Влияние диффузионных процессов на напряженно-деформированное состояние и устойчивость поверхности упругих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Пыткин, Андрей Владимирович

• Пыткин, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пыткин, Андрей Владимирович

Введение.

Глава I. Устойчивость плоской границы при поверхностной диффузии

1. Задача о полосе, жестко закрепленной на неподвижном основании.

2. Задача о полосе. Общий случай.

3. Роль поверхностного напряжения.

Глава II. Диффузионное воздействие на цилиндрическое тело

1. Устойчивость границы кругового цилиндра при поверхностной диффузии.

2. Влияние объемной дйффузйй", На напряженно-деформированное состояние упругого кольцевого цилиндра.

3. О связи с теорией фильтрации.

Глава III. Влияние напряженно-деформированного состояния на диффузионный процесс

1. Сосредоточенный момент и парадокс Карозерса.

2. Парадокс Карозерса в случае неклассического момента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние диффузионных процессов на напряженно-деформированное состояние и устойчивость поверхности упругих тел»

Проблема диффузионного воздействия на твердые упругие тела давно привлекает к себе внимание ученых, поскольку именно диффузионные процессы во многом определяют кинетику процесса окисления, ползучести, отжига и т.д. [44]. Следствием диффузионного воздействия на твердое упругое тело может быть возникновение дополнительных напряжений, а также изменение формы поверхности тела. Следует различать два возможных механизма диффузионного переноса масс: поверхностная диффузия (диффундирующие атомы перемещаются по поверхности) и объемная диффузия (диффундирующие атомы перемещаются по всему объему тела). Изучение поверхностной и объемной диффузии приводит к необходимости решения совершенно различных дифференциальных уравнений, что обусловлено, в частности, различным видом химического потенциала на поверхности и в объеме.

Устойчивость плоской поверхности напряженного тела при поверхностной диффузии впервые была исследована Р. Азаро и У. Тиллером [4 6]. Позднее эта проблема изучалась во многих работах ( [45], [53]-[55], [58], [59], [61], [65], [72], [73]). В плоской постановке (плоская деформация) эту задачу можно сформулировать следующим образом: на упругое тело, занимающее полуплоскость у<0, действуют растягивающие или сжимающие напряжения ах = ст°. Свободная граница у=0 подвержена действию поверхностной диффузии. Требуется выяснить, является ли плоская форма этой поверхности устойчивой. При анализе устойчивости предполагается, что на этой границе задано некоторое возмущение, т.е. отклонение от прямолинейной формы. Это моделируется заданием синусоидального профиля возмущенной границы у = A(t)coskx , (0.1)

2я где к=— — волновое число, X — длина волны искривленной А. поверхности, A(t) — амплитуда. Предполагается, что в начальный момент времени А(0) = Ао, причем А0^0. Понятно, что если со временем амплитуда А—то поверхность устойчива, а в случае, когда А—>+оо, — неустойчива. Т.о., задача об определении устойчивости поверхности сводится к отысканию зависимости А от времени.

Метод, применяемый в упомянутых статьях, основан на термодинамическом подходе Гиббса [12]. Химический потенциал для поверхности имеет следующий вид:

H = (U-Ky)Q , (0.2) где U — плотность упругой энергии на поверхности, у— коэффициент поверхностного натяжения, к — кривизна поверхности, Q — атомный объем.

Поток массы вдоль поверхности пропорционален градиенту химического потенциала:

J — M* , (0.3) кьТ ds rfleDs— коэффициент поверхностной диффузии, cs— концентрация поверхностных дефектов, кь— постоянная Больцмана, Т— абсолютная температура. Дифференцирование по параметру s означает дифференцирование по направлению, касательному к поверхности.

Из закона сохранения масс следует выражение для скорости движения поверхности в нормальном направлении: m v)n=-Q— . (0.4)

OS

Если форма поверхности описывается функцией h(x, t), причём (h'(x,t)|«1, где ' означает дифференцирование по х, то уравнение (0.4), с учетом (0.2) и (0.3), можно записать в виде: ah D с V02 д2 гтт дХ гх = ss0—-U-y—-1. 0.5 а кЬТ dxzL 1 dx2i

Уравнение (0.5) является линеаризированным уравнением движения свободной поверхности. В случае когда форма поверхности определяется выражением (0.1), это уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка относительно амплитуды A(t) . С учетом начальных и граничных условий, из его решения получается критерий устойчивости :

Х<Х„= 2%Gyn, , (0.6) и (1 — v)(o ) где G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона.

