60. Launder B.E. Progress in the modeling of turbulent transport, Lecture Series 76, von Karman Institute, Belgium, (March 1975)•

61. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layers. J.Pluid Mech.,1978, vol. 86, No.3*, P- 49I-5II

62. Shir C.C. A preliminary numerical study of atmospheric turbulent flow in the idealized planetary boundary layer, J.

63. Atmos.Sci., 1973, vol. 30. No.7, p- 1327-1339«103* Irwin, H.P.A.H. Measzrements in blow boundary layers and their prediction by Reynolds stress modelling, Ph. D. Thesis, McGill University, 1974.

64. Reece G.J. A generalized Reynolds-stress model of turbulence, Ph. D. Thesis, University of London, (1977)«

65. Курбацкий А.Ф., Онуфриев А.Т. Моделирование турбулентного переноса в следе за цилиндром с привлечением уравнений для третьих моментов. Журнал црикл. мех. и технич. физики (ПМТФ),1979, № 6, с. 99-107.

66. Zeman 0., Lumley J.L. Modelling Buoyancy Driven Mixed Layers. J. Atmos. Sci., 1976, vol. 33, P- 1974-1988.

67. Монин A.G., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, часть 2. М.: "Наука", 1967. 720 с.

68. Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. Higher-Order Correlations in a Turbulent Field. Phys. Fluids, 1967, vol. 10, No.3,

69. P- 507-520} Phys Fluids, vol .10, No.8, 1967, p« I737-I747-113* Uberoi M.S. Energy transfer in Isotropic Turbulence.

70. Orszag S.A. Numerical Methods for the Simulation of Turbulence. Phys. Fluids Suppl. II, 1969, vol.12, No.12,p. 250-257.

71. Мирабель А.П. Пример применения гипотезы Миллионщикова к задаче о вырождении изотропной турбулентности.

72. Изв. АН СССР, Механ. жидк. и газа, 1969, № 5, с. I7I-I75.

73. Tatsumi T., Kida Sh., Mirushima J.J. The multiple-scale cumulant expansion for isotropic turbulence. J. Fluid Mech., 1978, vol. 85, No.I, p. 97-142.119* Orszag S.A. Analytical theories of turbulence. J. Fluid Mech., 1970, vol.41, N0.2, p, 365-386.

74. Maréchal J. Étude expérimentale de la déformation plane d* une turbulence homogène. J. Mécanique, 1972, II, No.2, p. 263-294.

75. Павельев A.A. Развитие решеточной турбулентности в потоке с постоянным градиентом скорости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № I, с. 38-47.

76. Lumley J.L. A model for computation of stratified turbulent flows. Int. Symp. on Stratified Flows, Paper 14,

77. Novosibirsk, 1972, 9 PP« Rotaprint.

78. Кормак, Лил, Сейнфельд. Анализ моделей турбулентности для компонент тензора напряжений Рейнольдса. Тройные корреляции скорости. Теор.основы инж.расч., 1978, т.100, ЖЕ, 169-177.

79. Townsend А»А< The Structure of Turbulent Shear Flow (Second Edition). Cambridge University Press, 1976. 429 P«

80. Corrsin S. The Decay of Isotropic Temperature Fluctuations in an Isotropic Turbulence. J. Aeronaut. Sci., 1951» vol. 18, N0.6, p. 417-423.

81. Zeman 0. The dynamics of entrainment in planetary boundary layers: A study in turbulence modelling and parameterization. Ph. D. Thesis, the Pennsylvanie State University, 1975.

82. Beguier C., Dekeyser I., Launder B.E. Ratio of scaler and velocity dissipation time scales in shear flow turbulence. Phys. Fluids, 1978, vol. 21, N0.3. p. 307-310.

83. Elena M«, These es - Sciences, Institut de Mechanique Statistique de la Turbulence, Université d'Aix - Marseille, 1975.

