Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Бушланов, Владимир Петрович

• Бушланов, Владимир Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бушланов, Владимир Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОД ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД.

Введение.

1.1. Микромасштабы, микропараметры и микроуравнения.

1.2. Уравнения для локальных параметров на межфазной поверхности.

1.3. Осредненные параметры гетерогенной среды, основные допущения.

1.4. Основные свойства осредненных величин. Система осредненных уравнений.

1.5. Основная проблема при моделировании гетерогенных сред. Постановка задачи.

2. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОТ УГЛОВ НАКЛОНА ЕЕ

НОРМАЛЕЙ.

Введение.

2.1. Соотношения для локальных параметров на межфазной поверхности.

2.1.1. Вспомогательные формулы. dn d v

2.1.2. Вычисление — и —. dt dt

2.1.3. Соотношения для локальных параметров в случае, когда межфазная поверхность является свободной.

2.2. Уравнение для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей.

2.2.1. Функция распределения.

2.2.2. Уравнение для интегральных параметров.

2.3. Решение уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность.

2.3.1. Решение уравнения для функции распределения в случае отсутствия касательных напряжений.

2.3.2. Уравнение для признака на основе уравнения для функции распределения в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью.

2.4. Решение уравнения для логарифма функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью.

2.5 .Вычисление средней удельной длины линий образованных пересечением плоскости с межфазной поверхностью.

Выводы.

3. ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННЫХ ПО МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПАРАМЕТРОВ В УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ

ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД.

Введение.

3.1. Топологическая гипотеза.

3.2. Уравнения, описывающие эволюцию осредненных топологических параметров межфазной поверхности.

3.3. Аналоги интегральной формулы Стокса.

3.4. Вычисление осредненных по межфазной поверхности параметров.

3.4.1. Уравнение для признака вида Ф =vj/,(t,x )cp(n,).

3.5. Уравнения для определения осредненных параметров компонент тензора скоростей деформаций, вихря скорости, тензора удельной поверхности и скорости, в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность несжимаемой ньютоновской жидкости.

3.6. Вычисление объемной плотности лапласовских сил, объемных плотностей работы и момента импульса лапласовских сил.

Выводы.

4. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В СЛУЧАЕ, КОГДА МЕЖФАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛЯЕТ ДВЕ НЕСМЕШИВАЮЩИЕСЯ НЕСЖИМАЕМЫЕ НЬЮТОНОВСКИЕ

ЖИДКОСТИ.

Введение.

4.1. Граничные условия на межфазной поверхности для локальных параметров в случае несжимаемых фаз.

4.2 Осреднение граничных условий по межфазной поверхности.

4.3. Уравнения теории главы 3 и их следствия для случая несжимаемых фаз.

4.3.1. Вычисление ef4, со,, Z.

4.3.2. Уравнения для топологических характеристик межфазной поверхности.

4.3.3. Уравнения для величин 3,71,, я,.

4.4. Уравнения сохранения количества движения для случая несжимаемых фаз.

4.5. Уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды состоящей из i и j- фаз.

4.6. Уравнение сохранения энергии в случае сжимаемых фаз.

4.7. Уравнение сохранения момента импульса для случая несжимаемых

Выводы.

5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ В СЛУЧАЕ, КОГДА МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЯВЛЯЕТСЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛА НЕСЖИМАЕМЫХ НЬЮТОНОВСКИХ

ЖИДКОСТЕЙ.

Введение.

5.1. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в декартовой системе координат.

5.2. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в ортогональной криволинейной системе координат.

5.3. Уравнения механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в сферической системе координат.

Выводы.

6. СПЕКАНИЕ УПАКОВКИ КАПЕЛЬ ЖИДКОСТИ ОКРУЖЕННОЙ

ДРУГОЙ ЖИДКОСТЮ.

Введение.

6.1. Задача о спекании упаковки капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой жидкости.

6.1.1. Закон сохранения общей массы i-фазы.

6.1.2 Теорема вириала.

6.1.3. Уравнение живых сил.

6.1.4. Принцип минимума для задачи спекания.

6.2. Уравнения задачи о спекании капель в сферически симметричном случае.

6.2.1. Уравнения неразрывности и сохранения импульса в сферически симметричном случае.

6.2.2.Вычисление е^4 и со.

6.2.3. Вычисление v™,^.

6.2.4. Уравнения сохранения импульса в сферически симметричном случае.

6.2.5.Уравнение сохранения импульса гетерогенной среды в сферически симметричном случае.

6.2.6.Уравнение для средних топологических параметров МФП в сферически симметричном случае.

6.3. Решение задачи о спекании капель в сферически симметричном случае.

6.3.1. Уравнение для признака (5.7) в сферически симметричном случае.

6.3.2.Решение уравнений для топологических характеристик МФП.

6.3.3. Нахождение cc,(t,r).

6.3.4. Нахождение функций V, и V,.

6.3.5. Определение функций c^s^v1* из начальных условий.

