О распределении значений коротких арифметических сумм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Тимергалиев, Ирек Саматович

• Тимергалиев, Ирек Саматович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Тимергалиев, Ирек Саматович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

I Моменты арифметических сумм

§ 1 О моментах аналогов сумм Клостермана

§ 2 О моментах сумм характеров абелевых групп

§ 3 О моментах неполных сумм Гаусса

§ 4 О моментах аналога дзетовой суммы

§5 О моментах короткой показательной рациональной тригонометрической суммы по «сдвигам» интервалов суммирования

II О распределении значений арифметических сумм

§ 1 О распределении значений аналогов сумм Клостермана

§ 2 О распределении значений сумм характеров абелевых групп

§ 3 О распределении значений неполных сумм Гаусса

§ 4 О распределении значений аналога дзетовой суммы

§ 5 О распределении значений короткой показательной рациональной тригонометрической суммы по «сдвигам» интервалов суммирования

III О распределении абсолютных значений специальной арифметической суммы

\

§ 1 О распределении абсолютных значений тригонометрической

суммы на коротких интервалах

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О распределении значений коротких арифметических сумм»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Одним из объектов её исследования является распределение значений сумм арифметических функций. Значения некоторых из них будут распределены по различным вероятностным законам (нормальному, показательному и др.).

Данные исследования были начаты в 1952 году Г. Давенпортом и П. Эрде-шем [84], которые доказали, что значения «коротких» сумм символов Лежан-дра распределены по нормальному закону. Ю. В. Линник и Й. П. Кубилюс [54]-[56] продолжили исследования в этом направлении.

В. Н. Чубариковым [28],[38],[40] в конце 90-х годов были поставлены задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм, таких как коротких сумм Гаусса, аналогов сумм Клостермана, сумм характеров Дирихле по простым числам, сумм коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте по «сдвигам» интервалов суммирования. В решении этих задач приняли участие Э. К. Жимбо, Р. Н. Бояринов, И. С. Нгонго и др. К этому же направлению исследований относится настоящая диссертация.

Глава 1 настоящей диссертации посвящена асимптотическим формулам четных и дробных моментов арифметических сумм.

В §1 рассматриваются аналоги сумм Клостермана. Пусть р — простое число, х — натуральное число. Рассмотрим сумму

ЗД = е2™^,

где Н = 1пр, а суммирование ведется по простым числам д, и д* определяется

из сравнения

дд* = 1(тос1 р).

Для того, чтобы в дальнейшем провести теоретико-вероятностную аналогию, положим г — 7г(/г) и

=

5р(а;)

Э. К. Жимбо и В. Н. Чубариков [38],[40] получили асимптотическую формулу четных моментов с остатком вида О . В настоящей работе остаточный член получен с явно выписанными постоянными.

Теорема 1. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ у/г имеет место асимптотическая формула

М£рг = г! (1 + в'—

г

г

где \в\ ^ 1.

На основании теоремы 1 и метода, предложенного Р. Н. Бояриповым [19], [23], получена формула дробных моментов.

Теорема 2. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое р0, что для любого р > ро м0<а^^1п1пр справедливо равенство

та{р) = Г(0.5а+ 1) + вЯ

7"

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ ^ 1 и

Яр = <

Ль 0 < а < 30;

Я.2, 30 ^ а < л/1п 1 ир;

Яз, \/1п 1пр < а ^ ф- 1п 1пр,

оЧ 2 2

g+2 2

l In In p

R3 = 23 • Г (f + 1) exp (-^p) •

Параграф 2 посвящен суммам характеров абелевых групп. Рассмотрим бесконечную последовательность конечных абелевых групп Gn, таких что lim sn = оо, где sn — количество примарных циклических подгрупп в раз-

п—>оо

aeGn

, где штрих у

ложении группы Gn, и величину вида £п{х) = суммы означает, что суммирование ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы Gn, ах — характер абелевой группы Gn. Обозначим через Dn порядок группы Gn.

И. С. Нгонго [65] показал, что М£2г = г! + О • Автором вычислены постоянные в данной формуле.

Теорема 4. Пусть £п(х) — величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ r ^ \/sn имеет место асимптотическая формула

ме=г!(1+£ь

где |0| ^ 1.

На основании теоремы 4 и метода, предложенного Р. Н. Бояриновым [19], [23], получена формула дробных моментов.

Теорема 5. Пусть £п(х) ~ величина, определенная выше. Тогда найдется такое по, что для любого п > щ и 0 < а ^ ^ lnsn справедливо равенство:

та(п) = Г(0.5а + 1) + 9Rn,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, |0| ^ 1 и

Я,,

Яъ 0 < а < 30; Я-2, 30 ^ а ^

2 '

Дз,

Я,

/ 2271п1П8„Л ^ о 1п ) '

а+2 2

Яз = 23 • Г (| + 1) охр .

В §3 рассматриваются неполные суммы Гаусса. Пусть р — простое, с — целое, (с;р) = 1, числа Них целые в пределах 0</г<ри0^х<р, а х{п) — комплексный характер по модулю р. Пусть

х+И

-ж» = ■е

2пгсп/р

п=х+1

Рассмотрим нормированную неотрицательную величину

£ = £Р(х)

у/К

Э. К. Жимбо [39] показан, что = г! + О (£) + О + О ,

где т — минимальное натуральное число, такое, что хт = Хо- Автором вычислены постоянные в данной формуле.

Теорема 6. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ имеет место асимптотическая формула

2 г

/ 2 г,2 2гЬг^ * ( +

где \в\ ^ 1.

Для Н = [1пр] на основании теоремы 6 и метода, предложенного Р. Н. Бо-яриновым [19], [23], получена формула дробных моментов. Теорема 7. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое ро, что для любого р>р^иО<а^ ^ 1п 1п 1пр справедливо равенство:

та(р) = Г(0.5а + 1) + в Яр,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ ^ 1 и

Rn = <

Ru 0 < а < 30;

30 ^ а ^ 2^2 In lnp; i?3, < а ^ ^ In In Iii р;

Äi

210 / 226 In Iii Iii Iii p\ 2

In In lnp

g+2

g + 2 2

ч / о!8г,2 1 п (

Д2 = 2^.г(1 + 1)(2 '1; >; ,

Щ = 23 • Г (§ + 1) ехр (-^Р^) .

В параграфе 4 изучается аналог дзетовой суммы З^х^Т) — ^ е2тг?,жГ1пр

р^Ь

Рассмотрим нормированную случайную величину —

yß

, где р

простое, z = 7r(/i) — число простых чисел, не превосходящих h = h(T)z

lim h = +00 и lim = 0.

