Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Попов, Олег Николаевич

• Попов, Олег Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Олег Николаевич

Оглавление

Введение

Обозначения

0 Предварительные сведения И

0.1 Глубина и коэн-маколеевость.

0.2 Комплекс Игона-Норкотта

0.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцами.

0.4 Базисы Грёбнера.

0.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую сумму

0.6 Простые и сепарабельные алгебры.

0.7 Максимально центральные алгебры.

1 Доказательство теоремы

1.1 Случай 1 =

1.2 Случай I >

2 Доказательство теоремы

2.1 Случай коэн-маколеевости.

2.2 Случай точного функтора.

3 Доказательство теоремы 3 46 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерных алгебр»

Настоящая работа, находящаяся на стыке коммутативной и некоммутативной алгебры, посвящена исследованию алгебраического обобщения одной задачи, возникшей в области приложений коммутативной алгебры к линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. Эти приложения разрабатываются более полувека: инвариантный способ описания системы линейных дифференциальных уравнений Dnfx + . + Dlmfm = О, t Aii/i Н-----Ь Dnmfm = о, где fj — функции нескольких вещественных переменных, Dij — дифференциальные операторы, заключается в рассмотрении (левого) модуля М над кольцом дифференциальных операторов (D-модуля). являющегося фактором свободного модуля ранга т по подмодулю, порождённому строками матрицы (В^). Тогда,, рассматривая кольцо гладких (аналитических, обобщённых) функций О как модуль над кольцом дифференциальных операторов, легко увидеть, что пространство гладких (соотв., аналитических, обобщённых) решений нашей системы отождествляется с пространством гомоморфизмов £>-модулей Нот(М, О): образующие М переходят в функции fj, которые удовлетворяют системе уравнений, потому что на образующие модуля были наложены соотношения. Но кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами является кольцом (коммутативных) многочленов от операторов ^ первых частных производных по переменным, так что в случае постоянных коэффициентов таким образом получается модуль над кольцом многочленов. Многие содержательные свойства решений системы дифференциальных уравнений естественно переформулируются в терминах коммутативно-алгебраических свойств этого модуля, см., в частности, [19].

В статье [1] рассматривался модуль над кольцом многочленов, сопоставленный таким образом системе Коши-Фуэтэ, задающей кватернионно-дифференцируемые функции. Это модуль Мп = R4/(An), где Ап — матрица . |Uni (Ап) — подмодуль, порождённый её столбцами,

Vi Zi ti у

-Уг Xi ti ~Zi

Zi -и Xi Vi ti Zi -Vi Xi J a R = k[{®i, yi, Zi, k — поле.

Авторы показывали, что проективная размерность этого модуля равна 2n — 1, и выводили отсюда, что вялая размерность пучка кватернионно-дифференцируемых функций п переменных тоже равна 2п — 1 [1, Theorem 3.1] и что когомологии этого пучка, начиная с (2п — 1)-й, на любом открытом подмножестве в Н™ обращаются в нуль [1, Cor. 3.4].

Авторы использовали некоторые понятия и методы коммутативной алгебры, которые мы сейчас напомним. Дальнейшие детали и ссылки см. в разделе 0.1.

Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — R-модуль. Последовательность ai,.,an е R называется М-регулярной, если (ai,., ап)М ф М и для i от 1 до п в модуле M/(«i,., Oji)M умножение на а{ инъективно.

Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — R-модуль, I С R ~ идеал, и IM ф М. Длцна depth(7, М) любой максимальной М-регулярной последовательности в I называется глубиной М относительно I. При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.

Формула Ауслендера—Буксбаума. Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М + pd М = dim R.

Авторы вычисляли проективную размерность при помощи формулы Аус-лендера-Буксбаума, а не построением резольвенты, так как этот путь они считали слишком сложным. Необходимая для применения формулы Ауслен-дера-Буксбаума глубина этого модуля, равная 2п + 1, вычислялась в [1] посредством явного (при помощи базисов Грёбнера) предъявления Л^п-после-довательности. В статье также была найдена размерность Крулля Л4п, для чего рассматривалось касательное пространство к носителю этого модуля в

С471 = Specm R для к = С. Таким образом была доказана коэн-маколеевость этого модуля, то есть равенство размерности Крулля и глубины (определение 0.1.6).

В статье [2] авторы продолжили исследования этого модуля с помощью базисов Грёбнера, найдя (градуированные) числа Бетти (то есть ранги и сте- . пени порождающих для членов градуированной минимальной свободной резольвенты мп), ряд Гильберта (то есть размерности однородных компонент модуля) и кратность ЛЛп (то есть асимптотику роста размерности однородной компоненты модуля с ростом степени этой компоненты). Мы напомним точные определения и основные свойства этих понятий в разделе 0.3.

Аналогичные исследования других систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами проводились в [8], [12], [13].

Как объяснено в начале, в [1] матрица Лп получилась из системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, задающей ква-тернионно-дифференцируемые функции, транспонированием и заменой операторов частных производных по переменным на сами переменные. Однако можно заметить (ср. [2, Introduction]), что матрица Щ есть матрица левого л умножения на Х{ — у{% — zij — Uk в базисе 1, г, j, к. Такой взгляд на матрицу Лп позволил, как заметил Е. С. Голод, полностью понять структуру модуля А4п, в частности, его проективной резольвенты. Комплексифицируем алгебру ква- . тернионов. Так как при замене базиса в алгебре матрица U% заменяется на сопряженную и в ней происходит линейная замена переменных, то структура модуля Л4п от этого не изменится. Поэтому изоморфизм Н <S>r С = Мг(С) — матричной алгебре — позволяет в базисе из матричных единиц придать матрице Ui вид щ b{ q ^

Ci di q fy

Ci di J то есть Mn = M'n ® где M!n ~ фактор R2 по столбцам общей 2 x 2n-матрйцы. А про M!n известно [6], что это — коэн-маколеев модуль проективной размерности 2п — 2 + 1 = 2п — 1 и что его минимальная резольвента — это комплекс Игона-Норкотта (называемый в [11] комплексом Буксбаума-Рима, см. раздел 0.2). Это описание резольвенты позволяет упростить доказательства основных результатов из [2], см. главу 3 настоящей работы.

