Вербальные отображения с константами простых алгебраических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Гнутов Федор Александрович

• Гнутов Федор Александрович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Гнутов Федор Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Последовательности сюръективных вербальных

отображений на группах РСЬ2, 8Ь2

1.1. Предварительные результаты

1.1.1. Разложимые вербальные отображения

1.1.2. Унипотентные элементы в образе вербального отображения

1.2. Доказательство Теоремы

1.2.1. Некоторые формулы для коммутаторов в БЬ2(К)

1.2.2. Множество Т

1.2.3. Некоторые специальные элементы в 1т ии(х,у)

1.2.4. Доказательство Теоремы 1, часть

1.2.5. Доказательство Теоремы 1, часть

1.3. Доказательство Следствия

1.3.1. Доказательство следствия, часть

1.3.2. Доказательство следствия, часть

1.4. Доказательство Следствия

1.5. Доказательство Следствия 3 25 1.5.1. Добавление независимой переменной

Глава 2. Малые вербальные отображения с константами

2.6. Слова с константами

2.6.1. Подстановки

2.6.2. Тождества с константами

2.6.3. Группа С * ¥п

2.6.4. Слова С-типа в группах без центра

2.6.5. Слова конечного порядка в группах без центра

2.7. Редукция к подполям Гр

2.7.1. Обозначения

2.7.2. Простые алгебраические группы типа I и II

2.7.3. Присоединенная простая группа

2.7.4. Спуск в поле алгебраических чисел

2.7.5. Редукция по простому модулю

2.8. Многообразие констант 42 2.8.1. Случай charK = 0. Редукция к полю алгебраических чисел

2.9. Доказательство Теоремы

2.9.1. Случай charK =

2.9.2. Случай char K = p >

2.10. Доказательство Теоремы

2.10.1. Редукция к слову от одной переменной

2.10.2. Доказательство Теоремы

2.11. Доказательство Теоремы

2.11.1. Условие на тождества с константами

2.11.2. Слова с константами в группах типа II

2.11.3. Доказательство для групп типа II

2.12. Простые алгебраические группы с нетривиальным центром

Глава 3. Образы вербальных отображений простых алгебраических групп для некоторых типов слов с константами

3.13. Общий случай

3.14. Группы ранга один

3.15. Группы типов Br, Cr, D2r, E7, E8, F4, G2

Заключение

Список литературы

67

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вербальные отображения с константами простых алгебраических групп»

Введение

Вербальные отображения с константами. Пусть G - произвольная группа, а Fn- свободная группа ранга п. Пусть, далее, £ = {а\,... , om} -некоторая последовательность элементов из G. Выражение вида

= • • • Wm^mWm+1,

где

Wi = W i(Xi, . . .,Xn), ... ,Wm = Wm(Xl, ...,Xn) G Fn

- элементы свободной группы, называют словом с константами. В данной работе мы будем также предполагать, что Oi G Z(G), где Z(G) - центр группы G, и w2,... , wm = 1. (Отметим, что обычно центральные константы допускаются, но при некотором дополнительном условии; см.[9].)

Мы не исключаем случай постоянных слов w^ = о G G и случай £ = 0, т.е. слов из Fn. Кроме того, мы рассматриваем и тривиальное слово w^ = 1 (здесь 1 - нейтральный элемент группы G). Таким образом, слова с константами здесь - это элементы свободного произведения G * Fn без слов с элементами из центра и постоянные слова w^ = о G G.

Слово с константами w^ определяет вербальное отображение с константами

ws: Gn ^ G,

заданное формулой

w£((gi,...,gn)) :=

= wi(gi, . . . ,gn)oiw2(gi, . . . ,gn)o2 • • • wm(gi, . . . , 9n)OmwJm+i (gi, . . . ,gn).

Актуальность и степень разработанности темы. В последние годы интенсивно развивается теория вербальных отображений простых алгебраических групп (см. ссылки в [15]). Отправной точкой здесь служит теорема А. Бореля ([3]), которая утверждает, что вербальное отображение гй: Сп ^ С простой алгебраической группы С доминантно. Это значит, что образ такого отображения 1т гй содержит непустое открытое подмножество и С С и,

следовательно, этот образ есть "почти вся" группа С. Однако простой пример С = 8Ь2(С),и = х2 показывает, что этот образ может не совпадать со

всей группой С. Действительно, в группе 8Ь2(С) не извлекается квадратный

1 ^

корень из матрицы и, следовательно, такая матрица не может

лежать в образе отображения 8Ь2(С) — 8Ь2(С). С другой стороны, то же вербальное отображение для группы РСЬ2 уже является сюръективным.

