Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Васильев, Антон Николаевич

• Васильев, Антон Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Васильев, Антон Николаевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм

Глава 2. Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи

Глава 3. Арифметические приложения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения»

Введение

Актуальность темы

Область исследования диссертации относится к разделу теории чисел, занимающемуся оценками тригонометрических сумм. В работе доказываются верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их арифметические приложения.

Тригонометрической суммой называется сумма вида

где \Х\ - количество элементов X.

Но интерес представляют только такие верхние оценки, в которых присутствует понижающий множитель, то есть оценки вида

где функция, ад- натуральное число.

Тригонометрические суммы впервые появились в работах К. Гаусса. В дальнейшем ими занимались Г. Вейль, Г. Харди и Д. Литтлвуд, Л. Морделл и многие другие.

После работ И. М. Виноградова [6], посвященных решению проблем Варинга и Гольдбаха, в которых был значительно развит и усовершенствован аппарат тригонометрических сумм, интерес к этой тематике многократно возрос. В частности, появилось много работ и о рациональных тригонометрических суммах.

где 0 < 6 < 1 - понижающий множитель.

Рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

Полной рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

Х=1

где /: {1,2,..., с/} % - функция.

Важным частным случаем являются полные рациональные полиномиальные тригонометрические суммы (частный случай сумм Г.Вейля), когда в показателе экспоненты стоит многочлен с целыми коэффициентами.

Хуа Ло Кен доказал следующий результат [17, 20]:

для любого натурального ц и любого многочлена /(х) = агх + а2х2 + —Ь апхп, у которого (а1( а2,..., сц,^) = 1, причем постоянная в знаке О зависит только от п.

В 1948 году А. Вейль [25] получил оценку для сумм с простым знаменателем, в этом специальном случае значительно улучшающую оценку Хуа Ло Кена. Он доказал, что

для любого простого р и любого многочлена f{x) = агх + а2х2 + —Ь апхп, у которого (ап,р) = 1.

Этот результат, простой и удобный в применении, не дает, тем не менее,

Поэтому было бы полезным получить оценки в случае «больших» п. Однако, как правило, получить оценку для общего случая «больших» п не удается, а улучшение оценки А. Вейля производится только на некоторых классах многочленов.

Выделим две такие работы.

В 1965 году Н. М. Акулиничев доказал [1] следующую оценку для двучленов:

нетривиальной оценки в большом числе случаев, а именно, при п > д/р + 1.

где f{x) = ах + Ъхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое, а 3 = (п,р — 1).

В работе А. А. Карацубы 1967 года [10] было доказано несколько оценок полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм, в том числе такая оценка для двучленов:

т.р)\ = \i:vx=1e2nifJ?\ < (n- i)i/4p3/4,

где f{x) = ах + Ьхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое.

В первой главе данной диссертации получены аналоги результатов Н. М. Акулиничева и А. А. Карацубы для многочленов более общего вида.

Обратимся теперь к другому типу рациональных тригонометрических сумм, а именно, к суммам с рекуррентно заданной последовательностью в числителе, то есть

S((xn),q,u) = £n=ie

2ni—

где (хп) - последовательность целых чисел, заданная целыми значениями начальных членов х1,...,х]{ и рекуррентным соотношением -го порядка хп+к = ak-ixn+k-i + —I" аохп с целыми коэффициентами 1,..., а0, a q и и - натуральные числа.

Одним из первых такими оценками стал заниматься Постников А. Г. [14]. Оценки сумм этого типа можно найти также в работах Бояринова Р. Н. и Чубарикова В. Н. [4, 5], Минеева М. П. [13].

В монографии H. М. Коробова [И] приводятся оценки таких сумм в общем случае, однако, в этом виде оценки получаются достаточно грубыми.

В частных случаях, когда (хп) - показательная функция от п (или, что то же, рекуррентно заданная последовательность первого порядка), указанные оценки можно улучшить. Эти улучшенные (или уточненные) оценки для показательной функции и для суммы показательной и линейной функций можно найти, например, в той же монографии H. М. Коробова [11], а также в работах C.B. Конягина и И. Е. Шпарлинского [21].

Отдельно отметим следующий «статистический» результат Бояринова Р. Н. и Чубарикова В. Н. о рациональных тригонометрических суммах по числам Фибоначчи.

Теорема [5] : Пусть

где условиями /0 = = 2,/п+1 = ^ + /п_! задаются числа Фибоначчи, ^ж(Я) = \{а: 0 < а < т - 1, |5т(Л, а)| < л/я7Г}|,

причем гп +оо и И. как функция от т удовлетворяет условиям к = /1(т) +оо и к < g(X т, где а = • Тогда справедливо соотношение

Во второй главе данной диссертации в специальном случае доказывается верхняя оценка для среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи.

