Асимптотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Фозилова, Давлатбахт Миралибековна

• Фозилова, Давлатбахт Миралибековна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фозилова, Давлатбахт Миралибековна

Обозначения.

Введение

1 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля

1.1 Формулировка результатов.

1.2 Вспомогательные утверждения.

1.3 Оценка коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина ЗХх2 очень близка к целому числу.

1.4 Оценка коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина ЗХх2 не очень близка к целому числу.

1.5 Оценки коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, у которых старший коэффициент не очень "близок" к рациональному числу.

2 Асимтотическая формула в кубической проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми

2.1 Формулировка результатов.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми»

Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Основным предметом исследования является изучение поведения коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля и вывод асимптотической формулы в тернарной задаче Эстермана о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа, при условии, что они почти равны.

Впервые тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства, носящей его имя "суммы Гаусса":

S{a,q) = ^2e (—^ , {a, q) = 1.

Он показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел. В частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной полной тригонометрической суммы: м m=1 \ " / где / = /(£) = antn + . + ait - многочлен степени п > 1с условием (о„, .,ai,q) = 1.

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа JIo-ген [1, 2]. Он установил неравенство где с(п) - абсолютная постоянная зависящая только от степени п многочлена f(x). Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием N оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. Хуа-Ло-ген [3] для многочленов с целыми коэффициентами вида f(x) = ахп + bx, (a, q) = 1 также доказал, что

SbM = ±JaJI^)<<qU^M (2) т=1 \ У /

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

T(an,.,ahN)= ^ e(/(m)), (3)

О <m<N f(t) = antn + . + ait и скп,., ai- любые вещественные числа.

Г. Вейль [4] построил метод, с помощью которого, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм T(ak, Oik-1,., cei, N), которые в его честь И.М.Виноградов назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы T(ak, Oik-i, • • •, e*i, N) степени к к оценке суммы степени к — 1 и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f(t) в отрезке [а, 6] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов [5]-[16] создает новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в самой проблеме Ва-ринга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долий целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым [17]), в проблеме Гильберта - Камке (К. К. Марджанишвили [18]), в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа \Т(ап,., ai, N)\2k. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней \Т(ап,., ai, N)\2k более простой оценкой интеграла i i

J(N; п, &) = J. J | Т{ап, ., аь N)\2kdai. dan, о о то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем ai,. ап и поэтому теорема об оценке J(N;n,k) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему.

О значении его работ и их приложених следует судить не только по проблеме Варинга. Его результаты нашли применение в проблеме распределения простых чисел, в теориях дзета функции Римана, L - функции Дирихле, равномерного распределения, диофантовых приближений, в проблеме о целых точках в многомерном эллипсоиде и.т.д.

И.М.Виноградов получил асимптотически точную оценку величины J{N\n,k) вида

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа JIo-ген [1, 2, 3, 19, 20]. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником [21] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [22]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N; п, к) при малых значениях к (см. работы A.A. Карацубы [23], С.Б.Стечкина [24], Г.И. Архипова [25], Г.И.Архипова и В.Н. Чубарикова [26, 27], Г.И.Архипова и А. А. Карацубы [28], Г.И.Архипова, А. А. Карацубы и В.Н. Чубарикова [29, 30], Н.М.Коробова [31, 32] В.З. Соколинского [33], О.В. Тыриной [34]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм [13]. Данная задача была решена Г.И.Архиповым [35] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [26, 27] дали обобщение реультатов Г.И.Архипова на кратный случай.

В 1976г. В.Н.Чубариков [36]-[38] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм.

В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков [29, 30] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [39].

В.Н.Чубариков [40]—[43] создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова и решил проблему Гильберта - Камке в простых числах. В.Н.Чубариков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в р - адических числах при всех р < 2п некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха - Варинга.

