Тепловые пограничные слои в жидких средах с границами раздела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, доктор физико-математических наук Батищев, Владимир Андреевич

• Батищев, Владимир Андреевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Батищев, Владимир Андреевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНО! СВОБОДНО! ГРАНИЦЫ ПРИ ТЕШОКАПШЯРНОМ эффекте ДЛЯ больших чисел марангони

1.1. Постановка задачи. Асимптотические разложения

1.2. Формулировка краевых задач

1.2.1. Уравнения пограничного слоя

1.2.2. Задача о течении невязкой жидкости

1.3. Точные решения

1.4. Расчет формы мениска нагретой жидкости в плоском

случае

1.5. Осе симметричная задача о форме мениска при

неравномерном нагреве жидкости..£

1.6. Об асимптотике течения вблизи точки контакта

1.7. Расчет формы пузыря в нагретой жидкости

2. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ МАРАШШ

2.1. Слои малой толщины в плоском случае

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Автомодельные решения

2.1.3. Влияние числа Прандтля

2.1.4. Эффект сил, плавучести

2.2. Осе симметричные пограничные слои

2.2.1. Слои ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ

2.2.2. Слои переменной толщины...\

2.3. Слои бесконечной толщины

2.4. Разрыв тонкой пленки при нагреве

2.5. Нестационарные слои Марангони

2.5.1. Тонкие слои, ограниченные твердой и

свободной границами

2.5.2. Автомодельные решения в слое бесконечной

ТОЛЩИНЫ

3. нестационарный термокапшшрныш эффект при больших

числах марангони

3.1. Постановка задачи. Асимптотические разложения

Пограничный слой

3.2. Уравнения малых колебаний

3.3. Малые колебания при локальном нагреве

3.4. Малые колебания в сосуде

4. ВЕТВЛЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШШЗШ В СЛОЯХ МАРАНГОНИ

4.1. Ветвление решений в стащонарном случае

4.1.1, Основное решение

4. i .2. Уравнение разветвление

4.1.3. Асимптотика решения вблизи точки ветвления...____138

4.1.4. Численные результаты. Слой переменной толщины____140

4.2. Ветвление нестационарных автомодельшах решений

4.2.1.Уравнение разветвления и асимптотические формулы

4.2.2. Особый- случай.'

4.3 Ветвление автомодельных решений в слое неоднородной

ЖИДКОСТИ

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СТАЦИОНАРНЫХ

КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА СВОБОДНУЮ ГРАНИЦУ,...____

5.1. Постановка задачи.- Асимптотические разложения_ __________

5.2. Пограничный слой, вызванный нагрузкой типа "смерч"

5.2.1. Автомодельные- решения

5.2.2. Влияние внешнего потока_____________________________170

5.2.3. Влияние внешнего потока при радиальных

касательных напряжениях

5.3. Расчет течений в двухслойной жидкости

5.3.1. Автомодельные решешя для тонкой пленки

5.3.2. Влияние внешнего потока

5.3.3. Влияние сил плавучести

5.4. Эффект нелинейности при воздействии касательных

напряжений на свободную границу

6. ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ, ВЫЗВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫМИ КАСАТЕЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ ВОЛНОВОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

6.1. Формулировка краевых задач

6.1.1. Асимптотические разложения

6.1.2. Пограничный слой вблизи свободной границы

6.1.3. Невязкая задача

6.2. Разрушение солитонов

6.2.1. Уравнение солитона. Численный расчет

6.2.2. Влияние капиллярных сил

6.2.3. Солитоны в неоднородной ЖИДКОСТИ

6.3. Влияние касательных напряжений на длинные линейные

волны. Эффект возврата

6.4. Воздействие касательных напряжений на капиллярно-

гравитационные волны

7. СЛАБЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ ВБЛИЗИ СВОБОДНО! ГРАНИЦЫ

7.1. Асимптотические разложения

7.2. Точное решение уравнений пограничного слоя

7.3. Пограничный слой на пузыре

7.3.1. Сферический пузырь

7.3.2. Деформированный пузырь

7.4. Слабый пограничный "слой в неоднородной ЖИДКОСТИ._____

7.4.1. Эффект сил плавучести

7.4.2. Учет коэффициента диффузии

7.5. Пример

7 .6 Диффузия вихря Хилла

7.7. Затухание собственных колебаний двухкомпонентной жид-

кости при малых диссипативных коэффициентах

8. влияние пространственной модуляции температуры

НА КОНВЕКЦИЮ В СЛОЕ БИНАРНО! ЖИДКОСТИ

8.1. Постановка задачи. Основное решение

8.2. Стационарные режимы

8.2.1. Решения с периодом 2п/ы -----

8.2.2. Решения вблизи критичечкжх чисел Рэлея

8.3. Устойчивость стационарных решений

8.3.1. Устойчивость периодический режимов

8.3.2. Устойчивость решений вблизи критических

чисел Рэлея

5- ЗАКЛЮЧЕНИЕ.______,

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ...______.., ..л

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тепловые пограничные слои в жидких средах с границами раздела»

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время все большее внимание уделяется изучению термокатишярнш течений жидкости, возникающих в результате неравномерного нагрева поверхностей раздела. Это связано с активным изучением космического пространства, с развитием новых химических технологий. Прежде всего это получение кристаллов методом зонной плавки, лазерной обработки материалов с плавлением для легирования поверхностного слоя металла, явлений в сварочных контактах, определения форм газовых пузырей в процессах очистки расплавов от примесей. Лабораторные эксперименты в космосе довольно дороги, а на Зеше часто технически сложны, поэтому возникает проблема математического моделирования поведения жидкости в условиях воздействия тепловых нагрузок и создание эффективных асимптотических и численных методов расчета для решения этой проблемы.

В реальных жидких средах при проведении технологических экспериментов, например, в расплавах металлов, диффузионные коэффициенты обычно малы. Это приводит к формированию тепловых пограничных слоев вблизи поверхностей раздела. Нелинейные тонкие слои вблизи поверхностей раздела до сих пор принадлежат к одной из недостаточно изученных областей термодинамики. Такие задачи, как отрывные течения и возникновение турбулентности вблизи границ раздела, течения с замкнутыми линиями тока в случае малых диссипативных коэффициентов не нашли еще своего окончательного решения, хотя соответствующие задачи с пограничными слоями вблизи твердых тел достаточно хорошо изучены. При этом могут возникать и степенные слои, именно из-за зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В геофизике большое значение имеет задача изучения движения

жидкости при воздействии на нее ветровых нагрузок. Учитывая малость диссипативных коэффициентов, такие течения описывают как невязкие, однако передача касательных напряжений происходит через тонкие вязкие слои, поэтому возникает проблема исследования нелинейных свойств пограничных слоев вблизи границ раздела, развития асимптотического и численного моделирования.

Диссертация посвящена решению крупной научной проблемы теплофизики по исследованию тепловых пограничных слоев вблизи поверхностей раздела жидкой и газовой фаз. В этой связи возникает необходимость развития асимптотических методов и комплексов программ расчета многопараметрических моделей теплоперено-са при различной геометрии жидкой фазы.

Целью работы является исследование влияния термокапиллярных эффектов на теплоперенос и конвективное движение жидкой фазы при воздействий на границу раздела тепловых нагрузок с учетом малости диффузионных коэффициентов, а также исследование поведения жидкости малой вязкости на основе изучения нелинейных свойств пограничных слоев вблизи свободных границ и поверхностей раздела путем использования асимптотических и численных методов исследования. В качестве математической модели используются уравнения вязкой теплопроводной жидкости с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхностей раздела.

В настоящее время пограничные слои вблизи свободных границ все более привлекают внимание современных исследователей. Изучение термокапиллярных эффектов, возникающих при неравномерном нагреве свободной поверхности с большими градиентами температур приводит к необходимости исследовать новые свойства пограничных слоев Марангони. Наиболее интенсивно слои Маранго-ни стали изучаться не более 20 лет назад, хотя отдельные рабо-

ТЫ проводились И ранее.Отметим работы Napolitano L.G., Golia С., Пухначева В.В. »Кузнецова В.В. и других исследователей /1 - 12/. В работе В.Я. Шкадова /в/ впервые изучено автомодельное решение в пограничном слое вблизи плоской свободной границы. Часть исследований отражена в обзорной статье, выполненной под руководством В.В. Пухначева /13/. В указанных работах приведены автомодельные решения, асимптотические фор -мулы, результаты численных расчетов для пограничных слоев Марангони. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи о продолжении пограничного слоя вблизи свободной границы /14/. В.В.Пухначевым /15/ проведен групповой анализ уравнений нестационарного пограничного слоя. Отметим, что интерес к задачам с вязкими слоями Марангони связан, в частности, с исследованием термокапиллярной конвекции в невесомости, в поле тяжести в случае малой диссипации, а также с расчетами течений в тонких слоях, ограниченных твердой и свободной поверхностями при заданном неравномерном нагреве со стороны свободной поверхности. Большой вклад в решение проблем течений жидкости со свободными границами при малых диффузионных коэффициентах внесли исследования таких ученых как Юдович В.И. »Полежаев В.И., Пухначев В.В., Срубщик Л.С., Гупало Ю.П. »Рязанцев Ю.С., Сергеев Ю.А., Шкадов В.Я., Петров А.Г., Воинов О.В., Саноч-кин Ю.В. Важные исследования по изучению свойств пограничных слоев вблизи поверхностей разрыва выполнили Олейник О.А., Овсянников Л.В., Марков А.А., Чудов Л.А., Стулов В.П., С.Н., Кажихов А.В., Солонников В.А., Гольдштик М.А., Налимов В.И., Черноусько Ф.Л.,Степанов Г.Ю., Хуснутдинова Н.В.,Плотников П.И., Монахов В.И.,Антощев С.Н.Вопросы устойчивости термокапиллярных течений и расчеты вторичных режимов исследованы в работах Андреева В.К., Рябицкого Е.А., Бириха Р.В., Рудако-

ва Р.Н. ,Гершуни Г.З. ,Жуховицкого Е.м. и многих других авторов.