Вопрос о сюръективности того или иного вербального отображения простой алгебраической группы представляется достаточно сложным. В настоящее время все примеры несюръективных вербальных отображений простых алгебраических групп соответствуют словам и = ит, которые являются степенями других слов. С другой стороны, примеров с сюръективными отображениями также немного. Теорема А. Бореля гарантирует сюръективность для вербальных отображений, у которых слово и является произведением двух слов и\(х\,...,хк) и и2(у\,...,у1) от независимых переменных (действительно, в этом случае образ

1т и = 1т и 11т и2

и образы 1т и>1,1т и2 содержат открытые подмножества и1,и2 С С, произведение которых совпадает со всей группой С ([2]). Для "неразложимых" отображений, которые также не являются степенями других вербальных отображений, нет общих критериев сюръективности-несюръективности. Этот вопрос остается открытым даже для простейшей группы РСЬ2. В работе Т. Банд-ман и Ю. Зархина ([1]) доказана следующая теорема.

Теорема (1) (Бандман-Зархин). Пусть К - алгебраически замкнутое поле, и € Еп - нетривиальное слово. Тогда образ 1т и вербального отображения и: БЬ2(К)п — БЬ2(К) содержит все нецентральные полупростые элементы группы БЬ2(К).

Из Теоремы (1) следует, что образ вербального отображения

и : РСЦ(К) — РСЬ2(К)

содержит все полупростые элементы группы PGL2 (K) и для сюръективно-сти такого отображения достаточно найти в его образе нетривиальный уни-потентный элемент. Интересно отметить, что существование такого элемента связано с размерностями компонент многообразия представлений (см.[12]).

Также Бандман и Зархин доказали ([1])

Теорема (ii) (Бандман-Зархин). Пусть K - алгебраически замкнутое поле, w Е F2 \ F22, где F22 = [[F2, F2], [F2, F2]] - второй член нормального ряда свободной группы F2. Тогда W: PGL2(K)2 ^ PGL2(K) - сюръективное отображение.

В этой же работе был приведен пример неразложимого слова w Е F22 \ F|, для которого также соответствующее отображение W сюръективно. Этот пример был просчитан с помощью компьютерных вычислений. Затем в работе [12] был построен аналогичный пример, но уже без компьютерных вычислений. Недавно появился препринт U. Jezernik, J. Sanchez On surjectivity of word maps on PSL2, в котором доказана сюръективность вербальных отображений W: PGL2(K)2 ^ PGL2(K) для слов вида w = [[xk,yl], [xm,yn]] Е F22. Доказательство работы основано на трудных и сложно проверяемых вычислениях со следами матриц.

В данной работе мы строим некоторый алгоритм, который позволяет строить бесконечные рекурсивные последовательности вербальных отображений на группах PGL2, SL2, которые являются сюръектиными и у которых соответствующие слова - это элементы из любого члена нормального ряда. При этом все соответствующие слова являются неразложимыми. (Эффективность изучения рекурсивных последовательностей слов для вербальных отображений была продемонстрирована в работе А. Тома [22] о вербальных отображениях компактных топологических групп.)

В данной работе мы рассматриваем отображения с константами для простой алгебраической группы (вербальные отображения также рассматриваются как вербальные отображения с пустым множеством констант). Такие отображения, в частности, рассматривались в работах [9], [18],[12], [13], [14], [15], [16].

Одним из важных вопросов здесь является вопрос об образе Im w^ такого отображения. В случае когда £ = 0, т.е. w^ = w - обычное вербальное отображение, тогда

Im w^ = G

согласно теореме А. Бореля (здесь X - это замыкание X в топологии За-рисского). Для достаточно "общего слова" w^ образ Im w^ также плотен в G ([13], Corollary 1.4). Однако для произвольного слова мы не можем ожидать, что образ соответствующего вербального отображения "почти совпадает" со всей группой G.

Пример. Пусть £ = {o},w^ = xox-1. Тогда образ - это класс сопряженности элемента о, размерность которого может быть достаточно маленькой.

Следует отметить, что в отличие от вербальных отображений образ вербального отображения с константами не является инвариантным относительно сопряжения. Для некоторых задач важным моментом является оценка не самого образа, а множества

{g Im w^g- | g G G},

т.е. образа Im w^ "с точностью до сопряжения в группе" G. Для некоторых слов w^ удается доказать, что

{g Im wsg-i | g G G} = G, (0.0.1)

т.е. образ Im w^ "почти совпадает" со всей группой G с "точностью до" сопряжений элементами группы G. В этом случае мы имеем в образе представителей "почти всех" классов сопряженных группы G. Например, в работе [13] (Theorem 1.6.) равенство 0.0.1 было доказано для слова вида

ws = wioklw2Ok2 • • • wmffkmwm+i, где ^ ki = 0

i

и о - элемент некоторого открытого подмножества X группы G.

