Применение метода изометрических преобразований к оценке полных рациональных тригонометрических сумм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Михаил Васильевич

• Кудрявцев, Михаил Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Михаил Васильевич

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

§ 1.1. Теорема об умножении

§ 1.2. Лемма о линеаризации аналитических функций

§ 1.3. Лемма Гензеля о подъеме решения

§ 1.4. Модифицированная лемма о разбиении суммы

S(f;\;pa).

Глава II. СУММЫ ГАУССА ПОРЯДКА N И ОЦЕНКА ИХ МОДУЛЯ

§ 2.1. Суммы Гаусса S (а; р") и оценка их модуля сверху

§ 2.2. Оценка модуля суш Гаусса S (a; q)

§ 2.3. Оценка сумм Гаусса третьего и четвертого порядка

Глава III. ОЦЕНКА ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО СРАВНЕНИЯ

§3.1. Теоремы о равносильности полиномиальных сравнений но примерному модулю.

§ 3.2. Оценка числа решений сравнения (3.2).

§ 3-3. Частный случай и уточнение оценок для числа решений сравнения (3.2)

Глава IV. ОЦЕНКИ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 4-1. Оценка |S(f; %; р") I с учетом кратности корней f'(x) в поле F

§ 4.2. Оценка чиола решений сравнения f(x) -a(modpa)

§ 4-3- Оценка |S(f; х;' Pe)l- Лемма о разбиении в модификации Смита. Частный случай

§ 4-4. Оценка |S(f; %• pa)I. Лемма о разбиении в модификации Смита. Общий случай

§ 4-5. Контрпример к работе Локстона и Бона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода изометрических преобразований к оценке полных рациональных тригонометрических сумм»

Постановка задачи

Настоящая диссертация посвящена оценкам сверху модуля полных рациональных тригонометрических сумм вида

S(f; х; q) = Е l(x)e(f(x)q~i), (1)

Х=1 где / eZ[a?], q <sN, х - числовой характер, e(t) = e2jlit. В частности, оцениваются суммы вида

S(f; q) = Е e(f(x)q~l). (1')

Х=1

Замечание JL Известно, что случай составного модуля q в (1') сводится к случаю модуля ра (например, [38], или [6], теоремы об умножении). Задача оценки величины IS(f; ра)\ тесно связана с задачей оценки числа решений полиномиального сравнения по modp" (например, [4]). Поэтому наряду с основной задачей в работе рассматриваются вопросы оценки числа решений полиномиальных сравнений.

Актуальность темы. q р 1

Впервые суммы вида £ е(ах q ), где а е Z, (a,q) = 1 х = 1

4 р -1 ? изучал К.Ф. Гаусс [8],и получил, что Е efa? q j = + i *=i + i)(1 + i~4)q3. Со времен К.Ф. Гаусса до наших дней вопросам оценки сумм вида (1), (1') посвящено большое количество работ. Этими вопросами занимались в разное время такие известные зарубежные и отечественные ученые как Харди и Литтльвуд, Л. Морделл, А. Вейль, Л.К. Хуа, С.Б. Стечкин, Н. М. Коробов,

A. В. Малышев, В. И. Нечаев, А. А. Карацуба, Г. И. Архипов,

B.Н. Чубариков, Р. Смит, Дж. Локстон, Д. А. Митькин и многие другие.

Задача оценки тригонометрических сумм вида (1), (1') остается актуальной и в наше время.

Краткий исторический обзор.

Остановимся на основных результатах, полученных разными авторами в направлении решения задачи.

Используя метод Г. Вейля оценки тригонометрических сумм, Харди ,и Литтльвуд покзали, что если (а »<?) =1, то для любого е >0

S(f;q)\ < Ai(nte)q1 П+е.

Более того, Харди и Литтльвуд рассмотрели суммы Гаусса порядка п

Sn(a; q) = £ e(axnq~l), aeZ, (a,q) =1,- (2) n X=1 и показали, что имеют место следующие оценки

IS (а; р)I < (d - 1)р1/г , й =(п, р -1), (3)

IS (a; q) I < AJn) q п .

Г1 Ct

Л. Морделл [61] в 1932 г. при р > п получил оценку '

S(f; р)\ s 2пУп-п!р2п~1/(р - 1). Это позволило Л.К. Хуа [54], [38] получить в дальнейшем оценку

1 - 1 + е

S(f;q)\ ^ Ci(nfe)-q Отметим, в частности, что в 1940 г. Л.К. Хуа (см.[54], или [38], или [6], лемма 6, с.37) впервые рассмотрел корни сравнения p~lf(х) a 0 (mod p.), (4) n где Да?; = У ax eZLr], pl\\ (ля,. ,a ). Для многочлена „ к Tl 1 к = О f(x) с условием р)[(а ,. ,а ) при а >21 + 2 Хуа Л.К. удалось показать, что

S(f;pa) = Oipa(1 "1/n) +£ ), где константа в 0 зависит только от п, степени многочлена /, и от е.

В 1948 г. А. Вейль [ТО] доказал (др. доказательства см. в [46], [35]), что если р > тг, pfa . то IS(f; р)\ <

1/2 ™ (п + d - 1)р , где d -О, если % =1 и d =1, если х характер Дирихле по modp, поэтому

IS(f; р)\ < (п - 1)pi/2. (5)

Далее в оценке

-(1 - 1)

IS(f; рв)| < op п (6) последовательно уточняли постоянную с =c(f,p) как отечественные математики: В.И. Нечаев, С.Б. Стечкин, Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков, так и зарубежные ([29], [55] [50], [30], [37], [57], [32], [60], [3]). В итоге (ср. [30], леммы 5, 6) выкристаллизовалась лемма о разбиении суммы S(f;pa) в следующей формулировке. п ь

Для всех f(x) = У ах <sZ[x], рИа ,. ,а ), а * „ к 1 n 1 к = 0 a 21 +2 справедливо равенство S(f;pa ) = Е e(f(b)p'a).

0<Ь£р-1,

Р-ТГ' (Ь)—О(р >

•E e((f(x) -f(b))p~a),

1<х<рН, х=Ь(р)

7)

Это позволило при п > 3, рИа , •. ,а ) Стечкину С.Б. п 1

37], уточьшть константу с в формуле (6). В [31 (с. 56) константу с заменили на с , где V п -1)п

3/п

Э/п п

2/п при р < п; при п < р < (тг - 1 )п/(п ~2); при (п - 1)п/Ы р < (п - 1)2n/i'n -2);

2п/(п -2) п

1 при р > (п - 1)'

На основе этого в работе [3] доказана следующая теорема:. Пусть п > 3 - целое число и f(x) = а^хп + .а а? + aQмногочлен с целыми коэффициентами, натуральное число. Тогда имеем

S(f;q)\ £ c(n)-q1 " 1/n где ехр{4п) при п > 70, cfnj = а , . а а) = 1, q

П ■ , 1 ,

8)

9) ехр(пА(тг)) при 3 < п < 9; = 6,1; А(4) = 5,5; А(5) = 5; А(6) = 4,7; А(7) = 4,4; А(8) = 4,2; А(9) = 4,05.

Там же (или в [41], лемма 5) получена оценка IS(f;pl )\ < пр1 ~ К где I и j определяются исходя из корней сравнения (0.4) спе

1} циальным образом, рассуждая подобно тому, как Хуа .

1)

Нш Loo-Keng. On the number of solutions of Tarry's problem // Acta.' Set. Sintca.-1952.-V. 1, N 1. P. 1-76.( или в Яш Loo-Keng. Selected papers, Ed. by H. Halberstam, N-Y, Berlin: Spr*tnger-Verlag, 1983. P. 201-276.