Проблема расчета свободной границы капиллярной жидкости в равновесном состоянии достаточно хорошо изучена. Этой проблемой занимались такие ученые как С.Пуассон, Г.Кирхгофф, Дж.Максвелл, А.Пуанкаре,Ф.Нейман,дж.Рэлей и многие другие. Многие результаты даны в обзорах г.Минковского /16/, г.Баккера /17/, а также в современной монографии, выполненной коллективом авторов /18/: в.г.Бабским, Н.д.Копачевским, а.д.Мышкисом, Л.А.Слобожаниным, А.Д.Тюпцовым. В случае больших чисел Бонда для покоящейся жидкости асимптотическое решение дано Н.Н.Моисеевым и Ф.ЛЛерноусько /19/, а в.И.Юдович и Л.С.Срубщик рассмотрели /20/ задачу о равновесных формах вращающейся жидкости в цилиндре. Уравнение равновесия, основанное на законе Лапласа, сводится к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению, которое представляло большую вычислительную трудность до появления ЭВМ. В случае неравномерно нагретой свободной границы жидкость уже не находится в равновесии и для расчета формы свободной поверхности необходимо рассчитывать течение жидкости в заранее не известной области. Оказалось, что при больших числах Марангони в ряде задач расчет свободной поверхности может проводиться отдельно от расчета течения жидкости и приводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. В общем трехмерном случае для расчета формы свободной границы необходимо все же рассчитывать течение и в пограничном слое Марангони.

Эффекты Марангони, проявляющиеся при воздействии ненулевого градиента температуры на свободную поверхность капиллярной жидкости представляют значительный интерес, однако все еще недостаточно хорошо изучены. В реальных жидкостях с малыми диссипативными коэффициентами эти эффекты ярко проявляются в

тонких жидких слоях и в условиях близких к невесомости. Здесь возникает конкуренция таких сил, как гравитационные и термокапиллярные. В диссертации исследованы автомодельные решения, описывающие термокапиллярные течения в приближении пограничного слоя как в тонких слоях, так и в слоях бесконечной толщины. Изучено влияние сил плавучести в слоях неоднородной жидкости и показано, что благодаря эффектам плавучести вблизи свободной границы течение может усиливаться, ослабляться или могут возникать противотоки. При неблагоприятном градиенте температуры уравнения движения в тонком слое могут допускать несколько решений с возникновением точек ветвления. В литературе хорошо известен такой термокапиллярный эффект, как разрыв тонкого жидкого слоя с ростом поверхностного градиента температуры и образование колец Марангони. Такие эффекты до сих пор еще плохо изучены и представляют собой интересный предмет исследований.

Проблема устойчивости равновесной свободной границы без учета нагрева достаточно хорошо изучена (см. например работы /8,18,21 - 23/). Если же свободная поверхность нагрета неравномерно, то возникает термокапиллярное течение в области, занятой жидкостью. Для этого случая проблема устойчивости свободной границы все еще не полностью исследована. Отсутствуют работы, посвященные обобщению методов исследования устойчивости равновесной свободной поверхности на случай неравномерно нагретой капиллярной жидкости.Здесь можно предложить метод малых колебаний, который для жидкости с малыми диссипативнымй коэффициентами приводит, в главном приближении, к изучению колебаний невязкой жидкости, причем свободная поверхность колеблется не вблизи равновесной границы, а вблизи поверхности, расчет которой проводится отдельно от

расчета колебаний /24/.

Одной из малоизученных областей гидродинамики является проблема расчета нелинейных пространственных пограничных слоев вызванных ветровыми нагрузками вблизи заранее неизвестной свободной поверхности. В.Я. Шкадов впервые провел расчет автомодельных решений в нелинейном пограничном слое вблизи свободной границы /8/. В монографии Г.Шлихтинга /31/ приведены результаты расчетов автомодельных решений для таких слоев вблизи твердых стенок, а в книге Ю.Д.Шевелева /32/ приводится литература и решены задачи о неавтомодельном трехмерном пограничном слое. Аналогичные исследования для свободных границ еще предстоит выполнить. Интересны приложения нелинейных пространственных пограничных слоев к задачам о влиянии ветровых нагрузок на поверхностные и внутренние волны и расчет параметров соответствующих разрушению этих волн. Аналогичные проблемы возникают при изучений влияния температурных градиентов на распространение капиллярных волн.

Одним из методов получения уравнений движения жидкости в пограничных слоях является метод погранслойных поправок, позволяющий вывести уравнения пограничного слоя в первом и высших приближениях. В гидродинамике этот метод получил развитие в рабртах Маркова A.A. /161-164/, Чудова Л.А./165/,Стулова В.П./166/.

Условно пограничные слои вблизи свободных границ можно разделить на "слабые" и "сильные". Уравнения движения в слабых пограничных слоях линеаризуются, а их решение для однородной жидкости записывается в квадратурах. Эти случаи возникают при исследовании нелинейных задач со свободными границами, на которых отсутствуют поверхностные касательные напряжения, например: обтекание пузырей, волновые движения конечной амплиту-

да. Слабые пограничные слои возникают и на поверхности разрыва вихрей. Решение таких задач на конечном отрезке времени находится явно. Здесь возникает проблема построения асимптотических решений на бесконечных отрезках времени. Эта же проблема возникает и при изучении линейных краевых задач о волновых движениях и колебаниях в жидкости малой вязкости. Учет неоднородностей усложняет исследования. Сильные пограничные слои возникают при воздействии конечных касательных напряжений на свободную границу. Уравнения пограничного слоя нелинейны и совпадают с уравнениями Прандтля, однако, краевые условия отличаются от условий на твердой стенке и возникающая квазилинейная система уравнений не имеет определенного типа. В.Я.Шкадов /8/ впервые рассчитал автомодельные решения в стационарном пограничном слое вблизи свободной поверхности. Нестационарная задача для пограничного слоя Марангони впервые была сформулирована В.В.Пухначевым в работе /15/, где изучены некоторые ее свойства. Для сильных пограничных слоев найдены автомодельные решения, проведен групповой анализ, доказаны некоторые теоремы о разрешимости. Однако многие проблемы остаются нерешенными, например задачи об отрыве, об устойчивости, о переходе к турбулентности, исследование свойств трехмерных пограничных слоев вблизи свободных границ.

Диссертация посвящена решению крупной проблемы теплофизики по изучению тепловых пограничных слоев вблизи поверхностей раздела жидкой и газовой фаз, исследовали влияния термокапиллярных эффектов на теплоперенос и конвективное движение жидкости в условиях малости диссипативных коэффициентов, развитию асимптотических и численных методов исследования.

В первом разделе формулируется задача о термокапиллярном течении жидкости в неограниченной области при неравномерном

нагреве свободной границы. При малой диссипации наиболее сильное течение возникает в пограничном слое вблизи свободной границы, и более медленное вне этого слоя. Задача расчета формы неизвестной свободной границы сводится к расчету течения в пограничном слое и решению дифференциального уравнения, получаемого из динамического краевого условия на свободной границе. Оказалось, что в плоском и осесимметричном случаях уравнение пограничного слоя решать нет необходимости, если известно значение скорости в каком - либо сечении в пограничном слое. В этом случае свободная граница определяется из дифференциального уравнения, которое обобщает известное уравнение свободной границы равновесной жидкости, только коэффициент поверхностного натяжения оказывается переменным. Найдены некоторые точные решения для формы свободной границы при неравномерном нагреве. Если же температура задана дельта -функцией, то уравнение границы с точностью до известных констант совпадает с известным уравнением свободной границы равновесной жидкости.

В плоском случае рассчитана форма свободной поверхности капиллярной жидкости, налитой на горизонтальную поверхность и частично смачивающую эту поверхность. Дифференциальные уравнения поверхности содержат несколько параметров, часть из которых подлежит вычислению. Расчеты показали, что при фиксированных значениях числа Бонда, градиента температуры и величины угла смачивания можно найти толщину слоя на бесконечности. Оказалось, что толщина слоя монотонно убывает с ростом градиента температуры при фиксированных значениях числа Бонда и угла смачивания. Если градиент температуры стремится к критическому значению, то толщина слоя стремится к нулю (значение градиента температуры называем критическим , при

котором коэффициент поверхностного натяжения обращается в нуль). Рассчитана зависимость толщины слоя от угла смачивания при фиксированном значении градиента температуры. Оказалось, что зта зависимость монотонно возрастающая.

В осесимметричном случае, в отличие от плоской задачи, зависимость толщины слоя от градиента температуры может быть не монотонной (при фиксированных значениях угла контакта, числа Бонда и радиуса линии контакта). Аналогично, толщина слоя зависит не монотонно от величины угла контакта при фиксированном градиенте температуры. Однако, кривые зависимости толщины слоя от радиуса линии контакта оказались монотонными, причем асимптота соответствующая нулевому градиенту температуры расположена выше остальных. При малых значениях радиуса линии контакта высота нагретого слоя жидкости больше, чем ненагретого, а при больших наоборот.

Рассмотрена задача о расчете формы газового пузыря, помещенного в неравномерно нагретую жидкость и примыкающего к горизонтальной стенке. С усилением нагрева увеличивается действие термокапиллярных сил и при некотором критическом градиенте температуры пузырь отрывается от стенки. Рассчитан интервал градиентов температуры, при котором пузырь, оторвавшись от стенки, находится в равновесии, имея угловую точку на поверхности. В невесомости при неравномерном нагреве неподвижный пузырь всегда примыкает к стенке.

Во втором разделе изучены свойства автомодельных пограничных слоев Марангони с учетом деформации свободной границы. В плоском случае найдены новые решения для слоев ограниченных твердой стенкой и криволинейной свободной границей,с толщиной порядка толщины пограничного слоя. Оказалось,что стационарное ре-решение задачи может быть неединственным или не существовать в

зависимости от направления и величины приложенного к свободной границе градиента температуры. Для малых и больших значений градиента температуры получены асимптотические формулы, которые хорошо сопрягаются с результатами численных расчетов. С ростом числа Прандтля скорость и температура свободной границы уменьшаются. При фиксированном числе Прандтля с ростом градиента температуры скорость точек свободной границы растет, достигает максимума и далее убывает. Эффект сил плавучести рассчитан для уравнений движения, записанных в приближении Буссинеска. Автомодельные решения существуют только для слоев постоянной толщины. Показано, что силы плавучести приводят к усилению течений вблизи свободной границы при положительных числах Грасгофа, а для отрицательных значений происходит ослабление и возникновение обратных течений.

Новые автомодельные решения получены в осесимметричном случае. В однородной жидкости наибольшее значение скорости достигается на свободной границе. Для слоев с прямолинейными границами скорость точек на свободной границе растет и стремится к конечному пределу с ростом толщины слоя. Если температура на свободной границе убывает при удалении от оси симметрии, то градиент давления монотонно убывает с ростом толщины слоя, если же градиент температуры имеет обратный знак, то градиент давления изменяется не монотонно, причем при больших значениях толщины слоя асимптотические и численные решения не строятся. Для слоев бесконечной толщины свойство неединственности решений сохраняется, если температура свободной границы растет при удалении от оси симметрии.

