Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств К3 поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Никольская, Ольга Владимировна

• Никольская, Ольга Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Никольская, Ольга Владимировна

Оглавление

Введение

Глава 1

§ 1. О группах и алгебрах Ли

§ 2. Структуры Ходжа и классы Пуанкаре

§ 3. Точная последовательность, индуцированная спектральной

последовательностью Лере

§ 4. Свойства КЗ поверхностей. Группа Ходжа поверхности

типа КЗ

§ 5. Стандартная гипотеза типа Лефшеца

§ 6. Фундаментальная группа, представление монодромии,

пучки ЯЧ*(0>

Глава 2

§ 7. Некоторые замечания о группе Ходжа КЗ поверхности

§ 8. Алгебраические циклы на расслоенном произведении

§ 9. Доказательство стандартной гипотезы В(Х)

§ 10. О геометрии расслоенного квадрата гладкого семейства КЗ

поверхностей

Глава 3

§11. О представлениях монодромии, ассоциированных с гладкими

семействами КЗ поверхностей

§ 12. О геометрии гладких моделей расслоенных произведений семейств КЗ поверхностей с умножениями из мнимого

квадратичного поля

§ 13. Алгебраические циклы на гладкой модели расслоенного

произведения семейств КЗ поверхностей

§ 14. Алгебраические циклы на гладкой модели расслоенного

квадрата семейств КЗ поверхностей

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств К3 поверхностей»

Введение

Актуальность темы исследования и степень её разработанности.

Пусть X - гладкое проективное ¿-мерное многообразие над полем С комплексных чисел, и пусть (X, <0>) - (¡^-подпространство в Н2г(Х, Q), порождённое классами когомологий с\х{%) £ Н2г(Х, Q) алгебраических циклов Z коразмерности г на X. Гипотеза Ходжа утверждает, что

Н%{Х, <0>) = Я24(X, о) П НЦ{Х, С) Уг,

где Нг,г(Х, С) компонента типа (г, г) разложения Ходжа

Н21(Х,<$)®С = 0 Н™(Х,С)

р+д=2г

(см. [1]).

Напомним, что линейное отображение и* : Нг(Х,0) —> Ш(Х^) называется алгебраическим, если оно является ограничением отображения 0кНк(Х,0:) = Н*(Х,<$) Н*(Х,<$) , индуцированного элементом О-век-торного пространства Н*1ё(Х х X, (ф) [2, п. 1.3.6]. Другими словами, отображение и* алгебраическое, если существует алгебраический цикл Z с коэффициентами в поле <0> рациональных чисел (конечная формальная линейная комбинация с коэффициентами из <0> алгебраических подмногообразий на X х X), для которого и = с\ххх(%) и

и* : Н*(Х,<$) Н*(Х х Х,0) н*(Х

где рг1}

рг2 : X х X X - канонические проекции, линейные операторы рг|, рг2;)! определены формулами рг^гу) = го®1(1€<0> = Н°(Х, Q)), рг2Дс1х(аО ® и)) = ии {х £ X - некоторая точка, с1х(ж) е Н2<1(Х, (ф) - образующая 1-мерного пространства ю € Нк{Х,<$) и

рг2*(#*(Х, О) (8) Н'(Х, О)) = 0 для к ф 2причем по теореме КюннетаЯ*(Хх

3

= Если V® ^ И^ч

- О-подструктуры Ходжа, то мы называем линейное отображение —> И^ алгебраическим, когда оно является ограничением отображения и* : Н1(Х, <0>) -4- №(Х, О), индуцированного алгебраическим классом и € х X, Q).

Пусть Н - гиперплоское сечение многообразия X (сечение X гиперплоскостью проективного пространства Рп Э X). Обозначим через Ь оператор Лефшеца на Н*(Х, (¡2), определённый формулой Ьх = с1 х{Н) ^ х. Согласно сильной теореме Лефшеца отображение

является изоморфизмом для любого г < <1 Пусть Аа~г : Н2а~г(Х, <0>) ^ Нг(Х, Q) изоморфизм, обратный к

Ьа~\ Если для всех г < (1 изоморфизм А^ 1 алгебраический, то говорят, что для X верна стандартная гипотеза Гротендика В{Х) типа Лефшеца [4].

Для 2>_ 0 имеется примитивное разложение Лефшеца:

Н>(Х,®)= 0 Ькр1~2к{Х),

к>тах{0,]—<£)

где Р1(Х) = Н1{Х,0) П Кег1/*-ш (г < в) - примитивная часть Н\Х&) [3, § 3,(3.4)]. В частности, любой элемента; 6 Н^Х, Q) однозначно записывается в следующем виде:

Х = ЬкХу-2к,

где х^-2к £ Рз~2к(Х) [3, § 3, (3.3)]. Это разложение позволяет определить абстрактный оператор степени —2:

Ах = ^ Ьк~1х^2к-

к>тпах(1^—с1)

Стандартная гипотеза Гротендика В{Х) типа Лефшеца утверждает, что оператор А алгебраический [4]. Обозначим через СА двойственный оператор

для Ь в классической теории Ходжа (см. [5, гл. О, §6], [3, §3]). Тогда

СЛ х = к(й-з + к + 1)Ьк~1х^2к

к>т ах(1,

(см. [2, п. 1.4.2.2]) и гипотеза В(Х) эквивалентна алгебраичности СА.