84. Bremhorst K., Bullock K.J. Spectral measurements of temperature and longitudinal velocity fluctuations in fully developed pipe flow, Int. J. Heat and Mass Transfer, 1970, vol. 13. No.8, p. I3I3-I329.

85. Webster C.A.G. An experimental study of turbulence in a density stratified shear flow. J. Fluid Mech., 1964, vol. 19, No.2, p. 221-245.

86. Launder B.E. Heat and Mass transport. Chapt. 6 in: . "Turbulence" (ed Bradshaw P.). Topics in Applied Physics, 1976, vol. 12, Springer-Verlag.

87. Курбацкий А.Ф. Некоторые статистические характеристики диффузии химически активной примеси в турбулентной зоне смешения. Журнал прикл. мех. и технич. физики (ПМТФ),1975, № 6, с. 48-59.

88. Newman G*H«, Launder B.E., Lumley J.L. Modelling the behaviour of homogeneous scalar turbulence. J. Fluid Mech., 1981, vol. Ill, p. 217-232.

89. Монин А.С. Уравнения для конечномерных распределений вероятностей поля турбулентности. ДАН СССР, 1967, том 177, № 5, с. I036-1038.159* Lundgren T.S. Distribution Functions in the Statistical

90. Theory of Turbulence. The Physics of Fluids, 1967, vol.10., No.5, p. 969-975.

91. Жигулев В.H. Обуравнениях турбулентных движений газа. ДАН СССР, 1965, том 165, № 3, с. 502-505.

92. Монин А.С. О природе турбулентности. УФН, 1978, том 125, вып. I, с. 97-122.

93. Иевлев В.М. Приближенные уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № I, с. 91-103.

94. Иевлев В.M. Уравнения для конечномерных распределений вероятностей пульсирующих величин в турбулентном потоке. ДАН СССР, 1973, том 208, № 5. с. 1044-1047.

95. Lundgren T.S. Model Equations for Nonequilibrium Turbulence. The Phys. Fluids, 1969, vol. 12, N0.5, p. 485-497.

96. Онуфриев А.Т. Об уравнениях полуэмпирической теории турбулентного переноса. Журнал прикл. мех. и технич. физики (ПМТФ), 1970, » 2, с. 62-71.

97. Онуфриев А.Т. О модельном уравнении для плотности вероятности в полуэмпирической теории турбулентного переноса.

98. В кн.: "Турбулентные течения". М.: "Наука", 1977, с.ПО-117.

99. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа. ЖЭТФ, 1938, том 8, № 3, с. 291-318.

100. Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы. ЖЭТФ, том 16, № 3, с. 574-586.

101. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. Наука, М., 1976. 238 с.

102. Жигулев В.Н. Некоторые проблемы неравновесной статистической механики и их связь с вопросами статистической теории турбулентности. Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1135.

103. Айзеншиц А. Статистическая теория необратимых процессов. М.: ИЛ., 1963. 126 с.

104. Курбацкий А.Ф. Численное моделирование процессов турбулентного переноса в зоне перемешивания. Журнал прикл. мех. и технич. физики (ПМТФ), 1975, № 3, с. 125-133.

105. Мирабель А.П., Монин А.С. Двумерная турбулентность. Успехи механики ( Advances in Mechanics ). 1979, tom(voi) 2, выпуск (number ) 3, с. 47-95.

106. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: "Мир", 1964. 830 с.

107. Рождественский Б.Л. и Яненко H.H. Система квазилинейных уравнений. М.: "Наука" 1978. 687 с.

108. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: "Наука", 1967. -- 195 с.

109. Численное решение многомерных задач газовой динамики, (под ред. С.К.Годунова)%М.: "Наука", 1976. 400 с.

110. Годунов С.К. и Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: "Наука", 1973.

111. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: "Мир", 1972. 418 с.

112. Ламли Дж. Л., Хадже-Нури Б, Моделирование турбулентных потоков количества движения и тепла в стратифицированном течении. Изв. АН СССР, ФАО, 1974, том 10, № 6, с. 636-645.