Т.о., главным итогом этих исследований стало установление того факта, что поверхность является устойчивой при малых длинах волн и неустойчивой при больших. Впервые этот результат был получен еще в 1972 году. Заметим, что проведенные эксперименты ([21],[37]) подтверждают образование при определенных условиях гофра на поверхности.

Однако такая постановка проблемы имеет, по меньшей мере, три недостатка. Во-первых, линеаризация задачи дает возможность проследить эволюцию рельефа поверхности лишь на начальной стадии; во-вторых, представляется неоправданным пренебрежение поверхностным напряжением ст8, тем более, что возможен случай когдаа8я»у; в-третьих, для практики было бы полезнее получить решение для тела конечной толщины. Эти причины послужили поводом для довольно большого количества работ по данной тематике.

В 1993 году Ч. Чью и X. Гао рассмотрели эту задачу в геометрически нелинейной постановке [49]. Форма поверхности задается в виде циклоиды: x = £ + Asink£,, y = Acosk£, -qo<^<+qo .

Заметим, что при jh'(x,t)|«l, т.е. при Ак«1, получается прежнее выражение (0.1). Были получены два критических значения для длины волны. Первое из них, Хп1 совпадает с критическим значением Ха, определяемым формулой 4

0.6), а второе ^сн • При А,<Хст1 поверхность устой

71 чива, при <X<Ха2 поверхность становится неустойчивой, а при Х>Хсг2 развитие неустойчивости приводит к образованию на поверхности сингулярных точек. Решение задачи основано на поиске минимума свободной энергии. Существенным недостатком такого подхода является невозможность проследить эволюцию развития формы поверхности1.

В том же году Ж. Грилхе исследовал устойчивость поверхности в линейном приближении, однако с учетом влияния поверхностного напряжения [57]. Основным результатом его работы стало установление несимметричности зоны устойчивости при сжимающих и растягивающих напряжениях.

1 Вообще говоря, в статье[49] приводится уравнение (0.4) для нелинейной задачи, которое может быть сведено к дифференциальному уравнению относительно амплитуды. Однако, оно неразрешимо при изначальном предположении о том, что амплитуда не зависит от пространственных координат.

Наконец, в 1998 году А. Данескью и Ф. Сидоров рассмотрели линейную задачу об устойчивости свободной границы полосы, жестко закрепленной по нижнему краю на неподвижном основании [ 5 0]2.

Исследования по данной тематике велись и в нашей стране. Особо следует отметить работы Я.Е. Гегузина [9], [10], [11]. Он изучил ряд причин, приводящих к сглаживанию синусоидального гофра на поверхности ( объемная и поверхностная диффузия, испарение и конденсация, вязкое течение) и пришел к выводу о том, что вклад поверхностной диффузии в большинстве случаев является решающим. Отметим, что при такой постановке задачи, поверхностная диффузия вызывается лишь поверхностным натяжением и, следовательно, не может привести к увеличению амплитуды гофра. Эта задача также рассматривалась во многих работах зарубежных ученых( [44], [62], [68], [69]). Более общую задачу о потере устойчивости поверхности напряженного тела, когда гофр может как уменьшаться, так и увеличиваться, рассмотрели недавно Н.Ф. Морозов, М.В. Паукшто, П.Е. Тов-стик [17], [18], [19]. Из факторов, влияющих на устойчивость поверхности, были рассмотрены температурные напря

2 К сожалению, в явном виде критерий устойчивости дан лишь в предельном случае, когда толщина пленки стремится к нулю. жения, объемная и поверхностная диффузия. Последний, и в этом случае, оказался определяющим.

Следует отметить статьи ([70], [75]), посвященные выводу более точного выражения для химического потенциала (0.2). Это существенно усложняет процесс решения, однако результаты практически совпадают с полученными ранее, поэтому такой подход представляется автору неоправданным. Более интересной кажется попытка найти плотность упругой энергии из уравнений теории упругости, не пренебрегая при этом величинами углов поворотов [20].

Задача об устойчивости поверхности упругой полосы, на сегодняшний день остается наименее изученным вопросом, поэтому в данной работе ей уделяется повышенное внимание. Этой проблеме посвящена первая глава.

Заметим, что результаты, проведенные в первой главе для поверхностной диффузии, могут быть легко использованы для изучения других поверхностных явлений, например, травления [42], [63].

