"Оценки и неравенства для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Оганесян Кристина Артаковна

• Оганесян Кристина Артаковна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Оганесян Кристина Артаковна

Введение

Глава I. Множества нулей и множества положительности синус-рядов с монотонными коэффициентами

1.1 Точная верхняя оценка на меру множества нулей на [0,п]

1.2 Одно неравенство для синус-рядов

1.3 Нижняя оценка на меру множества положительности на [0,п]

1.4 Точная нижняя оценка на меру положительности на [п/2, п] и некоторые следствия

Глава II. Равномерная сходимость синус-рядов с полиномиальными и нецелыми гармониками

2.1 Оценки сумм Вейля в зависимости от параметров рациональных приближений старшего коэффициента многочлена

2.2 Случай целых степеней

2.3 Случай степени из интервала (1,2)

2.4 Случай степени из интервала (0,1)

2.5 Доказательство Теоремы

Заключение

Список литературы

Введение

Работа посвящена изучению классических тригонометрических рядов, а также тригонометрических рядов с нецелыми и полиномиальными гармониками, коэффициенты которых удовлетворяют некоторым условиям монотонности. Главным образом, исследуются свойства множеств нулей и множеств положительности сумм таких рядов, а также вопросы равномерной сходимости,

В первой главе исследуется вопрос, поставленный в своё время П.Л, Ульяновым: как велико может быть множество нулей невырожденного синус-ряда с монотонными коэффициентами? Оказывается, это множество не только может быть несчётным, но даже может иметь положительную меру, В настоящей работе получена точная оценка на меру такого множества, что даёт окончательный ответ в задаче П.Л, Ульянова, Помимо этого изучаются множества положительности синус-рядов с монотонными коэффициентами.

Во второй главе решается задача, тесно связанная с вопросами аналитической теории чисел и дифференциальных уравнений, о том, какие условия являются необходимыми и достаточными для равномерной сходимости синус-рядов с нецелыми и полиномиальными гармониками и коэффициентами монотонного типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «"Оценки и неравенства для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами"»

Актуальность темы. Пусть

те

f (x) := ^^ an sin nx, a\ > 0, an \ 0, (1,1)

n=l

И

M := {x E R : f (x) = 0}.

Будем обозначать для любого измеримого множества L E R EL := M П L, := ^(EL), где под ^(Л) здесь и далее подразумевается классическая мера Лебега множества A

M

с монотонными коэффициентами, В частности, в некоторых из них рассматривался вопрос, "как велико" может быть множество Е[0,п]. Так, в 1979 г, П.Л, Ульянов поставил ряд задач, среди которых следующие:

1) Может ли это множество иметь мощность континуума?

2) Может ли это множество иметь положительную меру?

На первый вопрос В.Ф, Гапошкип | | дал положительный ответ и в своей работе привёл пример ряда вида (1.1), имеющего на [0, п] континуум нулей, в котором ak = X]s-1'001 при 103(m-1) < k < 103m.

Позже М.И. Дьяченко | | показан, что ряд вида (1.1) может сходиться к пуню па множестве положительной меры, построив функцию

{1 - x, x е (0, a], 0, x е (a,п),

которая при a е (a0, п) имеет ряд Фурье вида ( ), а постоянная a0 е (2п/3, 2,15), находится из уравнения 2a0 — 4 sin a0 + sin2a0 = 0. Также в этой работе было показано, что верна следующая оценка для меры нулей f (x) на [0,п]:

^[0'П] < п — 1.4.

Затем A.C. Белов | | и М.И. Дьяченко | | независимо показали, что имеет место оценка

п

f(x)

отрезке [2п/3,п]:

i ^^x-P2, x е (0, 2т], f (x) = { sin x , ( , 3 ^ (0.1)

[0, x е (f,п).

Долгое время вопрос о том, каково максимальное значение ^[0,п], оставался открытым. В первой главе диссертации получен окончательный ответ па этот вопрос, а именно, нока-п/3

оптимальным, так как в случае ^[0,п] = п/3, почти всё множество нулей соответствующей

[2п/3, п]

Стоит упомянуть, что дня косинус-рядов ситуация совершенно иная: М.И. Дьяченко | | построил для любого е е (0, п) пример такого ненулевого косинус-ряда g£(x) с монотонными коэффициентами, что {x е (0,п) : g£(x) = 0} D [е,п].

Также в первой главе получены неравенства, связывающие значения функции вида (1.1) в точках x и ux для натуральных и, и эти неравенства, в частности, позволили получить новую оценку на меру множества положительности такой функции на [0,п] и его подотрезках. Во второй главе рассматриваются ряды

те

£

k=1

ck sin kax, ck \ 0, (2.1)

где а > 0, а при нечётном натуральном а более общие ряды

те

y^Cfc sin f (k)x, ck \ 0,

(2.2)

k= 1

где f (k) — многочлен степени а с рациональными коэффициентами по нечётным степеням к, причём в случае натурального а последовательности {ck} рассматриваются также из более широкого класса. Нас интересуют условия, которые были бы необходимыми и достаточными дня равномерной сходимости рядов (2.1) и (2.2).