Суммы Гаусса определяются формулой (2), их свойства доказаны в [22], обзор можно найти в [36], где С.Б. Стечкин показал, что для (a,q) =1

ISJa; q) I <exp(c(n/f(n) )г )-q1'1^ , (10) где с >0 - абсолютная постоянная, ф() - функция Эйлера.

В случае п =2 суммы Гаусса от нескольких переменных подробно изучены А.В. Малышевым [27]. Н.М. Коробов ([22], с. 40) доказал оценку

1

I SJa;q) I < c(n)q n , (11)

6 2) где с(п) = пп . И.Е. Шпарлинский в 1991 г. доказал, что

-1 + 1 lim max max IS (a;q)\q n = 1. od q5:1 as(a,q)=l

Л.К. Xya [39] впервые заметил, что a(i - -J—j +С S(f;pa)=0(p m+1 ), (12) где m - наивысшая кратность корней сравнения (4), а константа в 0 зависит только от / и от, е.

В 1980 г. Р. Смит [69], полагая х = у + psz, где 5 = = [а/2], 7 = а - б, получил лемму о разбиении S(f;pa) в виде

S(f;pa)=ps-£ е(f(u)p~a), (13)

0<u<p7, S f (u)—О(mad p ) откуда для / eZtrc] с ненулевым дискриминантом B(f') производной многочлена f'(x) получил

I S(f;q) I < q1/2(Z)r/';,q).dnirqj, (14) где d (q) - число представлений q в виде произведения п 2 \

Шпарлинский И.Е. Об оценках сулж Гаусса //Мателот, залетш -1991. - Т. 50, N 1.- С. 122 - 130. ' сомножителей.

В 1982 г. Дж. Локстон и Р. Смит [58] приняли во внимание все корни f'(x). Пусть е - максимальная кратность корней f'(x) над полем комплексных чисел. Авторы, используя лемму о разбиении (13), показали, что

S(f;q)\ s g1 "1/(2e)(A,g)1/(2e)-dnt(q), (15) где A - полудискриминант многочлена f'(x) = т -J](x -" £ равный

А = (па )3п "2п (t - П J^X (16)

В 1983 г. Д.А. Митькин [28], развивая идеи Хуа^*, обобщил лемму о разбиении и получил следующую оценку

S(f;pa )\ < 2ns/3 р m+i . (17)

В 1984 г. С.А. Степанов^* получил оценку рациональных тригонометрических сумм вдоль кривой для случая составного модуля.

В 1983 г. Г.И. Гусев [11], используя канонические представления функций многих переменных в полях р-адических чисел, получил оценки сверху для достаточно широкого класса тригонометрических сумм. В частности, им показано, что если f(x) = Y. - степенной ряд с целыми р-адическими коэф-k=i к

Ниа Loo-Keng. On exponential sums. Science record.-1957.-V. 1, N 1.- P. 1-4. ( или в Hua Loo-Keng. Selected papers, Ed. by H. Halberstam, N-Y, Berlin: Springer-Verlag, 1983. P. 277-280.)

Степанов С. Л. Рациональные тригонометрические сулилы вдоль кривой// Зап. науч. семинаров Л0МИ.-1984, Т. 134. С. '232-251. фициентами такой, что lim la I = О и если f обозначает k4oo k Р максимальную кратность целых р-адических корней производной f'(x), то существует (локальная.) постоянная С , зависящая р только от f(x), такая, что при всех положительных а е IN справедлива оценка

02Kl*Cx)V| s с а ( 1 - + I))

1<L < а р

1 SxSp

Позже Г.И. Гусев [12] для оценок суммы S(f;pa) использовал метод, называемый в работе изометрическим. Кратко об этом методе.

Отображение ю: О о , для которого имеет место рар р венство 0^: ordp(<p(:rJ - tp(y)) = ordp(;r - у), называется изометрическим преобразованием О . Эта формула, очевидно, р эквивалентна следующему: для любых х, уе О и любых целых а, р а > О таких, что х - y(moclpa.), всегда имеет место сравнение (р(х) - f(y)(mod ра) и обратно. Изометрическим преобразованием является, например, отображение (см. [10], формула (2)) х' = ex + pf(x), где е - р-адическая единица, т.е. е €U , а ■ f(x) - многор член над О . р

Два многочлена Р(х) и Q(x) из О [х] называются р изометрически эквивалентными: Р(х) s Q(x), если существует такое изометрическое преобразование в: 0 -» О , что р р

Р(х) = Q(<p(x))-e(x), где е(х) -функция, определенная на О , область значений р которой содержится в О . р

Заменой многочлена Р(х) на изометрически ему эквивалентный многочлен производится упрощение в решении тех или иных задач теории чисел, в частности, в задачах, имеющих дело с кольцами вычетов по mod ра, где а > 2. В таких задачах изометрическое преобразование обычно ассоциируется с переставляющей функцией, рассматриваемой чаще всего на заданной системе вычетов.

Этот метод получил применение и в данной диссертации.

Метод изометрических преобразований позволил Гусеву [12] показать, что для всякого многочлена f gZ[x] существует конечное эффективно определяемое множество Р простых чисел такое, что для всякого простого р, р г Р

J, ( k + 1 ) ^Q j

S(f;p• ) - г e(f(Sjp-").Sk tj( • , ■ ,p" ), (18) в=1 в 4 в ' где a >2, впробегает все целые р - адические корни производной f'(x), k - кратность корня в и г - колив в

Чество этих попарно не равных корней, а сумма Гаусса S (а;ра) определена формулой (2). Эта теорема использует только целые р -адические корни многочлена f'(x) и позволяет получить правильный порядок оценки \S(f;pa)\ в массовом случае.

Далее, в [13] рассматривалась сумма с характером по модулю р

S = Е %(x)e(f(x)p~B), x<dJ в (f ) р где f(x) = P(x)/Q(x), Р(х), Q(x)<zZ[x], (Р(х), Q(x)) = 1, р )(C(Q). Для них Г.И. Гусев получил оценку

S| £ m2pse/(e + (19) где е - максимальная кратность целых р-адических корней В , 6^ производной f'(x), принадлежащих U (f)> l/(e +1 ) m = max (e + 1) l<i<r

Как уже отмечалось раньше, оценка полных рациональных тригонометрических сумм тесно связана с задачей оценки числа решений сравнений. Поэтому остановимся но обзоре соответствующих библиографических источников.

Исследования, посвященные решению сравнения F = F(x) = а хп+ .+ а х + а = О (mod q), (20)

О п -1 п 1 где F - целочисленный многочлен степени п, п > 2, q > 1 целое, восходят к работам Ж. Лагранжа и К.Ф. Гаусса. Обозначим через V(f;q) множество решений сравнения (20):

V(f;q) = faraod qI F(x) = О Cmod q)}, и через N(F;q) число элементов множества V(f;q) :

N(F;q) = card V(f;q) . Если.(a , a ,., a ) = h >1 и h\q, то

О 1 n

N(F;q) = h-N(F/h;q/h) . Поэтому в дальнейшем полагаем, что (a , a ,., a , q) - 1.

0 1 n

Ж. Лагранж в 1768 г. показал, что если р простое число и р|а , то N(F;p) < п. С учетом неравенства N(F;p) < р отсюда следует, что N(F;p) < minfn, р). Отсюда и из малой теоремы Ферма просто следует оценка

N(F;pa ) < minfn, р}ра К.Ф. Гаусс высказался ([9], стр.803) о важности исследо вания сравнения (20) в случае q = ра с « > 1. Основные приемы исследований сравнений закладывались К.Ф. Гауссом в работе [9], где красной нитью проходит мысль о разложении многочлена на множители в полиномиальном сравнении.