Т^+оо Т->+оо 111 '

Р. Н. Бояринов [13] показал, что М£2г = г! + ТО—- + 9^-. В настоящей работе получены несколько улучшенные остатки.

Теорема 8. Пусть £(х) — величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ у/z имеет место асимптотическая формула

М£2г = г! + в ■

Т'.Т

hr 7V

где |в| ^ 1.

Для h = 1пТ на основании теоремы 8 и метода, предложенного Р. Н. Бо-яриновым [19], [23], получена формула дробных моментов. Теорема 9. Пусть — величина, определенная выше. Тогда найдется такое То, что для любого Т > Т0 uO<a^^lnlnT' справедливо равенство:

тпа(п) = Г(0.5а + 1) + 9Rm, где Г(-) гамма-функция Эйлера, \9\ ^ 1 и

RT =

Ri, 0 < а < 30;

Я2, 30 ^ а ^ ¿3 VhünT;

Яз, \/ln In Т < а ^ In In Т;

210 / 228 In In In ?Л ^ In In Т J

Д2 = 27-Г(| + 1) JnT2" >

а+2

Я. = 23 • Г

(I + 1) ехр (-

У\п\пТ 227

В §5 рассматриваемая короткая показательная рациональная тригонометрическая сумма по «сдвигам» интервалов суммирования.

Рассмотрим сумму вида Sp(x]h) = ^

x^n^x+h

Spjx'h)

Vh

е р и нормированную слу-

чайную величину =

, где р — простое, (а, р) = 1, g — первообразный

корень по модулю р, а числа ж, гг, а, h — натуральные, х < р. Также hgh < р и lim = +оо.

р—>-+оо

И. С. Нгонго [65] показал, что = г! + О Q) + О . В настоящей

работе остатки получены в явном виде.

Теорема 10. Пуст,ь £(х) — величина, определенная выше. Тогда суш,ест-

вует такое р\, что для всех р^ р\ и для 1 ^ г ^ имеет место асимптотическая формула

ме=н (1+,

где \в\ ^ 1.

Для /г = [а/1 г) р] + 1 на основании теоремы 10 и метода, предложенного Р. Н. Бояриновым [19], [23], получена формула дробных моментов. Теорема 12. Пусть — величина, определенная выше. Тогда найдется такое ро, что для любого р > рц и 0 < а ^ ^ 1п 1пр справедливо равенство:

та(р) = Г(0.5а + 1) + 0ЯР,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ ^ 1 и

Яи 0 < а < 30;

Я2, 30 ^ а ^ ¿0п1пр;

^у/\пТпр < а < ^ 1п1пр;

а+2

а+2

о _ / 2281пЫп?Л 2 — а ^ Ыпр ^ '

Лз = 23 • Г (| + 1) ехр .

Важной задачей при исследовании арифметических функций является проблема оценки скорости сходимости к предельному распределению. В [23] Р. Н. Бояриновым был предложен метод решения этой проблемы с использованием только асимптотических выражений для четных моментов. В главе 2 настоящей диссертации с помощью метода Р.Н.Бояринова и результатов

главы 1 получены такие оценки. Кроме того, получены оценки мер больших значений.

В §1 рассматриваются аналоги сумм Клостермана. Пусть р — простое число, х — натуральное число. Рассмотрим сумму

5р(я;) = ^ е2п{хд,/р,

где Н = 1пр, а суммирование ведется по простым числам д, и д* определяется из сравнения дд* = 1(тос1 р).

Обозначим через ¡1 меру больших значений суммы (ж), где ц = ^ и и = : |5р(ж)| ^ — количество х, для которых выполняется неравенство

в скобках. Доказана следующая теорема-

Теорема 13. Для меры ¡л больших значений суммы вр{х) выполняется неравенство

¡1 < 6 • е е .

Положим z = 7Г{К) и =

. Доказана следующая теорема о ско-

рости сходимости к предельному распределению.

Теорема 14. Пусть £,р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое ро, что для, любого р > ро справедливо равенство

-а2

Fp{А) = 1 - е-л +

где -Рр(А) — функция распределения величины £р(х) и |ЯР| ^ ^^"bp""

В §2 рассматривается бесконечная последовательность конечных абелевых групп Gn, таких что lim sn — оо, где sn — количество примарных цикличе-

п—>оо

ских подгрупп в разложении группы Gn, и величина вида Sn(x) = ХУ x(a)i

aeGn

где штрих у суммы означает, что суммирование ведется но образующим при-

марных циклических подгрупп в разложении группы Gn) ах — характер абелсвой группы Gn. Обозначим через Dn порядок группы Gn.

Пусть ц — мера больших значений суммы Sn(x). Здесь Ц = -,у-, где v = : ^ ^л/^"} — количество X) Для которых выполняется неравен-

ство в скобках. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 16. Для меры fi больших значений суммы Sn(x) выполняется неравенство

о

¡л < 3-е

Пусть £п(х) =

1

Е'х(а)

. Доказана следующая теорема о скорости

а€Оп

сходимости к предельному распределению. Теорема 17. Пусть £п(х) ~ величина, определенная выше. Тогда найдется такое по, что для любого п > по справедливо равенство:

Fp{А) = 1 - е"А2 + Rn,

где К,(А) — функция распределения величины £п(х) и ^ Л24(л—.

V 1П .Чт

В §3 рассматриваются неполные суммы Гаусса. Пусть р — простое, с — целое, (с-,р) — 1, числа к и х целые в пределах 0</1<ри0^х<р,а х{п) — комплексный характер по модулю р. Пусть

x+h

Sh(x) = J2 х(п) ■ e27ri

2iricn/p

n=x+1

Обозначим как /х меру больших значений суммы ¿^(ж). Здесь // = где у = #{ж : ¡¿^(ж)! ^ Х\/1ъ} — количество ж, для которых выполняется неравенство в скобках. Доказана следующая теорема о мере больших значений суммы

ЗД-

Теорема 18. При Л > 0 для меры ц, больших значений суммы Б^х) верно неравенство

_2Л

\х <С 15 • б с .

Sh(x)

Vh

Рассмотрим нормированную неотрицательную величину £р(х) — Для К = [1пр] доказана теорема о скорости сходимости к предельному распределению.

Теорема 19. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое ро, что для любого р > ро справедливо равенство:

Пр{\) = 1 - е-А2 + Яр,

где .Рр(А) — функция распределения величины £р(х) и ^ .