Для случая а =1 такие условия давно получены Т. Чаунди и А. Джоллифом [6],

Теорема А. Если неотрицательная последовательность {ck}£=1 не возрастает, то ряд Sfc=1 ck sin kx сходится равномерно на Ж тогда и только тогда, когда, ckk ^ 0 щи к ^ <х>.

В | | Дж.Р. Нуркомбом требование монотонности последовательности было ослаблено до требования квазимонотонности, то есть существования такого неотрицательного числа y, что ckk-Y не возрастает, а в [8] критерий был распространён на несколько более общие последовательности (стоит отметить, что результаты работы |8| были получены С.Б. Стечкиным в 1953-1954 гг., задолго до указанной публикации). Ещё одно обобщение Теоремы А, полученное Л. Ляйпдлером, можно найти в |9|, где соответствующий критерий был доказан дня последовательностей из класса RBVS, то есть таких, что выполняются условия

для всех /, оде V зависит только от {ск},

Дня более широкого класса последовательностей, содержащего все упомянутые выше классы, аналогичный результат получил С.Ю. Тихонов |10|.

Теорема В. Если, неотрицательная последовательность {скпринадлежит классу СМ, то есть, если, существует такая константа, А, зависящая лишь от {ск}, что

для, всех I, то ряд Y^k=1 ck sin kx сходится равномер но на Ж тогда, и только тогда, когда, ckk ^ 0 щи k ^ <х>.

Также критерии равномерной сходимости рядов X]fc=1 ck sin kx для последовательностей, удовлетворяющих различным условиям обобщённой монотонности, были получены в | | и

те

(0.2)

У^ |ck - ck+11 < Aci

Случаи а = 1/2 и а = 2 для рядов (2,1) были рассмотрены в [13], где было показано, что условие ckk ^ 0 является необходимым и достаточным для равномерной сходимости ряда (2,1) на отрезке [0, п] при а = 1/2, а при а = 2 необходимым и достаточным является условие

Ете ,

fc=1 cfc <

В диссертации показано, что для ряда ( ) с монотонными коэффициентами и а G (0, 2) для равномерной сходимости на любом ограниченном множестве достаточно, чтобы ckk ^ 0 при k ^ го, в то время как для нечётных натуральных а это же условие является достаточным дня равномерной сходимости па всей числовой прямой, причём дня более общего

а

даже дня сходимости в конкретных точках необходима сходимость ряда из коэффициентов, В качестве следствия из этих результатов также получен критерий равномерной сходимости ряда ( ) при всех натуральных а, а также при а G (0, 2),

В доказательство упомянутых результатов дня случая ряда (2,2) мы имеем дело с вопросами распределения дробных частей значений многочлена (см., например, | |,| |) и с оценками сумм Вейля (см, также |16|,| | и |1£|), играющими важную роль в теории чисел, в частности, в решении проблемы Варипга о представлении натурального числа в виде суммы одинаковых степеней натуральных чисел и дня оценки сумм, возникающих в теории дзета-функции Римапа, Хорошо известны следующие теоремы, полученные соответственно Г. Вейлем и И.М. Виноградовым и дающие оценки сумм Вейля в точках специального вида.

Теорема С. ([ , Т.Ц, §11]) Пусть n > 2, h(x) = а1х + ... + апхп и

а в

ап = - + —, (a,q) = 1, |в| < 1. q q2

Если 0 < е1 < 1 и P£l < q < Pn-£\ то при любом 0 < е < 1 выполняется оценка

p

1-

J]e2nih(fc) < C(n,e,e1)P1-.

k=1

Теорема D. ([ , Т. 17, §Ц]) Пусть n > 2, h(x) = а1х + ... + апхп и

а в . ап = - + -2, (a,q) = 1, |в| < 1.

q q2

Если P < q < Pп-1, то справедлива оценка

p

£

k=1

g2nih(k)

< e3nP1-.

Однако в этих теоремах длина суммы Р сильно связана со знаменателями рациональных приближений к старшему коэффициенту многочлена К,

Мы получаем оценки сумм Вейля в зависимости от того, насколько хорошо старший коэффициент многочлена приближается рациональными дробями со знаменателями, меньшими некоторой малой степени числа P. Наиболее хорошие оценки получатся в точках, которые таким образом приближаются достаточно плохо. Такие оценки представляют интерес потому, что когда старший коэффициент "близок" к рациональному числу, то суммы Вейля ведут себя в некотором смысле похоже па рациональные суммы, которые изучены достаточно хорошо и с которыми легче работать.

Из доказательства упомянутых результатов второй главы диссертации также следует, что при ckk ^ 0 при k ^ ж имеет место равномерная сходимость ряда (cm —

cm+1) |lm£m=o (fc)x|- в частности означает, при cm := m-1 ln-1(m + 1), что ряд

Sm=1 m2 in1m+1) |lm^m=0 | сходится равномерно, а значит, для любого а > 0 число таких m, что | Im^m=0 eif (k)x| — am, равномерно мало.

Стоит отметить, что К.И. Осколковым |20| была приведена оценка симметричных ча-

E„2nih(fc) , . fcez\{0} —к— для многочлена h(x) с действительными коэффициентами. Этот результат использовался дня оценки снизу констант Лебега и доказательства следующей теоремы.

