Функциональные тождества в кольцах и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович

• Чеботарь, Михаил Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович

Введение . '.

1 Общая теория функциональных тождеств

1.1 Обобщенные функциональные тождества.

1.1.1 Определения и обозначения.

1.1.2 Доказательство теоремы 1.1.1.

1.1.3 Замечание об образе решений.

1.1.4 Тождества специального вида.

1.2 Функциональные тождества: общая теория.

1.2.1 Алгебраичность подмножеств первичных колец

1.2.2 ¿-свободные множества: определения и первые результаты

1.2.3 Какие множества ¿-свободны?.

1.2.4 Квазиполиномы

1.2.5 Тождества вовлекающие инволюцию

2 Лиевы отображения

2.1 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов.

2.2 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов.

2.3 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических элементов.

2.4 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов.

3 Отображения, сохраняющие алгебраические свойства элементов

3.1 Функциональные тождества на левых идеалах.

3.2 Отображения в кольцах с инволюцией.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные тождества в кольцах и их приложения»

Первые результаты по функциональным тождествам связаны с описанием коммутирующих отображений, то есть отображений / кольца 71 таких, что [/{х),х] = /(х)х — х/(х) = 0 для всех х £71.

В 1957 году была опубликована работа Познера [119], в которой было показано, что ненулевое дифференцирование первичного кольца является коммутирующим отображением тогда и только тогда, когда кольцо Л. — коммутативно:

Аналогичный результат для коммутирующих автоморфизмов был получен Мэйном [99].

Результаты Познера и Мэйна многократно обобщались разными авторами [7,17, 21, 22, 30, 49, 50, 53, 54, 62, 63, 70, 71, 77, 78, 79, 82, 87, 97, 98, 100, 107, 125, 127]. Из этих работ следует выделить статью Брешара [30], который описал все коммутирующие отображения первичных колец. Этот результат стал первой работой по функциональным тождествам. Как и в случае с теоремами Познера и Мэйна, к этому результату был проявлен значительный интерес и в течение нескольких лет появилось большое количество работ на эту тему [6,12, 16, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 83, 84, 86].

Существенное влияние на развитие этого направления теории колец оказали статьи Брешара [35, 36]. Основной результат работы [35] — это описание аддитивных отображений /1, /2, /з, /4 первичного кольца 71 удовлетворяющего тождеству

1 {х)У+ Ь{у)х + я/з(у) + у/4{х) = 0 для всех х,у 6 71.

Такие тождества называются функциональными тождествами степени 2, поскольку в них участвуют 2 переменные х и. у.

В работе [36] рассматривалось более сложное тождество

П 771 к I ВДха,- + 2 Ф (х)уЬ; + £ ауЩх) + £ ЬхК^у) = 0

1=1 ;=1 ¿=1 ¿=1 для всех х,у € 72, где Р{, £7,-, //,•, К{ : —» "Я, аддитивные отображения первичного кольца-72. и {с^,., ап}, {6г,., Ьт}, {сх,., Ск}, {¿1,., (1{] подмножества элементов кольца линейно независимых над расширенным центроидом. Такие тождества называются обобщенными функциональными тождествами степени 2.

Однако не было ясно, можно ли описать отображения в функциональных и обобщенных функциональных тождествах степени отличной от 2, хотя высказывалось предположение, что результаты о Тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая [36, стр. 691].

В первом общем результате теории функциональных тождеств [154] были рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени и практически сразу же было показано, что аналогичные результаты могут быть получены для тождеств, вовлекающих фиксированный антиавтоморфизм [133].

Используя эти результаты Бейдар [14] рассмотрел функциональные тождества произвольной степени, а функциональные тождества с инволюцией были рассмотрены Бейдаром и Мартиндейлом в работе [18]. Тем самым был создан необходимый задел для развития общей теории функциональных тождеств.

Следующим шагом было создание конструкции ¿-свободных множеств [147, 148], на базе которых были получены все основные приложения. Одновременно с этим исследовались некоторые тождества специального вида с целью расширения класса колец, для которых применима техника функциональных тождеств [136, 138,139,140,142, 146,152, 153].

Наиболее важным приложением теории функциональных тождеств является полученное с их помощью описание отображений лиевского типа.

В 1961 году Херстейном [56, стр. 528] был сформулирован ряд открытых проблем. В частности им были поставлены задачи описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для

I) простых и первичных колец 7^,

II) лиевых колец [R,7Z] и [JZ,1Z]/Z П [JZ,H], где Z — центр кольца 7v,

III) лиевых колец кососимметрических элементов К простых колец 7Z с инволюцией,

IV) лиевых колец [£,/С] и [/C,/C]/Z П [K.,K,\.