Наконец, отметим, что большая часть верхних оценок рациональных тригонометрических сумм имеют арифметические приложения.

Во-первых, это оценки для количества решений сравнения (в нашем случае -полиномиального) по простому модулю р. Подобные взаимосвязи хорошо описаны, например, в книге 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича [3], а также в работе Н. М. Акулиничева [1]. В третьей главе этой диссертации приводятся соответствующие теоремы для многочленов из теорем первой главы.

Во-вторых, рациональные тригонометрические суммы устроены таким образом, что хорошо «улавливают» арифметические свойства функции в показателе. Поэтому они могут быть полезны и в других задачах, в том числе в задачах аддитивной теории чисел.

В 1934 году Н. П. Романов [16] получил теорему о положительной плотности (в смысле плотности по Шнирельману) суммы множества простых чисел и множества степеней фиксированного натурального числа, большего единицы. Позже, в 1951 году П. Эрдеш доказал [19] аналог теоремы Романова, заменив степень фиксированного натурального на значение фиксированного многочлена с целыми коэффициентами от степени фиксированного натурального.

В. Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В своей работе К. Ли [22] приводит доказательство этого аналога, опираясь на результаты Шинцеля [23] и Зомера [24]. В опубликованной совсем недавно работе А. Дубицкас [18] обобщает результат К. Ли.

В третьей главе диссертации приводится новое доказательство аналога теоремы Романова для обобщенных чисел Фибоначчи.

Целью работы является получение новых верхних оценок модуля полной рациональной полиномиальной тригонометрической суммы в специальных случаях, верхней оценки среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи в специальном случае, оценки количества решений некоторых полиномиальных сравнений по простому модулю и решение одной аддитивной задачи, связанной с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

В работе используются методы элементарной и аналитической теории чисел.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области аналитической теории чисел.

Диссертация содержит следующие новые результаты:

А) в специальных случаях получены верхние оценки модуля полной рациональной полиномиальной тригонометрической суммы

где f{x) = агх + а2х2 + —I- апхп - многочлен с целыми коэффициентами, а р - простое число, не делящее ап;

Б) в специальном случае получена верхняя оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи

Цель работы

Методы исследования

Теоретическая и практическая ценность работы

Научная новизна

9-TTI

\Sif,p)\= 2=1 е р

где (Сп) - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

^п+2 = Сп+1 + при п > 1, причем в2 е М, а с1 и и - натуральные числа;

В) получены оценки для количества решений некоторых полиномиальных сравнений по простому модулю и альтернативное доказательство одного аддитивного результата, связанного с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

Апробация результатов

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры математических и компьютерных методов анализа МГУ «Аналитическая теория чисел» под руководством проф. В. Н. Чубарикова и проф. Г. И. Архипова в 2012-2013 гг.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

11-я Международная научная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (СГУ имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, 9-14 сентября 2013 г.);

Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце введения. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии (28 наименований). Общий объем диссертации составляет 44 страницы.

Содержание главы 1

Первая глава «Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм» состоит из трех параграфов. В первом параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 1: Имеет место оценка

где р > 3 - простое число, т, п,а,Ъ - натуральные числа, 2 < п < р — 1,т\п, т < п, (а, р) = (Ь, р) = 1.

Теорема 2: Справедлива оценка

где р > 3 - простое число, /(х) = а^х + а2х2 Н-----Н а^х^ + апхп -

многочлен с целыми коэффициентами, 1 < к < п < р — 1, (/с + 1)|п, (а1»р) = (а2,р) = ••• = (аЛ,р) = (ап,р) = 1.

Во втором параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 3: Имеет место оценка

где р> 7 - простое число, p = 3(mod4), a,b,n - натуральные числа,

где р > 3 - простое число, /(х) = а-^ + а2х2 + —Ь акхк и = Ьхл:"1 + —I- btxUt - такие многочлены с целыми коэффициентами, что р — 1 > пг > к и (р — 1, Пу, к) = 1 при всех 1 < г < t, (ак,р) = 1, a 5r = (р — 1,пг) при всех 1 < г < t.

3 < я < р — 1, (а, р) = (Ь, р) = 1, a 5 = (п — 1, р).

Теорема 4: Справедлива оценка

В третьем параграфе доказывается

Теорема 5: Имеет место оценка

- -ахп v-iP ¿Til-

<-— р,

2^2р

где р > 3 - простое число, а,п - натуральные числа, причем ^ - нечетное целое и (а, р) = 1.