Теорема Е. Пусть r — 2, Pr(y) = а0 + a1y + ... + aryr — многочлен с целыми коэффициентами, принимающий различные целые значения при y Е NU{0}. Тогда {Pr(n)} не является, спектром равномерной сходимости.

Здесь иод спектром равномерной сходимости подразумевается такая последовательность K = {kn} попарно различных целых чисел, что для любой непрерывной функции, имеющей нулевые коэффициенты Фурье при k Е K, частичные суммы ее ряда Фурье сходятся равномерно.

В |21| Г.И. Архиновым и К.И. Осколковым была доказана равномерная ограниченность симметричных частичных сумм Xa<|k|<m e2"fcfe(fc) по m Е N и deg h < r при фиксированном r. В частности, из этого результата они получили следующую теорему.

Теорема F. Пусть P +(x), P-(x) — многочлены с действительными коэффициентами, причём P+(—x) = P+(x), P-(—x) = —P-(x). Тогда ряд

e2niP+(n) sin 2nP-(n)

£

n

n=1

сходится, и его частичные суммы ограничены сверху по модулю величиной, зависящей л,ишь от степеней многочленов Р + и Р-, но не от их коэффициентов.

Можно заметить, что из Теоремы F с помощью преобразования Абеля вытекает справедливость полученного в настоящей работе достаточного условия равномерной сходимости рядов ( ) в случае ckk \ 0,

Цель работы. Исследование тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, в частности, множеств их ну ней и множеств их положительности, а также вопросов равномерной сходимости дня более общих рядов с полиномиальными и нецелыми гармониками.

Положения, выносимые на защиту. Научная новизна. В диссертация получены следующие новые результаты.

1) Получена точная верхняя оценка па меру множества пуней невырожденного синус-ряда с монотонными коэффициентами на отрезке [0, п] (Теорема ).

2) Дня невырожденного синус-ряда с монотонными коэффициентами получено неравенство nf (x) > f (nx), справедливое всюду на интервале (0, 2n/n) при всех натуральных n > 1 (Теорема 1.2).

3) Получены новые нижние оценки па меру множества положительности невырожденного синус-ряда с монотонными коэффициентами на отрезке [0,п] (Теорема ), а также точная нижняя оценка на меру множества положительности такого ряда на отрезке [п/2, п] (Теорема 1.4(b)).

4) Получены достаточные условия дня равномерной сходимости сипу с-рядов с полиномиальными гармониками и коэффициентами монотонного тина (Теорема 2.1(b)), а также критерий равномерной сходимости синус-рядов с гармониками вида kn, n G N, и монотонными коэффициентами (Теорема 2.2(а)-(Ь)).

5) Получен критерий равномерной сходимости синус-рядов с нецелыми гармониками вида ka, a G (0, 2), и монотонными коэффициентами (Теорема (с)).

Методы исследования. В работе используются различные методы математического анализа, теории функций, теории меры, аналитической теории чисел.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории тригонометрических рядов, в теории приближений, в аналитической теории чисел, в теории дифференциальных уравнений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па семинаре по теории функций действительного переменного под руководством B.C. Каши-па, C.B. Конягипа, Б.И. Голубова и М.И. Дьяченко (Москва, 2017-2020 гг.), па семинаре по

теории ортогональных и тригонометрических рядов иод руководством В,А, Сквордова, Т.П. Лукашенко, М.И. Дьяченко, М.К. Потапова (Москва, 2018 г.), па семинаре «Геометрическая теория приближений» иод руководством П.А. Бородина (Москва, 2018 г.), на Конференции, носвящёшюй 80-летию академика В,А, Садовничего (Москва, 2019 г.), на семинаре «Современные проблемы теории чисел» иод руководством C.B. Копягниа, И,Д. Шкредова (2020 г.), па Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2018, 2020 гг.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2021 г.), на финале Конкурса Августа Мёбиуса (Москва, 2020, 2021 гг.), на Конференции международных математических центров мирового уровня (Сочи, 2021 г.), па семинаре «Barcelona Analysis Seminar» (Барселона, 2021 г.), па семинаре «Harmonic analysis seminar» (Montreal, 2022 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора в журналах из баз данных Web of Science и Scopus, а также представлены в тезисах трёх международных конференций. Список этих работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 29 наименований. Общий объем диссертации — 69 страниц. В каждой главе принята сквозная нумерация теорем, следствий, лемм, замечаний и форму.::. Ранее известные результаты, приведённые в тексте диссертации, нумеруются латинскими буквами в порядке упоминания. Нумерация теорем, следствий, замечаний и форму.::, появляющихся как во введении, так и в одной из двух глав диссертации, во избежание недоразумений соответствует нумерации в основном тексте.

Краткое содержание диссертации. В норной главе изучаются множества нулей и множества положительности синус-рядов с монотонными коэффициентами. Главным результатом этой главы является доказанная в нервом параграфе

Теорема 1.1. Для функции f вида ( ) выполняется неравенство

п

е [0, п] : f (x) = 0} < 3.