Параграф 4 посвящен аналогу дзетовой суммы Бь(х]Т) = ^Ге2пгх11пр

и нормированной случайной величине £(х) =

p^h

Sh(x;T

\ß

, где р — простое,

lim h = +оо и ^ lim = 0. Оценим меру /1 больших значений суммы

т—я-оо т—я-оо

Sh{x). Здесь ¡л = meas{x Е (0; 1) : ¡¿/¡.(ж)! ^ Ау^} — мера х, для которых выполняется неравенство в скобках, где 2 = 7Г(h) — число простых чисел, не превосходящих h = h(T). Доказана следующая теорема. Теорема 20. Для меры ¡1 больших значений суммы Sh{x) выполняется неравенство

fjL < 9 • е

Для h = [InT] доказана теорема о скорости сходимости распределения значений.

Теорема 21. Пусть — величина, определенная выше. Тогда найдется

такое То, что для любого Т > То справедливо равенство:

^(Л) = 1 - е~л2 + Ят,

где Т(Л) — функция распределения величины £(.т) и |Ят\ ^ -.

В §5 изучается короткая показательная рациональная тригонометричес-

п

кая сумма по «сдвигам» интервалов суммирования Бр(х; ¡г) = ^ е ш р и

х-^п^х I /I

нормированная случайная величина =

•А

, где р — простое, (а, р) — 1,

с/ — первообразный корень по модулю р, а числа х-, п, а, к — натуральные, х < р. Также Иш к(р) = +оо и кдн < р.

р—¥+оо

Мера ¡л больших значений суммы (ж) определяется как р = ^у, где и — #{ж : |5"р(ж)| ^ Х\/к} — количество ж, для которых выполняется неравенство в скобках. Доказана следующая теорема.

Теорема 22. Для меры /л, больших значений суммы 6/г(ж) выполняется неравенство

(I < 3 • е .

Для к = [л/1пр] + 1 доказана теорема о скорости сходимости распределения значений.

Теорема 23. Пустг) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое р0, для любого р > ро справедливо равенство:

= 1 - е"А + А

■рч

где /?р(Л) — функция распределения величины и \11р\ ^

В 1960 году А. Г. Постников [69] вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Минеев [59]-[61] и др. доказали новые метричес-

кие теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лаку-нарных тригонометрических рядов были проведены Р. Форте [85], М. Кацем [88] - [89], А. Зигмундом [41], И. А. Ибрагимовым [42], В. Ф. Гапошкиным [35] -[36], В. Н. Чубариковым [26],[28], Р. Н. Бояриновым [8],[11],[24] и др. В главе 3 изучается поведение такой суммы на коротких интервалах.

Рассмотрим

1

/

хСР

2 к

-2т

где Рх — лакунарная последовательность, то есть ^ ¡3 > 1: Рх,т Е Z и

Г X

существует такое А > 0, что Рх ^ Авх. Доказаны следующие утверждения. Теорема 24. Пусть — лакунарная последовательность натуральных чисел, такая что ^ (3 > 1, Рх ^ А/Зх, к — фиксированное натуральное число, т £ ^ 1ш ^ О, Р — растущее натуральное число, Тт — количество решений диофантюва уравнения

+ + ^ = Рт + ... + Рш + т

Хк ^ 2/1

Ук

в целых числах 1 ^ Х{, у} ^ Р. Тогда верно неравенство

7 + 1)скк\Рк~1 + 2скк\С1ТРк~1

где 7 Т =

1п

(?)

аШ

1п Р

]п Р + 1.

+ с - «ГТ; - с2

Я

- К1-*)

и

Далее рассмотрим следующий интеграл

о /

2к

Е'

Х<Р

йа.

Теорема 25. Пусть Рз; — последовательность натуральных чисел, такая //

что ^ /3 > 1, к — фиксированное натуральное число, Р — растущее

натуральное число. Положим Т = тах

In ß

+ 1, То , где То е N и

< (1 — 1/ß)2. Тогда при 2k2T ^ Р и b — а ^ ^ имеет место равенство Ja,b = (Ь- а)к\Рк + (6 - a)02cJfc!TPfc-4 +4б2 ((7 + l^fclP*-1 + 2сккЮ^ТРк~1^) In Р + 40icA:A;!Pfc-1 In Р,

гдеИ^И^Ю, cö = Д.

Следствие 1. Если b — а ^ где 0 < е < 1 и 2к2Т ^ Р, то имеет

место равенство

где \в\ ^ 1.

Следствие 2. При b — а ^ имеет место следующее неравенство

Ja,b < (Ь - aJcgfclP* (27 + 4Т + 5).

Положим

) = £ e^iaFx Оценим меру р больших значений суммы

Sp(a). Здесь ц — где и = meas{a G (а; 6) : |5р(а)| ^ Лл/Р} — мера а, для которых выполняется неравенство в скобках.

Теорема 26. Для меры ß больших значений суммы Sp(a) при b — а ^ ^г-верно неравенство

р < 3(27 + 4Т + 5) где со = 7 --из теоремы 24 иТ — из теоремы 25.

Рассмотрим случайную величину £

Sp(a) л/р

Теорема 27. Если длина отрезка b — а ^ где 0 < £ < 1, то найдется

такое Ро, что для любого Р > справедливо равенство ГР(Л) = 1 - е-д2 + Яр, \ЯР\ <

л2 , о щ I / 1620у^1п1пР

у/е 1п Р

где -Рр(А) — функция распределения величины с— константа из т,еоремы 25 и г] = 31п(с(7+ 1)).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.м.н Р. Н. Воярипову за постановку задач и внимание к работе.

Глава 1

Моменты арифметических сумм

§ 1. О моментах аналогов сумм Клостермана

Пусть р простое число, х — натуральное число. Рассмотрим сумму

ЗДс;/0 = Х>2,^7Р>

где К — 1пр, а суммирование ведется по простым числам ц, и д* определяется из сравнения

ад* = 1(тос1 р).

Для того чтобы в дальнейшем провести теоретико-вероятностную аналогию, положим 2 = 7г(/г) и

£ = ш =

Яр(х)

>Г*

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть <71,..., дг+ь..., Ц2Г ~ простые числа, не превосходящие /г, и Н2г~1 < (2г)~1р. Тогда для числа Т{К) = ТР(К) решений сравнения

Ч\ +••■+<- 1 - • • • - Ът = 0 (т°а Р) (1-1)

при К —> оо и г ^ у/г имеет место асимптотическая формула

Т(Ь) = г\гг + вг\г2г7"~\ где |0| ^ 1, а при г ^ г верно неравенство

Т(Н) < 2гггг.