113. Левеллен В. Метод инвариантного моделирования. Гл. 9 в кн.: Турбулентность: принципы и применения (под ред. Фроста У., Моулдена Т.), М.: "Мир", 1979, с. 262-310.

114. Thomas В.М. Condotional sampling other measurements in a plane turbulent wake. J. Fluid Mech., 1975» vol* 57» No.5, p* 549-582.

115. Курбацкий А.Ф., Яненко H.H. 0 моделировании эффектов отрицательного порождения интенсивности пульсаций температуры в турбулентном слое смешения. ДАН СССР, 1982, том 262, В 2, с. 301-305.

116. Курбацкий А.Ф. Контрградиентная диффузия импульса, тепла и кинетической энергии пульсаций в неоднородной турбулентности. Новосибирск, 1982. - 44 с. (Препринт / Институттеор. и прикл. мех-ки СОАН СССР: № 5-82 /).

117. Курбацкий А.Ф. Моделирование нелокального переноса импульса и тепла в неоднородной турбулентности. Новосибирск, 1982. - 49 с. (Препринт/Институт теор. и прикл. мех-ки СОАН СССР: № 6-82/).

118. Курбацкий А.Ф. Математическое моделирование нелокального переноса кинетической энергии пульсаций и тепла в неоднородной турбулентности. Новосибирск, 1982. - 45 с. (Прецринт/йнститут теор. и црикл. мех-ки СОАН СССР:7.82/).

119. У 194. Абрамович Г.Н., Крашенников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Турбулентное смешение газовых струй (под ред. Г.Н.Абрамовича). М.: "Наука", 1974. 272 с.

120. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя. Журнал вычислит, математики и мат. физики (ЖВМ и МФ) 1961, том I, № 2, с. 280-294.

121. Ting Lu. On the Mixing of Two Parallel Streams, J. Math, and Physics, 1959, vol.38, N0.3.

122. Batt R.G., Kubota Т., Laufer J.f Experimental Investigation of the Effect of Shear Flow Turbulence on a Chemical Reaction. AIAA Paper. No»70-721.

123. Liepmann H.W., Laufer J., Investigations of Free Turbulent Mixing, 1947, NACA Report No.1257203* Wygnanski I», Fiedler H., The Two-Dimensional Mixing

124. Region. J. Fluid Mech., 1970, vol. 41, No.2, p. 327-361.

125. Голицын Г.С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. Лен-град:Гидрометеоиздат, 1980.-56с.207* Prandtl L*, Meteorologische Anwendungen der Strömungslehre, Beitr. Phys. fr. Atmosph., 1932, 1^, N0.3, 188-202.

126. Обухов A.M. О структуре температурного поля и поля скоростей в условиях свободной конвекции, Изв. АН СССР, сер. геофиз., I960, № 9, с. 1392-1396.

127. Businger J.A. Turbulent transfer in the atmospheric surface layer. In: Workshop on Micrometeorology, Boston,

128. Amer. Meteor. Soc., 1973, Р» 67-100.

129. Deardorff J.W. Three-dimensional numerical study of turbulence in an entraining mixed layer. Bound.-Layer Meteor., 1974, vol. 7, p. 199-226.

130. Deardorff J.W. Convective velocity and temperature scales for the unstable planetary boundary layer and for Rayleigh convection. J.Atmos.Sci., 1970, vol.27, I2II-I2I3*

131. Lilly D.K. On the computational stability of numerical solutions of time-dependent non-linear geophysical fluid dynamics problems. Monthly Weather Review, 1965, vol.95, p. 11-26.

132. Venkataramani K.S., Tutu N.K., Chevray R. Probability distributions in a round heated jet. Phys. Fluids, 1975*, vol. 18, No.II, p. 1415-1420.

133. Kurbatskii A.F. and Tanenko N.N., On the modelling of effects of negative production of temperature-fluctuation intensity in the turbulent mixing layer. Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol. 130, p. 453-462.