Гипотеза В(Х) эквивалентна алгебраичности абстрактного оператора*, определённого формулой

= £ ( — 1) С/—2&+1)/2 [/~0+кх._2к . к>тах(0^—<1)

Из В(Х) следует гипотеза 0(Х) о совпадении численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов наХ. Более того, В(Х) о 0(ХхХ) и В(Х) => С(Х), где С(Х) утверждает алгебраичность компонент Кюннета класса диагонали Ах чХхХ [2]. Кроме того, В(Х) эквивалентна полупростоте 0>-алгебры Л(Х) алгебраических соответствий [6, предложение 1.7].

Стандартная гипотеза В(Х) типа Лефшеца верна для многообразий Грасс-мана, кривых, поверхностей и абелевых многообразий [2], а также для всех гладких 3-мерных проективных многообразий размерности Кодаиры < 3 (называемых также 3-мерными многообразиями неосновного типа) [7]. В частности, она верна для всех комплексных 3-мерных эллиптических многообразий. Кроме того, В(Х) выполняется для голоморфных симплектических многообразий, являющихся деформациями точечных схем Гильберта КЗ поверхностей [8], а также для некоторых 4-мерных эллиптических многообразий [9] и компактификаций минимальных моделей Нерона [10].

С другой стороны, В(Х) верна для многообразий размерности не более 4 [11] и для потенциально простых абелевых схем простой относительной размерности над гладкой проективной кривой [6, теорема 2.5]. Наконец, С(Х) верна для всех гладких проективных многообразий над конечными полями [12]. Все эти гипотезы совместимы с моноидальными преобразованиями вдоль замкнутых гладких неприводимых центров [13]. С другой стороны, И. Андре свел

гипотезу Ходжа для абелевых многообразий к стандартной гипотезеВ(Х) для всех абелевых схем 7Г : X —> С над гладкими проективными кривыми [14, теорема 0.6.2].

Целью настоящей работы является доказательство гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы типа Лефшеца для расслоенного квадрата гладкого проективного неизотривиального семейства К3 поверхностей над гладкой проективной кривой при условии, что ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое семейства является нечётным простым числом; гипотеза Ходжа доказана для расслоенного произведения двух неизотривиальных семейств КЪ поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой С при условии, что для любой точки б кривой хотя бы один из слоев семейств над этой точкой не имеет особенностей, ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое первого семейства является нечётным числом, отличным от ранга решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое второго семейства.

Основные задачи, решаемые в работе.

Гладкая комплексная проективная поверхность 5 называется К3 поверхностью, если Щ ^ Об и Я1 (5, £><?) = 0.

В дальнейшем 7Гк : Хк —> С (к = 1,2) — сюръективный морфизм гладкого проективного 3-мерного многообразия Xк на гладкую проективную кривую С, общий геометрический слой которого является КЗ поверхностью. Мы называем семейство щ ' Хк —> С неизотривиальным, если существуют хотя бы два неизоморфных гладких геометрических слоя морфизматгь Через К8(Х1в) обозначается группа Нерона-Севери К3 поверхности Х\8, порожденная классами когомологий алгебраических кривых, лежащих на гладком слое Х\8 мор-физма 7Г1.

В диссертации доказаны следующие основные теоремы:

Теорема 1. Пусть 7Гк : Хк —> С (к = 1,2) - проективное неизотривиаль-ное семейство К3 поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой

проективной кривой С.

Предположим, что множества Ак — {6 Е С | ^ 0} (к = 1,2) не

пересекаются.

Если для общих геометрических слоев и Х2з выполнены следующие условия:

(1) гапкЫЗ^хв) является нечётным числом;

(и) гапкЩХь) ф гапк^р^),

то для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ Хс Х2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

Если, кроме того, морфизмы 7Гх и гладкие, рк = 22 — гапкКЗ(Х^) (к = 1,2) - нечётные простые числа ир\ ^ р2, то для Х\ ХсХ2 верна стандартная гипотеза Гротендика об алгебраичности операторов * и Л теории Ходжа.

Здесь общность точки в £ С означает, что она принадлежит множеству С \ ДсоигйаЫе, где Дсои^аЫе - счётное подмножество, зависящее от семейств 7 мы можем также предполагать, что функции в гапкЫЗрГь) (к = 1,2) ПОСТОЯННЫ на множестве С \ ДСош^аЫе-

Теорема 2. Пусть С - гладкая проективная кривая над полем комплексных чисел, 7Г1 : Х\ —> С - гладкое проективное неизотривиальное семейство К3 поверхностей, причем для общего геометрического слоя Х\8 число 22 — гапкК8(Х1в) = р\ является нечётным простым. Тогда для расслоенного квадрата X = Х\ Хс Х\ верны гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза Гротендика В(Х) типа Лефшеца об алгебраичности операторов * и Л теории Ходжа.