Проведен расчет термокапиллярного течения в тонком слое при нагреве вдоль свободной границы по гармоническому закону. Решение задачи представлено рядами Фурье, коэффициенты которых

удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений и найдены численно методом пристрелки. Наибольшее значение скорости достигается на свободной границе. Вблизи твердой стенки возникает противоток с максимальной скоростью приблизительно втрое меньшей, чем на свободной границе. С ростом модуля амплитуды температуры свободная граница деформируется и при некотором критическом градиенте температуры жидкая пленка разрывается. Если пленка лежит на поверхности идеальной жидкости, то разрыв происходит при больших критических значениях.

Рассчитаны автомодельные решения в нестационарном случае в тонком слое, ограниченном твердой и свободной границами, которые удаляются друг от друга. В плоском и осесимметричном случаях численно рассчитаны области параметров, где задача имеет одно или несколько решений, а также области, где решения отсутствуют. Показано, что профиль скорости имеет одну или несколько зон тока и противотока для различных значений параметров. Автомодельные решения рассчитаны и при отсутствии градиента температуры. Нестационарные автомодельные решения рассчитаны в слое бесконечной толщины. Градиент температуры, заданный на свободной границе имеет только радиальную координату. Рассчитаны точки ветвления решений и сами ответвившиеся решения. Построены асимптотические формулы. Для всех параметров найдены интервалы значений, в которых обнаружено либо четыре решения, либо только два.

В третьем разделе диссертации рассмотрена задача о влиянии термокапиллярного эффекта на малые колебания жидкости, запол -няющей неограниченную область. Получены уравнения нестационарного пограничного слоя Марангони вблизи заранее не известной свободной границы. Здесь введено два масштаба

времена, причем один масштаб - "быстрое" время, связан с вязкостью, а второй не зависит от коэффициента вязкости. Рассмотрен только квазистационарный пограничный слой. Для этого случая главный член асимптотики решения задачи о малых колебаниях удовлетворяет уравнениям идеальной жидкости, однако краевые условия учитывают поле скоростей в пограничном слое и поверхностную касательную нагрузку. Рассмотрен случай малых колебаний при локальном нагреве свободной границы. Амплитуда колебаний удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими от закона нагрева. Исследованы случаи, когда температура постоянна, изменяется линейно со временем или изменяется по гармоническому закону. Найдены области параметров соответствующие затуханию или росту со временем амплитуды колебаний. Рассмотрены малые колебания в сосуде прямоугольного сечения бесконечной глубины при нагреве свободной границы по гармоническому закону. Решение построено в виде рядов Фурье, а уравнение для частот рассчитано в случае, когда учтены три или четыре гармоники. Расчеты показали, что собственные частоты монотонно возрастают шла убывают с ростом градиента температуры в зависимости от способа нагрева свободной границы.

Четвертый раздел посвящен исследованию ветвления стационарных и нестационарных автомодельных решений в осесимметрич-ном случае. Использовался известный метод для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения разветвления выводились путем постановки задач Коши для систем уравнений. Для определения коэффициентов уравнения разветвления численно решались как задачи Коши, так и краевые задачи. Для тонких слоев в стационарном случае рассчитаны три задачи. Оказалось, что в каждом случае от основного решения ответвляются по два

симметричных решения, которые отличаются от основного решения наличием окружной компоненты скорости. Вблизи точек ветвления построены асимптотики ответвившихся решений.

В нестационарном случае, а также в случае неоднородной жидкости изучена зависимость коэффициентов уравнения разветвления от параметров задачи. Оказалось, что при некотором значений градиента температуры один из коэффициентов уравнения разветвления обращается в нуль или в бесконечность и изменяется структура асимптотических формул. Во всех случаях ответвляются по два решения в докритическую или сверхкритжчес-кую область параметров.

В пятом разделе построены асимптотические разложения решения задачи о течении жидкости в безграничной области при воздействии на свободную поверхность напряжений конечной величины. Эти поверхностные напряжения могут быть вызваны ветровыми нагрузками. Для свободной поверхности получено дифференциальное уравнение обобщающее известное уравнение свободной границы равновесной жидкости. Рассчитаны автомодельные решения уравнений трехмерного пограничного слоя, вызванные нагрузкой типа "смерч". Изучено влияние внешнего потока на это течение, которое приводит к появлению осцилляций в профиле скорости. Получены асимптотические формулы для больших значений параметров задачи. В зависимости от направления радиальной компоненты касательной нагрузки пограничный слой может быть трехмерным или двумерным. Рассчитано автомодельное решение, описывающее течение жидкости в тонкой пленке на поверхности жидкости. Здесь возможна неединственность решений. Рассчитано влияние касательных напряжений на форму свободной границы, если заданы и нормальные напряжения. Оказалось, что с усилением касательной нагрузки происходит сглаживание свободной поверх-

тети.

В шестом разделе изучается воздействие поверхностных касательных напряжений на поверхностные волны. При определенных соотношениях между скоростью волны и скоростью жидкости в пограничном слое уравнения движения в пограничном слое нелинейны. Это приводит к сильному влиянию касательных напряжений на внешний невязкий поток (динамическое краевое условие на свободной границе невязкой жидкости содержит дополнительные члены, учитывающие функции пограничного слоя и касательную нагрузку). Численно рассчитано влияние касательных нагрузок на солитон. При малых нагрузках солитон деформируется незначительно, однако если несимметричная нагрузка превышает критическое значение, то с одной стороны горба возникают волны, дайны и амплитуды которых увеличиваются с ростом нагрузки. При достижении нагрузкой критического значения возникает волна типа бор и далее волна разрушается. Аналогичные вывода получены для солитонов в стратифицированной по плотности жидкости. Изучено влияние касательных нагрузок на длинные линейные волны. Здесь также при достижении нагрузкой критического значения амплитуда волны растет неограниченно. Если амплитуда нагрузки велика, то возможен эффект "возврата" к начальному состоянию. При воздействии касательных нагрузок на капиллярно - гравитационные волны происходит усиление капиллярной и гашение гравитационной волны. Рассчитан интервал амплитуд нагрузки в котором амплитуда волн ограничены и становятся неограниченными вне этого интервала.

В седьмом разделе рассмотрены задачи со слабыми пограничными слоями вблизи свободных поверхностей. Эти слои возникают, когда касательные напряжения на свободной границе отсутствуют или имеют порядок вязкости. Уравнения для погранслойных поправок к

скорости линеаризуются. В работе найдена специальная замена переменных, которая систему уравнений пограничного слоя преобразует к уравнениям теплопроводности с постоянными коэффициентами, интегрирующимися в замкнутой форме. Рассмотрены задачи о развитии во времени пограничного слоя на поверхности сферического и деформированного пузырей, движущихся в потоке с произвольной скоростью. В пределе при больших временах эти решения переходят в известные стационарные. Рассмотрена задача о влиянии сил плавучести на слабый пограничный слой в неоднородной жидкости. Уравнения пограничного слоя в общем случае не приводятся к более простым с постоянными коэффициентами (как в случае однородной жидкости ). Влияние сил плавучести приводит к передаче возмущений вверх по потоку и возникновению осцилляций в профиле скорости.

Рассмотрена задача о диффузии вихрей в случае, когда функция вихря терпит разрыв в начальный момент времени. Здесь также возникает слабый пограничный слой. На конечных отрезках времени задачи о диффузии вихрей рассмотрены В.И.Юдовичем, Л.С.Срубщиком и опубликованы в работах /зз ~ 36/. В отличие от упомянутых случаев когда вихрь стремится к конечному пределу с ростом времени .теперь этот предел обращается в нуль, а решение справедливо на более длинных отрезках времени.

Исследуется влияние малых диссипативных коэффициентов на линейные колебания. Рассмотрена задача о затухании собственных колебаний двухкомпонентной жидкости с учетом термодиффузии. В отсутствии диссипативных процессов трения, теплопроводности и диффузии равновесная стратификация устойчива, если градиент температуры положителен. Асимптотические формулы для декрементов затухания показывают, что вертикальные границы приводят к дополнительному рассеянию энергии и увеличению

декремента» а деформируемость свободной границы ослабляет затухание. Колебания с большей частотой и меньшей длиной волны затухают быстрее. Термодиффузия во всех случаях оказывает демпфирующее действие. Отметим» что эта работа выполнена совместно с В.И.Юдовичем /37/.

В восьмом разделе на основе приближения Вуссинеска изучается конвекция бинарной смеси , заполняющей горизонтальный слой, ограниченный сверху свободной границей, а снизу твердой стен -кой, температура которой модулируется пространственно- периодическими возмущениями малой амплитуды. Рассчитано стационарное периодическое решение, которое становится неограниченным при числах Рэлея, близких к критическим значениям. Для этих чисел Рэлея построена асимптотика в виде рядов по дробным степеням амплиттуды модуляции. Изучена устойчивость стационарного режима по отношению к монотонным возмущениям произвольной длины волны. Определена структура возмущений, вызывающих неустойчивость движения. Рассчитана поправка к критическому числу Рэлея в зависимости от частоты модуляции. Показано, что модуляция температуры оказывает стабилизирующее воздействие, однако этот стабилизирующий эффект снижается с ростом частоты модуляции, а наличие в жидкости примеси может как увеличивать, так и снижать его. Исследована устойчивость стационарного течения вблизи критических чисел Рэлея. Показано, что стационарное решение устойчиво относительно возмущений с тем же волновым числом, что и у стационарного течения. В случаи близости волновых чисел модуляции и критического возмущения, движение также устойчиво вблизи критических чисел Рэлея.

Основные результаты, полученные в дисертации.

I. Разработан асимптотический метод расчета термокапиллярных течений жидкости в неограниченной области с учетом дефор-

мируемости поверхности раздела в условиях слабой диссипации, что позволило рассчитать влияние разлиных физических параметров на форму поверхности раздела. Определены условия, когда расчет деформации границы существенно упрощается и , в частности, находятся точные решения.

2. Найдены новые автомодельные режимы течений жидкости в стационарных и нестационарных пограничных слоях Марангони с учетом деформируемости свободной границы. Выявлены такие свойства как неединственность, наличие нескольких зон тока и противотока, немонотонность профиля скорости. Установлено влияние сил плавучести. Показано, что при наличии внешнего потока возникают области параметров, в которых решение единственно, отсутствует или имеется несколько ветвей решений. Рассчитаны точки ветвления, возникающие при воздействии неблагоприятных градиентах температур. При малых и больших значениях параметров построены асимптотические формулы. Найдены критические значения параметров, соответствующие разрыву жидкого слоя.

3. Изучены задачи ветвления автомодельных режимов термо-капиллярвых течений жидкости в тонких слоях в стационарном и нестационарном случаях. Показано, что во всех случаях от основных течений жидкости ответвляются по два новых симметричных течения, отличающиеся друг от друга только направлением вращения.