Отсюда возникло следующее обобщение этой задачи. Пусть А — конечнот мерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к с базисом /i,., а р : А —>• Мп(к) — её матричное представление, отвечающее А-модулю М, dimk М — п. Зададим натуральное I и рассмотрим кольцо многочленов R = к[жц,., хм] и модуль Fi(M) над ним (FlR(M), если надо явно указать кольцо многочленов, так как иногда мы будем рассматривать и кольцо многочленов, содержащее некоторые дополнительные переменные), являющийся фактормодулем свободного .R-модуля Rn по подмодулю, порождённому столбцами матриц Idj = ^ p(fi)xij, j — 1, • • • Л (Id^, если нам потребуется явно указать алгебру А во избежание путаницы). Мы исследуем вопрос о коэн-маколеевости и размерности модулей Fi(M) и их аннуляторов.

Ответ на этот вопрос оказался связан с классом максимально центральных алгебр, введённым Адзумая в [3, 4]:

Определение [3, §2]. Конечномерная ассоциативная алгебра А над к с единицей называется максимально центральной алгеброй, если А — прямая сумма алгебр А{, факторы которых по радикалу просты и t dimk А{ < t- dimk Z(Aj), где tf — это ранг А%/ rad А{ над своим центром и на самом деле имеет место равенство. *

Если ti одинаковы для всех слагаемых, то будем называть максимально центральную алгебру разноразмерной.

Другие эквивалентные определения этих алгебр приводятся в разделе 0.7. Результаты дальнейшего развития работ Адзумая, приведшего к понятию алгебр Адзумая, см., в частности, в [9]. В настоящей работе доказывается

Теорема 1. Пусть либо I = 1, либо А — максимально центральная алгебра. Тогда

1) Fi(-) есть точный вполне строгий функтор из категории конечномерных А-модулей в категорию градуированных R-модулей и однородных гомоморфизмов степени 0;

2) если 1 = 1 или А разноразмерна cti = n, то функтор Fi(-) переводит конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули проективной размерности (I — l)n+ 1 (что равно 1 при I = 1), а для произвольной максимально центральной А функтор Fi(-) переводит неразложимые конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули;

3) при I = 1 для любого М аннулятор Fi(M) — главный идеал.

Имеется обратный результат:

Теорема 2. Если для некоторого I > 1 либо функтор Fi точен, либо для всех неразложимых модулей М модули Fi(M) коэн-маколеевы, то А — максимально центральная алгебра, а если отбросить условие неразлооюимости, то А — равноразмерная максимально центральная алгебра. Более того, для произвольной (ассоциативной с 1) алгебры А для некоторого А-модуля М и некоторого I > 1 модуль Fi(M) коэн-маколеев, если и только если А/ ann М — равноразмерная максимально центральная алгебра.

Полученная при доказательстве теоремы 1 информация о минимальной резольвенте модулей Fi(M) (лемма 1.9) позволяет найти различные инварианты этих модулей и, в частности, передоказать и обобщить основные результаты статьи [2]:

Теорема 3. Пусть максимально центральная алгебра А равпоразмерна и все U равны п. Тогда для любого А-модуля М инварианты Fi{M) получаются умножением на dim^М/п из инвариантов F\{P) для простого А-модуля Р, где А = A — к-алгебра, к — алгебраическое замыкание к. А инварианты модуля Fi(P) имеют следующие значения:

• числа Бетти &о = n, &i = /п, = (n+"i) ("п-Т3) пРи * ^ сосредоточенные в степени 0,1, п+i — l соответственно (то есть ранги модулей Fi в минимальной градуированной свободной резольвенте равны fy и у каждого Fi все образующие имеют одну и ту же степень, равную О при г — 0, 1 при г = 1, п + г — 1 при г ^ 2);

• коэн-маколеев тип t — 6(/i)n+j =

• ряд Гильберта f^2k^mkFi(P)ktk, где Fi(P)k — однородная компонента модуля степени к)

Fi{P){t) = (1 - tf~J2 (ln) (п - i=(Лг ^

• кратность е = (dimR — (I - 1 )n 2)! lim dimkFl(P)k/kdimR-{l-1)n-2 = k-teo

Заметим, что рассматриваемым модулям над кольцом многочленов можно при помощи конструкции, описанной в начале введения, сопоставить некоторые системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, что даёт возможность проинтерпретировать полученные результаты в терминах теории уравнений с частными производными. Помимо этого, результаты этой работы могут найти применение в кватернионном анализе: было бы интересным получить из комплекса Игона-НоркОтта, являющегося минимальной резольвентой модуля М.п из [1], явную ацикличную резольвенту для пучка кватернионно-дифференцируемых функций — аналог комплекса Дольбо в комплексном анализе — и с её помощью дать для теоремы 3.1 и следствия 3.4 из [1] аналитические доказательства, которых не хватает авторам. Заметим также, что в работе [13] авторам удалось исследовать соответствующие модули при помощи базисов Грёбнера только путём компьютерных вычислений при «числе переменных» 2 и 3, так что, возможно, применение в той задаче методов коммутативной алгебры, аналогичных использованным в диссертации, позволит продвинуться дальше.

Глава 0 содержит предварительные сведения: разделы 0.1-0.3 посвящены коммутативной алгебре, а разделы 0.5-0.7 — теории конечномерных ассоциативных алгебр. В разделе 0.7 доказывается эквивалентность нескольких определений максимально центральной алгебры (предложение 0.7.1), из которых, по-видимому, пункты 2) и 7) являются новыми. Также приводится пример, показывающий, что пункт 7) равносилен остальным только в случае совершенного поля, а иначе накладывает более сильное ограничение. Три следующие главы посвящены доказательству теорем с соответствующими номерами.

Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 1999-2004 годах и опубликованы в работах [22], [23], [24], [25]. Автор хотел бы поблагодарить своего научного руководителя проф. Е. G. Голода за постоянное внимание и поучительные замечания, рецензента работы [23] за упрощение некоторых рассуждений, а также А. А, Герко за мотивацию доделать эту работу.