Английский математик Р.Вон [44] изучая суммы Г.Вейля вида

Т{а, х) = £ е («О , а = ^ + М = 1> И < 2уц?дп-1 тп<х то есть при условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменательем д, воспользовавшись следующей оценкой

51(0, я) = £ в « 91/2+е(Ь1 в)> принадлежащей Хуа Ло-гену [2], методом Ван дер Корпута доказал: 1

Т(а, х) = I е (АГ) л + 0 ? (4) о

А/—X

Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Т(а,х,у)= ^ е(атп), х—у<т<х где

О* 1 а = - + А, (а, д) = 1, д < г, |А| < —, Я Яг при п = 2,3,4 соответственно были исследованы в работах [45, 46, 47]. Эти оценки были приложены соответственно при решении следующих аддитивных задач с почти равными слагаемыми:

• тернарная проблема Эстермана: N = р\ + р2 + т2;

• проблема Варинга для кубов: N =

• проблема Варинга для четвертых степеней: N = х\ + х\ + . + х\7;

Отметим, что полученные оценки суммы Т(а\ х, у) при п = 3 , оказались недостаточными при решении кубической задачи Эстермана N = Р1+Р2+Ш с почти равными слагаемыми

Всюду ниже будем считать, что п = 3, то есть будем рассматривать короткие кубические тригонометрические суммы Г.Вейля Т(а\ ж, у), для которых получены новые результаты.

Основными результатами первой главы являются теоремы 1.1 и 1.2.

В теореме 1.1 найдены оценки коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина ЗАж2 очень близка целому числу.

Теорема 1.1. Пусть г > 12ху, {ЗАж2} <щ, А > О или {ЗАж2} > 1 — А < 0, тогда имеет место соотношение

Г(а, ж, у) = А; ж, у) +

0.

Если старший коэффициент о; очень близок к рациональному числу а/д, то выполняется условие теоремы 1.1 о близости величины ЗАж2 к целому числу, а для суммы Т(Х;х,у) выполняется условие леммы 1.4, с помощью которого тригонометрическая сумма заменяется интегралом.

Поэтому для коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля Т(а; ж, у), у которых старший коэффициент а очень "близок" к рациональному числу а/д имеет место:

Следствие 1.1.1. Пусть т > 12жу, |А| < тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = 9)7(А; ж, у) + 0{Ч1'2+%

0,5

7(А= J е ^А (х - | + у?) ^ йЬ.

-0,5

Заметим, что теорема 1.1 совпадает с первым утверждением работы [46]. Доказательство теоремы 1.1 также, как в [46] проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута, оно упрощено и проводится без применения понятия расстояния до ближайшего целого. Основным моментом в доказательстве этой теоремы является то, что тригонометрические интегралы вида X

Л, «О = У е(/Л(и, Ъ))<1щ 1 < Ь < я - 1, х-у

Г)1 /

Д(гг, 6) = Ли3 - (ЗЛя2 - {ЗЛгс2})^ - — - Ы. хорошо оцениваются по причине того, что производная первого порядка функции 6) не очень близка к нулю.

В теореме 1.2 найдена прямая зависимость оценки короткой кубической тригонометрической суммы Г.Вейля Т(а, ж, у) от величины Л, X = а — а/д -растояние между числом а и приближающим ее рациональным числом а/ц.

Теорема 1.2. Пусть т > 12ху, {ЗАж2} > Л > 0 или {ЗЛж2} А < О, имеет место оценка

Т(а,х,у)\ < 1пд + 1шп(уд'», |А|~здГ5).

Теорема 1.2 позволяет нетривиально оценить короткую кубическую тригонометрическую сумму Г.Вейля Т(а; х, г/) не только для множества точек а первого класса, но и также для множества точек а второго класса вплоть До

3 о у < д2 т д.

Из этой теоремы для коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля Т(а;х,у), у которых старший коэффициент а не очень "близок" к рациональному числу а/д, получим следующее утверждение.

Следствие 1.2.1. Пусть т > 12ху, < |А| < тогда имеет место оценка

Теорема 1.2 является уточнением работы [46]. Результат, полученный в работе [46], является частным случаем следствия 1.2.1, а именно если

Доказательство теоремы 1.2 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических интегралов по величине модуля производных первого, второго и третьего порядков, теорем Хуа Ло-гена об оценке рациональных кубических тригонометрических сумм.

Вторая глава диссертации посвящена аддитивной кубической задаче Эс-термана с почти равными слагаемыми, а именно выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа, при условии, что они почти равны.