4. Разработан асимптотический метод расчета малых колебаний жидкости с исчезавшими диссипативными коэффициентами, учитывающий воздействие термокапиллярного эффекта на течения со свободными границами. Установлено, что термокапиллярный эффект может приводить к гашению колебаний, их усилению или возникновению ограниченных осцилляций.

5. Разработан асимптотический метод, позволяющий исследо-

вать волновые движения жидкости малой вязкости при воздействии на свободную границу касательных напряжений (вызванных неравномерным нагревом или ветровыми нагрузками). Изучено поведение нелинейных волн (солитонов), а также капиллярно-гравитационных волн малой амплитуды при заданных касательных напряжениях, найдены критические значения параметров, при которых эти течения разрушаются.

6. Предложен асимптотический метод исследования течений жидкости при формировании вблизи границ раздела "слабых" пограничных слоев. Найдена универсальная замена переменных, позволяющая найти решение уравнений пограничного слоя в явном виде, с помощью которой решены задачи о диффузии вихрей с разрывными начальными данными, а также задачи о течении жидкости со свободными границами. Рассмотрена задача о малых колебаниях двухкомпонентной жидкости с учетом термодиффузий.

7. Исследовано влияние пространственной модуляции температуры на конвекцию в слое бинарной жидкости. Показано, что модуляция температуры носит стабилизирущий характер, однако, этот стабилизирующий эффект снижается с ростом частоты модуляции, а наличие примеси в жидкости может как увеличивать, так и снижать его.

Достоверность результатов исследований подтверждена широким сравнением аналитических формул и данных численных расчетов, полученных автором с данными других авторов, полученных путем экспериментов, численных и асимптотических расчетов.

В заключении выражаю глубокую благодарность Виктору Иосифовичу Юдовичу за внимание к работе и обсуждение результатов и Владиславу Васильевичу Пухначеву за полезные замечания.

В 1993 - 1996 г.г. на конкурсной основе работе присуждены гранты Российского фонда фундаментальных исследований

(93-013-17698, 96-01.....01103). В 1995 Г. Присужден "ISF Long-

Term Research Grant. Program" (Грант фонда Сороса J2K100). В 1996 г. редакция журнала "Прикладная математика и механика" присудила Батищеву В.А. премию за одну из лучщих публикаций в 1995 году.

1. АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНО! СВОБОДНО! ГРАНИЦЫ ПРИ

ТЕРМОКА1ЖЛШРНОМ ЭФФЕКТЕ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ МАРАНГОНИ

Для больших чисел Марангони строятся формальные асимптотические разложения решения стационарной задачи для системы Навье - Стокса о движении несжимаемой жидкости под действием поверхностных касательных напряжений, вызванных термокапиллярным эффектом. На свободной границе действует неравномерный нагрев. Предполагается, что коэффициенты вязкости и теплопроводности малы, а поверхностный градиент температуры может быть большим. Область, заполненная жидкостью, неограничена, так что возникающие пограничные слои не замкнуты. Условие незамкнутости приводит к тому, что течение во внешней области ( вне пограничных слоев), удовлетворяющее уравнениям невязкой жидкости, может быть потенциальным. Отметим, что для замкнутых пограничных слоев в ограниченной области, условие периодичности поля скорости в пограничном слое накладывает дополнительное условие на внешнее течение. Предположив внешнее течение вихревым с постоянной завихренностью, Вэтчелор /25,38/ использовал это условие для определения вихря. Пухначев В.В. и Кузнецов В.В./7/ для определения завихренности внешнего течения использовали энергетическое тождество для ограниченного жидкого объема.

В данной главе формулируется задача о течении жидкости в пограничном слое вблизи свободной границы, находится погран-слойная поправка к давлению, с помощью которой выводится уравнение свободной границы. Рассчитана форма свободной границы при ее неравномерном нагреве. В плоском и осесимметричном случаях рассчитана зависимость высоты слоя от величины угла смачивания при заданном градиенте температуры, а также рассчитана зависимость высоты слоя от амплитуды градиента температуры при

фиксированном значении угла смачивания. Отметим» что в отсутствии нагрева многочисленные результаты расчетов свободной границы приведены в книге Бабского В.Г., Копачевского Н.Д., Мышкиса А.Д., Слобожанина Л.А. и Тюпцова А.Д. /18/.

Результаты, полученные в данной главе опубликованы в работах /13,39 - 45/,

1.1.Постановка задачи. Асимптотические разложения

В нелинейной постановке стационарная задача о течении вязкой теплопроводной жидкости со свободной границей г приводится к системе уравнений

= + уА\Т (1.1)

уУТ = *ДТ , СЛуу = О

Здесь v = - вектор скорости, р - плотность,

р - давление, т - температура, 1 = -ее^, в - ускорение силы тяжести, е2=(0,0,1) - орт оси г, у - кинематический коэффициент вязкости, * - коэффициент температуропроводности.

В рассматриваемой модели жидкость считается однородной (р=сопаЬ), диффузионные коэффициенты постоянными и

пренебрегается выделяющимся вследствие внутреннего трения диссипативным теплом сне учитывается диссипативная функция в уравнении энергии).

На свободной поверхности г краевые условия для нормального и касательных компонент тензора напряжений и условие непротекания приводятся к виду

р = 2^рпИп - ¿-(к + к,) + р.,, (1.2)

X 2 &

2г->р[Пп - (гЛп)п] = ^рй' , VII = О

Здесь п - единичный вектор внешней нормали к свободной границе, п - тензор скоростей деформации, кА ,к2 - кривизны главных нормальных сечений поверхности г ( к ,к >о если соответствующие центры кривизны расположены с той стороны поверхности г, где находится газ /56/ >, = V - п(п?) - поверхностный градиент (для вычисления чг<у достаточно знать значения функции <у лишь в точках поверхности г>. - коэффи -

цнент поверхностного натяжения. - заданное давление на г. Всюду далее рассматривается случай , когда коэффициент & выражается линейной функцией температуры

^ = % - К1 (Т: - Т^) (1.3)

Это соотношение достаточно хорошо выполняется для многих поверхностей раздела /48/. Коэффициенты о-о,.....<ут, тж- положительные постоянные. Температурный коэффициент поверхностного натяжения для большинства границ раздела достаточно мал. Интервал изменения температуры ограничивается температурами кипения и плавления жидкости.

На твердой границе в выполняется условие прилипания и считается заданной температура

V = 0 , Т = Т (1.4)

Область движения жидкости ъ предполагается неограниченной. На бесконечности жидкость покоится

-> 2 2 2

V -> О (х + у +- 2 -»со)" (1.5)

В качестве температурного краевого условия на свободной границе используется соотношение /48/

ОТ

+ Ъ(Т - Т ) = const (1.5а)

«11 9

"в котором тд - контролируемое значение температуры в некоторой точке газовой фазы (например, для неограниченной внешней по отношению к d области тд значение температуры газа на бесконечности) , а ь - эмпирическая функция, называемая коэффициентом межфазного теплообмена" /48/.

Отметим частный случай ь «> (или более точно */ъ - >

Р

где "о" - малое, « - толщина пограничного слоя), тогда температурное краевое условие (1.5а) приводится к виду

Т = Тд (х,у,2)еГ (1„5Ъ)

При малых коэффициентах вязкости и теплопроводности вблизи границ области возникают динамический и температурный пограничные слои. Всюду вне этих слоев течение описывается уравнениями идеальной нетеплопроводной жидкости. Тепловые пограничные слои вблизи свободных границ вследствие термокапиллярного эффекта изучались в работах Napolitano, Пухначева В.В. и др. /1 - 13/, В /8/ В.Я.Шкадовым впервые изучен пограничный слой, вызванный касательными напряжениями, заданными на свободной границе. Свободная граница считается незамкнутой, поэтому незамкнуты и пограничные слои. Отрыв пограничного слоя не рассматривается. Скорость возникающего внешнего течения, при покоящейся на бесконечности жидкости, оказывается малой по сравнению со скоростью в пограничном слое.

Задача (1.1) - (1.5) приводится к безразмерному виду. Введем обозначения

' ' ' V ' '

(х,у,2)=Ь(х , у , г ), , р=Рр -Рё2,, Т~Т =АЬТ ,

где х',у' Л безразмерные величины, а ь,и,р,А- соответственно характерные масштабы длины, скорости, давления и градиента температуры. Всюду ниже штрихи у безразмерных величин опускаем. Масштаб давления введем по формуле р = ^/ь. Переходя в уравнениях Навье-Стокса к безразмерным переменным и умножая обе части уравнения на ьи-2 , находим, что коэффициент перед оператором Лапласа равен у/(ию, который обозначим через

= ь>/<ии = 1/Ие

Ие - число Рейнольдса. Приравнивая порядки вязких и инерционных членов получаем, что толщина пограничного слоя имеет порядок £. Теперь переходим к безразмерным переменным в краевых условиях для касательных напряжений и учитываем преобразование растяжения в пограничном слое г'(здесь г'- расстояние до свободной границы в размерном виде). Приравнивая порядки главных членов в этих условиях, выводим соотношение

= АК1

Отсюда находим характерный масштаб скорости в пограничном слое

и = С|О-Т|2А 2ЬР~2У~1)1/3

Малый параметр & удобно выразить через известное число Марангони /1, ю/

Введем числа Прандтля Рг и Бонда в

2

Рг = ь>/х , В = />у

О

Асимптотические разложения решения задачи (1.1)-(1.5) при £ л о строятся в виде

N

v ~ ь + ) & + v. + V. ) (1.6)

О / к к к

к = 1

N

Р ~ ^ + (% + Рк +Гк)

к = 1

N

Т ~ в + Т + Г + ) <ек(Т + ©, + Т, )

ООО 4 к к к'

к=1

с ~ с +<+... , x =

Коэффициенты рядов (1.6) будут найдены методом погранслой-ных поправок, который развит в работах Маркова А.А., Чудова Л.А, Стулова В.П. /161-186/.