Условие 0.0.1 удобно рассматривать в следующей форме. Для любой полупростой алгебраической группы G имеется морфизм факторизации

п: G ^ T/W,

где T - зафиксированный максимальный тор группы G, W - группа Вейля системы корней G (здесь рассматривается естественное действие группы W на максимальном торе), T/W - аффинное многообразие, являющееся фактором действия W на T ([20]). Морфизм п сопоставляет любому элементу g группы G элемент tg £ T, сопряженный полупростой части gs разложения Жордана g = gsgu элемента g. Таким образом, для некоторого подмножества M С G равенство п(М) = T/W означает, например то, что все M пересекает все полупростые классы сопряженных элементов. Условие 0.0.1 эквивалентно условию

Отметим, что для слов из приведенного выше примера условие 0.0.2 не может выполняться, поскольку образ отображения п о в данном случае заведомо одна точка. Пусть -д - слово с константами. Тогда для слов вида

множество Im п о w^ - это также в точности одна точка, т.е. эти слова наиболее "удаленные" от условия 0.0.2. Отметим, что если Im п о ws - не является точка, то это некоторое конструктивное подмножество в T/W, замыкание которого - связное аффинное многообразие размерности > 1. Этот факт иногда позволяет "индукционно" описать весь образ п о ws (см., например, [13], Theorem 1.6.).

Слова вида 0.0.3 будем называть словами C-типа (постоянные слова w^ = о G G также являются словами C-типа).

Цель исследования. Целью исследования является описание образов отображений с константами (в частности, вербальных отображений). Для достижения цели поставлены следующие задачи:

(1) Построить рекурсивные последовательности сюръективных вербальных отображений групп PGL2, SL2 соответственно от двух и трех переменных, члены которых (в отличие от Теоремы Бандман-Зархина (ii)) существуют в любом члене нормального ряда свободной группы.

Im п о = T/W.

(0.0.2)

(0.0.3)

(2) Получить описание "малых" вербальных отображений с константами, образы которых попадают в один класс сопряженных элементов.

(3) Получить обобщение Теоремы Бандман-Зархина (1) на случай вербальных отображений с константами.

(4) Получить описание образов "общих вербальных отображений с константами".

(5) Получить описание образов вербальных отображений с константами простых алгебраических групп специальных типов Вг ,СГ, , Е7 ,Е$,

F4, С2.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы как для теории вербальных отображений с константами (в частности, вербальных отображений) простых алгебраических групп, так и для структурной теории таких групп.

Методы исследования. В данной работе применялись теоретические методы теории алгебраических групп, методы алгебраической геометрии и теории алгебраических чисел.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми в теории вербальных отображений с константами и вербальных отображений простых алгебраических групп. Получен новый алгоритм построения сюръек-тивных отображений на группах ранга один, получено описание малых вербальных отображений с константами, разработан новый метод редукции вербальных отображений с константами к положительной характеристике. Получено обобщение Теоремы Бандман-Зархина на вербальные отображения с константами.

Степень достоверности. Все результаты работы снабжены подробными доказательствами.

Апробация работы. По теме исследования было прочитано два доклада:

(1) Ф. Гнутов. Вербальные отображения на группе GL2// IV Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и информационные технологии". Сыктывкарский Государственный Университет им. П. Сорокина. 12 - 14 ноября 2020.

(2) Ф. Гнутов. Рекурсивные последовательности вербальных отображений групп PGL2,SL2// Международный вебинар "Actual problems of the theory of Algebraic groups". Российский Государственный Педагогический Университет им. А.И. Герцена. 16-18 декабря 2020.

По теме работы опубликовано три статьи в журналах, индексируемых наукометрическими базами данных Web of Science/SCOPUS.

[1] F. Gnutov, N. Gordeev, Recursive sequences of surjective word maps for the algebraic groups PGL2 and SL2, Arch. Math. 114, no. 6 (2020), 609-618.

[2] Ф. А. Гнутов, Н. Л. Гордеев, Об образе вербального отображения с константами простой алгебраической группы, Записки научных семинаров ПОМИ РАН, т. 478 (2019), 78-99.

[3] Ф.А. Гнутов, Об образе вербального отображения с константами простой алгебраической группы II, Записки научных семинаров ПОМИ РАН, т. 492 (2020), 75-93.

В статьях [1] и [2], опубликованных в соавторстве, автору принадлежит следующее: в работе [1] — вычисления необходимые для доказательства теоремы и доказательства следствий (i),(ii); в работе [2] — доказательства теорем 1 и 2.

Положения, выносимые на защиту.

