Анализ течений в тонких слоях высоковязких жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Мелихов, Иван Федорович

• Мелихов, Иван Федорович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Мелихов, Иван Федорович

Введение..........................................................................................4

Обзор литературы............................................................................10

1 Возмущение границы слоя жидкости....................................................19

1.1 Постановка задачи......................................................................19

1.2 Решение в Фурье-пространстве ......................................................21

1.3 Результаты..............................................................................24

1.3.1 Решение задачи для стенки с проскальзыванием............................24

1.3.2 Сравнение с численной моделью ............................................27

1.4 Выводы..................................................................................29

2 Ультразвуковая левитация в ближнем акустическом поле..........................31

2.1 Постановка задачи ......................................................................31

2.2 Анализ масштабов......................................................................33

2.3 Асимптотическое решение............................................................36

2.3.1 Уравнения первого порядка....................................................36

2.3.2 Уравнения второго порядка....................................................38

2.3.3 Граничные условия............................................................39

2.4 Численное решение....................................................................42

2.5 Результаты..............................................................................43

2.5.1 Подъёмная сила................................................................43

2.5.2 Профиль давления..............................................................48

2.6 Выводы ..................................................................................49

3 Течение по наклонному вращающемуся цилиндру....................................50

3.1 Постановка задачи......................................................................50

3.2 Анализ масштабов ......................................................................52

3.3 Асимптотическое решение ............................................................54

3.4 Результаты ..............................................................................57

3.4.1 Существование стационарного решения ....................................58

3.4.2 Устойчивость течения по вертикальному цилиндру ........................59

3.4.3 Малые колебания оси цилиндра около вертикали..........................63

3.4.4 Численное решение............................................................64

3.5 Выводы..................................................................................68

4 Динамика вязкой пластины ..............................................................69

4.1 Постановка задачи......................................................................69

4.2 Построение модели....................................................................70

4.2.1 Анализ масштабов..............................................................70

4.2.2 Асимптотическое разложение ................................................76

4.3 Анализ модели ..........................................................................81

4.4 Колебания вязкой пластины ............................................................83

4.4.1 Линейный анализ малых колебаний..........................................83

4.4.2 Численный анализ нелинейных колебаний ..................................86

4.5 Приложение к описанию клеточных мембран ......................................88

4.6 Выводы ..................................................................................89

Заключение......................................................................................90

Список рисунков................................................................................92

Список таблиц..................................................................................94

Литература ......................................................................................95

A Детали анализа масштабов для задачи об акустической левитации........104

A.1 Безразмерные величины................................................................104

A.2 Выявление пренебрежимо малых слагаемых........................................106

A.3 Окончательные уравнения ............................................................108

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ течений в тонких слоях высоковязких жидкостей»

Актуальность. Задачи течения вязких жидкостей в тонких структурах возникают во многих областях науки и техники. Под «тонкими» мы подразумеваем такие геометрические конфигурации системы, в которых пространственный масштаб в одном направлении несоизмеримо мал с масштабом в другом направлении. К таким задачам можно отнести, например, геофизические проблемы описания движения литосферы, биологические вопросы динамики слёзной плёнки на поверхности глаза, технические аспекты процессов производства определённых продуктов из стекла и полимеров.

Эти столь разнообразные на первый взгляд задачи связывает то, что с точки зрения физики, при некоторых допущениях, они могут быть сведены к изучению динамики ньютоновской жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса. При этом реальные системы довольно сложны не только геометрически, но и включают переменные в пространстве свойства материала (вязкость, плотность). Вследствие этого аналитическое решение таких задач практически невозможно.

Благодаря росту и удешевлению вычислительных систем, численный анализ стал уже классическим подходом для изучения многих прикладных задач. Наиболее распространены и изучены численные методы решения задач теории упругости, теплопроводности и механики жидкости. Современные программно-вычислительные комплексы позволяют в удобной для пользователя форме создавать модели сложных физических явлений. Тем не менее, всё же встречаются классы задач, где «лобовое» применение столь сложных средств может оказаться неэффективным.

Примером такого класса задач как раз и является течение жидкости в тонком слое. С вычислительной точки зрения «тонкость» расчётной области, то есть её протяжённость, является скорее проблемой, чем упрощением системы. Дело в том, что большинство современных подходов к решению уравнений динамики жидкости основаны на сеточных методах (метод конечных элементов, метод конечных объёмов), и построение качественной сетки на столь «узкой» расчётной области вызывает трудности. Дополнительной сложностью, возникающей в задачах со свободной границей, является отслеживание динамики этой свободной границы. Таким образом, задача усложняется тем, что сама расчётная область становится неизвестной величиной. Для решения таких задач существуют различные численные подходы, из которых наибольшую точность даёт метод движущихся сеток, но он же является и наиболее ресурсоёмким.

С другой стороны, из физических соображений понятно, что качественное описание по крайней мере достаточно простых систем может быть получено аналитически. Для анализа системы как раз и используется факт геометрической «вытянутости» системы: вводится малый параметр, являющийся отношением характерных пространственных масштабов. Одним из первых такой подход для описания жидкостей применил Рейнольдс, заложивший основы теории смазки. Он перешёл от нелинейной системы уравнений Навье-Стокса к одному линейному уравнению на давление, которого оказывается достаточно для качественного описания динамики высоковязкой жидкости в тонком канале. Позже аналогичный подход был распространён и на задачи со свободной границей. Благодаря этому толщина, описывающая геометрию в изначальной, полной постановке, становится лишь расчётной переменной на фиксированной области.

Качественно, такой подход позволяет перейти от исходной системы к системе меньшей размерности, сохраняющей, тем не менее, всю нетривиальную динамику изначальной задачи. Например, это означает переход от пространственных уравнений к уравнениям на плоскости. С практической точки зрения, сведение трёхмерной задачи к двумерной позволяет сильно упростить систему уравнений и, если не решить её аналитически, то сделать пригодной для численного решения на сетке меньшей размерности. Также упрощение уравнений облегчает теоретический анализ процессов, происходящих в жидких плёнках.

Объектом исследования настоящей работы являются гидродинамические явления, связанные с динамикой жидкости в тонких структурах. Предмет исследования — математические модели, основанные на уравнениях динамики жидкости, описывающие поведение вязких плёнок.

Цель диссертационного исследования — разработка асимптотических и численных методов для изучения течений вязких жидкостей в тонких слоях при малых числах Рейнольдса.

Для достижения этой цели в диссертации:

1. Построено решение задачи о трансляции деформации одной из границ слоя вязкой жидкости на противоположную границу, являющуюся поверхностью раздела двух жидкостей, проведена проверка применимости построенного решения путём сравнения с результатами численного моделирования;

2. Разработан метод описания явления ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле, проведена проверка корректности метода сравнением с опубликованными результатами численного моделирования и экспериментальными данными;

3. Описано течение плёнки вязкой жидкости по поверхности наклонного вращающегося цилиндра в поле действия силы тяжести, проанализированы случай вертикальной ориентации цилиндра и случай малых колебаний оси цилиндра около вертикали, численно решена задача о цилиндре произвольного наклона;

4. Построено решение задачи динамики вязкой пластины, проанализированы вынужденные колебания вязкой пластины в линейном случае, нелинейные колебания изучены с помощью численных методов.

Теоретическая и практическая значимость работы.

В работе получены новые теоретические результаты, позволяющие строить и анализировать математические модели динамики вязких плёнок.

В ходе работы изучено распространение возмущения границы слоистой структуры на поверхность раздела двух сред и показана зависимость коэффициента затухания от отношения вязкостей двух сред.

Теоретически изучено явление ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле. Результаты построенной математической модели находятся в хорошем соответствии с экспериментальным данными, что позволяет применять эту модель для проектирования и построения транспортировочных систем, основанных на ультразвуковой левитации.

Проведённый анализ устойчивости течения вязкой плёнки по поверхности вращающегося цилиндра позволяет выявить параметры технологических процессов, при которых толщина плёнки будет оставаться максимально однородной. Такая задача возникает, например, при нанесении различных покрытий на кабели. Помимо этого, выявленный резонансный эффект говорит о возможном разрушении плёнки при колебании оси цилиндра с частотой, близкой к частоте вращения. Следовательно, в реальных процессах этого желательно избегать.

Наконец, понимание динамики плёнки со свободными границами важно при производстве полимеров и стекла. Помимо этого такой моделью можно качественно описывать и биологические структуры, например, клеточную мембрану. Проведённый в работе анализ колебаний вязкой пластины позволяет объяснить некоторые аспекты поведения мембраны в ультразвуковом поле.

Методы исследования. В работе использованы асимптотические методы теории возмущений. При построении и анализе асимптотического решения использован векторный анализ, теория уравнений в частных производных, теория рядов Фурье, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение уравнений Навье-Стокса, а также уравнений, полученных в ходе исследований, проводилось методом конечных элементов с использованием пакета COMSOL Multiphysics.