Доказательство. При рассуждениях будем следовать доказательству из [38]. Домножив сравнение (1.1) на

<2 = 91... ЯгЯг+1 ...Ц'1гф 0(шо(1 р),

получим сравнение

92 ■ ■ • ЯгЯг+\ ■ ■ • <?2г + • • • + <71 • • • <7г-1<7г+1 ■ ■ ■ <72г"

—<71 - - - ЯгЯг+2 ■ ■ ■ Я2г ■ ■ ■ - Я\ ■ ■ • ЯгЯг+1 ■ ■ ■ Яъ-\ = 0(тос1 р).

Поскольку каждое слагаемое в этом сравнении меньше, чем р/(2г), оно будет уравнением

ООО О , ч

- + ... + — - — -...- — = 0. (1.2)

<71 Яг Яг+1 Я2 г

Наборы (дг+ь ..., Я2г), являющиеся перестановкой набора (<71,..., дг), будут решениями последнего уравнения. Обозначим их количество через Т\. Очевидно, что

г!г(г - 1)(г - 2)... (г - г + 1) < ТХ{К) ^ г\гг.

Оценим сверху число решений <71,..., дг, Яг+1, • • •, Я2г, для которых набор (<7г+1,..., <72г) не является перестановкой набора (<71,..., дг). Без ограничения

общности можно считать, что дх ^ ... ^ дг и д,.+1 ^ ... ^ д2г.

Пусть q — максимальное из чисел дЛ. и дг+.,, такое что

Я2г — Яг, ■ ■ ■ Яг+в+1 = <7б-+Ъ Яг+я Тогда уравнение (1.2) можно переписать в виде

О Я Я Я , .

- + + + + —. (1.3)

Я\ Яя Яг+1 Яг+в

Рассмотрим случай q > г.

Без ограничения общности положим д = д.,,.. Пусть также £ таково, что дш = ... = д6. = д и ф ^ Очевидно, что £ ^ 5 - 1, дх ^ д2 < .. • ^ Яг < д и дг+1 < дг+2 < ^ дг+6. < д.

Обозначим = д . Тогда = где (Д д) = 1. Равен-

ство (1.3) равносильно следующему уравнению:

I • • • I I • • • I }

Я\ Яв Яг+1 Яг+в

и асмшс, рпопгмс ~

ные в правой, следует равенство

из которого, если собрать все слагаемые, равные в левой части, а осталь-

= (1-4)

где (#,д) = 1. Из равенства (1.4) получаем следующую цепочку:

(в - = я3-1В =>- {в - г) • А = д • В => д | (в - £) я - Ь ^ д.

При этом очевидно, что э — Ь < г, то есть получили противоречие первоначальному предположению.

Рассмотрим теперь случай д ^ г. Очевидно, что уравнение (1.3) имеет не

более r2,s решений, и соответственно уравнение (1.2) имеет не более r2szr s решений. Отсюда следуют неравенства

r!z(z - l)(z - 2)... (z - г + 1) sC T(h) < r\zv + r2"zr~s.

Для r ^ z можно записать следующее неравенство:

T{h) ^ rrzr + rrzr )S ^ 2rrzr.

Пусть теперь г ^ y/z. Тогда верно неравенство r2szr~s = zr~lr2 ^

zr~]r2. Обозначим

J^J = z(z — l){z — 2)... (г — r + 1) = zr (l - ^ (l - •

Поделив это равенство на zr и прологарифмировав его, получаем

-5-2-0-;).

к=1 4 7

Так как верно неравенство к ^ г — 1 < y/z, то 1 — | > 1 — и, считая, что z ^ 4, заключаем

k/z к 2к

тзт^г^т-

г v

Поскольку ln (1 — > — то с учетом полученного выше неравенства

z

имеем

lnIKy r(r-l)

zr г; z

k=i

Из последнего неравенства следует

2ге - <11

А с учетом того, что е г >1--> I — получаем следующие

неравенства:

г\гг - г\г2гг~1 < Т(к) ^ г\гг + гг~1г2.

Таким образом, можно записать Т(К) = г\гт + 0г\г2гг где |0| ^ 1.

□

Далее предположим, что х принимает значения из интервала 1 ^ х ^ р с одинаковой вероятностью 1 /р. Существует такое р\, что при р > р\ верно

условия леммы 1.

Докажем теорему о моментах порядка 2г рассматриваемой случайной величины £р(х).

Теорема 1. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ у/г имеет место асимптотическая формула

неравенство (2г) 1р > (1пр)

2г—1

}ь2г 1, а значит для такого Н выполняются

где \в\ ^ 1.

Доказательство.

2 г

Р.х=1 ^ х=1

Обозначим через Т(Н) = Т7,(/г) число решений сравнения

д* + ... + д*~ д*+1 - ... - д^ = 0(тос1 р).

Ясно, что

1 р

М£2г = —— ^ y^e2^(gî+-+g;-g;+i---g2r)/p = z~rT(h),

^Z Kqi,-,q2r^h х=1

поскольку верно следующее равенство:

1 . , | 1, если m = 0 (mod р);

- ¿71 1Л> Ifl/j у __

Р

Х=1

О, если m ф 0 (mod р).

Воспользовавшись леммой 1, получим утверждение теоремы. □

р

Пусть та(р) = - Ср{х) ~~ моменты рассматриваемой случайной вели-

р Ж=1

чины. Докажем справедливость следующей теоремы о дробных моментах.

Теорема 2. Пусть £р(х) — вели,чина, определенная выше. Тогда найдется такое ро, что для любого р > ро м0<а^^1п1пр справедливо равенство

ma{v) — Г(0.5а + 1) + 0RP, где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \9\ ^ 1 и

Rp

Ri, 0 < а < 30;

R2, 30 < а < л/ППпр;

R3, -^у/ЫХпр < а ^ ^lnlnp,

где

п _ 2'° f 2281п1п1п?Л 2

а V lnlnp J

а + 2 2

(о20_2 ]„ ( Vin ln р \

Дз = 23 • Г (| + 1) ехр (-^Р) .

Доказательство. Согласно теореме 1 для г ^ y/z будем иметь т2г(р)

г! + 6^ = г! + , где ^ 1. Тогда при г < справедливо равенство

Гп2г{р) — 1"\ (1+^).

Неравенства г = 7г(Н) ^ ^^ = 2ььр ^ \Дп~Р верны для всех р, начиная с некоторого р2.

Положим =тах(р1, р2). Тогда при р > ро и при г ^ верно следующее равенство:

m2r(p)=r\ +

где < 1.

Положим р = Поскольку

+ 1 < ln(lnp)1/8 + 1 ^

то можно применить следующую теорему.