Теорема 1. Пусть К - алгебраически замкнутое поле и ш = ш(ж, у) £ Т2 = (ж, у) такое, что ш(ж,у) = ж1 для каждого I £ Z. Тогда

1. для каждого слова

г(ж,у) := [[ж, [ж,ш]],ж[ж, [ж,ш]]ж-1]

соответствующее вербальное отображение гй: РСЬ2(К)2 ^ РСЬ2(К) сюръ-ективно;

2. существует число й = й(ш) £ N такое, что для слова г'(ж,у,г) = г(ж,у(ж, г) £ Т3 = (ж, у, г), где

V(ж,г) = [жм,ш(ж,г)], ж^[жм, ш(ж, г)]х-^ ,

вербальное отображение гй': 8Ь2(К)3 ^ 8Ь2(К) сюръективно.

Отметим, что в доказательстве Теоремы 1 непосредственно указывается как выбирать числа й из п.2 (это любое натуральное число, кроме конечного множества натуральных чисел, которое определяется ш).

Замечание 1. Слова г, г', построенные в Теореме 1, являются неразложимыми (см. ниже Лемму 1.2).

Замечание 2. В Теореме 1 рассматриваются слова от двух и трех переменных. Однако, заменяя слова г, г' словами дгд-1, дг'д-1, где д -слово от переменных, независимых от ж, у (соответственно ж, у, г), можно получить набор неразложимых сюръективных вербальных отображений от любого числа переменных.

Из Теоремы 1 получаем

Следствие 1. Пусть К - алгебраически замкнутое поле. Тогда

1. существует бесконечная последовательность сюръективных неразложимых вербальных отображений гйт: РСЬ2(К)2 ^ РСЬ2(К) (где т £ Н,гто £ Т2) такая, что для каждого т £ N выполняется следующее утверждение:

гт £ Т2 ^ гт+1 £

2. существует бесконечная последовательность сюръективных неразложимых вербальных отображений w'm: SL2(K)3 ^ SL2(K) (где m £ N,w'm £ F3) такая, что для каждого m £ N выполняется следующее утверждение:

w/m £ F3 ^ W'm +1 £ F3+1.

Используя также теорему Морозова-Джекобсона, получаем

Следствие 2. Для любой простой алгебраической группы G, определенной над полем характеристики ноль, существует бесконечная последовательность неразложимых вербальных отображений wm: G2 ^ G таких, что wm £ F2m \ F2m+1 и образ каждого отображения wm содержит все уни-потентные элементы группы G.

Используя особенности систем корней групп Br, Cr, D2r, Ej, Eg, F4, G2, получаем из Теоремы 1

Следствие 3. Для простой алгебраической группы G, относящейся к одному из типов Br ,Cr, D2r, E7, E8, F4,G2, существует бесконечная последовательность неразложимых вербальных отображений wm: G2 ^ G таких, что wm £ F3m \ F3m+1 и образ каждого отображения wm содержит все полупростые элементы группы G.

Отметим, что последовательности wm в следствиях 1-3 строятся по правилам пунктов 1 и 2 Теоремы 1, т.е. существует бесконечное число таких последовательностей в каждом из рассматриваемых случаев.

Доказательству Теоремы 1 и ее следствиям посвящена Глава 1 данной работы. Доказательство теоремы основано не только на прямых вычислениях. Принципиальное значение для доказательства имеет теория вербальных отображений с константами.

Существенно важным в Теореме 1 является тот факт, что отображение w строится по слову ш с теми же переменными x и у, что позволяет построить рекурсивную последовательность слов wm в группе F2 (или F3) из Следствий 1-3. Построение сюръективных вербальных отображений при прибавлении

независимых переменных — это несложное следствие Теоремы Бореля (см. п. 1.5.1).

Основной результат второй главы данной работы — описание слов с константами, для которых 1т п о гй^ — это в точности одна точка, т.е. "малых" вербальных отображений с константами. Здесь результат разбивается на две части. В первой части мы рассматриваем простые алгебраические группы типов А/, Л/, Еб, Е7,Е8 — т.е. группы, у которых все корни соответствующей системы корней имеют одинаковую длину, а во второй части — типов В/, С/, Т4, С2 — группы, корни которых имеют разную длину. Это связано с тем фактом, что для групп первого типа существуют так называемые тождества с константами, а для второго — нет (см.[9]).

Мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть С — простая присоединенная алгебраическая группа типа А/, В/, Еб, Е7, Е8. Далее, пусть — слово с константами из группы С. Множество 1т п о гй^ состоит из одной точки тогда и только тогда, когда — слово С-типа.

Таким образом, в данном случае все слова с "малым" образом 1т гй^ — это в точности слова С -типа.

Для случая групп В/, С/, Т4, С2 нам потребуется следующее определение. Элемент д £ С \ Z(С) называется малым полупростым элементом, если он сопряжен некоторому элементу £ £ Т, для которого а(£) = 1 для любого длинного корня а £ Л. Элемент д £ С называется малым унипотентным элементом, если он сопряжен некоторому корневому элементу жа(й) (й = 1) для какого-либо длинного корня а.