Научная новизна. В ходе работы получены новые теоретические результаты.

• Изучено распространение возмущения границы системы, состоящей из слоя и прилегающего полупространства, заполненных жидкостями различных вязкостей. Найдено выражение, связывающее величину деформации границы с величиной деформации поверхности раздела сред.

• Построена модель ультразвуковой левитации объекта в ближнем акустическом поле, позволяющая одновременно учесть действие как инерциальных, так и вязких сил. Ре-

ализована численная схема, позволяющая рассчитать профиль давления в воздушном зазоре и подъёмную силу, действующую на объект.

• Изучена динамика плёнки жидкости на поверхности вращающегося наклонного цилиндра, предложена численная схема, позволяющая рассчитать толщину плёнки. Проведён анализ устойчивость плёнки на вертикальном цилиндре, а также на цилиндре, ось которого совершает малые колебания около вертикали.

• Предложен способ вывода уравнений динамики вязкой пластины, основанный на едином масштабе продольных и поперечных скоростей. Реализована численная схема, позволяющая решить полученные уравнения. Проанализированы колебания вязкой пластины для случаев распределённой и точечной нагрузок.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами, экспериментальными данными и результатами численного моделирования.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационного исследования были представлены на международных и всероссийских научных конференциях:

1. I. Melikhov, A. Amosov, S. Chivilikhin. Modeling of Near-Field Ultrasonic Levitation: Resolving Viscous and Acoustic Effects // COMSOL Conference 2016 Munich. The Westin Grand München, Munich, Germany. 12.10.2016-15.10.2016.

2. I. F. Melikhov. Asymptotic solution of ultrasonic near-field levitation problem // Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos Workshop". ITMO University, Saint Petersburg, Russia. 14.11.2016-15.11.2016.

3. I. F. Melikhov. Asymptotic analysis of viscous plate model // 50th Anniversary International Conference "Days on Diffraction 2017". Saint Petersburg, Russia. 19.06.2017-23.06.2017.

4. I. F. Melikhov. Dynamics and buckling analysis of a thin viscous sheet // XLV International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". Saint Petersburg, Russia. 22.06.2017-27.06.2017.

5. I. F. Melikhov. Flow of viscous lubrication layer over rotating inclined cylinder // XLVI International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". Saint Petersburg, Russia. 25.06.2018-30.06.2018.

6. И. Ф. Мелихов. Решение задачи о стекании пленки вязкой жидкости по вертикальной стенке под действием силы тяжести // IV Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 07.04.2015-10.04.2015.

7. И. Ф. Мелихов. Решение задачи о стекании пленки вязкой жидкости по наклонному вращающемуся цилиндру под действием силы тяжести // V Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 12.04.2016-15.04.2016.

8. И. Ф. Мелихов. Собственные колебания тонкой вязкой пластины // VI Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 18.04.201721.04.2017.

9. И. Ф. Мелихов. Вынужденные колебания вязкой пластины: случаи распределенной и точечной нагрузок // VII Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 17.04.2018-20.04.2018.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 научных работ, из них 4 статьи в журналах из Перечня ВАК, 1 — в журналах из списков Web of Science / Scopus.

Статьи, входящие в Перечень ВАК:

1. Melikhov, I. F. Response of a stratified viscous half-space to a perturbation of the free surface [Text] / S. A. Chivilikhin, A. S. Amosov, I. F. Melikhov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2013. — Vol. 4. — No. 5. — P. 592-604 (0,76 п. л. / 0,38 п. л.).

2. Melikhov, I. F. Asymptotic solution of ultrasonic near-field levitation problem [Text] / I. F. Melikhov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2017. — Vol. 8. — No. 2. — P. 260-265 (0,36 п. л. / 0,36 п. л.).

3. Мелихов, И. Ф. Устойчивость вязкой пленки на поверхности слабо наклоненного вращающегося вертикального цилиндра [Текст] / И. Ф. Мелихов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. Июнь. — Т. 18. — № 3. — С. 529-534 (0,35 п. л. / 0,35 п. л.).

4. Melikhov, I. F. Asymptotic analysis of thin viscous plate model [Text] / I. F. Melikhov, I. Yu. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2018. August. — Vol. 9. — No. 4. — P. 447-456 (0,60 п. л. / 0,48 п. л.).

Статьи из списков Web of Science / Scopus:

1. Melikhov, I. F. Viscoacoustic model for near-field ultrasonic levitation [Text] / I. F. Melikhov, S. A. Chivilikhin, A. S. Amosov, R. Jeanson // Physical Review E. — 2016. — Vol. 94. — No. 5. — P. 053103 (0,68 п. л. /0,41 п. л.).

Прочие публикации:

1. Мелихов, И. Ф. Эволюция малых возмущений свободной поверхности высоковязкой жидкости [Текст] / С.А. Чивилихин, А.С. Амосов, И.Ф. Мелихов, Т.Н. Погосян // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 20-24 августа 2015 г.): Сборник докладов. — 2015. — С. 4081-4083 (0,18 п. л./0,09 п. л.).

2. Melikhov, I. F. Evolution of Small Perturbations of the Free Surface of Viscous Fluid in the Stokes Approximation [Text] / T. N. Pogosyan, I. F. Melikhov, A. L. Shutova, A. S. Amosov, S.A. Chivilikhin // Hydrodynamics - Concepts and Experiments. — 2015. — P. 139-157 (1,16 п. л. /0,58 п. л.).

3. Melikhov, I. F. Modeling of Near-Field Ultrasonic Levitation: Resolving Viscous and Acoustic Effects [Text] /1. Melikhov, A. Amosov, S. Chivilikhin // Proceedings of the 2016 COMSOL Conference in Munich. — URL: https://www.comsol.com/paper/download/ 357941/melikhov_paper.pdf (дата обращения 28.08.2018). 0,31 п. л./ 0,25 п. л.

Положения, выносимые на защиту.

1. При деформации границы области, состоящей из слоя и полупространства, заполненных двумя разными высоковязкими жидкостями, возмущение поверхности раздела определяется пространственными характеристиками данной деформации границы и соотношением вязкостей жидкостей. Предложенный асимптотический подход позволяет описать этот эффект.

2. Показано существование трёх режимов ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле: вязкий, вязко-акустический и акустический. Режим определяется отношением толщины воздушного зазора к толщине акустического пограничного слоя. Предложенный метод описания левитации, позволяющий вычислить подъёмную силу и распределение давления в зазоре, дал теоретические результаты, находящиеся в хорошем соответствии с экспериментальными данными.

3. Показано существование стационарного течения плёнки вязкой жидкости по наклонному вращающемуся цилиндру в гравитационном поле. Для случая вертикального цилиндра найден критерий потери устойчивости стационарного течения вследствие действия капиллярных и центробежных сил. При малых колебаниях оси цилиндра около вертикали возникает резонансный эффект. Предложенная математическая модель позволяет описать перечисленные явления.

4. Выведены уравнения, описывающие динамику тонкой вязкой пластины. Показано, что вынужденные колебания пластины вследствие точечного периодического воздействия имеют большую амплитуду, чем в случае распределенного воздействия. При больших деформациях пластина становится более жёсткой благодаря нелинейным эффектам.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 108 страниц с 24 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 113 наименований.

Обзор литературы

Системы, которые можно описать с помощью тонких плёнок жидкости или течений в тонких слоях, встречаются в самых разнообразных природных явлениях и технологических процессах. Под «тонкими» структурами мы подразумеваем протяжённые структуры, продольная масштаб которых во много раз превышает их поперечный размер. В геофизике подобным образом описывают движение литосферы [1] и потоки лавы [2]; в биофизике этот подход применяется для изучения плевры лёгких [3] и слезной плёнки, покрывающей глаз [4]; мембрана, покрывающая клетки живых организмов также может быть рассмотрена как тонкая структура, обладающая свойствами жидкости [5; 6]. В промышленности подобные тонкие структуры часто возникают, например, при производстве полимеров [7; 8], стекла [9] или нанесении самых разнообразных покрытий на какие-либо изделия [10].

С физической точки зрения динамика ньютоновской жидкости описывается системой уравнения Навье-Стокса (см., например [11]). В общем случае, это нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных на поле скоростей и давление. В последующих главах данной работы мы рассмотрим особенности течений при различных граничных условиях: в бесконечной области; в зазоре между двух твёрдых тел; по поверхности твёрдого тела, когда плёнка имеет одну свободную поверхность; и плёнка с двумя свободными поверхностями. Аналитическое решение подобных систем удаётся найти лишь в очень редких случаях, а при наличии свободной границы задача усложняется ещё и тем, что расчётная область оказывается неизвестной.