Из первых работ по лиевым изоморфизмам отметим статью Хуа [64], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3. В случае простых колец 7Z характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов ф была исследована Херстейном и Клейнфельдом [60] при дополнительном предположений о том, что лиев изоморфизм сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф(х)3 для всех х.£.И. Важный вклад в изучение лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований внес Мартиндейл, описавший эти отображения в кольцах с несколькими нетривиальными ортогональными идемпотен-тами [88, 89, 90, 92, 93, 94]. Отображения лиевского типа изучались в операторных алгебрах [8, 9, 10, 103, 104, 105, 106], где также использовалась техника работы с идемпотентами.

В связи с этим интересно отметить, что хотя в кольцах матриц над телами описание лиевых автоморфизмов и дифференцирований было известно, в самих телах эта проблема до недавнего времени была открыта.

Проблемы Херстейна были полностью решены с помощью теории функциональных тождеств. Описание Брешаром [32] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении проблем Херстейна о лиевых изоморфизмах и лиевых дифференцированиях первичных колец. Аналогично, описание триаддитивнь1х коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией, полученное Бейдаром, Мар-тиндейлом и Михалевым [19], привело к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией. Эта же конструкция была использована Свэйном [126] для описания лиевых дифференцирований лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией.

Однако, для решения (II) и (IV) потребовалось значительно более емкое использование общей теории функциональных тождеств, чем описание коммутирующих отображений. Используя конструкцию ¿-свободных множеств [147, 148], в работе [150] удалось описать лиевы эпиморфизмы лиевых идеалов первичных колец, что не только дает ответ на вопрос Херстейна,-но и решает существенно более общую задачу. Характери-зация лиевых дифференцирований на лиевых идеалах первичных колец дана в [151]. Аналогичные проблемы для лиевых колец кососимметрических элементов решены в [143, 144]. Помимо этого в статье [143] описаны n-йордановы отображения кососимметрических элементов, что отвечает на еще один вопрос Херстейна [56, стр. 528].

С середины 70-х годов XX века в линейной алгебре и функциональном анализе были довольно популярны задачи характеризации линейных операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. Одной из таких задач было описание отображений, сохраняющих коммутативность. В 1976 году Уоткинс [128] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в кольцах матриц порядка п > 4. Затем аналогичная проблема изучалась для разных подпространств матричных алгебр и некоторых операторных алгебр [13, 51, 52, 115, 116, 117, 118]. Используя функциональные, тождества, Брешар [32] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в первичных кольцах, а Баннинг и Матье [12] получили аналогичный результат для полупервичных колец. В статье [146] дано описание биективных отображений, сохраняющих коммутативность на односторонних идеалах первичных колец.

Еще одним приложением функциональных тождеств является описание Ли-совместимых отображений. В 1948 году Альберт [4] инициировал изучение Ли-допустимых алгебр. Эти алгебры привлекали внимание как математиков, так и физиков. С некоторыми приложениями Ли-допустимых алгебр к физике можно ознакомиться в книгах Окубо [113] и Мыюнга [111], мы же сосредоточимся на алгебраической стороне вопроса, связанной с проблемой Альберта классификации гибких Ли-допустимых алгебр А таких, что соответствующие алгебры Ли Л~ полупросты [4].

В 1962 году Лауфер и Томбер [81] дали классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и алгебры Ли Л~ полупросты. Мыюнг [110, 111] получил описание конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и Л~ — это либо классические алгебры Ли, либо обобщенные алгебры Витта.

В 1981 году Бенкарт и Осборн [24] и Окубо и Мыюнг [114] независимо получили классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что алгебры Ли Л~ полупросты, решив тем самым проблему Альберта.

В гибких алгебрах операция взятия третьей степени ассоциативна, то есть (х * х) * х = х * (х * х) и известно, что операция взятия любой степени ассоциативна тогда и только тогда, когда это справедливо для третьей и четвертой степеней [111]. В статье [25] Бенкарт и Осборн описали все умножения на алгебре матриц, относительно которых операция взятия степени;ассоциативна, а в работе [23] Бенкарт Дала классификацию Ли-допустимых алгебр .4 таких, что операция возведения в третью степень ассоциативна и алгебры Ли Л~ полупросты. Подобные задачи изучались также в случаях, когда Л~ — алгебра Вирасоро [112] или алгебра Каца-Муди [67]. Во всех этих работах используется техника работы с алгебрами Ли и матричными алгебрами. Применяя методы функциональных тождеств, в статье [149] были описаны все умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия степени ассоциативна.

Цель данной работы состоит в создании математического аппарата, позволяющего решить ряд открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец.

В работе используются методы и результаты теории колец с функциональными тождествами.

Краткое содержание работы. В первой главе излагается общая теория функциональных тождеств. Пусть г >2 — целое число, 71 — некоторое множество и О. — некоторое кольцо. Для отображения Е : 7—» 2 и Г < ! < г, определим отображение .Р : 7V О,, 1 < х < г, по правилу

1,.,а;г) = ,хг) для всех х\,.,хт 6 И.

Аналогично, для отображения р : 71г~2 —*Qnl<i<j<r определим отображение р,} = р*1 : —>■ О по правилу

Р%}(®1» • • •, агг) = р{хх,., х,-1, аг«+г,., а^-г, ., хт).