Теорема 3. Пусть существует абсолютная постоянная щ ^ 1, такая что для любого п > щ и любых целых чисел 1 ^ v ^ [g\nf(n)] + 1, где О < q ^ 0.1 — некоторая постоянная, справедливо следующее равенство:

т2и{п) = (T2v + JJ^yJ ' \°\ ^

где /(•) — вещественнозначная функция и lim f(x) = +оо, а а2„ — некото-

х—>+оо

рая последовательность положительных чисел, определяемая ниже. Тогда найдется вещественное число П[ > по, такое что для любого п > щ и любого 0 < а ^ 0.5^» In f(n) справедливо равенство

та(п) = ¿¿(а) + 9Rn,

где ¡i{a) — некоторая функция параметра а, определяемая ниже, \9\ ^ 1 и

Rh 0 < а < 30;

Rn — <

R*, 30 < а < ^vV/W;

Дч, 2та\/1п/(п) < а ^ 0.5ßln/(n);

я + 1+Д 2

_ 2п-г / 222 In In f(n) \ - а ^ ß\nf(n) )

2l2+2Sa2

R2 = 2 7 ¡¿{а)

a + l + S 2

R3 = 22+V(a) exp

ßln/(n)

_£\АпДП)

2'20+гг

2°-5аГ(0.Ба + 0.5)тг-°-5, если a2v = и 6 = 0;

(21/)!

| ¿1 X \ \J.iJLb ~r \J.Ujli , OL-УНА IV '2t/ = -

Г(0.5а + 1), если сг2г/ = и\ и 5 — 1

где Г(-) — гамма-функция Эйлера. Доказательство см. в [19]

Применив теорему 3 для рассматриваемой величины и для сг2г/ = S = 1, f(p) = (1нр)1//4, получаем требуемое утверждение. □

§ 2. О моментах сумм характеров абелевых групп

Рассмотрим бесконечную последовательность конечных абелевых групп Gn, таких что lim sn = оо, где sn — количество примарных циклических под-

п—>оо

1

гЕ'х(о)

S" aeG

групп в разложении группы Сп, и величину вида £„(х) = где штрих у суммы означает, что суммирование ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы (?п, ах — характер абелевой группы Обозначим через Вп порядок группы

Теорема 4. Пусть £п(х) величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ ^ имеет место асимптотическая формула

ме=г!(1+£ь

где \в\ ^ 1.

Доказательство. Вычислим момент порядка 2г случайной величины £п,(х) для каждого г ^ 1:

2 г

£'*(«) =

X X

в

_^ I _^ ___

-^-^хЫхМ ■ ■ ■хМх&г)

Г

п аь...,аг,Ьь...,йге<7„ " х

= 4 --Л)-

Имеет место следующее равенство

I х_г _ 1, если £ = а;

— = <

п х 10, в противном случае.

Тогда

а1...аг=Ь1...Ьг

Найдем количество решений уравнения а\ ... аг = Ъ\ .. ,ЪГ. В силу однозначности разложения на примарные сомножители набор чисел Ь\,... ,ЬГ является перестановкой а\,..., аТ. Если . .., аг — различные числа, то таких наборов будет ровно зп(зп — 1). . . (— г + 1), а число решений уравнения будет г!в„(в„ - 1)... (в„ - г + 1).

Если среди чисел а\,..., аг есть хотя бы два одинаковых, то число таких

наборов не превосходит г(г — ^ г^-1. Соответственно, число решений

уравнения а\.. .аг = Ь\.. .Ъг среди таких наборов не превосходит Нг^-1. При доказательстве леммы 1 было показано, что при г ^

5п ( 1--< ^Оп - 1)... (¿?„ - г + 1).

\ 5 71 /

Таким образом, при г ^ ^/яЦ верна следующая формула ме(х) = \(г\згп + вг\г2згп-1) = г! + ;

где Щ < 1.

□

Докажем теорему о дробных моментах рассматриваемой случайной величины.

Теорема 5. Пусть £п{х) ~ величина, определенная выше. Тогда найдется такое по, 'что для любого п > щ и 0 < а ^ ^ 1п зп справедливо равенство:

та{п) = Г(0.5а + 1) + 0Яп,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, |/9| ^ 1

и

Яа =

Яъ 0 < а < 30;

Я2, ЗО^а^^у^;

Дз, ¿л/1^ < а < ¿1п5п;

Ях

Я2 Из

а+2 2

{ 227 1п 1п \ 1 а ^ 1п вп )

23 • Г (| + 1) ехр .

а+2 2

Доказательство. Из теоремы 4 следует, что при г ^ верно равенство

т2г{п) = г! ( 1 +в 1

где |0| ^ 1.

Положим р = Поскольку 1п л/^] + 1 < то можно воспользо-

ваться теоремой 3 для а2и = 6 = 1 и /(п) = Теорема доказана. □

§ 3. О моментах неполных сумм Гаусса

Пусть р — простое, с — целое, (с;р) = 1, числа Них целые в пределах 0<И<ри0^х<р, а, х(п) ~ комплексный характер по модулю р. Пусть

х+И

ЗД = Е ^ ■ е2™п/р■

п=х+1

Рассмотрим нормированную неотрицательную величину

£р(х) =

у/К

Теорема 6. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ у/К имеет место асимптотическая формула

п , / ,г2 г!2 2гНг\

где \в\ ^ 1.

Доказательство. При рассуждениях будем следовать работе [39].

Предположим, что х принимает значения из интервала 0 ^ х < р с одинаковой вероятностью 1 /р. Тогда момент порядка 2г случайной величины £р(х)

будет равен

р ' р рНт

^ х=0 ^ х=0

= у^ ( (х + щ) ■ ... ■ (х+пг) \ с27Г»с(п1+...+п,-пг+1-...-п3г)/р _

= е2^с(п1+...-п2г)/р ( (х + П1)-...-(х + Пг) \ =

¿< \(х + пг+]).....(х + п2г))

1 («Л + </2 + «73),

рЪТ

где в сумму «Л, я = 1, 2, 3 входят наборы (щ,... ,п2г) из класса Кч. Класс К\ состоит только из тех наборов, для которых (п7 (1,.. ., п2г) есть перестановка набора (п1,..., пг). В класс К2 входят только те наборы, для которых рациональная функция, стоящая иод знаком характера, является т-ой степенью, где т — минимальное натуральное число, такое что хт — Хо (так как X — комплексный характер, то ш ^ 3). Кроме того, набор из К2 не входит в К1, то есть (пг+1,..., п2г) не является перестановкой набора (п],. .. , пг). Все оставшиеся наборы отнесем к классу

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

где Т\ — количество наборов в классе К\. Очевидно, что

гЩк - 1)(к - 2)... (/г - г + 1) ^ Тх < г\Кг. При доказательстве леммы 1 было показано, что при г

< у/Тг

Нт - < - 1)(Л - 2)... (/г - г + 1).