Напомним, что алгебраичность оператора

* : Н10~{(Х, О) О), (г < 5)

эквивалентна существованию такого алгебраического цикла Z = прЕр коразмерности г на X х X с коэффициентами пр £ Q, что оператор * можно

представить в виде композиции

где рг^ : X х X —>■ X - канонические проекции.

Для гладкого слоя Х\8 через N8(0) (Х^)1 обозначается ортогональное дополнение подпространства ^(Х^) ®zQ С Я2(Х относительно ^ —произведения (пространство трансцендентных классов когомологий): N8(5(Х^)-1- = & е Я2(ХЬ, а) | ж - Г^БС-Х-!.) = 0}. Через Яё(Хи) обозначается группа Ходжа К3 поверхности Х\3.

Теорема 3. Пусть : Хк —> С (к = 1,2) - проективные неизотриви-алъпые семейства К3 поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой С. Предположим, что общие геометрические слои Хи, Х2з удовлетворяют следующим условиям.

(1) кольцо Епс1не(Х1») ^(^(Х^)-1- - мнимое квадратичное расширение

поля <0),

(и) гапк^рТь) ф 18,

(Ш) Епс^^) ^(^(Хгв)-1 — вполне вещественное поле или гапкК8(Х13) < гапкЩХ2я).

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ Хс Х2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

Здесь общность точки в £ С означает, что она принадлежит множеству С \ ДсоигйаЫе, где Асои^аЫе - счетное подмножество, зависящее от семейств щ; мы можем также предполагать, что кольцо^ = Епс^рГь) ^(^Х^)1- является мнимым квадратичным полем, не зависящим от выбора точки в Е С\ ДсошйаЫе, и что функции й I-)- гапкЫЗ(Х^5) постоянны на множестве С \ Дсош^аЫе (замечания 12.2, 9.2).

Теорема 4. Для проективных неизотривиальных семейств 7гк : Хк —> С К3 поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной

кривой С предположим, что общие геометрические слоиХг3, Х2з удовлетворяют хотя бы одному из следующих условий

(I) гапк^рГ^) является нечетным числом, гапк^р^ь) Ф гапкК8(Х25);

(II) гапкЩХь) ± 18, Еп<1ЫХи) Ш^Х^ = гапк^Х^) ф гапкЩХг*)-

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ Хс Х2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах

Теорема 5. Гипотеза Ходжа верна для гладкой модели X расслоенного квадрата Х\ Хс Xесли семейство К3 поверхностей 7Гг : Х\ —>• С неизотри-виалъное и для общего геометрического слоя Х\3 выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(ш) р\ = 22 — гапкМ8(Х1в) - нечетное простое число;

(1у) гапкЩХц) ф 18 и Епаад,)^^)-1 =

Теоремы 3-5 можно рассматривать как важные шаги в доказательстве стандартной гипотезы Гротендика В{Х) (типа Лефшеца) об алгебраичности оператора Ходжа "звездочка" и гипотетического существования мотивного разложения Чжоу-Лефшеца для некоторых гладких комплексных проективных многообразий X, которое обсуждается в работе Виала [15].

Если гипотеза В(Х) верна, то хорошо известно, что численная эквивалентность алгебраических циклов на X совпадает с гомологической, компоненты Кюннета класса диагонали Ах С X х X алгебраические, <0)-алгебра алгебраических самосоответствий на X является полу простой.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые исследованы алгебраические циклы на расслоенном произведении двух 1-параметрических семейств К3 поверхностей (с вырождениями) над гладкой проективной кривой в свете гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы В(Х) Гротендика.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение в

алгебраической геометрии, диофантовой геометрии и теории чисел. Они могут быть полезны при чтении специальных курсов студентам математических факультетов университетов.

Методология и методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории Ходжа, развитые в работах П. Делиня [16] и С.Цуккера [17].

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы типа Лефшеца для расслоенного квадрата гладкого проективного неизотривиального семейства К3 поверхностей над гладкой проективной кривой при условии, что ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое семейства является нечётным простым числом.

2. Доказательство гипотезы Ходжа для расслоенного произведения двух неизотривиальных семейств КЗ поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой С при условии, что для любой точки в кривой хотя бы один из слоев семейств над этой точкой не имеет особенностей, ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое первого семейства является нечётным числом, отличным от ранга решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое второго семейства.

Степень достоверности и апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2-7 июля 2010 года), на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года), на Рождественской математической встрече с П. Делинем 8-10 января 2012 года, посвящённой ХХ-летию Независимого Московского университета, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года), на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 5-9 июля 2013 года), на Международной конференции по

дифференциальным уравнениям и динамическим системам, (Суздаль, 4-9 июля 2014 года).

Все полученные в работе результаты являются достоверными.

Краткое содержание работы.

Глава 1 содержит обзор работ и основных результатов по теме диссертации, известных из литературы. В этой же главе приводятся основные понятия и обозначения, используемые в диссертации.

В § 1 приведены краткие сведения о группах и алгебрах Ли (включая классификацию простых алгебр Ли над полем С комплексных чисел), а также их линейных представлениях.