6.3.6. Условия равенства потоков массы на границах гетерогенной области.

6.3.7. Определение P(t,r)- среднего давления в гетерогенной смеси.

6.3.8. Условия равенства потоков импульса относительно движущихся границ гетерогенной области.

6.3.9. Дополнительные граничные условия на границах гетерогенной среды.

6.3.10. Обезразмеривание.

6.3.11. Уравнения задачи о спекании сферической упаковки в случае, когда центральная область упаковки занята i- фазой.

6.3.12. Решение задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята]- фазой.

6.3.12.1. Решение, описывающее начало спекания.

6.3.12.2. Численное решение точной системы уравнений для безразмерных радиусов упаковки при значениях чисел Лапласа L0 = 1400 и L0 =

6.3.13. Решение задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята i- фазой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред»

Уравнения механики гетерогенных сред, применяются при моделировании физических явлений в гетерогенных средах [1-3], [69-70], [72-74], [77-90], [92-95], [98-99],[103-105], [107-108], [111-114]. Область применения указанных уравнений очень широка. Это описание явлений в стесненных условиях: среды плотно упакованных порошков, капель, пузырей, капель органических жидкостей (нефти, масел) в воде и капель воды в указанных жидкостях, пузырей в жидкостях, твердых частиц в жидкостях и жидкостей в твердых пористых средах и так далее. Также это относится к описанию всевозможных явлений в биологических объектах, в которых присутствуют различные фазы. Моделирование явлений в соплах ракетных двигателей и в двигателях самолетов, когда объемные и массовые доли жидкой или твердой фаз сильно разнятся с аналогичными величинами газообразной фазы также можно описывать на основе уравнений механики гетерогенных сред. Уравнения механики гетерогенных сред обычно получают феноменологически или методом пространственного осреднения однофазных уравнений механики сплошной среды фаз гетерогенной смеси. В настоящей работе рассматриваются уравнения механики гетерогенных сред, полученные методом пространственного осреднения. В отличие от уравнений механики гетерогенных сред полученных феноменологически, пространственно осредненные уравнения имеют то преимущество, что содержат в явном виде выражения для осредненных параметров фаз и таких величин как тензоры напряжений в фазах, интенсивности межфазного обмена массой, импульсом, моментом импульса, энергией, записанные через локальные параметры фаз. Получение указанных выражений в виде зависимостей от средних макроскопических параметров, является актуальной задачей при моделировании гетерогенных сред на основе пространственно осредненных уравнений Более того, как сказано в [2], "Реализация этих выражений, приводящая к реологическим соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат, к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при моделировании гетерогенных сред" Вопросы получения реологических соотношений обсуждаются, например, в [36-68], [71], [82], [97], [109-138].

Цель работы. Получить теорию вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, с целью замыкания системы уравнений механики гетерогенных сред. Теорию построить на основе нового уравнения для функции распределения удельной межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей.

Научная новизна.

1. Дано определение функции распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной смеси в зависимости от углов наклона ее нормалей и для нее получено уравнение. Из уравнения для функции распределения методом моментов выведено уравнение для функции признака, являющейся осреднением заданной на межфазной поверхности локальной функции. Записано решение уравнения для функции распределения в виде ряда по сферическим функциям. Получены уравнения для коэффициентов ряда в разложении функции распределения и логарифма функции распределения по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. В указанном случае показана независимость системы уравнений для коэффициентов ряда до вторых гармоник включительно от системы уравнений для коэффициентов ряда гармоник выше второй.

2 Разработан метод дополнительного пространственного осреднения (ДПО). Этим методом получен аналог формулы Стокса для гетерогенной среды. Формула выражает среднее по межфазной поверхности скалярное произведение локальной единичной нормали и локального вихря вектор функции, определенной на межфазной поверхности, через дивергенцию среднего по межфазной поверхности векторного произведения указанных локальных векторов. Как следствие формулы, получены точные выражения средних по межфазной поверхности объемных плотностей поверхностных сил Лапласа, объемных плотностей момента импульса и мощности сил Лапласа в виде зависимостей от тензора удельной межфазной поверхности и средней скорости фазы на межфазной поверхности.

3 Из уравнения для признака и сформулированной топологической гипотезы, записана система уравнений для осредненных по межфазной поверхности локальных параметров фаз, входящих в осредненные уравнения механики гетерогенных сред, в том числе и уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности - компонент тензора удельной поверхности и удельной поверхности.