Поскольку N(F;q) мультипликативен по q ([7], с. 60):

N(F;q) = п N(F;pa), то целесообразно сначала вычислить р ° II ч или оценить N(F;pa ).

Теория р-адических чисел К. Гензеля [53] дала подход к непосредственному вычислению N(f;pa). Так в 1921 г. независимо друг от друга 0. Оре ([66], [67]) и Т. Нагелл ([-62] или [63], теорема 54) оценили N(f;pa) в случае, когда дискриминант D многочлена F отличен от нуля. А именно, они показали, что если F(x) примитивный многочлен с целыми коэффициентами степени п > 2 и 8 = ordp D, то N(F;pa) < пр26 ( если а > 25 ). В 1924г. Э. Камке [56], используя иной подход, показал, что 1 1 i 1 - —

N(F;q) < (^(q))ndn ~1(q)q \ (21) где A (g) = (q, a , a ,., a ), d(q) - число делителей

F ^01 n-1 числа q.

В 1940 г. Хуа ([38], лемма 2.3) рассмотрел сравнение f(x,.,x) - 0(modpa), где f(x ,.,х ) - многочлен k - ой степени с целыми

1 п коэффициентами, и где не все коэффициенты делятся на р. Тогда число решений этого сравнения будет < с f&,rOfa + 1 )п ~ 1 • •pna " a/k. Доказательство опирается на оценки полных рациональных тригонометрических сумм.

В 1952 г. Г.Шандор [68] усилил результат Нагелла и Оре. Он доказал, что если F(x) целочисленный многочлен степени п, п > 1 с дискриминантом D фО и 8 = ord В, то р ps/3, если а >5,

N(F;pa) < пР если а > 1

22)

В 1973 г. Г.И. Гусев фактически установил наличие точного значения для числа решений N(f;pa) для всех а, начиная с некоторого Lq= L (f) >0. А именно, им было доказано следующее утверждение ([10], лемма 1).

Пусть Z -кольцо целых р-адических чисел, I = p5Z ,

Р <5 р где б - любое целое неотрицательное число и пусть Р (х) п произвольный многочлен с целыми р-адическими коэффициентами,. не равный тождественно нулю, п - degP^. Обозначим через N число решений сравнения Р (х) =0(modp"), принадлежащих I. п о

Тогда существует такое число I. = £Р(Р j >0, что при о on

5) всех a > L. N

S)

0, если Р (х) не имеет р-адических о a п корней, принадлежащих Г. . Если же Р (х) имеет р-адические о п 1 корни ц кратностей к., 1 s t < я, принадлежащие' I. , 1 10 0 то при всех а > L.

N(S) = Е с^р i = i 1 г L

- А

5)

1 j

23) где А ~ (в)

5)

1 * i * п8 ) целые положительные постоянные,

1 < i < nt ) - целые неотрицательные постоянные. о

Это утверждение было доказано используя метод изометрических преобразований в кольце целых р-адических чисел. Основным было применение леммы о линеаризации функций многих переменных, определенных над кольцом целых р-адических чисел. Подчеркнем здесь, что существенно то, что величина L выбирается так, чтобы Lq a L - А + 1, где

1 (V v ц1 (1 м <ns;: А > ordpr ^J Р (Ц{)).

В [10] показано, что такое целое число А существует.

В 1977 г. С.Б. Стечкин [37], а в 1979 г. С.В. Конягин [21], используя оценки полных рациональных тригонометрических сумм, уточняли константу с в оценке N(F;q) < eg1 ~1/п. в частности, в [21] показано, что с = с(п) = п/е + 0(lri2ri), при условии и >2 и (q, а , а ,., а ) = 1, что уточнило оценку (21).

В 1982 г. Дж. Локстон и Р. Смит ( [58], теорема 2) доказали, что если р - простое, F zZ[x], F степени п >2 такой,.что F(x) не обращается в тождественный ноль по modp и над полем комплексных чисел имеет место разложение F(x) = а хп+ . + а = а (х - I )&l.(x - I )*т, (24)

О п О 1 ш где F ,.,1 попарно различные корни с соответствующи

1 m ми кратностями е ,., е , то

1 m

N(F;pa) < тра ~ ы -5>/в( (25) где е = max е , 5 - некоторая величина, зависящая от l<i<m многочлена F. Используя обозначение в >

5(l{) = = opdp f 1 (1 < I < т), (26) в [58] замечено, что <5 = max 5(1 )>0 и число 6 оценено с

1<1<ш помощью полудискриминантa A(F) многочлена F ([44], с.15). Легко заметить, что 6(LJ = ord а + Е е ord (Г - F). (27) р l<j<m, J Р J

В [58] доказано, что если / нелинейный многочлен в Z[x], имеющий т различных корней над С с наивысшей кратностью корней е и полудискриминантом А, то для любого положительного целого q

N(F;q) < q1 "1/в(Л, qz)l/2octJq), (28) где djq) обозначает число представлений q в виде произведения т сомножителей.

В 1983 г. Д.А. Митькин [28] получил оценку числа решений сравнения (20) по неполной системе вычетов:

Пусть п >2, q >1, Р >1 - целые, Р < q, F(x) = а хп+

1 * п .;.+ а^х + aQ - многочлен с целыми коэффициентами, (q, а ». , а ) = 1. Тогда для числа N решений сравнения F(х) modq), 1 < х < Р справедлива оценка

1 1

- — + е 1 - — — р + с

N « Pq п + q п где р = (п - 1)/(n(nz - п +1)) и постоянная входящая в символ «, зависит только от п и е.

В [3] доказана следующая оценка числа решений сравнения (с. 78, лемма 9 или [40], лемма 2 ):

Пусть f(x) = а + а х +.+ а хп - многочлен с целыми

0 1 п коэффициентами, (а , а , ., а ,р) = 1 и пусть N (а,в)

0 1 п 1 р ' ' число решений сравнения f(x) - О (mod рр), игр, 1 < х < ра.

Тогда имеем ff/MJ < 3ci(n)pa ~ (29) где c^fn) - постоянная из теоремы 1 в [3].

В 1988 г. Д. Шалк [48] получил такую верхнюю границу числа решений N (F;pa) сравнения F(x) ^а (modp°J, :rmod ра , которая не зависит от aeZ, где F(x) многочлен степени п.

Обозначим t = t (F) = ord C(F'). Пусть попарно различные р р корни сравнения р~ьР'(х) =0 (modр) имеют кратности ги кл ,. ,к и т = к+ к +.+ к , к - шах к,, где

12' г 1 2 г' i г =r(F') >0, к >1. Тогда для всех a ^2 ([48])

NJF;pa) < (2 + 21/2)mnpt/(}A + upa<1 "C1/(k + u 5 ). (30) с; \

Оценку Д.А. Митькина уточнил И.Е. Шпарлинский^ в 1991 г. Для натуральных чисел п, q и Р пусть N (f,P,q) обозначает п число целых решений х, О < х s Р - 1, сравнения f(x) = О (modq), где f(x) = а хп + .+ а х + a zZ[x], (а п 10 п a , aQf(l) =1 • Тогда И.Е. Шпарлинский доказал, что для любого е > О справедливо неравенство

1 -/п - е

NJf,P,q) « РС(Р п + Pq~1/n) с в = (п - 1)/п(п3 - п2 + 1), где константа в символе « зависит только от п и е.

Основные результаты диссертации

Остановимся на методах решения поставленной задачи и на основных результатах, полученных в диссертации автором.