В § 2 рассматриваются классические результаты о структурах Ходжа, группах Ходжа и классах Пуанкаре.

В § 3 изучается точная последовательность рациональных структур Ходжа

0 Я2(С, К1-2тг*<® Кег[Нп{Х, <$) Я°(С, Яптг^)]

Я^С, Дп_17г*<0>) —> 0,

индуцированная спектральной последовательностью Лере.

В § 4 приведены некоторые сведения о КЗ поверхностях и поверхностях Куммера, дано определение группы Ходжа КЗ поверхности.

В § 5 обсуждаются эквивалентные формулировки стандартной гипотезы В(Х) типа Лефшеца, гипотезы -О(Х) о совпадении численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на X, гипотезы С(Х) об алгеб-раичности компонент Кюннета класса диагонали.

В § 6 рассматриваются фундаментальная группа кривой, представление монодромии, высшие прямые образы В?7Г*<0) постоянного пучка О.

Глава 2 содержит основные результаты диссертации.

В § 7 рассматриваются некоторые дополнительные сведения, восходящие к Ю.Г. Зархину, о группе Ходжа КЗ поверхности и ее линейном представлении в 2-мерных когомологиях.

Пусть 5 гладкая проективная поверхность типа КЗ. Рассмотрим разложение Ходжа

Я2(5, <0>) ®<г'С = Я2'°(5, С) 0 Я1»1 (5, С) ф Я°'2(5, С),

где Яр'9(5, С) - пространство гармонических форм типа (р, д). Известно, что Я2'°(5,С) Я°(5,^|), Я0,2(5, С) Я2(5,ОД являются одномерными пространствами над С.

Пусть и1 = {е{*|0 <Е К} - единичная окружность. Определим ее действие в Я2(5, <0>) С следующим образом: ег(? действует на Яр'9(5, С) как умножение на число егв^Р~я\ В итоге мы получаем морфизм групп

и1 Л ОЬ(Я2(5,0)^М),

где/г(ег61)(«;2,1+^0,2) = е^гУг.о+гии+е-2*®«^ на пространстве Я2(Я^)®® С.

По определению, группой Ходжа КЗ поверхности 5 называется наименьшая алгебраическая <0>-подруппа Щ(б') СЬ(Я2(5, О)), группа М-точек которой содержит /¿(С/1).

По теореме Лефшеца о дивизорах имеем:

Я2(5, = Я2(5, <0>) П Ям(5, С) = N8(5) о = N80(5),

где N8(5') группа Нерона-Севери поверхности 5, совпадающая с группой Пикара Р1с(5).

Пусть N8(2 (5)1 — ортогональное дополнение к N8(3(5) в Я2(5, <0>) относительно билинейного спаривания

<, >: Я2(5,0) х Я2(5,0) Я4(ЗД ф(-2)

Из описания Ю.Г. Зархиным группы ^(5) известно, что ^(5)-модуль N843(<9)-1-простой и Е = £7(5) Епс1нё(5) N8(0(5)-'- — вполне вещественное поле —

E0(S) или мнимое квадратичное расширение вполне вещественного поля Eq. Пусть

Ф : NSq(S)l х NSQ(5)± Е

— спаривание, определяемое формулой

< ех, у >= trj5/Q(ea!) для всех е Е.

Если Е = Eq, то группа Hg(S) полупростая,

Hg(S) = Res^/QCSOCNSQiS)^^)),

где Resi;0/Q(SO(NSQ(5)-L, Ф)) получается из £о-группы SO(NSq(S')-l, Ф) ограничением поля скаляров до Q. Лемма Шура и равенство

E®Q = EndHg(<?) NSq^)1- 0 Q

дают разложение

nSqOS)-1 о q = Vi e • • • e ve,

где e = [E : Q], Vi = Vi(S) (г = l,...,e) — неприводимые попарно неизоморфные ортогональные Hg(S') <g) Q-модули, образ канонического морфизма Eg(S)®Q -» GL(Vi) совпадает с SO(Vi), группа Галуа Gal(Q/Q) транзитивно переставляет Vi,...,Ve. Следовательно,

е ¿=1

Пара

(тип Lie Hg(5) <8> Q, NSqOS)1 <g> Q)

принимает одно из следующих значений:

(л1х---хА1 = Af, F(2J11)) 0 • • • 0 В( 2u;Je))) , если dim Ц = 3; (¿1 х ... х Ах = Af, + w{2)) е • • • е + w^)),

если dim V^ = 4; (в„ х • • • х вп = bj, я^1*) е • • • е яйе))),

если dim Vi = 2п -f 1, п > 2; (д, х • • • х Д» = Den, E(u\l)) 0 ••• 0 £Йе))) , если dimV^ = 2n, п> 3,

где через обозначается стандартное неприводимое представление со стар-

шим весом oj^ (в обозначениях Н.Бурбаки) г'-го простого фактора типа А\, Вп или Dn полупростой алгебры Ли Lie Hg(S) <g> Q.