При этом если, x е [0,п] : f (x) = 0} = п/3 — 2е для некоторого е ^ 0, то x е [2п/3,п] : f (x) = 0} ^ п/3 — 7е, (то ест ь x е [2п/3,п] : f (x) = 0} ^ п/3 при е ^ 0).

Ключевую роль в доказательство Теоремы 1.1 сыграло Следствие 1.1. Для, функции f вида, ( ) при любом, x е (0,п) выполняется

2f (x) — f (2x) ^ 0,

причём, равенство им,сст место не более чем, в конечном ,множестве точек.

С помощью этого утверждения удаётся получать полезные неравенства, связывающие меры множеств положительности и пуней функции (1.1) па различных отрезках. Такой подход кажется перспективным, тем более, что па вопрос о максимальном значении меры неположительности функции ( ) на отрезке [0, п] до сих пор нет ответа. Это мотивирует постановку следующей задачи: а нельзя ли обобщить Следствие 1.1 на какие-либо числа, отличные от двойки? Во втором параграфе показано, что обобщить можно, а точнее, имеет место

Теорема 1.2. Для, функции / вида, ( ) при любом, натуральном п > 1 на, интервале (0, 2п/п) выполняется неравенство

п/(х) > /(пх),

всюду, кроме конечного числа точек, в которых / (х) = / (пх) = 0.

В свете Теоремы 1.1 естественным образом возникает вопрос: верно ли, что мера положительности функции ( ) на [0, п] всегда те меньше 2п/3? Из приведённых выше результатов

следует, что ^{х € [0,п] : /(х) > 0} > п/2. В третьем параграфе показано, что имеет место

/

п

^{х € [0, п] : /(х) > 0} > - + 0.24.

В четвёртом параграфе дана точная оценка снизу па меру положительности функции ( ) на отрезке [п/2, п], а также получены неравенства, связывающие меры положительности на различных отрезках.

/

(а) ^{х € [0, п/2] : /(х) > 0} + 3^{х € [п/2,п] : /(х) > 0} > п,

п

(б) Мх € [п/2,п] : /(х) > 0} > -,

6

(с) ^{х € [0, п] : /(х) > 0} > 2п/3, если ^{х € [п,п/2] : /(х) > 0} = п/2,

причём, оценка, в пункте (Ь) является, точной.

В качестве следствия, получены важные ограничения, которые нужно наложить па коэффициенты ряда, иначе заведомо будет иметь место неулучшаемая оценка ^{х € [0, п] : /(х) > 0} > 2п/3

Следствие 1.8. Если / имеет вид ( ), где а — а2 > 3 — 2л/2, то ^{х € [0,п] : /(х) > 0} > 2п/3.

Следствие 1.9. Если / имеет вид ( ), где а2 — а3 > 3 — 2у/2, то ^{х € [0, п] : /(х) > 0} > 2п/3.

Во второй главе изучаются вопросы равномерной сходимости рядов вида (2.1) и (2.2).

Теорема 2.1. Пусть неотрицательная последовательность {скне возрастает. Тогда (а) Если а — чётное натуральное число, то ряд ( ) сходится, в точке п/2 или, в точке 2п/3 только тогда, когда, ск < то. а

на, Е достаточно, ч,тобы, скк ^ 0 щи к ^ то.

(с) Если а € (0, 2), то для, равномерной сходимости ряда ( ) на, любом, ограниченном подмножестве Е достаточно, чтобы, Скк ^ 0 щи к ^ то.

Для а > 0 и 7 > 0 назовём дискретной (а, ^-окрестностью нуля такую последовательность {х^ }°=0, чт0 |xj1 = ПРИ всех 3 € Ъ+ и некотором N € N.

Имеет место следующий критерий равномерной сходимости, вытекающий из Теоремы 2.1.

Теорема 2.2. Пусть неотрицательная последовательность {скне возрастает. Тогда а

стве, содержащем точку вида, п/2 + 2пт или 2п/3 + 2пт, т € Ъ, тогда, и только тогда, когда, ск < то. а

жестве, содержащем при некотором, 7 > 2 дискретную (а, 7)-окрестность нуля, тогда, и только тогда, когда, скк ^ 0 щи к ^ то.

(с) Если а € (0,2), то ряд ( ) сходится, равномерно на, ограниченном множестве, содержа,щем, при некотором, 7 > 2 дискретную (а,7)-окрестность нуля, тогда, и только тогда, когда, скк ^ 0 щи, к ^ то.

Замечание 2.6. Пункты, (а) и (Ь) Теорем, 2.1 и 2.2 остаются, справедливыми, если условие монотонности коэффициентов {ск} ослабить до принадлежности, классу (см,. ( )).

Замечание 2.7. В частности, в пункте (Ъ) (в пункте (с)) условие скк ^ 0 является, необходимым и достаточным, для, равномерной сходимости ряда, (2.1) па, любом, (ограниченном,) .множестве, содержащем, проколотую окрестность нуля.

Благодарности. Автор выражает огромную благодарность научному руководителю \ 1. 11. Дьяченко за чуткое руководство, постановку задач и обсуждение результатов, постоянное внимание и поддержку. Также автор благодарен С.Ю, Тихонову за многочисленные обсуждения и ценные замечания.