Теорема 3. Пусть С — простая присоединенная алгебраическая группа типа В/, С/, ,С2, определенная над полем, характеристика которого = 2,3. Далее, пусть — неединичное слово с константами из группы С, не содержащее среди констант малые полупростые и малые унипотентные элементы. Тогда множество 1т п о гй^ состоит из одной точки в том и только том случае, когда — слово С-типа.

Используя Теорему 2 мы получим следствие, которое является аналогом Теоремы (1) (Бандман-Зархина).

Теорема 4. Пусть К — алгебраически замкнутое поле. Пусть гйя : PGL2(K)п ^ РСЬ2(Х) — вербальное отображение с константами. Тогда либо любой неединичный полупростой класс сопряженных элементов группы PGL2(K) пересекается с образом гйя, либо — слово С-типа.

На самом деле мы доказываем более общий факт (Теорема 4'), а именно, если вербальное отображение гйя: SL2(K)п ^ SL2(K) не есть ± вербальное отображение С -типа, то его образ пересекает все нецентральные полупростые классы сопряженных элементов группы SL2(K).

Для доказательства Теорем 2 и 3 мы разработали метод редукции к локально конечным полям позволяющий свести исследование вербальных отображений с константами гйя: С (К)п ^ С(К) для произвольного алгебраически замкнутого поля К к случаю, когда К = Гр, где Гр — простое конечное поле характеристики р > 0, а Гр — его алгебраическое замыкание (некоторые вопросы теории вербальных отображений с константами, в частности исследуемые в данной работе, удобнее изучать именно над такими полями).

В третьей главе рассматриваются некоторые типы вербальных отображений с константами, для которых, используя результаты предыдущей главы, мы оцениваем их образы.

Следующая теорема является обобщением результата работы [13] о вербальных отображениях с константами "общего положения".

Теорема 5. Пусть С — простая алгебраическая группа и пусть

и>\,...,и)т+1 £ Гп, где г2 = 1,т> 1.

Тогда существует такое непустое открытое подмножество Ы С Сп, что для любой последовательности &\,...,&т £ Ы отображение

п о гя: Сп ^ Т

где

= • • • ^т^т^т+1,

доминантно.

Также используя Теорему 4 и специфику систем корней Вг, Сг, , Е7, Е§, Т4, С2 доказываем следующую теорему.

Теорема 6. Пусть С — простая алгебраическая группа типа Вг, Сг, В2г,Е7,Е8,Т4,С2 и пусть Т < С - зафиксированный максимальный тор. Далее, пусть

= • • • ^т^т,

где г £ = 1, где £ = {а1,...,ат} С Т — некоторое множество

регулярных элементов. Тогда образ 1т гй^ вербального отображения гй^ : Сп ^ С пересекает любой полупростой регулярный класс элементов группы С.

Терминология и обозначения. В данной работе используются следующие обозначения и соглашения:

N — множество натуральных чисел; Z(С) — центр группы С; [ж, у] = жуж-1у-1 — коммутатор ж, у £ С; о^ д — порядок элемента д £ С;

1 также означает единичный элемент группы; для С = 8Ь2(К) через ±1 мы обозначаем матрицу ^ ^ ^

К — алгебраически замкнутое поле; еЬ К — характеристика поля К. Ниже мы отождествляем алгебраическую группу С с группой К-точек С(К);

Для данного слова г £ обозначим гй соответствующее вербальное отображение группы С; 1т гй — образ вербального отображения гй. Вербальное отображение гй называется разложимым или неразложимым, если г разложимо или неразложимо соответственно.

Глава 1. Последовательности сюръективных вербальных отображений на группах PGL2, SL2

Данная глава посвящена доказательству Теоремы 1 и Следствиям 1-2. В данной главе мы рассматриваем только 2 случая G = SL2 = SL2 (K) или G = PGL2 = PGL2(K). Топология на G — топология Зарисского.

Обозначим через T — группу диагональных матриц, B — группу верхнетреугольных матриц, U — группу верхнетреугольных унипотентных матриц в SL2(K).

1.1. Предварительные результаты

1.1.1. Разложимые вербальные отображения.

Слово w(x\,..., xn) G Fn будем называть разложимым словом, если

w(x\,..., xn) = w' (x[,..., x'k)w2(x'k+i,..., x'n) (1.1.1)

для некоторого множества образующих x'l,...,x'n свободной группы Fn (например, слово xyx-1 разложимо, так как оно может быть записано в виде x'y', где x' = xy,y' = x-1). Далее, существует автоморфизм Ф: Fn ^ Fn такой, что Ф(^) = xi. Следовательно

w'(xi, ...,xn) = Ф(w(xl,..., xn))

для некоторого слова w' G Fn (например, если w(x,y) = xyx-1, w'(x, y) = xy,x' = xy,y' = x-1, то автоморфизм Ф-1: F2 ^ F2, определенный формулами Ф-1^) = xy, Ф-1(у) = x-1, то Ф-1(w'(x,y)) = Ф-1(x)Ф-1(y) = xyx-1 = w(x,y)). Из 1.1.1 получаем равенство

w'(x1, ...,xn) = Ф(w(xl,..., xn)) = w'' (xh..., xk )w2 (xk+1,..., xn). (1.1.2)

Лемма 1.1.1. Разложимое вербальное отображение w: Gn ^ G простой алгебраической группы G сюръективно.