Во второй главе рассматривается проблема диффузионного воздействия на цилиндрическое тело. Помимо задачи устойчивости, исследуется напряженно-деформируемое состояние в теле с учетом объемной диффузии. Исследование построено на применении нелинейной теории диффузии [23] .

Рассмотрение осесимметричной задачи позволяет решать независимо уравнение диффузии и уравнения Ламе. Интересно отметить, что нелинейное уравнение диффузии совпадает с уравнением фильтрации ньютоновской жидкости в пористой среде([3],[4]).Оно также было рассмотрено в работе [41].

Одним из самых интересных и пока малоисследоанных вопросов является зависимость протекания диффузионного прцесса от напряженно-деформированного состояния в теле [56]. Так в [13], впервые, были получены экспериментальные данные о величине напряжений, возникающих при окислении металлов. Позднее было показано, что эти напряжения достигают величины 1 ГПа ([16], [47]). Таким образом, даже при отсутствии внешних механических напряжений диффузионный процесс всегда протекает в некотором поле напряжений. В связи с этим, в третьей главе рассматривается влияние действия непрерывных и сосредоточенных нагрузок на распределение концентрации.

Результаты первой главы были опубликованы в [28], [29], [31]; второй - в [27], [30]; третьей - в [32], [71] .

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Пыткин, Андрей Владимирович

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. На основании термодинамического подхода Гиббса, при помощи интегральных преобразований, получено аналитическое решение задачи об устойчивости поверхности упругой полосы, жестко закрепленной на неподвижном основании при действии поверхностной диффузии. При этом полученные результаты в одном предельном случае совпадают с результатами Азаро и Тиллера и др.([46], [53], [73]), а в другом — с результатами Сидорова и Данеску [50]. Дан критерий устойчивости, справедливый при возмущении любого периода и полосы произвольной толщины.

2. Получено аналитическое решение более общей задачи об упругом слое, закрепленном на упругой подложке, имеющих различные упругие постоянные. Полученный критерий устойчивости показывает, что оптимальным смысле устойчивости поверхности в случае, когда отношение толщины поверхностного слоя к длине волны возмущения достаточно малая величина, является тело, у которого модуль Юнга подожки много больше модуля Юнга поверхностного слоя. Изменение коэффициентов Пуассона практически не влияет на критерий устойчивости. В случае, когда толщина поверхностного слоя

У J много больше длины волны возмущения, устойчивость поверхности определяется критерием Азаро-Тиллера и, такм образом, не зависит ни от толщины поверхностного слоя, ни от упругих постоянных подложки.

3. Решена задача об устойчивости поверхности упругой полуплоскости при поверхностной диффузии с учетом действия поверхностного напряжения. Уточнены результаты Грилхе[57] и показано, что хотя поверхностное напряжение и вносит асимметрию зоны устойчивости относительно сжимающих и растягивающих напряжений, но его влияние настолько мало, что не представляется возможность объяснять этим фактором наблюдаемое в некоторых экспериментах явление потери устойчивости лишь при сжатии.

4. Получена оценка критического радиуса для устойчивости поверхности упругого кругового цилиндра, подвергающегося действию поверхностной диффузии.

5. Решен ряд задач о диффузионных процессах в упругой напряженной среде (диффузия в полом упругом цилиндре, подверженном действию внутреннего давления, диффузия в бесконечно длинной упругой пластинке, подвергающейся чистому изгибу, диффузия в бесконечной плоскости, подверженной действию сосредоточенной нагрузки: сосредоточенной силы или сосредоточенного момента). Было использована

УЧ. теория[23], учитывающая в выражении для потока вклад упругих напряжений. Несмотря на то, что заметное влияние на распределение концентрации возникает лишь при действии в теле очень больших градиентов упругих напряжений, например при действии сосредоточенной нагрузки, во всех рассмотренных задачах перераспределение концентрации приводило к тому, что часть диффундирующего вещества перемещалось из области сжатия в область растяжения.

6. Рассмотрен вопрос о корректности «классического» определения сосредоточенного момента. Показано, что физически более реалистичная модель момента, неинвариантного относительно поворота, позволяет, в частности, объяснить парадокс Карозерса и оценить влияние сосредоточенного момента на распределение концентрации.

7. Установлена связь между нелинейным уравнением диффузии [23] и уравнением фильтрации ньютоновской жидкости в пористой среде ([3],[4]). Полностью исследована задача о распространении фронта бугра жидкости на непроницаемом водоупоре, когда фронт представляет собой кривую второго порядка.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пыткин, Андрей Владимирович, 2002 год

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости.— М., 197 6.

