Классифицирующие пространства алгебраических групп и их инварианты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук НЕШИТОВ Александр Юрьевич

• НЕШИТОВ Александр Юрьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук НЕШИТОВ Александр Юрьевич

Введение

Глава 1. К-теория классифицирующих пространств расщепи-мых редуктивных групп

1.1. Этальное классифицирующее пространство

1.2. Эквивариантная К-теория

1.3. ^-теория мотивных пространств

1.4. Формулировка основного результата

1.5. Доказательство основного результата

Глава 2. Когомологические инварианты и кручение в группе Чжоу версального многообразия флагов

2.1. Когомологические инварианты

2.2. Классифицирующее многообразие и нереальный торсор

2.3. Абстрактный класс Черна

2.4. Основной результат

2.5. Полуразложимые инварианты простых групп

2.6. Пример полуразложимого инварианта, не являющегося разложимым

2.7. Некоторые приложения

Заключение

Литература

Введение.

Для топологической группы С хорошо известно понятие главного С-расслоепия: р: Е ^ В является главным С-расслоепием, если С действует свободно действует на Е, р осуществляет изоморфизм Е/С = В, и существует открытое покрытие и, слой над которым изоморфен тривиальному С-расслоению:

С х и—

и->в

Будем обозначать через ЕгЬс(Х) множество классов изоморфности главных С-расслоений над X. В данном контексте универсальным С-расслоением называется главное С-расслоение Е ^ В, где ^-стягиваемое пространство. Тогда любое непрерывное отображение /: X ^ В определяет главное С-расслоение /*Е над X, что задает отображение ф: Ноттор(Х,В) ^ ЕгЬо(Х).

Теорема классификации утверждает, что для любого СЖ-комплекса X отображение ф индуцирует изоморфизм между гомотопическими классами отображений и классами изоморфности главных С-расслоений над Гл.23, §8]).

[Х,В] ^ ЕгЬс(Х)

Гомотопический класс базы универсального С-расслоения определен однозначно. Существует каноническая симплициальная конструкция построения универсального С-расслоепия в следующем виде. Пусть ЕС* - симплициаль-ное топологическое пространство, с множеством п-спмплексов ЕСп = Сп+1, в котором грани заданы как ¿¡(д1,..., дп+1) = (д1,... 9г • 9г+1,..., 9п+\) при г > 0 и ¿0(д1,. . . ,дп+1) = (92,... ,9п+1), а вырождения заданы по формуле в^д]^,..., дп+1) = (д1,... ,9—1,1,9г,... ,9п+\). Фактор под действием группы

С существует в категории симилициальиых топологических пространств -это симплициальное пространство ВС*^ где ВСп = Сп = ЕСп/С7 а операции граней и вырождений индуцированы с граней и вырождений ЕС*. Тогда топологическая реализация ЕС = 1ЕС*1 ^ 1ВС*1 = ВС дает пример универсального С-расслоения [1, Гл. 16, §5].

Таким образом, гомотопический класс ВС является важным инвариантом топологической группы С, поэтому представляет интерес вычисление различных теорий когомологий от ВС. Важным результатом является классическая теорема пополнения Атьи-Сегала([2]), утверждающая, в частности, существование изоморфизма для компактной группы Ли С:

ЩС)А = Ко(ВС)

где ЩС) - кольцо представлений группы С, Я(С)А - его пополнение в идеале аугментации, а К0(ВС) - топологичеекая ^-теория классифицирующего пространства группы С.

Вызывает интерес рассмотрение аналогичных вопросов в контексте алгебраической геометрии. Будем рассматривать конструкцию алгебраического аналога классифицирующего пространства для линейной алгебраической группы С, описанную Б. Тотаро в [3]. В конструкции [3] в качестве стягиваемого пространства со свободным действием группы С рассматривается его приближение последовательностью некоторых открытых подсхем и\ в представлениях группы С. В данном контексте К0(ВС) определяется как предел К0(и1/С). Одним из результатов работы [3] является построение изоморфизма между таким образом определенного К0(ВС) и пополнения кольца представлений Я(С)А.

Построение В. Воеводским и Ф. Морелем в работах [4], [5], [6] А^теории гомотопии над базовым полем к позволило систематически переводить многие топологические конструкции в контекст алгебраической геометрии.

В качестве аналога топологической группы G имеет смысл рассмотреть аффинную алгебраическую группу G, а в качестве аналога главных G-расслоений естественно рассматривать G-торсоры в этальной топологии, а именно G-эквивариантные морфизмыр: Y ^ В, где действие G на В тривиально, и существует этальное накрытие U ^ В, такое что Y х^ U = G х U как многообразия с G-действием. Будем обозначать через H^1t(B,G) множество этальных торсоров с базой В.

Для действия алгебраической группы G на многообразии X будем обозначать через X/G пучок в этальной топологии, ассоциированный с предпуч-ком W ^ X(W)/G(W) для W Е Sm&. Будем говорить, что фактор X/G представим гладким многообразием Y, если пучок X/G изоморфен пучку Homsmk (-,Y).

Аналогом классифицирующего пространства в этом случае является этальное классифицирующее пространство BetG, построенное в работе [4]. В симплициальной гомотопической категории Hs(k) оно классифицирует G-торсоры в этальной топологии, а именно существует естественный изоморфизм ([4, §4.1, Предложение 1.16])

HomUs{k)(U,BetG) = Hjt(U,G)

Алгебраическая ^-теория представима в пунктированной A 1 -гомотопической категории, следовательно, ее можно распространить с гладких многообразий на все мотивные пространства по формуле

К(Х) = НотнА1 (k).К А *, BGL х Z)

для произвольного пунктированного мотивного пространства А".

Таким образом, определена ^-теория пунктированного мотивного пространства BetG+ = BetG U Spec к и естественно задаться вопросом, выполнен ли мотивный аналог классической теоремы Атьи-Сегала для этального

классифицирующего пространства BetG. Исследованию данного вопроса посвящена глава 1, основным результатом которой является теорема 1:

Теорема. 1 Пусть к-поле, G- связная расщепимая редуктивная группа над к. Тогда, существует, изоморфизм

Kn(G; kfIo = Kn(BetG)

где BetG - этальное классифицирующее пространство Воеводского-Море-ля (см. 1.1), Kn(BetG) - К-теория пунктированного мотивного пространства BetG+, определенная в

Здесь Kn(G; к) - эквивариантная ^-теория Томасона([7])(см. раздел 1.2) базового поля, определяемая как ^-теория категории G-представлений над к. Группа Kn(G; к) является модулем над кольцом K0(G; к) = R(G). В кольце R(G) рассмотрим идеал аугментации Iq7 равный ядру отображения степени deg: R(G) ^ Z. Под Kn(G; к)^ понимается пополнение модуля Kn(G; к) в идеале аугментации Iq.

Для доказательства теоремы использован следующий метод: Согласно [4, §4.2], в гомотопической категории Нд (к) существует представление этального классифицирующего пространства BetG в виде направленного копредела гладких схем: BetG = coMmBG^ где BGi £ Sm^. При этом существует система гладких многообразий (см. раздел 1.1) EGi,i ^ 0 со свободным G-действием, связанные системой G-эквивариантных вложений EGi ^ EGi+\. При этом гладкое многообразие BGi представляет фактор

EGi/G.

Таким образом для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что естественное отображение Kn(BetG) ^ l^im Kn(BGi) является изоморфизмом, а также построить изоморфизм Kn(G; к)^а ^ ^im Kn(BGi).