Основным аппаратом при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми являются, тригонометрические суммы, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов. И.М. Виноградов первым начал изучать подобные тригонометрические суммы. Он [14, 48, 49, 50, 51] впервые для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, то есть сумм вида: исползуя свой метод оценок сумм с простыми числами, доказал нетривиальную оценку при exp(c(lnlnx)2) < q < я1/3, у > ж2/3+£.

Затем Haselgrove C.B. [52], В. Статулявичус [53], Jia Chaohua [54, 55, 56, 57], Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [58], Zhan Тао [59, 60], З.Х.Рахмонов [61] получили нетривиальную оценку суммы 5(о;,ж,у), у > хв, q — произвольное, 1 1 1 2 11 min(yq z,x2q6,x3) = x2q6.

X—y<Tl<X и доказали асимптотическую формулу для тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть для числа решений диофантова уравнения

N =р1+р2+Ръ, (5) с условиями N

Pi~ Т

Я; ¿ = 1,2,3; Я = Ne+£ решений соответственно при в = 63/64 + е, 279/308+ £, 2/3+ 5/8 + Е, 5/8.

С.Ю.Фаткина [62] доказала асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения

N = p1+p2 + [V2p3], (6) с условиями

Pi N Я, г = 1,2, л/2рз] " f

Я, H>NhncN.

Jianya Liu и Tao Zhan [63, 64, 65, 66] доказали теорему Хуа JIo-гена об представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5(mod24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5(mod24) можно представить в виде

N = pl + .+pl

Pj-\lj Я, Я > N%+s

Jianya Liu и Tao Zhan [63, 64, 65, 66] также доказали теорему, что достаточно большое натуральное число N, можно представить в виде

N = pi+p2+pl, N

PJ-J

2 N Я, Я > N&+£

Проблема Варинга для кубов и четвертых степеней с почты равными слагаемыми исследованы в работах [67, 68]. В работе [67] доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы девяти кубов почти равных натуральных чисел Xi, i = 1,9 с условиями х-

•>->1 I „ Я, H>Nй

1 П I с

А в работе [68] асимптотическая формула доказана для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы семнадцати четвертых степеней почти равных натуральных чисел Х{, г = 1,17 с условиями

Xl V17 Я, Я > N™+£

Рахмонов З.Х.[69] и Шокамолова ДжА. [70] доказали асимптотическую формулу для числа решений уравнения Эстермана [71]

Р1+Р2 + т2 = N, (7) где р\, Р2 — простые числа, тп — натуральное число с условиями N

Pi-j Я; i = 1,2,

2 N m "3 Я; Я > N* In2 N.

Основным результатом второй главы диссертации является теорема 2.1. В этой теореме асимптотическая формула выводится для более редкой последовательности, то есть когда в уравнении Эстермана (7) с почти равными слагаемыми квадрат натурального тп заменяется на его куб.

Теорема 2.1. Пусть N — достаточно большое натуральное число, е -произвольное положительное число, не превосходящее 0.0001, I(./V, Я) — число представлений N суммою двух простых чисел р\, Р2 и куба натурального т с условиями N m3 N

Я, г = 1,2, p(N,p) —число решений сравнения к3 = N( mod р). Тогда при Я > ЛГ1+е справедлива асимптотическая формула:

V ' 1 \/3N\n N \y/N\n NJ

13

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литтл-вуда, Рамануджаиа в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляет следствие 1.1.1 теоремы 1.1 о поведении коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля

Т(а\х,у) = ^ е(ст3), х—у<п<х когда а очень близка к рациональному числу а^, следствие 1.2.1 теорема 1.2 об оценке суммы Т(а;х, у), когда а не очень близка рациональному числу а/д и лемма 2.1 о поведении линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, то есть суммы в(а;х,у)= Л(п)е(ст), а = -+А, (а,д) = 1, |А| < —, 1 < д < г х—у<п<х ^

-когда а также приближается рациональным числом с малым знаменателем, и устанавливается ее связь с плотностными теоремами для нулей ¿-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы (см. [72, 73]).