Здесь х - капиллярная постоянная [4], г=С(х,у,е) -уравнение свободной границы. Пусть сг - область пограничного слоя вблизи свободной граница, 0з- вблизи твердой стенки. Тогда ьк ,дк ,вк - функции типа решений задачи пограничного слоя в области ~т>г; \, гк .*к -в , а ^. рк, тк определяют решение задачи вне областей и г>а-

1.2. Формулировка краевых задач

1.2.1. Уравнения пограничного слоя

Вблизи свободной поверхности г введем локальную ортогональную систему координат. Пусть соотношения

х = Х(*>,©(), у = У(*>4,е ), г =

11 11 11

определяют уравнение г в параметрической форме. Построим систему нормалей, т.е. векторов Жй длины -о, проведенных из точек а«г внутрь области с. При достаточно малом п нормали не пересекаются. Пусть точка м с координатами (х,у,г) лежит на нормали Ш. Обозначим координаты точки М в локальной системе через (г,<р,в), где г - расстояние |ам), а <р и в - значения параметров <рх ,в± соответствующих точке аеь. Пусть х,т,2 - декартовы координаты точки А, тогда 01 = $А= =(X,у,2), 6Й = = (х,у,2), где 0 - начало декартовой системы координат. Из векторного равенства ОЙ = 01 + 5$ следует

Й = & + гп

М А

Полученное соотношение определяет формулы перехода к локальной системе координат, которые в проекциях на оси декартовой системы принимают вид

X = Х(*?,е> + га (2.1)

у = Y('p,&) + т

у

2 = 2,(<р,&) + г п

Здесь п = (п ,п ,п ). Поверхности е=сопаЪ, <^?=const образу-

У

ют два семейства ортогональных поверхностей, которые выбираются так, чтобы линии их пересечения с г образовывали линии главной кривизны на г. Координатные поверхности г=сопзъ образуют семейство эквидистантных поверхностей относительно г.

Обозначим через н,не коэффициенты Лямэ поверхности г

н. = 1^1 + щС , н! = Ш12+ т\

<р [д'р) \д>р) ' в кэв

Введем обозначение <5 й н^. Через:,ё(р,вв,цг обозначим коэффициенты Лямэ поверхности, близкой к г

е = Н,(1 - к г), яо = Н«(1 - к г) , Е =1

(р 1 ав 6 х 2 =г

к ,к - кривизны главных нормальных сечений поверхности г.

Приведем компоненты тензора вязких напряжений & используемые при выполнении краевых условий на свободной границе

с 1 к

<7 = £ — ^ +-тг-2 + --—-v | (2.2)

31 " ' 1' - к Г **

. ду к

[ 1 г Э 2

<7 = -р +

Теперь, используя формулы для стационарных уравнений Навье-Стокса в произвольной ортогональной системе координат /зв,50/ приведем эти уравнения в локальных ортогональных координатах в безразмерном виде

(2.3)

. *> -£--V + V _£--*- V V

Н (1 - к г) Нй(1 - кг) гдг 1 - к г * г

р 1 & г ±

V- + _ £ V „„ =__-__+

£. , Л 1 Ч д<Р & . дЭ <Р 9 1 ТТ /1 1 ч &<Р

6(1 - кг ^ 6(1 - кг ХН 1-кг

2 ± (р ' 1

,дZv V ^

2 г 4? -2 й> -2 <р т 1

+ * к^е + в ^ + % ^ + ь^ ,

у _ к2

и /1 1 N ^ + и /1 V ч дв + ^г , , ~

Н (1 - кг) ^ Нл(1 - кг) 1 - к г

'р 4 С/ 2. 2

1 % а ^ 1 .

— -■-- -«— "у —-..........—_______ ___________ -у с: —• ........ , ,.,

<5(1 - кг) ^ * 6(1 - к г) *>/ * 0 ~ Х«Л1~к г) ^

1 г & 2

я2 л2

А г(а ^ ^ -2 "е -г* ^

+ « —Г- + —— + —— + ь

V Зм лг~, ¿Ы к

<Р г , _ в т , г , 1 г

+ -_ __ 4- V + - у +

н^(1 - клг) На(1 - к2г) ** 1 - к4г *

к , <?р -д2\г

2 2 £ * г С Г -2 г -2 г ; ^

+ - = " х + £ \-~Г + —+ % —т + ьз!

1 - к2г г Ч?г р $<рг &

а

Зг

¿(1-клг)(1~к2г)Уг] + |^[н@(1-к2г^] + = О

V ат V' <?Т дТ

+ —- ___ + у -- = £ РГ ДТ

Н^(1 - к4г) Н0(1 - к2г) ^ Г<?г

Здесь V - компоненты вектора V, Операторы ь1?ьг,ьз

содержат вектор V и его первые производные и не выписаны ввиду их громоздкости (в дальнейшем не используются).

Построим функции ьк ,дк определенные в области

пограничного слоя вг. Краевая задача для ьо, ео выводится применением к системе (1.1) второго итерационного процесса методом погранслойных поправок Вишика-Люстерника /51,52/. Пусть , ь0к, ьгк компоненты вектора ьк в локальных координатах. Введем преобразование растяжения Асимптотическое решение задачи (1.1>-(1.5) строим в виде

и

n

n

(к

N.

n

к

+у,

4с = О

к

(0к +Т„ )

к

к =0

к = 0

Отметим, что в последнем соотношении функции ^к,гк,тк не

учитываются, так как они определены в области ц„ и исчезают вне ее.

Переносим правую часть системы (2.3) влево и обозначим через р(V) полученную левую часть, где V ,р,Т) -

<р г

Подставляем вектор иы и разлагаем ^к,рк,тк в ряды Тейлора по степеням г. Далее потребуем выполнения соотношения

РШ ) = (2.4)

Приравнивая в (2.4) нулю коэффициенты при с А, , находим, что ьгй=о. а ъро, ъво, нг1= уг1| ^ удовлетворяют уравнениям пограничного слоя Прандтля

(2.5)

<Гь дЬ &Ъ <?Н

<р еро а<р 9 Во 39 г л дв 39 <ра во

.-Л *

° д<р "©о

Л

>ра

&з

+ ни 1-ь

<р <ро д<р в &о 99

, тт во 9 , ,

+ Н .—зг- + -^гг- ь ,Ь„

г л

д<р <ро 9о

6

-1_<р , __ _&о

дв <ро ~ „ "г~ аз

Э6

Н, Ь.__—-х—

1р <ро ар

№

4- Н 1Ь -—

и9о д9

эе

+ н

Рг-

дЖ9 -1 о

бг

М + т (нА>о) + ..= о

Высшие приближения (к £ 1) находятся путем решения линейных краевых задач

Н"1* —^ + Н И + н ъ —^ + н ь 4-

г>0 д<р Р п<рк а<р г 9 пЭо 39 п6 пвк 39

. Ж

.............н + н ** + б"1—^ (Ъ Ь + Ъ Ъ )

г,к+± + Г1 39 {П<роП9к + ПркПео}

-1 9 юк

_ 26 _—Ь Ь = -— + Р

^ а<р п9оп9к л г Гк1

За

н<р <ро др п<р \к а<р + не пво а9 + н© "©к ае +

+ —^— Н , + Н —5— + <5 — {Ь + Ъ , )

За г,1с+1 Г1 да а<р <ро ©к <рк 9о'

„ --1 «С, ©к

26 ^4111,, = —— + Р. ае <ро <рк дз

4 М + Ш [и<рЪ9к] + к[Н<ри9Нг.к^) = Ркз ' Нг#к=Ьгк+Угк1г

Коэффициенты ¥к1 (±>1 > известны и не выписаны ввиду их громоздкости (всюду ниже эти коэффициенты не используются).

Найдем функции, определяющие давление в пограничном слое. Применяя второй итерационный процесс метода Вишика-Люстерника к уравнению полученному проектированием системы Навье-Стокса на нормаль к свободной границе, выводим

о 2 2

Интегрируя последнее соотношение по з и учитывая условие ао —> о при (в —> оо) , получаем

со со

я,

Vй3 + к1ъеой* (2-6)

Теперь приведем краевые условия для системы уравнений пограничного слоя. Записываем краевое условие (1.2) для касательных напряжений в локальных координатах и применяем первый и второй итерационные процессы одновременно. В результате, для главного приближения получим соотношения

**> -__I е° ~ _ Л (3~0) (9 7\

<р э

Условие непротекания через свободную границу приводит к соотношению

н , = Ь „ + V -1г =0 (в=0) (2.8)

1'1 г 1 г 1 * I

Отметим, что замена н = ь + V |г приводит к тому

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Батищев, Владимир Андреевич

Основные результаты работы.

1. Разработан асимптотический метод расчета термокапилляр. пых течений жидкости с учетом деформируемости свободной границы в случае малых диссипативных коэффициентов. Найдены уеловия, при которых расчет формы свободной границы значительно упрощается. Поверхности раздела жидкой и газовой фаз рассчитаны для различных областей физических параметров.

2. Найдены автомодельные режимы для стационарных и нестационарных термокапиллярных течений однородной и стратифицированной жидкости в плоском и осесимметричном случаях. Выявлены такие свойства как неединственность, наличие нескольких зон тока и противотока, немонотонность профиля скорости. Определены области параметров, в которых обнаружено несколько ветвей режимов течений жидкости или. эти режимы отсутствуют.

3. Изучены задачи ветвления автомодельных режимов осесим метричных течений жидкости в тонких слоях. Показано, что во всех случаях ответвляется пара новых режимов течений с вращением.

4. Разработан метод расчета малых колебаний жидкости при воздействии термокапиллярного эффекта на свободную границу. Установлено, что термокапиллярный эффект может приводить к гашению колебаний, их усилению или возникновению непериодических ограниченных осцилляций.

5. Для малых диссипативных коэффициентов развит асимптотический метод расчета нелинейных волновых движений жидкости при воздействии на свободную границу касательных напряжений (вызванных тепловыми или ветровыми нагрузками;. Рассчитаны критические значения параметров, при которых происходит разрушение нелинейных волн (солитонов), а также капиллярно-гравитационных волн малой амплитуды.

6. Для расчета течений жидкости в случае возникновения "слабых" пограничных слоев вблизи поверхностей разрыва разработан асимптотический метод, позволяющий получить решение уравнений пограничного слоя в явном виде.

7. Изучено влияние модуляции температуры нагрева твердой границы на возникновение конвекции в горизонтальном слое двух-компонентной жидкости. Определена структура возмущений, вызывающая неустойчивость движения.

Полученные результаты, связанные с исследованием термокапиллярных течений жидкости при малых диссипативных коэффициентах, с исследованием течений жидкости со свободными границами и поверхностями разрыва, а также с развитием асимптотических и численных методов исследования, связанных с методами пограничного слоя, двухмасштабных разложений, деформирования координат, разложения по параметру, интегральных преобразований развивают известные представления гидродинамики в области теории пограничного слоя вблизи свободных границ, имеют весьма общий характер и широкий диапазон приложений в химической и космической технологиях, в геофизике и в различных прикладных вопросах. Эти результаты уже нашли свое отражение и развитие в ряде статей, обзоров, монографий. По материалам исследования прочитаны спецкурсы по асимптотическим методам в гидродинамике и прикладной математике, по теории пограничного слоя, по задачам со свободными границами, выполнены курсовые и дипломные проекты.

В 1893 ■ 199? г.г. работе присуждены гранты Российского фонда фундаментальных исследований (9 з-о1з-176э 8, 9 6-о1-о11оз > И "International Science Foundational" (фонд Сороса,J2K100>.