Обозначения

R — поле вещественных чисел, С — поле комплексных чисел, Н — тело кватернионов, ¥р — конечное поле из р элементов,

Мп(К) — кольцо матриц размера п х п с элементами из кольца К, к — некоторое поле,

А — конечномерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к, к — алгебраическое замыкание поля k, t

А = А ®к к,. ь • • •) fd — базис А как векторного пространства над к, R = к[жц,., Xdi] — кольцо полиномиальных функций на аффинном пространстве АК

Рм — матричное представление алгебры А, соответствующее конечномерному А-модулю М,

Idj или Id^ — общий элемент алгебры А, координатное описание см. во введении, бескоординатное — в начале гл. 1,

Fi(-), или F^(-), или F{K(-) — исследуемый функтор, координатное описание см. во введении, бескоординатное — в начале гл. 1; здесь R (или R со штрихами) обозначает кольцо многочленов, используемое в конструкции, а К (буква, отличная от R со штрихами) — конечномерную алгебру," над которой производится конструкция,

SlG — симметрическая степень (свободного модуля над коммутативным кольцом),

S(G) — симметрическая алгебра векторного пространства, Д%G — внешняя степень (свободного модуля над коммутативным кольцом),

G* — двойственный модуль (свободного модуля над коммутативным кольцом), dimM — размерность Крулля (модуля М над кольцом многочленов), supp М — носитель модуля над коммутативным .кольцом, dimk М — размерность векторного пространства М над к, 1(М) — длина модуля М над конечномерной алгеброй, depth М — глубина градуированного модуля над кольцом многочленов в однородном максимальном идеале (см. раздел 0.1), Q(K) — поле частных коммутативного кольца К, k(p) = Q(K/p) — поле вычетов простого идеала р в коммутативном кольце

К, pd М — проективная размерность модуля над кольцом многочленов, Mi — однородная компонента степени г градуированного модуля М над кольцом многочленов;

М[г] — сдвиг градуировки градуированного модуля над кольцом многочленов (M[i]j = Mi+j),

M(t) 6 %[[t]\ — ряд Гильберта градуированного модуля М над кольцом многочленов, ht I — высота идеала в коммутативном кольце,

Ass М — множество ассоциированных простых идеалов модуля над коммутативным кольцом, ann М — аннулятор модуля, Z(K) — центр кольца К,

К0 — противоположное кольцо кольца К (множество элементов и сложение те же, что ив К, & произведение ab в К0 равно произведению Ьа в К), rad К — радикал конечномерной алгебры К, Br(F) — группа Брауэра поля F,

Br(F, L) — подгруппа в Br(F), состоящая из классов центральных простых алгебр, расщепляющихся над расширением L поля F,

H2(G, К*) — вторые когомологии группы G с коэффициентами в мультипликативной группе поля К.

Глава О

Предварительные сведения

0.1 Глубина и коэн-маколеевость

В данной работе используются градуированные версии этих понятий, аналогичные локальным, рассмотренным в [20], где глубина называется гомологической коразмерностью. Изложение для градуированного случая можно найти в [5, §1.5], но мы всюду, где это возможно, предпочитали давать ссылки на имеющуюся литературу на русском языке.

Определение 0.1.1. ([11, Chap. 17, р. 423]; [20, гл. IV, А.4], М-последовательность.) Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — R-модулъ. Последовательность ai,., ап € R называется М-регулярной, если (ai,., ап)М ф М и для % от 1 до п умножение на щ в модуле М/(а\,., Oji)iW инъективно.

Предложение 0.1.2. [11, Theorem 17.4] Пусть I — идеал в R и IM ф М. Тогда все максимальные (т.е. непродолжаемые) М-регулярные последовательности в I имеют одну и ту же длину.

Определение 0.1.3. ([11, 17.2, р. 429], [20, гл. IV, А.4, определение б].) В условиях предыдущего предложения длина depth(/, М) любой максимальной М-регулярной последовательности в I называется глубиной М относительно I.

При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.

Предложение 0.1.4. ([6, Theorem 16.11], [11, Prop. 18.4, Cor. 18.6], [20, гл. IV, А.4, предложение 6 и далее].) Для любого конечно порождённого R-модуля М имеем: depth(7, M) ^ dimM, где dim M — размерность Крулля; depth (7, M) = min{z| ExVR(N, M) ф 0}, где N — конечно порождённый модуль с носителем, равным замкнутому множеству, определённому идеалом 7, так что при замене идеала I на его радикал глубина не меняется; depth(7, М ® N) = min{depth(7, М), depth(7, N)}; в короткой точной последовательности 0—>-М—s>iV—»Р-»0 depth(7, N) ^ min{depth(/, М), depth(7, Р)}, depth(7, М) ^ min{depth(7, N), depth(7, P) + 1}.

Предложение 0.1.5 (формула Ауслендера-Буксбаума). ([20, гл. IV, Г.1, предложение 17], [11, Exercise 19.8].) Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М + pd М = dim R.

Определение 0.1.6. ([20, гл. IV, Б], см. также [11, Chap. 18, р. 451].) Модуль М над R называется коэн-маколеевым, если для любого максимального идеала ш в R depth(m, М) = dim М. *

Предложение 0.1.7. [6, Prop. 16.20] Пусть М — градуированный модуль над кольцом многочленов R. Тогда М коэн-маколеев depth М — dim М ' , (глубина берётся в однородном максимальном идеале).

Предложение 0.1.8. [20, гл. IV, Б.1] Пусть М коэн-маколеев. Тогда последовательность <2i,., as М-регулярна М/(ai,. ,as)M ф 0 и dimM/(ab . ,as)M = dimM - s причём для коэн-маколеева М и любой последовательности длины s размерность при факторизации уменьшается не более, чем на s), и тогда фак-тормодуль М/(аi,., as)M коэн-маколеев.