Следствие 2.1.1. Существует такое Щ, что каждое натуральное число N > Щ представимо в виде суммы двух простых чисел р\, Р2 и куба натурального т с условиями N

В-у = 1,2, з N т - з где, е - произвольное положительное число, не превосходящее 0.0001.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фозилова, Давлатбахт Миралибековна, 2012 год

1. Ни а L. К. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd 1. Teil 2, Heft 13, Teil 2, Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.

2. ХУА JIo-ГЕН Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. М.: Мир, 1964, -190с.

3. Hua L.K. On exponential sums, J. Chinese Math. Soc. 20 (1940), 301-312.

4. WEYL H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

5. Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга // Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507.

6. Виноградов И.М. О теореме Варинга // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

7. Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

8. ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе G(k) в проблеме Варинга // Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455-1469.

9. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для £(п) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642.

10. И. М. виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, №2, с.109-130.

11. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

12. ВИНОГРАДОВ И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

13. Виноградов И.М. Основы теории чисел М.:Наука, 1981г., 176с.

14. Чудаков Н.Г. О функциях С(я) и тт(х) // Докл. АН СССР, 1938, т.21, с. 425-426.

15. Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении п чисел суммами полных первых, вторых,. , п х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т.1, с. 609 - 631.

16. ХУА Л О-ГЕН. Аддитивная теория простых чисел // Труды МИАН СССР, 1947, Т, 22, с.1-179.

17. HUA L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68-80.

18. Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, с. 201-203.

19. КАРАЦУБА A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

20. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

21. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

22. Архипов Г.И., карацуба A.A. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.

23. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

24. Архипов Г. И.,КараЦУБЛ A.A., ЧубАРИКОВ В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

25. КОРОБОВ Н.М.О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1979, Т. 245, №1, с. 14-17.

26. КОРОБОВ Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения.:- М: Наука, 1989, -240с.33. соколинский В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных // Изв. ВГПИ, 1979, Т.201, с.45-55.

27. ТЫРИНА О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.

28. АРХИПОВ Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

29. ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68

30. ЧУБАРИКОВ В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.

31. ЧУБАРИКОВ В.Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.799-816.

32. PAXMOHOB З.Х., МИРЗОАБДУГАФУРОВ К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5-15.

33. Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

34. Виноградов И.М. Новая оценка одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа // Известия Ак. наук СССР, серия матем., т. 2, с.3-14

35. ВИНОГРАДОВ И.М. Некоторые общие леммы и их применение к оценке тригонометрических сумм // Матем. сборник, т. 3(45), с. 435-472.

36. ВИНОГРАДОВ И.М. Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм с простыми числами // Известия Ак. наук СССР, серия матем., т. 3, с. 371-398.

37. ВИНОГРАДОВ И.М. Простейшие тригонометрические суммы с простыми числами // Доклады Ак. наук СССР, т. 23, с. 615-617.

38. HASELGROVE С.В. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,26 (1951),273-277.

39. СТАТУЛЯВИЧУС В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23.

40. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

41. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

42. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (VII) // Acta Math. Sin., New Series, 10(1994), 369-387.

43. J Y Liu, T zhan. On sums of five almost equal prime squares. Acta Arith, 1996, 77: 369-383.

44. J Y Liu, T ZHAN. On sums of five almost equal prime squares (II). Sci China, 1998, 41: 710-722.

45. J Y Liu, T ZHAN. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. Mh Math, 1999, 127: 27-41.

46. J Y LlU, T Zhan. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669-690.

47. РАХМОНОВ З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

48. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, №5, с. 325-332.

49. ESTERMANN Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

50. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2010, т. 138, №1, с. 27-40.

51. Р.ВОН Метод Харди-Литтлвуда,-Перев.с.анг. М.Мир, 1985, -184с.

52. КАРАЦУБА A.A. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

53. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963-342 с.

54. РАХМОНОВ З.Х., ФОЗИЛОВА Д.М. Об оценке коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №8, с.605-609.

55. ФОЗИЛОВА Д.М. Асимтотическая формула в кубической задаче Эстер-мана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №9, с.715-718.

56. РАХМОНОВ З.Х., ФОЗИЛОВА Д.М. Короткая кубическая тригономет-рическия сумма Г.Вейля // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №11. с.880-886.