4. Получена система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей, на которой действуют поверхностные лапласовские силы. Система получена из общей системы уравнений механики гетерогенных сред, а уравнения для средних по межфазной поверхности параметров, входящие в систему, написаны из общей системы уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, в том числе из уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности. Осреднением по межфазной поверхности уравнений, выражающих равенство локальных скоростей фаз и касательных напряжений в фазах и равенство разности нормальных напряжений лапласовскому давлению, получены дополнительные уравнения, замыкающие систему уравнений механики гетерогенных сред в указанном случае смеси фаз несжимаемых ньютоновских жидкостей. 5. Решена задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой ньютоновской жидкости в сферически симметричной постановке. Решения получены для случаев, когда центральная область упаковки занята фазой капель или фазой жидкости, окружающей капли. Уравнения задачи записаны на основе замкнутой системы уравнений, использующей точные выражения для объемной плотности лапласовских сил, средних топологических характеристик межфазной поверхности и других точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз. Показано, что уравнения, для средних величин безразмерных скоростей фаз, средней по межфазной поверхности скорости, объемных долей фаз, удельной межфазной поверхности и безразмерных радиусов упаковки, зависят только от

R Р\ безразмерного числа Лапласа L0 =-^—J—— и отношения массовых

-H-jV d плотностей жидкостей. В выражении для числа Лапласа R0- начальный радиус упаковки, ц.,,^- коэффициенты динамических вязкостей, плотность жидкости, окружающей капли, £0- коэффициент поверхностного натяжения на межфазной поверхности, d- диаметр капель. Показано, что если начальная удельная поверхность пропорциональна объемной доле фазы, то гладкое сферически симметричное решение существует только в случае экспоненциальной зависимости начальной функции объемной доли спекаемой фазы от радиуса Определена область начальных безразмерных параметров включающих меньший радиус упаковки и два коэффициента в начальной функции объемной доли, в которой существует сферически симметричное решение.

Достоверность полученных результатов следует из корректности физической и математической постановки задач и методов их решения, выполнения законов сохранения, точного задания граничных условий, качественного сравнения с численными и экспериментальными результатами других авторов. Практическая и теоретическая значимость работы.

Введено новое понятие - функция распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной среде, в зависимости от углов наклона ее нормалей и получено уравнение для ее определения. Указанное новое уравнение может применяться как в механике гетерогенных сред, так и в других приложениях, где необходима информация о средних топологических характеристиках поверхности.

Создана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред. Это позволяет при определении указанных параметров не использовать приближенные представления о структуре межфазной поверхности, а использовать точные уравнения для определения удельной межфазной поверхности и других средних характеристик гетерогенной смеси в зависимости от времени и координат

Разработан метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред, который может использоваться при получении выражений для средних параметров вдоль линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью. Указанным методом получены аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды и из них выведены точные формулы для объемных плотностей лапласовских сил, которые необходимы во многих приложениях. Методом дополнительного пространственного осреднения получена точная теоретическая формула, для удельной длины линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью, которая может использоваться в приложениях.

На основе точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, решена задача о спекании в невесомости сферически симметричной упаковки капель, находящейся в несжимаемой жидкости. Указанное точное решение, может быть использовано при моделировании явлений, связанных с разделением жидкостей, например, нефти и воды, масел и воды, жидких металлов и др.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Уравнение для функции распределения удельной площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей и его решение в случае, когда границей раздела является свободная поверхность ньютоновской жидкости.

2. Метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред и полученные этим методом аналоги формулы Стокса и формулы для объемных плотностей лапласовских сил и объемных плотностей момента импульса и мощности лапласовских сил 3 Уравнение для признака - осредненной по межфазной поверхности функции локальных параметров фаз, полученных из уравнения для признака уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности - удельной поверхности и тензора удельной поверхности.

4. Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред.

5. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей.

6. Результаты решения сферически симметричной задачи о спекании в невесомости капель несжимаемой жидкости, находящихся в другой несжимаемой жидкости и упакованных в виде сферического слоя.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах Отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН, в Институте прикладной математики и механики при Томском госуниверситете. Отдельные разделы работы докладывались на семинаре в Институте физики прочности и материаловедения Томского научного центра СО РАН, на 7 Международном симпозиуме по самораспространяющемуся высокотемпературному синтезу (Краков, 2003), на конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (ИФПМ СО РАН, Томск, 2004), на 4 международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент" (Караганда, 2004). Работа полностью докладывалась на семинаре академика Р.И. Нигматулина в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре кафедры математической физики Томского госуниверситета

Публикации Основные результаты исследований опубликованы в 20 работах [4, 8, 10, 12, 18-21, 23-34], из них 19 в журналах и 1 в материалах международной конференции. Некоторые работы выполнены совместно. Щрагер Э.Р [33-34], являясь научным консультантом, принимал участие в обсуждении результатов. Бушланов И.В. [10, 18-20], принимал участие в решении задач. Работа выполнялась в 1989-2004 годах по программам АН СССР и РАН в Отделе структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН и в очной докторантуре Томского госуниверситета в 20012004 годах В ходе исследований автору посчастливилось советоваться и обсуждать многие вопросы с коллегами из НИИ ПММ при ТГУ, ИФПМ СО РАН, Отдела структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН Всем им выражаю глубокую благодарность. С благодарностью вспоминаю совместные образовательные семинары с Бутовым В.Г., Бородиным А.И., Афониным ГИ, Дурневым В.Н. - полученные на семинарах знания постоянно применялись в работе. Глубоко признателен моим учителям - Васенину Игорю Михайловичу и ушедшему из жизни Вилюнову Владимиру Никифоровичу, эрудиция которых, является для меня примером в научной работе. Особая роль в проведении исследований принадлежит Максимову Юрию Михайловичу, внимание и поддержка которого, в сочетании с деликатной требовательностью, привели к появлению данной работы. Я глубоко признателен моим коллегам Зелепугину С.А. предоставившему мне все необходимые образцы документов в электронном виде, что существенно ускорило написание работы, и Смолякову В.К., который сделал замечания, улучшившие качество работы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бушланов, Владимир Петрович