Для доказательства первого утверждения используется точная последовательность Милнора:

0 ^ ^mlKn+l(BGi) ^ Kn(BetG) ^ ¡¿mKn(BG{) ^

Таким образом, достаточно доказать, что Ijm1 Kn+1(BGi) = 0. Это сделано в предложении 1 раздела 1.5 с помощью редукции к Борелевской подгруппе В следующим образом: отождествляя Кп(BGi) с эквивариантной ^-теорией Kn(G; EGi)J получим, согласно лемме 2 и 8, что последовательность Kn(BGi) является прямым слагаемым в последовательности Kn(EGi/B). Далее, рассмотрим максимальный расщепимый тор Т в В, пусть г обозначает ранг Т. Заметим, что Kn(EGi/B) = Kn(EGi/T) в силу гомотопической инвариантности ^-теории. Для максимального тора лемма 10 позволяет отождествить \jml Kn+1(EGi/T) с l^m1 Kn+1((Pi)r), так как (Р^г - система гладких многообразий, аппроксимирующая этальное классифицирующее пространство расщепимого тора Т. Для системы (Р^г явные вычисления показывают? чт0 l^m1 Kn+1((Pi)r) = 0. Тогда l^m1 Kn+1(EGi/B) = 0, следовательно ¡¡im1Kr+i(BGi) =

Для доказательства второго утверждения используем эквивариант-пую ^-теорию Томасона. Построим отображение Kn(G; k) ^ Kn(BGi) с помощью гомоморфизма обратного образа в эквивариантной ^-теории: Фп^ Kn(G; к) ^ Kn(G; EGi) = Kn(BGi). Система даст отображение Фп : Kn(G; к) ^ \im Kn(BGi). Согласно лемме 13, модуль \im Kn(BGi) полон в le-адической топологии. Идея доказательства также заключается в редукции к Борелевской подгруппе: отображение пополнения \im Kn(BGi) ^ \im Kn(BGi)^a является ретракцией отображения пополнения \im Kn(EGi/В) ^ ^Kn(EGi/B)jg, которое является изоморфизмом благодаря явному вычислению для случая тораТ (лемма 11), а также тому факту, что /у-адическая топология совпадает с Iq • R(T)-адической топологией па

7

R(T) (лемма 12), где рассматривается естественное вложение R(G) Ç R(T).

Таким образом, отображение фп : Кп(G; k) ^ j^m Kn(BGi) индуцирует гомоморфизм фп : Kn(G; k)jG ^ ^jm Kn(BGi), являющийся ретракцией изоморфизма Кп(Т; k)jT ^ lim Kn(EGi/T) согласно лемме 14. Тогда фп также является изоморфизмом.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию другого важного объекта, связанного с классифицирующим пространством - версального тор-сора. Будем рассматривать произвольное базовое поле F и расгцепимую полу простую алгебраическую группу G над F. В данном контексте удобно рассмотреть приближение U/G классифицирующего пространства, где ^-открытая подсхема в некотором представлении У группы G, причем коразмерность дополнения V \ U больше двух, действие группы G на U свободно, и фактор-пучок ^/G представим многообразием в Sm^.

Будем называть торсор U ^ U/G классифицирующим торсором. Для любого этального G-торсора Y ^ Spec L пространство (Y х U)/G предста-вимо и является открытой подсхемой в многообразии (Y х V)/G. При этом (Y х V)/G ^ Y/G = Spec L является векторным расслоением над Spec L. Тогда в случае бесконечного L найдется L-точка Spec L ^ (Y х U)/G и композиция х : Spec L ^ (Y х U)/G ^ U/G даст декартову диаграмму

Y-

Spec L-^ U/G

Таким образом, любой торсор над Spec L может быть получен специализацией торсора U ^ U/G. Определим версальный торсор идеп как слой торсора U ^ U /G над общей точкой: идеп = Spec К хц/а U, где К = F (U/G) - поле частных многообразия U/G. Таким образом, версальный торсор можно рассматривать как наиболее общий торсор над полем. Представляет интерес рассмотрение соответствующего многообразия флагов Xдеп = Uдеп/В.! которое

является примером скрученной формы расщепнмого многообразия флагов G/B. В силу свойства версальности многообразие Xдеп может быть рассмотрено как скрученное многообразие флагов наиболее общего типа. Важным инструментом для изучения геометрии X9еп является кольцо Чжоу CH(X9еп). Кольцо CH(X) для скрученного многообразия флагов X изучалось многими авторами, в частности в работах Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда [8], Де-мазюра [9], в которых рассматривалась свободная от кручения часть CH(X). Кручение в группах Чжоу скрученного многообразия флагов привлекало внимание многих авторов. В частности, в работе Карпенко [10] рассматривалось кручение в группах Чжоу коразмерности два от многообразий Севери-Брау-эра. В работах Э. Пера [11] и A.C. Меркурьева [12] рассматривалась связь между кручением в группе Чжоу коразмерности два для скрученного многообразия флагов и когомологиями Галуа поля функций данного многообразия.

Основная цель второй главы - установление связи между группами Чжоу версального многообразия флагов расщепимой полупростой группы G и когомологическими инвариантами данной группы. Понятие когомологических инвариантов может рассматриваться как аналог характеристических классов в топологии. Исторически первым примером когомологического инварианта может считаться инвариант Хассе-Витта квадратичных форм. Дальнейшее развитие теория когомологических инвариантов получила в работах Серра ([13], [14]) и Роста ([15], [16]). Для алгебраической группы G когомологический инвариант степени г со значениями в Галуа-модуле М - это отображение, сопоставляющее каждому торсору группы G над некоторым полем L/F элемент в когомологиях Галуа Нi(L,M). Данные отображения согласованы с расширениями полей, т.е. имеется естественное преобразование функторов Н 1(-,G) ^ Hi(-,M) па категории расширений полей над F. Инвариант а называется нормализованным, если для любого расширения полей L/F выполнено а(е) = 0, где е - тривиальный торсор над L. Легко

видеть, что множество lnvl(G,M) инвариантов степени i со значениями в Галуа-модуле М является группой, и есть разложение в прямую сумму

Inv'iG, М) = lnvi(G, М)norm Ф Hi(F, М),

где lnvi(G,M)norm обозначает подгруппу нормализованных инвариантов.

Особый интерес представляет модуль ГaлyaQ/Z(d), который определяется как прямая сумма ®Qp/Zp(d) по всем простым р, где для р, отличного от характеристики поля F Галуа-модуль Qp/Zp(d) определен как прямой предел \Jmn а в случае когда р совпадает с характеристикой поля F, модуль Qp/Zp(d) определен с помощью логарифмических дифференциалов де Рама-Витта([17, 1.5.7]).

Для полупростой расщепимой группы G группа нормализованных инвариантов lnv2(G, Q/Z(1))norm совпадает с группой характеров группы С, где О-ядро одпосвязпого накрытия G ^ G. Для каждого элемента а Е Fх и инварианта b Е lnv2(G, Q/Z(1))norm U-произведение в когомологиях дает инвариант

(ß) U Ъ Е lnV3(G, Q/Z(2))narm.

Будем называть подгруппу, порожденную инвариантами такого вида, группой разложимых инвариантов. Фактор-группу lnv3(G, Q/Z(2))norm/ lnv3(G, Q/Z(2))dec будем обозначать через lnv3(G, Q/Z(2))ind и называть группой неразложимых инвариантов.

Другим важным объектом является группа полуразложимых инвариантов lnv3(G, Q/Z(2))s¿eс, состоящая из инвариантов а, для которых существует набор инвариантов bi Е lnv2(G, Q/Z(1)), таких что для любого расширения полей L/F и любого торсора Y Е Н найдутся константы ai Е Lx,

такие что

a(Y) = Z>i) U HY).

Основным результатом главы 2 является теорема 2, которая дает следующую короткую точную последовательность, связывающую когомологические

2

Теорема. Пусть G-полупростая расщспимая группа над полем F. Тогда, существует короткая точная последовательность

0 ^ Inv3(G, 2)sdec/ Inv3(G, 2)¿ее ^ Inv3(G, 2)md ^ CH2(X°en)tors ^

При этом существует следующее комбинаторное описание левого члена данной последовательности в терминах решетки характеров максимального расгцепимого тора Т группы G. Пусть Т*-решетка характеров тора Т и Т* С Л соответствующее включение в решетку весов. Рассмотрим включение соответствующих групповых колец Z[T*] С Ж[Л]. Рассмотрим отображение, соответствующее эквивариантному классу Черна между эквивари-антной ^-теорией и эквивариантными группами Чжоу: q: К0(Т; Spec F) ^ CHp(Spec F). Отождествив К0(Т; Spec F) с Z[T*] и CHp(Spec F) = Sym^T*), заметим, что класс Черна

с,: Ъ[Т*] ^ Sym 1(Т*)

может быть задан комбинаторно по формуле

С*(х) = ^ Ci(x)t\

где с^: Z[T*] ^ Sym^(T*)[[£]]x - гомоморфизм групп, заданный формулой

с^(ех) = 1 + Xt.

В кольце Ж[Л] рассмотрим идеал аугментации /, и обозначим через Iw идеал, порожденный элементами L Обозначим через

ъ\Т*]у подкольцо Ж-инвариантных элементов в ъ\Т*]. Тогда фактор-группа 1пу3(с, 2)3(1ес/ 1пу3(с, 2)(1ес может быть описана в терминах абстрактного класса Черна:

1пу3(с, 2) 3¿ес/ 1пу3(с, 2)¿ес = фут П ъ[Т*])/с2(1[т)

Вычисления в разделе 2.5 используют полученное комбинаторное описание для доказательства совпадения групп разложимых и полуразложимых инвариантов для всех типов простых расгцепимых групп. Наибольшую сложность при этом представляют группы С4т,т ^ 1 и И4т,т ^ 2, для которых проведены единообразные доказательства, а также случай РС08, для которого проведено явное вычисление.