2. Антонов Н.М., Гусаров В.В., Попов И.Ю. Модель спино-дального распада фаз в условиях гиперболической диффузии. -ФТТ, 1999, том 41, вып.5, с. 907-909.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.— М., 1984.

4. Варенблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория не-ствционарной фильтрации жидкости и газа.— М., 1972.

5. Б.Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей.— Новосибирск, 1962.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1981.

7. Волынский A.JI., Чернов И.В., Вакеев Н.Ф. Явление возникновения регулярного микрорельефа при деформировании полимеров, имеющих твердое покрытие.— ДАН, 1997, том 355, № 4, с. 491-493.

8. Волынский A.JI., Баженов C.JI., Лебедева О.В. и др. Явление потери устойчивости жесткого покрытия при деформировании полимера-подложки.— Высокомолекулярные соединения, Серия А, 1997, том 39, № 11, с. 1805-1811.

9. Гегузин Я.Е. Диффузионная зона.- М. : Наука, 1979.

10. Ю.Гегузин Я.Е. Диффузионные процессы на поверхности кристалла.— М., 1984.

11. И.Гегузин Я.Е. Физика спекания.— М., 1984.

12. Гиббс Д. Термодинамические работы.—М., 1984.

13. Данков П.Д., Чураев П.В.- ДАН СССР, 1950, том 73, № 6, с. 1221.

14. Емельянов В.И., Шлыков Ю.Г.•Нелинейная многомодовая теория генерации поверхностных дефекто-деформационных структур под действием мощного лазерного излучения.— Изв. РАН, Сер. Физич., 1993, том 57, № 12, с. 130-139.

15. Еремеев B.C. Диффузия и напряжения.— М, 1984.

16. Кубашевский О., Гопкина В. Окисление металлов и сплавов.- М., 1965.

17. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. Влияние объемной диффузии на потерю устойчивости поверхностного слоя при термонагружении.— Изв. РАН. МТТ (в печати).

18. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. О депланации грани кристалла в условиях поверхностной диффузии.— Изв. РАН. МТТ, 1999, N1, с. 53-57.

19. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении.— Изв. РАН. МТТ, 1998, N1, с. 130-139.

20. Новожилов В.В. Теория упругости.— JI.: Судпромгиз, 1958.

21. Паридкая Л.Н., Гегузин Я.Е.- ФММ, 406 с.75, 1975.

22. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.— М., 1981.

23. Паукшто М.В. Нестационарная диффузия в упругой среде,— ПММ(в печати).

24. Поверхностная диффузия и растекание.— М, 1961.

25. Подстригач Я.С.- ПМФТ, 1965, №2, с. 67.

26. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И.— Интегралы и ряды.- М., 1981.

27. Пыткин А.В.— Влияние диффузии на напряженно-деформированное состояние полого кругового цилиндра.— Региональная научно-техническая конференция «Корабелы — 300-летию Санкт-Петербурга»: Сб. тез. докл. Ч. II. — СП61МТУ, 1998, с.30.

28. Пыткин А.В. Распространение фронта в задаче о растекании бугра жидкости на непроницаемом водоупоре.— Четвертая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. — СПб., 1999, с.45.

29. Пыткин А.В. Формирование микрорельефа на свободной поверхности твердого тела под действием поверхностной самодиффузии.— Вестник молодых ученых, СПб., 2000, с. 8690 .

30. Пыткин А.В. Влияние упругих напряжений на процесс объемной диффузии.— XXVII Гагаринские чтения. Тезисы докладов Международной научной конференции. Москва, 3-7 апреля 2001 г., том 2, М., 2001, с.162-163.

31. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.— М., 1979.

32. Райченко А.И. Математическая теория диффузии в приложениях.— Киев, 1981.

33. Русанов А.И.— Журнал общей химии, 2000, № 2.

34. Снеддон Я., Преобразования Фурье.— М., 1965.

35. Судьенков Ю.В., Балошин Ю.А., Юревич В.И. Особенности разрушения оптических поверхностей металлов при воздействии коротких лазерных импульсов.— Тр. 8 Всес. конф.

36. Взаимодействие оптического излучения с веществом", JI., Т. 1, с.116, 1990.

37. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.— М., 1979.

38. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.— М., 1977.

39. Уфлянд Я.С. Интегр>альные преобразования в задачах теории упругости,— JI., 1967.

40. Царькова Е.В. О некоторых асимтотических задачах для уравнения диффузии.— Успехи Математических Наук, Т. 42, выпуск 2 (254), с.249-250.