Доказательство. Образы вербальных отображений w(x1 ,...,xn) и w'(x1,... , xn) совпадают, так как w, w' являются Ф-сопряженными ([14], Prop. 1.1). Из 1.1.2 следует, что w' — разложимое вербальное отображение, а значит

оно сюръективно ([14], Corollary 1.3) и следовательно вербальное отображение w(xi,..., xn) также сюръективно.

□

Лемма 1.1.2. Пусть w Е F^ = [Fn,Fn], где n = 2 или n = 3. Тогда w — неразложимое слово.

Доказательство. Если w Е Fn (где n = 2,3) разложимое слово, то w можно представить в виде произведения 1.1.1, где одно из слов является словом от одной переменной xi, которая является образующей для Fn и следовательно w Е [Fn, Fn]. □

1.1.2. Унипотентные элементы в образе вербального отображения.

Образ каждого нетривиального вербального отображения

w: SL2(K)n ^ SL2(K)

содержит все элементы группы SL2(K) кроме, возможно, —1 и ±u, где u — нетривиальный унипотентный элемент ([1, 13]). Поскольку K алгебраически замкнуто, то u Е Im w тогда и только тогда, когда каждый унипотентный элемент лежит в Im w ([12]). Следовательно проблема сюръективности w для группы SL2(K) является проблемой существования в Im w элементов ±u и элемента —1. Если мы знаем только, что 1 = u Е Im w, то соответствующее вербальное отображение w: PGL^(K) ^ PGL2(K) сюръективно. То есть, для доказательства первой части теоремы необходимо найти унипотентный элемент u =1 в Im w, а для доказательства второй части необходимо найти элементы —1, ±u Е Im W.

1.2. Доказательство Теоремы 1 1.2.1. Некоторые формулы для коммутаторов в SL2(K).

( а11 а12\ ¡в 0 \

Для любого а = £ SL2(K), л = _, £ Т мы имеем

2

а21 а2^/ \0 в

2

(1.2.1)

а] = Л + (1 - в2)а12а21 (в2 - 1)апа12 \

у (в-2 - 1)а21а22 1 + (1 - в-2)а12а21)

Доказательство.

в 0 \ (ац /в-1 0\ / а22 -а12

0 в-1) \а21 а22 \ 0 в) 1-а21 ап

ац в2аМ / а22 -аМ = / апа22 - в2а12а21 (в2 - 1)апа12 в-2а21 а22 ) \-а21 ац ) у (в-2 - 1)а21а22 аиа22 - в-2а^а21

а11 а22-а12а21 =

1 /1 + (1 - в )а12а21 (в - 1)аца12 (в-2 - 1)а21а22 1 + (1 - в-2)al2a2lJ

□

Подставим а22 = 0 в а. Тогда а12а21 = - det а = -1. Из 1.2.1 получим

[«. а] = ( '02 (в2 -Да"а12] • (1.2.2)

в2 Ь\ . в2 Ь' .

Далее, для матриц Ь = 0 , Ь = 0 получим

у0 в-у у0 в-2

[ь, ы=в4(Ь - Ь,);в-2 - Ч (1.2.3)

Доказательство.

в2 Ь \ (в2 У \ (в-2 -Ь\ (в-2 -Ьг

0 в-2/ \ 0 в-2 \ 0 в2 М 0 в2

54 &5-2 + Ь^Л /V4 -&52 - Ь^Л _ /1 54(Ь - Ь/)(5-2 - 52)

О 5-4 ) у 0 54 У = V0 1

□

Для матрицы ш = ^ 0 ^ , где 6 £ К*, получим

[ш,*ш*-1] = . (1.2.4)

1.2.2. Множество Т.