Основным результатом первого параграфа является следующая теорема, в которой рассматриваются обобщенные функциональные тождества произвольной степени.

Теорема 1 Пусть — первичное кольцо, О, — максимальное левое кольцо частных, 7£с — центральное замыкание, С — расширенный центроид, г > 2 — целое число и г = 1,.,г — неотрицательные ф целые числа. Пусть Eji,Fik :1Zr 1 —> Q — такие отображения, что г nj г mj ,xr)xja3i + bkxiFL(xi,. ■. ,ХГ) = О j=1 i=i i=i it=i для всех Х\. ,xr G TZ, где {а{,. } u {Ь{,., b3mj}, j = 1,. ,г, суть С-независимые подмножества Q. Тогда выполняется одна из двух возможностей: i) 1ZC — примитивное кольцо с ненулевым цоколем и e7Zce — конечномерная алгебра с делением над С для као/сдого минимального идемпотента е из Ис, или ii) существуют и единственны отображения pjuk : 7Zr~2 —► Q и \цк : —> С такие, что

Щх 1, . • • , *г) = ' 5Z И b'kXiPjilkiXl» • • • > Хт) + Ё 1. ■ • • 1 Хг)Ьк,

1<!<г fc=l к= 1 nj щ

F}k(xu.,xi) = - 53 Ей^ь• • •»iriijfl]-E4(гь• ■ •,

V V l<J<r ¿=1 i=l

Более того, если все отображения Eji и Fik являются аддитивными по каждому аргументу, то это оке справедливо для отображений pjük и Ацк.

Во втором параграфе вводятся понятия d-свободного множества, (£,с/)-свободного множества, квазиполиномов и на их базе формулируются результаты, необходимые для приложений. В частности, доказывается следующая теорема:

Теорема 2 Пусть Q — кольцо с единицей, S — некоторое подмножество Q, и Е : Sm —♦ Q — квазиполином степени < т. Если Е(хт) — О для всех хт G Sm и подмножество S является (т + 1)—свободным, то все коэффициенты Е равны нулю.

Глава 2 посвящена описанию отображений лиевского типа, то есть, решению проблем Херстейна [56, стр. 529]. В первом и втором параграфах рассматриваются лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов первичных колец. Доказываются две следующие теоремы.

Теорема 3 Пусть А— первичное кольцо, С —расширенный центроид и Лс — центральное замыкание. Пусть 71 — лиев идеал кольца А, 5 — лиев идеал первичного кольца Т> и пусть — сюръективный лиев гомоморфизм. Предоположим, что Б и% порождают кольца Т> и А соответственно. Далее предположим, что сЬаг(А) ф 2 и А не удовлетворяет БЬц, стандартному тооюдеству степени 14. Тогда существуют гомоморфизм (антигомоморфизм) •у : Т> —» Ас и аддитивное отображение р. : V —> С такие, что ха = ху + /г(х) (соответственно, ха = — х7 + ц(а:)) для всех х € 5 и /¿([5,5]) = 0. Более того, если [5,5] =5, тоТР = А.

Теорема 4 Пусть А — первичное кольцо и С — расширенный центроид. Пусть/Я. — лиев, идеал кольца А, В — подкольцо кольца А, порожденное 71. и пусть 8:71 —* 71, — лиево дифференцирование на 71. Предположим, что сЬаг(Л) ф 2 и А не удовлетворяет ¿>¿14, стандартному тождеству степени 14. Тогда существуют дифференцирование И : В —► ВС -\-С и аддитивное отобраоюение —» С такие, что a) С([71,71]) = 0. b) х° = х5 + С(х) для всех х € 71. c) Если [71,71] — 71, то В° С В.

В третьем и четвертом параграфах описаны лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией.

Теорема 5 Пусть V — кольцо с инволюцией, С — лиево кольцо косо-симметрических элементов и 5 — лиев идеал С. Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К. — лиево кольцо кососимметрических элементов А и 71 — нецентральный лиев идеал К. Пусть С — расширенный центроид кольца А, И = 7£/7ZПC и пусть а : 5 —► — сюръективный лиев гомоморфизм. Предположим, что сЬаг(Д) ф 2 и А не удовлетворяет 5^40; стандартному тождеству степени 40. Тогда существует гомоморфизм ф : (5) —»• (7?.)С + С такой, что х* — ха для всех х Е Более того, если инволюция кольца А первого рода, то = (7£}.

Теорема 6 Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К, — лиево кольцо ко со симметрических элементов, О, = 0.тт(А) — максимальное правое кольцо частных и С — расширенный центроид. Пусть — нецентральный лиев идеал К,, О, = Q/С, 71 = 71/71 С\ С и пусть 8 2 лиево дифференцирование, отображающее 71 в О,. Пусть 7 : —> О, любое отображение такое, что х^ = х5 для всех х £ 71, и В = 7&И 7&. Предположим, что сЬаг(*4) ф 2 и А не удовлетворяет ¿>24о, стандартному тождеству степени 40. Тогда существуют дифференцирование <1: !{Я) —► {В)С + С и отображение ц : 71 —> С такие, что х* — ху + для всех х 6 (отсюда х5 = Xе- для всех х 6 7£).