41. Шретер Ю.Г., Тархин Д.В., Хорев С.А., Ребане Ю.Т.-ФТТ, 1999, том 41, вып.8, с. 1416-1418.

42. Штернберг Е., Койтер В. Клин под действием сосредоточенного момента. Парадокс в плоской теории упугости.— Механика, №3,97,195 9.4 4.Шьюмон П. Диффузия в твердых телах.— М., 1966.

43. Alexander J.I.D., Johnson W.S. Thermomechanical equilibruium in solid-fluid sysyems with curved interfaces.- J. Appl. Phys., 58, p.816-824, 1985.

44. Asaro R.J., Tiller W.A. Interface morphology development during stress corrosion cracking: Part I.1. J. и О

45. Via surface diffusion.— Metallurgical Transactions, 3, p.1789-1796, 1972.4 7.Bradhurst D.H., Heuer P.M.- J. Nucl. Mat., 1970, vol. 37, № 1, p.35.

46. Carothers S.D. Plane strain in a wedge.— Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 23, p.292, 1912.4 9.Chiu C., Gao H. Stress singularities along a cycloid rough surface.— Int. J. Solids Structures, 30, p.2983-3012.

47. Eshelby J.D. Energy relations and the energy-momentum tensor in continuum equations.— In Inelastic Behavior of Solids, McGraw-Hill, p. 78-115, 1970.

48. Dundurs J., Markenscoff X. The Sternberg-Koiter conclusion and other anomalies of the concentrated couple.- J. Appl. Mech., 56, p. 240-345, 1989.

49. Freund L.B. Evolution of waviness on the s curface of a strained elastic solid due to stress-driven diffu1. X U JLsion. Intern.— J. Solid Structure, 32, p. 911-923, 1995.

50. Gao H. Stress concentration at slightly undulating surfaces.- J. Mech. Phys. Solids, 39, p. 443-458, 1991,

51. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces.— Int. J. Solids Structures, 28, p. 703-725, 1991.

52. Girinfalco L.A., Welch D.O. Point defects and diffusion in strained metals.— 1967.

53. Grilhe J. Study of roughness formation induced by homogeneous stress at the free surfaces of solids.— Acta raetall. mater., 41, p. 909-913, 1993.

54. Grinfeld M.A. Instability of the separation boundary betwee a nonhydroststically stressed elastic body and г melt.- Sor. Phys. Dokl., 31, p.831-835, 1986.

55. Johnson W.S., Alexander J.I.D. Interfacial conditions for thermomechanical equilibrium in two-phase crystals.-J. Appl. Phys., 59, p.2735-2746, 1986.

56. Herring C. The use of classical macroscopic concepts in surface-energy problems.— Structures and Propities of Solid Surfaces, Chicago, 1953.

57. Leo PcH,, Sekerka R.F. The effect of surface stress on crystal-melt and crystal-crystal equilibrium.— Acta Metallurgica, 33, p.331-357.

58. Markenscoff X. Some remarks on the wedge paradox and Saint-Venant's Principle.— J. Appl. Mech., 61, p. 519523,1994.

59. Markenscoff X., Pauksto M. On the Cavities and Rigid Inclusions Correspondence and the Cosserat Spectrum.- J. Math. Nachr., 177, p. 183-188,1990.1. J.UJ

60. Mullins W.W. Theory of thermal grooving.— J. Appl. Phys., 28, p.333-339, 1957.

61. Mullins W.W. Two-dimensional motion of idealized grain boundaries.- J. Appl. Phys., 27, p.900-904, 1956.

62. Norris A.N. The energy of a growing elastic surface.— Int. J. of Solids and Structures, 8, p.5237-5251, 1998.

63. Paukshto M.V., Pitkin A.V. The Carothers Paradox in the Case of a Nonclassical Couple.— Journal of Applied Mechanics, 2000, Vol. 67, pp.421-422.

64. Rice J.R., Chuang. T.-J. Energy variations in diffusive cavity growth.— J. Am. Ceram. Soc., 64, p. 4 6-53, 1981.

65. Srolovitz D.J. On the stability of surfaces of stressed solids. Acta metall., 37, p. 621-625, 1989.

66. Tranter C.J. The use of Mellin transform in finding the stress distribution in an infinite wedge.— Quart. J. Mech. And Appl. Math.,1, p.125, 1948.

67. Wu C.H. The chemical potential for stress-driven surface diffusion.—J. Mech. Phys. Solids, 44, p. 20592077, 1996.