Помимо прочего, одним из типов рассматриваемых нами задач будет исследование малых возмущений границы жидкости, которая может быть как жёсткой стенкой, так и свободной поверхностью. К подобным проблемам относится и изучение рассмотренной в первой главе системы слоя одной жидкости, покрытого полупространством, заполненным другой жидкостью. Важным отличием решений таких проблем является отсутствие требования к малому отношению толщины слоя жидкости к его длине; необходима лишь малость возмущения границы. Эти требования позволяют рассматривать не только длинноволновые (по сравнению с толщиной слоя) возмущения на поверхности жидкости, как это неизбежно происходит при анализе «тонких» структур, но и коротковолновые. Важность такого подхода была отмечена в работе [12], в которой рассматривались неустойчивости слоя вязкой жидкости со свободной поверхностью под воздействием сдвиговых напряжений. Авторы указывали на некорректность применения тонкослойного приближения для описания подобных неустойчивостей, так как предсказанные с его помощью наиболее неустойчивые моды имели в определённых режимах бесконечно малую длину волны, что противоречит границам применимости длинноволнового приближения. Преимуществом подхода, описанного в первой главе, является то, что он позволяет не только описать коротковолновые возмущения, но и получить более точную зависимость скоростей и давления от поперечной координаты, не ограничиваясь лишь первыми членами разложения в ряд Тэйлора. Полученные таким образом результаты могут

быть использованы для оценки корректности и границ применимости моделей, построенных на предположении тонкости слоя. Однако отметим, что предложенный подход ограничен лишь малыми деформациями границы и постоянным коэффициентом вязкости, поэтому он не применим для многих практически интересных задач, для решения которых приходится прибегать к тонкослойному приближению.

Основной особенностью «тонких» структур, таких как плёнки, является то, что их характерный продольный размер много больше характерной толщины. С одной стороны, это осложняет прямое численное моделирование подобных структур. Дело в том, что большинство численных схем строится на основе сеток, притом считается, что стороны сетки должны быть примерно одного размера для достижения приемлемой точности расчёта. Следовательно, для узкой вытянутой области приходится либо сильно уменьшать размер сетки, чтобы получить равносторонние элементы, либо использовать грубую сетку, что сказывается на точности решения. Ещё одна вычислительная проблема возникает в задачах течения со свободной границей, где форма области заранее неизвестна и является расчётной величиной. Для хорошего разрешения свободной поверхности приходится прибегать к расчётам на движущейся сетке, что сильно усложняет вычисления (см., например, [13]).

С другой стороны, предположение о большом отношении характерной длины к толщине слоя позволяет получить ряд эффективных аналитических моделей. Благодаря теоретическим выкладкам удаётся вывести упрощённые уравнения меньшей размерности, описывающие динамику плёнки.

Одним из первых это заметил Рейнольдс, предложивший в 1886 году уравнение смазки [14]. В своей работе Рейнольдс рассмотрел течение вязкой жидкости в тонком зазоре между двух, возможно движущихся, поверхностей. Благодаря малому поперечному размеру системы оказывается возможным пренебречь изменением давления в этом направлении и существенно упростить исходные уравнения Навье-Стокса. Таким образом становится возможным нахождение профиля продольной скорости, пропорциональной градиенту давления. После этого продольная скорость интегрируется поперёк зазора и подставляется в осреднённое уравнение неразрывности, чтобы удовлетворить условию сохранения массы. В итоге получается уравнение на давление, решив которое можно предсказать его распределение вдоль зазора. Эта модель получила широкое применение для описания подшипников.

Работа Рейнольдса заложила основу так называемой «теории смазки», современные приложения которой выходят далеко за рамки описания подшипников [15]. Изначальная формулировка задачи смазки усложняется, рассматриваются системы с дополнительными физическими эффектами. Так например, в работе [16] рассматривается задача вязкого течения внутри упругой трубки малого радиуса. Такая постановка позволяет моделировать течение крови по капиллярам. Одним из других приложений теории смазки является задача об ультразвуковой левитации объектов в ближнем акустическом поле — на расстояниях 5-400 мкм от источника звука. На таких дистанциях в течении воздуха начинают проявляться вязкие эффекты, и ста-

новится возможным применение теории смазки. Эта задача рассмотрена в главе 2 настоящей работы, остановимся на ней подробнее.

В настоящее время технологии акустической левитации, позволяющие удерживать и манипулировать весомым объектом посредством акустического поля, привлекают внимание учёных и инженеров. Существует акустическая левитация двух типов. Первый обычно относится к манипулированию малоразмерными объектами (таких как капли, частицы), помещёнными между акустическим источником и отражателем. Второй тип проявляется при работе с объектами большего размера и характеризуется высотой левитации, много меньшей длины акустической волны. Так как подобные процессы в основном используют ультразвуковые источники, это явление получило название ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле (ultrasonic near-field levitation).

Описанный выше второй вид левитации применяется в промышленности для построения бесконтактных систем транспортировки продуктов, предъявляющих высокие требования к качеству поверхности. Впервые это явление было обнаружено в 1964 году [17]. В скором времени было предложено несколько практических реализаций транспортных систем на основе ультразвуковой левитации. Так, транспортировка, основанная на использовании упругих волн, бегущих по поверхности вибрирующей подложки-направляющей, были изучены в работах [18; 19]. Рассматривались различные конфигурации систем, включая системы с двумя направляющими [20] и направляющими клиновидной формы [21]. В статьях [22; 23] был предложен несколько иной подход: вместо вибрирующих направляющих рассматривается корзина с монтированным ультразвуковым источником. Также были предложены идеи двигателя, в котором ротор удерживается с помощью акустического давления [24], ультразвуковой системы сцепления [25] и использования левитации как замены подшипникам [26; 27].

Говоря о теоретических основах акустического давления, нужно упомянуть о первых работах для невязкой среды [28; 29], выполненных Рэлеем, в которых он поднял вопрос акустического давления. Позже была оценена величина этого давления на сферу, помещённую в акустическое поле [30; 31]. Однако полностью законченную теорию для одномерной системы удалось построить лишь в 1982 Чу и Апфелю [32]. Позже их подход был распространён на задачи большей размерности в статье [33]. Теоретические результаты этих работ использовались для расчёта силы левитации при проектировании систем в вышеупомянутых исследованиях [18-20; 24; 25]. Однако хотя этот «акустический» подход и позволяет быстро рассчитать подъёмную силу, он становится непригодным при малых высотах левитации.

Дело в том, что при высоте левитации, сопоставимой с толщиной акустического пограничного слоя в среде (примерно 15-20 мкм для воздуха при частоте вибрации 20 кГц), необходимо учитывать вязкие эффекты. В случае левитации малых частиц теория была расширена для учёта вязких эффектов [34] и термовязких эффектов [35]. Также были исследованы движение частиц в акустическом поле [36] и их упругая деформация [37]. Однако для левитации в ближнем акустическом поле подобных теорий не разрабатывалось, а для учёта вязких эффектов в приложениях активно используется приближение чисто вязкой жидкости — уже упоминав-

шееся нелинейное уравнение смазки, выведенное в приближение тонкого слоя. Этот подход был использован в работах [22; 23; 27]. Более детально этот метод рассматривался в статьях [38-40] с помощью асимптотических разложений. Однако теория смазки ограничена лишь очень малыми расстояниями левитации, при которых число Рейнольдса остаётся достаточно малым, чтобы пренебречь инерциальными эффектами.

Более точным может быть численное решение исходных нестационарных уравнений Навье-Стокса. В статье [41] представлена численная схема, результаты которой находятся в хорошем соответствии с экспериментом. Похожее исследование было проведено в работе [42]. В этих статьях также показано, что упрощённые модели сильно уступают в точности численному моделированию. Недостатком прямого численного подхода является то, что, несмотря на наибольшую точность результатов, он требует больших вычислительных ресурсов и поэтому не может быть использован в системах управления реального времени.

Отдельно нужно осветить проблему корректно поставленных граничных условий на конце зазора между источником и левитирующем объектом, которая оказывается весьма важной при расчёте акустического давления. В работе [43] был предложен полуэмпирический подход для вычисления скачка давления на краю тонкой плёнки. Позже в статье [44] был представлен другой приближенный метод вычисления скачка давления. Однако этот метод применим только для несжимаемых жидкостей, что некорректно для акустических задач.

Перейдём теперь к рассмотрению другого рода течений — течений, ограниченных твёрдым телом с одной стороны и свободной поверхностью с другой стороны. В этом случае возможно применить идеи, использованные при выводе уравнения смазки. Это объясняется тем фактом, что в таких течениях действие внешних сил, порождающих движение жидкости, уравновешивается силами вязкого трения о подложку. Однако наличие свободной поверхности усложняет вывод определяющих уравнений.