Более того, если 71? С 7%., то справедливо следующее: a) ц{[71,71]) С 2{71) = 71П С. b) хЛ - ц{х) е 71 для всех х 6 71 (отсюда (71У С (71)С +С). c) Если 71 = [71,71], то 71* С 71 (отсюда {П)л С {71)).

В третьей главе функциональные тождества используются для описания операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. В первом параграфе рассматриваются операторы, сохраняющие коммутативность. В частности, доказан следующий результат.

Теорема 7 Пусть А и А' — центрально замкнутые первичные алгебры с единицами над полем С, пусть и 7?/ — собственные левые идеалы алгебр А и А' соответственно и пусть а : —» 71! биективное линейное отображение. Пт/Сть с1е§(7?.), > 4 и сЬаг(С) ф 1. Предположим, что [(а2)",'«"] = для всех а Е 71. Тогда существуют 0 ф Ь £ С, (антигомоморфизм 7 : —> 711 + С и линейное отображение ц : 'К. —► С такие, что ха = Ьх7 + г](х) для всех х 6 Я. Более того, если у в А есть ненулевой правый апиулятор, то т] = 0 и ^ : ^Z —>71! является изоморфизмом.

Второй параграф посвящен описанию операторов, сохраняющих нормальные элементы. Его целью явлются следующие теоремы.

Теорема 8 Пусть А и А' центрально замкнутые первичные алгебры над полем Т с инволюцией второго рода. Предположим, что с^(.Д) > 2, с^(.Д') > 2, и сЬаг^) ф 2,3. Пусть в : А —» А'- — биективное линейное отображение, что элемент 9{х) является нормальным при условии, что х € А является нормальным. Тогда существуют О ф а € р, линейное отображение ¡3 : А —» 3- и *— (анти)эпиморфизм ф алгебры А на А' такие, что 0(х) = аф(х) + 0(х) для всех х Е А.

Теорема 9 Пусть А и А' центрально замкнутые первичные алгебры над полем Р с инволюцией первого рода. Предполоэюим, что с^(.4) > 6, , с^(.4') >13 и сЬаг^) ф 2,3. Пусть 9 : А —> А' — биективное *—линейное отображение, что элемент 0{х) является нормальным при условии, что х £ А является нормальным. Тогда существуют И 1)^2 € Цг ф (12, Ц1 ф —(¿2) линейное отображение и> : (¡С) —» Т, и *-эпиморфизм ф алгебры (К) на {К,') такие, что в(х) = ф(/лгх + ръх*) + и(х + х*) для всех х € {1С).

В четвертрй главе описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна. В частности, доказан следующий результат.

Теорема 10 Пусть 3- — коммутативное кольцо с 1 и пусть С — алгебра Ли над 3-, удовлетворяющая одному из двух условий: • г) Существует* первичная Т-алгебра А с расширенным центроидом С и центральным замыканием АС такая, что >5 и С — нецентральный лиев идеал алгебры А.

И) Существует первичная 3~-алгебра А с инволюи,ией первого рода, с расширенным центроидом С такая, что >10 и С = К{А).

Пусть * : С2 —у С — Ли-совместимое умножение на С. Тогда справедливо: a) Операция взятия третьей степени относительно умножения * : С2 С ассоциативна тогда и только тогда, когда существуют обратимый элемент t € С, элемент А £ С, Т-линейное отображение : С —> С, и симметрическое Т-билинейное отобраз/сение т : С2 —> С такие, что • x*y*=^{t[x,y] + \xoy + p(x)y + fj,(y)x + т(х,у)} (0.1) для всех х,у 6 С. Здесь х о у означает ху + ух. b) Алгебра (£, *) является гибкой тогда и только тогда, когда выполнено (0.1) и справедливо х,г/]) = 0 = т(х, [х,у]) для всех х,у € С.

Основные результаты работы следующие:

1. Рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени. Это обобщает результат Брешара [36] и подтверждает предположение [36, стр. 691].

2. Изложены необходимые понятия и результаты, относящиеся к конструкции d-свободных множеств, что является основой для приложений функциональных тождеств.

3. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых идеалов первичных колец [56, стр. 529].

4. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых колец кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией [56, стр. 529].

5. Рассмотрены задачи описания отображений, сохраняющих коммутативность, и отображений, сохраняющих нормальные элементы, что дает новый метод для работы с операторами, сохраняющими алгебраические свойства элементов и обобщает некоторые результаты статей [13, 32, 51, 52, 115, 116, 117, 118].

6. Описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна, что обобщает некоторые результаты работ [23, 25].

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы при исследовании некоторых вопросов теории колец.