Содержание главы 2

Во второй главе «Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи» исследуется величина

(A(d,u)f2 =

r , х1/2

где (Gn) - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

Gn+2 = Gn+1 + Gn при n > 1, причем Glf G2 e

и - натуральное число, d - бесквадратное (не делящееся ни какой квадрат простого) натуральное число, взаимно простое с числами Glf G2 и (G2 + G1G2—G22. Получена следующая

Теорема 6. Справедлива оценка

[A{d,и))1'2 < (B(d,u)f/2, где B(d, и) при и <Т' задается таким образом:

f Зи — 2, если u < Vt + 1

) -1 I

B(d,u) = < 7u2t 4, если yft + 1 < и < t*

_1 3

V lAu2t 8, если t4 < и < Т'

1

Если же и > Т', то и) = 56u2t s. Здесь

t = min{т. т > 1, d\FT], Т = min{Т: Т > 1, Gn+T = Gn(mod d) Vn},

а - обычная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу: = Рг = 1 и Рп+2 = Рп+1 + при п > 1.

Содержание главы 3

Третья глава «Арифметические приложения» содержит два параграфа.

В первом приводятся доказываемые с помощью классического приема оценки количества решений полиномиальных сравнений по простому модулю (теоремы 7-11), являющиеся следствиями теорем, полученных в первой главе.

Во втором параграфе приводится альтернативное доказательство следующего аналога теоремы Романова (этот результат обобщает теорему в работе К. Ли [22], но является частным случаем теоремы из работы А. Дубицкаса [18], вышедшей в одно время с работой автора):

Теорема. Справедливо соотношение

Ит-г^+до -сагс1{п: п < х,п = р + Ст] > О,

то есть множество натуральных чисел, представимых в виде суммы простого и обобщенного числа Фибоначчи, имеет положительную плотность (в смысле плотности по Шнирельману).

Работы автора по теме диссертации

[1] Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм с простым знаменателем, Вестник МГУ, Сер. 1, Математика. Механика, 2014, №2, с. 56-60.

[2] Васильев А. Н. Об арифметических свойствах обобщенной последовательности Фибоначчи и их следствиях, Известия СГУ, Нов. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, Т. 13, вып. 4, ч. 2, с. 34-41.

[3] Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм, сборник докладов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.), с. 19-20.

Глава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм

1.1

Прежде всего, отметим два классических соотношения при работе с рациональными тригонометрическими суммами, которые мы в дальнейшем будем часто использовать без объяснения.

А) Значение «разрывного множителя»:

уя 2nij- _ если а = 0 (mod q)

X=1 lo, если а Ф О (mod q)'

Б) Преобразование квадрата модуля суммы:

\Zxex е™™? =

В этой главе мы будем рассматривать полные рациональные полиномиальные тригонометрические суммы с простым знаменателем

S = S(f,p) = rx=1e2m Р ,

где f(x) = агх + а2х2 + —I- апхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого р — 1>п>2и (an,p) = 1.

Такие суммы можно оценить тривиально:

\S\<P,

но тривиальные оценки не имеют практической ценности в приложениях. Поэтому встает задача нетривиальной оценки S, то есть оценки вида

\S\ < PS,

где S - понижающий множитель, 0 < S < 1.

Самой известной нетривиальной оценкой полиномиальной суммы является классический результат Вейля [25]:

|S| < (n - 1)7?.

p n-l этой оценке о = -7=-.

Vp

В случае, когда на п, коэффициенты fix) (а, возможно, и на р) наложены некоторые дополнительные условия, то можно получить оценки, которые будут лучше оценки Вейля.

Это сделано, например, Карацубой A.A. [10].

Теорема (Карацуба А. А.): Пусть

Следующие две теоремы получены схожим образом. В них содержатся оценки сумм для других классов многочленов.

Теорема 1: Имеет место оценка

где р > 3 - простое число, т, п,а,Ъ - натуральные числа, 2 < п < р — 1,т\п, т < п, (а, р) = (Ь,р) = 1.

Доказательство: Обозначим (т,р — 1) = I. Имеем

fix) = ах + Ьхп,

где (а, р) = (Ь, р) = 1 и 2 < п < р — 1. Тогда имеем:

Шр)\ <

,atmxm+btnxn

Р

—- <

р-1-

_ I p p =

(p_l)^tl,i2 = l^,*l.*2.yi.y2=le P p-1

_ p2in _ ~ (p-i) ~P-i'

где N - число решений системы сравнений

+ yf1 = x2m + у2т (:mod р) ■ х* + у" = х2 + Уг {mod р) .

1 <*1,У1,х2,у2 ^Р

Пусть 71 = km. Тогда N = + N2, где - число решений системы

' х? = х? (mod р) ' УГ = y2m Р) >

a yV2 - число решений системы

х™ Ф х™ (mod р) х? + у™ = х? + yf (mod р) xl + yf = х^ + у£ (mod р) ' 1 < *1,У1,*2,У2 ^ Р

Заметим, что

^ = (1 + (р-1)/)2.

Действительно, зафиксируем х1. Если х1 = р, то х2 = р. Если же 1 < < р — 1, то х2 может принимать ровно / различных значений.

Аналогично с ух и у2.