К настоящему времени анализ подобных течений хорошо развит. Как правило, исходные уравнения Навье-Стокса обезразмериваются по тем же характерным масштабам, что и для уравнения смазки. Это позволяет определить слагаемые, которыми впоследствии можно пренебречь. Затем, как и в теории смазки, находится профиль продольной скорости, который зависит теперь от давления и от локальной толщины плёнки. Динамические граничные условия на свободной поверхности позволяют рассчитать давление, тем самым оставив одну неизвестную величину — толщину плёнки. Для её нахождения, как и ранее, продольная скорость интегрируется по толщине и подставляется в осреднённое уравнение неразрывности. Таким способом часто уже в первом приближении удаётся вывести нелинейное уравнение, богатое различными эффектами.

Описание этого подхода в общем виде представлено в обзоре [45]. В этой работе также рассматривается большое число частных задач, отличающихся учтёнными физическими эффектами: поле тяжести, капиллярные силы, межмолекулярное взаимодействие для сверхтонких плёнок, зависимость свойств жидкости от температуры, испарение или конденсация

вещества, наличие поверхностно-активных веществ и другие. В более позднем обзоре на схожую тему [46] уделено внимание многослойным течениям.

Простейшей задачей для изучения различных физических эффектов является течение по плоскости. Но геометрия подложки также может оказывать влияние. В работе [47] предложена модель течения по произвольной криволинейной поверхности. После построения общей теории авторы иллюстрируют её применение на примерах течения по поверхности тора или цилиндра. Позже в работе [48] эта теория была расширена за счёт учёта инерциальных эффектов, которыми, как правило, в подобных задачах пренебрегают. В статье [49] рассматривалась задача о течении плёнки по движущейся криволинейной поверхности. Интересно отметить, что работы [47; 48] используют математический аппарат теории центрального многообразия (см., например, [50; 51]) для оценки погрешности полученной модели. В других работах по этой теме погрешность модели оценивается редко.

Рассмотрим подробнее один класс проблем, к которому относится и задача, рассматриваемая в главе 3 настоящей работы. Речь идёт о течении плёнки жидкости по поверхности вращающегося цилиндра. Одним из первых подобную задачу рассмотрел Моффатт в 1977 году [52]. В своей работе он нашёл критерий существования стационарного течения по поверхности горизонтального цилиндра, тем самым ответив на поставленный им же вопрос: какое количество мёда можно удержать на ложке? Конечно же, результаты, полученные Моф-фаттом, применялись и для множества других процессов. Более того, они возбудили интерес к подобным задачам, который не угасает уже несколько десятилетий. Отметим, что сразу же после статьи Моффатта, в том же году, Пухначёв в работе [53] рассмотрел задачу течения по цилиндру с математической точки зрения и доказал существование и единственность стационарного решения при достаточно малых числах Рейнольдса. Таким образом работа Пухначёва в некоторой степени оправдывает найденные физиками приближённые решения уравнений Навье-Стокса для этой задачи.

После первых статей течение по горизонтальному цилиндру изучалось многими авторами. Рассматривались течения по внутренней стороне цилиндра [54], влияние инерциальных эффектов [55; 56], наличие поверхностно-активных веществ [57] и даже течение магнитных жидкостей [58]. Интерес к этим задачам обуславливается наличием большого количества эффектов при довольно простой постановке задачи и возможности проведения соответствующего эксперимента. В отличии от течения по плоскости (пусть даже наклонной), на цилиндре имеются области, где гравитация «прижимает» жидкость к поверхности и где «отрывает» от неё. При этом на неподвижном цилиндре стационарное решение отсутствует, плёнка стекает по его боковым стенкам и на нижней поверхности цилиндра начинают формироваться капли. При увеличении скорости вращения цилиндра появляются стационарные решения: плёнка «не успевает» стечь. Но при последующем ускорении начинают образовываться неустойчивости, вызванные центробежными силами. К этим эффектам также добавляются явления поверхностного натяжения, влияющие на устойчивость плёнки. Аккуратный вывод уравнений и анализ упомянутых аспектов проведены, например, в статье [59] без вариации толщины в

осевом направлении и в [60] с учётом изменений толщины в осевом направлении. Мы будем ссылаться на эти работы при проверке корректности и анализе уравнений, полученных в главе 3, в которой мы построим модель течения по наклонному цилиндру. При этом угол наклона может быть произвольным. В частности, мы уделим особое внимание случаю вертикального цилиндра. В этом случае, в отличии от горизонтальной или наклонной ориентации, стационарное течение существует и при неподвижном цилиндре.

Отметим, что на вертикальном цилиндре в первую очередь следует ожидать наблюдение эффектов, родственных возникающим при течении плёнки по вертикальной или наклонной плоскости. Так, в одной из первых работ по этой тематике [61], в которой изучался процесс опорожнения пробирок, течение плёнки жидкости по внутренней поверхности цилиндра явно заменяется на течение по вертикальной плоскости, для описания которого предложена простейшая модель. Линейный анализ устойчивости возмущений поверхности плёнки был проведён в работе [62]. Позже Бэнни [63] предложил нелинейное уравнение на толщину плёнки для двумерного течения, выведенное в длинноволновом приближении, где учитываются и инерциальные силы. В трёхмерном случае аналогичный анализ был проведён в [64].

При переходе к течению по вертикальному цилиндру система усложняется и появляются новые эффекты. В частности наличие макроскопической кривизны, порождённой цилиндрической поверхностью, приводит к возникновению неустойчивости Рэлея-Плато, что изучено, например, в [65]. В работе [66] обобщены и перенесены на случай цилиндрической поверхности результаты для течения по плоскости, представленные в работе [63]. При этом отмечается, что проведённый анализ пригоден только для больших радиусов цилиндра по сравнению с толщиной плёнки. Причём при стремлении радиуса цилиндра к бесконечности уравнение на толщину из [66] переходит в аналогичное уравнение из [63]. Схожая задача о течении не плёнки, но отдельных струй и капель изучалась в [67].

Наконец перейдём к рассмотрению третьего типа течений тонких плёнок — ограниченных двумя свободными поверхностями. В отличии от уже рассмотренных систем, здесь отсутствует контакт плёнки с твёрдым телом, поэтому действие внешних сил уравновешивается не силами вязкого трения о стенку, а внутренними вязкими напряжениями. Это отражается на профиле продольной скорости: вместо параболического он становится либо постоянным через толщину при растяжении плёнки, либо линейным при изгибе. Отметим, что исторически задачи о растяжении и изгибе рассматривались отдельно. В частности, это вызвано необходимостью выбора разных масштабов скоростей.

В работе 1906 года [68] было экспериментально изучено растяжение вязкой среды — столба ньютоновской жидкости — и предложена феноменологическая модель проведённого эксперимента. Однако строгие математические модели подобных процессов появились намного позже. Например, в статье [69] строится модель вытяжки стеклянного волокна, в которой автор учитывает вязкие напряжения и силы поверхностного натяжения, а также оценивает вклад инерциальных слагаемых. Описанный подход был расширен и на случай растяжения полых

столбов (труб) с учётом сил поверхностного натяжения: в работе [70] для осесимметричных конфигураций, и в [71] для неосесимметричных геометрий.

Изгиб вязкой нити был экспериментально исследован в работе [72], описывающей потерю устойчивости подгруженного в ртуть вязкого столба, нагруженного с двух концов. В этой же статье предлагалась и простое теоретическое описание наблюдаемых эффектов, основанное вязко-упругой аналогии Рэлея-Стокса. Более строгое теоретическое обоснование, базирующееся на уравнениях динамики вязкой жидкости, было предложено в серии работ [73; 74]. В них, в частности, показано, что для описания изгиба тонкого вязкого объекта необходимо выбирать масштабы скоростей отличные от тех, что используются в теории смазки и при описании растяжения.

Модели вязких нитей, «одномерных» объектов, можно расширить и на «двумерные» объекты: вязкие листы, пластины и оболочки. Например, в работе [75] представлена модель растяжения вязкого листа учитывающая влияние инерциальных эффектов. Однако появление новых слагаемых привело к некорректной постановке задачи в случае сжатия листа. Авторы разрешили эту проблему путём введения нового масштаба времени, зависящего от числа Рей-нольдса. Такая перенормировка позволяет учесть изгиб плёнки на малых масштабах времени, благодаря чему становится возможным регуляризовать задачу. В работе [76] на основе модели растяжения вязкого листа изучаются краевые эффекты утолщения слоя, наблюдающиеся, например, при перетяжке толстого листа стекла в тонкий.

Помимо деформации плоского слоя вязкой жидкости изучались и аналогичные задачи для неплоских объектов — вязких оболочек. Оболочки могут быть также подвержены как растяжению, так и изгибу. Примером процесса первого типа может служить выдувка стекла или полимеров. В статье [49] предложена модель растяжения оболочки, записанная в криволинейной системе координат, эволюционирующей согласовано с движением плёнки. Таким образом, можно сказать, что этот подход использует лагранжево описание движение.