0.2 Комплекс Игона-Норкотта

Определение 0.2.1. ([6, 2.С], T>i(g)y[ll, А2.6.1, р. 600], С1, комплекс Буксба-ума-Рима.) Комплексом Игона-Норкотта номер 1, построенным по (g х /)-матрице (р = (<pij), задающей гомоморфизм свободных модулей (р \ F —> G, ранги которых обозначены соответствующими маленькими буквами, называется комплекс свободных модулей, где к = f - д + 1, F0 = G, F1 = F, = ®

Sl~2(G)* при i ^ 2, а дифференциалы устроены следующим образом. Пусть /i,., ff и gi,., дд — базисы F и G соответственно, тогда

Mfj) = $>;<*, <p2(fjo А - • • А 4) = E(-l)fcMJ^jgfjk к=О здесь и в следующей формуле знак ~ обозначает пропуск элемента в списке), где Mjxjg — (д х д)-минор матрицы состоящий из столбцов ji,. ,jg в указанном порядке, а

Pi(fj0 А • • • Л fjg+i2 <g) {gh . ди2У) = g+i-2 i-2 Y1 I] VwJlo Л • ' • • A fjg+i2 ® (^ • • • ^ • . .

Замечание 0.2.2. В [11] определены аналогичные комплексы со всеми целыми номерами, но нам понадобится только этот частный случай. Для таких комплексов имеется следующий критерий точности.

Предложение 0.2.3. ([6, Theorem 16.15], см. также [7, Theorem], [11, Chap. 20.3].) Пусть R — коммутативное нётерово кольцо, М ф 0 — конечно порождённый R-модуль,

А = (0 Fk ^ Fk^ . F1 ^ F0) комплекс конечно порождённых свободных R-модулей. Положим к i=j ранг (то есть порядок максимального ненулевого минора) ipj в случае, когда этот комплекс точен. Обозначим за /,-(</?) идеал, порожденный всеми (г х г)-минорами матрицы (р. Тогда М точен, если и только если для всех j от 1 до к 1Т[з){}Рз) содержит М-последовательность длины j или Ir{j){Vj)M = М.

Для комплекса Игона-Норкотта этот критерий заметно упрощается следующим фактом:

Предложение 0.2.4. [11, Theorem А2.10 b] Для любой матрицы у? в соответствующем комплексе Игона-Норкотта ранг tpj не превосходит r(j), и идеал IrifiVj миноров ранга r(j) в <pj лежит в идеале 1т((р) максимальных миноров <р и имеет его своим радикалом.

Таким образом, чтобы доказать точность комплекса вида A <S>r М, где А — комплекс Игона-Норкотта, достаточно проверить, что в 1т((р) содержится М-последовательность длины / — g + 1: тогда по второму предложению и по предложению 0.1.4 это выполнено для всех и можно применить первое предложение.

0.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцами

Определение 0.3.1. (ср. [11, Exercise A3.18]) Пусть R = фi^Ri ~~ нёте-рово градуированное кольцо, Ro = к - поле, R+ = фг>0 Ri — максимальный однородный идеал, R[n] — свободный Л-модуль со сдвигом градуировки (образующая имеет степень —п). Пусть М — конечно порождённый градуированный Д-модуль. Известно [11, 19.1; Theorem 20.2], что тогда существует единственная свободная резольвента

---->• Fi ----> Fi F0 -> М -» 0 над R такая, что Fi = ®jR[—j]bij, гомоморфизмы — однородные степени 0 и d(Fi) С R+Fi-1. Градуированные числа Бетти градуированного модуля М — это числа Бетти bi — X/j^i — dim^Tor^k, М). Если для некоторого i bij = 0 для всех j кроме ji, то будем говорить, что г-е число Бетти сосредоточено в степени ji.

Определение 0.3.2. [11, Exercises 10.12 10.13] Ряд Гильберта M{t) градуированного модуля М — это Y^i dim;{ M{tl.

Тогда для конечно порождённого модуля М над кольцом многочленов M(t) = p(t)/( 1 - t)dimM, где p(t) — многочлен и р(1) ф 0. Ряд Гильберта аддитивен в коротких точных последовательностях градуированных модулей и однородных гомоморфизмов степени нуль, что следует из аддитивности размерности для однородных компонент каждой степени. В частности, если х — однородный неделитель нуля степени d относительно градуированного модуля М, то из точной последовательности

О M[-d] М/хМ О получаем, что (M/xM)(t) = (1 — td)M(t). Отсюда по индукции получается формула для ряда Гильберта фактормодуля по однородной регулярной последовательности, которой мы воспользуемся.

Определение 0.3.3. Кратность модуля М (относительно R+) — это е = р( 1). Из определения видно, что кратность также аддитивна в коротких точных последовательностях. Нетрудно проверить, что для градуированных модулей это число совпадает с определенным в [20, гл. V, А.2] и [11, 12.1] (последнее определение было включено в формулировку теоремы 3).

Определение 0.3.4. (ср. [11, Exercise 21.14]) Коэн-маколеев тип коэн-ма-колеева модуля М — это t(M) = dimkExtJpthM(k, М), где k - R/R+ как .R-модуль.

Предложение 0.3.5. Над кольцом многочленов R имеем t(M) — Ьрсз.ям

Доказательство. Над регулярным кольцом согласно [20, гл. IV, Г.1, сл. к теореме 5] имеется изоморфизм Torf(k,M) = Ех^1шЛг(к, М), так что по формуле Ауслендера-Вуксбаума получаем требуемое. □

0.4 Базисы Грёбнера

Поскольку теория базисов Грёбнера обычно излагается в литературе для идеалов, а не для подмодулей, как она использоваиа в этой работе, мы напомним основные формулировки по [11, Chap. 15].

Пусть R — кольцо многочленов над полем k, a F — свободный Д-модуль с фиксированным базисом ei,. ,es. Моном в модуле F это элемент вида твг, где т — моном в R (то есть произведение степеней переменных). Порядок на мономах в F — это линейный порядок, для которого если mi > rri2 — мономы в F, а п ф 1 — моном в 5, то пт\ > nrri2 > гп2- Любой такой порядок является полным (непустое подмножество имеет наименьший элемент).