Глава I. Множества нулей и множества положительности синус-рядов с монотонными коэффициентами

1.1 Точная верхняя оценка на меру множества нулей на [0,п]

На протяжении всей главы мы будем использовать следующие обозначения:

те

f (x) := ^^ ап sin nx, ai > 0, an \ 0, M := {x G R : f (x) = 0}. (1.1)

Также для любого измеримого множества L G R положим EL := M П L, ^L := ^(El), где под ^(A) здесь и далее подразумевается классическая мера Лебега множества A. Главным результатом первой главы является

Теорема 1.1. Для, функции f вида ( ) выполняется неравенство

п

G [0,п] : f (x) = 0} < 3.

При этом если, x G [0,п] : f (x) = 0} = п/3 — 2е для некоторого е ^ 0, то x G [2п/3,п] : f (x) = 0} ^ п/3 — 7е, (то есть x G [2п/3,п] : f (x) = 0} ^ п/3 при е ^ 0).

Дня доказательства Теоремы 1.1 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1.1. Для, любого x G (0,п) выполняется

2Dn(x) — Dn(2x) > 0,

где Dn(y) := Y1 n=i sin ky - сопряжённое ядро Дирихле, причём равенство имеет место не более чем в конечном мнолсестве точек.

Доказательство. Используя выражение дня сопряжённого ядра Дирихле

cos y — cos(n + 2)y

D n(y) = ky

получаем

2Dn(x) — D n(2x) = 2

k=i 2 sin 2

cos x — cos(n + 2)x cos x — cos(n + 2)2x

2 sin x 2 sin x

2 cos x(cos x — cos(n + 2)x) 2 cos2 x — 1 — 2 cos2(n + 2)x + 1

(cos x — cos(n + 2)x)2

sin x 2 sin x

sin x

так как sinx > 0 при x Е (0,п), Причём равенство может иметь место лишь в точках, где для некоторых целых k, n выполняется x/2 = ±(n + 1/2)x + 2nk, а таких точек конечное число. □

Следствие 1.1. Для, функции f вида ( ) при любом x Е (0,п) выполняется

2f (x) - f (2x) ^ 0,

причём равенство имеет место не более чем в конечном множестве точек. Доказательство. Применяя преобразование Абеля к сумме

те

2f (x) — f (2x) = ^^ an(2 sin nx — sin 2nx),

получаем

те

2/(х) — /(2х) = ^ 6п ^21^п(х) — ¿га(2х)) > 0,

п=!

так как 6п = ап — ап+! > 0 и 21п(х) — 1п(2х) > 0 по Лемме 1.1. Причём последнее неравенство может обращаться в равенство не более чем в конечном число точек, дня остальных же точек верно 21п(х) — 1п(2х) > 0 и, поскольку существует п, для которого 6п > 0, (так как а! > 0, ап \ 0), то в этих точках 2/(х) — /(2х) > 0. □

Лемма 1.2. Для, любого х € (0,п) выполняется,

21п(п — х) + 1п(2х) > 0,

причём, равенство имеет место не более чем, в конечном множестве точек.

Доказательство. Делая замену у = п — х и учитывая, что 1п(2п — 2у) = —11 п(2у), приходим к неравенству из Леммы 1.1. □

Следствие 1.2. Для, любого х € (0,п) выполняется,

2/(п — х) + /(2х) > 0,

причём, равенство имеет место не более чем, в конечном множестве точек.

Следствие 1.3. Для, любых к € N и {0} и х € (0,п/2к) выполняется, цепочка неравенств

„ ч /(2х) /(2к+!х) /(п — 2кх) /\2 — 2к-!х) / п \

/(х) > /(2Т > ... > ^^ > — / ( 2к ) > — 2к-! > ... > —Д^ — х^

причём, каждое из этих неравенств может обралцаться, в равенство не более чем, в конечном множестве точек.

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из Следствий 1.1 и 1.2. □

Лемма 1.3. Для любого измеримого множества Ь С [0,п] верно неравенство

¡ь + ¡¡п-ь + ¡ь < ¡(Ь), гдеп — Ь := {х € [0, п] : п — х € Ь}, 2Ь := {х € [0, 2п] : х/2 € Ь}.

Доказательство. Согласно Следствию для почти всех х € [0, п] выполнявтся f (х) > f (2х)/2 > — f (п — х). Тогда для любого измеримого Ь С [0,п] имеем ¡( 1Е2ь П Еь) = 0, ¡((п — Еп-ь) П Еь) = 0, ¡((п — Еп-ь) П 1 Е2ь) = 0. Отсюда

¡ль + ¡п-ь + = »(Еь) + Мп — Еп-ь) + 2Ез^ = »(Еь и (п — Еп-ь) и 1Е2^ < ¡¡(Ь),

так как множества Еь,п — Еп-ь, 2Е2ь содержатся в Ь. □

Лемма 1.4. Длд любого измеримого множества Ь С [0,п/2] верно неравенство

¡ь + -2Т + + -"2— < ¡(Ь).