Модель вязкой оболочки, способная описать и растяжение, и изгиб получена в работах [77; 78], в которых также используются криволинейные координаты. В первой статье рассматривается плоская задача, во второй — трёхмерная. В них одновременный учёт двух масштабов скоростей — для растяжения и для изгиба — осуществляется с помощью метода, аналогичного методу сращивания асимптотических разложений. Позже уравнения динамики вязкой оболочки были использованы для создания численной модели [79], предсказывающей её форму в трёхмерных декартовых координатах.

Известно, что сжатие изначально плоского листа, как упругого, так и вязкого, ведёт к потере устойчивости и его изгибу. Связь между сжимающими напряжениями в листе и его устойчивостью была рассмотрена в работе [80]. Более сложная система, описывающая течение вязкого слоя по поверхности другой, более тяжёлой жидкости, изучалась в статье [81], в которой проведён линейный и нелинейный анализ устойчивости листа. Авторы также использовали «составную» модель, подобно [77; 78], учитывающую и растяжение, и изгиб слоя. Этот подход был модифицирован для учёта переменности вязкости поперёк слоя в работе [82].

Уравнения растяжения и изгиба вязкого листа также рассматривались в работах [83; 84] применительно к процессу перетяжки стела. В них показано, что при больших коэффициентах перетяжки в листе возникают сжимающие напряжения, которые приводят к появлению складок. Это явление подтверждается экспериментально. В статье [84] также подробно разобрана аналогия между уравнениями динамики вязкого листа и теорией больших прогибов упругой пластины [85].

Отметим, что во многих из перечисленных работ отмечается аналогия между вязкими и упругими задачами. Однако, классическая теория упругих пластин (см, например, [86; 87]) исторически строится на априорном предположении о распределении деформаций в поперечном направлении. Рассмотрение вязких задач началось намного позже, и для их изучения уже изначально использовался более формальный подход разложения по малому параметру. Тем замечательнее наличие отмеченных аналогий между задачами. Впрочем, строгое обоснование уравнений прогиба упругих пластин представлено, например, в работах [88; 89], хоть и появились они спустя долгое время после возникновения самой теории.

В главе 4 мы получим модель, описывающую растяжение и изгиб вязкой пластины. Эта модель будет аналогичной рассматриваемым в работах [76; 81-84], однако при её выводе мы будем делать упор на формальность и строгость вывода. В частности, мы не будем брать за основу уравнения баланса осреднённых по толщине напряжений из теории упругости, а получим их исходя из уравнений Навье-Стокса. К тому же вместо сшивки двух асимптотических разложений, соответствующих растяжению и изгибу, мы выберем единый масштаб для продольной и поперечной скоростей. Будет показано, что в нулевом порядке малости полученная модель описывает растяжение, в то время как изгиб является эффектом следующего порядка. К теории упругости мы всё же вернёмся уже после вывода уравнений для сравнения результатов и установим аналогии между вязкой и упругой задачами.

В качестве приложений мы рассмотрим задачу о колебаниях вязкой пластины под действием внешней вынуждающей силы. Схожая задача является давно изученной в случае упругой пластины (см., например, [87]), а также была рассмотрена в случае нелинейных колебаний вязкоупругой пластины [90]. Мы проанализируем чисто вязкий случай и покажем, что при малых колебаниях возможно обойтись линейной теорией, однако для рассмотрения больших амплитуд необходимо обращаться уже к нелинейным уравнениям.

Задача о колебаниях вязкой пластины может быть рассмотрена в качестве модели, описывающей динамику клеточной мембраны в ультразвуковом поле. Клеточная мембрана — важнейшая составляющая клеток живых организмов. Она состоит из двойного липидного слоя толщиной 7-8 мкм, включающего в себя молекулы белков [91]. Мембрана имеет защитную функцию, отделяя содержимое клетки от внешней среды, а также играет транспортную роль, пропуская определённые элементы внутрь клетки. Помимо живых клеток, липидные мембраны также используются для создания искусственных везикул. Подобные объекты представляют простую модель, позволяющую изучать физиологические процессы на клеточном уровне [5; 91; 92].

Рассмотренное нами приложение динамики вязкой пластины будет направлено на изучение влияния ультразвукового поля на клеточную мембрану. Это исследование мотивировано экспериментальными результатами, говорящими о том, что мембрана меняет свои свойства под воздействием ультразвука [93], а клетки при определённых условиях могут даже разрушаться [94]. В последней статье показано, что сильное ультразвуковое воздействие приводит к разрушению здоровых и раковых клеток организма, оставляя примерно 65% живых клеток обоих типов. Однако при добавлении наночастиц золота и последующем облучении ультразвуком баланс выживших клеток меняется: 60% для здоровых и 30% для раковых. Проведённый с помощью микроскопа анализ клеток показывает, что раковые клетки имели более рваные границы. Это позволяет говорить о том, что разные клетки по-разному ведут себя в ультразвуковом поле, и мембраны раковых клеток разрушаются быстрее. Эта экспериментальная работа открывает возможность избирательного уничтожения клеток. Однако для успешной реализации такой технологии необходимо понимание поведения клеток в ультразвуковом поле и его зависимости от свойств клетки.

Исследования физических процессов в клеточных мембранах представлены в литературе. Например, в статьях [6; 95] изучалась релаксация клеточных мембран. С точки зрения механики, клетка может рассматриваться как сложное вязко-упругое тело [96]. Однако в большинстве работ клеточная мембрана рассматривается как двумерная жидкость, которая в поперечном направлении ведёт себя упругим образом [95; 97; 98]. В нашей модели мы предлагаем другой, тоже упрощённый, подход описания мембраны как чисто вязкого тела.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мелихов, Иван Федорович

В ходе работы были проанализированы течения вязких жидкостей в тонких слоях различных конфигураций. На основе теории возмущений и асимптотических методов были построены аналитические модели, описывающие динамику вязких плёнок, а также реализованы численные схемы, позволяющие получить количественные характеристики динамики системы. В работе рассмотрены задачи, численное решение которых на основе общих уравнений Навье-Стокса, крайне затруднено: течение в бесконечной области; течение с подвижной, быстро осциллирующей границей; течения со свободными поверхностями. Благодаря проведённому асимптотическому анализу нам удалось свести эти задачи к более простым уравнениям, которые тем не менее улавливают всю нетривиальную динамику системы. Это и позволило получить как качественные аналитические оценки, так и реализовать эффективные численные схемы.

В первой главе был предложен асимптотический подход к исследованию возмущения поверхности раздела двух вязких жидкостей, заключённых в слое конечной толщины и прилегающем полупространстве, вследствие деформации границы области. Было получено соотношение, связывающее Фурье-образ возмущения поверхности раздела с Фурье-образом деформации границы области. Сравнение с результатами численной модели показало, что полученное соотношение остаётся справедливым даже в случае, когда амплитуда возмущения границы составляет половину толщины слоя, и формально не может называться малой.

Во второй главе построен метод описания ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле — явления, при котором некоторый объект парит над источником звука на расстояниях до 400 мкм. Предложенный метод позволяет в одной модели учесть как вязкие, так и инерциальные, акустические, эффекты. Модель позволила нам выделить три режима левитации. При высоте левитации меньше толщины пограничного слоя, течение в воздушном зазоре можно считать число вязким и описывать с помощью теории смазки. При больших высотах пограничный слой оказывается несоизмеримо мал по сравнению с толщиной зазора, и становится возможным описать явление с помощью акустического похода. Однако существует и третий, промежуточный режим, в котором вязкие и инерциальные эффекты оказываются одного порядка. Построенная модель обладает тем преимуществом, что позволяет естественно описать все три режима. Полученные результаты хорошо соотносятся с имеющимися результатами численного расчёта и экспериментальными данными.

В третьей главе разработана математическая модель течения плёнки вязкой жидкости по поверхности наклонного вращающегося цилиндра под действием гравитационных и капиллярных сил. С помощью асимптотических методов оказалось возможным перейти от уравнений Навье-Стокса со свободной границей к одному уравнению, описывающему динамику толщины плёнки. В нулевом приближении была получена оценка критерия существования стационарного решения: вращение должно быть достаточно быстрым, чтобы жидкость не начала «капать» с цилиндра. В случае вертикального цилиндра был проведён анализ устойчивости плёнки однородной толщины и получена диаграмма устойчивости. Также мы показали, что если ось цилиндра совершает малые колебания около вертикали, может возникнуть резонансный эффект при совпадении частот колебаний с частотой вращения цилиндра. Помимо этого была разработана численная схема, позволяющая рассчитать толщину плёнки на цилиндре произвольного наклона.