Основные выводы по работе заключаются в следующем: 1 Дано определение функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей. Получено уравнение для указанной функции в предположении, что в гетерогенной среде нет источников "рождения" и "уничтожения" межфазной поверхности (например, образование зародышей в конденсированной фазы в паре, или пузырьков в жидкости). Методом представления решения в виде суммы по индексу j членов ряда из сферических гармоник показано, что решение для функции распределения в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости, состоит из двух независимых сумм, а именно, для значений j < 2 и j>2. Коэффициенты указанных рядов sjm находятся независимо друг от друга, при этом коэффициенты отрезка ряда для значений j<2 выражаются линейно с постоянными коэффициентами через средние топологические параметры межфазной поверхности - компоненты тензора удельной поверхности. Получено решение уравнения для логарифма функции распределения в виде ряда по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. Показано, что коэффициенты ряда выражаются из двух независимых систем уравнений. Система уравнений для коэффициентов ряда при j>2 состоит из независимых друг от друга уравнений. Сделан вывод, что если начальная функция логарифма функции распределения представляется конечным отрезком ряда по сферическим функциям, то и решение будет являться конечным рядом по этим же сферическим функциям. Получено выражение для средней удельной длины линий пересечения межфазной поверхности и плоскости, заданной вектором нормали к ней.

2. Разработана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров, входящих в уравнения механики гетерогенных сред, записанные методом пространственного осреднения. Предложен метод дополнительного пространственного осреднения (ДПО). Указанным методом получены аналоги формулы Стокса, которые выражают осредненные значения инвариантных дифференциальных величин локальных параметров на межфазной поверхности через инвариантные дифференциальные величины от осредненных локальных параметров. Аналоги формул Стокса позволили вычислить среднее значение градиента функции по межфазной поверхности через градиент от среднего значения указанной функции и неизвестную функцию, которая должна определяться из граничных условий на межфазной поверхности для локальных параметров.

3. Сформулирована топологическая гипотеза, позволяющая вычислять осредненное по межфазной поверхности произведение функции, зависящей от локальных координат и функции от локальных компонент нормали к поверхности, через произведение осредненных по межфазной поверхности указанных функций.

4 Получена система уравнений для определения компонент тензора удельной поверхности и система уравнений признаков вида Ф \|/,(t,x)n1 n,m Заданием в указанной системе уравнений признака в виде величин скоростей, давлений и их произведений на компоненты тензора скоростей деформаций, получены уравнения для осредненных по МФП величин скоростей, давлений и их произведений на компоненты тензора скоростей деформаций.

5.Методом дополнительного пространственного осреднения получены точные выражения для объемной плотности лапласовских сил и объемных плотностей мощности и момента импульса лапласовских сил, которые входят в уравнения механики гетерогенных сред.

6. Записаны уравнения механики гетерогенных сред в случае смеси жидкостей, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Получены уравнения для определения осредненных по межфазной поверхности скоростей, давлений, компонент тензоров скоростей деформаций, угловых скоростей, компонент тензора удельной поверхности, удельной поверхности, уравнений для вспомогательных величин < V,'mVp V,1 >12, < p^V^V,'1 >12, е^е™1 >12, <eIpqQ11>12, <Q^Q' >12. Уравнения для осредненных по межфазной поверхности параметров необходимы для получения замкнутой системы уравнений механики гетерогенных сред. Уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности позволяют точным образом определить удельную поверхность, объемные плотности лапласовских сил в гетерогенной среде, а также объемные плотности мощности и момента импульса лапласовских сил гетерогенной среды. Для указанных объемных плотностей получены точные аналитические формулы. Получены для каждой фазы уравнения сохранения массы, импульса, энергии, момента импульса, а также уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды. Получено выражение для тензора полных напряжений гетерогенной среды, которое является полезным для задания граничных условий в напряжениях на границе раздела гетерогенной и однофазной сред.

7. Записаны уравнения механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной границей является поверхность раздела несмешивающихся несжимаемых ньютоновских жидкостей, в ортогональной криволинейной системе координат. Приведены указанные уравнения в сферической системе координат.