Доказательство. Согласно Следствию для почти всех х € [0, п/2] выполняется f (х) > f(2х)/2 > f(4х)/4 > —f(п — 2х)/2. Таким образом, все попарные пересечения множеств Еь, 2Е2ь, 4Е4ь, 1 (п — Еп-2ь) имеют нулевую меру. Поэтому

^ + ¡4ь + = ¡(Еь) + ¡(1 Е2ь) + ¡(1 Е4ь) + ¡(1(п — Еп-2

= ¡(Еь и 1 Е2ь и 1 Е4ь и 2(п — Еп-2ь)) < ¡(Ь),

2 2ь 4 4ь 2

так как множества Еь, 1 Е2ь, 4Е4ь, 1 (п — Еп-2ь) содержатся в Ь. □

Доказательство Теоремы 1.1. Полагая Ь = [0,п/2], из Леммы 1.3 получаем

I I ¡[°>п] / I ¡[0,п/2] + ¡[п/2,п] +--— <

¡[°,п] ^ ,, (\0 п , 2 J

п 2 ;

откуда 3¡[0)П]/2 < п/2, то есть ¡[°,п] < п/3.

Далее обозначим := ¡[°,п/з], ¡1 := ¡[п/з,п/2], ¡2 := ¡[п/2,2п/з], ¡3 := ¡[2п/з,п]. Из Леммы 1.3 для Ь = [п/3, п/2] имеем

¡1 + ¡2 + ¡23 < 6. (1-2) Предполагая, что ¡[°,п] = + + ¡2 + ¡3 = п/3 — 2е для некоторого е > 0, из (1.2) получим

, ¡3 п о ¡3 . п п п п п Н o^

а° +--=--2е — — ¡2-->--2е--=--2е. 1.3)

23 р 1 Р2 2 > 3 6 6 1 ;

Заметим, что так как /(2п — х) = —/(х), то ^ = ^2ж-ь для любого измеримого Ь, Значит, М[П,4П/3] = М[2п/3,п] = М3. А тогда го Леммы 1,4 для Ь = [0,п/3] имеем

, ^0 + + ^2 , ^0 + + ^2 + 2^3 , + ^2 + ^3 . п

+-2-+-4-+-2-- 3.

Учитывая, что ^[0,п] = п/3 — 2е, из последнего неравенства получаем

3 Л2 2 4/ 2 4 - 3'

откуда

^ - ^ < 5е - (1,4)

2 4 < 2 12 v ;

Из (1.3) и (1.4) окончательно получаем

я3 я0 п 5 п — 2е — ^ п 5

— > — +---е > ^-^ +---е,

4 > 2 12 2 > 2 12 2'

откуда ^3/2 > п/6 — 7е/2, то есть > п/3 —7е, (и ^ п/3 при е ^ 0), что и требовалось. □

1.2 Одно неравенство для синус-рядов

Обозначим

g(x) := 2 sin X/(ж) = ^ cos X — cos(2n + 1),

где bn := — > 0.

В этом параграфе мы докажем следующее утверждение.

Теорема 1.2. Для, функции / вида () при любом натуральном п > 1 на интервале (0, 2п/п) выполняется, неравенство

п/(ж) > /(пж),

всюду, кроме конечного числа точек, в которых / (ж) = /(пж) = 0.

Дня доказательства Теоремы 1.2 нам понадобится следующая

Лемма 1.5. Пусть числа ж,у,г таковы, что cos ж > cos у > cos z и, y G (0,п/п) для, некоторого натурального п > 1. Тогда имеет место неравенство

cos пу — cos пж п sin пу cos пу — cos пг cos у — cos ж sin у cos у — cos z

Доказательство. Так как cos nt = Tn(cos t), где Tn - многочлен Чебышёва первого рода, и так как

, . n sin(n arccoscos y) n sin ny

Tn(c0s y) = (c0s(n arccos t))t=cosy = -,Л 2- = —-,

\J1 — cos2 y sin У

то данное утверждение равносильно следующему

Tn(a) — Тп(в) > T, (^) > Тп(в) — Tn(7), a — в n в — Y '

где a = cos x > в = cos y > y = cos z Так как в > cos(-/n) и a > ^^o Tn(a) — Tn(e) > 0. Поэтому если Tn(в) — Tn(Y) < 0, то правое неравенство выполняется. Далее считаем, что ^(в) — Tn(y) > 0, Заметим, что

TnW) — Tn(Y) > Tn(в) — Tn(Y)

в — Y' в — Y

где y' определяется из условия

Y' := max (y G [—1,в) : Tn (y) = Tn(Y)}.