В четвёртой главе был разработан асимптотический подход к задаче о динамике тонкой вязкой пластины под действием внешних сил. Одной из особенностью предложенного подхода является то, что он допускает рассмотрение одного единого масштаба продольных и поперечной скоростей и позволяет описать как растяжение, так и изгиб пластины. В ранее опубликованных подходах эти две задачи рассматривались с разными масштабами скоростей, а потом проводилась сшивка асимптотических разложений. Полученная модель была использована для изучения вынужденных колебаний вязкой пластины под воздействием распределённой и точечной нагрузок. Аналитически были изучены линейные колебания, в то время как численные методы позволили рассмотреть нелинейные колебания. Полученные результаты могут быть использованы для качественного описания поведения мембраны живой клетки в ультразвуковом поле при отсутствии и наличии наночастиц золота.

Отметим, что предложенные в работе методы и подходы к описанию динамики вязких течений в тонких слоях могут быть применены и для других задач, отличающихся геометрией, наличием прочих физических эффектов (тепловых, молекулярных, электрических и др. взаимодействий). Полученные результаты помогают лучше понять на качественном уровне физические процессы, происходящие в вязких плёнках, а также позволяют разрабатывать эффективные численные методы для их количественного анализа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мелихов, Иван Федорович, 2018 год

1. Ribe N. M. Buckling instabilities of subducted lithosphere beneath the transition zone [Текст] / N. M. Ribe, E. Stutzmann, Y. Ren, R. van der Hilst // Earth and Planetary Science Letters. - 2007. - Vol. 254. - P. 173-179.

2. Griffiths R. W. The Dynamics of Lava Flows [Текст] / R. W. Griffiths // Annual Review of Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 32, no. 1. - P. 477-518.

3. Grotberg J. B. Respiratory Fluid Mechanics and Transport Processes [Текст] / J. B. Grot-berg // Annual Review of Biomedical Engineering. - 2001. - Vol. 3, no. 1. - P. 421457.

4. Wong H. Deposition and Thinning of the Human Tear Film [Текст] / H. Wong, I. Fatt, C. J. Radke // Journal of Colloid and Interface Science. - 1996. - Vol. 184, no. 1. - P. 44-51.

5. Baumgart T. Imaging coexisting fluid domains in biomembrane models coupling curvature and line tension [Текст] / T. Baumgart, S. T. Hess, W. W. Webb // Nature. - 2003. -Vol. 425, no. 6960. - P. 821-824.

6. Okamoto, Ryuichi. Relaxation dynamics of two-component fluid bilayer membranes [Текст] / Okamoto, Ryuichi, Kanemori, Yuichi, Komura, Shigeyuki, Fournier, Jean-Baptiste // The European Physical Journal E. - 2016. - Vol. 39, no. 5. - P. 52.

7. Pearson J. R. Mechanics of Polymer Processing [Текст] / J. R. Pearson. - Springer Netherlands, 1985. - 732 p.

8. Gupta R. K. Modeling of polymeric film-blowing processes [Текст] / R. K. Gupta, A. B. Metzner, K. F. Wissbrun // Polymer Engineering and Science. - 1982. - Vol. 22, no. 3. -P. 172-181.

9. Pilkington L. A. B. Review Lecture. The Float Glass Process [Текст] / L. A. B. Pilkington // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. -1969. - Vol. 314, no. 1516. - P. 1-25.

10. Weinstein S. J. Coating flows [Текст] / S. J. Weinstein, K. J. Ruschak // Annual Review of Fluid Mechanics. - 2004. - Vol. 36, no. 1. - P. 29-53.

11. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10-ти т. Т. VI. Гидродинамика [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. — 736 с.

12. Benjamin T. B. Buckling instabilities in layers of viscous liquid subjected to shearing [Текст] / T. B. Benjamin, T. Mullin // Journal of Fluid Mechanics. - 1988. - Vol. 195. - P. 523.

13. Donea J. Arbitrary Lagrangian-Eulerian Methods [Текст] / J. Donea, A. Huerta, J. Ponthot, A. Rodriguez-Ferran // Encyclopedia of Computational Mechanics. — American Cancer Society, 2004. — Chap. 14.

14. Reynolds O. On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr. Beauchamp Tower's Experiments, Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil [Текст] / O. Reynolds // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. — 1886. — Vol. 177. — P. 157-234.

15. Hamrock B. J. Fundamentals of Fluid Film Lubrication [Текст] / B. J. Hamrock, S. R. Schmid, B. O. Jacobson. — 2nd ed. — CRC Press, 2004. — 728 p. — (Mechanical engineering).

16. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of the Stokes flow in a thin cylindrical elastic tube [Текст] / G. P. Panasenko, R. Stavre // Applicable Analysis. — 2012. — Vol. 91, no. 11. — P. 1999-2027.

17. Salbu E. O. J. Compressible Squeeze Films and Squeeze Bearings [Текст] / E. O. J. Salbu // Journal of Basic Engineering. — 1964. — Vol. 86, no. 2. — P. 355-364.

18. Hashimoto Y. Near-field acoustic levitation of planar specimens using flexural vibration [Текст] / Y. Hashimoto, Y. Koike, S. Ueha // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1996. — Vol. 100, no. 4. — P. 2057-2061.

19. Hashimoto Y. Transporting objects without contact using flexural traveling waves [Текст] / Y. Hashimoto, Y. Koike, S. Ueha // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1998. — Vol. 103, no. 6. — P. 3230-3233.

20. Ueha S. Non-contact transportation using near-field acoustic levitation [Текст] / S. Ueha, Y. Hashimoto, Y. Koike // Ultrasonics. — 2000. — Vol. 38. — P. 26-32.

21. Ide T. A non-contact linear bearing and actuator via ultrasonic levitation [Текст] / T. Ide, J. Friend, K. Nakamura, S. Ueha // Sens. Actuators, A. — 2007. — Vol. 135, no. 2. — P. 740-747.

22. Yoshimoto S. Float Characteristics of Squeeze-Film Gas Bearing with Elastic Hinges for Linear Motion Guide [Текст] / S. Yoshimoto, Y. Anno, Y. Sato, K. Hamanaka // JSME International Journal Series C. — 1997. — Vol. 40, no. 2. — P. 353-359.

23. Yoshimoto S. Float characteristics of a squeeze-film air bearing for a linear motion guide using ultrasonic vibration [Текст] / S. Yoshimoto, H. Kobayashi, M. Miyatake // Tribology International. — 2007. — Vol. 40, no. 3. — P. 503-511.

24. Hu J. An analysis of a noncontact ultrasonic motor with an ultrasonically levitated rotor [Текст] / J. Hu, K. Nakamura, S. Ueha // Ultrasonics. — 1997. — Vol. 35, no. 6. — P. 459-467.

25. Chang K.-T. A novel ultrasonic clutch using near-field acoustic levitation [Текст] / K.-T. Chang // Ultrasonics. — 2004. — Vol. 43, no. 1. — P. 49-55.

26. Wang C. Levitation characteristics of a squeeze-film air journal bearing at its normal modes [Текст] / C. Wang, Y. H. J. Au // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. — 2011. — Vol. 60, no. 1. — P. 1-10.

27. Zhao S. An ultrasonic levitation journal bearing able to control spindle center position [Текст] / S. Zhao, S. Mojrzisch, J. Wallaschek // Mechanical Systems and Signal Processing. — 2013. — Vol. 36, no. 1. — P. 168-181.

28. Rayleigh L. XXXIV. On the pressure of vibrations [Текст] / L. Rayleigh // Philosophical Magazine Series 6. — 1902. — Vol. 3, no. 15. — P. 338-346.

29. Rayleigh L. XLII. On the momentum and pressure of gaseous vibrations, and on the connexion with the virial theorem [Текст] / L. Rayleigh // Philosophical Magazine Series 6. — 1905. — Vol. 10, no. 57. — P. 364-374.

30. King L. V. On the Acoustic Radiation Pressure on Spheres [Текст] / L. V. King // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1934. — Vol. 147, no. 861. — P. 212-240.

31. Горьков Л. П. О силах, действующих на малую частицу в акустическом поле в идеальной жидкости [Текст] / Л. П. Горьков // Доклады Академии наук СССР. — 1961. — Т. 140, № 1. — С. 81—91.

32. Chu B.-T. Acoustic radiation pressure produced by a beam of sound [Текст] / B.-T. Chu, R. E. Apfel // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1982. — Vol. 72, no. 6. — P. 1673-1687.

33. Lee C. P. Acoustic radiation pressure [Текст] / C. P. Lee, T. G. Wang // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1993. — Vol. 94, no. 2. — P. 1099-1109.

34. Settnes M. Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid [Текст] / M. Settnes, H. Bruus // Physical Review E. — 2012. — Vol. 85, no. 1. — P. 016327.

35. Muller P. B. Numerical study of thermoviscous effects in ultrasound-induced acoustic streaming in microchannels [Текст] / P. B. Muller, H. Bruus // Phys. Rev. E. — 2014. — Vol. 90, no. 4. — P. 043016.

36. Muller P. B. Ultrasound-induced acoustophoretic motion of microparticles in three dimensions [Текст] / P. B. Muller, M. Rossi, A. G. Marin, R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell, C. J. Kahler, H. Bruus // Physical Review E. — 2013. — Vol. 88, no. 2. — P. 023006.