Результаты-диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико - математического факультета МГУ в 1996-2003, на алгебраических семинарах Мариборского университета (Марибор, Словения), Тайваньского государственного университета (Тайбэй, Тайвань), университета им. Сунь Ятсена (Гаосюн, Тайвань) и университета им. Ченг Гуна (Тайнань, Тайвань), на конференции по теории колец в Мишкольце (Венгрия) в 1996, на конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева, в Петербурге в 1997, на конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша, в Москве в 1998, на алгебраической конференции в Тайнане (Тайвань) в 2001.

Основные результаты опубликованы в 26 работах, список которых приведен в конце диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 215 страниц, бибилиография включает 155 наименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович, 2004 год

1. К.И. Бейдар, Кольца с обобщенными тождествами 1.I, Вестник Моск. У нив. Сер. I Мат. Мех., 33 (1978), 66-73.

2. JI. А. Лагутина, Иордановы гомоморфизмы ассоциативных алгебр с инволюцией, Алгебра и логика, 27 (1988), 402-417.

3. В.К. Харченко, Дифференциальные тождества первичных колец, Алгебра и логика, 17 (1978), 220-238.

4. A.A. Albert, Power-associative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 64 (1948), 318-328.

5. S.A. Amitsur, Identities in rings with involution, Israel J. Math. 7 (1969), 63-68.

6. P. Ara, M. Mathieu, An application of local multipliers to centralizing mappings of C*—algebras, Quart. J. Math. Oxford, 44 (1993), 129-138.

7. R. Awtar, Lie and Jordan structures in prime rings with derivations, Proc. Amer. Math. Soc., 41 (1973), 67-74.

8. S.A. Ayupov, Anti-automorphisms of factors and Lie operator algebras, Quart. J. Math. Oxford, 46 (1995), 129-140.

9. S.A. Ayupov, Skew commutators and Lie isomorphisms in real von Neumann algebras, J. Funct. Anal., 138 (1996), 170-187.

10. S.A. Ayupov, N.A. Azamov, Commutators and Lie isomorphisms of skew elements in prime operator algebras, Comm. Algebra, 24 (1996), 1501-1520.

11. S. Ayupov, A. Rakhimov, S. Usmanov, Jordan, real and Lie structures in, operator algebras, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht / Boston/ London, 1997.

12. R. Banning, M. Mathieu, Commutativity preserving mappings on semiprime rings,Comm. Algebra, 25 (1997), 247-265.

13. L.B. Beasley, Linear transformations on matrices: the invariance of commuting pairs of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 6 (1978), 179-183.

14. K.I. Beidar, On functional identities and commuting additive mappings, Comm. Algebra, 26 (1998), 1819-1850.

15. K.I. Beidar, Y. Fong, On additive isomorphisms of prime rings " preserving polynomials, J. Algebra 217 (1999), 650-667.

16. K.I. Beidar, Y. Fong, P.-H. Lee, T.-L. Wong, On additive maps of prime rings satisfying the Engel condition, Comm. Algebra, 25 (1997), 3889-3902.

17. K.I. Beidar, Y. Fong, X.K. Wang, Posner and Herstein theorems for derivations of 3-prime near-rings, Comm. Algebra, 24 (1996), 15811589.

18. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, On functional identities in prime rings with involution, J. Algebra, 203 (1998), 491-532.

19. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, A.V. Mikhalev, Lieisomorphisms in prime rings with involution, J. Algebra, 169 (1994), 304-327.

20. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, A.V. Mikhalev, Rings with generalized identities, Marcel Dekker, Inc., New York / Basel/ Hong Kong, 1996.

21. H.E. Bell, W.S. Martindale III, Centralizing mappings of semi-prime rings, Can. Math. Bull., 30 (1987), 92-101.

22. H.E. Bell, W.S. Martindale III, Semiderivations and commutativity in prime rings, Can. Math. Bull., 31 (1988), 500-508.

23. G.M. Benkart, Power-associative Lie-admissible algebras, J. Algebra, 90 (1984), 37-58.

24. G.M. Benkart, J.M. Osborn, Flexible Lie-admissible algebras, J. Algebra 71 (1981), 11-31.

25. G.M. Benkart, J.M. Osborn, Power-associative products on matrices, Hadronic J. 5 (1982), 1859-1892.

26. P. Blau, Lie isomorphisms of prime rings satisfying St4, PhD thesis, Univ. of Massachusetts, 1996.

27. P.S. Blau, W.S. Martindale 3rd, Lie isomorphisms in *-prime GPI rings with involution, Taiwanese J. Math., 4 (2000), 215-252.

28. M. Bresar, Centralizing mappings on von Neumann algebras Proc. Amer. Math. Soc., Ill (1991), 501-510.

29. M. Bresar, On a generalization of the notion of centralizing mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 114 (1992), 641-649.

30. M. Bresar, Centralizing mappings and derivations in prime rings, J. Algebra, 156 (1993), 385-394.

31. M. Bresar, On skew-commuting mappings of rings, Bull. Austral. Math. Soc., 47 (1993), 291-296.

32. M. Bresar, Commuting traces of biadditive mappings, commutativity preserving mappings, and Lie mappings, Trans. Amer. Math. Soc., 335 (1993), 525-546.