Оценивая N2, фиксируем хх,х2 с условием х™ Ф х™ (mod р). Таких пар, как мы показали, ровно (р2 — (1 + (р — 1)0). Тогда, если

х™ = А (mod р), xf = В (mod р),АФ В (mod р),

то у™ = А — В + у™ (mod р) и второе уравнение системы переписывается в виде

(А — В + у?)к - у?к + Вк - Ак = 0 (mod р).

Имеем

N2<(k- 1)12{р2 - (1 + (р - 1)0).

Действительно, (А — В + yfl)fe — у™к + Вк — Ак есть многочлен степени (/с — 1) от у™. По известной теореме Лагранжа такой многочлен имеет не более (к — 1) корней в поле вычетов Далее, для каждого корня этого многочлена имеется не более I значений для yi и не более I значений для у2.

Получаем

N = Nt+ N2<

< (1 + (р - I)/)2 + (к - 1 )12(р2 - (1 + (р - 1)Z)) < кр{р - 1 )12. Отсюда

P4N Р4 ^kl3p3(p-l) р4

5 - 7-ТТ--7 - —?----7 - (kl ~ >

(р - 1) р - 1 (р - 1) р - 1

что и требовалось.

Теорема 2: Справедлива оценка

,/(*)! 1

„р 2ni——\ fk\n\2k + 2

2=1е р | ~ Ы р'

где р > 3 - простое число, /(х) = агх + а2х2 + —Ь акхк + апхп -многочлен с целыми коэффициентами, 1 < к < п < р — 1, (к + 1)|п, Oi ,Р) = («2 ,Р) = = (а-к.Р) = On>P) = 1.

Доказательство: С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям из доказательства теоремы 1, получаем

\S\

fc+lw „2к+2

2k+2 ^ v N v

p-1 p-1 ' где N - число решений системы сравнений

гхг+х2 + ••• + хк+1 = уг+у2 + ••• + Ук+i (mod р) xl + х\ + ••• + xl+1 = у\ + у2 + ••• + yl+1 0mod р)

х\ + х\ + - + = у^ + у2 + - + yf+1 (mod р)-+ = УГ + у2п + - + у£+1 (mod р)

1 < хъх2, ...,хк+ъуъу2, ...,ук+1 < р

Пусть

^(г1,г2,...1г1:) = г{ +г}2+ ••• + г]1.

- у'-я степенная сумма, а

- у-ый элементарный симметрический многочлен. Используем формулы Ньютона [12, с. 225]:

Ру - + Р;_252 - - + (-гу^Р^^ + (-1Уу5) = О при 1 < у < Ь и

Ру - Ру-^! + Ру_252 - - + + (-1)вРу_Л = О

при ) > t.

Зафиксируем у!,у2, — ,ук+1 (таких наборов р*0"1"1 штук).

Выражаем через У1,У2, — ,Ук+\ элементарные симметрические многочлены от хъ х2, ...,хк+1 (они определяются однозначно):

51(х1,х2, ...,хк+1) = х1 + х2 + —(- хк+1, х2> ■■•>хк+1) — Х1 — хк + I" х2 ••• хк+1 •

Нетрудно увидеть, что при (к + 1)| п выражение

Уг + У2 + •■■ + Ук+г -----х£+1

есть многочлен степени -— относительно

к+1

$к+1(х1>х2> —>хк+1) = Х1Х2 ■•■хк+1 со старшим коэффициентом ±(к + 1).

Следовательно, для мы имеем не более значений, далее по

К.1 л.

51(52| ...,5'/с+1 значения х1,х2, ...,Х/с+1 определяются однозначно с точностью до перестановки. Отсюда получаем оценку

N < рк+1 ^ (к + 1)! = рк+1пк\.

Следовательно,

,5|2*+2 < Р Пк' V

< пк\ъ2к+1

р — 1 р — 1 при п/с! < р, откуда

1

|5| < (п/с! р2/с+1)27Е+2

при п/с! < р.

При р < п/с! оценка становится хуже тривиальной. Теорема доказана.

1.2

В работе [1] Акулиничевым Н.М. были получены следующие оценки:

• Если р > 3 простое; а, Ь, п натуральные; р > п, 8 = (п,р — 1), (а, р) = (Ь,р) = 1, то

_ .а*п+Ьл: ■г-1Р 27П-

• Если р>3 простое; а,Ъ,к,п натуральные; п|(р —1), (п,к) = 1, 8 (к,р- 1), (а, р) = 0,р) = 1, то

_ ,ахп+Ьхк

г.!«2"—

. Если (a, TP) = (Ь,р) = (с,р) = 1, nJCp - 1), п2|(р - 1), (п1;п2) (к,р - 1) = (/с,^) = 1, то

2-е

2ш

. алсп 1 +bxn2+c;t'i

Две следующие теоремы получены в духе результатов Н. М. Акулиничева.