37. Karlsen J. T. Forces acting on a small particle in an acoustical field in a thermoviscous fluid [Текст] / J. T. Karlsen, H. Bruus // Phys. Rev. E. - 2015. - Vol. 92, no. 4. - P. 043010.

38. Minikes A. Coupled dynamics of a squeeze-film levitated mass and a vibrating piezoelectric disc: numerical analysis and experimental study [Текст] / A. Minikes, I. Bucher // Journal of Sound and Vibration. - 2003. - Vol. 263, no. 2. - P. 241-268.

39. Minikes A. Levitation force induced by pressure radiation in gas squeeze films [Текст] / A. Minikes, I. Bucher, S. Haber // The Journal of the Acoustical Society of America. -2004. - Vol. 116, no. 1. - P. 217-226.

40. Ilssar D. On the slow dynamics of near-field acoustically levitated objects under High excitation frequencies [Текст] / D. Ilssar, I. Bucher // J. Sound Vib. - 2015. - Vol. 354. -P. 154-166.

41. Nomura H. Theoretical and experimental examination of near-field acoustic levitation [Текст] / H. Nomura, T. Kamakura, K. Matsuda // The Journal of the Acoustical Society of America. - 2002. - Vol. 111, no. 4. - P. 1578-1583.

42. Minikes A. Comparing numerical and analytical solutions for squeeze-film levitation force [Текст] / A. Minikes, I. Bucher // Journal of Fluids and Structures. - 2006. - Vol. 22, no. 5. - P. 713-719.

43. Turns S. R. Annular Squeeze Films With Inertial Effects [Текст] / S. R. Turns // Journal of Lubrication Technology. - 1983. - Vol. 105, no. 3. - P. 361-363.

44. Li J. Influence of gas inertia and edge effect on squeeze film in near field acoustic levitation [Текст] / J. Li, W. Cao, P. Liu, H. Ding // Applied Physics Letters. - 2010. - Vol. 96, no. 24. - P. 243507.

45. Oron A. Long-scale evolution of thin liquid films [Текст] / A. Oron, S. H. Davis, S. G. Bankoff// Reviews of Modern Physics. - 1997. - Vol. 69, issue 3. - P. 931-980.

46. Craster R. V. Dynamics and stability of thin liquid films [Текст] / R. V. Craster, O. K. Matar // Reviews of Modern Physics. - 2009. - Vol. 81, no. 3. - P. 1131-1198.

47. Roy R. V. A lubrication model of coating flows over a curved substrate in space [Текст] / R. V. Roy, A. J. Roberts, M. E. Simpson // Journal of Fluid Mechanics. - 2002. - Vol. 454. - P. 235-261.

48. Roberts A. J. An accurate and comprehensive model of thin fluid flows with inertia on curved substrates [Текст] / A. J. Roberts, Z. Li // Journal of Fluid Mechanics. - 2006. -Vol. 553. - P. 33-73.

49. Van De Fliert B. W. Pressure-driven flow of a thin viscous sheet [Текст] / B. W. Van De Fliert, P. D. Howell, J. R. Ockenden // Journal of Fluid Mechanics. - 1995. - Vol. 292. -P. 359-376.

50. Carr J. Applications of Centre Manifold Theory [Текст]. Vol. 35 / J. Carr. — Springer-Verlag New York, 1981. — 142 p. — (Applied Mathematical Sciences).

51. Haragus M. Local Bifurcations, Center Manifolds, and Normal Forms in Infinite-Dimensional Dynamical Systems [Текст] / M. Haragus, G. Iooss. — Springer-Verlag London, 2011. — 329 p. — (Universitext).

52. Moffatt H. K. Behaviour of a viscous film on the outer surface of a rotating cylinder [Текст] / H. K. Moffatt // Journal de Mecanique. — 1977. — Vol. 16, no. 5. — P. 651-673.

53. Пухначёв В. В. Движение жидкой пленки на поверхности вращающегося цилиндра в поле тяжести [Текст] / В. В. Пухначёв // Прикладная механика и техническая физика. — 1977. — № 3. — С. 78—88.

54. Aggarwal H. Generalized linear stability of non-inertial rimming flow in a rotating horizontal cylinder [Текст] / H. Aggarwal, N. Tiwari // The European Physical Journal E. — 2015. — Vol. 38, no. 10. — P. 111.

55. Benilov E. S. Inertial instability of flows on the inside or outside of a rotating horizontal cylinder [Текст] / E. S. Benilov, V. N. Lapin // Journal of Fluid Mechanics. — 2013. — Vol. 736. — P. 107-129.

56. Groh C. M. Inertially induced cyclic solutions in thin-film free-surface flows [Текст] / C. M. Groh, M. A. Kelmanson // Journal of Fluid Mechanics. — 2014. — Vol. 755. — P. 628-653.

57. Li W. Three-dimensional surfactant-covered flows of thin liquid films on rotating cylinders [Текст] / W. Li, S. Kumar // Journal of Fluid Mechanics. — 2018. — Vol. 844. — P. 61-91.

58. Weidner D. E. Drop formation in a magnetic fluid coating a horizontal cylinder carrying an axial electric current [Текст] / D. E. Weidner // Physics of Fluids. — 2017. — Vol. 29, no. 5. — P. 052103.

59. Evans P. L. Steady and unsteady solutions for coating flow on a rotating horizontal cylinder: Two-dimensional theoretical and numerical modeling [Текст] / P. L. Evans, L. W. Schwartz, R. V. Roy // Physics of Fluids. — 2004. — Vol. 16, no. 8. — P. 2742-2756.

60. Evans P. L. Three-dimensional solutions for coating flow on a rotating horizontal cylinder: Theory and experiment [Текст] / P. L. Evans, L. W. Schwartz, R. V. Roy // Physics of Fluids. — 2005. — Vol. 17, no. 7. — P. 072102.

61. Jeffreys H. The Draining of a Vertical Plate [Текст] / H. Jeffreys // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1930. — Vol. 26, no. 2. — P. 204.

62. Benjamin T. B. Wave formation in laminar flow down an inclined plane [Текст] / T. B. Benjamin // Journal of Fluid Mechanics. — 1957. — Vol. 2, no. 6. — P. 554.

63. Benney D. J. Long Waves on Liquid Films [Текст] / D. J. Benney // Journal of Mathematics and Physics. — 1966. — Vol. 45. — P. 150-155.

64. Joo S. W. Instabilities of three-dimensional viscous falling films [Текст] / S. W. Joo, S. H. Davis // Journal of Fluid Mechanics. - 1992. - Vol. 242. - P. 529.

65. Frenkel A. L. Nonlinear Theory of Strongly Undulating Thin Films Flowing Down Vertical Cylinders [Текст] / A. L. Frenkel // Europhysics Letters (EPL). - 1992. - Vol. 18, no. 7. -P. 583-588.

66. Frenkel A. L. On evolution equations for thin films flowing down solid surfaces [Текст] / A. L. Frenkel // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. - 1993. - Vol. 5, no. 10. -P. 2342-2347.

67. Mayo L. C. Gravity-driven fingering simulations for a thin liquid film flowing down the outside of a vertical cylinder [Текст] / L. C. Mayo, S. W. McCue, T. J. Moroney // Physical Review E. - 2013. - Vol. 87, no. 5. - P. 053018.

68. Trouton F. T. On the Coefficient of Viscous Traction and Its Relation to that of Viscosity [Текст] / F. T. Trouton // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1906. - Vol. 77, no. 519. - P. 426-440.

69. Geyling F. T. Basic Fluid-Dynamic Considerations in the Drawing of Optical Fibers [Текст] / F. T. Geyling // Bell System Technical Journal. - 1976. - Vol. 55, no. 8. - P. 1011-1056.

70. Griffiths I. M. The surface-tension-driven evolution of a two-dimensional annular viscous tube [Текст] / I. M. Griffiths, P. D. Howell // Journal of Fluid Mechanics. - 2007. -Vol. 593. - P. 181-208.

71. Griffiths I. M. Mathematical modelling of non-axisymmetric capillary tube drawing [Текст] / I. M. Griffiths, P. D. Howell // Journal of Fluid Mechanics. - 2008. - Vol. 605. - P. 181206.

72. Taylor G. I. Instability of jets, threads, and sheets of viscous fluid [Текст] / G. I. Taylor // Applied Mechanics. - Springer Berlin Heidelberg, 1969. - P. 382-388.

73. Buckmaster J. D. The buckling and stretching of a viscida [Текст] / J. D. Buckmaster, A. Nachman, L. Ting // Journal of Fluid Mechanics. - 1975. - Vol. 69, no. 1. - P. 1-20.

74. Buckmaster J. D. The buckling and stretching of a viscida II. Effects of surface tension [Текст] / J. D. Buckmaster, A. Nachman // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. - 1978. - Vol. 31, no. 2. - P. 157-168.