33. M. Bresar, Derivations of noncommutative Banach algebras II, Arch. Math.; 63'(1994), 56-59.

34. M. Bresar, On certain pairs of functions of semiprime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 120 (1994), 709-713.

35. M. Bresar, On generalized biderivations and related maps, J. Algebra, 172 (1995), 764-786.

36. M. Bresar, Functional identities of degree two, J. Algebra, 172 (1995), 690-720.

37. M. Bresar, Applying the theorem on functional identities, Nova Journal of Mathematics, Game Theory, and Algebra., 4 (1) (1995), 43-54.

38. M. BressuvOn a certain identity satisfied by a derivation and an arbitrary additive mapping II, Aequationes Math., 51 (1996), 83-85.

39. M. Bresar, Functional identities: a survey, Contemp. Math., 259 (2000), 93-109.

40. M. Bresar, B. Hvala, On additive maps of prime rings, Bull. Austral. Math. Soc., 51 (1995), 377-381.

41. M. Bresar, W.S. Martindale 3-rd, C.R. Miers, Centralizing maps in prime rings with involution, J. Algebra 161 (1993), 342-357.

42. M. Bresar, W.S. Martindale 3rd, C.R. Miers, Maps preserving nth powers, Comm. Algebra 26 (1998), 117-138.

43. M. Bresar, C.R. Miers, Commutativity preserving maps of von Neumann algebras, Can. J. Math., 45 (1993), 695-708.

44. M. Bresar, C.R. Miers, Strong commutativity preserving maps of semiprime rings, Can. Math. Bull., 37 (1994), 457-460.

45. M. Bresar, C.R. Miers, Commuting maps on Lie ideals, Comm. Algebra, 23 (1995), 5539-5553.

46. M. Bresar, P. Semrl, Normal-preserving linear maps, Can. Math. Bull., 37 (1994), 306-309.

47. M. Bresar, P. Semrl, Linear preservers on B(X), Banach Center Publ. 38 (1997), 49-58.

48. M. Bresar, J. Skarabot, J. Vukman, On a certain identity satisfied by a derivation and an arbitrary additive mapping, Aequationes Math., 45 (1993), 219-231.

49. M. Bresar, J. Vukman, On left derivations and related mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 110 (1990), 7-16.

50. M. Bresar, J. Vukman, On certain subrings of prime rings with derivations, J. Austral. Math. Soc. Ser. A., 54 (1993), 133-141.

51. G.H. Chan, M.H. Lin, Linear transformations on symmetric matrices that preserve commutativity, Linear Algebra Appl., 47 (1982), 11-22.

52. M.D. Choi,, A.A. Jafarian, H. Radjavi, Linear maps preserving commutativity, Linear Algebra Appl., 87 (1987), 227-242.

53. L.O. Chung, J. Luh, On semicommuting automorphisms of rings, Canad. Math. Bull., 21 (1978), 13-16.

54. B: Felzenswalb, A. Giambruno, A commutativity theorem for rings, with derivations, Pacific J. Math., 102 (1982), 41-45.

55. I.N. Herstein, Jordan homomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., 81 (1956), 331-351.

56. I.N. Herstein, Lie and Jordan structures in simple associative rings, Bull, Amer. Math. Soc., 67 (1961), 517-531.

57. I.N. Herstein, NoncommutativeRings, The Carus Math. Monographs 15, Math. Assoc. of America, 1968.

58. I.N. Herstein, Topics in Ring Theory, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1969.

59. I.N. Herstein, Rings with Involution, The University of Chicago Press, 1976

60. I.N. Herstein, E. Kleinfeld, Lie mappings in characteristic 2, Pacific J. Math., 10 (1960), 843-852.

61. C. Lanski, On the relationship of a ring and the subring generated by its symmetric elements, Paci£c J. Math., 44 (1973), 581-592.

62. C. Lanski, Differential identities, Lie ideals, and Posner's theorems, Pacific J. Math., 134 (1988), 275-297.

63. C. Lanski, Differential identities of prime rings, Kharchenko theorem, and applications, Contemp. Math., 124 (1992), 101-128.

64. C. Lanski, An Engel condition with derivation, Proc. Amer. Math. Soc., 118 (1993), 731-734.

65. C. Lanski, S. Montgomery, Lie structure of prime rings of characteristic 2, Pacific J. Math., 42 (1972), 117-136.

66. F.J. Laufer 5 M.L. Tomber, Some Lie-admissible algebras, Canad.- J. Math.-14.(1962), 287-292. ■

67. P.—H. Lee, T.-K. Lee, Derivations centralizing symmetric or skew elements, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 14 (1986), 249-256.

68. P.-H. Lee, T.-K. Lee, Linear identities and commuting maps in rings with involution, Comm. Algebra, 25 (1997), 2881-2895.

69. P.-H. Lee, J.-S. Lin, R.-J. Wang T.—L. Wong, Commuting traces of multiadditive mappings, J. Algebra, 193 (1997), 709-723.