Рассмотрим слово вида

о>(ж,у) = ж^1 уС1 ••• ж4уСк, где &{,Сз = 0 для г> 1,7 < к. (1.2.5)

Если подставить ж := д для некоторого д £ 8Ь2(К) в 1.2.5, то получим выражение

^(д,у)= д^1 уС1 ••• д4уСк, где ^ = 0 для г> 1,7 < к. (1.2.6)

Это непостоянное слово с константами при условии, что д^ = ±1 для каждого = 0 (если ¿1 = 0 опускаем д0 в 1.2.6). В частности, если д — элемент бесконечного порядка, выражение 1.2.6 является словом с константами. При этом если д^ = ±1 для некоторого ^ = 0, то выражение 1.2.6 не является словом с константами согласно нашему определению. Положим

Т^ := {- £ Т | ^ = ±1 для каждого ^ в 1.2.5, где^ = 0}. Из определения Т^ следует, что

Т \ Т^ — конечное множество (1.2.7)

и

- £ Т^ ^ ¡х>(1, у) — непостоянное слово с константами. (1.2.8)

Лемма 1.2.1. Пусть - £ Т^. Существует непустое подмножество С Т такое, что для любого § £ слово

-,у) = [[^(-,у)], §[§,^(1, у)]§-1]

является непостоянным словом с константами и, следовательно, д) =

1 для некоторого д £ 8Ь2 (К) .

Доказательство. Выражение

-,у) = [(М-,у)ГЧ-е,у)-1), у)§-1 ^(-,у)-1§-1)] = (§^(-,у)§-1^(-,у)-1)(§2^(-,у)§-1^(1,у)-1 Г1) х

х (¿(-, у)М-, у)-1§-1) (V (-, у )М-, у)-1Г2>

является произведением вида

^ ¿(-,у)±^2 ^(-,у)±1 ••• ,

где ¿1,^2,-.. = ±1, ±2. При этом все степени -т в выражении -,у) не равны ±1 и это выражение содержит степени у (следует из определения Т^). Следовательно, можно представить слово у) в виде произведения

М1(§, -У1 М2(§, • • • м(§, мА+1(§, -),

где -) — слово вида -т = ±1, или -т§с-1, где с = 0. То есть, только для конечного числа элементов § £ Т мы имеем -) = ±1 для некоторого ¿. Если исключить такие элементы из Т, то мы получим множество такое, что для каждого § £ Я^ слово у) является непостоянным словом с

константами -) = ±1. □

1.2.3. Некоторые специальные элементы в 1т ¿й(ж,у).

Образ вербального отображения ¿(ж, у) на 8Ь2 х 8Ь2 содержится в группе 8Ь2. Поэтому мы можем записать ¿й(ж, у) в виде

\ /^¿й11(ж,у) ¿й12(ж,у) и(ж,у) = „

\^21(ж,у) ¿й22(ж,у)/ Зафиксируем - £ Т^. Для фиксированного г £ К * определим множество

« 10 0 д 0 ^ | •,« £ к }с «Ь2(К).

Для уг(у, и) £ Уг (при фиксированном г) получим

Ш (t, Уг (у,и))=1 „ С SL2(K),

усй21 (1, г; V, и) Ш22^,г; у,и)) где Ш^(1, г; у,и) — многочлены от двух переменных у,и. (Действительно, Ш(1, уг(у, и)) — это матрица из SL2(K), которая получается подстановкой х := 1, у = уг(у, и) в слово ш = х3'1 уС1 • • • х3куСк.)

Лемма 1.2.2. Существует элемент г0 = г0(1) £ К * такой, что многочлен

Ш12(1,го; у,и)ш21(1, го; у,и) от переменных у,и не является постоянным. Доказательство. Предположим, что для каждого г £ К *

ш (1,уг(у,и)) = ^ • (1.2.9)

V 0 Ш22(1,г; V, и)у

Множество иг£к* Уг является большой клеткой Гаусса в SL2(K) и, следовательно, является открытым подмножеством в SL2(K). Так как Ш(1, у) — непрерывное отображение на SL2(К), то из 1.2.9 получаем

Ш(1,д) £ В = Ти для любого д £ SL2(К). (1.2.10)

Далее, Ш(1, д) = ш(1, д) для каждого д £ SL2(K) по определению вербального отображения. Следовательно, из 1.2.10 получаем

Ш(1,д) £ В = Ти для любого д £ SL2(K). (1.2.11)

Теперь из 1.2.11 следует

[[^^Щ^^д)], Ш^^-1] = 1 для любых ^ £ Т и д £ SL2(K).

£Т £В £Т £В

S-V-' 4-V-'

£и £и

(1.2.12)

Однако, для 1 £ Тш, ^ £ Иъ,ш выражение 1.2.12 противоречит лемме 1.2.1. Следовательно Ш21(1, г; у,и) = 0 для некоторого г £ К*. Те же самые аргументы показывают, что Ш12(1, г; у,и) = 0 для некоторого г £ К*. Поскольку Ш21(1, г; V, и), Ш12(1, г; у,и) — многочлены от г,г-1,у,и (1 зафиксировано), равенство Ш21 (1, г; у,и) = 0 (или Ш12(1, г; у,и) = 0) возможно только

для конечного числа элементов г и поэтому существует г0 £ К * такое, что ¿й12(-, г0; V, м)бй21(-, г0; -и,и) не является нулевым многочленом.