Диссертационная работа состоит из 4 глав и приложения. В главе I доказаны необходимые подготовительные утверждения. Укажем основные. Доказан модифицированный вариант теоремы об Si

- Shparllnsklj I.E. On polynomial congruences // Acta ar I timet lea. - 1991. - V. 58, N 2.- P. 153 - 156. . умножении тригонометрических сумм. Если q = q^-q ••-q t где (q[f q ) = 1 при i ф j, 1 < i, j < s, то справедлива Теорема 1.1.1. Для любого многочлена f(х) с целыми рациональными коэффициентами справедливо равенство

S(f; х; q) - П X (т и )-S(m f; х ; q.), i=i qi qi где (m{ ,q{ ) = 1, m^ Z ( 1 < i < s ,).

Как уже отметили раньше, изометрический метод основан на лемме о линеаризации. Она приняла следующий вид.

Если f(x) - многочлен, то введем обозначение X = = X(p,f) = ord C(f'), так что многочлен p~lf'(x) будет со примитивным над О . Если же f(x) = У а х* <е О [[х]] - анали

Р k р н к = 0 н тическая функция, то положим х = X(p,f) = minford (to ))> р k kSti н тогда функция p~xf'(x) - примитивная. Очевидно, для всех х из О ord (p~lf'(x ))>0. Положим р р ^ сг h =

О, если 1=0,

V = 1 + hfrjorcl 2. t 1, если х > 1, р

Лемма 1.2.3. Об изометрической линеаризации аналитической со функции. Пусть р - простое, f(x) - £ е 0 С'Сл?]3» к = О Р хп е О такие, что im ord (а ) = +<х>. к—1+оэ

Р к' ord^(p~zf'(xQ)) = д , О < ц = ц(ха) < +00. Тогда для любого з целого, з > ц + и существует изометрия (1) (7:0 —> О такая что, если х = х + pBz, то в р р О 1 f(xQ + psz) = f(xQ) + f'(xQ).pB-ojz), (где о (О) = О), что равносильно записи f(xQ + pBz) Й f(xQ) + f(xQ)-pb'z. (2) 0* компакта К (x ) такая, что для каждого х из К s в О в fix) = fix) + f(x)'(Q*(x) - X), и us и и где °*в(х0) -х0' что равносильно записи

V х € Кв fix) * f(xQ) + ftxo)'tx - xQ).

Лемма о линеаризации была доказана в [16] при р а 3 для многочленов. Авторами было отмечено, что теорема обобщается и на случай аналитических функций над кольцом О и даже над р кольцом нормирования конечного расширения поля Q . В § 1.2 р детализированы те утверждения, которые были сформулированы при написании статьи [16]. Используя лемму о линеаризации модифицирована лемма Гензеля о подъеме:

03 и

Теорема 1.3-1- Пусть р - простое, а е О и / = Е а±х е р к=0 е О [[а?]] - аналитическая функция такие, что lim ord (а ) =

Р - , Р К

F к—»-/-«> н -fco, ord (p~lf (а))= ц, где г = minfordffc )) , и = 1 + р , >„ к hi г;ord 2 и р ord f(a) > 2ord f'(a) - г + v. p p

Тогда в компакте К (а) существует и притом единственное в целое р-адическое число в такое, что f(d) = О, где s = ord а^ > fi + и > 1. р f'ta)

Первый этап в подходе Хуа Лоо-Кена в задаче оценки модуля S(f; i; ра) основан на модификации леммы о разбиении.

В § 1.4 доказана теорема 1.4.1 о приближении к носителям суммы S(f;%:pa) - модифицированная лемма о разбиении. Отсюда получены другие формулировки этой леммы, в частности те, что уже были известны, но при иных условиях. со

Пусть р простое и f = Т а х € О [[а?]] такие, что k=o k р lim ord (а ) = +со, minford (а )}= 0, х = minford (ka )), k->+® р k k>i р k k>i p k f О, если 1=0, h(x) = 1 U если Г Ы, v = = 1 + h(l)oM/> ~ либо характер Дирихле по модулю р, либо % = 1. Пусть а > l + 1 + V и ?<s<<[fa-T + l> -1)/2]. Тогда для каждого фиксированного t из Z введем обозначение

A(s,t) = ( х\ t < х < t + рв-1, ord (p~lf'(x)) * з - V +1 }. p

При указанных выше условиях справедлива следующая Теорема 1.4.1. s(f;x;pa) = 7

-e(f(x )р-а) м , X €A(s,t) s г e((f(x + рвх) - f(x ))р~а). не

Kmodp

В частности, если сравнение p~zf'(x) = 0(mod pB+i~u имеет решения, то S(f; %; ра)= О. Часто используется следующее

Следствие 1.4.1. Пусть р простое и / = У ах е О [т]

--i . ы Jj р k = 0 Н такие, что п >2, minford (а )} =0, х = miru'ord (in )}, h(X) = k>i p k k>i p k

I U если 1=0, если x > 1, V = >p) = 1 + %(x) либо характер Дирихле по модулю р, либо 1=1. Тогда

1) Если'и <a<r+y=t + 1 + h(T)ord то. р s(f; х; ри ) = р а -0 ^

L о xmod р l(x)e(f(x)p ~а ).

2) (о разбиении). Если a>Z + V = l + 2 + hftjord 2, то р для каждого фиксированного t из Z S(f;%;pa) = I * %(Ь)t < ь ^ t+p-1, ord f'(b) >• г p

E * B e(f(x)p~a). xmodp , x=b(modp)

В частности, если сравнение p~lf'(x) ~ Ofmodp.) не имеет решения, то S(f; %; ра) = О. .

В этом следствии вместо известного условия а и 21 +2 получено новое условие а >1+2 (для р нечетных). В п. (2) следствия частный случай ( при t = О ) для р нечетного простого получили Г.И. Гусев и автор в 1985 г.(опубликовано в 1990 г.) и в 1988 г. в случае, когда t = О и %(х) - характер по modp, получили Г.И. Гусев и автор.

Поскольку суммы S(f;pa) выражаются в массовом случае через суммы Гаусса, то подробное описание свойств сумм Гаусса - важная задача. Этому посвящена II глава. Стандартная оценка сумм Гаусса S^(a;pa) основана на свойстве рекурсии ([22], формула (72) на с. 39). Свойства сумм Гаусса систематизированы в § 2.1. Там же проведены вычисления и оценки сумм Гаусса, используя следствие 1.4.1.

Теорема 2.1.1. Пусть р > 3 простое, а € О , ord а = О, п >2. р р

Тогда

S (а; р а ) I < с(п,р,г)-ра(1.~ 1/п) , п 1 где i minCd -1, pi/3)pn 2, если r = 1, cjn,p,r) = pr/n , если 2 < r < ord n + 1, i p v r/n -1 если n + 2< Г £ n. P

Теорема 2.1.2. Пусть p - 2, a e 0 , ord a = 0, n > 2. ы -- p p целые, aQ =aCraod 4,), 0 < aQ < 3 и г удовлетворяет (2.7). Тогда

S (а; 2 а) - 2а C1 "1/n> + г/п " 1 • п г О, если г = 1; 1, если п.- нечетное, 2 < г < п; а

1 + I , если п = 2, г = 2; е(2~эа), если п = 2f г = 3 ( а > 3); 1 + е(2~га), если п- четное, п >4 и 2 < г <ord2n + 2; 1, если п- четное, ord п + 3 < г ^ п. v 2

В частности, в следствиях 2.1.1 и 2.1.2 получены оценки, которые возможно в таком виде не записывались.

Следствие 2.1.1. Пусть р > 3 простое, а <s О , ord а = О, р р п > 3. а > 1-целое, d = (р -1,п). Тогда

IS (а; р а ) \ < с (n)-pa(l ~ 1/п) , где рп)1/п , если р < п; р1/п , если d < р <(d-1)2 , р > п; с (п)= р

1 1 d -1)рп 2, если (d -1)3<р <(d р >п. ^ 7 , если (d -1 )3п/(п "2>< р> р >72.