Теорема 3: Имеет место оценка

2ni

,ахп+Ъх2

3 + (-1)"

28

Р,

где р> 7 - простое число, p = 3(mod4), a,b,n - натуральные числа, 3 < n < р — 1, (а,р) = (Ь,р) = 1, а 5 = (п — 1,р).

Доказательство: Обозначим

У = {у: 1 < у < р, у11 =1 (mod р)},

Тогда

Имеем:

S = rx=1e2ni'

\Y\ = (n,p- 1) = 8.

SS = ZyerlLi6

27Г£

,axn+bx2y2

отсюда

s\s\<z=i

- HyeYe

Iyev-е p

27Г/

,axn+by2x2

следовательно,

ъ{у\-у1У

Пусть Кг - множество пар (у1, у2) £ У х У, таких, что у2 = у2 (mod р), а. К2 - множество всех остальных пар.

Тогда

S2|S|2 < р2\Кг I + р Но,1<У2№ Z=1 е ~

Заметим, что (yi,y2) е тогда, и только тогда, когда (у2, ух) G К2, причем (У1'Уг) * (Уг.Уг)-

Далее, если (у1( у2) G /С2, то У1 ~ У2 ~ квадратичный вычет тогда, и только тогда, когда у2 — у2 - квадратичный невычет, поскольку р = 3 (mod 4) (т. е. (—1) - квадратичный невычет).

Поэтому для (Ух, у2) 6 К2 имеем:

Действительно, один из Ь(у2 — у2) и Ь(у| — у2) - квадратичный вычет, другой - квадратичный невычет.

Нетрудно показать, что

Замечаем, что если п нечетно, то \Кг | = 6, если же п четно, то |А^ | = 25.

где А - квадратичный вычет, а В - квадратичный невычет.

Следовательно,

52|S|2 < р2!^! + р ■ 0 = р2\Кг\.

\к2\

Иными словами, \ =

(3+(-1)п)

8.

2

Отсюда

что нам и хотелось доказать.

Теорема 4: Справедлива оценка

■•/W+gfr)

< V + V +

где р > 3 - простое число, /(х) = ахх + а2х2 + —I- акхк и д(х) = ЪгхПх + —1- Ъгхп* - такие многочлены с целыми коэффициентами, что р — 1 > пг > к и (р — 1, пг, к) = 1 при всех 1 < г < Ь, (ак, р) = 1, а <5Г = (р — 1, пг) при всех 1 < г <

Доказательство: Обозначим

2iri

/ОО+gCQ

Доказательство проведем индукцией по При Ь = 1 имеем:

/00 + д(д0 = с^л: + а2х2 + —I- акхк + ЬгхП1,

S = e2ni

.aix+a2x2+--+a]cxk+b\xn^ V

Обозначим

У = {у: 1 < у < р, уП1 = 1 (mod р)}. Тогда = (П},р - 1) = 5Ь откуда

.aixy+a2x2y2+---+aicxkyk+biXn'Lyn'L

S.S = У YP е

¿—lyeY 'х=1

_ VP

,а\ху +a2X2y2+-+aicxlcyl{+bixnl

следовательно, 6

im<yP |У .

2т

,а1ху+а2Х2у2-1-----\-a/cxkyk+b1xni

2т

.aixy +a.2X2y2+-+ai(xkyk

= 2=i \Lyeve Р

Далее воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем квадр атич е ском:

ад2<рУР |У <

2 т

.а^ху +Д2^2у2Ч—\-акХкук ,2

2т

;а1х(у1-у2)+а2Х2(У1-У2)+-+акХк(У1-У2)

х=1 £—кУ\,У2&

^ РТ,уъу2еУ

2-1«

2т

а1х(у1-у2)+а2Х2(у1-У2)+-+акхк(У1-У2)

Теперь заметим, что если У\,Уг Е У и у\ ^ у2 >то Уг ~ У2 ^ О (тос1 р) (в силу условия (71!, /с, р — 1) = 1).

Разобьем У2 на два множества:

У2 = УхУ=(Уг2)'и(У2)",

где

и

(У2)' = {(у!,у2): у!,у2 е Г, у! = у2}

(У2)" = КУ1,У2>УъУ2 6 Г,^ Фу2].

Тогда |(Г2)'| = и |(Г2)"| = 82 -Имеем:

?!21я2<рУ У

'Р 2« е

:а\х(уг-у2)+а2х2(у1-у2)+-+акхк(у1-у2)

+

(УъУгЖг2)"

Г

27Г1

а1*(У1~У2) + а2*2(У1 ~У2 -----Ь~акХк(у\—У2)

<рЧ1+р{81-81){к-\)^

(здесь мы применили известную оценку Вейля к каждой из сумм). Отсюда

2 3

\Б\2 <РТ + рг(к-1),

следовательно,

Для t — 1 оценка доказана.