Лемма Г.А. Мустафина [18, § 4, лемма 3]. Пусть р : д —» EndQ V — точное Q-неприводимое представление Q-полупростой алгебры JIu д, и пусть 9с — 9i х • • • х 9е — разложение на простые факторы комплексификации д, где е = dimQ(Z(Endg F)), Z(EndffV) — центр алгебры End5 V. Тогда алгебра Ли g Q-проста.

Согласно лемме Мустафина, алгебра Ли Lie Hg(5) является Q-простой, если dim Ц ф 4.

Предположим, что Е ф Eq. Тогда

Hg (S) = Res^^NS^S)^)),

где U(NSq(-S,)j-, Ф) — унитарная группа Е'-векторного пространства NSq(S')-l относительно эрмитовой формы Ф [19, теорема 2.3.1].

В этом случае легко проверить, что полупростая часть Lie Hg(S')ss(8)Q редук-тивной алгебры Ли LieHg(S')(S)Q является произведением ео = е/2 экземпляров простой алгебры Ли типа Ап (n > 1) и LieHg(S')ss <g> Q-модуль NSq(S,)± <g> Q

допускает разложение

N8^(5)^ 0 5 = 0 Е(ы$) ф • • • ф Е(и[ео)) ф

где Е(ш®) — стандартное неприводимое представление алгебры Ли типа Ап в (п + 1)-мерном пространстве над Q и Е(и$) = — представление,

двойственное стандартному (оно изоморфно п-й внешней степени стандартного представления).

В § 8 содержится доказательство гипотезы Ходжа для расслоенного произведения X = Х\ Хс Х2 двух семейств КЗ поверхностей при некоторых ограничениях на особые слои морфизмов тти : Хк —> С и ранги групп Нерона-Севери общих геометрических слоев. Вычисления основаны на следующей лемме:

Лемма 8.2. Пусть 7Г& : Хк —> С проективное неизотривиальное семейство КЗ поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой, причем для точки в €Е С', общей в смысле Ходжа для каждого из семейств 7Гк : Хк —> С, выполнены следующие условия: (1) гапк N8(^15) является нечётным числом; (и) гапк^рСь) ф гапк^р^). Тогда

Hom7rl(c,,s)(NSQ(Xls)J-,NSQ(X2s)±) = 0.

Спектральная последовательность Лере Е= НР(С, ЛУк^О) Н*(Хк,0>) (к = 1,2) вырождена [17, следствие (15.15)], причем краевое отображение

сюръективно, поэтому имеется точная последовательность ((|-структур Ходжа 0 Я2(С, Кет\Н21{Хк, Q) Я°(С, Д^Д»]

я1 (с, дя-Чд»-М).

Так как Xks является КЗ поверхностью для всех s Е Сто для s £ С' имеем:

H\Xks,Q) = H3(Xks,Q) = 0.

Поэтому пучок #2i-17Tfc*Q сосредоточен на конечном множестве А = С \ С' и, следовательно, Я1 (С, = 0.

В случае i = 1 получаем точную последовательность Q-структур Ходжа

0 Я2(С, Q) Н2(ХЬ Q) Н°(С, R27rk*Q) 0,

где Я2(С, Q) порождается алгебраическим классом clxfe(^b) слоя (и, следовательно, имеет тип Ходжа (1,1)).

Лемма 8.4. Рациональная структура Ходжа Я°(С, R2irk*Q) имеет тип (1,1)-

Лемма 8.5. Имеем: H2(Xk,Q) = NSq(Xä), H2(X,Q) = NSq(X). Согласно сильной теореме Лефшеца НА(Хк, Q) = H2(Xk,Q) ^ clxk(Hk), где Нк — гиперплоское сечение многообразия Хк. Поэтому из леммы 8.5 следует, что пространство Н4(Хк, Q) порождается алгебраическими классами когомоло-гий.

Существует каноническое сюръективное отображение ограничения

NSq№) = H2(Xk,Q) -> Я°(С", ^ H2(Xks,®y^ = NSq(Xks).

Поэтому элементы из NS<Q>(Xjfcs) поднимаются до алгебраических классов из H2(Xk,Q). С другой стороны, элементы пространства H4(Xks,Q)ni^c',s^ поднимаются до алгебраических классов из H4(Xk,Q), потому что каноническое отображение ограничения H4(Xk,Q) —> HA(Xks, Q)71"1^''^ сюръективно по теореме Делиня [16, теорема 4.1.1]. Пространство HQ{C',RA7r*Q) порождается образами алгебраических классов в Я4(Х, Q), лежащих в NSq(Xi) ' NSqP^), Я4(Хь Q), Н4(Х2, Q), где NSq(Xa;) отождествляется с образом NSq(X*;) при каноническом отображении qI : Н2(Хк: Q) w- Н2(Х, Q), определённом проекцией X = Х\ хс Х2 Хк и H4(Xk,Q) отождествляется с образом HA(Xk,Q)

16

при каноническом отображении : Я4(Х&,(0>) М- Я4(Х, О). В частности, имеется точная последовательность рациональных структур Ходжа

0-> (гдП Н1А(2,С)] [Я4(Х,<Ш П Я2'2(Х,С)]

-> Я°(С", Д4<0) -> 0.