Следствие ,2.1.2. Пусть р =2, а € О , ord а = 0, п >2. а >1pp. целые. Тогда

1) Если п >3, a - rfmodn;, f < г < п, то

S (a; 2 a )\ < 2a (1 "1/n) n О, если r = 1; card n + 2)/n ord n + 2

2 2 I cosf Jta/2 2 )\, если 2 < r < ord n -f 2; 2

2>r/n -1 ^ n + 3 £ Г s 11. 2

2) IS fa; 2 аЛ < 2oos(n/16)-2 a (1 -1/n) ✓ 2 2 W2 -2а (1 "1/n> ; Параграф 2 главы II посвящен изучению сумм S (a; q) при q составном и оценке сверху этих сумм. Введем обозначения. Положим

Ра, q, = Па

Р " ч» ord n Р ра> % = тт ра> q

Р Nq,

3 =П.

Р Hq ,

2<r^ard n +1 Р

4 = П Р

Р Nq , г = 1 = "а, Р р и q» r=ard n +2 Р

Если условия не позволяют определить какое-то q , то это q положим равным единице. Тогда q = q q q q q , где

1 1 a J 4 □ q{>q= 1 Г1РИ t > 1- J - Обозначим a г d n p = p P . = П p p I q j n П ' P> J =1,.,5, p I q j тогда g In, n = n n n n n . Положим 0=1. Пусть в

3 3 1 2 3 4r S

1, если mla, этом параграфе, как обычно, б (а)

О, если m\at где m >1, m, а -целые.

Теорема 2.2.1. Пусть п >5, q >1, (a,q) =1. Тогда

1 - -- -IS (a; q) |< q n{(q ) п(йд)п\ооз(п/2 n I l J d i

2 3 2 j 1 1 2 rdan + 2 . W\

•П [pn \SJa ;р)\Ьпв)п (qs)n [200s(n/2

-1

-1 где числа a^ из Z, p|cip , определяются однозначно.

Из теоремы 2.2.1, используя, в частности, некоторые рассуждения Стечкина [36], удается получить значение для с(п) в оценке (10), зависящую от арифметических свойств чисел п и q. Доказанная в теореме 2.2.3 оценка повторяет результат С.Б. Стечкина, но для некоторых классов чисел q, которые определяются природой числа п, эта оценка уточняется. В частности, в следующем утверждении.

Следствие 2.2.1. Если п >5, q >1, a - целые такие, что (a,q) = 1, и для любого р, делителя q ord^q (mod 11), то

-7= 1 1 -1 /-1 -1

IS Ca; q) \ < V 2 2 +S2 пп q п < 2S 2 +Vy2 +V2 q n .

Достижимые оценки сумм Гаусса порядков 3 и 4 вычислены в параграфе 2.3.

После применения леммы о разбиении в тех стандартных рассуждениях, восходящих к Хуа Л.К., необходимо оценивать число решений специального полиномиального сравнения. Усиления оценок здесь достигаются вследствие 1) отбрасывания всех дробных р-адических корней; 2) учета в множестве локально целых корней только целых р-адических корней производной полинома. Это обосновывается теоремами, доказанными в III главе диссертации. Рассмотрим их.

Многочлен F над Z рассматриваем над О , учитывая р вложение Z сО . Пусть К - поле разложения многочлена р

F(x), К - алгебраическое расширение поля Q .Простые р элементы полей Q и К обозначим, соответственно р и р л. Показатель элемента й, О) из поля К, относительно простого элемента я принято обозначать через ord^M, измеряя О) в таком масштабе, что ord^p =1. В дальнейшем ради удобства вместо ord а будем писать ord 0), поскольку я р здесь и далее в работе это не приведет к ошибкам. Обозначим

V = {х cKlord х >0} - кольцо нормирования поля К. Многочлен р

F из Ъ[х] или из О [я] назовем локально примитивным или р-примитивным, если ov&C(F) -О или иначе ( а^,., aQ,p) =1 •

Теорема 3.1.1. Пусть F(x) из О [х], F(x) - степени п, - р п > 1. Тогда существует однозначное разложение

F(x) = C(F)-FJx)-Ffx)-FJx), о 1 * где Fq, F± приведенные (унитарные) многочлены над Ор, Ft примитивный многочлен над О такие, что F , F , F„ имеют корни соответственно, в О , р

V\ О , KW . р

Сравнение

F(x) - 0( mod ра ), а > 1) равносильно сравнению

С (F)-FQ(x)-Fi(x) = О ( mod ра ) 0L а 1), где С (F) = р, х = min{ord а,} = ord C(F). р i>o р 1 р

Теорема 3.1.2. Существует эффективно вычислимое aQ > 0 целое такое, что для всех a >aQ сравнение

F (х) - О (mod ра ) решения не имеет.

В теореме 3.1.3, лемме 3.1.3 и в следствии 3.1.3 установлены соотношения между параметрами, участвующими в оценках и оценки, используемые для еффективизации доказанных утверждений.

Пусть

F(x) = а -(х - С Г1 .(х - ^ /т, n 1 т где £ попарно различные корни с соответствующими

1 m кратностями е ,., е , п = deg F >1. Обозначим

1 m в ) F 1 (LJ б(£.)= $ (F; I.) = ord -1 (Л * t s т),

I р 1 р 1

5 = 5 (р) = 5 (F;p) = max 5 (F; v v 5ieV P 1 e = e (p) = e (F;p) = max e. ,

V V V TT i

1<1<Ш! J m = m (p) = m (F;p) = £

1 . l<i<m! ? €V

Эти обозначения вводятся для корней из V. Соответствующие обозначения с индексами О ж К введем, соответственно, для корней из 0 и К. Для этих характеристик верна р

Теорема 3.1.3. 1) О s т s т, s m . 2) О < е < е < е .

О V К О V к

3) Если eQ > 1, то справедливы неравенства О < 5q < < <5r.

Если eQ = О и > 1, то О < < б . Если же = О, то 5 > О.

1ч

Лемма 3-1.5. Пусть многочлен g над О степени п , п > 2, р локально примитивный и имеет простые корни, причем только из

V\0 . Тогда для всех а из О (в частности, aeZj спра-р р ведливы оценки

1) ord g(a) < 2ord D(g) - Z(2degg -1) + h(l)ord 2, p p p где D(g) - дискриминант многочлена g, l = ordJ0(g')',

2) ord g(a) s Pord D(g) . p p

Следствие 3-1.3- Если примитивный неприводимый над О много- р член g степени п , п > 2 тлеет корни только из V\0 , то р для любого его корня в и для всех а из О (в частности, р aeZ) справедлива оценка ord (в -а) £ f2ord D(g) - t(2degg -1) + h(Tjord p]/degg. p I. p P )

В параграфе 3-2 доказана

Теорема 3.2.1. Пусть р простое и F многочлен из Z[x] степени п, п а 2. Тогда если degp.F = '0, то N(F;pa )=0.

При всех a £ 1

N(F/Q(f); ра) < ту-р m 1 n(a -1, a - (a -6 )/o )

Для применений теорему удобно сформулировать иначе.