8. Решена в сферически симметричной постановке задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой жидкости, окруженных другой жидкостью. В качестве уравнений задачи использованы уравнения механики гетерогенных сред [1] и точные уравнения теории вычисления осредненных по МФП параметров в случае, когда граница разделяет две несжимаемые жидкости. Показано, что безразмерные скорости границ гетерогенного сферического слоя, средние скорости фаз, средняя скорость на межфазной поверхности, объемные доли фаз, удельная межфазная поверхность, средняя по межфазной поверхности лапласовская сила - функции только двух безразмерных параметров. А именно, числа Лапласа L0 = iypJS0d/(ц, - р^) и отношения плотностей фаз у = р,/рг где р,,р ,ц1}|и. - соответственно плотности и динамические вязкости фаз, £0- коэффициент поверхностного натяжения на МФП, d- начальный диаметр капель. Получено гладкое сферически симметричное решение в случае экспоненциальной зависимости от радиуса упаковки начальной функции, задающей объемную долю спекаемой фазы. Получено аналитическое решение задачи о спекании в сферически симметричной постановке для маленьких времен, соответствующих началу спекания Получено численное решение системы точных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения зависимостей радиусов упаковки от времени для чисел Лапласа равных 1400 и 100, в случае, когда первоначально в центральной области упаковки находится фаза жидкости окружающей капли. Из численных решений определены времена существования сферически симметричных решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанная теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в пространственно осредненных уравнениях механики гетерогенных сред на основе функции распределения удельной межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей позволяет моделировать явления в гетерогенных средах, используя точные уравнения для средних параметров фаз на межфазной поверхности. Получены точные уравнения для удельной межфазной поверхности, для тензора удельной поверхности и точные формулы для объемных плотностей лапласовских сил

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бушланов, Владимир Петрович, 2004 год

1. Нигматулин Р И Основы механики гетерогенных сред М . Наука, 1978.-336с

2. Нигматулин РИ. Динамика многофазных сред.- т 1 -М Наука, 1987-463с

3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред.-т2- М.:Наука, 1987.-359с

4. Бушланов В.П. Осредненное выражение для вектора объемной плотности капиллярной силы в спекаемой порошковой смеси // ПМТФ -2000 -т. 41.-№4 -с. 165-167

5. Chandrasekhar S. The stability of a rotating liquid drop // Proc. Roy. Soc. London.- 1965.- V А286,- №1404.-p.l-26.

6. С Чандрасекхар. Эллипсоидальные фигуры равновесия.- М.: Мир, 1973.- 288с.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости,- М. Мир, 1973.-758с.

8. Бушланов В.П. О функции распределения площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования.- 2000.-№10.-с.88-91.

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- т.2.- М.: Наука, 1967.-648с.

10. Бушланов В П., Смолин А.Ю. Модель процесса квазистатического прессования пористых тел // Порошковая металлургия.-1992 -№8 — с.39-43

11. Jagota А, Dawson Р R. Micromechanical modeling of powder compacts -1 Unit problems for sintering and traction induced deformation // Acta metal. -1988.- Vol.36-No 9.- p.2551-2561.

12. Справочник химика M . Химия, 1966 -JL- т.1- с.1026-1029

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.- М.: ГИТТЛ, 1953.-c.143.

14. Седов Л.И. Механика сплошной среды,- т.1.- М. Наука, 1976.- 535с.

15. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- т 2.- М.- Наука, 1976.- 573с.

16. Бушланов В.П., Бушланов ИВ. К теории пространственного осреднения в механике гетерогенных сред // ДАН.- 2002.-t.382.- №3 -с.346-348.

17. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Решение задачи о слиянии сферически упакованных капель ньютоновской жидкости, взвешенных в другой жидкости // Физическая мезомеханика.-2004.-т.7.- Спец. выпуск.- ч.1.- с.50-53.

18. Бушланов В.П. Приближенное решение задачи об осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости в угловой области // Изв. РАН. МЖГ,- 1999.- №1,- с.157-160.

19. Jagota A., Dawson P R. Micromechanical modeling of powder compacts-2. Tmss formulation of discrete packings // Acta metal.- 1988 Vol.36.-No 9 -p 2563-2573

20. Бушланов В.П. Интегральные уравнения для задачи о спекании упаковки капель жидкости, окруженных другой жидкостью // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.- с.58-63

21. Бушланов В.П. Вероятность образования покрытия из термически активных частиц // ПМТФ.- 1992.- с. 26-29.

22. Бушланов В.П. О взаимном тепловом влиянии напыленных частиц на прочность плазменного покрытия // ИФЖ.-1992.- т.62.- №1.- с. 51-56.

23. Shrager E.R., Bushlanov V.P. Calculation of mean specific length of lines, formed by crossing of plane whiz interface in heterogeneous medium // EPT journal (в печати)

24. Я. Френкель. Вязкое течение в кристаллических телах // ЖЭТФ.- 1946.-Т.16.- Вып.1 с.29-38

25. Hua Zhou., Jeffery J. Derby. Three-Dimensional Finite-Element Analysis of Viscous Sintering//J. Am. Ceram. Soc.-1998.- 81 3.-p.533-40.