Теорема Лефшеца о дивизорах на гладком (возможно, несвязном) многообразии Z показывает, что эта последовательность имеет вид

0 (гд/)* [.Н\Х,Q) П Н2'\х, С)] Я°(С", луда 0.

Поскольку Я°(С", Я4 7г^) порождается образами алгебраических классов на X, то Я4(Х, <0>) П Н2,2(Х, С) порождается классами когомологий алгебраических циклов коразмерности 2 на X. Значит, для X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

В § 9 содержится доказательство гипотезы В(Х) в случае, когда морфизмы 7Г& гладкие, числа = 22 — гапкКЗ(Х^5) (к = 1,2) — нечётные простые и рх ^ Р2- Заметим, что рк суть ранг решётки трансцендентных классов когомологий на Хка-

Используя идею доказательства теоремы 8.3 в [20], можно легко показать, что существует алгебраический изоморфизм

Я1 (С, Я6тг*(® В2тг*0),

определённый алгебраическим классом ¿*(с1 ххсх(Я)), где ¿ : X ХсХ чХхХ - каноническое вложение.

Значит, алгебраический класс ь*{с\ххсх{%)) даёт алгебраический изоморфизм

Кроме того, существуют алгебраические изоморфизмы

Я10(Х, О) Я°(Х, О), Я9(Х, Q) ЩН1{Х, Q)> Я8(Х, Q) ^ Я2(Х, О), Н6(Х, Q) ^ Я4(Х, О),

определённые соответственно алгебраическими циклами Пуанкаре

где Ф : Я{(Х,0) х _ форма поляризации на

X и группа Аи1;(Я*(Х, О), Ф)° диагонально действует на Н{(Х, <0>) <Э Н1(Х, О) (напомним, что по доказанному в § 8 пространства Н2(Х, <(])) и Я4(Х, <0>) порождаются алгебраическими классами). Значит В(Х) верна в силу теоремы 2.9 в [2].

В § 10 доказываются гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза В(Х) для расслоенного квадрата X — Х\ х с Х^ гладкого неизотривиального семейства 7Г1 : Х\ —ь С КЗ поверхностей при условии, что р\ = 22 — гапкК8(Х"13) — нечётное простое число для общего геометрического слояХ^.

Достаточно доказать гипотезу Ходжа для X = Х\ Хс Х\, потому что тогда гипотеза В(Х) легко проверяется с помощью метода из § 9.

Согласно следствию 0.9 в [21], для общей в смысле Ходжа точки в е С пространство ^^рГ^)-1 является абсолютно неприводимым Щ(Х15)-модулем, поэтому группа

Нё(Х15) = 8О(К80(Хь))±,Ф)

- простая алгебраическая группа типа ВЕ^.

2

Из результатов §8 имеем: Я2(ХьО) = Ш«^^), Н*(Хг,<0),

1*<0>) и Н2(Х, Q) порождены классами алгебраических циклов.

Согласно теореме 0.8 в [21] пространство Я4(Хь х Х\8, Q) П Н2'2{Х\3 х Х18,С) порождается классами пересечений дивизоров и классом диагонали Дх18 х Х\3 (в частности, гипотеза Ходжа выполнена для Х\а х Хи),

потому что для общей в смысле Ходжа точки в Е С, пространство N843 (Х!.,)1" является абсолютно неприводимым 1^(Х15)-модулем ([21, следствие 0.9]).

Заметим, что в силу результатов Окамото ([22, следствие 2.5]) класс

с1Х1вХХ1в(АХ1,)еЯ4(х15хХ18,0) 18

не когомологичен сумме пересечений дивизоров с коэффициентами из (р). Значит, образ

с\Х1ХсХ1(АХ1) е Н\Х! хсХи®) = Я4(Х,0)

при каноническом сюръективном морфизме Н4(Х, <0>) —»■ Я°(С, Я47г*<0)) не когомологичен сумме пересечений дивизоров, потому что

Я°(С,Я4тг*0)^Я4(Х15 х Х1з,®У^ С Н\Хи х Хи,®)

суть образ Н4(Х, О) при каноническом морфизме ограничения

Н\Х,®) Н\Х1з х Х1в,0).

Обозначим через АХг диагональ в Х\ Хс Х\ = X. Тогда алгебраический класс с^Дхх) принадлежит Н4(Х, 0>), потому что АХ1 имеет коразмерность 2 в X.

У нас есть точная последовательность <0>—структур Ходжа

О Я2(С, Я2тгД}) Кег[Я4(Х, <® Я°(С, ЯЧф)] Я^С, Я3тг*®) 0.

Отображение Н4(Х, <0>) —»• Я°(С, Я47г*(0)) сюръективно по теореме Делиня [16, теорема 4.1.1]. Кроме того,

Я°(С, Я4тг,О) = Я°(С, Я4ТГ1^) 0 Я°(С,Д2тгцф <8> Л2^) 0 Я°(С, Я47гьО);

при этом Я0(С, Я47Г1*(0)) входит в точную последовательность

0 Я2(С, Я27Г1,0) Я4(ХЬ <® Я°(С, Я4тгьО) 0,

пространство Н4(Х\:®) порождено алгебраическими циклами и даже классами пересечений дивизоров. В частности, Я°(С, Я47Г1*(0>) порождается образами классов пересечений дивизоров на Х\ и, следовательно, на X.