Следствие 3.2.1. (1) Если 1 < a <ord C(F), то N(F,pa) =рс --р

2) Если a >ord C(F) и deg (F/C(F)) =0, .то N(F,pa) =0. p p

3) Если a >ord C(F) и deg (F/C(F)) , то p p

N(F; pa) < mv-p (4) В итоге, если a > 1, то min{a -1, a - (a

N(F; pa) < max(1fm)-p mlnfa, a - (a

Для случая составного модуля введем обозначения е = max е (р), q = п р I q p|qioc = ard q Sord С(Г) P P

Тогда справедлива

Теорема 3.2.2. Пусть F нелинейный многочлен из Z[x]. Тогда

1) если з p\q: m (р) =0 и ord q >ord C(F), то N(F;q) =0.

V р 1 р

2) N(F; q) < qc(q/qjl~i/a-ll (mx(1 ,my(p))-p*v (P><P *). plqd

В § 3-3 получено уточнение оценок § 3.2, разобран случай многочлена с простыми корнями. В частности, доказаны Теорема 3-3.1. Пусть справедливы условия теоремы 3-2.1. Тогда существует целое число aQ = a (F,p) гО такое, что для всех а > aQ: если eQ = О, то N(F;pa )=0; если же е > 1, то о а - (ос -5 )/е

N(F; ра) < т -р а

Следствие 3-3-1. Пусть F(x) нелинейный многочлен из Ъ[х] с ненулевым дискриминантом D(F).

1) Пусть ос >ord C(F) и п = degF > 3. Тогда р

N(F; ра) < deg (F/C(F))• ш i n(a -1, ford D(F> - (n -3)ord (Ic(F5)j/2) •P P P .

2) Пусть a >ord C(F) и n = degF > 2. Тогда p ш i n(a -1 , (ord D(F ) )/2)

N(F;pa) < deg (F/C(F))-p p ,

3) Пусть a >1, n > 3 и deg (F/C(F)) > 1. Тогда p pa) < deg (F/C(F))• ord D(F) - (n -3)ord (lc(F))j/2 •p P P . (3.18)

4) Пусть a >1 и n = degF > 2. Тогда mints, (ord D(F))/2)

N(F;pa) < тах(1,т )-p p

V 1 или иначе rnlnta, (ord D(F))/2)

5) N(F;pa) < imx(1 ,<legp(F/C(F))}-p p

Используя нижеследующую лемму доказывается утверждение об оценке числа решений в случае а > ord C(F). р

Лемма 3-3-1- Пусть многочлен F из О [х] степени п, р п >3 , со старшим коэффициентом lo(F), имеет ненулевой дискриминант D(F). Тогда для любого локально целого корня £ многочлена F ord F'(F) < р (1/2)(ord D(F) - (п - 3Jord lc(F) - (n - 1)ord С(ф')), p p P где 'F(x) = (x - I) -tp(x) .

Следствие 3.3.2. Пусть F(x)<sZ[x] -многочлен степени n >1 и его дискриминант D(F) Ю. Тогда если а > ord C(F), то р

N(F',pa) < &egp(F/C(F))'(D(F)1/3, ра ) .

Правильный порядок числа решений сравнения дается следующей теоремой. Пусть dQ - количество тех корней многочлена F(х), кратность которых равна eQ - максимальной кратности корней из кольца целых р-адических чисел.

Теорема 3-3-2. Для любого е >0 существует а*= а*(e,F,p) >О такое, что для всех а > а* а(1 -1/е ) + S /о

N(F-,pa) < (dQ + Е)р 0 0 0 , если eQ >1. Если же eQ = 0, то N(F;pa) =0.

Последнее утверждение уточняет оценки Шалка и Смита (ср. [49], п.З) и Локстона и Смита (25), а полученное в следствии 3-3.1 оценка усиливает результат Шандора [68].

В главе IV получены новые оценки IS(f; %; ра)\ сверху. I

Работы [11] - [15] имеют дело с точными соотношениями вида (18), которые справедливы для всех простых чисел р и а > 2, но начиная либо с некоторого простого числа pQ, либо с некоторого aQ. Поэтому актуальным является оценка \S(f;pa)\ сверху при начальных значениях р и при а таких, что 1 < а < aQ. С этой целью в диссертационной работе уточнены известные оценки IS(f;pa )I, полученные до 1988 г.

Эти оценки явились, в основном, следствием уточнения свойств корней f'(x). Используя лемму о разбиении в модификации 1.4.1 доказана

Теорема 4.1.1. Пусть р -простое, / € Z{x] -многочлен степени п >2, p)(C(f -f(0)) и максимальная кратность корней сравнения (4) не превышает к, 1< к < п. Тогда

I S(f; х; ра)\ < c(f,p) -шахП, N Cf'))p (1 k + 1 где N (f} -число неконгруэнтных корней сравнения (4) с р учетом кратностей, а

X (Г') + 1 + ord а р

C(f,p) р k + 1 min(n + d -1, р2 )р к +1 если р <п; 1 1 2 если р > п.

Следствие 4.1.1. Пусть р -простое, / е Ъ[х] -многочлен степени п а2, phC(f -f(0)) и максимальная кратность корней сравнения (4) не превышает к, 1< k < п. Тогда

IS(f; %; ра)I < с(п,р,к)-р где с(п,р,к) = а( 1 k + 1

Z + 1 + ard 2 ) / ( к + 1) f (2 + 2 )mp p с 2 mp( 1/(k + U) + 1/2/Cp1/2 m(n - 1)pl/(k + u /(p1/3 если p s n;

1) , если n < p < (n-1)2; 1) , если (n-1)z< p < ((n - 1)m)

2(к + 1)/(k

1 ) p1/2/fp1/2 - fj, если p > ((n - 1)m)3lk + 1)/(k " 15 .

Коэффициент (2 + 2l/2)mnpt/(k +1) в оценке (30), таким образом, заменен меньшей величиной, причем улучшение результата достигается при всех рассмотренных значениях тг, р, ос. Оценка (30), а в некоторых случаях и оценка, полученная в теореме 4.2.1, уточняется в теореме 4.2.2, для которой приведена схема доказательства.

Пример 4.2.1 показывает, что теоремы 4-2.1 и 4-2.2, вообще говоря, друг друга не перекрывают в случае, когда множество целых р-адических корней /' не пусто. Чтобы показать насколько существенно применение теоремы 4-2.2, необходимо сначала описать множество простых Р , чего в работе не делается. Другой подход к оценке N (f;pa) был реализован в главе III.

В § 4-3 рассмотрен частный случай сумм и доказана Теорема 4-3-1- Пусть р -простое, /еZ[x] -многочлен степени п аЗ такой, что p)(C(f -f(0)) и дискриминант производной D(f') Тогда за исключением случая, когда р = 2, а нечетное,

1) для всех a >2 справедлива оценка

Is(f: %; ра)I * msLX{i Aegp(f'/c(f))) pa/z(D(f)l/2, ра/2);

2) если кроме того of > 2ord C(f), то р

S(f; %; pa) I ^ <legp(f'/C(f'))pa/3.(D(f')1/3, pa/2 -1). Причем, если сравнение f'(x) =0(той.р[а/2]) неразрешимо, то S(f;%;pa) = О.