70. T.-K. Lee, Derivations and centralizing mappings in prime rings, Taiwanese J. Math., 1 (1997), 333-342.

71. T.—K. Lee, T.-C. Lee, Commuting additive mappings in semiprime rings, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 24 (1996), 259-268.

72. J. Lull, A note on commuting automorphisms of rings, Amer. Math. Monthly, 77 (1970), 61-622.

73. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of primitive rings, Proc. Amer. Math. Soc., 14 (1963), 909-916.

74. W.S. Martindale 3-rd, Lie derivations of primitive rings, Michigan J. Math. 11 (1964), 183-187.

75. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of prime rings, Trans. Amer. Math. Soc., 142 (1969), 437-455.

76. W.S. Martindale 3-rd, Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, J. Algebra, 12 (1969), 576-584.

77. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of simple rings, J. London Math. Soc., 44 (1969), 213-221.

78. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of the skew elements of a simple ring with involution J. Algebra, 36 (1975), 408-415.

79. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of the skew elements of a prime ring with involution, Comm. Algebra, 4 (1976), 927-977.

80. W.S. Martindale 3rd, Jordan homomorphisms onto nondegenerate Jordan algebras, J. Algebra, 133 (1990), 500-511.

81. W.S. Martindale 3-rd, C.R. Miers, Herstein's Lie theory revisited, J. Algebra, 98 (1986), 14-37.

82. M. Mathieu, G.J. Murphy, Derivations mapping into the radical, Arch. Math., 57 (1991), 469-474.

83. M. Mathieu, V. Runde, Derivations mapping into the radical, II, Bull. London Math. Soc., 24 (1992), 485-487.

84. J. Mayne, Centralizing automorphisms of prime rings, Can. Math. Bull., 19 (1976), 113-115.

85. J. Mayne, Centralizing mappings of prime rings, Can. Math. Bull.,27 (1984), 122-126. «

86. K. McCrimrnon, The Zelmanov approach to Jordan homomorphisms of associative algebras, J. Algebra, 123 (1989), 457-477.

87. D. Meng, C. Jiang, The derivation algebra and the universal central extensions of the ^-analog of the Virasoro-like algebra, Comm. Algebra, 26 (1998), 1335-1346.

88. C.R. Mi ers, Lie isomorphisms of factors, Trans. Amer. Math. Soc., 147 (1970), 55-63.

89. C.R. Miers, Lie isomorphisms of operator algebras, Pacific J. Math., 38 (1971), 717-735.

90. C.R. Miers, Lie *-triple homomorphisms into von Neumann algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 58 (1976), 169-172.

91. C.R. Miers, Lie triple derivations of von Neumann algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 71 (1978), 57-61.

92. C.R. Miers, Centralizing mappings of operator algebras, J. Algebra, 59 (1979), 56-64.

93. C.R. Miers, Commutativity preserving maps of factors, Canad. J. Math., 40 (1988), 248-256.

94. S. Montgomery, Constructing simple Lie superalgebras from associative graded algebras, J. Algebra, 195 (1997), 558-579.

95. H.C. Myung, Some classes of flexible Lie-admissible algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 167 (1972), 79-88.

96. H.C. Myung, Malcev-Admissible Algebras in "Progress in Mathematics," Vol. 64, Birkhâuser, 1986.

97. H.C. Myung, Lie-admissible algebras and the Virasoro algebra, J. Korean Math. Soc. 33 (1996), 1123-1128.

98. S. Okubo, Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics. Cambridge University Press, New York, 1995.

99. S. Okubo, H.C. Myung, Adjoint operators in Lie algebras and the classification of simple flexible Lie-admissible algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 264 (1981), 459-472.

100. К.И. Бейдсф, А.В. Михалев, М.А. Чеботарь, Тождества в кольцах. Tynà, Изд. ТулГУ, 2003, (диссертанту принадлежат параграфы 4.1, 4.3 и глава 5).

101. В.-Ф. Ке, М.А. Чеботарь, О биаддитивных отображениях некоторых алгебр Ли, Успехи Мат. Наук, 58 (2003), 183-184, (диссертанту принадлежит теорема 1).

102. М.А. Чеботарь, О лиевых автоморфизмах простых колец характеристики 2. Фундам. и Прикл. Мат. 2 (1996), 1257-1268.

103. М.А. Чеботарь, Функциональные тождества в первичных кольцах, Успехи Мат. Наук, 53 (1998), 207-208.

104. М.А. Чеботарь, О функциональных тождествах степени 2 в первичных кольцах, Фундам. Прикл. Мат., 6 (2000), 923-938.

105. М.А. Чеботарь, О решениях функциональных тождеств, Мат. Заметки, 74 (2003), 947-951.

106. K.I. Beidar, M. Bresar, М.А. Chebotar, Generalized functional identities with (anti)automorphisms and derivations on prime rings, J. Algebra, 215 (1999), 644-665, (диссертанту принадлежат теоремы 1.2 и 3.1).