Из этих результатов следует, что Я0 (С, И47г*0)) порождено образами пересечений дивизоров на X и образом класса с\Х1ХсХ1(АХ1) = с1х(Ахх) в Я°(С,Я4 тгДЮ.

Осталось заметить, что Н2{С, В2тг*($) = Я2(С, В2тгиО) ф Н2(С, В2тгь<(2) порождается классами пересечений дивизоров на множителях расслоенного произведения X = Х\ Хс Х\ и, следовательно, на X.

В главе 3 мы доказываем следующие основные результаты: Теорема 3. Пусть тгк : Хк —> С (к — 1,2) - проективные неизотриви-альные семейства К3 поверхностей (возможно с вырождениями;) над гладкой проективной кривой С. Предположим, что общие геометрические слои Хъз удовлетворяют следующим условиям

(I) кольцо Епс^р^!,,) ^(фрГ!,;)-1 - мнимое квадратичное расширение поля <0>,

(II) гапкЩХь) ф 18,

(III) Епс1нё(Х2в) ^(^(Хгз)"1 — вполне вещественное поле или

гапкЩХь) < г&пк№(Х2з).

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ Хс X2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

Теорема 4. Для проективных неизотривиалъных семейств 7гк ' Хк —> С К3 поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой С предположим, что общие геометрические слоиХ\8, Х2в удовлетворяют хотя бы одному из следующих условий

(I) гапкN8(^13) является нечетным числом, гапкЫвр^) ф гапк^(Х2в);

(II) гапкЩХь) ф 18, Еп<1Яё{хи) ^{Х^)1- = О, гапкЩХь) ф ггткЩХ2я).

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ Хс Х2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах

Теорема 5. Гипотеза Ходжа верна для гладкой модели X расслоенного квадрата Х\ Хс Х\, если семейство КЗ поверхностей тг\ : Х\ —)• С неизотри-виальное и для общего геометрического слоя Х\8 выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(Ш) р\ = 22 — гапк N8(^18) - нечетное простое число;

(iv) rankNS(Xls) ф 18 и EndHg(xls) NSgpTi,)-1- = Q.

Теоремы 3-5 можно рассматривать как важные шаги в доказательстве стандартной гипотезы Гротендика В{Х) (типа Лефшеца) об алгебраичности оператора Ходжа "звездочка" и гипотетического существования мотивного разложения Чжоу-Лефшеца для некоторых гладких комплексных проективных многообразий X, которое обсуждается в работе Виала [15].

В § 11 рассматриваются представления монодромии, ассоциированные с гладкими семействами КЗ поверхностей.

11.2. Лемма. Если для общих геометрических слоев X\s: X<i$ кольцо EndngpsTia) NSQpfi,^ - мнимое квадратичное расширение поля Q, rankNS(Xis) ф 18, причём EndHg(x2s) NSq(X2S)_l - вполне вещественное поле или rankNSpfig) < rankNS(X2S), то

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никольская, Ольга Владимировна, 2014 год

Список литературы

[1] Hodge, W. V.D. The topological invariants of algebraic varieties /W.V.D. Hodge// Proceedings of International Congress of Mathematicians. — 1952. — V. 1. - P. 182-192.

[2] Kleiman, S.L. Algebraic cycles and the Weil conjectures /S.L. Kleiman// Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris. - 1968. - P. 359-386.

[3] Чжэнь, Ш.-Ш. Комплексные многообразия /Ш.-Ш. Чжэнь. — M.: Иностранная литература, 1961. — 240 с.

[4] Grothendieck, A. Standard conjectures on algebraic cycles /А. Grothendieck// Algebraic Geometry, Internatioal Colloguium (Bombay, 1968), London: Oxford University Press. - 1969. - P. 193-199.

[5] Гриффите, Ф. Харрис, Дж. Принципы алгебраической геометрии: в 2 т. /Ф. Гриффите, Дж. Харрис. - М.: Мир, 1982. - 2 т.

[6] Танкеев, С.Г. О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая — 2005. - Т. 69. -К0- 1. - С. 145-164.

[7] Танкеев, С.Г. О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. - 2011. - Т. 75. - № 5. - С. 177-194.

[8] Charles, F. Markman, Е. The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert shemes of КЗ surfaces /F. Charles, E. Markman// Compositio Mathematika. - 2013. - V. 149. - № 3. - P. 481-494.

[9] Танкеев, С.Г. О стандартной гипотезе для комплексных 4-мерных эллиптических многообразий /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. - 2012. - Т. 76. - № 5. - С. 119-142.

[10] Танкеев, С.Г. О стандартной гипотезе для комплексных 4-мерных эллиптических многообразий и компактификаций минимальных моделей Нерона /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. — 2014.