При этом, так как Tn(t) принимает на отрезке [cos(2n/n), cos(n/n)] ^те ^^этення от — 1 до 1, то y' ^ cos(2n/n). Далее, так как Tn(t) убывает на [cos(2n/n), cos(n/n)^, то если y' < cos(n/n), имеем

п п

Tn(в) — Tn (cos -) > Tn (в) — Tn(Y'), в — y' > в — cos -nn

а тогда

рп(в) — Tn (cos n) > ад) — Tn(Y')

в - cos I - в - Y Итак, достаточно доказать утверждение для y S [cos(n/n), в)-

Заметим, что T2(t) = 4 > 0, а при n > 3 многочлен Tn(t) — многочлен степени и, имеющий n > 3 различных корней. Тогда между любыми двумя последовательными корнями есть корень T'n (t), а значит, T'n(t), будучи многочленом степени и — 1, имеет и — 1 > 2 различный корень, и между любыми двумя последовательными корнями лежит корень T"(t), то есть на интервале между наименьшим и наибольшим корнями TП (t) многочлен T"(t) ^^етени и — 2 имеет и — 2 > 1 корня. Значит, наиболыний корень T^ (t) меньше наибольшего корня T'n(t), то есть меньше cos(^/u^^ ^ ^^^ ^^^ ^^^^ший коэффициент ^'(^положителен, то T"(t) > 0 на [cos(n/n), 1^, следовательно, Tn(t) строго выпукла на этом отрезке, а значит, T'n(t) на нем строго возрастает, А тогда при 1 > а > в > Y > cos(n/n) выполнено

Tn(a) — Tn(e) > T' ) > Тп(в) — Tn(Y). а — в n в — Y

□

Доказательство Теоремы 1.2. , Пусть

g(t) = ^ bm(cos 2 - cos(2m + 1)2) =: ^ bmgm(t),

m m

g(nt) = ^ bm( cos n2 - cos n(2m + 1)2) =: ^ bmgm(t).

Зафиксируем точку t e (0, 2n/n), Если есть хотя бы одно m такое, что bm > 0 и gm(t) = 0, то с учетом того, что t/2 e (0,n/n), имеем по Лемме

g(nt) = ^ bmgm(t)= ^ bmgm(t)+ ^ bmgm(t) <

m m:gm(í)>0 m:gm(í)<0

^ , n sin тт , , v^ , n sin f- , N n sin tt , s

< > bm . t2 gm(t) + > bm . t" £m(t) = ■ t" £(t) Sin 2 ^ Sin 2 Sin 2

m:gm(í)>0 2 m:gm(í)<0 2 2

Возьмем m такое, что bm > 0, Заметим, что gm(t) может обращаться в нуль на (0, 2n/n) лишь в конечном числе точек. Действительно, если gm(t) = 0, то ±x/2 = (m + 1/2)x — 2nl для некоторого целого l, что может выполняться лишь в конечном числе точек. Таким образом, точек, где для любого m, для которого bm > 0, выполняется gm(t) = 0, конечное число, и во всех этих точках gm (x) = 0 при всех таких m. То есть точек, где не выполняется

/ N n sin тт , s g(nt) < . t2 g(t), sin 2

конечное число на (0, 2n/n), и во всех этих точках g(t) = g(nt) = 0,

Соответственно, на интервале (0, 2n/n) выполняется и nf (x) > f (nx), всюду, кроме конечного числа точек, в которых f (x) = f (nx) = 0, □

Следствие 1.4. Длд любых натуральных n > 1 и m на интервале (0, 2n/n) выполняется

nDm(x) > Dm(nx),

где Dn(y) = 5^T=i sin ky - сопряжённое ядро Дирихле, всюду, кроме конечного числа точек, в которых Dm(x) = Dm(nx) = 0.

1.3 Нижняя оценка на меру множества положительности на [0,п]

f

п

^{x e [0, п] : f (x) > 0} > - + 0.24.

Прежде чем доказывать теорему сделаем несколько предварительных замечаний. Обозначим

P := {x e R : f (x) > 0}

и пусть для любого измеримого множества L С R, PL := P П L, vL := ^(PL), а также

v := v[0,п], V1 := v[0,п/4], v2 := v[n/4,n/3], v3 := v[n/3,n/2b v4 := v[n/2,2n/3], v5 := v[2n/3,n].

Без ограничения общности мы можем считать, что а1 = 1. Пусть

bn : an an+1

при всех n > 1, Тогда мы также можем полагать b1 = 0, поскольkv f (x) — b1 sin x по-прежнему представляет собой синус-ряд с монотонными коэффициентами и f (x) — b1 sinx < f (x).

Заметим, что функция g(x) := 2 sin x f (x) на [0, 2-] имеет тот же знак, что и функция f (x). Имеем

/ ч cos x — cos(n + 2)x x l4x

g(x) = > bn-2---2— = cos--> bn cos(2n + 1) —.

УК ) n 2 sinx 2 ^ y } 2

n 2 n

Поскольку

(rp rp \ / \ rp rp rp

«А/ / ч «А/ \ / «А/ / ч «А/ \ «А/ «А/ «А/

cos--cos(2n — 1ь ^ cos--cos(2n + 1b =2 cos--2 cos n— cos —

2 2/ V 2 v '2J 2 2 2

= 2 cos — (1 — cos n—) > 0,

мы можем считать, что если для некоторого и выполнено bn = 0, то

Ьп-1 = 0 и Ъп+1 = 0. (1.5)

Рассмотрим функцию д(х)д(п — х). Так как при всех х € [0,п]

f (х) + f (п — х) > 0,

то или f (х) > 0 или f (п — х) > 0, Отсюда следует, что если д(х)д(п — х) > 0, то имеют место оба неравенства д(х) > 0 и д(п — х) > 0, то есть

п

¡л{х € [0, п] : f (х) > 0} = - + ¡л{х € [0, п/2] : д(х)д(п — х) > 0}.