Опишем несколько способов задавать такие порядки, которыми мы будем пользоваться. Пусть задан произвольный линейный порядок на наборе переменных в R. Тогда на мономах в R можно задать лексикографический порядок: сравниваются показатели при старшей переменной, если они равны, то показатели при следующей и так далее. Можно задать степенной-лексикографический порядок: сначала сравнивается полная степень мономов, а при равенстве они сравниваются лексикографически. Так же можно поступить в кольце некоммутативных многочленов, где мономы — это слова, так что лексикографически они сравниваются побуквенно (в некоммутативном случае не любой порядок является полным, но такой является). Если задан порядок на мономах кольца и линейный порядок на базисных векторах модуля, то можно построить по ним порядок на мономах в модуле двумя способами: «моном важнее места», при котором сначала сравниваются коэффициенты в смысле порядка в кольце, а при равенстве — базисные векторы, и «место важнее монома», при сначала сравниваются базисные векторы, а при равенстве — коэффициенты.

Старший член элемента / = aimi € F, где щ € к*, а гаг- — различные мономы в F, — это аото, где то — наибольший из т^, входящих в запись. Если М С F — подмодуль, то модуль старших членов подмодуля М -— это подмодуль в F, порождённый старшими членами всех элементов М. Тогда образы мономов F, не лежащих в подмодуле старших членов для М, образуют базис F/M как векторного пространства, в частности, если М однородный, то у него и у подмодуля старших членов (а значит, и у факторов по ним) одинаковый ряд Гильберта [11, Theorem 15.26].

Пусть некоторый моном п, входящий в элемент g с коэффициентом а, делится на старший член т элемента / (домножая / на константу, можно считать, что коэффициент при т в / равен 1). Тогда редукция g при помощи / — это переход от g к g — a(n/m)f. Если ни один моном g не делится на старшие члены элементов /х,., Д, то говорят, что g не редуцируем при помощи /i,.,/*;. В замечании из раздела 0.7 используется вариант редукции для двусторонних идеалов в кольце некоммутативных многочленов: делимость означает, что п = п\тп2, а редукция заменяет g на g — an\fn2. Из полноты порядка следует, что невозможна бесконечная последовательность редукций.

Набор элементов gi,.,gk модуля М называется базисом Грёбнера М для данного порядка, если старшие члены этих элементов порождают модуль старших членов для М (в однородном случае это условие можно проверить по функциям Гильберта). Тогда сами эти элементы порождают М.

Если т\ и 777-2 ~~ Дв& монома в F, в которые входит один и тот же элемент е$, то их наименьшее общее кратное т определяется очевидным образом. Если эти мономы являются старшими членами элементов /, д £ F соответственно, то S-форма, соответствующая паре (/, д), —- это элемент (m/m\)f — (iт/т2)д Е F.

Критерий Бухбергера [11, Theorem 15.8] утверждает, что набор элементов 9ь- • •, 9к £ F является базисом Грёбнера порождённого ими подмодуля, если и только если любую S-форму, построенную по паре элементов из этого набора (у которых в старшие члены входит один и тот же базисный элемент F), можно превратить в нуль последовательностью редукций при помощи элементов этого набора, и тогда если применять к S-форме редукции при помощи gj в произвольной последовательности и на некотором шаге получится нередуцируемый при помощи gi,. ,дь элемент, то этот элемент будет нулевым.

0.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую сумму

Конечномерная ассоциативная алгебра А раскладывается как левый модуль над собой в прямую сумму неразложимых левых идеалов [17, теорема 14.2], после чего разложение в прямую сумму подалгебр получается из этого группировкой слагаемых [17, §§54-55]. А именно, два таких идеала а и b называются связанными [17, определение 55.1], если существует такая цепочка неразложимых левых идеалов а = oi, а^ . ■ ■, ап = 6, что любые два соседние идеала имеют общий композиционный фактор. Прямые суммы классов связанности — блоки — образуют неразложимые двусторонние идеалы в А, в прямую сумму которых она разлагается, и эти идеалы однозначно определены [17, теорема 55.2].

Мы применим этот результат в случае, когда неразложимые модули над алгеброй имеют лишь 1 тип композиционных факторов. Тогда каждый блок имеет лишь 1 тип композиционных факторов, то есть алгебра разлагается в прямую сумму алгебр, каждая из которых имеет лишь 1 простой модуль.

Напомним также описание разложений алгебры в прямую сумму в терминах идемпотентов [17, §25, упр. 2]: существует взаимно однозначное соответствие между разложениями алгебры в прямую сумму двусторонних идеалов и разложением единицы в сумму центральных ортогональных идемпотентов, т. е. идемпотентов, которые лежат в центре алгебры и попарные произведения которых равны 0. Соответствие естественно: идемпотентам сопоставляются порождённые ими идеалы, а разложению в сумму идеалов • проекции единицы алгебры на его компоненты.

0.6 Простые и сепарабельные алгебры

Мы будем обозначать центр конечномерной алгебры В через Z{B), радикал — rad В, инверсно изоморфную алгебру (то есть то же векторное пространство с умножением (&i, 62) £>2^1) через В0.

Предложение 0.6.1. [17, теорема 68.1] Пусть S — простая алгебра, К — её центр, a L — расширение поля К. Тогда S (%)к L — простая алгебра с центром L.

Определение 0.6.2. [17, определение 71.1] Полупростая конечномерная алгебра над полем называется сепарабельной, если она остаётся полупростой при любом расширении основного поля.

Замечание 0.6.3. Любая полупростая алгебра над совершенным полем сепа-рабельна, так как по теореме 69.4 из [17] она остаётся полупростой при любом конечном (сепарабелыюм) расширении, а значит, и при переходе к алгебраическому замыканию, так как нильрадикал был бы определён над некоторым конечным расширением. Значит, над алгебраическим замыканием исходного поля эта алгебра изоморфна прямой сумме матричных, а по теореме 71.2 из [17] алгебра, изоморфная прямой сумме матричных над некоторым расширением основного поля, сепарабельна.

Предложение 0.6.4 (теорема Веддерберна-Мальцева). [17, теорема 72.19] Пусть В — конечномерная алгебра над полем и алгебра В/ rad В — сепарабельна. Тогда в В есть такая подалгебра 5, что имеется разлооюение в полупрямую сумму В = S 0 rad В.