75. Howell P. D. Models for thin viscous sheets [Текст] / P. D. Howell // European Journal of Applied Mathematics. - 1996. - Vol. 7, no. 4. - P. 321-343.

76. O'Kiely D. Edge behaviour in the glass sheet redraw process [Текст] / D. O'Kiely, C. J. W. Breward, I. M. Griffiths, P. D. Howell, U. Lange // Journal of Fluid Mechanics. - 2015. -Vol. 785. - P. 248-269.

77. Ribe N. M. Bending and stretching of thin viscous sheets [Текст] / N. M. Ribe // Journal of Fluid Mechanics. - 2001. - Vol. 433. - P. 135-160.

78. Ribe N. M. A general theory for the dynamics of thin viscous sheets [Текст] / N. M. Ribe // Journal of Fluid Mechanics. — 2002. — Vol. 457. — P. 255-283.

79. Batty C. Discrete Viscous Sheets [Текст] / C. Batty, A. Uribe, B. Audoly, E. Grinspun // ACM Transactions on Graphics. — New York, NY, USA, 2012. — Vol. 31, no. 4. — P. 113.

80. Filippov A. Dynamics and shape instability of thin viscous sheets [Текст] / A. Filippov, Z. Zheng // Physics of Fluids. — 2010. — Vol. 22, no. 2. — P. 023601.

81. Pfingstag G. Linear and nonlinear stability of floating viscous sheets [Текст] / G. Pfingstag, B. Audoly, A. Boudaoud // Journal of Fluid Mechanics. — 2011. — Vol. 683. — P. 112-148.

82. Pfingstag G. Thin viscous sheets with inhomogeneous viscosity [Текст] / G. Pfingstag, B. Audoly, A. Boudaoud // Physics of Fluids. — 2011. — Vol. 23, no. 6. — P. 063103.

83. Perdigou C. The viscous curtain: General formulation and finite-element solution for the stability of flowing viscous sheets [Текст] / C. Perdigou, B. Audoly // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2016. — Vol. 96. — P. 291-311.

84. Srinivasan S. Wrinkling instability of an inhomogeneously stretched viscous sheet [Текст] / S. Srinivasan, Z. Wei, L. Mahadevan // Physical Review Fluids. — 2017. — Vol. 2, no. 7. — P. 074103.

85. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки [Текст] / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — М.: Наука, 1966. — 636 с.

86. Ляв А. Математическая теория упругости [Текст] / А. Ляв; под ред. Н. И. Февралева. — М. ; Л.: ОНТИ НКТП СССР. Гл. ред. общетехн. лит. и номографии, 1935. — 674 с.

87. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учеб. пособие [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. — 248 с.

88. Ciarlet P. G. Justification of the two-dimensional linear plate model [Текст] / P. G. Ciarlet, P. Destuynder // Journal de mecanique. — 1979. — Vol. 18, no. 2. — P. 315-344.

89. Lebee A. Justification of the Bending-Gradient Theory Through Asymptotic Expansions [Текст] / A. Lebee, K. Sab // Advanced Structured Materials: in 22 vols. — Springer Berlin Heidelberg, 2013. — P. 217-236.

90. Esmailzadeh E. Nonlinear Oscillations of Viscoelastic Rectangular Plates [Текст] / E. Es-mailzadeh // Nonlinear Dynamics. — 1999. — Vol. 18, no. 4. — P. 311-319.

91. Alberts B. Molecular Biology of the Cell [Текст] / B. Alberts, A. Johnson, J. Lewis, M. Raff, K. Roberts, P. Walter. — 4th ed. — New York: Garland Science, 2002. — 1616 p.

92. Bacia K. Sterol structure determines the separation of phases and the curvature of the liquid-ordered phase in model membranes [Текст] / K. Bacia, P. Schwille, T. Kurzchalia // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 2005. — Vol. 102, no. 9. — P. 3272-3277.

93. Tran T. A. Characterization of cell membrane response to ultrasound activated microbubbles [Текст] / T. A. Tran, J. Y. L. Guennec, P. Bougnoux, F. Tranquart, A. Bouakaz // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. - 2008. - Vol. 55, no. 1. - P. 43-49.

94. Kosheleva O. K. Selective killing of cancer cells by nanoparticle-assisted ultrasound [Текст] / O. K. Kosheleva, T.-C. Lai, N. G. Chen, M. Hsiao, C.-H. Chen // Journal of Nanobiotechnology. - 2016. - Vol. 14, no. 1. - P. 46.

95. Arroyo M. Relaxation dynamics of fluid membranes [Текст] / M. Arroyo, A. DeSimone // Phys. Rev. E. - 2009. - Vol. 79, no. 3. - P. 031915.

96. Fallqvist B. Experimental and computational assessment of F-actin influence in regulating cellular stiffness and relaxation behaviour of fibroblasts [Текст] / B. Fallqvist, M. L. Fielden, T. Pettersson, N. Nordgren, M. Kroon, A. K. B. Gad // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. -2016. - Vol. 59. - P. 168-184.

97. Danov K. D. Viscous drag of a solid sphere straddling a spherical or flat surface [Текст] / K. D. Danov, R. Dimova, B. Pouligny // Physics of Fluids. - 2000. - Vol. 12. - P. 27112722.

98. Ben Amar M. Stokes Instability in Inhomogeneous Membranes: Application to Lipoprotein Suction of Cholesterol-Enriched Domains [Текст] / M. Ben Amar, J.-M. Allain, N. Puff, M. I. Angelova // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99, no. 4. - P. 044503.

99. Melikhov I. F. Response of a stratified viscous half-space to a perturbation of the free surface [Текст] / I. F. Melikhov, S. A. Chivilikhin, A. S. Amosov // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. - 2013. - Vol. 4, no. 5. - P. 592-604.

100. Чивилихин С. А. Эволюция малых возмущений свободной поверхности высоковязкой жидкости [Текст] / С. А. Чивилихин, А. С. Амосов, И. Ф. Мелихов, Н. Погосян Т. // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 20-24 августа 2015 г.): Сборник докладов. — 2015. — С. 4081—4083.

101. Pogosian T. Evolution of Small Perturbations of the Free Surface of Viscous Fluid in the Stokes Approximation [Текст] / T. Pogosian, I. Melikhov, A. Shutova, A. Amosov, S. Chivilikhin // Hydrodynamics - Concepts and Experiments. — 2015. — С. 139—157.

102. Melikhov I. Viscoacoustic model for near-field ultrasonic levitation [Текст] / I. Melikhov, S. Chivilikhin, A. Amosov, R. Jeanson // Physical Review E. - 2016. - Vol. 94, no. 5. -P. 053103.

103. Sutherland W. LII. The viscosity of gases and molecular force [Текст] / W. Sutherland // Philosophical Magazine Series 5. - 1893. - Vol. 36, no. 223. - P. 507-531.

104. Melikhov I. F. Asymptotic solution of ultrasonic near-field levitation problem [Текст] /1. F. Melikhov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2017. — С. 260—265.

105. Engquist B. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves [Текст] /

B. Engquist, A. Majda // Mathematics of Computation. - 1977. - Vol. 31. - P. 629-651.

106. Givoli D. Non-reflecting boundary conditions [Текст] / D. Givoli // Journal of Computational Physics. - 1991. - Vol. 94, no. 1. - P. 1-29.

107. Melikhov I. Modeling of near-field ultrasonic levitation: resolving viscous and acoustic effects [Текст] /1. Melikhov, A. Amosov, S. Chivilikhin // Proceedings of the 2016 COMSOL Conference in Munich. — 2016. — URL: https : / / www . comsol . com/ paper/ download/357941/melikhov_paper.pdf (дата обращения 28.08.2018).

108. Мелихов И. Ф. Устойчивость вязкой пленки на поверхности слабо наклоненного вращающегося вертикального цилиндра [Текст] / И. Ф. Мелихов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. — Т. 18, № 3. —

C. 529—534.

109. Melikhov I. F. Asymptotic analysis of thin viscous plate model [Текст] / I. F. Melikhov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2018. — С. 447—456.

110. Strutt J. W. The Theory of Sound [Текст] / J. W. Strutt. - Cambridge University Press, 2009.

111. Д. Гильберт С. К.-Ф. Наглядная геометрия [Текст] / С. К.-Ф. Д. Гильберт; под ред. Р. Н. Бончковский. — М. ; Л.: ОНТИ НКТП СССР. Гл. ред. общетехн. лит. и номографии, 1936. — 304 с.

112. Зоммерфельд А. Лекции по теоретической физике. Т. 5. Термодинамика и статистическая физика [Текст] / А. Зоммерфельд. — М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1955. — 482 с.

113. Abramowitz M. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [Текст] / M. Abramowitz, I. A. Stegun. - U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards, 1972.