Также стоит отметить, что в общем случае группы полуразложимых и разложимых инвариантов могут не совпадать. В разделе 2.6 приведен пример для группы С = 804. В этом случае рассматривается инварианта Ь17 заданный по формуле

Ь\({а\,а2,аз,а4)) = («1) и (а2) и («з),

где {а1,а2,аз,а4) - квадратичная форма с тривиальным дискриминантом. Инвариант Ь1 является нетривиальным и полуразложимым, при этом в случае алгебраически замкнутого базового поля Г все разложимые инварианты тривиальны, следовательно, 61 дает пример полуразложимого инварианта, не являющегося разложимым.

Результат главы 2 позволил получить следующие приложения, обсуждаемые в разделе 2.7. Первым приложением является вычисление кручения в

2

расгцепимых групп.

Следующее приложение рассмотрено в разделе 2.7.2: Рассмотрим инвариант Д2п группы РС8р2п со значениями в Нз(-, /Ж/2Ж), сконструированный

в работе [18]. Торсоры для РС8р2п соответствуют центральным простым алгебрам А с симплектической инволюцией а. При этом класс инварианта А2п(А, а) по модулю образа (Ьх и [Л]) не зависит от инволюции а и дает элемент

. н Л2п(Л)

Согласно [18] инвариант Л2п не является разложимым, следовательно, не является полуразложимым согласно основной теореме главы 2, следовательно, класс А2п(А) является нетривиальным для общей центральной простой алгебры А, что отвечает на вопрос, поставленный в работе [18]. Ранее такой же ответ был дан для случая п = 4 в работе [19].

В разделе 2.7.3 рассматривается случай С = БЬп/^т. Торсоры для группы С соответствуют центральным простым алгебрам степени п экспоненты делящей т. Для такой алгебры А построен инвариант

. Н3(Ь, Ъ/кЪ(2))

^п,т(А) е ь-и т/к[А]

нетривиальность которого как и в предыдущем случае следует из главного

результата главы 2. Инвариант Ап,т для п = 2п,т = п совпадает с ранее

рассмотренным инвариантом А2п. При этом данный инвариант тривиален на

разложимых алгебрах.

Для доказательства результата главы 2 использована следующая стра-

т6гия *

Рассмотрим отображение эвалюации:

в: 1иу3(С, ^/Ъ(2)) ^ Н3 (К, 0_/Ъ(2)), в(а) = а(идеп)

вычисляющее значение инварианта а на версальном торсоре. Это отображение является вложением, согласно [20, Теорема А]

Согласно лемме 20 для любого нормализованного а образ в(а) лежит в ядре отображения Н3(К, Q/Z(2)) ^ Н3(К(Хдеп), 0_/Ъ(2)). Для любого

связного гладкого многообразиях есть короткая точная последовательность, возникающая благодаря спектральной последовательности Лере [21, Теорема 1.1]:

0 a CH2(X) a HAet(X, Z(2)) a H°Zar(X, П3(2)) a 0, (*)

где %3(2) - пучок в топологии Зарисского, ассоциированный с предпучком W A Hft(W, Q/Z(2)). Последовательность (*) функторнальна по X. Рассматривая случаи X = Spec К и X = Хдеп7 диаграммный поиск даст отображение S: ker(#3(^, Q/Z(2)) a Н3(К(Хдеп), Q/Z(2))) a Ш2(Х^п).

Отображение 5 вкладывается в точную последовательность согласно [12]:

А1((Хдеп)зер,К2)г A ker[#3(^, Q/Z(2)) a Н3(К(Хдеп)] a CR2(Xgen)

где (Хдеп)sер обозначает расшпренпе скаляров Хдеп xх Spec Кsер, а Г - группа Галуа сепарабельного замыкания Кsер/К. Лемма 21 показывает, что левый член последовательности совпадает с Кx 0 Л, ПРИ этом р(а 0 Л) = (a) U Р\(идеп)) где G Inv2(G,Q/Z(1)) - инвариант степени 2, отвечающий образу Л в С * = Л/Т *. Это позволяет заключить с помощью леммы 22, что инвариант является полуразложимым, тогда и только тогда, когда 5(0(a)) = 0 в CH2(Xgеп). При этом для любого нормализованного инварианта а образ 5(0(a)) лежит в ядре отображения расширения скаляров CH2(Xgеп) a CH2(Xgеп x х L), где L- некоторое поле расщепления тор-сора идеп a Spec К, следовательно 5(0(а)) лежит в подгруппе кручения CH2(Xgеп) ors Таким образом, точна последовательность

0 A Inv3(G, Q/Z(2))edec a Inv3(G, (^/Z^^^r-m A CHH2(X(Jen)tоrs.

Чтобы установить сюръективность отображения 6 о 0 и получить комбинаторное описание для фактора Inv3(G, Q/Z(2))s dec/ Inv3(G, Q/Z(2))dec, используется следующий метод. Рассмотрим отображение обратного образа

гCH: CH2( U/B) ^ CH2(Xgen). Это отображение сюръективно, так как естественное отображение г: X9en ^ U/B является пределом открытых вложений. Заметим, что CH2( U/B) = Sym2(T*). Для описания ядра гсн рассмотрим композицию

Ко(Т; SpecF) ^ Ko(U/B) ^ K0(Xen) ^ K0(Xen хк L) = Ko(G/B),

где L - поле расщепления торсора U9en ^ Spec К. Согласно [22], отображение расширения скаляров K0(X9en) ^ K0(X9en Хк L) инъективно. Заметим, что данная композиция совпадает с характеристическим отображением с: Z[T*] ^ K0(G/B), ядро которого, по теореме Стейнберга, совпадает с Iw П Z[T*]. Рассмотрев топологическую фильтрацию тг(U/B) па K0(U/B) и отождествив, согласно теореме Римана-Роха т2(U/B)/t3(U/B) с CH2( U/B), лемма 18 дает изоморфизм CH2(Xgen) = Sym2(T*)/SDec(G), где SDec(G) = с2(Iw П Z[T*}), а лемма 19 устанавливает изоморфизм CH2(Xgen)tors = Sym2(T*)w/ SDec(G).

Далее, используем результат работы [23], в которой построен изоморфизм Inv3(G, Q/Z(2))ind = Sym2(T*)w/ Dec(G), ще Dec(G) = C2(Z[T*]w). При этом отображение до О включается в коммутативную диаграмму

InV3(G, 2)norm ~ " CH2(X9en)tors

Sym2(T*)w/ Dec(G) —- Sym2(T*)w/ SDec(G) Тогда отображение

Inv3( G, Q/Z(2))norm ^ CH2(X9en)tora

сюръективно, а фактор Inv3(G, Q/Z(2))S(iec/ Inv3(G, Q/Z(2))dec = SDec( G)/Dec(G) = c2(Iw П Z[T*])/c2(Z[T*]w), что составляет первую часть утверждения теоремы

Для доказательства того факта, что полуразложимые и разложимые инварианты совпадают в случае простых групп, в разделе 2.5 проведен разбор всех типов простых расгцепимых ГруПп.

В силу того, что для любой односвязной группы С все нормализованные

жимые инварианты степени 3. Тогда 8Бее((7) = Бес(бг) и для произвольной группы С имеем цепочку неравенств

Бес(С) С 8Бес(С) С 8Бес(С) = Бес(С)

где С - односвязная накрывающая группы С. Это соображение позволяет получить утверждение для случая присоединенных группы типа Ап(п ^ 1), Вп(п ^ 2) Сп(п ^ 3,4 { п), Ип(п ^ 5,4 { п), Е6, Е7 и специальных ортогональных групп типа Вп(п ^ 4)., так как согласно вычислениям [23] и [24] в каждом из этих случаев Бес(С) = Бес(С).

Для случая групп С = 8Ьр /дрг для некоторых в ^ г > 0 ранее известные вычисления СН2(Хд еп)гогз в [10] дают равенство СН2(Хд еп)г ог 8 = 1пу3(с, Q/Z(2))n¿, откуда согласно главной теореме имеем 8Бес(С) = Бес(С). Для общего случая группы С = ЭЬп/дт использована редукция к случаю С = /дрг.