Предложение 0.6.5. [21, гл. IV, теорема 4.4.2] Если S С А — конечномерная простая подалгебра L-алгебры А, содержащая единицу алгебры А, и Z(S) = L, то А = S <S>z{S) К, К ~ централизатор S в А.

Следующие известные леммы будут использованы далее

Лемма 0.6.6. Пусть все простые факторы алгебры А имеют размерность п2 над своими центрами. Тогда то же верно для алгебры А, полученной из А переходом к алгебраическому замыканию основного поля.

Доказательство. Так как при расширении основного поля нильрадикал переходит в нильрадикал, то можно считать алгебру А пол у простой, а рассматривая слагаемые по отдельности — простой. Пусть к — алгебраическое замыкание к. Тогда

А <8>к к/rad А = A ®Z{A) ((Z(A) ®к к)/ rad(Z(A) <8>к к)), так как тензорное произведение центральной простой алгебры на полупростую полупросто [17, теоремы 68.1 и 71.10]. Но второй множитель в этой формуле — коммутативная полупростая алгебра над к, то есть сумма нескольких экземпляров k, a A ®z(A) к —- простая алгебра той же размерности над своим центром [17, теорема 68.1]. □

Лемма 0.6.7. Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с 1 над алгебраически замкнутым полем к, все простые факторы которой имеют размерность п2 над своими центрами. Тогда А = Мп(К) для некоторой алгебры К.

Доказательство. Так как поле алгебраически замкнуто, то полупростой фактор А есть сумма алгебр Mn(k) в некотором числе. По предложению 0.6.4 он вкладывается в А как подалгебра, так что А разлагается в полупрямую сумму этой подалгебры и своего радикала. Так как радикал нильпотентен, нетрудно убедиться, что подалгебра содержит единицу всей алгебры. Если вложить Мп(к) в эту подалгебру диагонально, то она тоже вложится в А как подалгебра, содержащая единицу А. Так как центр Мп(к) есть к, то можно применить предложение 0.6.5 и получить, что А = Мп(к) = Мп(К). □

0.7 Максимально центральные алгебры

Определение [3, §2]. Конечномерная ассоциативная алгебра А над к с единицей называется максимально центральной алгеброй, если А — прямая сумма алгебр Aif факторы которых по радикалу просты и dimk Ai ^ tf dimk Z(A{), где tf — это ранг Д-/ rad Ai над своим центром и на самом деле имеет место равенство.

Если t{ одинаковы для всех слагаемых, то будем называть максимально центральную алгебру равноразмерной.

Определение максимально центральных алгебр обобщается в [4] на случай алгебр над гензелевым кольцом, являющихся над ним свободными модулями конечного ранга, но мы ограничимся конечномерными алгебрами над полем. Это определение допускает много равносильных переформулировок (в частности, основные результаты этой работы можно интерпретировать как такую переформулировку), большей частью приведённых в [3, 4]:

Предложение 0.7.1. Следующие условия на конечномерную ассоциативную алгебру Ас 1 над полем к эквивалентны:

1) А — максимально центральная алгебра;

2) при проекции А на любую её факторалгебру В центр А сюръективно отображается на центр В;

3) алгебра А, полученная из А переходом к алгебраическому замыканию основного поля, — прямая сумма матричных алгебр над своими центрами;

4) алгебра где L — произвольное расширегше поля к, максимально центральна;

5) А — прямая сумма таких алгебр Ai с центрами Zi, что Ai — свободные Zi-модули и Endz{ A-i — Ai ®Zi A§•

6) A — алгебра Адзумая над своим центром Z, то есть ([18, гл. VI, §1, . определение 1.5]) такой проективный Z-модуль, что для любого простого идеала р С Z A®zk{p) — центральная простая алгебра над &(р).

Если основное поле совершенно, то эти условия эквивалентны следующему:

7) А = фг- Si <&z(Si) Kii где Si — простые алгебры над к, a Ki — конечномерные коммутативные алгебры над соответствующими Z(Si) (А — «линейная комбинация простых алгебр с коммутативными коэффициентами» ).

В [9, Chap. 2, §§2,3] приводится несколько эквивалентных определений алгебр Адзумая, что позволяет дать ещё несколько переформулировок пункта б).

Доказательство. Равносильность условий 1), 3) и 4) доказана в [3, §2, Theorem 2, Corollary]. Равносильность условий 1) и 5) доказана в [4] в конце п. 4.

Равносильность условий 5) и 6) следует из теоремы 15 работы [4]. Эта теорема утверждает, что Zi-алгебра Ai, являющаяся свободным Zj-модулем, где Z{ — коммутативное кольцо, обладает свойством, требуемым от так обозначенной алгебры в условии 5), если и только если для любого максимального идеала р С Zi Ai/pAi — центральная простая алгебра над Zi/p. Центр алгебры А — коммутативное артиново кольцо, которое раскладывается в сумму локальных артиновых колец, и тогда те же идемпотенты задают разложение А в прямую сумму алгебр с локальными центрами, так что слагаемые — неразложимы. Условие 6) локально по центру, поэтому переносится на каждое слагаемое и, так как конечно порождённый проективный модуль над локальным кольцом свободен, означает, что слагаемые свободные модули над своими центрами. Условие 5) также переносится на слагаемые, если разложить обе стороны равенства в сумму модулей над слагаемыми центра. А равносильность условий для одного слагаемого утверждается в цитированной выше теореме 15 из [4].

3)=*>2): если у нас есть некоторая факторалгебра алгебры А, то сюръек-тивность отображения центров достаточно проверить после перехода к алгебраическому замыканию поля для соответствующего фактора алгебры А: расширение скаляров перестановочно со взятием центра, так как последний задаётся линейными уравнениями. Так что достаточно доказать, что это условие выполнено для А. Эта алгебра — прямая сумма матричных над коммутативными, и любой двусторонний идеал в ней — прямая сумма идеалов в слагаемых, а двусторонний идеал в алгебре матриц над кольцом — это матрицы, элементы которых лежат в некотором двустороннем идеале кольца (см. [14, гл. VIII, §7, упр. 6 б)], где это изложено в присущей автору общности). Поэтому любая факторалгебра — это прямая сумма матричных алгебр над какими-то факторалгебрами их центров. Так как центр матричного кольца над коммутативным совпадает с этим коммутативным кольцом, то отображение центров сюръективно.