Пусть теперь она доказана для некоторого t — 1, t > 2. Докажем ее для t. Пусть, как и ранее,

Y = {у: 1 < у < р, уП1 = 1 (mod р)}, \Y\ = (щ,р - 1) = 8,. Аналогично рассуждая, получаем:

6i\s\<Z=i

Еуеуб

2ni

.aixy+a2X2y2+-+akxkyk+b2Xn2yn2+...+btxntynt

следовательно,

г 1

8l |5|2 < р281 + (Si - 6t)p2 U2 2 + 83 4 +

откуда

значит,

\s? < £++... + ^ + (£)*'-■),

что и требовалось доказать.

1.3

И. М. Виноградовым [2] была получена следующая оценка для сумм Гаусса: если (а,р) = 1, 6 = (п,р — 1), то

„ .ах" j-,p 2т—

2=1е р

< (S -1 )4р.

Следующая теорема уточняет эту оценку в специальном случае.

Теорема 5: Имеет место оценка

_ .ах VIР ¿Ш-

SUе '

где р > 3 - простое число, а,п - натуральные числа, причем ^ - нечетное целое и (а, р) = 1.

Доказательство: Имеем:

У" |у e™a-f\ =у у у (

_ .а (*?-*")

2ТП

Р =

где N - число решений сравнения xf = (mod р), то есть N = 1 + п(р — 1). Далее,

2

vp-i ¿а=1

~ .ах

En ¿7П-

£=1« р

= р( 1 + п(р — 1)) — р2 = (р2 — р)(п — 1).

Пусть д - первообразный корень по модулю р. И пусть а = gnh+t (mod р), где h - целое, t Е {ОД,..., п — 1}. Введем обозначения

5(a) = V

.ах'

Р 2TTÉ-

е V

для a G {1, ...,р - 1}.

При одинаковых t (и разных h) суммы 5(a) одинаковы. Суммы 5(a) и 5(—а) одинаковы по модулю, причем у a и (—а) разные t (т. к. из —1 = gnh' (mod р)

р-1

следует, что —1 = (—1) n = д^ = 1 (mod р) - противоречие). Тогда

Ztt-i l-sr-iP i=0

2тй е V

(р2 -р)(п- 1)

(Р-1) п

= рп(п — 1)

и

Ша)\2 = \3(а)\2 + \Б(-а)\2<^и

2=1 ^

£ п 2

ух11

= рп(п —

откуда

№)| <

рп(п-1) < (2п—1)

2 ~ 2л/2

л/Р»

что и требовалось.

Глава 2. Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным

числам Фибоначчи

Здесь мы рассмотрим обобщенную последовательность Фибоначчи и докажем верхнюю оценку для среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи.

В определенном смысле эта оценка отражает ряд арифметических свойств указанной последовательности, а именно, распределение ее членов по модулю любого бесквадратного числа.

Последовательность Фибоначчи, как известно, задается следующим образом:

= 1.^2 = 1»Рп+2 = Рп+1 + Рп-

Обобщенная последовательность Фибоначчи задается тем же рекуррентным соотношением и двумя начальными натуральными членами, то есть:

= а, С2 = Ь, Сп+2 = £п+1 +

где а,Ь- натуральные числа. Вторую последовательность на протяжении всей главы будем считать наперед заданной.

Пусть, на протяжении всей главы, с1 - бесквадратное (не делящееся ни на какой квадрат простого) натуральное число, большее 1 и взаимно простое с числами а, Ъ и с числом (а2 + аЬ — Ь2) (это «экзотическое» условие будет мотивировано позже). Через р будем обозначать, как обычно, простое число. Здесь это будут простые, взаимно простые с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ—Ь2.

Введем малый с1 —период последовательности Фибоначчи

¿(сО = тт{т:т > 1,й\

и большой й —период последовательности Фибоначчи

Г(<0 = тт{Т:Т > 1,РП+Т = Рп(тоЛ О) Уп}.

Аналогично, большой й —период обобщенной последовательности Фибоначчи есть

Т'(Ю = тт{Т: Т > 1, Сп+Т = Сп(тос1 Уп}

(периодичность по любому модулю доказывается просто).

Аналога малого d —периода может не существовать (например, если а = 2,b = l,d = 5).