- Т. 78. - № 1. - С. 181-214.

[11] Lieberman, D.I. Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds /D.I. Lieberman// American Journal of Mathematics. — 1968.

- V. 90. - № 2. - P. 366-374.

[12] Katz, N.M. Messing, W. Some consequences of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields /N.M. Katz, W. Messing// Inventiones Mathematicae.

- 1974. - V. 23. - № 1. - P. 73-77.

[13] Танкеев, С.Г. Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. — 2007.

- Т. 71. - № 3. - С. 197-224.

[14] André, Y. Pour une théorie inconditionnelle des motifs /Y. André// Institut

s

des Hautes Etudes Scientifiques Publications Mathématiques. — 1996. — V. 83.

- P. 5-49.

[15] Vial, Ch. Projectors on the intermediate algebraic Jacobians /Ch. Vial// New York Journal of Mathematics. - 2013. - V. 19. - P. 793-822.

[16] Делинь, П. Теория Ходжа. II /П. Делинь// Математика. Сборник переводов иностранных статей. — 1973. — Т. 17. — № 5. — С. 3—56.

[17] Zucker, S. Hodge theory with degenerating coefficients: L2 cohomology in the

Poincare metric /S. Zucker// Annals of Mathematics (2). - 1979. - V. 109. -№ 3. - P. 415-476.

[18] Мустафин, Г.А. Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы /Г.А. Мустафин// Известия АН СССР. Серия математическая.

- 1985. - Т. 49. - № 5. - С. 948-978.

[19] Zarhin, Yu.G. Hodge groups of КЪ surfaces /Yu.G. Zarhin// Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1983. — V. 341. — P. 193—220.

[20] Танкеев, С.Г. О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. — 2010. — Т. 74. — № 1. — С. 175-196.

[21] Танкеев, С.Г. Об арифметике и геометрии общего гиперповерхностного сечения /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. — 2002.

- Т. 66. - № 2. - С. 173-204.

[22] Okamoto, М. On a certain decomposition of 2-dimensional cycles on a product of two algebraic surfaces /М. Okamoto// Proceeding of Japan Academy. Series A. - 1981. - V. 57. - № 6. - P. 321-325.

[23] Никольская, O.B. О геометрии расслоенного произведения двух гладких семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2-7 июля 2010 года). Тезисы докладов. — 2010. — С. 139-140.

[24] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на расслоенном произведении гладких семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года). Тезисы докладов. — 2011. — С. 150-152.

[25] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года). Тезисы докладов. - 2012. - С. 128-129.

[26] Никольская, О.В. О циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 5-9 июля 2013 года). Тезисы докладов. - 2013. - С. 177-179.

[27] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей с вырождениями рационального типа /О.В. Никольская// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, (Суздаль, 4-9 июля 2014 года). Тезисы докладов. — 2014. — С. 126—127.

[28] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Известия РАН. Серия математическая. - 2013. - Т. 77. - № 1. - С. 145-164.

[29] Никольская, О.В. О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Математический сборник РАН. - 2014. - Т. 205. - № 2. - С. 123-130.

[30] Никольская, О.В. Об алгебраических классах когомологий на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Математические заметки. — 2014. — Т. 96. — № 5. — С. 738-746.

[31] Gordon, В.В. A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties, Appendix in: J.D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture /В.В. Gordon// Second edi-

tion, CRM Monograph Series, American Mathematical Society, Providence, RI.

- 1999. - V. 10. - P. 297-356.

[32] Зархин, Ю.Г. Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий /Ю.Г. Зархин// Известия АН СССР. Серия математическая. - 1984. - Т. 48. - № 2. - С. 264-304.

[33] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли: в 3 т. / Н. Бурбаки. - М.: Мир, 1972. — Т. 1. - 333 е., 1976. - Т. 2. - 496 е., 1978. - Т. 3. - 344 с.

[34] Birkenhake, С. Lange, H. Complex Abelian variaties /С. Birkenhake, H. Lange.

— Second edition. — Berlin: Berlin Springer, 1992. — 635 p.

[35] Бурбаки, H. Элементы математики. Алгебра. Гл. VII - IX. Модули, кольца, формы./Н. Бурбаки. — М.: Наука, 1966. — 556 с.

[36] Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства /С. Хелгасон. — М.: Мир, 1964. — 536 с.

[37] Kempf, G. Knudsen, F. Mumford, D. Saint-Donat, В. Toroidal embeddings. I. Lecture Notes in Mathematics /G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat. - Berlin - New York: Springer-Verlag, 1973. - V. 339. - 209 p.

[38] Танкеев, С.Г. О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми /С.Г. Танкеев// Известия РАН. Серия математическая. - 2003. - Т. 67. - № 3. - С. 183-224.

[39] Deligne, P. Théorie de Hodge. Ill /Р. Deligne// Institut des Hautes Études Scientifiques Publications Mathématiques. — 1974. — V. 44. — P. 5—77.

[40] G. Shimura, Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field /G. Shimura// American Journal of Mathematics. — 1955. —

V. 77. - № 1. - P. 134-176.