Ненулевой многочлен ¿й12(-, г0; V, м)бй21(-, г0; г>,и) от г>,и не может быть

постоянным, потому что для у = уГо(0,0) = г := ( 0 01 ) получаем

V0 г0 )

-и ч /й11 (-,Г0;0,0) ¿12(1, Г0;0,0)\ ¿й(1,г) = _ , ч _ , ч £ Т

(1,Г0;0,0) ¿22(1, Г0;0,0)^

и, следовательно, ¿й12(1, г0;0,0)бй21(1, г0; 0, 0) = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гнутов Федор Александрович, 2021 год

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] T. Bandman, Yu. G. Zarhin, Surjectivity of certain word maps on PSL(2, C) and SL(2, C), Eur. J. Math. 2 (2016), 614-643.

[2] A. Borel, On free subgroups of semisimple groups, Enseign. Math. 29 (1983), 151-164.

[3] A. Borel. Linear Algebraic groups. 2nd enl.ed., Graduate texts in mathematics 126. Springer-Verlag New York Inc.1991.

[4] N. Bourbaki. Elements de Mathematique. Groupes et Algebres de Lie, Chap. IV, V, VI, 2eme edition. Masson, Paris 1981.

[5] R. W. Carter. Simple groups of Lie type. Pure and Applied Mathematics, Vol. 28. John Wiley & Sons, London-New York-Sydney, 1972.

[6] R. W. Carter. Finite Groups of Lie Type. Conjugacy Classes and Complex Characters. A Wiley -Interscience Publication, John Wiley& Sons, Chichester-New York-Bribane-Toronto-Singapure, 1985.

[7] V. Chernousov, E. W. Ellers, N. Gordeev, Gauss decomposition with prescribed semisimple part: short proof, J. Algebra 229 (2000), no. 1, 314-332.

[8] E. W. Ellers, N. Gordeev, Gauss decomposition with prescribed semisimple part in classical Chevalley groups, Comm. Algebra 22 (1994), no. 14, 5935Ц5950.

[9] N.L. Gordeev, Freedom in conjugacy classes of simple algebraic groups and identities with constants, Алгебра и Анализ, том 9 (1997), выпуск 4, 63-78;перевод B:St. Petersburg Math.Jouranal, vol.9 (1998), 709-723.

[10] Ф.А. Гнутов, Н.Л. Гордеев, Об образе вербального отображения с константами простой алгебраической группы, Записки научных семинаров ПОМИ РАН, т. 478(2019), 78-99.

[11] F. Gnutov, N.Gordeev, Recursive sequences of surjective word maps for the algebraic groups PGL2 and SL2, Arch. Math. (Basel) 114 (2020), no. 6, 609Ц618.

[12] Н. Л. Гордеев, Б. Э. Кунявский, Е. Б. Плоткин, Вербальные отображения и вербальные отображения с константами простых алгебраических групп, Докл. Акад. Наук, 2016, том 471, е 2, с. 136-138. перевод в : Dokl. Math. 94 (2016), no. 3, 632 - 634.

[13] N. Gordeev, B. Kunyavskii, E. Plotkin, Word maps, word maps with constants and representation varieties of one-relator groups, J. Algebra 500 (2018), 390-424.

[14] N. Gordeev, B. Kunyavskii, E. Plotkin, Word maps on perfect algebraic groups, Intern. J. Algebra Comput. 28 (2018), No. 8, 1487-1515.

[15] Н. Л. Гордеев, Б. Э. Кунявский, Е. Б. Плоткин, Геометрия вербальных отображений в простых алгебраических группах над специальными полями, Успехи Мат. Наук 73 (2018), no. 5(443), 3-52; перевод в: Russian Math. Surveys 73 (2018), no. 5, 753-796

[16] A.A. Klyacko, M.A. Ryabtseva, The dimension of solution sets to systems of equations in algebraic groups, arXiv:1903.05236v1 [math.GR] (2019).

[17] А. Г. Курош, Теория групп, Издание третье, дополненное, "Наука", Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1967 г.

[18] В.В. Нестеров, А.В. Степанов, Тождества с константами групп в группе Шевалле типа F4, Алгебра и Анализ, том 21 (2009), выпуск 5, 196-202; перевод в: St. Petersburg Math. J. 21 (2010), no. 5, 819Ц823.

[19] T. A. Springer. Linear Algebraic Groups, 2nd edition. Progress in Mathematics 9. Birkhauser Boston, Boston MA, 1998.

[20] T. A. Springer, R. Steinberg, Conjugacy classes, in: "Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups", Lecture Notes Math., vol. 131, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970, pp. 167266.

[21] R. Steinberg, Лекции о группах Шевалле, "Мир" , Москва 1975.

[22] A. Thom, Convergent sequences in discrete groups, Canad. Math. Bull. 56 (2013), 424-433.