Таким образом, верны следующие неравенства:

г! 1 -

г

h

2

или rbJi = г\+в • где |<9| ^ 1.

Оценим J2- Пусть f(x) = (х + ni) •... (х + пг) и д(х) = (х + nr+1) •... (х + П2Г)- В силу того, что (ni,...,П2г) Е получаем что f(x) = d(x)fol{x), д(х) = d(x)g™(:х), где d{x) — многочлен, делители которого являются многочленами степени меньшей, чем т. Степени многочленов fag можно представить в виде г = d + m¿o, где d — степень многочлена d(x), ¿o — степень многочленов /о и до- Тогда количество наборов в классе К2 не превосходит

\?hdh2to = r!2//~(m~2)í°.

Следовательно,

(nb...,n2r)G/C2

h '

Пусть теперь (ni,... , n2r) Е В силу оценки А.Вейля

Í (х + ni) • ... • (х + пг) \{х + nr+1) • ... ■ (х + п2г)

Отсюда имеем

-i- J3 ^ 2/г2гГл/р = 2rhr • р-5. phr v

Таким образом, при г ^ \/7¿ верно, что

□

Далее будем считать И — [1п _р]. Докажем справедливость следующей теоремы о дробных моментах.

Теорема Т. Пусть £р(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое ро, что для любого р > ро иО < а^ ^ 1п 1п 1пр справедливо равенство:

та(р) = Г(0.5а + 1) + вЯр,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \0\ ^ 1 и

Пр

Ях, 0 < а < 30;

30 < а ^ ¿2\/1пТгПпр;

< а ^ ^ 1п1п1пр;

. а+2

2й' ( 226 1п1п1п1пр Л 2

1п1п1пр } '

. „_ . а + 2

/ о!8.2 1п ( чЛпЫпрЛ \ 2

д2 = 27 ■ г (| +1) (2 а'"(—1

1п 1п 1п Р

Я3 = 23 • Г (| + 1) ехр (-

у/111 1п 1п р

22б

Доказательство. Неравенство т~ ^ X веРно Для всех г■ Также существует такое р\, что для любого р > р\ при г ^ \/1пр выполняется ^

Таким образом, с учетом теоремы 6 можно записать, что ш2г(р) = г! (1 + в^) для всех р > р\.

Пусть г ^ 1п1п1пр. Тогда 1п г ^ 1п1п1п1пр. Следовательно, г1пг ^ 1п 1п 1п 1п р ■ 1п 1п 1п р. То есть

г! < гг < е1п1п1пР1п1п1п1пР = (1п 1пр)1п1п1п1пр

Существует такое р2, что неравенство (1п1пр)1п1п1п1пр ^ выполняется

для всех р > р2.

Таким образом, для р > ро = тах(р!;р2) и при г ^ 1п1п1пр верно равенство:

где \в\ < 1.

Положим р = Поскольку

^ In In lnp

+ 1 < In In In р,

то можно применить теорему 3. В данном случае = 6 = 1 и /(р) = 1п1пр, откуда получаем требуемое утверждение. □

§ 4. О моментах аналога дзетовой суммы

Рассмотрим аналог дзетовой функции Sh{x]T) = Yl е

2тхТ\пр

и нормирован-

p^h

ную случайную величину

Sh(x-T) \ß

, где р — простое, z = 7r(h) — число

простых чисел, не превосходящих h — h(T), lim h = +oo и lim ^ = 0.

T->+oo T—>+oo

Теорема 8. Пусть £(x) величина, определенная выше. Тогда для 1 ^ г ^ yfz имеет м,есто асимптотическая формула

мег = г\+в-(—+ hr Л

Tzr

где \0\ ^ 1.

Доказательство. Вычислим моменты порядка 2г случайной величины для каждого г ^ 1. При этом будем следовать доказательству [13].

= / £2r(x)dx

2r I

i S /

э \Я1-~ЧГ Jdx ~

где A(r, h) = £ 1иВ(г,А)= £

Pi-..-Рг=<?1 ■■•••<7r Pv-.-Pr^qi-.. qr о

Оценим B(r,h). Очевидно, что

Je ^Jdx.

f

2mx7

ixT lnfEL-fr) V 41 <7r У

dx

з V 91 Яг J — 2

2тг?;Т1п

/ Pl -рд

\9i---9r /

£

2tvT

ln

/ pl-...-рл

\qv-.-qr J

>

Используя неравенство |ln|| ^ min Q, при a b, получим ln ~ при Pi ■ ... ■ pT ф qi • ... • qr. Отсюда |£(r, h)| ^

При доказательстве теоремы 4 было показано, что у уравнения р\ ■... -рт = çi •.. . • qr при pi,. .., pr, qi,..., qr ^ /гиг ^ yj~z есть r\zr + 0r\r2zT~l решений. Таким образом, Л(г, /г) = r\zr + 9r\r2zv~l при г ^ yfz

и

М£2г(:г) = г! + В

Y!r2 К -+

Tz'

где \в\ ^ 1.

□

Положим К = \пТ и докажем теорему о дробных моментах рассматриваемой случайной величины.

Теорема 9. Пусть £(х) — величина, определенная выше. Тогда найдется такое То, что для любого Т > Т0 и 0 < а ^ ^ Ы1П71 справедливо равенство:

ша(п) =Г(О.5а + 1) + 0Ят,

где Г(-) — гамма-функция Эйлера, \в\ ^ 1 и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимергалиев, Ирек Саматович, 2014 год

Литература

[1] Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004.

[2] Бернштейн С. Н. Теория вероятностей.// ГИТТЛ, 1946.

[3] Бочкарев С. В. Логарифмический рост средних арифметических от функций Лебега ограниченных ортонормированных систем// Докл. АН СССР, 1975, т. 223, №1, с. 16-19.

[4] Бочкарев С. В. Метод усреднений в теории ортогональных рядов и некоторые вопросы теории базисов// Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, т. СХЬУ1, 1978.

[5] Бочкарев С. В. Об одном методе оценки Ь\ - нормы экспоненциальной суммы //Тр. МИАН, 1997, т. 218, с. 74-76.

[6] Бояринов Р. Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей последовательности, связанной с числами Фибоначчи./ / Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии»: Тезисы докл. Межд. Конф. Алматы. 2000. 71 - 72.

[7] Бояринов Р. Н. Многомерный аналог теоремы Форте-Каца// Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы докл. IV Межд. Конф. - Тула. - 2001 г. 97-98.

[8] Бояринов Р. Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей.// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2001. №5, 52 - 54.