Выделим необходимые нам свойства последовательности Фибоначчи в следующую лемму (часть из приведенных свойств можно найти в [8] и [9]):

Лемма 1:

A) Fn = ---— (формула Бине);

Б) Fn+m = Fn_1Fm + FnFm+1; Bl) d\Fn <=> t(d)|n; ( Fa = Fr (mod d)

0^6(1,2,4};

Д) d = PiP2 ...ps => t(d) = [t(p,), t(p2),..., t(ps)];

Г F„ — Fr (mod p)

E1)[Fan - Crimodp) * -« или =» -

f F„ = Fr (mod d)

Доказательство: Свойства А, Б, Bl, B2, Г, Д хорошо известны [8, 9]. Докажем два оставшихся свойства. Начнем с Е1. По свойству Б имеем:

Fct+Y = FaFY~ 1 + Fa+lFy, fy+Y = + 1FY>

поэтому из сравнений

( Fa=Fp (mod р) [Fa+r = Fp+y(mod р)

следует, что p|(Fa+1 - Fp+1)FY, откуда p|Fy или p|(Fa+1 - Fp+1).

Из p|Fy, согласно свойству Bl, следует, что t(p)|y, а из p|(Fa+1 — Fp+1), согласно свойству В2, следует, что Т(р)\(а — /?), откуда, согласно свойству Г, t(p)|(a — /?)•

Теперь докажем свойство Е2. Пусть d = рхр2 ...ps. Из сравнений

!Fa = Fp (mod d) Fa+y = Fp+y (mod d)

для любого pi \d следуют сравнения

Г Fa = Fp(mod pi) (Д+у = Fp+yfaodpi)'

откуда для всякого pt\d по свойству El имеем: t(pi)\(a — /?)у, что, согласно свойству Д, означает, что t(d)\(a — /?)у. Лемма доказана.

Теперь докажем некоторые свойства обобщенной последовательности Фибоначчи (часть из них общеизвестны).

Доказательство: Первое соотношение хорошо известно, соотношение Б доказывается тривиально. Соотношение Г следует из соотношений Б, В и соотношения Г леммы 1. Соотношение Д2 вытекает из соотношения Д1. Докажем пункт Д1. Используя соотношение А, имеем:

Г 2 + = + bFp_1(mod р)

(аРа+у_2 + Ь^+у.! = аРр+у_2 + bFp+Y_1(mod р)'

Далее используем соотношение Б леммы 1: Г + = 2 + р)

\а(Ра_2Ру_1 + F£r_1Fy) + Ь^.^ + Fa,^y) = a(Fд_2Fy_1 + F/J_1Fy) + + ^/у)(тос* р)

, что преобразуется к виду:

Лемма 2:

A) Gn = aFn_2 + bFn_x;

B)r(d)|7(d); B)t(d)|r'(d);

Г) t(d) < T'(d) < T(d) < 4t(d);

=> t(p)|(a - Ю или t(p)|y =» t(p)|(a - /?)y;

=> t(d)|(a - /?) или t(d)|y => t(d)|(a - /?)y.

Г aFa_2 + bFa_! = aFp_2 + bFp_x(mod p)

l/y_i(aF„_2 + bFa_0 + Fy (aFa_1 + bFa) = FY_x(aFp_2 + bFp.x) + Fy(aFp_l + bFp)(mod p)' откуда:

Г aFa_2 + bFa_! = aF^_2 + bFp^(mod p) (iy (aFa_! + bFa) = Fy(aF/?_1 + bFp)(mod p)'

Отсюда либо p|Fy, что, согласно пункту В1 леммы 1 означает, что t(p)\y, либо

|aFa_2 + bFa_i = aFp_2 + bFp^(mod р) | aF^i + bFa = + bFp(mod p) '

что преобразуется к виду

Г - Fp-г) + b(Fa_t - Fp_t) = 0(mod p)

|b(Fa_2 - F^_2) + (a + b)(Fa_! - = 0(mod p)

и приводится с помощью правила Крамера в поле вычетов по модулю р к

(Fa-2 - Fp-2 = 0(mod р) \Fa_! - = 0(mod р)

(поскольку det ^ ^ ^ ^ j = a2 + ab — b2 ^ 0(mod p)), откуда по свойству B2 леммы 1 Г(р)|(а — /?) и, следовательно, t(p)|(a — /?).

Теперь докажем пункт В. Поскольку = G1+T^d^(mod d) и G2 = G2+r(d)(mo^ т0> по свойству Д2, t(d)|r'(d).

Лемма доказана.

Далее, рассмотрим A(d,и) = a2 + а2 + —l-a^, где ак - количество членов конечной последовательности Gx, G2, ■■■,GU, сравнимых с к по модулю d. Используя аппарат тригонометрических сумм, нетрудно вывести

соотношение A(d,u) = ^Za=i

2ni

;aGn I2

d

Следующая теорема является конечной целью этой главы. Пусть, для краткости, £(с0 = г,Т(с0 = Т,Т'(в.) = Т.

Теорема 6: Для и <Т' имеет место оценка А(с1, и) < В(й, и), где В(й, и) = 3и — 2, если и < у/ь + 1

1 3

7и2г если Л + 1 < и < {4

1 3

14и2С 8, если ■ц ^ Т'

_1

Если и > Г', то А(й,и) < $6и2г е.