В .1996 г. редакция журнала "Прикладная математика и механика" присудила премию Ватищеву В.А. за одну из лучших публикаций журнала за 1995 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненных исследований решена крупная проблема теплофизики: математическое моделирование тепловых пограничных слоев вблизи поверхностей раздела жидкой и газовой фаз, имеющая важное научное и техническое значение.

Приведем результаты работы по разделам.

1. При больших числах Марангони построены асимптотические разложения решения задачи о термокапиллярном течении жидкости в неограниченной области при воздействии на свободную границу касательных напряжений, вызванных градиентом температуры. Разработан асимптотический метод для расчета течений в области пограничного слоя и вне его с учетом деформируемости свободной границы. Показано, что в плоском и трехмерном осесимметричном случаях уравнение свободной границы интегрируется отдельно от системы уравнений' пограничного слоя сесли известен профиль скорости хотя бы в одном сечении пограничного слоя).

В условиях невесомости или при локальном нагреве свободной границы задача допускает явные решения. Рассчитано влияние физических параметров на форму свободной границы нагретого жидкого слоя, налитого на горизонтальную поверхность и имеющую с ним линию контакта. Решена задача о равновесии пузыря, находящегося под действием гравитационных и термокапиллярных сил.

2. Построены новые автомодельные решения в плоском и осесимметричном случаях для термокапиллярных течений в тонких слоях с твердой и свободной границами с неизвестными заранее градиентами давления. Выявлены такие свойства, как неединственность, наличие нескольких зон тока и противотока, немонотонность профиля скорости. .Установлено влияние сил плавучести, которые могут усиливать, ослаблять или приводить к возникновению возвратных течений в неоднородной жидкости. Исследовано влияние внешнего потока (найдены области параметров, где решение единственно, отсутствует или имеется несколько ветвей решений).

Найдены критические значения параметров при которых происходит разрыв тонкого жидкого слоя при нагреве по гармоническому закону.

Построены автомодельные решения для нестационарных термокапиллярных течений в слоях с удаляющимися границами. Рассчитаны области параметров, в которых задача имеет несколько решений или решения отсутствуют. Для слоев бесконечной толщины найдены точки ветвления и рассчитаны ответвившиеся решения.

3. Разработан метод расчета малых колебаний жидкости при воздействии термокапиллярного эффекта на течение со свободной границей в неограниченной области. Показано, что задача о течении невязкой жидкости учитывает поле скоростей в пограничном слое и поверхностные касательные напряжения.

Установлено, что термокапиллярный эффект может приводить к гашению колебаний, их усиленшо или возникновению непериодических ограниченных осцилляций.

4. Исследованы задачи ветвления стационарных и нестацно -парных термокапиллярных течений жидкости в тонких слоях при нагреве по степенному закону. Во всех случаях показано, что в точках ветвления возникают по два симметричных решения с ненулевой окружной компонентой скорости. Новые решения ответвляются в сторону докритических или сверхкритич е ских значений параметров. Построены асимптотики ответвившихся решений, которые продолжены численно.

5. Асимптотический метод применен к расчету стационарных автомодельных решений в пограничных слоях вблизи свободной границы при заданных поверхностных касательных напряжениях. Показано, что воздействие радиальной компоненты касательной нагрузки может приводить к потере свойства монотонности в профиле скорости, возникновению точки ветвления, разделяющей течения с вращением и без него. В тонких слоях, примыкающих к поверхности безграничной жидкости возможны несколько ветвей решений, одно решение или отсутствие решений в зависимости от толщины слоя, скорости внешнего потока и направления касательной нагрузки.

Показано, что действие касательной нагрузки на свободную поверхность носит сглаживающий характер.

6. Разработан асимптотический метод расчета волновых движе. ний жидкости малой вязкости при воздействии на свободную поверхность касательных напряжений. Сформулирована задача о течении невязкой жидкости, учитывающая в краевых условиях на свободной границе поле скоростей пограничного слоя и поверхностные касательные напряжения.

Установлено, что при воздействии касательных напряжений на солитон могут возникать решения трех типов: солитоны, солитоны с осциллирующими хвостами и волна типа "бор". При достижении амплитудой нагрузки критического значения эти решения разрушаются. Изучено влияние капиллярных сил, а также сил плавучести. В неоднородной жидкости касательные нагрузки сначала разрушают первую моду, затем вторую и следующие.

Исследован результат воздействия касательных напряжений на капиллярные и гравитационные линейные волны. Показано, что при предельных значениях нагрузки эти волновые решения разрушаются. При воздействии нагрузки на длинные волны возможен эффект возврата, возможны монотонные и осциляирущие решения.

7. Предложен асимптотический метод исследования течений маловязкой жидкости в случае формирования "слабых" (линеаризованных > пограничных слоев вблизи свободных границ и поверхностей разрыва. Найдена универсальная замена переменных, преобразующая уравнения пограничного слоя с переменными коэффициентами в систему уравнений теплопроводности с постоянными коэффициентами, решение которой находится в явном виде.

Получены асимптотические решения в пограничном слое при всплытии пузыря с произвольной скоростью. Изучен эффект сил плавучести в пограничном слое в неоднородной жидкости. На больших отрезках времени построена асимптотика решения задачи о диффузии вихря с разрывными начальными данными.

Асимптотический метод применен к исследованию влияния малых диссипативных коэффициентов на линейные колебания. Изучено влияние на демпфирование колебаний двухкомпонентной жидкости различных факторов, напрмер термодиффузии.

8. Изучено влияние пространственной модуляции температуры на конвекцию двухкомпонентной жидкости в горизонтальном слое. Определена структура возмущений, вызывающих неустойчивость движения. Показано, что модуляция температуры оказывает стабилизирующее воздействие, однако этот стабюшвирующий эффект снижается с ростом частоты модуляции, а наличие в жидкости примеси может как увеличивать его, так и снижать. Изучена устойчивость стационарных режимов течений вблизи критических чисел Рэлея.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Батищев, Владимир Андреевич, 1998 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Napolitano L.G. Marangoni boundary layers // Proceeding 3rd Eropean Symposium on Material Science in Space. Grenoble, ESA BP.....142.1979.P.349.....358.

2. Napolitano L.G., .Golia C. Coupled Marangoni boundary layers // Acta Astronáutica. 1981.V.8.N 5-6.P.417-434.

3. Napolitano L.G.,Russo G, Similar axially symmetric Marangoni boundary layers // Acta Astronáutica. 1984.V.11. N 3-4.P.189-198.

4., Cowley S.I. and Davis S.H. Viscous thermocapillary convection at high Marangoni number // J.Fluid Mech. 1983.v.135.P.175-188.

5. Pukhnachov V.V, Boundary layers near free surfaces // Computational and asymptotic methods for boundary and interior layers. Dublin: Bool Press. 1982.p.97-110.

6. Копбосынов B.K.,Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // Сб.:Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. 1983,с.не-123.

7. Кузнецов В.В. Расчет течений расплава в ампуле // Журнал прикл. мех. и техн. физики. 1984.N 2. С.105-110.

8. Шкадов В.Я. К образованию волн на поверхности вязкой тяжелой жидкости под действием касательного напряжения. // Известия АН СССР.Механика жидкости и газа. 1970, N з.

С.133.......137.

9. Pukhnachov V.V. The models of thermocapillary motion // Control and Cybernetics. 1985.V.14.N 1......3.P.145-159.

10. Левич В.Г. Физико - химическая гидродинамика. М.:Физматгиз. 1959.С.899,

11. Саночкин Ю.В. Установившееся термокапиллярное дви-

жение в горизонтальном слое жидкого металла, локально нагреваемом сверху // Изв.АН СССР.МЖГ.1984.N 8..с. 146-152.

12. Саночкин Ю.В. Некоторые задачи о термокапиллярном движении жидкости // Журнал пржл. мех. и техн.физики. 1989. N 5.С„83......89.

13. Batisehev V.A.,Kuznetsov V.V.,Pukhnachov V.V. Marangoni boundary layers // Progress in Aerospace Science. 1989. N 26.P.353-370.

14. Кузнецов B.B. 0 существовании пограничного слоя вблизи свободной поверхности // Математические проблемы механики сплошной среда. Динамика сплошной среда. Новосибирск. ЖГ СО АН СССР. 1984. Вып.67.с..68.......75.

15.Пухначев В.В. Групповой анализ уравнений нестационарного пограничного слоя Марангони // Доклада АН СССР. 1984.Т.279. N 5.С.1061-1064.

16. Minkowski Н.»Kapillaritat. Ene, der Math.M'iss, .V.Leipzig. 1903. P.558.....613.

17. Bakker GKapillaritat und Oberflachenspannung. Handb.d. Exp. Phys. B.6,Leipzig. 1928.

18. Бабский В.Г. Допачевс.кий Н.Д..Мышкис А.Д.Слобожанин Л.А.,Типцов А.Д.Гидромеханика невесомости.М.Наука.1976.с.504.

19. Моисеев H.H. »Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.Наука. 1965.с.440.

20. Срубщик Л.С.,Юдович В.И. Асимптотическая форма свободной поверхности равномерно вращающейся жидкости при больших числах Бонда // Изв. АН СССР. МЖГ.1973.N 6.с.3-12.

21. Румянцев В.В. К теории движения твердого тела с полостями наполненными жидкостью // ПММ.1966.Т.30.Вып.1.С.51-66.

22. Румянцев В.В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением //

ПММ. 1968» Т.28. N 4.С.746......753.

2 з. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости//!. Мир. 1981. 0.638.

24. Батизцев В.А. Влияние термокапиллярного эффекта на малые колебания жидкости при больших числах Марангош // Журнал пршсл. мех. и техн. физики. 1992.N 6.С.41-46.

25. Batchelor G.K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number// J.Fluid Mech.1956. V.1.P.177-190,

26. Wood W.W. Boundary layers whose streamlines are closed.// J„Fluid Mech. 1957.V.2. N 1. p.77.......87.

27.Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr

kleiner reibung. ...... In: Verhandl. 3 Int. Math. Kongr. Hei

delderg, 1904. Leipzig. Teubner. 1905.S.484-491-. .

28. Blennerhassett P.J. A three ...... dimensional analogue

of the Prandtl - Batchelor close streamline theory // J. Fluid Mech. 1979. V.93.

29. Лаврентьев M.A.,Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.:Наука. 1973,. 41 б с.

30. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука.1981. 386 с.

31. Шлихтияг Г. Теория пограничного слоя. М. На укал 974. С.711.

32. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории пограничного слоя. М.Наука. 1977.С.224.