Для случая присоединенных групп типа т(т ^ 1) использована проекция /: Ж[А] —> Z[Л/T*]. Для пропзвольного х € /у П Z[T*] имеем /(х) = 0, что дает достаточные условия на коэффициенты разложения х по образующим идеала /у, чтобы проверить, что с2(х) € Бес(С). Аналогичный метод используется для полуспинорных групп типа т,т ^ 1, что влечет случай групп Р008т,ш > 1, так как в этом случае Бес(Р008т) = Ъес(НБргщт) = БВес(НЗрт8т) С $Ъес(РС08т).

Для случая С = Р008 проделано компьютерное вычисление базиса пересечения /у+/4 ПZ[T*]. Далее, явная проверка показывает, что для каждого

элемента базиса ж имеем с2(х) Е ~Вес(С).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классифицирующие пространства алгебраических групп и их инварианты»

Актуальность и степень разработанности темы

Классифицирующие пространства являются важным инструментом в исследовании топологических ГруПп. Алгебраическая версия классифицирующего пространства для аффинных алгебраических групп рассматривалась такими авторами как Ф. Богомолов и Б. Тотаро. В работе Б. Тотаро [3] в качестве аналога К"0-теории классифицирующего пространства рассматривался предел Ко-групп гладких многообразий, играющих роль приближения к классифицирующему пространству, которое не существует в категории гладких многообразий. Построение В. Воеводским и Ф. Морелем мотивной гомотопической категории сделало возможным систематический перевод понятий и методов из алгебраической топологии в контекст алгебраической геометрии. Теорема Атьи-Сегала о пополнении является важным результатом в теории групп Ли, поэтому важным становится вопрос о выполнимости аналога данной теоремы для алгебраических групп. Теория когомологических инвариантов является мощным аппаратом исследования торсоров алгебраических групп. Определенная в работах Ж.-П. Серра и М. Роста, теория привлекала внимание таких авторов, как А. Меркурьев, С. Гарибальди и др. Важным шагом в развитии теории когомологических инвариантов было описание М. Ростом когомологических инвариантов степени 3 для односвязных полупростых групп. Недавно А. Меркурьевым [23] было получено обобщение этого результата для всех полу простых групп. Связь когомологических инвариантов и групп Чжоу версальных флаговых многообразий позволяет лучше исследовать геометрию скрученных многообразий флагов. Таким образом, тематика работы является актуальной.

Цель диссертационной работы. Целью первой главы диссертацион-

ной работы является доказательство алгебраического аналога теоремы Атьи-Сегала для расгцепимой связной редуктивной алгебраической группы С. Целью второй главы диссертационной работы является построение для полупростой расгцепимой группы С над полем изоморфизма между подгруппой кручения группы Чжоу циклов коразмерности 2 версального флагового многообразия и фактор-группой нормализованных когомологических инвариан-3

доказательство факта, что группа полуразложимых инвариантов совпадает с ранее хорошо изученной группой разложимых инвариантов в случае простой расгцепимой алгебраической группы С.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены для решения различных вопросов, связанных с теорией представлений, когомологическими инвариантами полупростых расгцепимых групп а также вычислении кручения в группах Чжоу версальных многообразий флагов.

Методы исследований. Для исследования ^-теории этального классифицирующего пространства В^С связной расгцепимой редуктивной группы С исп0ЛЬЗуется метод приближения гладкими многообразиями и мотивная точная последовательность Милнора, а также метод редукции к Борелевской

С

Для исследования группы когомологических инвариантов полупростой С

ры Черна и комбинаторика решеток корней и весов полупростой расщепимой С

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

• Доказано существование естественного изоморфизма

^(Spec kflg a Кп(ВеЬG)

между пополнением в идеале аугментации Iq кольца представлений Repk(G) эквивариантной ^-теории Томасопа поля к ж ^-теорией эталь-ного классифицирующего пространства Воеводского-Мореля для связной расгцепимой редуктнвной группы G над к.

• Для полупростой расгцепимой группы G над базовым полем к доказано существование изоморфизма

Inv3(G, 2)пог т/ Inv3(G, 2)sdeс = CH2(X9en)tors

Между фактор-группой группы нормализованных инвариантов 3 степени Inv3(G, 2)погт по модулю полгруппы полуразложимых инвариантов Inv3(G, 2)sdec и подгруппой кручения группы Чжоу циклов коразмерности 2 на версальном ^тогообразии флагов X9еп.

•

Inv3(G, 2)s ¿ее/ Inv3(G, 2)¿е с группы полуразложимых инвариантов 3

инвариантов степени 3 Inv3(G, 2)dec в терминах формального класса Черна и решеток весов Л и характеров расгцепимо го тора Т * и группы Вейля W полупростой расгцепимой группы G:

Inv3(G, 2)gdec = C2(Iw n Z[T*]) Inv3 (G, 2) de с C2(Z[T *]w )

tob для всех простых расщепимых групп G.

Степень достоверности результатов

Все результаты диссертации получили строгое доказательство и были опубликованы в рецензируемых журналах. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Международная конференция "Structures of algebraic groups"(jlhoh, 2014)

• Семинар по А^топологии и ^-теории, Лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ (Санкт-Петербург, 2014)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в двух печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах[25, 26], входящих в список ВАК. Работы [25, 26] написаны в соавторстве. В работе [25] диссертанту принадлежат результаты параграфа 2 и 3: доказательства теорем 3.1 3.2 и 3.3. В работе [26] диссертанту принадлежат результаты параграфа 2: доказательство теоремы 2.10 а также результаты пунктов 3.2, 3.3, 3.4 и 3.5 в 3.

Глава 1

К-теория классифицирующих пространств расщепимых редуктивных групп

Данная глава посвящена описанию ^-теории мотивпого классифицирующего пространства ВеЛС для связной расщепимой редуктивной группы С. Изложение организовано следующим образом: В первом параграфе дано определение этального классифицирующего пространства в мотивной категории Воеводского-Мореля, во втором параграфе рассматриваются основные определения и свойства эквивариантной К-теории Томасона. Изложение при этом следует статье [27]. В третьем параграфе обсуждается контекст, в котором понимается алгебраическая ^-теория мотивных пространств. В четвертом параграфе дана формулировка основного результата. В пятом параграфе приведено доказательство основного результата. При этом основным приемом является редукция к Борелевской подгруппе.

1.1. Этальное классифицирующее пространство

группу С. Рассмотрим симплициальпую схему ЕС, где ЕСп = Сп+1, а граничные и кограничные отображения задаются частичными проекциями и диа-

С Е С

фактор-пучок представим симплициальной схемой ВС, где ВСп = Сп7 и отображение ЕСп ^ ВСп задает ся (до,..., 9п) ^ (9о9-1, 919-1,..., 9п-\9-1, 9п).

Тогда этальное классифицирующее пространство ВеЛС определяется как где ж: (8шк)еЛ ^ ($>тк)тз - морфизм сайтов, а - производ-

ный функтор на симплициальной гомотопической категории % 8 ((8ш к) N % в)

индуцированный ж*ж*: AopShv(Nis) a AopShv(Nis).

Согласно параграфу [4, 4.2] существует следующая геометрическая конструкция этального классифицирующего пространства BetG может быть построено следующим образом:

Определение 1. [4, Определение 2.1] Пусть X £ Sm^. Назовем допустимой системой набор ( Е., U., f.)i>0 где Е, - векторные расслоения над X,Ui~ открытые подсхемы в Е,и f,: U, a Ui+1j такие что

• Для любой точки Spec L a X найдется г, такое что Ui Xj Spec L содержит L-рациональную точку

• Для любого i найдется j, такой что вложение U, a Uj пропускается через отображение Ui a Е2 \ (Е, \ U,)2 гада v a (0, v).

Определение 2. [4, Определение 2.4] Пусть ( Еi, U.f.) - допустимая система над Spec к. Назовем хорошим G-действием набор линейных действий G па Е,7 такой что

• Ui G i G

G

• G на Ui

• Для любой схемы X £ Sm^ и G-торсора V a X в этальной топологии найдется г, такой что (( U, хV)/G)et a X является эпиморфизмом в топологии Нисневича.

Обозначим = colimf.U.Согласно [4, Предложение 1.15] торсор Ui a U./G индуцирует отображение U./G a BG в %s((Sm^)Nis)- Дан-

i

Ucx/G ^ BG. Взяв ассоциированные этальные пучки и композицию с отображением ( BG) et ^ BetG получим каноническое отображение (U^/G)et ^ BGet ^ BetG в Hs(к).

Тогда согласно [4, Предложение 2.6] каноническое отображение индуцирует изоморфизм (U^/G) et ^ BetG в (к).