Если же р =2 и а >3 - нечетное, то

3) \S(f;i;2a)\ <тах(1,degJf'/CCf) ) )2a/2(2D(f),2а) а ,1/2

4) если кроме того а > 2or& C(f), то

IS(f; %; 2аЛ s &eg2(f'/C(f'))2a/2-((2D(f'))i/2, 2а/2 1, если mlа; Обозначим 8Ja) = | Qj если ^

Теорема 4-3.2. Пусть f(x) - f(О) примитивный многочлен с целыми коэффициентами степени п аЗ» такой, что D(f') Пусть q >1 -целое,

О = ТТ Р > Я, р I q п р* q2 = g'v р I q , ard q = l Р

Пусть %(х) - характер Дирихле по модулю либо %(х) -7 . Тогда s(f; х; q)\ *

1/2 Г 1 Г W 11/2 q1/2('n п;[п max{-Megpr/VCr/';;J[2 2 2q2j . р I q р I q

1 2

В § 4-4 доказаны теоремы 4.4.1, 4.4.2 и 4.4.3. Оценка по примарному модулю доказана в следующей теореме, Теорема 4-4.1. Пусть р простое, а > 2 целое, f многочлен из Z[x] степени п, п > 2. Тогда

1) если deg (f'/C(f)) = 0 и a >2ord 0(f) +1, то р р

S(f;i;pa) = 0;

2) если deg (f'/C(f')) = 0 и а <2ord 0(f), то р р

S(f;i;pa)\ < ра;

3) если же deg (f'/Cif)) >1, то р ord р)/2 а -(а/2 - S )/в

S(f;i;pa ,)| <2 2 ту(р)-р v v.

Здесь и ниже ш (р), §v и еу вычисляются для f'(x). Есть примеры, показывающие, что этот результат уточняет оценку (15)

Обозначим е = max е (р), а = П

1 х 1 Г\ • р I q q = II о л ^

20 p|q t dag (f'/C(f'))=0 2 p a = о г d q S 2ord С(f' ) P 2 p „ P p: a г d q =1 g = g /g . 21 2 M20 p, q2= q/qit

Теорема 4.4.2. Пусть / нелинейный многочлен из Ъ[х] такой, что (q,C(f -f(Oj) =1. Тогда

S ( q ) 2 '21

S(f;x;q)\ * 2 р I q, degp/ )

• П deg (f'/C(f'))-p

I p

Plq21

8 (p)/в (p ) V v

Заметим, что e (p) < e ^ max e , , 0 £ v jjeOif' <(• >=o degp(f'/C(f')) < n - 1, 0 < 5v(p; < 5. Все ето приводит к тому, что оценка теоремы 4-4.2 существенно точнее оценки (15)

Дж. Локстона и Р. Смита.

Теорема 4-4-3. Пусть многочлен f(x) из Z[x] степени п >3 такой, что C(f -f(0)) взаимно прост с q и дискриминант производной D(f') отличен от нуля. Тогда

S(f;x;q)\ s 2

•fn

5 (q )/2 t л

2 3 V^-n degp/. plq, i

1 1/2

21 где C(/',) - содержание производной /', lcf/',) - старший коэффициент f .

Теоремы 4.3.2 и 4.4.3 уточняют оценку Смита (14) и Лок-стона и Смита (15) для класса многочленов с ненулевым дискриминантом.

В параграфе 4.5 построен контрпример к работе [59] для р < п и рассмотрен пример, позволяющий сравнить полученные в главе IV результаты с известными оценками полных рациональных тригонометрических сумм.

В Приложении доказаны необходимые утверждения.

Результаты работы докладывались на Втором математическом чтении памяти М.Я. Суслина в Саратове (1991 г.), на Международных конференциях по теории чисел в Минске (1989 г.), Туле (1993, 2001 г.г.), Воронеже (1995 г.), на Международном конгрессе по теории чисел во Франции (Лилль, 2001) и на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел под руководством профессоров А.Б. Шидловского, Н.М. Коробова в МГУ им. М.В. Ломоносова, на научном семинаре кафедры теории чисел под руководством профессоров В.И. Нечаева, А.А. Бухштаба, Д.А. Митькина в МШИ им В.И. Ленина.

Результаты диссертационной работы опубликованы в [16], [17], [713, [72], [73], [74], [75].

Английский перевод статьи [73] в исправленном электронном виде доступен в Интернете по адресу ht tp: //www. sgu. ш/useris i/kum/

Отмечу, что работа в основном была набрана к осени 1991г. Редакции 1994 и 1996 г.г. структуру работы существенно не изменили.

Автор выражает признательность своему научному руково дителю, доценту Герману Ивановичу Гусеву, за постановку за дачи и полезные обсуждения.

Большая благодарность всем лицам, оказавшим помощь в этой работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Михаил Васильевич, 2001 год

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.-М.: Мир, 1987. - 415 с.

2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М., Мир, 1994. - 544 с.

3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Тзория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1988. - 368 с.

4. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. 3-е изд., допол. - М.: Наука, 1985. - 503 с.

5. Ван дер Варден B.JI. Алгебра. М.: Наука, 1976. - 503 с.

6. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М.: Наука, 1971. 158 с.

7. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 9-е изд., перераб. - М.: Наука, 1981. - 176 с.

8. Гаусс К.Ф, Суммирование некоторых рядов особого вида // Труды по теории чисел. М.: Иэд-во АН СССР, 1959. - С. 594 - 635.

9. Гаусс К.Ф. Учение о вычетах // Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - С. 773 - 806.

10. Гусев Г.И. К гипотезе о рядах Пуанкаре// Математические заметки. 1973. - Т. 14, N 3. - С. 453 - 463.

11. Гусев Г.И. О локальных оценках тригонометрических сумм //Тез. докл. Всес, конф. "Теория трансцендентных чисел и ее приложения"(2 4 февр. 1983 г.)/ Изд-во МГУ, 1983.- С. 32.

12. Гусев Г.И. Изометрический метод оценок тригонометрических сумм // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всес. конф., Тбилиси, 17-19 сент. 1985г. /Тбилиси, 1985. С. 56-58.

13. Гусев Г.И. Оценки тригонометрических сумм изометрическим методом // Матем. и ее прилож. Межвуэ. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. - С. 41 - 43.

14. Гусев Г.И., Кудрявцев М.В. Об оценке полной рациональной тригонометрической суммы со знаменателем ра // Матем. и ее прилож. Межвуз. науч. сб. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 37 - 39.

15. Гусев Г.И. К лемме о разбиении рациональных тригонометрических сумм // Всесоюзная школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел"( Минск, 10-16 сент. 1989 г.): Тез.докл.- Минск: Изд-во Ин-та Математ. АН ВССР, 1989. С. 45.

16. Гусев Г.И., Кудрявцев М.В. Изометрическая линеаризация многочленов в р-адических полях и ее приложения // Саратов, гос. ун-т. Саратов. - 1990. - 25 с. - Виблиогр. 26 назв. - Деп. в ВИНИТИ 11.04.90, N 2023- В90.

17. Гусев Г.И., Кудрявцев М.В. О модификациях леммы Гензеля // Матем. и ее прилож. Межвуз. науч. сб. -Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1991. С. 47 - 49.

18. Калтофен Э. Разложение полиномов на множители j j Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986.- С. 126 150.

19. Карацуба А. А. Об оценках полных тригонометрических сумм // Ма-темат. заметки. 1967. - Т. 1, N 2. - С. 199 - 208.

20. Коблиц Н. Р-адические числа, р-одический анализ и дзета- функции.- М.: Мир, 1982. 192 с.

21. Конягин С.В. О числе решений сравнения га-й степени с одним неизвестным // Матем. сб. 1979. - Т. 109(151), N 2. - С. 171 - 187.

22. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения.- М.: Наука, 1989. 240 с.

23. Кудрявцев М.В. Теорема Штрассмана для многочленов// Саратов, гос. педагогич. институт. Саратов. - 1988. - 7 с. Библиогр. 3 назв.-Депон. в ВИНИТИ 27.04.88 N 3240- В88.

24. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10-е изд. М.: Наука, 1971. - 431 с.

25. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. - 564 с.

26. Ленской Д.Н. Функции в неархимедовски нормированных полях. Саратов; Изд-во Сарат. ун-та, 1962. - 110 с.

27. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды МИАН СССР. 1962. - Т. 65. - 212 с.