33. Срубщик Л.С.,Юдович В.И. Асимптотика слабых разрывов течений жидкости при исчезающей вязкости // Доклады АН СССР.1971.Т.199.N 3. С.563-566.

34Батищев В.А.,Срубщик Л.С. Диффузия сферического вихря Хилла при исчезающей вязкости // Доклады АН СССР.

1971 » T.19?. N 5,С.1038.....1041.

Зб.Батшцвв В.А.„Срубщик Л.С. Диффузия плоского кругового вихря в неоднородной жидкости при исчезающей вязкости // В сб. "Мат. анализ и его приложения". Изд. Ростовского УН - та. 1974. Î.5. С.114-119.

36. Ватищев В.А. Диффузия плоского вихря при исчезающей вязкости // В сб. "Мат. анализ и его приложения". Изд. Ростовского ун-та. 1974.Т.6,.с.76-82.

37. Ватищев В.А.,Юдович В.И. О затухании собственных колебаний двухкомпонентной жидкости .при малых диссипа-тивных коэффициентах // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Ï.XS.N 6.с.628......633.

38. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.Мир.1973. С.785.

39. Ватщев В.А. Пограничный слой на свободной границе, вызванный касательными напряжениями // Известия Северо-Кавказского Научн. Центра Высшей Школы.I985.N I.С.23-25.

40. Batischev V.A. The asymptotics of the fluid flow with free surface under conditions of vanishing viscosity // The Fourth International conference on boundary and interior layers. Abstracts. Novosibirsk. I986.P.17.

4.1. Batischev V.A. The asymptotics of the fluid flow with free surface under conditions of vanishing viscosity // BALL IV Proceeding of the Fourth International. Conference on Boundary and Interior Layers ~ Computational and Asymptotic Methodsd. 7 ~ 11 July 1988. Novosibirsk USSR.1988.P.204-209,

42. Батшцев В.А. Асимптотика свободной границы при термокагшллярной конвекции для больших чисел Марангони // Тезисы докл. 4 Веесоюзн. семинара по гидромеханике в

невесомости. Новосибирск. 1987.с.46-52.

43. Batisehev V.A. The asymptotics of free surface 'under the condition of vanishlhg viscosity // XI11 Symposium on advanced, problem in fluid mechanics. Abstracts of contributed paper. Mragovo, Poland. 1987.P.234-235.

44. Батищев В.А. Асимптотика свободной поверхности термокапиллярного течения жидкости при больших числах Марангони.// Известия АН СССР. МЖГ. 1989. N 3.с.81-67.

45. Батищев В.А. Асимптотика неравномерно нагретой свободной границы капиллярной жидкости при больших числах Марангони // ПММ. 1989. Т.53. Вып.3.с.425-432.

46. Батищев В.А. Влияние термокапиллярного эффекта на форму свободной границы при больших числах Марангони // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1990. N 5.С.41-48.

47.Батищев В,А. Исследование термокапиллярных эффектов при больших числах Марангони.// Тезисы докладов на vii Всесоюзном съезде по теоретич. и прикл. механике. Москва. 1991.15-21 августа.1991.с.39.

48. Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Новосибирск. 1989. с.96.

49. Кочин Н.Е.Дибель И.А.„Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Изд. 6.Т.1. м.Физматгиз. 1963

50. Роуз X. Механика жидкости. Изд. лит.- ры по строительству. 1967.С.390.

51. Вишшс М.И.»Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат.наук. 1957.Т.12.

N 5(77).С.3-122.

52. Вишик М.И. „Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений

// Доклады АН СССР, 1958,Т.121. N 5. С/778-781.

53. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Доклада АН СССР.1962,Т.147„ы 7.

54. Шабат A.B. О двух задачах на склеивание /У Доклада АН СССР. 1963. Т.150. N 6.С.1242-1245.

55. Плотников П.И. О разрешимости одного класса задач на склеивание потенциального и вихревого течений // В сб. "Динамика сплошной среды". Новосибирск.1969,вып. III.

56. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Учебное пособие в ю т. Т.У1. Гидродинамика. - 3-е изд.М.: Наука. Гл.ред.фив.-мат. лит. 1986.с.738.

57. Bousslnesq J. Theorie analytique de la chaleur. Paris. 1903,, V.2.

58» Oberbeck A. Uber die Warmeleitung der Flüssigkeiten

bei der Beruchslchtiguhg der Strömungen intolger von Tempe.....

raturdifferenaen. Ann. der Phys.und Chem.1879.7.271

59. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Статистическая физика. "Наука".Москва. 1976.с.584.

60. Гершуни Г. 3.,Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Глав, ред.физ...... мат. лит. изд -

ва "Наука". 1972.с. 392,

61. Форсайт Дж. Малькольм М.,Шулер К. Машинные методы математических вычислений. M.:Мир.1980.с.280.

62. Фаронов В.В. Программирование на персональных ЭВМ в среде Турбо-Паскаль. M.:Изд-во МГТУ.1991.с.580.

63.Бахвалов Н.С.Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные диф. уравнения).Глав.ред. физ-мат. лит- ры изд-ва "Наука". М. 1975.с. 631.

64. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. Под редакцией М.Абрамовича и И.Сти-

ган. М. ;Наука, 1979. С. 832..

65. Градштейн И.С. .Рыжик И.М. Таблицы интегралов, суш,

рядов и произведений. М.:Наука. 1971.с. .1108.

66. Вейтмен Г. ?Зрдейж Л. Высшие трансцендентные функции. М.:Наука.1973.С.294.

67. Черноусы» Ф.Л. Движение тонкого слоя жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения // ПММ,1965, Т.29. N 5..С.856-862.

68. Черноусько Ф.Л. Задача о равновесии жидкости, подверженной действию сил тяжести и поверхностного натяжения // Сб. "Введение в динамику тела с жидкостью в условиях невесомости" ВЦ АН СССР.1968.с.69-97.

69. Мьвпкис А.Д.,Слобожанин Л.А., Типцов А.Д. 0 малых возмущениях равновесной поверхности капиллярной жидкости // ПУМ.1975.Т.39.Вып.4.С.695-702.

70. Moffat Н.К. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J.. Fluid, Mech. 1964.V, 18, N 1.P.1-18.

71. Солонников В.А. Разрешимость трехмерной задачи со свободной границей для стационарной системы уравнений Навье - Стокса // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1979.Т.84.

72. Pimputkar S.M.,0strach. Transient thermocap. flow in thin ligud layers // Phys. Fluids.1980.V.23. N 7.

73. Вирих P. В. 0 термокапиллярной конвекция в горизонтальном слое жидкости // Журнал прикл. мех. и техн. физики. 1966. N 3.С.69-72.

74. Саночкин Ю.В. Термокапиллярная конвекция в тонком слое жидкости, локально нагреваемом сверху // Журнал прикл. мех. И техн. физики. 1983.N 6.С.134-137.

75. Batishchev V.A. Thermocapillariby effects at high Marangony numbers // International Symposium on Hydro-

mechanics and Heat/Mass Trancfer in Microgravtty. Abstracts of Contributed paper, Perm-Moscow,USSR, 1991,

76. Ватищев В.А. Автомодельные решения, описывающие термокапиллярные течения в вязких слоях. /у ШМ. 1991.?.55.ВЫП.3.С.389-395.

77. .Андерсон Д. Даннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.Мир.1989.Т.2.с.726.

78. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. ОНТИ. 1935.

79. Brady J.Б.»Acrivos A. Steady flow in a channel or tube an accelerating surface velocity. An exact solution to

the Navier.....Stokes equations with reverse flow // J. Fluid

Mech. 1981.V.113. P.127.....150.

80. Потетшко Э.Н.,Л.С.Срубщик Асимптотически! анализ воновых движений вязкой жидкости со свободной границей // 1970, N 5.Т.34.С.891.....910.

81. Миропольский Ю.З. 0 генерации внутренних волн в океане полем ветра // Океанология. 1975.T.10.N з.с.389-396.

82., Ватищев В.А. Влияние термокшталлярного эффекта на малые колебания жидкости при больших числах Марангони // Журнал прикл. мех. и техн. физики. 1992.N.6.с.41-46.

83. Ватищев В.А. Асимптотический анализ пограничных слоев и поверхностей "слабого" разрыва в жидкости малой вязкости // Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. Ростов-на-Дону.1977.с.142.

84. Бахвалов Н.С. »Панасенко Г.Г1. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.:Наука. 1984.с.352.

85. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Глав. ред. физ-мат.

ото

£j i О

лит. жзд - ва "Наука", 1974.с.502.

88. Уиттеквр Е.Т. ,Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. Т.2.1963.с.516.

87. Камке Э. Справочник; по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука.197 8.с.57 в.

88. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифферен • циальныж уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск. 198 з.

89. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. М. Мир. 1986.Т.1.С.397.

90. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.Мир. 1984. Т.I.e.400.

91. Океанология. Физика океана. Т. 2. Гидродинамика океана. Отв. редакторы В.М.Каменкович, А.С.Монин. Москва. Наука. 1978.с.455.

92. Ватищев В.А.,Срубщик Л.С. Об асимптотшсе свободной поверхности жидкости при исчезающей вязкости // Доклады

АН СССР. 1975.Т.222. N 4.С.782-785.

93. Ватищев В.А. Асимптотика осесимметричных течений жидкости при исчезающей вязкости // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1975.N з.с.101-109.

94.Ватищев В.А. Асимптотика пограничного слоя на свободной поверхности жидкости // Известия Севере Кавказского Научного Центра Высшей Школы.1975.N 4.с.27-29.

95. Ватищев В.А.,Жуков М.Ю.,Срубщик Л.С.,Юдович В.И. Некоторые применения методов пограничного слоя в механике сплошной среды // Аннотации докладов IV Всесоюзного съезда по теоретической механике. Киев. 1976.с.42.

96. Ватищев В.А. Влияние малой вязкости на потенциальное течение жидкости со свободной границей в фор-

ме эллшса // Журнал пртсл.мех.и техн,физ.1977.,м i.e.101-105.

98. Ватищев В.4.Асимптотика неустановившегося движения жидкости со свободной границей // Известии All СССР. МЖГ. 1978,N 5.С.193.

99. Ватищев В.А. Об асимптотике течений жидкости со свободной границей // Журнал прикл.механ. и техн. фи -ЗИКИ. 1980. N 1.С.82-67.

100. Karman Т. Uber die laminare und turbulente Rei bung // Zeitschift fur angewandte Mathematik und Mechanik. 1921.Bd,l.P.232-252.

101. Cochran W.G. The flow due to a rotating disk // Proc. Carnbr, Phil,. Soc.1934.V.30, N 3P,. 365-375.

102. Ватищев В.А. Нелинейное воздействие касательных напряжений на волновое движение жидкости малой вязкости // I3MM. 1991 .Т.5.Вып.I.e. 79-85.