В дальнейшем мы зафиксируем следующую допустимую систему (Ei,EGi, fi) над Spec & с хорошим G-действием, построение которой было предложено Б. Тотаро в [3]: Зафиксируем вложение G ^ GL(W) для некоторого векторного пространства W. Положим Ei = Hom(Wфкг ^ W) Рассмот-

G Ei G W

качестве EGi открытую подсхему сюръективных отображений W ф кг ^ W.

E Gi G

В качестве /г возьмем вложение, индуцированное вложением Ei ^ Ei+\.

Замечание 1. Заметим, что EGi = GLdlmW+г/Н где H - стабилизатор подпространства кг в W фкг. Тогда фактор-пространство представимо в виде фактора группы по замкнутой подгруппе EGi/G = GL^lmw+г/Н х G, следовательно представляется схемой BGi Е Sm^. Также заметим, что codim(Ei\EGi) > codim(Ei-i \ EGi-\), для i > 0, следовательно, codim(Ei \ EGi) > i.

Лемма 1. Набор (Ei,EGi, fi) является допустимой системой с хорошим G

E Gi

ления 1 выполнено. Зафиксируем изоморфизм W = kdimW и рассмотрим вложение E2 ^ EdimW+2i, где паре (f, g) Е E2 сопоставляется отображение W ф kdimW+2i = (W ф кг) ф (W ф к'1-) ^ W. При этом отображении E2 \ (Ei \ Eg')2 вкладывается в EGdlmW+2i, и таким образом условие 2 определения 1 выполнено.

Для определения 2 остается проверить условие 3. Достаточно провести проверку для случая, когда X - спектр локального гензелева кольца. Пусть V А X - торсор в этальной топологии. Тогда ((Е^ х V)/С)е1 А X является векторным расслоением над X, так как X- локально, ((Е^ х V)/С)^ -тривиальное расслоение, а ((Е С х V)/С)^ - открытая подсхема в тривиальном векторном расслоении, следовательно, отбражение (( Ех V)/С)^ а X является эпиморфизмом. □

1.2. Эквивариантная К-теория

Пусть X - многообразие с действием группы С. Эквивариантная К-теория была разработана Р.В. Томасоном в [7]. В дальнейшем мы будем ссылаться на статью [27] и дадим следующее определение:

Определение 3. С-модуль на X - это пучок 0х-модулей М вместе с изоморфизмом 0схх_модулей а: р,*х (М) А р*х (М), где дх: С XX А X - это морфизм С-действия, а рх: С х X А X - проекция. При этом а удовлетворяет уравнению коцикла

р*з(а): (1^ хдх)*(а) = (т х 1ах)*(а)

где р23: С х С х X А С х X - проекция па два последних сомножителя, а т : С х С А С С

Обозначим через М(С^) абелеву категорию С-модулей на X, а через V(С; X) полную подкатегорию, состоящую из локально свободных С-модулей на X. Следуя [27, 2.2] возьмем алгебраическую К-теорию от этих двух категорий и получим эквивариантную К-теорию многообразия X:

К'п(С; X) = Кп(М(С; X)), ^(С^) = Кп(V(С;X))

функтор Кп(С; —) контравариантен относительно произвольных С

Для каждого плоского С-морфизма /: X ^ У возникает гомоморфизм обратного образа

г :К'п(С; У) ^К'п(С;Х)

Определение 4. Назовем морфизм /: X ^ У С-проективным, если / представляется в виде композиции замкнутого вложения и проекции /: X ^ Р(Е) ^ У, где Е - некоторое С-эквивариантное векторное расслоение на У.

Каждый С-проективный морфизм /: X ^ У определяет гомоморфизм прямого образа

Л :К'п(С; X) ^ К'п(С; У).

Вложение категорий V(С^) ^ М(С^) индуцирует гомоморфизм К^С^) ^ Кп(С; X). Для регулярного X этот гомоморфизм является изоморфизмом [7, 5.7].

Пусть С, Н - алгебраические группы, и пусть /: X ^ у с х Н-морфизм, который является С-торсором. Тогда / индуцирует точные функторы

/0: М(Н; У) ^ М(С х Н; X) и /0: V(Н; У) ^ V(С х Н; X)

Согласно [27, Предложение 3] эти функторы являются эквивалентностями категорий, следовательно порождают изоморфизмы

/0: К'п(Н; У) ^ К'п(С хн^) и /0: Кп(Н; У) ^ Кп(С х Н; X)

1.3. К-теория мотивных пространств

Согласно [5, Теорема 6.5] алгебраическая К-теория представима в гомотопической категории ( к):

К,(Х) = НошНа1 {к),(S ЛХ+, BGL х Z) (*)

для X £ Smk, где мотпвное пространство BGL определено как копредел BGL = colimdBGL(d) грассманианов d-мерных плоскостей: BGL(d) = colimnGr (d, п), где Gr (d, п) - грассманиан d-мерных подпространств в п-мерном пространстве. Таким образом, можно определить К-теорию мотив-пых пространств, используя правую часть равенства (*). Для произвольного пунктированного мотивного пространства X положим

К,(Х) = НотНрЛ(k).(S. Л *,BGL х Z).

Тогда К,(Х) = BGL-i,0(Х), где BGL*>* - теория когомологий, ассоциированная со спектром BGL [5, §6]. В дальнейшем мы будем обозначать через К^В^О) К-теорию пунктированного мотивного пространства BetG+ = BetG U Spec к с добавленной отмеченной точкой.

1.4. Формулировка основного результата

Пусть £;-поле, G- алгебраическая группа над к. Тогда К0(G; к) естественным образом отождествляется с кольцом представлений R(G). Рассмотрим гомоморфизм deд: R(G) a Z, сопоставляющий каждому представлению его размерность. Обозначим через Iq ядро deg. Группа ^(G; к) обладает структурой К0(^; &)-модуля. Обозначим через Кп(G; к)Ла Iq-аднческое пополнение Кп(^;к). Основным результатом настоящей главы является доказательство следующей теоремы:

Теорема 1. Пусть к-поле, С связная расщепимая редуктивная группа, над к. Тогда, существует изоморфизм

Кп(С;к)Ао = Кп(ВеЬС)

где ВеЛС - этальное классифицирующее пространство Воеводского-Море-ля (см. 1.1), Кп(В^С) - К-теория мотивного пространства ВеЛС, определенная в 1.8.

1.5. Доказательство основного результата

1.5.1. Конструкция Бореля

Для каждого ] > 0 рассмотрим С-торсор ЕСj — ВСОпределим отображение фп^: Кп(С; к) — Кп(ВСj) как композицию эквивариантного отображения обратного образа и изоморфизма р®, данного [27, Предложение 3]

п0

фп^: Кп(С; к) — Кп(С; ЕС3) -4 Кп(1; ВС) = Кп(ВСj)

Для замкнутого вложения ^ : ЕСj — ЕСj+1 имеем /* коммутирует с эквива-риантным гомоморфизмом обратного образа, тогда последовательность фп^ определяет гомоморфизм

фп: Кп(С; к) — ljmКп(С;ЕСj) 4 \imКп(ВСj).

1.5.2. Редукция к Борелевской подгруппе

Лемма 2. Пусть X,У Е ^ гладкие многообразия с С-действием, при, этом У проективно и К0(У, О (У)) = 1 и К (У, О (У)) = 0 при г > 0. Тогда композиция Кп(С; X) -4 Кп(С; X хУ) -4 Кп(С; X) равна тождественному отображению в К^С^), где р: X хУ — X - проекция.

Доказательство. Согласно формуле проекции, р*р*(х) = хр*(1). При этом Р*(1) = 1)[Кр*(0(Х х У))] в К0(С;Х). По условию на У имеем, что р*(0(Х х У)) = 0(Х) и Кр*(0(Х хУ)) = 0 для г > 0. Отсюдар*(1) = 1. □

Лемма 3. Рассмотрим следующую диаграмму

где д и Q- плоские морфизмы, Х2 = Х1 хуг У2, Х3 = Х2 ху2 У3. Пусть М - Ох^модуль. Определим, гомоморфизмы НЬ,1 : д*К/1 Q*q*Кг/1* А К/3*Т*Р, кк2 : Q*К/2* А К/3*Т* как естественные изоморфизмы, данные в [28, Предложение 9.3]. Тогда, следующая диаграмма коммутирует:

Q*q*R fuM-Q*hhl(M)-- Q*R f2*t*M

hh2(t *My

hhl2(M

R. f3*T *t*M

Доказательство. Так как утверждение локально по У., рассмотрим случай, когда все У, аффинны, У, = Spec.А.. Если F - R-модуль, обозначим через F соответствующий пучок па SpecR. Напомним конструкцию hh\. Пусть M --модуль. Тогда

R.f*(M) = Н'НХ^М); q*R*fuM = А2 ®AjH(XuM); R¡2*t*M = H (x2^t*M).