Предложение 1.1. При условии, (1,5) имеем

ж/2

п

д(х)д(п — х) ■ 2sinх ¿х = —.

Доказательство. С помощью элементарных вычислений получаем

g(x)g(n - x) = (cos X - ^ bn cos(2n + 1)I) (sin I - ^ bn(-1)n sin(2n + 1)D

sin x x A ^ , , ^ ^ л . , n ^ , , X

= —2--bn sin 2 cos(2n + 1)^ - bn(-1) cos 2 sin(2n + 1)^

n n

+ ^^(-1)mbnbm cos(2n + 1)|sin(2m + 1)| = ^ - \ ^ bn sin(n + 1)x

n m n

+ 2 ^ bn sin nx - 2 ^ bn(-1)n sin(n + 1)x - 2 ^ bn(-1)n sin nx

n n n

+ 2 ^ E(-1)mbnbm(sin(rn + n + 1) + sin(m - n)x) =

nm

+ ^(b2n+i - b2n) sin(2n + 1)x + 2 ^ ^ b2nb2m sin(2n + 2m + 1)x

n n m

- 2 ^ ^ b2n+ib2m+i sin(2n + 2m + 3)x + ^ ^ b2n+ib2m sin(2m - 2n - 1)x.

n m n m

Далее, умножая обе части на 2 sinx, положительную на (0,п) функцию, приходим к следующему соотношению

g(x)g(n - x) ■ 2 sinx = 1--^--+ E(b2n+1 - b2n)(cos 2nx - cos 2(n + 1)x)

+ 1 ^ ^ b2nb2m(cos 2(n + m)x - cos 2(n + m + 1)x)

2

nm

1 ^ ^ b2n+ib2m+i(cos 2(n + m + 1)x - cos 2(n + m + 2)x)

2

nm

+ b2n+ib2m(cos 2(m - n - 1)x - cos 2(m - n)x).

В свете ( ), если &2га+1&2т = 0, топ = тип = т — 1, а следовательно, т — п — 1 = 0, т — п = 0, откуда и вытекает

7Г/2

/ П

д(х)д(п — х) ■ 2втх ^х = —.

о

Предложение 1,1 влечёт за собой следующее замечание. Замечание 1.1. Имеет место неравенство V > 9п/16.

Доказательство. Будем оценивать модуль функции д(х)д(п — х). Во-первых, заметим, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Оганесян Кристина Артаковна, 2023 год

Список литературы

[1] В, Ф, Гапошкин, О нулях тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Изв. высш. учебн, заведений 172:9 (1981), 13-15,

[2] М, И, Дьяченко, О рядах Фурье с монотонно убывающими коэффициентами и некото-

//

533-536.

//

675-704.

//

школы 24 января - 5 февраля 1984 года, часть 2, Изд-во Саратовского ун-та, 1986, 101-104.

[5] М, I. Dyachenko, On some properties of trigonometric series with monotone decreasing

//

[6] T. W. Chaundv, A. E. Jolliffe, The uniform convergence of a certain class of trigonometric

//

[7] J. E. Nurcombe, On the uniform convergence of sine series with quasimonotone coefficients

//

//

ИММ УрО PAH, 7:1 (2001), 197-207.

//

Anal. Math. 27:4 (2001), 279-285.

//

326 (2007), 721-731.

[11] S. Tikhonov, Best approximation and moduli of smoothness: computation and equivalence

//

[12] M, Dyachenko, A. Mukanov, S. Tikhonov, Uniform convergence of trigonometric series with

//

[13] S, Kgska, On the uniform convergence of sine series with square root // J, Func, Sp, (2019), 1-11.

[14] II. M, Виноградов, Аналитическое доказательство теоремы о распределении дробных

//

[15] Л. Д. Пуетыльников, Распределение дробных частей значений многочлена, суммы Вей-

//

//

Arithm. 6 (1961), 505-521.

//

//

47:6 (2015), 946-957.

[19] Н. М, Коробов, Тригонометрические суммы и их приложения, Москва, Наука, 1989.

//

54-58.

[21] Г. И. Архипов, К. И. Осколков, Об одном специальном тригонометрическом ряде и его

//

//

СССР 190 (1989), 186-221.

Работы автора по теме диссертации

[23] К. А. Оганесян, Мера множества нулей суммы невырожденного синус-ряда с монотонными коэффициентами на отрезке [0,п] // Матем, заметки 103:4 (2018), 576-581.

//

107:3 (2020), 476-478.

//

Hungar., 162:2 (2020), 705-721.

[26] К. А. Оганесян, Критерий //

Матем. сб., 212:1 (2021), 78-118.

Тезисы конференций

[27] К. А. Оганесян, Мера положительности суммы невырожденного синус-ряда с монотонными коэффициентами на отрезке [0,п] // Современные проблемы математики и механики, Материалы Международной конференции, посвященной 80-летию академика РАН В, А. Садовничего, стр. 480-482,

//

функций и их приложения, Материалы 19-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, 2018 г., стр. 218-220,

[29] К. А. Оганесян, Критерий //

Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 2021 г., стр. 230-231.