26. Alfred van de Vorst. Numerical Simulation of Viscous Sintering by a Periodic Lattice of a Representative Unit Cell // J. Am. Ceram. Soc.- 1998.- 81 8.- p.2147-56.

27. Гриняев Ю.В., Чертова H.B. Полевая теория дефектов. Часть 1 // Физическая мезомеханика.-2000.-т.З.-№5.-с. 19-23.

28. Скороход В.В., Солонин С.М. Физико-металлургические основы спекания порошков.-М.: Металлургия, 1984.-159с.

29. Радомысельский И.Д., Щербань Н.И. Некоторые особенности уплотнения порошков на различных стадиях прессования // Порошковая металлургия.-1980.11 .-с. 12-19.

30. Феноменологические теории прессования порошков/ Штерн М.Б., Сердюк Г.Г., Максименко JI.A., Трухан Ю.В., Шуляков Ю.М.-Киев: Наук, думка, 1982.-140с.

31. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания.- Киев:Наук. думка, 1972.-152с.

32. Ковальченко М.С. Теоретические основы горячей обработки пористых материалов давлением.-Киев: Наук, думка, 1980.~240с.

33. Балыиин М.Ю , Кипарисов С.С. Основы порошковой металлургии -М. Металлургия, 1978 -195с

34. Бучацкий JI.M , Столин A.M., Худяев С И Кинетика изменения распределения плотности при горячем одностороннем прессовании вязкого пористого тела // Порошковая металлургия.-1986.-№9.-с.37-42.

35. Скороход В.В , Штерн М.Б., Мартынова Н.Ф Теория нелинейно-вязкого и пластического поведения пористых материалов // Порошковая металлургия.-1987 -№8.-с.23.

36. Никольская JIН., Русанов Б.В., Фридберг Н.Д. О функции пористости, учитывающей контакты частиц в прессовках // Порошковая металлургия.-1988.-№6.-с.23-27

37. Друянов Б.Л., Вартанов К.Б. Термомеханическая теория деформирования пористых и порошковых сред с учетом "самопроизвольного уплотнения" // Порошковая металлургия.-1984.-№11.-с.29-32.

38. Горохов В.М., Ковальченко М.С., Роман О.М. Уплотнение и формоизменение пористых материалов при горячем прессовании в условиях неравномерного трехосного сжатия // Порошковая металлургия.-1983.-№1.-с.8-13.

39. Мартынов Н.Ф., Штерн М.Б. Уравнение пластичности пористого тела, учитывающее истинные деформации материала основы // Порошковая металлургия.-1978 -№1 -с.23-29.

40. ПерельманВ Е. Формование порошковых материалов.-М. Металлургия, 1979 -232с.

41. Мидуков В 3., Рудь В.Д. Экспериментальное исследование пластических деформаций пористых тел // Порошковая металлургия.-1982.-№8.-с 10-16.

42. Смыслов А.Ю. К теории пластичности пористых сред // Известия вузов. Машиностроение.-1980.-№4.-с.107-110.

43. Грин Р.Дж. Теория пластичности пористых тел // "Механика", период, сб. переводов иностр. статей №4.-М.: Мир, 1973.

44. Сегал В.М. Вариант теории пластичности пористого тела // Прикладная механика.-1981 -17.- №3.-с.44-49.

45. Петросян Г.Л. О теории пластичности пористых тел // Известия вузов. Машиностроение.-1977.-№5 .-с. 10-13.

46. Ковальченко М.С. Теория импульсного горячего прессования пористого упруго- пластично-вязкого тела. 1. Модели и основные уравнения // Порошковая металлургия.-1989.-№4.-с.19-26.

47. Велик В Д Связь между плотностью упаковки и координационным числом порошковых смесей. 1 Двухчастичная функция микрочастиц и ее геометрическая интерпретация // Порошковая металлургия 1989 -№6 -с.21-25

48. Велик В.Д Связь между плотностью упаковки и координационным числом порошковых смесей. 2 Нахождение среднего числа контактов и их среднеквадратичного отклонения//Порошковая металлургия. 1989.-№8с. 18-22.

49. Буряченко В А , Липанов A.M. Метод эффективного поля в теории идеальной пластичности композитных материалов.

50. Одолевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. 1 .Матричные двухфазные системы с невытянутыми включениями // ЖЭТФ.-1951 .-т.21 .-вып.6.-с.667-77.

51. Одолевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. 2. Статистические смеси невытянутых частиц // ЖЭТФ.-1951.-т.21.-вып.6.-с.678-85

52. Рудь В.Д., Мидуков В.З. Экспериментальная проверка гипотез пластичности пористых тел // Порошковая металлургия.-1982.-№ 1 .-с. 14-20.

53. Мидуков В.З., Рудь В.Д. Экспериментальное исследование пластических деформаций пористых тел. Обзор // Порошковая металлургия.-1982.-№8 .-с. 10-16.