Пусть U. - аффинное покрытие Х\. Обозначим через К = C(X\,M) соответствующий комплекс Чеха. Так как У и У2 - аффинны, t-1 (U.) является аффинным накрытием Х2. Для данного накрытия имеем, что А2 0a1 К является комплексом Чеха Х2-модуля t*M. Тогда hhi - это очевидный морфизм

А2 ^ H(К) a H(А2 К) 28

который является изоморфизмом, так как А2 плоско над А\. Аналогичным образом строятся морфизмы Тогда диаграмму из условия леммы

можно переписать в виде коммутирующей диаграммы

Аз ®а2 А2 ®А1 Н (К)

Нк12 (М)

г ¿<кк1

Аз фа2 Н (А2 <8>А1 К)

ьь2(г *М

Н (Аз <А1 К)

□

В дальнейшем будет необходима эквивариантная версия Предложения 9.3 [281.

Лемма 4. Рассмотрим диаграмму замены базы

Я

где X, У,А,В- С-многообразия; - С-эквивариантные морфизмы и

Пусть М - С-модуль на В. Тогда, естественный изоморфизм

Г Я(!*М ^ Яг((*Г*М. является изоморфизмом С-модулей.

Доказательство. Согласно [28, Предложение 9.3] имеется естественный изоморфизм 0х-модулей

ЬНххЛВ Я*М ^ Яг((*Г*М. Необходимо проверить, что ННх,у,а,в явля-

С

р*х РЯ Я*М

Р*Х Мх,У,А,.

рх/ч*м—

С—зЪгисЪиге

РхКЧ,р'М ^—¡^ииоиире рхт.р *м

29

Рассмотрим диаграмму

вх А-ЫхР : вх В

Для каждого квадрата в данном кубе обозначим через НН (с соответствующим индексом) изоморфизм из [28, Предложение 9.3], для данного квадрата. Перепишем диаграмму в-структуры следующим образом:

р*х/*К д*М-

(г(1 х ¡)*рУуКд*М

(гах/)*ЬЬ,^ху ^ахВ В (М)

2

-р*х Г К д*М

(г(1 х /)*руКд*М

(гах/у-ЬЬра,уу0уВвВ(М)

(г(1 х ¡)*Яг(1 (1 х д)*р,*вМ-=-- (гА х ¡)*К(гА х д)*р*вМ

ОхХ,ОхУ,Ох А,Ох В (ц*ВМ)

3

^ ОхХ,ОхУ,Ох А,Ох В (р*ВМ)

К (г (1 х Q)*(i (1 х К )>ВМ

4

Кг(1 (1 х Q)*(i(1 х К)*р*ВМ

К (г(1 х Q)*ц\F*М-

К (г dхQ)*p\F *М

^ОхХ,Х, ОхА, А

,ыь ОхХ,Х, ОхА, А

-рхк'я*к *м

Квадрат 1 коммутативен согласно определению в-структуры на обратном образе в-модуля.

Квадрат 2 является (г (1 х /)*-образом коммутативной диаграммы в-структуры для Кq*М.

Квадрат 3 возникает из изоморфизма функторов (г(I х /)*К1(1 (I х (¡)* а Яг(г1 (1 х Q)*(i (1 х К )*, примененного к изоморфизму в-структуры

1

5

РвМ ^ рВМ, следовательно коммутирует.

С

С

Квадрат 5 коммутативен согласно определению С-структуры на Я1(*Р*М. По лемме 3 композиция вертикальных стрелок равна рХ ННх,у,а,в и РхНН х,у,а,в соответственно, что завершает доказательство леммы. □

Лемма 5. Пусть и,Х Е Бтк и и ^ X - плоский морфизм. Рассмотрим проекциирх: XхС/В ^ X ири: ихС/В ^ и. Обозначим чсрез ТР(С;Хх С/В) (сооте. Тр(С;и х С/В)) полную подкатегорию в V(С;Х х С/В), (соотв. V(С; и х С/В)), состоящую из локально свободных С-модулей Р, таких что Якрх*Р = 0 (соотв. Якри*Р = 0) при к > 0. Тогда следующая диаграмма коммутирует с точностью до изоморфизма функторов

ТР(С; и х С/В) ^^ ТР(С; X х С/В)

Ри* Рх*

*

М(С; и)«--М(С; X)

М

X х С/В имеем Якри*(/ х \&с/В)*(М) = /*Якрх*(М). Тогда для любого М в ГР(С; X хС/В) имеем (/ х \&С/В )*(М) Е ГР(С; и х С/В). По лемме 4 есть естественный изоморфизм С-модулей ри*(/ х \&с/В)*(М) = Ррх*(М). □

Лемма 6. Пусть X, У гладкие С-многообразия, ж : X х У ^ У проекция. Предположим, что X проект,ивно и У связно

Обозначим через (С; X хУ) полную подкатегорию в V (С; X хУ) состоящую из локально свободных С-м,одулей, Р, таких что Якж*Р = 0 щи, к > 0. С М

М ^ Р0 ^ Р1 ^ ... ^ Рм ^ 0, где Рг Е ОВ (Рп (С; X хУ))

М

М ^ Р0. Построим Р0 в виде скрутки М(п) для достаточно большого п.

Для этого построим очень обильный G-эквиварнантный пучок Ох (1) вместе с G-экиварнантное вложение i : X A Рп, таким что Ох(1) = i*Op(1). Пусть L- очень обильное линейное расслоение. Согласно [29, следствие 1.6] расслоение L®k является G-эквиварнантным для некоторого к. Тогда определено действие G па V = r(X,L0k) и эквпварнантный морфизм i : X A P(V), который является вложением, так как L®k очень обильно. Тогда положим 0х (1) = L®k.

Стандартное вложение тавтологического расслоения тр(у) a V х P(V) дает G-эквиварнантное вложение локально свободных пучков Ору)(-1) A Ор(у) 0 ... 0 Ору). Применяя тензорное умножение на 0р(1), получим ^Р(У) A 0Р(У)(1) 0 ... 0 0Р(У)(1). По индукции имеем G-эквивариантное расслоение 0Р(У) a 0Р(У)(п) 0 ... 0 0Р(У)(п). Прпменяя i*, получим

0х A- Ох (п) 0 ... 0 0х (п).

Определим Охху(1) = ж*Ох (1). Применяя гомоморфизм обратного образа ж*, получим эквивариантное вложение

М A М(п) 0 ... 0М(п).

для произвольного локально свободного G-модуля М. Коядро этого вложе-

G

G

модулей вида М(п).

Согласно [28, Теорема 8.8], для каждого локально-свободного модуля G-модуля М модуль М(п) лежит в (G; X xY) при достаточно больших п.

Проверим, что полученная резольвента конечна. Пусть N = dimX + dim Y. Обозначим через С 0 коядро первого шага резольвенты:

0 A М A Р0 A С0 A 0. 32

Тогда имеем точную последовательность

0 = Ямж*Р0^ Ямж*С0^ Ям+1жМ

Пучок Ям+1ж*М ассоциирован с предпучком V ^ НМ+1(У х X,М) = 0 согласно [28, Теорема 2.7]. Тогда Ямж*С0 = 0. Для следующего коядра С1 имеем точную последовательность

0^С0 Р1 ^ С1 ^ 0.

Тогда

0 = Я"-1жР1 ^ Я^-1жС1 ^ Я^жС = 0.

Таким образом, Ям 1ж*См 1 =0. Продолжая по индукции, получим, что

Як ж*См = 0 при всех к> 0. Тогда СN Е О Ь(Г^ (С; X хУ)).