107. K.I. Beidar, M. Bresar, М.А. Chebotar, Jordan isomorphisms of triangular matrix algebras over a connected commutative ring. Linear Algebra and Appl., 312 (2000), 197-201, (диссертанту принадлежит основная теорема).

108. K.I. Beidar, M.Bresar, М.А. Chebotar, Functional identities on rings of upper triangular matrices, J. Math. Sci., 102 (2000), 45574565, (диссертанту принадлежит теорема 1.1).

109. K.I. Beidar, M. Bresar, М.А. Chebotar, Functional identities revised: the fractional and the strong degree, Comm. Algebra, 30 (2002), 935-969, (диссертанту принадлежат параграфы 4, 5).

110. K.I. Beidar, M. Bresar, М.А. Chebotar, Functional identities with r-independent coefficients, Comm. Algebra, 30(12) (2002), 57255755, (диссертанту принадлежит параграф 3).

111. K.I. Beidar, M. Bresar, M.A. Chebotar, Y. Fong, Applying functional identities to some linear preserver problems, Pacific J. Math., 204 (2002), 257-271, (диссертанту принадлежат теоремы 3.1, 4.1 и параграф 5),

112. K.I. Beidar, М. Bresar, M.A. Chebotar, W.S. .Martindale 3rd, On functional identities in prime rings with involution, II, Comm. Algebra, 28 (2000), 3169-3189, (диссертанту принадлежат теоремы1.1, 2.2 и лемма 2.1).

113. K.I. Beidar, M.Bresar, M.A. Chebotar, W.S. Martindale 3-rd, On Herstein's Lie map conjectures, I, Trans. Amer. Math. Soc., 353 (2001), 4235-4260, (диссертанту принадлежат теоремы 1.1-1.6, 3.5, леммы 3.2, 3.3 и предложение 3.4).

114. K.I. Beidar, M.Bresar, M.A. Chebotar, W.S. Martindale 3-rd, . On Herstein's'Lie map conjectures, II, J. Algebra, 238 (2001), 239-264,диссертанту принадлежат теоремы 1.1, 1.3, 2.1, 2.2, 3.2, 3.6, 4.4, 4.5 и лемма 3.3).

115. K.I. Beidar, M.Bresar, M.A. Chebotar, W.S. Martindale 3-rd, On Herstein's Lie map conjectures, III, J. Algebra, 249 (2002), 59-94, (диссертанту принадлежит теорема 1.1).

116. K.I. Beidar, S.-C. Chang, M.A. Chebotar, Y. Fong, On functional identities in left ideals of prime rings, Comm. Algebra, 28 (2000) 3041-3058, (диссертанту принадлежат теоремы 1.2, 1.4-1.6, 2.3, 2.4, лемма 2.1 и параграф 3).

117. K.I. Beidar, M.A. Chebotar, On functional identities and ¿-free subsets of rings, I, Comm. Algebra, 28 (2000), 3925-3951, (диссертанту принадлежат теоремы 2.6, 2.8, 2.20, леммы 2.1, 2.2, 2.16, 2.18, предложения 2.7, 2.13 и замечания 2.5 и 2.11).

118. К.I. Beidar, M.A. Chebotar, On functional identities and ¿-free subsets of rings, II, Comm. Algebra, 28 (2000), 3953-3972, (диссертанту принадлежат теоремы 1.1, 1.2, 2.1, 2.3, 2.6, 2.9, 2.11, леммы2.2, 2.10).

119. K.I. Beidar, M.A. Chebotar, On Lie-admissible algebras whose commutator Lie algebras are Lie subalgebras of prime associativealgebras, J. Algebra, 203 (2000), 675-703, (диссертанту принадлежат теорема 1.1 и параграф 4).

120. K.I. Beidar, M.A. Chebotar, On surjective Lie. homomorphisms onto Lie ideals of prime rings, Comm. Algebra, 29 (2001), 4775-4793, (диссертанту принадлежат теоремы 1.1-1.6, 2.7, лемма 2.5, предложение 2.6 и параграф 3).

121. K.I. Beidar, M.A. Chebotar, On Lie derivations of Lie ideals of prime algebras, Israel J. Math., 123 (2001), 131-148, (диссертанту принадлежат теоремы 1.1-1.4, лемма 2.4 и параграф 3).

122. М. Bresar, M.A. Chebotar, On a certain functional identity in prime rings, Comm. Algebra 26 (1998), 3765-3782, (диссертанту принадлежат теорема 2.4, леммы 2.1, 2.2).

123. М. Bresar, M.A. Chebotar, On a certain functional identity in prime rings, II. Beitrage Alg. Geom. 43 (2002) 333-338, (диссертанту принадлежит лемма 2.2).

124. M.A. Chebotar, On generalized functional identities on prime rings, J. Algebra, 202 (1998), 655-670.

125. M.A. Chebotar, On Lie isomorphisms in prime rings with involution, Comm. Algebra 27 (1999), 2767-2777.