2)=Ф-1): разложим полупростой фактор А в прямую сумму простых. Это, разложение задаётся некоторым полным семейством центральных ортогональных идемпотентов в иолупростом факторе. Так как по условию центр А сюръективно отображается на центр полупростого фактора, то по теореме 24 из [4] (или следствию 7.5 из [11]) это семейство можно поднять до полного семейства ортогональных идемпотентов в центре А, которое задаёт разложение А в прямую сумму алгебр, каждая из которых имеет только один простой фактор и удовлетворяет условию 2).

Для каждого слагаемого Ai докажем формулу индукцией по длине Loewy, то есть по степени нильпотентности нильрадикала. Если нильрадикал нулевой, то Ai проста, её центр — поле и, очевидно, имеет требуемую размерность. Иначе пусть (rad Aj)n — последняя ненулевая степень радикала. Тогда по предположению индукции центр алгебры Aj/(rad Ai)n имеет требуемую размерность. Центр Ai сюръективно отображается на него с ядром, равным Z(Ai) П (radA)n, и dimjc Ai — dimk Д/(гаЛ'Д)п = dim^rad Д )n, так что достаточно показать, что dimk Z{Ai) П (rad Ai)n = dimk(rad Ai)n/ dimz(5i) Su где Si — Ai/ radAj. Интересующий нас (radAj)" — это бимодуль над Ai, то есть модуль над А®, но заметим, что так как Z(Ai) действует одинаково слева и справа, то на самом деле это модуль над Ai <8>z(Ai) а поскольку радикал тривиально действует с обеих сторон, a Z(Ai) отображается на центр (полу)простого фактора Si, то на самом деле это модуль над простой алгеброй Si <2>z(Si) &f> т0 есть прямая сумма бимодулей, изоморфных Si. Пересечение центра Ai с нашей степенью радикала — это множество тех элементов, на которые в этой структуре бимодуля Si одинаково действует справа и слева, то есть прямая сумма центров Si. Отсюда следует, что это пересечение имеет требуемую размерность.

Теперь докажем эквивалентность этих условий последнему над совершенным полем. Над любым полем легко видеть, что 7)=М). Выведем над совершенным полем условие 7) из остальных. По условию 2) отображение из Z{A) в центр полупростого фактора А сюръективно, так что система центральных ортогональных идемпотентов, задающая разложение полу простого фактора в прямую сумму простых, поднимается до системы центральных ортогональных идемпотентов, задающих разложение алгебры А в прямую сумму алгебр Ai, полупростые факторы Si которых просты. Так как поле совершенно, то по замечанию 0.6.3 любая полупростая алгебра над ним сепарабельна, так что по теореме Веддерберна-Мальцева Z(Si) вкладывается в Z(Ai) как подалгебра с 1, так что Ai можно рассматривать как алгебру над полем Z(Si).

Будучи конечным расширением совершенного поля, Z[S{) совершенно, так что можно применить теорему Веддерберна-Мальцева над ним и получить вложение полупростого фактора Si в А{ как ^(5г)-иодалгебры с 1. Теперь можно применить предложение 0.6.5 и получить, что Ai = Si t&ziSi) Ki, гДе Ki — централизатор Si в Ai, так что Ki D Z(A{). Из разложения в тензорное произведение следует, что dimk-FQ = dimkAi/tf, а тогда из неравенства, фигурирующего в определении максимально центральной алгебры, и включения следует, что Z(Ai) = Ki, так что Ki коммутативна. □

Замечание 0.7.2. Применяя пункт 3) и лемму 0.6.6 к каждому слагаемому Ai из определения максимально центральной алгебры, получаем, что равно-размерные максимально центральные алгебры — это в точности те, которые при переходе к алгебраическому замыканию становятся изоморфными прямой сумме матричных алгебр одного и того же ранга над коммутативными, то есть просто матричной алгебре над коммутативной.

Замечание 0.7.3. Над несовершенным полем последнее условие не равносильно предыдущим, как показывает следующий пример.

Пусть k = где х — независимая переменная. Рассмотрим его чисто несепарабельное расширение F = Fp(t) = к [t]/(tp — х). Построим сначала конечномерное центральное тело над F, не получающееся при расширении скаляров из такого тела над к.

Пусть L = Fр(и) = F[u\/{up — и — t) — циклическое расширение Галуа степени р над F, о — образующий группы Галуа, переводящий и в и + 1. Тогда согласно [16, §114] элементы группы Брауэра F, тривиальные над L, представляются как циклические алгебры, то есть алгебры вида F(cr, и)/(ар— а, ир — и — t, сги — (и + 1)(т) (переменные коммутируют с F, но не друг с другом), где а — некоторый элемент F* [16, §94, п. 4], причём они изоморфны, если и только если соответствующие а отличаются множителем, являющимся нормой некоторого элемента в расширении L/F, в частности, циклическая алгебра является полным матричным кольцом, если и только если а — норма [16, §114, задача 3]. Рассмотрим циклическую алгебру с а = t — 1: это центральная простая алгебра над F размерности р2, так что это либо тело, либо матричная алгебра над F. Так как t — 1 = ир — и — 1 — неприводимый многочлен в Fp[w], то он не является нормой (то есть произведением р сопряжённых элементов) в расширении L/F, значит, наша циклическая алгебра — нетривиальный элемент группы Брауэра, так что она - тело. Если бы это тело получалось из тела над к расширением скаляров, то тело над к имело бы ранг р2 и задавало бы элемент из р-кручения Br(k) по теореме 4.4.5 из [21], которая утверждает, что класс тела в группе Брауэра аннулируется квадратным корнем из ранга этого тела. Но при индуцированном расширением скаляров отображении Br(k) -» Br(F) р-кручение отображается в нуль, как мы сейчас покажем. Для этого воспользуемся тем, что группа Брауэра Br(k) есть объединение своих подгрупп Br(k, К), состоящих из алгебр, становящихся изоморфными матричной после тензорного домножения на К, где К пробегает конечные расширения Галуа поля к [16, §§113-114]. А группа Вг(к, К) изоморфна H2(G, К*), где G — группа Галуа К/к [15, §6, п. 8, предложение 11] (по сути это переформулировка описания группы Брауэра через системы факторов). Но согласно [15, §6, п. 8] когомологии групп есть частный случай функтора Ext, поэтому они Ъ-линейны [15, §5, п. 3, предложение 6], то есть возведение в степень р в поле К задаёт умножение на р в Br(k, К). Заметим теперь, что гомоморфизм возведения в степень р задаёт изоморфизм F на к, так что является изоморфизмом и на группах Брауэра, а его композиция с вложением к С F есть возведение в степень р (и продолжается как возведение в степень р на конечные расширения Галуа поля к), так что гомоморфизм Br(k) —> Br(F) после домножения на изоморфизм становится умножением на р, и р-кручение при нём переходит в нуль.