N

□

Лемма 7. Пусть и^ Е 8шк и /: и ^ X - плоский морфизм. Рассмотрим проекции рх: X хС/В ^ X и ри: и хС/В ^ и. Тогда ри * о (/ х % (1с/В )* = г о рх *: К'п (С; X х С/В) ^ К'п (С; и)

Доказательство. Пользуясь обозначениями леммы 5 рассмотрим диаграмму категорий

V(С; и х С/В)

Гр(С;и х С/В)

и*

М(С;и)

(I х\А0/в )*

V(СX х С/В)

(Iх\Аа/в)* Р

Гр(С^ х С/В)

М(С; X)

Нижний квадрат коммутирует согласно лемме 5, верхний квадрат коммутативен, так как состоит из естественных вложений категорий. Применяя

х

*

К

Кп(в;и х С/в)--Кп(С;Х х в/В) (1.1)

аи

о.х

Кп(Тр(в; и х С/в)) *-Кп(Гр(С; Х х в/В))

К (С; и) *-К'п (С; Х)

Согласно теореме Квнллена о резольвенте [30, §4] отображения аи ,ах являются изоморфизмами. По определению, эквивариантные гомоморфизмы прямого образа Кп(С; Х хС/В) а К'п(С; Х) и Кп(С; и хС/В) а К'п(С; и) равны композиции

а-1

К'п (С, Х хС/В) = Кп(С; Х хС/В) А Кп(Рр(С; Х хС/В)) а К'п (С; Х)

и

ат 1

К'п(С, и х С/В) = Кп(С; и х С/В) А Кп(Рр(С; и х С/В)) а К,(С; и). Таким образом, утверждение леммы следует из коммутативности 1.1. □

Лемма 8. Обозначим через р,,: ЕС{ х С/В А ЕС{ проекцию и через : ЕС{ А ЕС+ вложение. Тогда, /* о р,1+1* = р¡* о (^ х г(1С/в)*: Кп(С;ЕСг+1 х С/В) а Кп(С;ЕСг)

Доказательство. Заметим, что вложение : ЕС{ А ЕС+ раскладывается в виде ЕСг А ЕС х W А ЕС I+1, где W-aффиннoe пространство с С-действием, первое отображение - вложение нулевым слоем, а второе отображение - открытое вложение. Тогда /* = е * о д*. В силу гомотопической инвариантности имеем е* = (т1*)-\ где ^: ЕСI х W А ЕСI - проекция. Тогда /* и (х % (1с/ в )* представляется в виде композиции обратных образов вдоль плоских морфизмов, и тогда утверждение следует из леммы 7. □

Напомним, что согласно 1.1 этальное классифицирующее пространство В^С изоморфно копределу гладких многообразий ВСг > 0

Доказательство следующей леммы использует аргументацию, сходную с [31, Предложение 15].

Лемма 9. Пусть X G Sm^ X — Х- гладкое отображение, локально тривиальное в топологии Зарисского, слои которого изоморфны аффинным, пространствам, и X -аффинно. Пусть р: L — X- векторное расслоение, Z Ç L замкнут о, codim^Z = d > dimX. Тогда, существует морфизм f:X — L \ Z в гомотопической категории %Ai(к), такой что композиция X — L \ Z X является тождественным отображением.

Доказательство. Пусть L = L хх XX- обратный образ L вдоль р. Тогда Z = Z хх X имеет коразмерность d. Так как X-аффинно, существует накрытие q: X х An — L тривиальным раслоением. Тогдаq-1 (Z) имеет коразмерность d > dimX в X х An, следовательно dim q-1(Z) < N, тогда при проекции па An существует рациональная точка вне образа q-1 (Z). Это даст сечение X — X х An \ q-1(Z) — L \ Z — L \ Z. Так как отображение XX — X является изоморфизмом в (к), получим сечение X — L \ Z в гомотопической категории. □

Пусть г обозначает ранг тора Т. Можем считать, что в представлении W, использованном для построения набора EGi в 1.1 для каждого сомножителя G т в Т, имеем разложение W = W1 0 W0, где W1 - одномерное подпространство в W, на котором Gm действует с весом 1, а остальные сомножители действуют тривиально.

Зафиксируем некоторый сомножитель Gm в Т. По построению, EG2i = Sur (W 0 k2i ,W ) - пространство сюръектпвных отображений из W 0 k2i в W. Тогда композиция с проекцией па W1 дает отображение EG2i = Sur (W 0 k2i ,W ) — Sur (W 0 k2i ,W1) = Adw+2i \ 0, где dw = dimW. Взяв фактор по действию G т получим отображение EG2i/Gm — Pdw+2i-1. Далее,

заметим, что EG2i является открытым подмножеством в тривиальном расслоении Sur(W 0 к2г,Wi) х Hom(W 0 к2г, W0), причем коразмерность дополнения в каждом слое больше 2г. Пусть E - ограничение этого расслоения на Sur(W 0 kt-dw, Wi). Тогда (EG2 П E)/Gm - открытое подмножество в расслоении E/Gm a Sur (W 0 кг-dw, Wi)/Gm = Рг-i, причем допол-

2

Р -i

ности 2i — 2, удовлетворяющее условию леммы 9. Тогда найдется отображение в гомотопической категории Рг—i a EG2i/Gm, такое что композиция Рг—i a EG2i/Gm a Pdw+2г—i - вложение, индуцированное отображением Sur (W 0 k—dw ,Wi) a Sur (W 0 k2i ,Wi).

G m

ний EGi/Gm a Рг+dw—\ согласованная с вложениями, и сечения в (к) Рг—i a EG2i/Gm. В силу того, что Т действует на Wi посредством одной копии G m, проекция EGi/Gm a Рг+dw—i пропускается через EGi/Т a Рг+dw—1. Рассмотрев проекцию для каждой копни G m в Т, получим отображения EGi/Т a (Pi+dw—i)r. Заметим, что они согласованы с вложениями fi и вложения ми (Рг )r a (Р-7 )г. Сечения в гомотопической категории дают (Рг—i)r a (EG2i/Gm)r a EG2ir+dw(r—i)/Gm., где вторая стрелка индуцирована отображением Sur (W 0k\W ) х Sur (W 0 k? ,W ) a Sur (W 0 kl+3+dw ,W ).

EGt—dw/Т->EG2ir+dw (r—i)/T (*)

vi — i)r_^ (р2ir+d,wr—i)r

где диагональное сечение существует в (k).

Лемма 10. Для любого п > 0 ^Кп^г/Т) = 0 и последовательность отображений EGi/Т a Рг+dw—i индуцирует изоморфизм 1^шКп((Рг)r) a

ljmKn(EGt /Т).

Доказательство. Заметим, что набор (Ai \ 0)г задает допустимую систему с хорошим Т-действием, аппроксимирующую пространство BetТ. В силу того, что EGi = EGi/Т X (рi+dw — l)r (A i+dw )r, каноническое отображение EGi/T ^ BetТ представляется как EGi/T ^ (Pi+dw-1)r ^ BetТ. Согласно вычислению Kn((Pi)r) = Kn(k)[x1,... xr]/(x%-+1,... x%+l) получим что Kn((Pi)r) ^ Kn((Pi_1)г) сюръективио, следовательно l^m1 Kn((Pi)r) = 0. Ал-K

спектром BGL [5, Теорема 6.9]. Тогда согласно короткой точной последовательности Милнора [33, Предложение 2.2.11(c)] имеем, что каноническое отображение индуцирует изоморфизм Kn(BetТ) ^ limKn((Pi))). Тогда имеем следующую коммутативную диаграмму:

0^lim1Kn+l(EGl/T)^Kn(BetТ)--jpi K„[EGi/Т)->0

Kn(Bet Т ) lim Kn(Pil+dw-1)

Kn

диаграмме (*), получим сечение, откуда отображение l^mKn(Pi+dw-1) ^ ljmKn(EGi/Т) является изоморфизмом, следовательно l^m1Kn+1(EGi/Т) = 0. □

Предложение 1. Естественные отображения Kn(BetG) ^ Kn(BGi) индуцируют изоморфизм

Kn(BetG) 4 ImKn(BGi)

K BGL

Предложение 2.2.11(c)] имеет место короткая точная последовательность

Милнора:

0 у \^ш1Кп+1(ВС1) а Кп(Ве1С) а \—Кп(ВС,) а 0.

Проверим, что 1^ш1 Кп+1(ВС,) = 0. По лемме 2 имеем, что композиция

Кп+1(С; ЕС,;) а Кп+1 (С; ЕС, х С/В) а Кп+1(С; ЕС,;)

тождественна. При этом есть естественные изоморфизмы ( [27, Предложение 3]) Кп+1(С; ЕС, х С/В) ^ Кп+Х(С х В; ЕС, х С) = Кп+Х(В; ЕС;). В силу того, что В/Т является аффинным пространством, из гомотопической инвариантности следует Кп+1(В;ЕС,) = Кп+1(В;ЕС, х В/Т) = Кп+1(В х Т; ЕС, х В) = Кп+1 (Т; ЕС,) = Кп+Х(ЕС,/Т). Таким образом, Кп+1(ВС;) является прямым слагаемым в ^ш1 Кп+1(ЕС,/Т) = 0 по лемме 10. □

Следствие 1. Конструкция Бореля индуцирует гомоморфизм фп: Кп(С; к) а \—Кп(ВС,) = Кп(Ве1С)

Лемма 11. К0(Т; к)-модуль 1^шКп(Т; ЕС,) полон в 1т-одической топологии.