54. Седов Л.И Математические методы построения новых моделей сплошных сред // УМН.-1965 -т 20 вып.5

55. Бердичевский В Л. Вариационные принципы механики сплошной среды -М Наука, 1983.

56. Гельфанд Б Е Современное состояние и задачи исследований в системе капли жидкости газ // Хим. физ. процессов горения и взрыва Детонация.-Черноголовка, 1977 -с.28-3 9.

57. Годунов С К. Элементы механики сплошной среды.-М. Наука, 1978.-304с.

58. Гольдштик М. А Процессы переноса в зернистом слое.-Новосибирск: ИТФ.- 1984 -163с

59. Иорданский С В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ.-1960 -№3

60. Иорданский С.В., Куликовский А.Г. О движении жидкости, содержащей мелкие частицы // Изв. АН СССР. МЖГ.-№4.-с. 12-20

61. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. Механика многофазных сред // Итоги науки. Гидромеханика.-М.: ВИНИТИ.-1972.-т.6.-с.93-176.

62. Крайко А.Н., Стернин Л.Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами // ПММ.-1965.-т.29, №3.

63. Крайко А.Н., Шрайбер А.А. К построению модели, описывающей в одномерном приближении двухфазное течение с коагуляцией частиц полидисперсного конденсата // ПМТФ.-1974.-№2.-с.67-74.

64. Ляхов Г.И. Волны в грунтах и пористых средах. М.: Наука, 1982.-288с.

65. Мусаев Н Д К двухскоростной механике зернистых пористых сред // ПММ -1985 -т 49 №2 -с.334-336

66. Нигматулин Р И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей // ПММ,-1970 -т 34 №>6.-с. 1097-1112

67. Нигматулин Р.И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред // ПММ.-1971.-т.35 №3 -с.451-463

68. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г А. Механика насыщенных пористых сред. М . Недра, 1970.-336с.

69. Рахматулин Х.А. Основы газовой динамики взаимопроникающих движений сплошных сред // ПММ.-1956.-т.20.- №2.

70. Стернин JI.E. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.- М : Машиностроение, 1974.

71. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А.,Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами.- М.: Машиностроение, 1980.-171 с.

72. Boothroyd R.G. Flowing gas-solids suspensions.-London: Chapman and Hall Ltd, 1971.-Рус. пер.: Бусройд P Т. Течение газа со взвешенными частицами.- М.: Мир, 1975.

73. Hirschfelder J.O.,Curtiss C.F.,Bird R.B. Molecular theory of gases and liquids.- New York: John Wiley and Sons, 1954.-Pyc. пер.: Хиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.- М.: ИЛ, 1961.

74. Soo S.L. Fluid dynamics of multi-phase systems.-Toronto-London, 1967.-Рус. пер.: Coy С. Гидродинамика многофазных систем.- M.: Мир, 1971.-536с.

75. Баренблатт Г И., Ентов В М , Рыжик В М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.- М Недра, 1984 -211с.

76. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.- М. Наука, 1972.

77. Дейч М.Е ,Филиппов Г А Газодинамика двухфазных сред.- М.: Энергоиздат, 1981 .-472с.

78. Николаевский В.Н. Движение углеводородных смесей в пористой среде.- М. • Недра, 1968.

79. Баренблатт Г.И., Винниченко А.П. Неравновесная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Успехи механики.-1980.-т.З.- №3.-с.35-50. 95 Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред М.- Мир, 1975 -592с.

80. Гегузин Я.Е. Физика спекания М/ Наука, 1984.-312с.

81. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания.- Киев: Науковадумка, 1972.-149с.

82. Бердичевский B.JI. Уравнения механики жидкости с частицами. Проблемы осреднения и построения континуальных моделей в механике сплошной среды.- М.: МГУ.-1980.-с.10-35.

83. Буевич Ю.А., Щелчкова И.Н. Континуальная механика монодисперсных суспензий // Препринт ИПМ АН СССР.- М., 1976.-57с.

84. Савицкий А.П. Жидкофазное спекание систем с взаимодействующими компонентами.- Новосибирск.: Наука. Сибирское отделение, 1991.-184с.

85. Сметанин С.В., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Численное исследование слияния капель вязкой жидкости // МЖГ.-2000.-№6.-с.ЗЗ.

86. Гегузин Я.Е. Слияние вязких сфер под влиянием сил поверхностного натяжения // Докл. АН СССР.-1974.-т.217.-№2 с.295-298.

87. Николаевский В.Н Механические свойства грунтов и теория пластичностми.- Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых деформируемых тел, 1976.- 6 с.6-86

88. Каприц. Дж. Сплошные среды с субструктурой Часть 1 // Физическая мезомеханика.-2000.-т 3 -№4 -с.5-14.

89. Каприц. Дж. Сплошные среды с субструктурой Часть 2 // Физическая мезомеханика.-2000.-т.3.-№6.-с.37-50

90. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физическая мезомеханика.-2000.-т.3.-№3.-с 93-96

91. Попов B.JL, Псахье С.Г. Теоретические основы моделирования упруго-пластичных сред методом подвижных клеточных автоматов. 1,Однородные среды // Физическая мезомеханика.-2001.-т.4.-№1.-с.17-28.