Доказательство: Для удобства разобьем доказательство на несколько шагов.

1. Зафиксируем к, 1 < к < й. Пусть

1 <ь<-<]ак<и

- все у, для которых в] = к(той (Г). Обозначим

Ь = А+1 "А. 1 <Ь<ак- 1, Ьк > 1.

Тогда

+ - + Ьак_! = )ак - А < и - 1.

Пусть

1 <Р! < - <р5

- все различные числа, встречающиеся в последовательности Ь1, ...,Ьа Имеем:

cvPv <и-1,су = ак- 1.

2. Зафиксируем г?. Пусть

1 < < ••• < < ак - 1 - все индексы к, такие, что Ьк = /V Согласно пункту Д2 леммы 2, поскольку

' % = %+г (тоА ®

и

Л

то -А()(А1+1 -;'0> откуда

Рг(/А,+1 - А.) ^ *

для всех 1 < I < с„ — 1. Следовательно,

t

и, значит,

и г

3. Итак, имеем:

1,1=1 суРУ < и - 1 • ак = 1 + С1?

Пусть теперь IV(<?) - количество таких V, что су = ц.

Поскольку все р„ различны, то

и - 1 > ^Р* ^ <:„=<? ^Р* > <?(1 + 2 + ••• + w(q)),

откуда

С другой стороны, поэтому

4. а) Рассмотрим случай, когда и < л/Т + 1. Рассмотрим все пары индексов (п^ п2), такие, что

1 < щ < п2 < и

и

сп1 = СП2(то(1 (Г).

Если среди них найдутся две различные пары (п-^ п2), (п'1, п'2), для которых

п2-п1= п'2 -п\, то, согласно пункту Д2 леммы 2,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Васильев, Антон Николаевич, 2013 год

Список литературы

1. Акулиничев Н. М. Оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида // Доклады АН СССР. 1965. Т. 161. N4. С. 743-745.

2. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. Москва: Высшая школа, 1999. С. 224.

3. Боревич 3. К, Шафаревич И. Р. Теория чисел. Москва: Наука, 1985. С. 16-25.

4. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 2003. N2. С. 57-58.

5. Бояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи // Доклады АН. 2001. Т. 379. N1. С. 9-11.

6. Виноградов И. М. Избранные труды. Москва: Изд-во АН СССР, 1952.

7. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. Москва: Наука, 1971.

8. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. Москва: Наука, 1978. С. 7-140.

9. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. Москва: Дрофа, 2005. С. 55-59.

10. Карацуба А. А. Об оценках полных тригонометрических сумм // Математические заметки. 1967. Т. 1. N2. С. 199-208.

11. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. Москва: Наука, 1989. С. 70-78.

12. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Физматлит, 2004.

13. Минеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями // Успехи математических наук. 1959. Т. 14.В.З.С. 169-171.

14. Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме // Доклады АН. 1960. Т. 133. N6. С. 12981299.

15. Прахар К. Распределение простых чисел. Москва: Мир, 1967.

16. Романов Н. П. Uber einige Satze der additiven Zahlentheorie // Mathematische Annalen. 1934. 109. P. 668-678.

Yl.Xya JIo Кен. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. Москва: Мир, 1964.

18. Dubickas A. Sums of Primes and Quadratic Linear Recurrence Sequences // Acta Mathematica Sinica, English Series, Dec., 2013, Vol. 29, N 12, pp. 2251-2260.

19. Erdos P. On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff // Journal of Chinese Mathematical Society. 1951. 1.

20. Hua Loo Keng. Introduction to Number Theory. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1982.

ll.Konyagin S. V., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

22. Lee K. S. Enoch. On the sum of a prime and a Fibonacci number // International Journal of Number Theory, 2010, Vol. 6, N 7, pp. 1-8.

23. Schinzel A. Special Lucas Sequences, Including the Fibonacci Sequence, Modulo a prime // Baker A., Bollobas В., Hajnal A. (Eds.) A tribute of Paul Erdos. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. P. 349-357.

24. Somer L. Distribution of Residues of Certain Second-Order Linear Recurrences Modulo p // Berum G. E., Philippou A. N., Horadam A. F. (Eds.) Applications of Fibonacci Numbers. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990. Vol. 3. P. 311-324.

25. Weil A. On some exponential sums // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 1948. 34. N5. P. 204-207.

Работы автора no теме диссертации

26. Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм с простым знаменателем, Вестник МГУ, Сер. 1, Математика. Механика, 2014, №2, с. 56-60.

27. Васильев А. Н. Об арифметических свойствах обобщенной последовательности Фибоначчи и их следствиях, Известия СГУ, Нов. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, Т. 13, вып. 4, ч. 2, с. 34-41.

28. Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм, сборник докладов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.), с. 19-20.