Итак, требуемое тело построено. Теперь опишем пример максимально центральной алгебры над несовершенным полем, не удовлетворяющей условию 7) предложения 0.7.1. Поле к оставим прежним, положим В = k[?j/(t^ — хр), а А — В (a, u)/(crp— (t — 1), ир — и — t, ои — (u-Ь 1)<т) (здесь а, и коммутируют с В). Эта алгебра является циклическим скрещенным произведением в смысле [4, п. 6]. Заметим, что а = tp — х — нильпотент степени р в В и В/(а) = F, так что А/(а) — это наше тело. Также заметим, что В С Z(A). Если положить а > и и взять порядок «степенной-лексикографический», то старшие члены определяющих соотношений А суть ар} ир, аи, и не делящиеся на них мономы — это лишь ul<ji, 0 ^ i,j < р, так что А порождается р2 мономами как Б-модуль. Отсюда видно, что условие 1) предложения 0.7.1 выполнено, откуда (из того, что неравенство не бывает строгим) следует, что Z(A) = В. Если бы А удовлетворяло 7), то, так как фактор А по нильрадикалу — тело, в сумме было бы лишь одно слагаемое, то есть А = S <S>z(s) К, гДе S проста, а К коммутативна и локальна. Тогда А/ гас1Л = S ®z(S) К/ rad-K", то есть наше тело получено из S расширением скаляров с Z(S) до К/ racl К. Но центр нашего тела — это F, и [F : к] = р, так что к С Z(S) С F влечёт, что одно из этих включений — равенство. Но наше тело не получается расширением скаляров из тела над к, значит, Z(S) = F. Таким образом, F должно вкладываться в Z(A) = В как k-подалгебра с 1, но оно так не вкладывается: любой прообраз элемента t Е F в В имеет вид t + аЪ для некоторого b £ В, и (F+ аЪ)? = tp + аРЬР = tP = х + афх.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Олег Николаевич, 2004 год

1. Adams W. W., Loustaunau P., Palamodov V. P., Struppa D. C. Hartog's Phenomenon for Polyregular Functions and Projective Dimension of Related Modules over a Polynomial Ring // Ann. 1.st. Fourier 1997, 47(2). P. 623-640.

2. Adams W. W., Loustaunau P, Analysis of the Module Determining the Properties of Regular Functions of Several Quaternionic Variables // Pacific J. Math. 2000, 196(1). P. 1-15.

3. AzumayaG., Nakayama T. On absolutely uni-serial algebras // Jap. Journ. Math. 1948. V. 19. No. 4. P. 263-273.

4. AzumayaG. On maximally central algebras // Nagoya Math. J. 1951. V. 2. P. 119-150.

5. BrunsW., HerzogJ. Cohen-Macaulay Rings. Cambridge Univ. Press, 1993.

6. BrunsW., VetterU. Determinantal Rings. Springer, 1988. (Lecture notes in math. No. 1327.)

7. Buchsbaum D. A., Eisenbud D. What Makes a Complex Exact? //J. Algebra 1973, 25(2). P. 259-268.

8. Colombo F., Loustaunau P., SabadiniI., Struppa D. C. Regular functions of biquaternionic variables and Maxwell's equations //J. Geom. Phys. 1998, 26(3-4). P. 183-201.

9. DeMeyer F., Ingraham E. Separable Algebras over Commutative Rings. Springer, 1971. (Lecture notes in math. No. 181.)

10. Deuring M. Algebren. 2. Auflage. Springer, 1968. (Ergebnisse der Math-ematik und ihrer Grenzgebiete. Bd. 41.)11. elsenbud D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer, 1995. (Graduate texts in math. No. 150.)

11. Sabadini I., Shapiro M. V., Struppa D. C. Algebraic analysis of the Moisil-Theodorescu system // Complex Variables Theory Appl. 2000, 40(4). P. 333-357.

12. Sabadini i., Struppa D. C., Sommen F., Van Lancker P. Complexes of Dirac operators in Clifford algebras // Math. Z. 2002, 239(2). P. 293-320.

13. БУРВАКИ H. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966.15. вурбаки Н. Алгебра. Глава X. М.: Наука, 1987.

14. Ван дер Варден Б. JI. Алгебра. М.: Наука, 1979.

15. КэртисЧ., райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.18. маниню. И. Кубические формы. м.: Наука, 1972.

16. ПАЛАМОДОВ В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967.

17. Серр Ж.-П. Локальная алгебра и теория кратностей // Математика, сб. перев. 1963, 7:5. С. 3-93.

18. ХЕРСТЕЙН И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. Публикации автора

19. Попов О. Н. Об одной конструкции модулей над кольцом многочленов // Успехи матем. наук. 2001. Т. 56. Вып. 6. С. 163 164.

20. ПОПОВ О. Н. О модулях над кольцом многочленов, получаемых из представлений конечномерных ассоциативных алгебр // Матем. сборник. 2002. Т. 193. № 3. С. 115-134.

21. ПОПОВ О. Н. Снова об одной конструкции модулей над кольцом многочленов // Успехи матем. наук. 2003. Т. 58. Вып. 2. С. 173-174.

22. ПОПОВ О. Н. Об одной конструкции модулей над кольцом многочленов в случае произвольного поля // Успехи матем. наук. 2004. Т. 59. Вып. 3. С. 175-176.