103. Ватищев В.А.,Сетракова Е.В. Разрушение поверхностных волн касательными напряжениями // Тезисы докл.

на 2 Школе по числ. метод. МСС.Абакан.1989.с.29 -зо,

ю4.Ватищев В.А. Об асимптотике течений маловязкой жидкости .при действии касательных напряжений на свободной границе // Журнал прикл. механ. и техн. физике. 1987. N 5.С.101-107.

105. Ватищев В.А. Пограничный слой на свободной границе, вызванный касательными напряжениями // Известия Северо-Кавказского Научн.Центра Высш. Школы.1985.N I.e.23-25.

106. Овсянников Л.В.,Макаренко H.И.,Налимов В.И.,Ляпидевский В. Ю., Плотников II. И,, Стурова И. В., Букреев В.И.»Владимиров В.А. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск.Наука. 1985.е.318.

107. Grange (Lagrange) J.L.de la. Mechanlque anali

tique, Paris. 1788.V.2.

108. Уизем Дж. Линейные и нежнейше волны.М.:Мир.

1977.С.622.

109. Friedrichs К»О. On the derivation of the shallow water theory. Appendix to "The formation of breakers and bores" by J.J Stoker // Comm.Pure Appl. Math. 1948.V.l.

110. Boussineq J. Theorie de PIntumescence liquid appelce onde solution on de translation se propageant dans im canal rectangulalre // Comptes Rendus . 1971»V,72.

111. Korteweg D.J.,de Vries G. On the change of form of longwaves advaning in a rectangular channel and on a new tupe of long stationary waves // Phil. Mag. 1895.V.39. N 5. P.422-443.

112. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М. Наука. 1977. с.815.

из. Океанология. Физика океана. T.I. Гидрофизика океана // Под ред. В. М.Каменковича, А.С.Монина. 1978.с.455.

114. Миропольский Ю.З.Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Ленинград. Гидрометеоиздат.1981.с.302.

115.. Юзн Г. ,Лэйк В. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.Мир. 1987.С Л79.

116. Батищев В.А., Треначев В.В. 0 применении метода многих масштабов в задачах теории; волн // Журнал прикл. механ. и техн. физики. 1982. ы З.с.42-44.

117. Штокман Б. Избранные труды по физике моря. Л.:Гидрометеоиздат. 19 7о.

118. Привалов И.И. Ведение в теорию функций комплексного переменного. Изд. Наука. Москва.1967.с.444.

119. Батищев В.А. Асимптотика свободной поверхности жидкости при исчезающей вязкости в пространственном слу-

чае // Задачи пщромех. и теплообмена со своб. границами: Межвузовский сб. научи. трудов. Новосибирский ун - т. Новосибирск. 1987.С.48.....52.

120.Батщев В.А. Нестационарный пограничный слой на эллипсоидальном пузыре // Известия Северо-Кавказского Центра Высшей Школы. 1977.N 3.С.24-26.

121. Ватищев В.А. Конвективная диффузия примеси в маловязкой жидкости // Известия Северо-Кавказского Центра Высшей ШКОЛЫ. 1979, N 3.С.14-17.

122. Ватищев В.А. Не устойчивость потока со свободной границей, вызванная локальными касательными напряжениями

// Тезисы докл. школы - семинара "Нелинейные задачи теории гидродинами, устойчивости". Колюбакино. 1989.с.8.

123. Петров А.Г. Нестационарный пограничный слой на сферическом пузыре // Вестник Московского ун - та. Математика, механика. 1971,ш i.e.69-76.

124. Moore D.W. The boundary layer on a spherical gas bubble // J. Fluid Mech,, 1963.V.16.

125. Гупало Ю.П. ,Рязанцев Ю.С., Сергеев Ю.А, Диффузионный поток на деформированный газовый пузырь при больших числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ.1976.И 4.с.70-76.

126. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д., Рязаяцев Ю.С. Маесобмен реагирующих частиц с потоком. М.Наука. 1985. с.356.

127. Moore D.W. The velocity of rise of distorted gas bubles in a liquid of small viscosity // J.Fluid Mech. 1965.V.2.Pt.4.P.749......766.

128. Некрасов А.И. Собрание сочинений. T.l. Изд.АН СССР. Москва.1961.с.442.

129. Hill M.J. On a spherical vortex // Phil. Roy. Soc.

1894. А 185.

130. Билля Г. Теория вихрей. М.Гостехиздат.1936.С.266.

131. Моисеев H.H. 0 краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала // Журнал выч. матем. и мат. физики. 1961.Т.1.N з.с.548-550.

132. Черноусько Ф.Л. 0 свободных колебаниях вязкой ЖИДКОСТИ В сосуде // IHM.1966.Т.30.Выл.5.С.977.......992.

133. Потетюнко Э.Н., Срубщик Л.С.,Царюк Л.В. 0 применении' метода стационарной фазы в некоторых работах по теории ВОЛН' На ПОВерХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ // ПММ, 1970, т. 34,вып. 1

134. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.Гостехиздат. 1954.с.795.

135. Миропольский Ю.З. 0 распространении импульсов в стратифицированной вращающейся жидкости // Известия АН СССР.Физика атм.и океана.1975.Т.ii.n 12.с.1314-1322.

136. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.Гидрометеоиздат. 1981.С.302.

137. Федорюк М.В. Метод перевала. М.:Наука.1977.с.368.

138. Потетюнко Э.Н. Асимптотический анализ переднего фронта волны, вызванной начальным возмущением свободной поверхности вязкой жидкости постоянной глубины // Мат. анализ и его приложения. Изд. Ростовского ун-та.1974.Т.5.с.194-197.

139. Сретенский Л.Н. 0 волнах на поверхности вязкой ЖИДКОСТИ // Тр. Ц&ГИ. 1941.N 541.С.1-34.

140. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.Мир. 1984.С.536.

141. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. М.Наука. 1974.С.178.

142. Олвер. Ф. Введение в асимптотические методы и сне-

циальные функции. M.Наука. 1978.0,275,

143. Ватшцев в.А. Пограничные слои вблизи плоской свободной границы жидкости, вызванные осесимметричными касательными напряжениями // Прикладная математика и механика. 1993. Т.57. ВЫП.5.С.60.......67.

144. Ватшцев В.А. Расчет термоканилляриого течения в замкнутой области при больших' числах Марангони // Вычислительные технологии. 1993.Т.2 N,5,С.27-34.

145. Батищвв В.А. Влияние термокапиллярного эффекта на малые колебания свободной поверхности // Материалы vu Школы - семинара "Нелинейные задачи устойчивости". Институт механики МГУ. 1992.С.5-8.

146. Ватшцев В.А.,Капыш М.В. Воздействие ветровых нагрузок на поверхностные и внутренние нелинейные волны // Вычислительные технологии. 1993. Т.2 N 4,С.71-79.

147. Кузнецов В.В. Расчет полей скорости и концентрации в расплаве при получении кристаллов методом бестигельной зонной плавки // Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. Новосибирск. 1987.с.91--97.

148. Батишев В.А. Автомодельные решения, описывающие нестационарные термокапиллярные течения жидкости.// Прикладная математика и механика. 1995 .Т.59. Вып. 6. с. юоз-1 -......9.

149. Келлер Д.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.Мир.1974.с.254.

150. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М. Наука. 1967.с.527.

151. Batiochev V.V. Bifurcation of self-similar solutions for the fluid flow in thln Marangoni layers// International Workehop Free Boundary in Viscous Flows.

St.-Peterburg. 3-7 September. 1998.P.7,

152,. Batischev V.A, The termocapillary fluid flow in limited region at high Marangoni numbers// First International Aerospace Congress. Theory. Applications. Technologies. Proceedings. Moskow. 1995.V.2.P.354-356.

153. Batischev V.A. Bifurcatins of self......similar

solutions for the non-stationary termocapillary fluid flow in thin Marangony layers// Joint Xth Eropean and VI Russian Symposium on Phisical Sciences in Microgravity, 15.....21 June 1997,. St........Peterburg.P.31.

154. Batiscev V.A. Bifurcations of termocapillary fluid flow in thin Marangoni layers// Second International Aerospace Congress. Abstracts. Moskow.

31 August - 5 September 1997.P.18.

155. Батицев В. A.„Колесов В. В., Слитинская С. К., Юдович В. И. Влияние пространственной модуляции температурного поля на устойчивость стационарного течения в горизонтальном слое жидкости // Извести АН СССР. Механика ЖИДКОСТИ И газа. 1983.N 3.С.128 -132.

156. Ватищев В.А.,Колесов В.В., Слитинская С.К., Юдович В. И. Влияние пространственной модуляции температурного поля на устойчивость стационарного течения жидкости в горизонтальном слое двухкомпонентной жидкости // Журнал приладной механики и технической физики. 1985.

N 2. С.83........85.

157. Ватищев В.А., Слитинская С.К. Влияние модуляции

температуры на границе на конвекцию в горизонтальном слое жидкости// Известия СКНЦ ВШ. Серия естественных наук.

1984. Ш 2.С.37.......40.

158. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973„ ы 1.

159. Batlschev V.A. Bifurcations of Non-Stationary Regimes of Fluid Flow in Thin Marangoni Layers// 15th IMACS World Congress 1997, Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics. Proceedings. August 24-29,1997. Berlin. Germany. V. III. P.211-217.

160. Батщев В.А. Ветвление автомодельных решений, описывающих термокапиллярные течения жидкости в слоях Марангони // Математические модели и метода их исследования. Международная конференция. 25-30 августа 1997 года. Красноярск. Россия. 1997.с.24.

161. Марков А.А. Асимптотичвский анализ уравнений Навье-Стокса для трехмерных течений в тонком ударном слое: Препринт N 124. м.: йн-т проблем механики АН СССР. 1975.С.75.

162. Markov A.A. Unsteady viscous shock layer near permeable surface// Arch. Mech.1989.?.41.N 6.P.795-810.

163. Марков А.А. Расчет трехмерного вязкого ударного слоя; Препринт N 428. м.: Ин-т проблем механики АН СССР. 1989. С.29.

164. Марков А.А. Численное моделирование трехмерных вязких потоков маршевым методом с глобальными итерациям! давления // Изв. Академии наук. Механика жидкости и газа. 1992. N 5„С.132.....147.

165. Чудов Л.А. Высшие приближения в пограничном слое// "Некоторые применения метода сеток в газовой дина -

мжсе". Вып.II. "Асимптотика по малому параметру вязкости". Изд. МГУ. 1971.

166. Стулов В.П. Пограничные слои в химически реагирущих и излучающих средах // Аэромеханика и газовая динамика. М.:Наука. 1976.с.150-159.