Доказательство. Согласно лемме 10 \1шКп(Т;ЕС,) = \тКп((P,)г), при этом по построению этот изоморфизм является изоморфизмом К0(Т; &)-модулей. Согласно вычислению, ^^К^^)г) = Кп(к)[[х1,.. .хг]] -полный модуль над кольцом К0(Т; к) = Ъ[х1,... ,хг, (1 — х1)—1,..., (1 — хг)-1] относительно топологии, задаваемой идеалом 1т = (х1,... хг). □

Пзвестпо( [34, Теорема 4]), что естественное отображение Щ(С) а Щ(Т) отождествляет кольцо представлений Щ(С) группы С с подкольцом Щ(Т^ инвариантов относительно действия группы Вейля W.

Лемма 12. 1т-адическая топология на кольце ЩТ) = К0(Т; к) совпадает с 1с • ЩТ)-адической топологией.

Доказательство. Рассмотрим простой идеал д, содержащий 1а. Докажем, что д содержит I. .Пусть W = {а1,..., ат}. Рассмотр им х € I.. Тогда для любого симметрического многочлена / € Я(Т)[у1,..., ут] получим, что элемент /(ах • х,... ,ат • х) инвариантен относительно W, следовательно лежит в 1т ПЯ(С) = 1а. Пусть ..., /т элементарные симметрические многочлены. Тогда х является корнем многочленаПт=1 (^—а*•х) = ^т=\(—1)%I*((• х,...(т • х)1т—. Тогда хт = Етх(—1)*•х,...(т • х)хт—* € 1С • Я(Т), следовательно хт € (¡. Тогда х € (¡.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук НЕШИТОВ Александр Юрьевич, 2015 год

Литература

[1] May J. P. A Concise Course in Algebraic Topology. — Univ. of Chicago Press, 1999.

[2] Atiyah M. F., Segal G. B. Equivariant K-theory and completion //J. Differential Geometry. — 1969. — no. 3. — P. 1-18.

[3] Totaro B. The Chow ring of a classifying space // Algebraic K-theoiy. 1999. - Vol. 67 of Proc. Sympos. Pure Math. - P. 249-281.

[4] Morel F., Voevodsky V. A1 -homotopy theory of schemes // Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci. - 1999. - Vol. 90. - P. 45-143.

A1

1998. - P. 579-604. A1

Notes in Mathematics.

[7] Thomason R.W. Algebraic K-theory of group scheme actions // Ann. of Math. Stud. - 1987. - Vol. 113. - P. 539-563.

[8] Бернштейн И.H., Гельфанд И.M., Гельфанд С.И. Клетки Шуберта и ко-гомологии пространств G/P // УМН. — 1973. — Vol. 28. — Р. 3-26.

[9] Demazure M. Désingularisation des variétés de Schubert généralisées // Ann. scient. Éc. Norm. Sup. - 1974. - Vol. 4(7). - P. 53-88.

[10] Karpenko N. Codimension 2 cycles on Severi-Brauer varieties // K-Theory j _ 1998_ _ no_ 13(4). _ p. 305-330.

[11] Peyre E. Galois cohomology in degree three and homogeneous varieties // K-Theory. - 1998. - Vol. 15(2). - P. 99-145.

[12] Меркурьев А.С. Группа H 1(Х, К2) для проективных однородных многообразий // Алгебра и Анализ. — 1995. — Vol. 7(3). — Р. 136-164.

[13] Serre J.P. Cohomologie galoiseienne: progrés et problèmes, Astérisque // Sém Bourbaki. - 1995. - Vol. 90, no. 227. - P. 229-257.

[14] Serre J.P. L'invariant de Witt de la formeTr(x2) // Comment. Math. Helv. — 1984. _ n0. 59. — p. 651-676.

[15] Rost M. A (mod 3) invariant for exceptional Jordan algebras // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1991. - no. 313. - P. 823-827.

[16] Rost M. A Pfîster form invariant for étale algebras // Preprint, The Ohio State University. — 2002.

[17] Illusie L. Complexes de de Rham-Witt et cohomologie cristalline // Ann. Sci. E.N.S. - 1979. - no. 12. - P. 501-661.

[18] Garibaldi S., Parimala R., Tignol J.-P. Discriminant of symplectic involutions // Pure Appl. Math. Q. - 2009. - Vol. (1). - P. 349-374.

[19] Barry D. Decomposable and indecomposable algebras of degree 8 and exponent 2 // to appear in Math. Z.

[20] Blinstein S., Merkurjev A. Cohomological invariants of algebraic tori // Algebra Number Theory. - 2013. - no. 7. - P. 1643-1684.

[21] Kahn B. Application of weight two motivic cohomology // Doc. Math. 1996. _ n0. i(i7). _ p. 395^416.

[22] Panin I. On the algebraic K-theory of twisted flag varieties // K-theory. — 1994. _ no. 8(6). _ p. 541-585.

[23] Merkurjev A. Degree three cohomological invariants of semisimple groups // to appear in J. Eur. Math. Soc.

[24] Garibaldi S., Merkurjev A., Serre J.-P. Cohomological invariants in Galois cohomology. — 2003. — Vol. 28 of University Lecture Series.

[25] Knizel A., Neshitov A. Algebraic analogue of the Atiyah completion theorem // Homology, Homotopy, Appl. — 2014. — Vol. 16, no. 2. — P. 289-306.

[26] Merkurjev A., Neshitov A., Zainoulline K. Invariants of degree 3 and torsion in the Chow group of a versal flag // Compositio Mathematica. — 2015. — Vol. 151, no. 8. — P. 1416-1432.

[27] Merkurjev A. S. Equivariant ^-theory // Handbook of ^-theory. — 2005. — Vol. 2. - P. 925-954.

[28] Hartshorne R. Algebraic Geometry. — 1977.

[29] Mumford D., Fogarty J., Kirwan F. Geometric invariant theory. 1994.

[30] Quillen D. Higher Algebraic K-theory I: : Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972),.— Springer, Berlin, 1973.^ Vol. 341 of Lecture Notes in Math.

[31] Heller J., Malagon-Lopez J. Equivariant algebraic cobordism //J. Reine Angew. Math. - 2013. - Vol. 684. - P. 87-112.

[32] Jouanolou J. P. Une suite exacte de Mayer-Vietoris en K-theorie algebrique : Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972)— Springer, Berlin, 1973.^ Vol. 341 of Lecture Notes in Math.

[33] Hovey M., Palmieri J., Strickland N. Axiomatic Stable Homotopy Theory. — Amer. Math. Soc., 1997. - Vol. 610 of Mem. of Amer. Math. Soc.

[34] Serre J.-P. Groupes de Grothendieck des schémas en groupes reductifs déployés // Inst. Hanfes Etudes Sei. Publ. Math. — 1968. — P. 37-52.

[35] The Book of Involutions / Knus M.-A., A. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol. — 1998. — Vol. 44 of Colloquium publications of American Mathematical Society.

[36] Edidin D., Graham W. Equivariant intersection theory // Invent. Math. 1998. _ v0i. 131(3). _ p. 595-634.

[37] Fulton W. Intersection theory, 2nd. ed. — 1998. — Vol. 2 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.

[38] Gille S., Zainoulline K. Equivariant pretheoried and invariants of torsors // Transf. Groups. - 2012. - no. 17(2). - P. 471-498.

[39] Steinberg R. On a Theorem of Pittie // Topology. — 1975. — no. 14. — P. 173-177.

[40] Colliot-Théléne J.-L., Hoobler R., Kahn B. The Bloch-Ogus-Gabber theorem // Algebraic K-theory, Fields Inst. Commun. — 1996. — no. 16. — P. 31-94.

[41] Gros M., Suwa N. La conjecture de Gersten pour les faisceaux de Hodge-Witt logarithmique. // Duke Math. J. - 1988.-Vol. 57(2). — P. 615-628.

[42] Merkurjev A., Tignol J.-P. The multipliers of similitudes and the Brauer group of homogeneous varieties //J. Reine Angew. Math. 1995. — n0. 461. P. 13-47.

[43] Garibaldi S., Zainoulline K. The gamma-filtration and the Rost invariant // J. Reine Angew. Math. - 2014. - no. 696. - P. 225-244.

[44] Bermudez H., Ruozzi A. Degree 3 cohomological invariants of groups that are neither simply connected nor adjoint //J. Ramanujan Math. Soc. — 2014. — na 29(4). — p. 465-481.

[45] Zainoulline K. Twisted gamma-filtration of a linear algebraic group // Compositio Math. - 2012. - no. 148(5). - P. 1645-1654.