[9] Бояринов Р. Н. Об одной предельной теореме типа Форте-Каца.// Третий всероссийский симпозиум но прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. «Обозрение прикладной и промышленной математики» 2002. 9. вып. 2. 343 - 344.

[10] Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций// Диссертация кандидата физ. мат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, мех.-мат. ф-т, 2002

|11] Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2003. №2, 57-58.

[12] Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению// Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докл. VI Мсжд. Конф. - Саратов. - 2004 г. 25-26.

[13] Бояринов P. II. О распределении значений аналога дзетовой суммы// Вестник Московского Университета. Сер. Математика. Механика.2004. №3. С.55-56

[14] Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению// Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1, 2005, с.50-57.

[15] Бояринов Р. Н. Матричный аналог теоремы Форте-Каца//Восьмой всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. «Обозрение прикладной и промышленной мате-матики» 2008. Т. 15. №1, С. 86-87.

[16] Бояринов Р. Н. Аргумент дзета-функции Римана// Труды VII международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. Тула 2010, т. 11, вып. 1, 54-67.

[17] Бояринов Р. Н. О распределении больших значений аргумента дзета-функции Римана,// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2010, №6, 55-58.

[18] Бояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435, №3. С.295-297

[19| Бояринов Р. Н. О дробных моментах случайных величин// ДАН.2011. Т.436, №3. С.299—301.

[20] Бояринов Р. Н. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2011, №2, 20-27.

[21] Бояринов Р. Н. О распределении значений дзета-функции Римана// ДАН.2011.Т. 438. №1. С. 14-16.

[22] Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана// Теория вероятностей и ее применения, 2011. Т.56. №2. с. 209-223.

[23] Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана// диссертация доктора физмат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, мех.-мат. ф-т, 2012

[24] Бояринов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы// Дискретная математика. 24:1, 2012, С. 26-29.

[25] Бояринов Р.Н., Нгонго И. С. О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле по простым числам// Алгебра и теория чисел: совре-

менные проблемы и приложения: Тезисы докл. VI Межд. Конф. Саратов, 2004, 26-27.

[26] Бояринов Р. Н., Нгонго И. С., Чубариков В. Н. О новых метрических теоремах в методе А.Г. Постникова// Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Труды IV Межд. Конф. Тула, 2002, С.5-31.

[27] Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О моделировании случайных величин на последовательности конечных абелевых групп// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех., 2004. №2, 69-71.

[28] Бояринов Р. Н., Чубариков В. II. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи// ДАН. 2001. Т.379, №1. С.9-11

[29] Бредихин Б. М., Линник 10. В. Бинарные аддитивные задачи с эргоди-ческими свойствами решений.// ДАН СССР. 166. № 6. 1966.

[30] Виноградов И. M. Sur la distribution des residues et des non residues des puissances.// Жури. физ.-ма,тем. об-ва при Пермском ун-те. 1918. 1. С. 94-98.

[31] Виноградов И. М. О распределении квадратичных вычетов и невычетов.// Жури, физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1919. 2. С. 1-16.

[32] Виноградов И. М. Основы теории чисел.// М., Наука, 1972.

[33] Виноградов И. М. Избранные труды.// Изд. АН СССР, 1952.

[34] Гараев М. 3. О нижних оценках - нормы некоторых экспоненциальных сумм//Матем. заметки, 68:6 (2000), С. 842-850.

[35] Гапошкии В. Ф. О скорости приближения к нормальному закону распределений взвешенных сумм лакунарных рядов// Теория вероятностей и ее применения, 1968. 13, вып. 3, 445-461.

[36] Гапошкин В. Ф. О центральной предельной теореме для некоторых слабо зависимых последовательностей// Теория вероятностей и ее применения, 1970. 15, вып. 5, 666-684.

[37] Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений.// М., Высшая школа. 2000. 312.

[38] Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. О распределении арифметических функций по простому модулю // Дискретная математика.2001. Т.13, выпуск 3. 32-41

[39] Жимбо Э. К. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса // Вестник Московского Университета. Сер. Математика. Меха.ника.2001. т. С.67-69

[40] Жимбо Э. К., Чубариков В. Н. Об асимптотических распределениях значений арифметических функций.// Докл. РАН. 2001.377. №2.

[41] Зигмунд А. Тригонометрические ряды// т. II, М., ИЛ, 1964.

[42] Ибрагимов И. А. Центральная предельная теорема для сумм функций независимых случайных величин и сумм вида Теория вероятностей и ее применения, 1967. 12, вып. 4, 655 - 665.

[43] Карацуба А. А. Аналоги сумм Клостермана// Изв. РАН. Сер. математика. 1995. Т.59, № 5. 93-102

[44] Карацуба А. А. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю.// Докл. РАН. 1993. 333. №2. 138 -139.

[45] Карацуба А. А. Двойные суммы Клостермана. // Матем. заметки. 1999. 66. вып. 5. 682 - 687.

[46] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел.// Едиториал УРСС, 2004.

[47] Карацуба А. А. О функции Б{Ь)// Изв. РАН. Сер. матем., 60:5 (1996), 27-56.

[48] Карацуба А. А. Об оценке Ь\ - нормы одной экспоненциальной суммы// Матем. заметки, 64:3 (1998), С. 465-468.

[49] Карацуба А. А., Королев М. А. Поведение аргумента дзета-функции Ри-мана на критической прямой// Успехи математических наук, 2006. Т.61, №3(369), С. 3-92

[50] Карацуба А. А., Королев М. А. Аргумент дзета-функции Римана, // Успехи математических наук, 2005, Т. 60, №3 (363), С. 41-96

[51] Конягин С. В. О проблеме Литтлвуда// Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т. 45, №2, с. 243-265.

[52] Конягин С. В. Об оценке — нормы одной экспоненциальной суммы// Теория приближений функций и операторов, тезисы докладов международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения С. Б. Стеч-кина. Екатеринбург, 2000, с. 88-89.

[53] Королев М. А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической пря-мой//Тр. Мат. Ин. В.А.Стеклова. 2002. 239. 215-238.

[54] Кубилюс Й. П., Линник Ю. В. Арифметическое моделирование броуновского движения.// Изв. вузов. Математика. 1959. 6(13). 88 - 95.

[55] Кубилюс Й. П. Вероятностные методы в теории чисел.// Госполитнауч-издат Литов. ССР, Вильнюс. 1962.

[56] Кубилюс Й. П. Об асимптотических законах распределения аддитивных арифметических функций.// Литов. матем. сб. 5, №2. 1965. 261 - 272.

[57] Лоэв М. Теория вероятностей.// Из - во иностр. лит. 1962. 719.

[58] Марков А. А. Исчисление вероятностей// Москва, Гос. из-во, 1924.