92. Иванов Д.С., Ташканов А.А. Физические поля в компонентах композитов с псевдослучайной структурой // Физическая мезомеханика.-2001.-т.4.-№2.-с.29-36.

93. Йошида С. Интерпретация мезомеханических характеристик пластической деформации на основе аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла // Физическая мезомеханика.-2001.-т.4.-№3.-с.29-34.

94. Псахье С Г , Смолин А Ю , Стефанов Ю.П , Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А . Евтушенко Е П Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физическая мезомеханика.-2003 -т 6.-№6.-с 11-21

95. Николаевский В.Н Механика насыщенных пористых сред.- М. Недра, 1970.-355с.

96. Николаевский В.Н Механика пористых и трещиноватых сред.- М.: Недра, 1984.-232с.

97. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах: Математические задачи механики композиционных материалов.-М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.-352с

98. Липанов A.M. Теоретические основы отработки твердых ракетных топлив.-Ижевск: ИПМ УрО РАН, 2003.-92с.

99. Михайлов О.В., Штерн М.Б. Численное моделирование процессов прессования порошковых изделий сложной формы в жестких матрицах: влияние схемы прессования на распределение плотности. 1 .Механическая модель // Порошковая металлургия.-2002.-№11/12.-С.29-36.

100. Zong Z.L., Niemi Е. A class of generalized mid-point algorithms for the Gurson-Tvergaard material model // Int. J. Numer. Method Eng.-1995.-38.-p.2033-2055.

101. Кузьмов А.В., Штерн М.Б. Влияние третьего инварианта на свойства и структуру определяющих соотношений порошковых материалов // Порошковая металлургия.- 2003.-№7/8.-с.1-10

102. Солонин C.M. Расчет величины межфазной поверхности двухкомпонентных порошковых смесей // Порошковая металлургия.-1994.-№3/4.-с.37-41.

103. Штерн М.Б., Майданюк А.П., Кокс А. Влияние третьего инварианта на эффективную реакцию пластических пористых тел. 1 .Поведение элементарной ячейки пористого материала и обобщенное правило нормальности // Порошковая металлургия.- 2002.- №5/6.-с.19-27.

104. Cocks A C. F Inelastic deformations of porous bodies // J. Mech. Phys. Solids/- 1989.- 37 -No 6.-p.693-715.

105. Rice J.R., Tracey D.M. On the ductile enlargement of voids in triaxial stress fields //Ibid.- 1969 -17.-p.201-217.

106. Me. ClintockF.A. A criterion for ductile fracture by growth of holes // Trans. ASME. Series E, J Appl. Mech.- 1968.-35.-p.363-371/

107. Еременко В.Н. Поверхностные явления и их роль в процессах жидкофазного спекания и пропитке пористых тел жидкими металлами // Порошковая металлургия.-2002.-№9/10.-с.30-52.

108. Покровский Г.И. Капиллярные силы в грунтах.-М.: Госстройиздат.-1933.

109. Безымянный Ю Г Возможности акустических методов при контроле структуры и физико-механических свойств пористых материалов // Порошковая металлургия.-2001 -№5/6.-с.23-33

110. Нурканов Е Ю , Кадушников Р М., Каменин И.Г , Алиевский Д.М , Карташов В.В. Исследование плотностных характеристик трехмерных стохастических упаковок сферических частиц с использованием компьютерной модели// Порошковая металлургия.-2001.-№5/6.-с34-42

111. Николенко А.Н. Мезоструктура порошковых материалов // Порошковая металлургия.- 1995.-№11/12.-с.88-94.

112. Волошин В.П, Медведев Н.Н., Фенелонов В.Б., Парман В.Н. Исследование структуры пор в компьютерных моделях плотных и рыхлых упаковок сферических частиц // Журн. структур, химии.- 1999 -40.-№4

113. Кадушников Р М., Скороход В.В., Каменин И.Г., Алиевский В.М , Нурканов Е.Ю., Алиевский Д.М. Компьютерное моделирование спекания сферических частиц // Порошковая металлургия.-2001.-№3/4.-с.71-82.

114. Кадушников P.M., Бекетов А.Р. Геометрическое моделирование структуры полидисперсных материалов // Порошковая металлургия.-1989.-№10.-С.69-74.

115. Кадушников P.M., Алиевский Д.М., Алиевский В.М., Бекетов А.Р. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. 1. Основные положения // Порошковая металлургия.-1991 .-№2.-с. 18-24.

116. Кадушников P.M., Алиевский Д.М., Алиевский В.М., Бекетов А.Р. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. 2.3ональное обособление // Порошковая металлургия.-1991 .-№5.-с.5-10.

117. Кадушников Р М , Алиевский Д М, Алиевский В М , Бекетов А.Р Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. 3.Нормальный рост зерен // Порошковая металлургия.-1991 .-№6.-с.21 -24.