28. Митькин Д.А. Об оценках и асимптотических формулах для рациональных тригонометрических сумм, близких к полным // Матем. сб. 1983. - Т. 122(164), N 4(12). - С. 527 - 545.

29. Нечаев В.И. О представлении натуральных чисел суммой слагаемых веда Фн-iMs+n-i) ц р1зв Ан СССР 1953 т 17} N б . с 485 . 493

30. Нечаев В.И. Оценка полной рациональной тригонометрической суммы // Математ. заметки. 1975. - Т. 17, N 6. - С. 839 - 849.

31. Нечаев В.И. О точной верхней границе модуля полных тригонометрических сумм третьей и четвертой степени // Исследования по теории чисел. Вып. 10. - Саратов: Изд-во СГУ.- 1988. - С. 71 - 76.

32. Нечаев В.И., Топунов B.JI. Оценка модуля полных рациональных тригонометрических сумм 3-й и 4-й степени // Труды МИАН СССР. -1981. Т. 158. - С. 125 - 129.

33. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. - 511 с.

34. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969. - 375 с.

35. Степанов С.А. Об оценке рациональных тригонометрических сумм с простым знаменателем // Труды МИАН СССР. 1971. - Т. 112. - С. 340 - 371.

36. Стечкин С.Б. Оценки сумм Гаусса j j Матем. заметки.- 1975. Т. 17, N 4. - С. 579 - 588.

37. Стечкин С.Б. Оценка полной рациональной тригонометрической суммы // Труды МИ АН СССР. 1977. - Т. 143. - С. 188 - 207.

38. Хуа JI.K. Аддитивная теория простых чисел // Труды МИАН СССР.- 1947. Т. 22. - С. 8 - 14.

39. Хуа JI.K. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. - 187 с.

40. Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Математ. заметки. 1976. - Т. 20, N1. С. 61 - 68.

41. Чубариков В.Н. Об асимптотических формулах для интеграла И.М. Виноградова и его обобщения// Труды МИАН СССР. -1981. Т. 157.-С. 214 - 232.

42. Чудаков Н.Г. Введение в теорию L- функций Дирихле. М,- JI.: Го-стехиздат. - 1947. - 203 с.

43. Чудаков Н.Г. О существовании V кольца в бесконечном поле // Научный ежегодник за 1954 г. Саратов: Изд-во "Коммунист", 1955. С.- 675.

44. Чудновский Г. В. Некоторые аналитические методы в теории трансцендентных чисел //Препринт. ИМ 74-8. Киев, 1974. - 48 с.

45. Birch В. J., Mc Cann К. A criterion for the p-adic solubility of diofhantine equations // Quart. J. Math. (2). 1967. - V. 18, N 69. - P. 59 - 63.

46. Carlitz L., Uchiyama S. Bounds for exponential sums // Duke Math. J. -1957. У. 24, N 1. - P. 37 - 41.

47. Chalk J.H.H. On Hua's estimates for exponential sums // Mathematika.- 1987. V. 34, N 2. - P. 115 - 123.

48. Chalk J.H.H. Quelques remarques sur les congruences polynomes modulo pa //C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.l. 1988. T. 307. - N 10. - P. 513 - 515.

49. Chalk J.H.H., Smith FLA. Sandor's theorem on polynomial congruences and Hensel's lemma// Math. Repts. Acad. Sci. Canada. 1982. - V. 4, N 1. - P. 49 - 54.

50. Chen C.J. On the representation of natural number as a sum of term of the form // Acta Math. Sinica. 1959. - V. 3, N 3. - P. 264- 270.

51. Chen C.J. On professor Hua's estimate of exponential sums // Sci. Sinica.- 1977. V. 20, N 6. - P. 711 - 719.

52. Hardy G.H. Collected papers. V.l. - Oxford: Clarendon press, 1966. - 12 + 700 pp.

53. Hensel K. Theorie der algebraischen Zahlen. Berlin: B.G. Teubner, 1908.- 349 s.

54. Hua L.K. On a exponential sums // J. Chinesse Math. Soc.- 1940. P. 301- 312.

55. Hua L.K. Additive Primzahltheorie. Leipzig: B.G. Teubner, 1959. - P. 6 -7.

56. Катке E. Zur Arithmetik der Polynome // Mathematische Zeitschrift. -1924. V. 19. - S. 247 - 264.

57. KOrner O., Stfihle H. Remarks on Hua's estimate of complete trigonometrical sums // Acta Arithmetica. 1979. - V. 35, N 4. - P. 353 - 359.

58. Loxton J.H., Smith R.A. On Hua's estimate for exponential sums// J. London Math. Soc.(2). 1982. - V. 26, N 1. - P. 15 - 20.

59. Loxton .J.H., Vaughan R.C. The estimation of complete exponential sums// Canadian Math. Bull. 1985. - V. 28, N 4. - P. 440 - 454.

60. Lu Minggao. A note of the estimate of a complete rational trigonometric sum// Acta Math. Sin./Шусюэ сюэбао. Китай/ 1985. - V. 27, N 6. - P. 817- 823.

61. Mordell L. On a sum analogous to a Gauss's sum // Quart. J. Math. -1932. V. 3. - P. 161 - 167.

62. Nagell T. Generalisation d'un theoreme de Tchebicheff j j Jorn. de Math.- 1921. V. 8, N 4. - S. 343 - 356.

63. Nagell T. Introduction to number theory. Stockholm: Almqvist к Wiksell, 1951.-305 p.

64. Odoni R.W.K. On gauss sums (modpn) n > 2 // Bull. London Math. Soc.- 1973. V. 5, N 3(15). - P. 325 - 327.

65. Odoni R.W.K. Trigonometric sums of Heilbronn's type // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1985. - V. 98. - P. 389 - 396.

66. Ore O. Ober hohere Kongruenzen // Norsk Mathem. Forenings Skrifter. Ser. 1. 1922. - V. 7. - S. 1 - 15.

67. Ore O. Ober den Zusammenhang zwischen den defmierenden Gleichungen und der Idealtheorie in algebraischen Korpen. 1 // Math. Ann. 1927. -V. 96.- S. 313 - 352.

68. Sandor G. Uber die Anzahl der Losungen einer Kongruenz // Acta Math.- 1952. V. 87, N 1. - S. 13 - 17.

69. Smith R.A. Estimates for exponential sums// Proceed. Amer. Math. Soc.- 1980. V. 79, N 3. - P. 365 - 368.

70. Weil A. On some exponential sums // Proceed. Nat. Acad. Sci. USA. -1948. V. 34, N 5. - P. 204 - 207.

71. Кудрявцев М.В. О числе решений сравнения f(x) = 0(modpa) // Всесоюзная школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел"( Минск, 10-16 сент. 1989 г.): Тез. докл. Минск: Изд-во Ин-та Математ. АН БССР, 1989. - С. 81.

72. Кудрявцев М.В. Оценки сумм Гаусса порядков 3 и 4 // Вторые мате-мат. чтения памяти М.Я.Суслина. (Саратов, 23 28 сект. 1991 г.)/Тез. докл. - Саратов: Изд-во СГПИ. - 1991. - С. 90.

73. Кудрявцев М.В. Оценка полной рациональной тригонометрической сум> мы.1 //Матем. заметки. 1993. - Т. 53, N 1. - С. 59 - 67.

74. Кудрявцев М.В. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм // Между народ, конф. "Современ. пробл. теории чисел". ( Россия/Тула, 20 25 сент. 1993 г.) - Тш. докл. - Тула, 1993. - С. 93.

75. Кудрявцев М.В. О числе решений полиномиального сравнения по модулю // Изв. вузов. Математика. 1993. - N 6. - С. 22 - 25.