[59] Минеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями// Успехи матем. наук 1959. 14. в. 3, 169 — 171.

[60] Минеев М. П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодической суммы// Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 26. №5. 282 - 298.

[61] Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущих функций// Мат. сб. 1958. 46(88). №4. 451 454.

[62] Мухутдинов Р. X. Диофантово уравнение с матричной показательной функцией// ДАН СССР 1962. 142. №1, 36 - 38.

[63] Нгонго И. С. О распределении значений коротких сумм характеров Дирихле но простым числам// Вестник МГУ. Сер. 1,мат. мех., 2002. №6. 45 -48

[64] Нгонго И. С. О распределении значений коротких сумм характеров абе-левых групп// Третий всероссийский симпозиум но прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. «Обозрение прикладной и промышленной математики» 2002. 9. вып. 2. 426.

[65] Нгонго И. С. О распределении значений коротких сумм //диссертация кандидата физ.-мат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, мех.-мат. ф-т, 2002

[66] Олевский А. М. Ряды Фурье и функции Лебега//Успехи матем. наук, 1967, т. 22, вып. 2 (134), с. 237-239.

[67] Постников А. Г. Аддитивные задачи с растущим числом слагаемых// ИАН, сер. матем. 20, №6, 1956, 751 - 764.

[68] Постников А. Г. Эргодические вопросы теории диофантовых приближений// Труды МИ АН СССР, 1966. 82.

[69] Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме// ДАН СССР, 1960. 133. №6.

[70] Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел// М., Наука. 1971.

[71] Постников А. Г. Оценка показательной тригонометрической суммы// Изв. РАН. Сер. м.атем., 1956. 70. 661-666.

[72] Прохоров К). В. Некоторые уточнения теоремы Ляпунова//Изв. АН СССР. Сер. матем., 16:3 (1952), 281-292.

[73] Риман Б. О числе простых чисел, не превышающих данной величины// Б. Риман, Сочинения, ОГИЗ, М., 1948, 216-224.

[74] Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика,.// Москва, «Наука», 1989.

[75] Спринджук В. Г. Закон ошибок Гаусса в распределении значений коротких сумм Вейля.// Докл. АН БССР. 1969. 13. № 10. 873- 875.

[76] Усолъцев Л. Г1. Аддитивная задача с растущим количеством слагаемых с показательной функцией// Известия высших учебных заведений СССР, Математика 3(58), 1967, 96 - 104.

[77] Фрейман Г. А. Проблема Варинга с растущим числом слагаемых// Учен, зап. Елабуж. гос. пед. ин-та. №3, 1958, 105 - 119.

[78] Хамитов Г. П. Производящая функция в теории вероятностей. Новосибирск, 1999.

[79] Ширяев А. Н. Вероятность.// Москва, «Наука», 1979 г.

[80] Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышевский сборник , т. 9, вып. 4, 2003, 173-183.

[81] Burgess D. А. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса./ / The distribution of quadratic residues and nonresidues.// Math. 1957. 4. №8. 106 - 112.

[82] Carleman T. Sur les équations intégrales singulières a noyau réel et symétrique// Upsala, Lundequis, 1923.

[83] Carleman T. Sur le problème des moments//C. R. Acad. Sci. Paris 174 (1922), 1680-1682.

[84] Davenport H., Erdôs P. The distribution of quadratic and higher residues.// Publ. Math., Debrecen. 1952, 2, №3 - 4. 252 - 265.

[85] Fortet R. Sur une suite également repartie.// Studia math., 1940. 1. 54 - 69.

[86] Frechet M. and Shohat A proof of the generalized second limit-theorem in the theory of probability// Trans. Amer. Math. Soc. 33, 1931, №2, 533 543.

[87] Ghosh A. On the Riemann zeta-function-mean value theorems and the disribution of |S(T)|// J. Number Theory, 17:1 (1983), 93-102.

[88] Kac M. Statistical independence in probability and analysis and number theory.// N. Y., 1952.

[89] Kac M. On distribution of values of sums of the type £ f(2kt)// Ann.Math. 1946. 47. №1. 33 -49.

[90] Kolmogoroff A. Uber die Grenzwertsâtze der Wahrscheinlichkeitsrechnung// Изв. АН СССР. VII серия. Отд. матем. и естест. наук, 1933, №3, 363 372.

[91] Liapounoff A. Sur une proposition de la théorie des probabilités//H3BecTifl Императорской Академш Наукъ, 13:4 (1900), 359-386.

[92] Olevskii A. M. Fourier series with respect to general orthogonal systems// Berlin - Heidelberg - New York, Springer - Verl., 1975.

[93] Salem R.; Zygmund A. On lacunary trigonometric series// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.33 (1947), 333 - 348; 34 (1948), 54 - 62.

[94] Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function//Arch. Math. Naturvid., 48:5 (1946), 89-155.

[95] Selberg A. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of C(s) in the strip 0 <t<T// Avh. Norske Vid. Akad. Oslo I, 1944, №1.

[96] Selberg A. The zeta function and the Riemann hypothesis//Dixième Congrès Math. Skandinavcs 1946, vol. 10, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen 1947, pp. 187-200.

[97] Tsang К. M. The distribution of the values of the Riemann zeta function// Ph.D. dissertation, Princeton University, 1984.

[98] Turan P. On a theorem of Hardy and Rarnanujan.// J. London Math. Soc. 1934, 9. m. 274 - 276.

[99] Vaughan R. С., Wooley T. D. On the distribution of generating functions// Bull. London Math. Soc., 1998. 30. 113 - 122.

[100] Weil A. On some exponential sums.// Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 34. № 5. 204 - 207. 1948.

[101] Weyl H. Uber die Gleichverteilung der Zahlen mod. Eins// Math. Ann., 1916. 77. 313 - 352.

Работы автора по теме диссертации:

[102] Тимергалиев И. С. О распределении значений аналогов сумм Клостер-мана// Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. 2013. №5. С. 37—41

[103] Тимергалиев И. С. О распределении значений сумм характеров абе-левых групп и коротких показательных сумм// Политсматический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) Краснодар: КубГАУ, 2014. №04(098). С. 769-782. IDA [article ID]: 0981404058. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/58.pdf

[104] Тимергалиев И. С., Боярииов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах// Чебышевский сб., 14:2 (2013), С. 154-163

[105] Тимергалиев И. С., Боярииов Р. Н. О распределении значений неполных сумм Гаусса//Чебышевский сб., 14:3 (2013), С. 127-133

[106] Тимергалиев И. С. О распределении значений аналогов сумм Клостер-мана// Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докл. XI Межд. Конф. Саратов. 2013 С. 80